MATEMÁTICA 3º GRADO DE SECUNDARIA

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEMA: SÍNTESIS HISTÓRICA DE LA TRIGONOMETRÍA Así, tomada en su estricto significado etimológico de “medida de los
triángulos”, la encontramos ya en las lejanas épocas de los babilonios, los
A diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se egipcios y los hindúes, allá por los tres y dos mil años antes de nuestra era.
sabe alcanzaron gran desarrollo desde la época de los babilonios, los
egipcios y los griegos. Si la consideramos a la trigonometría como ese capítulo de la
Astronomía, donde ciertas funciones del ángulo eran ya conocidas y
La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra empleadas, la encontramos a partir de los trabajos de Hiparco allá por el
era, y esto es muy explicable, pues para desenvolverse plenamente necesita año 140 a.C.
de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para
darle toda la flexibilidad y desarrollo. Pero la trigonometría como disciplina autónoma y sistemática, como esa
ciencia analítica que es ahora, solo surgió y se desarrolló en el siglo XVII,
después que el gran matemático Vieta perfeccionara admirablemente el
ORIGEN simbolismo algebraico, sin el cual jamás hubiera podido consolidar esta
Desde el punto de vista etimológico la trigonometría trató de la ciencia.
“Resolución de Triángulos”, lo cual quiere decir que dados ciertos elementos
convenientes de un triángulo se deben hallar sus elementos restantes. Históricamente fueron los geómetras y astrónomos griegos quienes,
entre los años 180 y 125 a.J.C. encontraron los principales fundamentos de
En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto la trigonometría plana y esférica, deducidos de la geometría y los aplicaron
origen pudiese surgir en el devenir del tiempo una ciencia de tanta a los problemas astronómicos.
importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramienta
fundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple Según Theon, de Alejandría, entre los citados astrónomos griegos, es a
capítulo de la Astronomía. Hiparco, especialmente, a quien se le puede considerar como el verdadero
creador de la trigonometría (Padre de la Trigonometría), pues sobre los
Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su
la física, y sobre todo al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía almagesto, una tabla de valores de las razones trigonométricas, para ser
y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo llegar tan lejos. usados en los cálculos astronómicos.

Para resolver los triángulos rectángulos, los griegos procedían así:
UBICACIÓN HISTÓRICA DE SU ORIGEN calculaban los lados aplicando el Teorema de Pitágoras, y los ángulos
La época que al nacimiento de la trigonometría se quiera atribuir mediante un Teorema de Ptolomeo; la resolución de triángulos cualesquiera
depende en realidad de la aceptación que a dicho término se le dé, vale la hacían descomponiendo en triángulos rectángulos (trazando altura).
decir, de la amplitud que a su significado se le quiere encontrar.
Es a Regiomontano (1436 – 1476), al que se debe el renacimiento de la
trigonometría, pues fue él quien, valiéndose de traducciones del griego,

Trigonometría 7 8 Trigonometría


escribió un notable tratado de trigonometría rectilínea y esférica, que ¿SABÍAS QUÉ...
puede considerarse como el primer tratado de trigonometría europea.

NICOLÁS COPÉRNICO (1473 – 1543)
Copérnico (1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma
sencilla las fórmulas trigonométricas de la trigonometría esférica.

Viete (1540 – 1603), no era matemático de profesión, sino
jurisconsulto que se ocupaba como abogado de asuntos de estado, pero su
amor por la ciencia matemática fue tan grande que dedicaba la mayor parte
del tiempo necesario para su descanso al estudio y a la investigación
matemática. De posición económica desahogado, su espíritu noble y generoso
lo llevó a proteger económicamente aun a sus contrarios científicos.

Como contribución a la trigonometría, en 1579 estableció las fórmulas
que determinan las funciones trigonométricas de múltiplos de un ángulo,
cuando se conocen las funciones trigonométricas del mismo, y por primera
vez en occidente expone los métodos que permiten resolver triángulos
planos o esféricas aplicando las 6 funciones trigonométricas, pues
Regiomontano solo utilizaba el seno.

Neper (1550 – 1617), con la creación de los logaritmos, abrevió
notablemente los cálculos trigonométricos, aunque en realidad su nombre en Nicolás Copérnico fue un médico y astrónomo que cambió la idea del
la historia de la trigonometría se destaca por las analogías que llevan su lugar que ocupaba la Tierra en el Universo. En su famosa obra De
nombre, así como por la conocida regla del pentágono de Neper, de tanta Revolutionibus Orbium Coelestium (“De las revoluciones de las esferas
aplicación en la Resolución de Triángulos Esféricos. celestes”), proponía que la Tierra giraba diariamente sobre su propio eje y
Es sólo en el siglo XVII que la trigonometría comienza a formar su que, a la vez da una vuelta completa alrededor del Sol, en una órbita que
carácter analítico, y es Euler (1707 – 1783) el primero que en realidad hace tardaba un año en recorrer. Esto se oponía a la antigua idea de que el
progresar dicha ama de la matemática en este nuevo aspecto analítico, Universo giraba alrededor de la Tierra. También fijó métodos para calcular
hasta darle forma que conserva actualmente. el tamaño del Sistema Solar y los movimientos de los planetas. De todas
maneras, los científicos todavía tardaron un siglo en probar sus ideas y
aceptarlas plenamente.



TEMA: SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

1. ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS
En trigonometría se consideran ángulos de cualquier valor, por lo que se
hace necesario aplicar el concepto de ángulo, supongamos un rayo AB,
con origen en A en la figura siguiente:

3. SISTEMA DE MEDIDA
Un ángulo θ puede ser medido en diferentes sistemas, los más conocidos
Si AB empieza a girar; en el sentido de la son sexagesimal, centesimal y radial.
flecha curva, hasta la posición AC habremos Así: Ejm.:
generado un ángulo trigonométrico tal como
se muestra. S. Sexagesimal π
45º ≡ 50g ≡ rad
θ S. Centesimal 4
S. Radial
En trigonometría,
describiremos como se OBSERVACIONES:
consideran los ángulos de Tener en cuenta un ángulo medido en sistema diferentes son
equivalentes (≡) y no iguales (=)
cualquier valor, por lo que Así:
se hace aplicar el siguiente 45º → En grados Sexagesimales
θ 50g → En grados Centesimales
concepto.
π
rad → En radianes
4
2. ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Los ángulos generados en sentido contrario al movimiento de las agujas Sistema Sexagesimal
del reloj se consideran en trigonometría positivos y si generamos Unidad: grado Sexagesimal (º)
ángulos en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj se 1 Vuelta ≡ 360º
consideran negativos.
Angulo Positivo Angulo Negativo Además:
1º ≡ 60’ (1 grado Sexagesimal equivale a 60 minutos sexagesimales)
1º ≡ 60” (1 minuto Sexagesimal equivale a 60 segundos sexagesimales)
1º ≡ 3600” (1 grado Sexagesimal equivale a 3600 segundos
sexagesimales)

Ejm.: Graficar 120º Ejm.: Graficar –230º Sistema de Centesimal
12
Trigonometría 11 Trigonometría


Unidad: grado Centesimal (g)
1 Vuelta ≡ 400g 1. Convertir:

Además: 50g a grado sexagesimal 20g a radianes
1g ≡ 100m (1 grado Centesimal equivale a 100 minutos centesimales)
1m ≡ 100s (1 minuto Centesimal equivale a 100 segundos centesimales) 36º a grado centesimal 80º a radianes
1g≡ 10000s (1 grado Sexagesimal equivale a 10000 segundos
centesimales) π π
rad a grado sexagesimal rad a centesimales
5 10
Sistema Radial
Unidad: 1 radián (1 rad)
Rpta.
A0B: Sector circular
2. Hallar el valor de “P”

Condición
100 m
p = 5. Hallar el valor de “θ”
gº
L = = .

Rpta.

Además: 3. Hallar el valor de “M”
1 vuelta ≡ 2πrad
1 π
vuelta ≡ πrad M = 27 º+ rad + 40 g Rpta.
2 3
1 2π
vuelta ≡ rad
n n Rpta.

Relación Importante: Si el ángulo es una vuelta completa se cumple: 6. Hallar “R”
3620º ≡ 400‘ ≡ 2πrad 4. Hallar el valor de “x”

Simplificando: 20 g π / 4 rad
R = +
...180º ≡ 200g ≡ πrad . 120' 100 m

Además si a 180º ≡ 200g le simplificamos:
...9º ≡ 10g . Rpta.
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CLASE 7. Hallar “x” 11. Si 31,12g ≡ agbm.
13 14
Trigonometría Trigonometría


Hallar a + b
1. Convertir 80g a radianes 5. Hallar “θ”
Rpta.
π π π
A) 2 B) 3 C) 4
3 5 7
π π
12. Hallar x, siendo θº ≡ αg, θº ≡ 2x D) 3 E) 2
8 5
+ 15 ∧ α = 70
g

Rpta.
A) 20º B) 12º C) 40º
Rpta. 2. Hallar “P” D) 60º E) 120º
300 m 1º
8. Hallar “Q” P = g
+
1 60'
13. Hallar x, siendo φº ≡ 2αg, 6. En un ∆ los ángulos están en
3π siendo: φº ≡ x + 15 ∧ α = 80
g P.A. de razón 30º.
rad + 60º A) 1 B) 3 C) 4
Q = 8 D) 2 E) 5 Hallar el mayor ángulo
200 m + 1 g Rpta.
A) 30º B) 60º C) 90º
Rpta. 3. Hallar “M” D) 80º E) 100º

14. Hallar “α”
π
M = 50 g + rad − 5º
π 18
4α = 250 g − rad 7. Si 47,25º ≡ aºb';
9. En un ∆, sus lados están en P.A. 9
A) 50º B) 20º C) 55º Hallar a + b
de razón 20º.
D) 5º E) 60º
Hallar el mayor ángulo Rpta. A) 62 B) 15 C) 47
D) 25 E) 72
Rpta. 4. Hallar “x”
15. Señale el menor ángulo
A + B = 70 º 8. Si θº ≡ x + 30º ∧ αg = 60
Hallar “x”; Además θº ≡ αg
10. Si 27,55º ≡ aºb’. π
A −B = rad
Hallar a + b 10
A) 84 B) 24 C) 30
D) 50 E) 90
Rpta. A) 84º B) 42º C) 20º
Rpta.
D) 80º E) 100º

PROBLEMAS PARA LA CASA
15


9. Hallar φ: 10. Señale el mayor ángulo
16
¿SABÍAS QUÉ...
π A + B = 60º
Si 5φ = rad + 20 g
10 π 17
A–B= rad TALES DE MILETO (636 A.C. – 546 A.C.)
9
A) 8g B) 40g C) 12g
D) 8º E) 12º A) 80º B) 60º C) 40º
D) 20º E) 10º

CLAVES

1. E 6. C

2. C 7. A

3. A 8. B

4. B 9. A

5. E 10. C El filósofo, astrónomo y matemático griego Tales es conocido por su
cosmología. Creía que todo en el Universo derivaba del agua. Fue uno de los
primeros filósofos griegos en adoptar una visión del mundo naturalista y no
mitológica. A pesar de que no ha sobrevivido ninguno de sus trabajos, se le
considera el fundador de la geometría griega. En astronomía, predijo con
exactitud un eclipse solar en el 585 a.C. y aconsejó que los marinos se
guiaran por la constelación de la Osa Menor, en la que figura la estrella
Polar. Tales forma parte de los Siete Sabios, un grupo de eruditos de la
Grecia antigua que vivieron entre los siglos VI y VII a.C.


18


TEMA: SECTOR CIRCULAR Ejemplo:
Del gráfico mostrado, calcular la longitud de arco
Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de (l), siendo 0: centro.
circunferencia Solución:
l = θ . r Convirtiendo θ=30º π
l= . 18
θ = 30º en rad 6
De la figura se obtiene: πrad π l = 3π cm
30º . = rad
180 º 6
A0B Sector Circular
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S)
El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto del
LONGITUD DE ARCO (l) número de radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al
Es aquella en unidades de longitud de un arco de circunferencia, se cuadrado dividido entre dos.
calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el
radio de la circunferencia. Deducción.–

Deducción.– Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando Comparando (por regla de tres simple)
la longitud de arco y el ángulo central como se muestra en la figura
siguiente: Área de un Sector Ángulo Central
Circular
Teniendo en cuenta el significado π r2 2π rad.
geométrico de 1rad. se tiene: S θ rad.

Longitud de Arco Ángulo Central θ r2 lr l2
Resolviendo se obtiene: S = también: S =
2
S=
l θ rad. 2 2θ

r 1 rad.
Ejemplo:
De donde se obtiene . l=θ.r .

Donde:
l : longitud de arco
θ : número de radianes del ángulo central
r : radio de la circunferencia



Del gráfico mostrado, calcular el área del sector
A0B. 0: centro.
Solución:
π π S = 6π cm2
θ = 60º . θ = rad
180 º 3
rad π 62
S = . Solución:
3 2 80 π 100cm
r = 2cm nV = 2000 vueltas
nV =
lC = 80π . 100cm 2π 2cm

NUMERO DE VUELTAS (nv)
El número de vueltas que da una rueda de radio “r” al desplazarse (sin
resbalar) se calcula mediante el cociente de la longitud que describe el
centro de la rueda dividido entre 2πr. (perímetro de la rueda). PROBLEMAS PARA LA CLASE
21
1. Hallar “L” siendo A0B un Sector 3. Dada la circunferencia de 24 m
Circular de radio. Encontrar la longitud
del arco subtendido por un
ángulo central de 2/3 radianes

En esta figura el número de vueltas que da la rueda de radio (r) al
desplazarse desde “A” hasta “B” se calcula:

lc
nv =
2π r
Rpta.
(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).
(perímetro de la rueda).
Rpta.
Ejemplo:
¿Cuántas vueltas da la rueda de 4cm de diámetro?

2. Hallar “l” siendo A0B un Sector
Circular (considerar π = 22/7) 4. Hallar “R” siendo A0B un



Sector Circular
Rpta.

9. Calcular la longitud de un arco
en una circunferencia cuyo
radio mide 20 cm y el ángulo
central que subtiende mide 90g.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.

5. Encontrar el radio de una 7. Hallar el Área del Sector
22 circunferencia tal que un arco 10. Si A0B y C0D son Sectores 13. Siendo “0” centro dela
Circular A0B 23
Circulares.
de 15 m de longitud, subtiende circunferencia. Hallar “S1 + S2”
Hallar: L1 + L2 + L3
un ángulo central de 3 rad.

Rpta. Rpta.

8. Hallar “S” si A0B es un Sector 11. En la figura mostrada calcular
Rpta. Rpta.
Circular el valor del radio del sector
A0B, sabiendo que: L = 2πcm

6. Hallar el Área del Sector 14. En el esquema mostrado COD
Circular A0B
es un Sector Circular.

Determine el área de la región



Rpta. sombreada.

12. Hallar “L” sabiendo que A0D es
un Sector Circular:

Rpta.
Rpta.
15. De la figura mostrada, hallar 16. Del gráfico. Hallar el área
24 1 sombreada. Si AC = 4, EDA y PROBLEMAS PARA LA CASA
“X”, si α = rad.
4 C0B son Sectores Circulares
A0B es un Sector Circular 25
1. Determine el valor del radio del 3. Hallar el área del Sector
Sector Circular A0B Circular A0B

Rpta.
Rpta.
A) 2m B) 4m C) 5m A) 15m2 B) 12m2 C) 30m2
D) 7m E) 6m D) 20m2 E) 10m2

“No dejes para mañana, lo que puedas hacer hoy"
2. Hallar “L”, siendo A0B un 4. Determine el valor de “L1 + L2 +
Sector Circular L3”, si A0B y C0D son Sectores
Circulares



8. Determine el área de la región
sombreada, siendo A0B Sector
Circular

A) 21 B) 22 C) 20 A) 4µ B) 7µ C) 10µ
D) 31 E) 41 D) 5µ E) 3µ
Α) π B) 5π C) 10π
D) 14π E) 16π

A) 2,5µ2 B) 3,2µ2 C) 2,55µ2
5. De la figura mostrada, calcular 7. Siendo “0 centro de la D) 2,25µ2 E) 1,5µ2
el valor del radio el Sector circunferencia hallar “S1 + S2”
26
Circular A0B, sabiendo que L =
8π cm. 9. En el Sector Circular A0B. 10. Siendo A0B un Sector Circular,
1 determine el valor de “S”
Hallar “2x” si: α = rad. 27 28
5

68π B) π
A) 30cm B) 35cm C) 40cm A) C)
D) 48cm E) 52cm 45 37π 13 A) 2µ2 B) 6µ2 C) 4µ2
13 D) 7µ2 E) 5µ2
13π E)
D)
45 10π A) 39l B) 7l C) 27l
6. Hallar “L”, sabiendo que A0D es 9 D) 19l E) 32l
un Sector Circular



CLAVES

1. C 6. C

2. B 7. A

3. A 8. D

4. E 9. A

5. D 10. B



¿SABÍAS QUÉ... TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS AGUDOS
CURVAS
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Se llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus ángulos es
Nuestros conocimientos de las curvas geométricas provienen de la recto (90º), además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama
matemática egipcia Hipacia (370–415 d.C.), quien desarrolló los estudios de hipotenusa y los dos lados restantes catetos.
Apolonio (262–190 a.C.). Hipacia obtuvo curvas, como la circunferencia, la En la figura mostrada:
elipse, la parábola y la hipérbola, a partir de secciones de un cono realizadas
a distintos ángulos. Este procedimiento se llama de las secciones cónicas.

Otra forma de generar curvas geométricas es trazar el recorrido de un
punto que se mueve en ciertas condiciones. Por ejemplo, al trazar la
trayectoria de un punto móvil que está siempre a igual distancia de otro
punto fijo, puede formarse una circunferencia.

c : hipotenusa
a ∧ b : catetos
θ ∧ α : son ángulos agudos

Además en el triángulo rectángulo se cumple:
• Los ángulos agudos suman 90º

. α + θ = 90º .

• Teorema de Pitágoras

. a2 + b2 = c2 .

• La hipotenusa siempre es mayor que los catetos

. c>a∧b .



RAZÓN TRIGONOMÉTRICA Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo
La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo agudo θ en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.
se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las
longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del Resolución
ángulo agudo.
Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:
(8)2 + (15)2 = x2
⇒ 289 = x2
∴ x = 17

Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del
triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto
adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de θ del modo Luego
siguiente:
8 15
senθ = ctgθ =
17 8
cateto opuesto al angulo θ b
senθ = =
hipotenusa c 15 17
cos θ = sec θ =
17 15
cateto adyacente al ángulo θ a
cos θ = =
hipotenusa c 8 17
tgθ = csc θ =
15 8
cateto opuesto al ángulo θ b
tgθ = =
cateto adyacente al ángulo θ a
Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y
53º
catetoadyacente al á ngulo θ a
ctgθ = = Las razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los
cateto opuesto al ángulo θ b
siguientes triángulos rectángulos.
hipotenusa c
sec θ = =
cateto adyacene al ángulo θ a

hipotenusa c
csc θ = =
cateto opuesto al án gulo θ b

Ejemplo:

31
32


De los triángulos anteriores se obtiene: BC
Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que: senθ =
AB
Ángulo
30º 37º 45º 53º 60º B 'C '
R.T. Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que: senθ =
AB '
1 3 2 4 3
sen Luego:
2 5 2 5 2
BC B 'C '
3 4 2 3 1 =
cos AB AB '
2 5 2 5 2
3 3 4 Así encontramos el mismo valor para senθ sin importar cual sea el
tg 1 3
triángulo rectángulo que utilicemos para calcularlo, una idea similar podría
3 4 3
servir para las otras razones trigonométricas.
4 3 3
ctg 3 1
3 4 3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
2 3 5 5 Siendo θ un ángulo agudo se cumple:
sec 2 2
3 4 3
5 5 2 3
csc 2 2 1
3 4 3 csc θ = = senθ . csc θ = 1
senθ

OBSERVACIÓN:
1
LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN secθ = = cos θ . secθ = 1
ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE cos θ
LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

1
ctgθ = =tgθ.ctgθ = 1
Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura. tgθ

Ejemplo:

3 4 1
Si senθ = ⇒ csc θ = cos θ = ⇒ sec θ = 5
4 3 5

5 3 3 2
ctgθ = ⇒ tgθ = csc θ = ⇒ senθ =
3 5 2 3

Trigonometría 33 Trigonometría


Se llaman co–razones trigonométricas una de la otra
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Ejemplos:
34 sen40º = cos50º sec20º = csc70º 35
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su sima es un ángulo tg80º = ctg10º ctg3º = tg87º
recto. cos62º = sen28º csc24º = sec66º

Ejercicio:
si: sen(40º + θ) = cos(10º + θ); 12º < θ < 24º, halle θ

Resolución
Por lo anterior se tiene:
(40º + θ) + (10º + θ) = 90º
2θ = 40º
∴ θ = 20º
En la figura se muestra:
θ y α: Son ángulos complementarios (θ + α = 90º)
OBSERVACIÓN:
RECORDEMOS QUE EN LOS VÉRTICES DE LOS TRIÁNGULOS SIEMPRE SE
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como θ y al ángulo opuesto al COLOCAN LETRAS MAYÚSCULAS Y A LOS LADOS QUE SE OPONEN SE
COLOCAN SUS RESPECTIVAS LETRAS MINÚSCULAS POR DECIR:SI EN UNO
cateto a como α en consecuencia: DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO COLOCAMOS LA LETRA “A”, EN SU
LADO OPUESTO COLOCAREMOS SU MINÚSCULA “A”.

b a
senθ = = cos α ; cosθ = = senα
c c

b a
tgθ = = ctgα ; ctgθ = = tgα
a b

c c
secθ = = csc α ; cscθ = = secα
a b

Debido a estas relaciones las razones:
• seno y coseno
• tangente y cotangente
• secante y cosecante

36


PROBLEMAS PARA LA CLASE
Rpta.
1. Hallar las 6 Razones 5. Si cos 10. Dado: 13. Calcular “E”. Sabiendo que:
Trigonométricas del ángulo “A” 1 E = sen230 + tg260 + tg445º
(a + b + 20 ) = 37
de un triángulo rectángulo ABC, sec ( 6a + b − 60 )
recto en “B”. Sabiendo que: a = . Rpta.
6; c = 8 Hallar el valor de Sen (a + 14º)

Rpta. 14. Hallar “x”, siendo:
Rpta.
ctg4x60º = sec445º . tg37º

Rpta.
2. Hallar las 6 Razones 6. Siendo: Hallar: 4cosθ
Trigonométricas del ángulo “C” ctg(α + 10º) = tg(α + 40º).
de un triángulo rectángulo ABC, Hallar “α” 15. Calcular “x”.
recto en “B”. Sabiendo que: a = Rpta. 1
5; c = 13 Rpta. Si: sen(2x–70º) = .
2
(“x” es agudo)
Rpta. 11. Si senθ = 0,333...
Hallar “M”, Rpta.
7. Si sen(2α + 10) = cos (α + 50º).
M = sec θ + tgθ
Hallar tg(3α)
3. Si se cumple que:
tg(2x + 5) . ctg 21 = 1. Rpta. Rpta.
Hallar el valor de “x”

Rpta. 8. Si sec(α + 40) = csc(α + 20º). 12. En la figura, calcular tgθ
Hallar sen(35º + α)
“La enseñanza se debiera
Rpta. impartir de modo que lo que
4. Si ofrece se percibiera como
sen(15x – 31) . csc(3x – 25º) = 1. un regalo valioso y no como
Hallar el valor de “x” 1 un duro deber”
9. Si senθ = .
3 ALBERT EINSTEIN
Rpta. Hallar ctgθ



Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
9. Hallar “x”. 10. Calcular “x” (agudo)
38 39 40
1. Siendo el triángulo rectángulo 5. Si: sec(x + 10º) = csc40º. x 1 3
Siendo: csc 45º = Si cos(2x – 50) =
ABC recto en “B”, además: a = 1; Hallar tg(5º + x) csc 30 º 2
c = 4.
Hallar “ 17 . cos A ” A) –1 B) –2 C) 1 A) 30º B) 60º C) 40º
A) 5 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4 D) 2 E) 3 D) 70º E) 28º
A) 1 B) 3 C) 4
D) 5 E) 7
1
6. Si senθ= .
5 CLAVES
2. Si 4senθ = 3. Hallar 6 . ctgθ
Hallar “cscθ”

A) 1 B) 2 C) 3
1. C 6. E
A) 1/4 B) 4/3 C) 1/2 D) 6 E) 12
D) 2/3 E) 3/5
2. B 7. C
60
7. Si senθ = . 3. A 8. E
3. Si tg(xº + 20º) x ctg50º = 1. 61
Hallar “x” Calcular: E = secθ + tgθ
4. C 9. B

A) 30 B) 40 C) 50 A) 9 B) 10 C) 11 5. B 10. C
D) 25 E) 37 D) 12 E) 13

1 8. Calcular:
4. Si cos42º = .
sec( x + 15 ) E = sen245º . tg45º . tg 37º
Hallar ctg2(x + 3)
A) 1 B) 4/3 C) 3/4
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5/2 E) 3/8
D) 4 E) 5



“Nuestros escolares reciben una sólida formación
académica”



PROFUNDIZANDO CONOCIMIENTOS
EJEMPLO: CUANDO: M = 4 Y N = 2 EJEMPLO: CUANDO: M = 7 Y N = 3
ESTUDIO DEL TRIÁNGULO PITAGÓRICO 41

Todo triángulo pitagórico tiene sus lados
expresados por números enteros positivos.
Dichos lados tiene la siguiente forma:

Siendo: “m” y “n” números enteros positivos.

Además . m > n .

CASO PARTICULAR:
CUANDO SE TIENE DOS NÚMEROS ENTEROS (M Y N), PERO CONSECUTIVOS,
ENTONCES SE CUMPLIRÁ:
OBSERVACIÓN:
SI ELEGIMOS VALORES DE “M” Y “N” (NÚMEROS PRIMOS ENTEROS ENTRE
SÍ) TAL QUE (M + N) RESULTE UN NÚMERO IMPAR, SE OBTIENEN k +1 k −1
m= Y n = ; SIENDO: K = # IMPAR.
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS TAMBIÉN
2 2
SON NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ.

LUEGO:
EJEMPLO: CUANDO: M = 5 Y N = 2 EJEMPLO: CUANDO: M = 8 Y N = 3

EJEMPLO: CUANDO: K = 5 EJEMPLO: CUANDO: K = 11

OBSERVACIÓN:
CUANDO LOS VALORES DE “M” Y “N” (NO SON PRIMOS ENTRE SÍ) O CUYA
SUMA DE M Y N SEA UN NÚMERO PAR SE OBTIENE TRIÁNGULOS
PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS ESTÁ EXPRESADA POR
NÚMEROS QUE TIENEN UN DIVISOR COMÚN.



2
L 
L2 = BH2 +  
2 
L2 L2 3 L2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES O L2 = BH2 + ⇒ L2 – = BH2 ⇒ = BH2
4 4 4
NOTABLES
42 3 L2 3 L2 3 L
= BH ⇒ ⇒ ∴. = BH .
Razones Trigonométricas del Ángulo de 45º 4 4 2

Sean los catetos del triángulo rectángulo ABC: Luego calculamos las razones trigonométricas de 30º y 60º en el BHC.
. AB = BC = L .
Por el teorema de Pitágoras:
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = L2 + L2 = 2 L2
AC = 2L2 = 2 L2
∴ . AC = 2L .

Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º
L 1 2 2 2 2
sen 45º = = = ⇒ csc 45º = = = 2
L 2 2 2 2 2
L 1 2 2 2 2
cos 45º = = = ⇒ sec 45º = = = 2
L 2 2 2 2 2
L 1 1
tg 45º = = =1 ⇒ ctg 45º = =1
L 1 1

Razones Trigonométricas del Ángulo de 30º y 60º

Para hallar las razones trigonométricas de
Razones Trigonométricas del Ángulo de 37º y 53º
30º y 60º, construimos un triángulo
equilátero, veamos:

En el triángulo rectángulo BHC; calculamos
BH, por el teorema de Pitágoras
BC2 = BH2 + HC2


43 44


7 24
tg 16º =. . tg 74º =
24 7
24 7
ctg 16º =. . ctg 74º =
7 24
25 25
sec 16º =. . sec 74º =
24 7
3 4 25 25
sen 37º =. . sen 53º = csc 16º =. . csc 74º =
5 5 7 24
4 3 Razones Trigonométricas de 15 y 75º
cos 37º =. . cos 53º =
5 5 45 46
3 4 Para hallar las razones
tg 37º =. . tg 53º = trigonométricas de los ángulos de 15º
4 3
y 75º tomamos como referencia el
4 3
ctg 37º =. . ctg 53º = triángulo rectángulo notable de 30º y
3 4
60º, luego prolongamos (como se
5 5
sec 37º =. . sec 53º = muestra en la figura), hasta obtener
4 3 un isósceles EBC, siendo: EB = BC = 2.
5 5
csc 37º =. . csc 53º =
3 4

Razones Trigonométricas del Ángulo de 16º y 74º En el triángulo rectángulo EAC: Calculamos el valor de “x” por medio del
teorema de Pitágoras:

. EC2 = EA2 + AC2 .

(
x2 = 2+ 3 ) 2
+ (1 ) 2
2
x 2 = 4 + 4 3 + 3 +1
x2 =8+4 3
x = 8 +4 3
7 24
sen 16º =. . sen 74º = Aplicamos radicales dobles
25 25
24 7 ∴. x = 6+ 2 .
cos 16º =. . cos 74º =
25 25
Luego, calculamos las razones trigonométricas de 15º y 75º



Para hallar las razones trigonométricas
de los ángulos de 22º30’ y 67º 30’
tomamos como referencia el triángulo
rectángulo notable de 45º, luego
procedemos de igual manera que el caso
anterior.

En el triángulo rectángulo EBA:
Calculamos el valor de “x” por medio del
teorema de Pitágoras

EA2 = EB2 + BA2
x2 = ( 2 +1 )
2
+ (1)2
x2 = 2+2 2 +1+1=4+2 (
2 =2 2+ 2 )
∴ x = 2( + 2 ) = 2
2 2+ 2

Luego, calculamos las razones trigonométricas
1 2− 2 2+ 2
( )
sen 22º30’ = =. . sen 67º30’= 47
2 2+ 2 2 2
2 +1 2+ 2 2− 2
2( 2 + 2 )
cos 22º30’ = =. . cos 67º30’=
Razones Trigonométricas de 22º30’ y 67º30’ 2 2
1
tg 22º30’ = = . 2 −1 . tg 67º30’= 2 + 1
2 +1
2 +1
ctg 22º30’ = = . 2 +1 . ctg 67º30’= 2 −1
1

sec 22º30’ =
2
2+ 2
=. 2 ( )
2− 2 . sec 67º30’=

2 ( 2+ 2 )
csc 22º30’ = . 2 ( 2+ 2 . ) csc 67º30’=

2 ( 2− 2 )


2. Haciendo uso del triángulo notable 16º y 74º. Calcular “tg 8”
En el triángulo rectángulo BCP
OBSERVACIÓN:
HACIENDO USO DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, TAMBIÉN PODEMOS
CALCULAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UNO DE BC 7
SUS DOS ÁNGULOS AGUDOS, VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:
tg 8º = =
PC 49

Ejemplos: 1
∴ . tg 8º = .
1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”), donde a = 8 y b = 15. 7
A
Calcular: “tg ”
2

Resolución
En el triangulo rectángulo BCA: Calculamos AB por medio del teorema de
Pitágoras:

AB2 = BC2 + AC2 ⇒ AB2 = 82 + 152 = 64 + 225
AB2 = 289 ⇒ AB = 289 ⇒ ∴ . AB = 17 .
A CASOS DE RACIONALIZACIÓN QUE DEBE TENERSE EN CUENTA
Luego en el triángulo rectángulo DCB: Calculamos: “tg = ” 49 50
2
48 1er Caso: Denominador Monomio
 A  BC 8 1 Para racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho denominador
. tg   = = = . un monomio, se multiplican los dos términos de la fracción por el radical del
2 DC 32 4
mismo índice que el del denominador, y que multiplicador por el radical que
se desea eliminar y de como producto una cantidad racional.

Ejemplos:
4 4 3 4 3 4 3 4 3
a. = = = =
3 3. 3 3.3 9 3

3 3 2 3 2 3 2 3 2
b. = = = =
2 2 . 2 2.2 4 2



c.
5
=
5 . 3
=
5.3
=
15
=
15
.
a
=
an m ( ) ;
b
=
b( p  q )
.
3 3 . 3 3.3 9 3 p ± q p −q
n± m n2 −m

a a b Esta fórmula sólo se cumple, cuando el
∴ . = .
b b denominador es raíz cuadrada.

2do Caso: Denominador Binomio
Para racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho denominador
(
un binomio de la forma: a ± b se multiplican los dos términos de la )
fracción por la expresión conjugada a  ( b ) del denominador y luego se
simplifican los resultados.

Ejemplos:
5 52− 3 (
52− 3 ) ( )
a.
2+ 3
=
(
2+ 3 2− 3
=
22 − 3
2
)( ) ( )
5
=
52− 3 ( = 52− 3
) ( ) ¡¡¡UNA EDUCACIÓN AL MAS ALTO NIVEL!!!
2+ 3 ( 4 − 3)
2 (
2 5+ 2 2 5+ 2 ) ( )
b.
5− 2
=
( 5− 2 5+ 2
=
)(
2
5 − 2
2
) ( ) PROBLEMAS PARA LA CASA
51

2
=
2 5+ 2 (
=
2 5+ 2 ) ( ) 1. Reducir: 4. Hallar el valor equivalente de:
5− 2 ( 5 − 2) 3
1 1 6 + 12
Q = + + 3 E =
3− 2 ( 3− 2 )( 3− 2 ) ( 3 − 2) 2 2
3 −2 3 . 2 + 2
2
2+ 3 5 +2 3− 3
c.
3+ 2
=
( 3+ 2 )( 3− 2
=
) (3 − 2 2 2
) =
( 3 − 2)
A) 6 B) 5 C) 2 A) B) 6− 2

3 − 2 3 −2 6 +2 5 −2 6 D) E) 0,5 ( 6− 2 )
= = = 5 −2 6
3+ 2 1 1 − 5 − 6 C) 3− 2 D) 3 +1
E) 3+ 2

2. Racionalizar:



5. Dar racionalizar lo siguiente cuyo denominador es:
8. Hallar el equivalente, con
10 7
denominador racionalizado, de:
2 7 −3 2
4
8 1 A) 29 B) 39 C) 49
−4
2 8 D) 59 E) 69
1
A) 3 −2 14 B) 14 −2 14
A) 4
2 B) C) 2
3
2 2
C) D) 2 14
(
14 3 + 14 ) 0,54 2
11. Señalar el factor racionalizante
E) 14 + 2 14 D) E) 2 2 de:
0,5 2 26
32 6
2
A) B) C)
2 2 2
3. Luego de racionalizar:
3
4 3
2 1
D) E)
6. Luego de racionalizar y reducir: 2 2
3
4 −3 2

1
2 3. 3
9 5
75 − 45 A) 3
4 +3 2 B) 3
4 2 − 3 22
9. Calcular:
C) D) 3
4 +2+3 2
Dar el denominador 2 2 +2+ 4
3 3
El denominador resulta: 6
E = −3 4 E) 3
4 −2 + 3 2
A) 2 B) 3 C) 6
3
9 .36
A) 5 B) 6 C) 30
D) 9 E) 18
D) 3 E) 1
A) 1 B) 2 C) 0
D) –1 E) –2
7. Racionalizar: 10. Racionalizando:
52

2 3+ 3 12. Si: 13. Proporcionar el equivalente de:
P = − 1 53 54
3 +1 3 6 +3
2
1 2 −1 2 +1 1− 2 + 3
2. −5 a = ; b =
8 2 +1 2 −1 1+ 2 + 3
A) B) 2 3 C) 2
−2 3
D) 0 E) –2 Dar el valor de: E = a3b – ab3
Resulta una cantidad negativa A) 3− 2 B) 3+ 2
C) 2 −1 D) 2 +1



A) − 24 2 B) 2 3 E) 3 −1
C) − 4 2 D) −6 2
E) −24 3

CLAVES

1. B 8. C

2. C 9. C

3. E 10. C

4. D 11. C

5. B 12. A

6. B 13. A

7. E



¿SABÍAS QUÉ... TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

PITÁGORAS (580 A.C. – 500 A.C.) Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y
navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión
“Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la
medida de cada ángulo del triángulo.
En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo
rectángulo si se nos da:
I. Las longitudes de dos lados.
II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo.

1. Conociendo las longitudes de los lados:
Ejemplo:
Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2
respectivamente.

Resolución
• Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras:
(1)2 + (2)2 = x2 ⇒ x2 = 5
∴x= 5

Las ideas del matemático y filósofo griego Pitágoras contribuyeron al
desarrollo de las matemáticas modernas y de la filosofía occidental. Su
objetivo era explicar todos los fenómenos naturales en términos
matemáticos.

Pitágoras es conocido especialmente por su fórmula acerca de las
proporciones de los lados de un triángulo rectángulo. Sin embargo, otros
muchos conceptos y anotaciones (como las progresiones aritméticas y
• Para determinar la medida del ángulo θ, calculemos una razón
geométricas y los números cuadrados) fundamentales para las modernas
trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2.
matemáticas están basados en las ideas pitagóricas.
1
Por decir: tgθ = ⇒ θ = 26º30’ (aproximadamente)
2
Tanto él como sus seguidores descubrieron las matemáticas de los
como: θ + α = 90º ⇒ α = 63º30’
armónicos que forman la base de la música occidental.
Con la cual el triángulo rectángulo queda resuelto.


MATEMÁTICA 3º GRADO DE SECUNDARIA

MATEMÁTICA 3º GRADO DE SECUNDARIA

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie MATEMÁTICA 3º GRADO DE SECUNDARIA

Ähnlich wie MATEMÁTICA 3º GRADO DE SECUNDARIA (20)

Mehr von juan carlos machuca fuerte

Mehr von juan carlos machuca fuerte (15)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

MATEMÁTICA 3º GRADO DE SECUNDARIA