Cálculo de límites laterales y funciones indeterminadas
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Cálculo de límites laterales y funciones indeterminadas
- 1. 1. Para resolver un límite con ayuda de la gráfica de la función hay que fijarse hacia donde tienden las imágenes de la función (los valores de y) cuando los valores de x se aproximan hacia el punto donde quiere calcularse el límite. a) 2 3 )x(fLím x −= −∞→ b) −∞= ∞→ )x(fLím x c) +∞= − −→ )x(fLím 2x d) −∞= + −→ )x(fLím 2x e) 1)x(fLím 0x = − → f) 2)x(fLím 0x = + → g) 3)x(fLím 2x = − → h) 3)x(fLím 2x = + → La condición para que una función tenga límite en un punto es que en ese punto existan sus límites laterales y además coincidan. i) ∃/= −→ )x(fLím 2x Porque )x(fLím)x(fLím 2x2x +− −→−→ ≠ j) 3)x(fLím 2x = → Porque 3)x(fLím)x(fLím 2x2x == +− →→ k) ∃/= → )x(fLím 0x Porque )x(fLím)x(fLím 0x0x +− −→−→ ≠ 2. Calcula el límite de las siguientes funciones: a) ( ) ( ) ( ) ? 1xx 2x31x2 lím 22 23 x = ∞ ∞ = + ++ ∞→ La indeterminación se resuelve ordenando los polinomios y simplificando todos los términos por x5 (monomio de mayor grado del denominador) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ++ ++⋅+++ = + ++ ∞→∞→ 1x2xx 4x12x91x6x12x8 lím 1xx 2x31x2 lím 24 223 x22 23 x
- 2. = ++ +++++ = ++ +++++ = ∞→÷∞→ 42 5432 xx 35 2345 x x 1 x 2 1 x 4 x 36 x 129 x 230 x 204 72 lím xx2x 4x36x129x230x204x72 lím 5 72 001 0000072 12 1 436129230204 72 42 5432 = ++ +++++ = ∞ + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ + = b) ? 1x x 1x x lím 2 32 x =∞−∞= + − +∞→ Se restan las fracciones algebraicas y se transforma en ∞ ∞ . ( ) ( ) ( ) ( ) ? 1xxx xx lím 1xxx xxxx lím 1x1x 1xx1xx lím 1x x 1x x lím 23 32 x23 3424 x2 322 x2 32 x = ∞ ∞ = +++ − = +++ −−+ = +⋅+ +−+ = + − + ∞→∞→∞→∞→ Se dividen todos los términos por x3 (monomio de mayor grado del denominador). 1 0001 10 111 1 1 1 x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 lím 1xxx xx lím 3232 x x 23 32 x 3 −= +++ − = ∞ + ∞ + ∞ + − ∞= +++ − = +++ − ∞→ ÷ ∞→ c) ? xx 1x2 lím 3 2x = ∞ ∞ = + − ∞→ Se dividen todos los términos por x (monomio de mayor grado del denominador). <= xxx 3 23 2 2 01 02 1 1 1 2 x 1 1 x 1 2 lím x x 1 x 1 2 lím x x 1 x 1 2 lím xx 1x2 lím 3 33 x 3 3 2x3 2x x 3 2x = + − = ∞ + ∞ − = + − = + − = + − = + − ∞→∞→∞→ ÷ ∞→ d) ( ) ( )( ) ?5x5²xlím5x5²xlím xx =∞−∞=−−−=+−− ∞→∞→ Se multiplica y divide por el conjugado de la expresión irracional, buscando en el numerador la expresión notable suma × diferencia. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = −+− −− − = −+− −+− −−− =−−− ∞→∞→∞→ 5x5x 5x5x lím 5x5x 5x5x5x5x lím5x5²xlím 2 2 2 2 x2 22 xx ( ) ( ) = −+ − − = −+ − − = −+− − = −+− +−−− = ∞→∞→ ∞ ∞ ÷∞→∞→ x 5 1 x 5x x 30 10 lím x 5 1 x 5x x 30 10 lím 5x5x 30x10 lím 5x5x 25x10x5x lím 2 2x2xx2x2 22 x 5 2 10 0101 010 5 1 5 1 30 10 x 5 1 x 5 1 x 30 10 lím 22 x == −+− − = ∞ −+ ∞ − ∞ − = −+− − = ∞→ e) ( ) ?xxxlímx1xxlímx1x·xlím 224 x 222 x 2 x =∞−∞= −+= −+= −+ ∞→∞→∞→ Se multiplica y divide por el conjugado de la expresión irracional, buscando en el numerador la expresión notable suma × diferencia.
- 3. ( ) = ++ − + = ++ ++⋅ −+ = −+ ∞→∞→∞→ 224 22 2 24 x224 224224 x 224 x xxx xxx lím xxx xxxxxx límxxxlím = + + = + + = ++ = ++ −+ = ∞→∞→ ∞ ∞ ÷∞→∞→ 1 x xx 1 lím 1 x xx 1 lím xxx x lím xxx xxx lím 4 24x 2 24xx224 2 x224 424 x 2 2 1 101 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 lím 22 x = ++ = + ∞ + = ++ = ∞→ f) ?xx2x3xlím 22 x =∞−∞= −−−− ∞→ Se multiplica y divide por el conjugado de la expresión irracional, buscando en el numerador la expresión notable suma × diferencia. = −+−− −+−−⋅ −−−− = −−−− ∞→∞→ xx2x3x xx2x3xxx2x3x límxx2x3xlím 22 2222 x 22 x ( ) = −+−− −−−− = −+−− −− −− = ∞→∞→ xx2x3x xx2x3x lím xx2x3x xx2x3x lím 22 22 x22 2 2 2 2 x = − + −− −− = − + −− −− = −+−− −− = ∞→∞→ ∞ ∞ ÷∞→ 2 2 2 2x22xx22x x xx x 2x3x x 2 2 lím x xx x 2x3x x 2 2 lím xx2x3x 2x2 lím 1 2 2 01001 02 1 1 23 1 2 2 x 1 1 x 2 x 3 1 x 2 2 lím 22 x −= − = −+−− −− = ∞ −+ ∞ − ∞ − ∞ −− = −+−− −− = ∞→ g) ?1 1x 1x lím 2 x 3 3 x == + − ∞ ∞→ La indeterminación se resuelve mediante el número e. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )1xfxgLím xx xxxg xx oxx o o o e xgLím 1xfLím xfLím −⋅ → → → → = ±∞= = = ( ) ==== + − + −−− ⋅ + +⋅−− ⋅ − + − ⋅ ∞→ ∞→∞→∞→ 1x 1x1x xlím 1x 1x11x xlím1 1x 1x xlímx 3 3 x 3 33 2 x3 33 2 x3 3 2 x 2 eee 1x 1x lím 1eeeeee 001 01 1 2 x 1 1 x 2 lím x 1x x2 lím 1x 2 xlím 33 x 3 3 2 x3 2 x ======= +∞ + ∞ − + − ∞ ∞ ÷ + − + − ∞→ ∞→∞→
- 4. h) ?1 1x 1xx lím x 1x 2 2 x 2 == + ++ ∞ + ∞→ Indeterminación del número e. ( ) ==== + ++ + ⋅ + + +⋅−++ ⋅ + − + ++ ⋅ ++ ∞→ ∞→∞→∞→ 1x x x 1x lím 1x 1x11xx x 1x lím1 1x 1xx x 1x lím x 1x 2 2 x 2 2 x2 222 x2 22 x 2 eee 1x 1xx lím eee 1 1lím x === ∞→ i) ?1 5x x2x lím 1x2 2 2 x == + − ∞− − −∞→ Indeterminación del número e. ( ) ( ) ( ) ( ) ==== + − + −− ⋅− + +⋅−− ⋅− − + − ⋅−− −∞→ −∞→−∞→−∞→ 5x 6x2 1x2lím 5x 5x1x2x 1x2lím1 5x x2x 1x2lím1x2 2 2 x 2x 2 22 x2 2 x eee 5x x2x lím ( ) ( ) 401 0045 1 610 4 x 5 1 x 6 x 10 4 lím x 5x 6x10x4 lím eeeee 2 2 2 2 x 2 2 2 x −+ +−− ∞− + ∞− + ∞− −− + +−− ÷ + +−− ==== −∞→ −∞→ 3. Calcula el límite de las siguientes funciones cuando x tiende a menos infinito: a) ( ) ( ) +∞=−∞⋅−=∞−−=−+− −∞→ 331x2x3lím 33 x Los límites de polinomios cuando la variable tiende a infinito solo dependen del monomio de mayor grado b) ?1 x2 1x2 lím 2x3 x == + ∞− − −∞→ Se resuelve con el número e. ( ) ( ) ====== + ∞− −− ÷ − ⋅− − + ⋅−− −∞→ −∞→−∞→−∞→−∞→ 2 2 3 2 x 2 3 lím x x2 2x3 lím x2 1 2x3lím1 x2 1x2 2x3lím2x3 x eeeee x2 1x2 lím xxxx 2 3 2 03 ee == + c) ?2xx2xlím 22 x =∞−∞=−−+ −∞→ Se multiplica y divide por el conjugado de la expresión irracional, buscando en el numerador la expresión notable suma × diferencia. = −++ −++⋅ −−+ =−−+ −∞→−∞→ 2xx2x 2xx2x2xx2x lím2xx2xlím 22 2222 x 22 x ( ) ∞ ∞− ÷−∞→−∞→−∞→ = −++ − = −++ −−+ = −++ −− + = x22x22 22 x22 2 2 2 2 x 2xx2x 2x2 lím 2xx2x 2xx2x lím 2xx2x 2xx2x lím = −++ − = − + + − = − + + − = −∞→−∞→−∞→ 2 x 2 2 2 2x22x x 2 1 x 2 1 x 2 2 lím x 2x x x2x x 2 2 lím x 2x x x2x x 2 2 lím
- 5. ( ) 1 2 2 0101 02 2 1 2 1 2 2 2 == −+− + = ∞− −+ ∞− + ∞− − = 4. Calcula el límite cuando x→±∞ de las siguientes funciones: a) ? 3x x3 1x x Lím 2 2 3 x =∞−∞= − − ++∞→ Se restan las fracciones algebraicas y se transforma en ∞ ∞ . ( ) ( ) ( ) ( ) ∞ ∞ ÷+∞→+∞→+∞→ = −+− −−− = −⋅+ +⋅−−⋅ = − − + 3 x 23 234 x2 223 x 2 2 3 x 3xx3x x3x3x2 Lím 3x1x 1xx33xx Lím 3x x3 1x x Lím −∞= −+− −−∞− = ∞ − ∞ + ∞ − ∞ −−∞⋅− = −+− −−− = +∞→ 0001 03 313 1 3 32 x 3 x 1 x 3 1 x 3 3x2 Lím 3232 x ( ) ( ) ( ) ( ) ∞ ∞ ÷−∞→−∞→−∞→ = −+− −−− = −⋅+ +⋅−−⋅ = − − + 3 x 23 234 x2 223 x 2 2 3 x 3xx3x x3x3x2 Lím 3x1x 1xx33xx Lím 3x x3 1x x Lím ( ) ( ) ( ) +∞= +++ +−∞ = ∞− − ∞− + ∞− − ∞− −−∞−⋅− = −+− −−− = −∞→ 0001 03 313 1 3 32 x 3 x 1 x 3 1 x 3 3x2 Lím 3232 x b) ∞= = = ∞ ∞→∞→ 4 5 4 5 Lím 4 5 Lím x xx x x 0 4 5 4 5 Lím 4 5 Lím x xx x x = = = −∞ −∞→−∞→ c) = − + = − + == − + = − + ∞→±∞→ ∞ ∞ ÷±∞→±∞→ 4 4 x 2 2 xx 2 2 x2 2 x x x2 1 x x2 1 Lím x x2 1 x x2 1 Lím x2x x2x Lím x2x x2x Lím 2 ( ) ( ) 1 01 01 2 1 2 1 x 2 1 x 2 1 Lím 3 3 3 3 x = − + = ∞± − ∞± + = − + = ±∞→ 5. Calcula m con la condición: 6 4²x )3x2)(mx1( lím x = − +− −∞→ Solución. Se calcula el límite en función del parámetro (m), y se iguala con el valor del límite. ( ) ( ) = − + − +− = − +−+− = − +− −∞→ ∞ ∞ ÷−∞→−∞→ 2 2 xx 2 2 xx x 4 1 x 3 x m32 m2 lím 4x 3xm32mx2 lím 4²x )3x2)(mx1( lím 2
- 6. ( ) m2 01 00m2 4 1 3m32 m2 2 2 −= − ++− = ∞ − ∞ + ∞ − +− = 3 2 6 m:6m2 −= − ==− 6. Dada x4²x 8x6²x2 )x(f − −− = , calcula su límite: a) Cuando x tiende a 1 b) Cuando x tiende a 0 c) Cuando x tiende a 4 Solución. a) 4 3 12 14²1 816²12 x4²x 8x6²x2 Lím 1x = − − = ⋅− −⋅−⋅ = − −− → b) −∞= − = ⋅− −⋅−⋅ = − −− → 0 8 04²0 806²02 x4²x 8x6²x2 Lím 0x . Si al sustituir x por el valor al que tiende queda la expresión 0 k , se estudian los límites laterales. Mi consejo para calcular los límites laterales es factorizar el denominador, y solo sustituir x por los valores laterales en la x del factor del denominador que se este anulando. • ( ) ( ) ∞− − = ⋅− − = ⋅− −⋅−⋅ = − −− +−− → − 0 8 04 8 040 806²02 x4x 8x6²x2 Lím 0x • ( ) ( ) ∞+ − = ⋅− − = ⋅− −⋅−⋅ = − −− −++ → + 0 8 04 8 040 806²02 x4x 8x6²x2 Lím 0x Conclusión: Como lo límites laterales son distintos, no existe límite cuando x tiende a cero c) ? 0 0 44²4 846²42 x4²x 8x6²x2 Lím 4x == ⋅− −⋅−⋅ = − −− → . La indeterminación se resuelve descomponiendo numerador y denominador factorialmente, y eliminando el factor común. La descomposición se puede hacer por el método de Ruffini, mediante el empleo de expresiones notables o en el caso de polinomios de segundo grado o bicuadradas por su método. Mi consejo es hacerlo por Ruffini, dividiendo siempre por el valor al que tiende la variable. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 4 10 x 2x2 Lím 4xx 4x2x2 Lím x4x 8x6x2 Lím 4x4x2 2 4x == + = −⋅ −⋅+ = − −− →→→ 7. Calcula el límite de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) 6x5x 4x Lim 2 2 2x +− − → b) 3x2x 1x Lim 2 2 1x −− − −→ c) 4x 2x3x Lím 2 3 2x − −− → d) x1 )x2(x Lím 2 1x + ++ −→ e) 8x4x2x 8x12x6x lím 23 23 2x +−− +++ −→ f) 2x4x 8x Lím 2 3 2x ++ + −→ Solución. a) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 4 3x 2x Lim 2x3x 2x2x Lim 6x5x 4x Lim 2x2x 0 0 Ruffini2 2 2x −= − = − + = −⋅− −⋅+ = +− − →→→
- 7. b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 4 2 3x 1x Lim 3x1x 1x1x Lim 3x2x 1x Lim 1x1x 0 0 Ruffini2 2 1x = − − = − − = −⋅+ −⋅+ = −− − −→−→−→ c) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 9 2x 1x2x Lim 2x2x 1x2x2x Lim 4x 2x3x Lím 2 2x 2 2x 0 0 Ruffini2 3 2x = + ++ = −⋅+ ++⋅− = − −− →→→ d) ( )( ) ( ) 3414xlím x1 4x1x Lím x1 4x5x Lím x1 )x2(x Lím 1x1x 0 0 Ruffini 2 1x 2 1x =+−=+= + ++ = + ++ = + ++ −→−→−→−→ e) ? 0 0 8x4x2x 8x12x6x Lím 23 23 2x == +−− +++ −→ . Se descomponen los polinomios por Rufini ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 16 0 4242 4242 4x4x 4x4x Lím 4x4x2x 4x4x2x Lím 8x4x2x 8x12x6x Lím 2 2 2 2 2x2 2 2x23 23 2x == +−−− +−+− = +− ++ = +−⋅+ ++⋅+ = +−− +++ −→−→−→ f) ( ) ( ) ( ) ∞== + +− = + +−⋅+ = ++ + −→−→−→ 0 12 2x 4x2x Lím 2x 4x2x2x Lím 2x4x 8x Lím 2 2x2 2 2x 0 0 Ruffini2 3 2x Al quedar la expresión 0 k , se estudian los límites laterales, para saber si existe límite. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfLímNoxfLímxfLím: 0 12 22 4222 2x 4x2x Lím 0 12 22 4222 2x 4x2x Lím 2x2x2x 22 2x 22 2x −→−→−→ ++ −→ −− −→ ∃⇒≠ +∞== +− +−−− = + +− −∞== +− +−−− = + +− +− + − 8. Dada 9x3 6mx²x )x(f − −+ = calcula m para que tenga límite finito cuando x tiende a 3. ¿Cuanto vale entonces el límite? Solución. Calculamos el límite: 0 m33 9x3 6mx²x Lím 3x + = − −+ → Para que el límite sea finito, el numerador debería dar cero, generándose una indeterminación que al resolverse deberá dar finito. En caso contrario, si el denominador quedará distinto de cero, el limite sería infinito. 1m:0m33 −==+ ( ) ( ) ( ) 3 5 3 2x Lím 3x3 3x2x Lím 9x3 6x²x Lím 3x3x 0 0 Ruffini3x = + = −⋅ −⋅+ = − −− →→→
- 8. 9. Calcula los siguientes límites: Solución. a) ? 0 4 0 1 1x 3x 1x 1x lím 2 1x =∞−∞=−= − + − − + → La indeterminación se resuelve restando las fracciones algebraicas, se obtiene 0 k y se estudian los límites laterales. ( ) −∞= − = − −+− = − +−+ = − + − − + →→→ 0 2 1x 2xx lím 1x 3x1x lím 1x 3x 1x 1x lím 2 1x 2 1x 2 1x 1x 2xx límNo: 0 2 11 211 lím 0 2 11 211 lím 2 1x2 1x 2 1x − −+− ∃ −∞= − = − −+− +∞= − = − −+− → ++ → −− → + − b) ? 0 1 0 1 x1 1 1x 1 lím 321x =∞−∞=−= − − −→ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) = +++−− +⋅−++−⋅ = ++−−=+− +−=− = − − − →→ 1xx1x1x 1x11xx1 lím 1xx1x1x 1x1x1x x1 1 1x 1 lím 2 2 1x23 2 321x ( )( )( ) ( )( ) ∞== ++− ++ = +++−− −−− = →→ 0 5 1xx1x 2x2x lím 1xx1x1x 2x2x lím 22 2 1x2 2 1x ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) : 0 5 320 5 1111111 2121 1xx1x1x 2x2x lím 0 5 320 5 1111111 2121 1xx1x1x 2x2x lím 2 2 2 2 1x 2 2 2 2 1x +∞== ⋅⋅ = +++− +⋅+ = +++− ++ −∞== ⋅⋅ = +++− +⋅+ = +++− ++ +++ → −−− → + − No existe límite c) ? 0 1 0 1 x8 2 x2 1 lím 32x =∞−∞=−= − − −→ ( )( ) ( )( ) ∞== ++− ++ = ++− − − = − − − →→→ 0 10 4x2xx2 2x2x lím 4x2xx2 2 x2 1 lím x8 2 x2 1 lím 2 2 2x22x32x ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) : 0 10 120 10 422222 2222 4x2xx2 2x2x lím 0 10 120 10 422222 2222 4x2xx2 2x2x lím 2 2 2 2 2x 2 2 2 2 2x −∞== ⋅ = +⋅+− +⋅+ = ++− ++ +∞== ⋅ = +⋅+− +⋅+ = ++− ++ −−+ → ++− → + − No existe límite d) ? 0 6 0 4 3x4x 5x 3x 1x lím 23x =−= +− + − − + → Se restan las fracciones y se simplifica el factor común (x −3). ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = −⋅− +−−+ = −⋅− + − − + = +− + − − + →→→ 3x1x 5x1x1x lím 3x1x 5x 3x 1x lím 3x4x 5x 3x 1x lím 3x3x23x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 1x 2x lím 3x1x 3x2x lím 3x1x 6xx lím 3x3x 2 3x = − + = −⋅− −⋅+ = −⋅− −− = →→→ e) ? 0 0 0 5 1 05 1 x 5 1 x5 1 lím 0x == − += − + → Se ordena la expresión algebraica y se elimina el factor común.
- 9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 25 1 505 1 5x5 1 lím x5x5 x lím x 5x5 x5151 lím x 5 1 x5 1 lím 0x0x0x0x − = ⋅+ − = ⋅+ − = ⋅⋅+ − = ⋅+ +⋅−⋅ = − + →→→→ f) ( ) ∞−∞=−= +− − −− = + − −−→ 0 1 0 1 22 1 42 1 2x 1 4x 1 lím 222x . La indeterminación se resuelve restando las fracciones algebraicas, se obtiene 0 k y se estudian los límites laterales. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∞== −⋅+ − = −⋅+ −⋅− = + − −⋅+ = + − − −→−→−→−→ 0 5 2x2x x3 lím 2x2x 2x11 lím 2x 1 2x2x 1 lím 2x 1 4x 1 lím 2x2x2x22x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x2x x3 límNo: 0 5 40 5 2222 23 2x2x x3 lím 0 5 40 5 2222 23 2x2x x3 lím 2x 2x 2x −⋅+ − ∃ −∞== −⋅ = −−⋅+− −− = −⋅+ − ∞== −⋅ = −−⋅+− −− = −⋅+ − −→ −++ −→ +−− −→ + − g) ? 0 0 88 88 8x 8x lím 8x == − − = − − → . Se multiplica numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional ( )8x + , buscando la expresión notable suma por diferencia que nos permita eliminar raíces y obtener un factor común en numerador y denominador (x − 8), que al simplificarlo elimine la indeterminación. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − +⋅− = − +⋅− = +⋅− +⋅− = − − →→→→ 8x 8x8x lím 8x 8x8x lím 8x8x 8x8x lím 8x 8x lím 8x228x8x8x ( ) 2482888xlím 8x ==+=+= → h) ? 0 0 22 42 x2 4x lím 22 2x == − − = − − → . Se multiplica numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional ( )x2 + , buscando la expresión notable suma por diferencia que nos permita eliminar raíces y obtener el factor común (x − 2) en el denominar. En el numerador, el factor (x − 2) se obtiene factorizando el polinomio. Simplificarlo el factor común se elimina la indeterminación. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − +⋅+⋅− = +⋅− +⋅− = − − →→→ 222x 22 2x 2 2x x2 x22x2x lím x2x2 x22x lím x2 4x lím ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − +⋅+ = −− +⋅+⋅− = − +⋅+⋅− = →→→ 1 x22x lím 2x x22x2x lím x2 x22x2x lím 2x2x2x ( ) ( ) 28 1 2222 −= − +⋅+ = i) ( ) ( ) ? 0 0 31221 3151 3x22x 3x5x lím 1x == +−⋅−+− −−−+− = +−+ −−+ −→ . Se multiplica numerador y denominador por el conjugado de las dos expresiones irracionales buscando la expresión notable suma por diferencia que nos permita eliminar raíces y obtener el factor común (x − 2). Para calcular el conjugado es conveniente separar la parte irracional del resto mediante paréntesis, teniendo en cuenta que si la parte polinómica va como sustraendo (restando), los términos del polinomio cambiaran de signo, debido al signo negativo que precederá al paréntesis. ( ) ( ) = +−+ +−+ = +−+ −−+ −→−→ 3x22x 3x5x lím 3x22x 3x5x lím 1x1x
- 10. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )= +++⋅+++⋅+−+ +++⋅+++⋅+−+ = −→ 3x5x3x22x3x22x 3x22x3x5x3x5x lím 1x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = +++⋅++ +++⋅−−− = +++⋅ +−+ +++⋅ +−+ = −→−→ 3x5x1x2x 3x22x4x5x lím 3x5x3x22x 3x22x3x5x lím 2 2 1x22 22 1x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) −∞= − = +++⋅+ +++⋅+− = +++⋅+ +++⋅+⋅+− = −→−→ 0 6 3x5x1x 3x22x4x lím 3x5x1x 3x22x1x4x lím 1x21x Se estudian los límites laterales ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) +∞= − = ⋅ − = +−++−⋅+− +−++−⋅+−− = +++⋅+ +++⋅+− −−− −→ − 0 6 40 6 315111 3122141 3x5x1x 3x22x4x lím 1x ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) −∞= − = ⋅ − = +−++−⋅+− +−++−⋅+−− = +++⋅+ +++⋅+− +++ −→ + 0 6 40 6 315111 3122141 3x5x1x 3x22x4x lím 1x No existe límite en x = −1. j) ? 0 0 93 231 9x 2x1 lím 223x == − −− = − −− → . Se multiplica numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional ( )2x1 −+ , buscando la expresión notable suma por diferencia que nos permita eliminar raíces y obtener el factor común (x − 2) en el numerador. En el denominador, el factor (x − 2) se obtiene factorizando el polinomio. Simplificarlo el factor común se elimina la indeterminación. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= −+⋅−⋅+ −− = −+⋅−⋅+ −+⋅−− = − −− →→→ 2x13x3x 2x1 lím 2x13x3x 2x12x1 lím 9x 2x1 lím 22 3x3x23x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= −+⋅−⋅+ −− = −+⋅−⋅+ − = −+⋅−⋅+ −− = →→→ 2x13x3x 3x lím 2x13x3x x3 lím 2x13x3x 2x1 lím 3x3x3x ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 23133 1 2x13x 1 lím 3x − = −+⋅+ − = −+⋅+ − = → k) ? 0 0 101 101 1x1 1x1 lím 0x == −− −+ = −− −+ → . Se multiplica numerador y denominador por el conjugado de las dos expresiones irracionales buscando la expresión notable suma por diferencia que nos permita eliminar raíces y obtener el factor común x. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ++⋅ −− +−⋅ −+ = ++⋅+−⋅−− +−⋅++⋅−+ = −− −+ →→→ 1x11x1 1x11x1 lím 1x11x11x1 1x11x11x1 lím 1x1 1x1 lím 22 22 0x0x0x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 101 101 1x1 1x1 lím 1x1x 1x1x lím 1x11x1 1x11x1 lím 0x0x0x −= ++− +− = ++− +− = ++⋅− +−⋅ = ++⋅−− +−⋅−+ = →→→ l) ? 0 0 3522 222 35x2 22x lím 2x == −+⋅ −+ = −+ −+ → . Se multiplica numerador y denominador por el conjugado de las dos expresiones irracionales buscando la expresión notable suma por diferencia que nos permita eliminar raíces y obtener el factor común (x − 2). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ++⋅++⋅−+ ++⋅++⋅−+ = −+ −+ →→ 22x35x235x2 35x222x22x lím 35x2 22x lím 2x2x
- 11. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ++⋅− ++⋅− = ++⋅−+ ++⋅−+ = ++⋅ −+ ++⋅ −+ = →→→ 22x4x2 35x22x lím 22x95x2 35x242x lím 22x35x2 35x222x lím 2x2x22 22 2x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 8 6 22x2 35x2 lím 22x2x2 35x22x lím 2x2x == ++⋅ ++ = ++⋅− ++⋅− = →→ m) ? 0 0 11 11 1x 1x lím 321 2 2x 21x = = − − = − − ++ → ( ) ( ) 8 1 2 1 11 1 1x 1 lím 1x1x 1x lím 1x 1x lím 3212x 1x 2x 1x 2x 21x = = + = + = +⋅− − = − − ++ → + → + → n) ( ) ( ) ?1021x21lím 0 2 x 2x 0x ==⋅+=+ ∞+ → . Se resuelve mediante el número e. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )1xfxgLím1 xx xxxg xx oxx o o o e xgLím 1xfLím xfLím −⋅ → → → → ∞± = ±∞= = = ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4202 2x2Límx2 x 2x Lím1x21 x 2x Lím1 x 2x 0x eeeeex21lím 0x0x0x =====+ +⋅ + ⋅ + −+⋅ + + → →→→ ∞ ñ) ( ) ( ) ?1001xx1lím 0 1 2x12 0x ==++=++ ∞ → . Se resuelve mediante el número e. ( ) ( ) ( ) ( ) eeeeeexx1lím 01 x1Lím x xx1 Límx xx Lím1xx1 x 1 Límx12 0x 0x0x 2 0x 2 0x ======++ + ⋅+ ⋅ ⋅+ ⋅ + −++⋅ → →→→→ o) ?1 113 11 1x3 1x lím 11 1 1x 1 1x == −⋅ + = − + ∞−− → . Se resuelve mediante el número e. ( ) ( )( ) 12 2 1x3 2 Lím 1x31x 1x2 Lím 1x3 x22 1x 1 Lím1 1x3 1x 1x 1 Lím1x 1 1x eeeeee 1x3 1x lím 1x1x1x1x − − − − −⋅− −⋅− − − ⋅⋅ − − − + ⋅ −− → ====== − + →→→→ p) ?1 21 111 2x 1xx lím 11 1 21x 1 2 1x == + ++ = + ++ ∞ −− → . Se resuelve mediante el número e. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 3 2 2x 1x Lím 2x1x 1x1x Lím2x 1x 1x 1 Lím1 2x 1xx 1x 1 Lím1x 1 2 1x eeeee 2x 1xx lím 1x1x 2 1x 2 1x ===== + ++ + + +⋅− +⋅− + − ⋅ − − + ++ ⋅ −− → →→→→ q) ∞=∞= = − = − ∞ −− → 0 1 22 1 2 2x 1 22x 0 1 24 1 x4 1 lím
- 12. 10. Sean: 5x5 3x3 )x(f + − = 2x3 x5 )x(g + = 1x4 2x )x(h + − = calcular: a) ( )[ ])x(h)x(g)x(fLím x −⋅ ∞→ b) ( ))x(h)x(glím 4 1x ⋅ −→ c) ( ))x(h)x(glím 0x ⋅ → d) )x(f 3 5 Lím x ∞→ Solución. a) ( )[ ] + − − + ⋅ + − =−⋅ ∞→∞→ 1x4 2x 2x3 x5 5x5 3x3 Lím)x(h)x(g)x(fLím xx Se aplican las propiedades de los límites: = + − − + ⋅ + − = + − − + ⋅ + − ∞→∞→∞→∞→ 1x4 2x Lím 2x3 x5 Lím 5x5 3x3 Lím 1x4 2x 2x3 x5 5x5 3x3 Lím xxxx 20 17 4 1 3 5 5 3 4 1 04 01 14 21 x 14 x 21 Lím 1x4 2x Lím 3 5 03 5 23 5 x 23 5 Lím 2x3 x5 Lím 5 3 05 03 55 33 x 55 x 33 Lím 5x5 3x3 Lím xxx xxx xxx = −⋅= = + − = ∞ + ∞ − = + − = + − = + = ∞ + = + = + = + − = ∞ + ∞ − = + − = + − = ∞→ ∞ ∞ ÷∞→ ∞→ ∞ ∞ ÷∞→ ∞→ ∞ ∞ ÷∞→ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +∞=−∞⋅−= − ⋅−= +− −− ⋅ +− −⋅ = + − ⋅ + =⋅ −→−→−→ 1 0 9 1 1 4 14 2 4 1 2 4 13 4 15 1x4 2x lím 2x3 x5 lím)x(h)x(glím 4 1x 4 1x 4 1x En este caso se pueden estudiar los límites laterales, teniendo en cuenta únicamente la h(x). ( ) ( ) ( ) ( ) −∞= − −=−=⋅−= − =⋅ − −→−→−→−→ −−−− 0 9 xhlímxhlím1xhlím 4 1 g)x(h)x(glím 4 1x 4 1x 4 1x 4 1x ( ) ( ) ( ) ( ) +∞= − −=−=⋅−= − =⋅ + −→−→−→−→ ++++ 0 9 xhlímxhlím1xhlím 4 1 g)x(h)x(glím 4 1x 4 1x 4 1x 4 1x c) [ ] 2 1 2 2 0 1x4 2x Lím 2x3 x5 Lím 1x4 2x 2x3 x5 Lím)x(h)x(gLím 0x0x0x0x = − −= + − − + = + − − + =⋅ →→→→ d) ( ) ( ) 1 5 3 3 5 5x5 3x3 Lím 3 5 xfLím 3 5 xf 3 5 Lím xxx =⋅= + − == ∞→∞→∞→ 11. Determinar el valor de "a" para que: 81x a 1x e x2 x lím = − − → Solución. El problema se resuelve calculando el límite en función de a, e igualando a e8 . ∞−− → == − = − 11 12 1 x2 x lím 0 a 11 a 1x a 1x
- 13. Se resuelve aplicando el número e. ( ) ( )( ) a2x2 a2 Lím x21x 1xa2 Lím x2 2x2 1x a Lím1 x2 x 1x a Lím 1x a 1x eeeee x2 x lím 1x1x1x1x ===== − −− −⋅ − ⋅ − − − ⋅ −− → →→→→ Igualando: 4a8a2ee 8a2 =⇒=⇒=