Este documento fornece informações sobre lógica proposicional, incluindo: 1) Apresenta dois argumentos como exemplos de raciocínio; 2) Discutem proposições, premissas, valores lógicos e conectivos lógicos como negação, conjunção e disjunção; 3) Fornece exemplos de tabelas verdade e propriedades da implicação lógica e equivalência lógica.

1. CADERNO
LÓGICA
2º semestre
Luan Guerra

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SUGESTÕES
cadernosppt@gmail.com.br

3. Aviso
Esse material foi criado a partir do caderno
de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte
didática como: livros, artigos científicos, etc.
Observação:
O objetivo dessa apresentação é
simplesmente ajudar o estudante, nada além
disso.

4. SITESUGERIDO
www.colegioweb.com.br/matem
atica/conectivos-logicos-.html

5. LIVROSSUGERIDOS
• Alencar Filho, Edgard – Iniciação à
Lógica Matemática
• Castrucci, Benedito – Introdução à
Lógica Matemática

6. CADERNO
+
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

7. Apresentação
• Argumento 1 – Raciocínio
Todo homem é mortal
Sócrates é mortal
Logo, Sócrates é homem
• Argumento 2 – Raciocínio
Todo homem é mortal
Sócrates é homem
Logo, Sócrates é mortal

8. Continuação
• Lei da Não-contradição: a proposição não
pode ser falsa e verdadeira ao mesmo
tempo.

9. O que é uma proposição?
• É TODA FRASE QUE PODE SER
CLASSIFICADA COMO VERDADEIRO E
FALSO

10. PREMISSA?
• Está dentro de um argumento, ou seja,
toda premissa é uma proposição, mas
nem toda proposição é uma premissa

11. Raciocínio Dedutivo
• Exemplo
Todo metal é dilatado pelo calor.
O ouro é metal.
Logo, o ouro é dilatado pelo calor.

12. Raciocínio Indutivo
• Exemplo:
O ferro é um metal e conduz eletricidade.
O zinco é um metal e conduz eletricidade.
Logo, todo metal conduz eletricidade.

13. Proposições
• Proposição Simples
É toda frase que pode ser classificada em
verdadeira e falso.
• Proposição Composta
É frases com duas ou mais proposições
simples

14. Continuação
• Valor Lógico
A Lua é um satélite da Terra. VL(q) = V
Dante escreveu Os lusíadas. VL(q) = F

15. Continuação

16. Negação

17. Detalhes
• e é somente verdadeiro, quando os “dois”
termos são verdadeiros.
• ou quando os “dois” são falsos.

18. Conjunção
• A conjunção de duas
proposições P e Q é
representada por:
p^q
Lê se “p e q”

19. Exemplos de ‘Conjuntos’
P Q

20. Disjunção
O operado lógico DISJUNÇÃO caracterizado pelo
conectivo OU e representado pelo símbolo V

21. Continuação
Pode ser o
p ou q ou
os dois

22. OU ( V ) Exclusivo
Não podem acontecer
ao mesmo tempo.

23. Símbolo de OU Exclusivo

24. Exemplos
A: O livro é interessante
B: O livro é caro.
Negação A: O livro não é interessante.
+: Não é verdade que o livro é interessante.
A ^ B: O livro é interessante e caro.
A V B: O livro é interessante ou caro.

25. Exemplos
A:Ela é mineira e ele é paraense.
Ela não é mineira e ele é paraense.
Ela é mineira e ele não é paraense.
Ela não é mineira ou ele não é paraense.
B:Ela é mineira ou ele é paraense.
Ela não é mineira e ele não é paraense.

26. Continuação
A:Não é verdade que Galileu esteja certo.
P: Galileu está certo.
(~p)
B:A água está líquida.
A água está sólida.

27. Condicional
O operador lógico CONDICIONAL será caracterizado pelo conectivo
Se... Então e representado pelo símbolo
Obs:
A condicional só será falsa se a primeira for verdadeira e a segunda
foi falsa.
A primeira proposição será chamada de ANTECEDENTE e a
segunda será chamada de CONSEQUENTE.

28. Na condicional teremos a seguinte situação:
Uma condição SUFICIENTE gera um resultado
NECESSÁRIO.
Daí se temos:
“Pedro é rico então Maria é médica”
Pode ser escrita:
“Pedro é rico é CONDIÇÃO SUFICIENTE para que Maria
seja médica.”
“Maria ser médica é CONDIÇÃO NECESSÁRIA para que
Pedro seja rico.”

29. Suficiente/Necessário

30. Se... Então

32. Dados

33. Condicional
• O conectivo se... então... e
a condicional
A condicional se p então q é outra
proposição que tem como valor
lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O
símbolo p → q representa a condicional,
com a seguinte tabela-verdade:

34. TABELA

35. Exemplo

36. Exemplo

37. DADOS

38. Bicondicional
• O conectivo se e somente se e
a bicondicional
A bicondicional p se e somente se q é
outra proposição que tem como valor
lógico V se p e q forem ambas
verdadeiras ou ambas falsas, e F nos
outros casos.

39. Bicondicional

40. Exercícios
Condicional

41. a)
A B
Dados do Exercício:
A = Está Calor
B = É verão

42. e)
NUNCA É VERÃO, QUANDO ESTÁ CALOR
Dados do Exercício:
A = Está Calor
B = É verão

43. Extra - Paradoxos
SLIDES

44. TABELA VERDADE

45. TABELA VERDADE

46. RESOLUÇÃO
P (p,q) = ~(p v ~q)

47. Ordem de Prioridade
1º Fazer a negação (~)
2º Fazer a conjunção (^) e a disjunção (v)
3º Fazer a condicional ( )
4º Fazer a bi-condicional ( )

48. Exercícios
• P (p, q, r) = (p ^ ~q) (q v ~ r)

49. Definição

50. Definição

51. Tipos de Tabela lógicas
• TAUTOLÓGICAS
Quando os valores lógicos da proposição são
todos verdadeiros
• CONTRADIÇÃO
Quando os valores lógicos da proposição são
todos falsos
• CONTINGÊNCIA
Quando os valores lógicos da proposição são
verdadeiros e falsos.

52. Exemplos
Tipos de Tabela Lógicas
a) P (p, q) = (p ^ q) (p v q)

53. Exemplos
Tipos de Tabela Lógicas
b) P (p) = p ~p

54. Exemplos
Tipos de Tabela Lógicas
c) P (p, q) = p (p ^ q)

55. Implicação Lógica
Sejam P e Q duas proposições, dizemos
que implica em P logicamente em Q se e
somente se a condicional P Qé
umas tautológica.

56. Resumo
P Q (P implica logicamente)
P Q é uma tautológica
Também podemos verificar se P implica
logicamente em Q da seguinte forma:

57. 1º Verificamos quais linhas a proposição´P
tem valor lógico verdadeiro;
2º Nessas mesmas linhas verificamos quais
são os valores lógicos de Q;
3º Se houver alguma dessas linhas onde Q
é falso, não temos implicação lógica.
Agora, se não houver linhas onde Q é
falso, temos uma implicação lógica.

58. Exemplo
• Dados as proposições P(p, q) = p v q
e Q(p,q)= p^q, verificamos se:
a) P Q
b) Q P

60. Perguntas
a) P não implica logicamente em Q, pois
P Q não é uma tautológica.
b) Q implica lógica em P, pois Q Pé
uma tautologia.

61. Respostas
a) Como na linha 2 ou 2º linha o valor lógico
VL [P( p, q)] = V e o VL [Q(p,q)] = F,
P não implica logicamente em Q.
b) Como na 1º linha o valor lógico
VL [Q(p, q)] = V e VL[P(p,q)] = V
Q implica logicamente.

62. Equivalência Lógica
• Sejam P e Q duas proposições, dizemos
que P equivale logicamente em Q se e
somente se a bicondicional P Qé
uma tautologia.

63. Resumo
P Q (P equivale logicamente)
P Q é uma tautologia
Também podemos verificar se P equivale
logicamente em Q, da seguinte forma:

64. 1º Verificamos quais linhas as proposições
P e Q tem o valor lógico verdadeiro
2º Se todas as linhas coincidem temos uma
equivalência lógica, caso contrário não
temos uma equivalência lógica.

65. Exemplo
• Dados as proposições P(p,q) = ~p v ~q,
Q(p,q) = ~ (p^q) e R(p,q) = ~p ^ ~q,
verifique se:
a) P(p,q) Q(p,q)
b) Q(p,q) R(p,q)

67. Perguntas
a) Como P Q é uma tautologia, temos
P Q
b) Como Q R não é uma tautologia,
temos que Q não é equivalente a R

68. Tabela Verdade
decorar.....

69. Propriedades da Equivalência
1) p^q p
2) pvp p
3) p q q p
4) p q (p q) ^ (q p)
5) p q; p q; q r
6) p^q q^q
7) pvq qvp

70. Propriedades da Condicional
p q ~q ~p
p q ~p v q

71. Tabela Verdade

72. 3º Exercícios
P = Pedro é pobre
Q = Alberto é alto
~(p ^ q)
Propriedades
~p v ~q = Pedro não é pobre ou Alberto não
é alto.

73. Continuação
Transformar as alternativas em conectivos:
a) ~p v ~q
b) ~p ^ ~q
c) p v ~q
d) ~p q
e) ~p ~q

74. Comprovando

75. 4º Exercício
OBS: PEGUE SEMPRE NA AFIRMATIVA E
DEPOIS NEGUE.
P = André é artista
Q = Bernardo é engenheiro (Negativa)

76. Continuação
Pv~q Propriedades da
Condicional
~p ~q
q p

77. Resposta
Se Bernardo é engenheiro então André é
artista.

78. 5º Exercício
Todos os economistas são médicos.
Como negar?
Médico
Eco
Diagrama nom
ista

79. Resultado
p q
Negação de todos = pelo menos 1
Médico
Eco
nom
e
ista
Ou

80. 6º Exercício
P = Pedro é pedreiro (Negativa)
Ou
Q = Paulo é paulista.

81. Resolução
• Conserva o 2º conectivo e troca o valor do
1º :
~p v q
p q

82. Resposta
Se Pedro é pedreiro, então Paulo é Paulista

83. Proposições Afirmativas e
Negativas
Tipos
Todo S é P
Alguns S são P
Alguns S não são P
Nenhum S é P

84. Diagrama
• Todo S é P
P
ScP S
UNIVERSAL Afirmativa

85. Continuação
S=P
S
P
UNIVERSAL Afirmativa

86. Nenhum S é P
S
UNIVERSAL Negativa P

87. Algum S são P
PARTICULAR Afirmativa
S P
P S
S
P
P S

88. Alguns S não são P
PARTICULAR
S Negativa
S
P
P
S
P

89. Equivalência
Nenhum A é B Todo A não é B
Todo A é B Nenhum A não e B

90. Exemplo
Nenhum médico é louco
Todo médico não é louco.
Toda arte é bela
Nenhuma arte não é bela

91. Leis Associativas, Distributivas
e da Dupla Negação
Associativas:
p ^ (q ^ s) (p ^ q) ^ s
p v (q v s) (p v q) v s

92. Distributivas
p ^ (q ^ s) (p ^ q) v (p ^ s)
• p v (q v s) (p v q) ^ (p v s)

93. Dupla Negação
~ (~p) p

94. Casos particulares
S não é P SéP
Todo S não é P Todo S é P
Algum S não é P Algum S é P
Nenhum S não é não P Nenhum S é P

95. Exemplos
A bola de futebol não é não esférica.
A bola de futebol é esférica.
Todo número inteiro não é não racional.
Todo número inteiro é racional.

96. Exemplos
Algum número racional não é não natural.
Algum número racional é natural.
Nenhum número negativo não é não natural.
Nenhum número negativo é natural.

97. Argumentos
Um argumento é um conjunto de
proposições que geram uma
conseqüência da seguinte forma:

98. Definição
• As premissas são as proposições
consideraremos verdadeiras, para
determinar o valor lógico da conclusão.
• Um argumento pode ser válido ou
inválido. Dizemos que um argumento é
válido quando todas as premissas são
verdadeiras a conclusão também é
verdadeira.

99. • Dizemos que um argumento é inválido
quando todas premissas forem
verdadeiras a conclusão de alguma forma
pode ser falsa.
• Exemplo:
Verifica se o argumento abaixo é válidos:

100. Resposta: As premissas para este
argumentos são:

101. Façamos a tabela lógico dessas
proposições:

103. Procuremos as linhas onde todas as
premissas são verdadeiras. Isso ocorre na
4º, 6º e 8º linha. Observamos que nessas
mesmas linhas o valor lógico da
conclusão também é verdadeiro. Logo
podemos concluir que o argumento é
válido.

104. Exemplo
Verifique se o argumento é válido

105. Solução
VL (p v q) = V VL(q) = V
VL (~p) = V VL(p) = F
_____________________________
VL (q) = V
Argumento Válido

106. Exemplo

107. Solução
VL (A (~B ^ C)) = V VL(A) = F
VL (~A B) = V VL(B) = V
VL (D ^ ~ C) = V VL(D) = V e VL(~C) = V
VL(C) = F

108. Análise

109. Resultado
VL (A (~B ^ C)) = V VL(A) = F
VL (~A B) = V VL(B) = V
VL (D ^ ~ C) = V VL(D) = V e VL(~C) = V
VL(C) = F
____________________________________________
VL ( B ~ D) = F

110. Argumentos
Diagramas

111. Exemplo
P1: Todos os homens são pássaros.
P2: Nenhum pássaro é animal.
______________________________
C: Portanto, nenhum homem é animal.

112. Diagramas
Pássaro
Animais
Homens

113. Logo
O conjunto dos homens está no conjunto
dos pássaros e o conjunto dos pássaros
não tem intenção com o conjunto dos
animais, logo o conjunto dos homens não
tem intersecção com o conjunto dos
animais, ou seja, nenhum homem é
animal.
O argumento é válido.

114. Exemplo
P1: Todos as crianças gostam de chocolate.
P2: Patrícia não é criança
___________________________________
C: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.

115. Diagrama
chocolate
Patrícia
Criança

116. Logo
A primeira afirma que o conjunto das crianças
está contido no conjunto das pessoas que
gostam de chocolate. A segunda premissa
afirma que Patrícia não pertence ao conjunto
das crianças, isso possibilita que ela esteja no
conjunto das pessoas que gostam de
chocolate ou fora deste conjunto,
impossibilitando que tenhamos uma conclusão
incontestável.
Logo, diremos que o argumento é inválido.

117. Exemplo
P1: Prestação de contas com ato
antieconômico
P2: A prestação de contas de um prefeitura
a está irregular
___________________________________
C: Logo, as contas desta prefeitura
apresentam atos antieconômicos

118. Diagrama
Prefeitura
Irregular
Ato antieconômico
Prefeitura

119. Logo
A primeira premissa no diz que o conjunto de
atos antieconômicos está contido no conjunto
das contas irregulares.
A segunda premissa afirma que a conta da
prefeitura pertence ao conjunto das contas
irregulares, possibilitando assim que as contas
dessa prefeitura pertence ao conjunto de atos
antieconômicos ou não. Portanto, não podemos
concluir que necessariamente as contas
possuem ato antieconômico, ou seja, o
argumento é INVÁLIDO.

120. Método que parte da negação da
conclusão:
Neste método admitimos o valor lógico
da conclusão FALSO, obtendo assim os
valores lógicos das proposições
envolvidos. Se a substituirmos esses
valores lógicos nas premissas
obtivermos todas verdadeiras, o
argumento é INVÁLIDO.
Caso gere algum conflito de lógicos o
argumento é VÁLIDO.

121. Exemplo
P1: A (B v C)
P2: B ~A
P3: D ~C
__________________________________
C: A ~D

122. Resposta
Admitiremos o valor lógico da conclusão falso:
VL(A ~D) =F
VL(A) = V
VL(~D) = F
VL(D) = V

123. Resolução
Substituindo esse valores lógicos nas
premissas obteremos:
VL(A (B v C)=V VL(A) = F
VL(B ~A) = V VL(B) = F
VL(D ~C) = V VL(~C) = V VL(C) = F

124. Logo
Como gerou conflito no valor lógico da
proposição A, temos que o argumento é
VÁLIDO.

125. Exercício – nº20
P: Pedro é pintor
C: Carlos é cantor
M: Mario é médico
S: Silvio é sociólogo
Premissa: P v C ~M ^ ~ S

126. Negando...

127. Alternativas
P^ ~C M v S
P^ ~C M v ~S
P^ C M ^ ~S
P^ C M v S
~P vC ~M ^ S

128. Negando a conclusão:
• Vamos negar as alternativas, ou seja, as
conclusões verificar qual é verdadeira:
VL(a)) = F VL(P^~C MvS) = F
VL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = F
VL(MvS) = F VL(M) = F e VL(S) = F

129. Substituindo esses valores lógicos
na premissas verdadeiras, temos:
VL(P v C ~M ^ ~S) = V
V F V V
V V
Resp: O argumento é inválido para letra A)

130. b)
VL(P ^ ~ C M v ~S) = F
VL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = F
VL(Mv~S) = F VL(M) = F e VL(~S) = F VL(M) = F e VL(S) = V

131. Substituindo esses valores lógicos
na premissas verdadeiras:
VL(P v ~C ~M ^ ~S) = V
V F V F
V F
O argumento válido é a letra b)

132. Diagramas...

133. Exercício¹ - DIAGRAMA
Resposta
Da primeira premissa temos:
Contabilidade
João
Orçamento

134. Exercício - DIAGRAMA
Resposta
Da segunda premissa temos:
Contabilidade
João
Orçamento

135. Conclusão
Como João não pertence ao conjunto de
contabilidade ele também não pertence
ao conjunto de orçamento. Logo, João
não sabe lidar com orçamento.
O argumento é VÁLIDO, ou seja, a
afirmativa que o orçamento é inválido
está ERRADA.

136. Exercício² - DIAGRAMA
Resposta
Da primeira, segunda premissas, temos:
IMPOSTOS
Carlos
Honesta
Carlos

137. Conclusões

138. Conclusão
Da primeira premissa temos que o
conjunto de pessoas honestas está
contido no conjunto de pessoas que
pagam impostos. Da segunda premissa
temos que Carlos pode está no conjunto
das pessoas honestas ou fora dele. Logo
não podemos concluir que Carlos é uma
pessoa honesta, ou seja, a afirmativa
que o argumento é válida está ERRADA.

139. Tornando verdadeiras...

140. Exercício¹
Resposta
As proposições envolvidas são:
P: Lógica é fácil.
Q: Sócrates foi mico de circo.

141. Argumento
1º Premissas: P Q
2º Premissas: ~ P
_____________________
Conclusão: ~ Q

142. Admitindo os valores lógicos das
premissas são verdadeiras, temos:
Resposta: Ao admitir, não conseguimos
concluir.

143. Mudando o método...
NEGANDO...

144. Negando a conclusão, temos:
VL (~Q) = F VL (Q) = V
Substituindo nas premissas, temos:
F V
VL(P Q) = V
VL(~P) = V VL(P) = F
Como não gerou conflito, então o argumento é
INVÁLIDO.

145. 8 - Exercício
Todos cachorros tem asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Logo, existem gatos que são aquáticos.

146. Diagrama
Gatos
Cachorro
Asas
Aquáticos

147. Observação
NÃO ANILISAR AS PREPOSIÇÕES
INDIVIDUALMENTES, TEM QUE
ESTUDAR O ARGUMENTO

148. Sobre o argumento A, as
premissas P e a conclusão C
Resposta:
A é válido, P e C são falsos.

149. 9 - Exercício
P: Se Soninha sorri
Q: Silvia é miss simpatia
ARGUMENTO
P Q
~P
~Q

150. Admitir a conclusão falso!
Admitindo o valor lógico da conclusão falso
temos:
VL(~q) = F VL(q) = V
Analisando as premissas verdadeiras:
F V
VL(p q) = V
VL(~p) = V VL(p) = F

151. Logo
O argumento é inválido, pois negando a
conclusão isso não gerou nenhum conflito.

152. Observação - Alternativas
Não levar em conta as premissas
individualmente, e sim o argumento.
DESCARTAR

153. Observação
Sempre que o argumento é inválido, a
conclusão não é decorrências das
premissas.

154. Exercício 05 a 08
Chapeuzinho Vermelho

155. 05
Raposa:
Ontem foi um dos meus dias de mentir
Lobo
Ontem foi um dos meus dias de mentir

156. Resolução

157. Resposta

158. 06
Raposa:
Eu menti ontem.
Eu mentirei daqui a 3 dias.

159. 7
Raposa:
Eu menti ontem.
Eu mentirei amanhã.