Este documento presenta los conceptos fundamentales del cálculo proposicional en lógica matemática, incluyendo proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, fórmulas bien formadas, tautologías, equivalencias y leyes importantes. Explica conceptos como conjunción, disyunción, negación, condicional e implicaciones, y provee ejemplos para ilustrar cada uno.
2. Introducción
• ¿ que es pensar con lógica?
• “Si dices una verdad, te mataremos en la
horca, y si mientes te mataremos en la
silla eléctrica”
rta : “me van a matar en la silla eléctrica”
3. Conceptos fundamentales de lógica matemática
1. LA PROPOSICIÓN Y LA APLICACIÓN EN LAS MATEMÁTICAS. PROCESO DE VERIFICAION DE
LA VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN.
Ejemplo: p: 2 es numero par q: 2 es número primo como también r: 2 es numero par y
primo.
Ejemplo de proposiciones sin sentido completo: Neiva, el lunes es
Ejemplo de proposiciones que no se le pueden asignar el valor de verdad verdad o falso
Hola , x+5=10
4. Una formula matemática sintetiza una proposición considerada verdadera, por ejemplo
el área de un trapecio
Como también:
El área del circulo , rectángulo entre otras.
8. 2.1 NEGACIÓN
El símbolo ~ de la expresión ~𝑝 significa que el valor de la verdad de la negación
~𝑝 es verdadera si p es falsa y falsa si p verdadera.
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de los lados
El perímetro no es la suma de las longitudes de los lados.
P ~𝑝
V F
F V
9. 2.2. CONJUNCIÓN
La conjunción de dos proposiciones es verdadera si y solo si las dos proposiciones son
verdaderas.
p q p Λ q
V V V
V F f
F v F
F F F
10. p q p ˅ q
v v f
v f v
f v v
f f f
2.3. DISYUNCIÓN
La disyunción de dos proposiciones es falsa cuando las dos son
verdaderas o las dos son falsas
Disyunción se divide en dos :
• INCLUSIVA (o matemática) : o lo uno o lo otro.
• EXCLUSIVA(o cotidiana): o lo uno o lo otro pero no ambos
11. 2.4. CONDICIONAL O IMPLICACION
Una proposición condicional es falsa si y solo si el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
P q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
Directa Reciproca contradirecta contrarreciproca
H→T T→H ~H→~T ~T→~H
12. 2.5 BICONDICIONAL O EQUIVALENCIA
• Un bicondicional es verdadero si y solo si y ambas proposiciones son verdaderas o
ambas son falsas
P q p↔q
V V V
V F F
F v f
F F V
13. 2.6 NEGACIÓN DE LAS OPERACIONES LÓGICAS
1. negación de la conjunción o primera ley de De Morgan
la negación de la conjunción equivale a la disyunción de las negaciones de las
proposiciones
2. Negación de la disyunción o segunda ley de Morgan. La negación de la disyunción
equivale a la conjunción de las negaciones de las proposiciones.
14. 3. Negación del condicional. la negación del condicional equivale a la conjunción del
antecedente con la negación del consecuente del condicional.
4. Negación del bicondicional la negación del bicondicional equivale al bicondicional
de la negación de una de sus proposiciones
17. TAUTOLOGIAS
• Su importancia se debe a que las leyes de la lógica del calculo
proposicional son tautologías y son los esquemas de razonamiento.
18. Contradicción
Una formula bien formada es contradicción si solo si es falsa independientemente de los
valores de las proposiciones atómicas
Para comenzar la discusión de estos temas, analicemos las dos formas bien formadas:
p v (~p) y p ˄ (~p) construyamos su tabla:
p (~p) p v (~p) p v (~p)
V F V F
F V V F
19. Observación
una fbf no es tautología ni contradicción se llama formulas bien formada
indeterminadas o contingencia; se caracterizan por ser algunas veces verdaderas
y otras falsas
p q pvp ~(pvp) p→~[(pvp)]
1 1 0 1 1
1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 1
20. IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
N° IMPLICACION NOMBRE
1 (p ˄(p→q))→q Ley de separación o modus ponendo ponens
2 ((-q) ˄(p→q))→(-p) Ley modus tollendo tollens
3 (p v q ) ˄(-p))→q Ley modus tollendo ponens
4 (p ˄q)→q Ley de simplificación
5 (p ˄q)→(p ˄q) Ley de adjunción
6 (p v q ) →q Ley de simplificación disyuntiva
7 p →(p v q ) Ley de adición
8 ((p →q ) ˄(q→r))→(p→r) Ley de silogismo hipotético
9 ((p v q ) ˄(p→r) ˄(q→s))→(r v s ) Ley de silogismo disyuntivo
10 ((p˄q ) →r)→(p→(q˄r) Ley de importación
11 (p→(q˄r) →((p˄q ) →r) Ley de exportación
12 (p↔q) → (p→q) Ley del Bicondicional
13 (p↔q) →(q→p) Ley del Bicondicional
14 ((p→q)˄(q→p)) →(p↔q) Ley del Bicondicional
15 (p↔q) →((p→q)˄(q→p)) Ley del Bicondicional
16 (p→(q˄(-q) →(-p) Ley del absurdo
21. EQUIVALENCIAS TAUTOLÓGICAS
N° EQUIVALENCIA NOMBRE
2 P↔(-(-P) Ley de doble negación
2 (p→q)↔((-q)→(-p)) Ley de la contraposición o contra reciproca
3 -(p˄q) ↔((-p) v (-q)) Primera ley de Morgan
4 -(pvq) ↔((-p) ˄ (-q)) Segunda leu de Morgan
5 (p˄q) ↔(q˄p) Ley conmutativa de la conjunción
6 (pvq) ↔(qvp) Ley conmutativa de la disyunción
7 (p↔q)↔ (q↔p) Ley conmutativa del Bicondicional
8 (p→q) ↔((-p) v q) Ley de equivalencia entre condicional y disyunción
9 -(p→q) ↔(p ˄ (-q)) Ley de negación del condicional
10 (p↔q) ↔((p→q)˄(q→p)) Leyes del Bicondicional
11 -(p↔q) ↔ ((-p)↔q) Ley de negación del Bicondicional
12 -(p↔q) ↔ (p↔(-q)) Ley de negación del Bicondicional
13 (p v(q˄r)↔((pvq)˄(pvr)) Ley distributiva de la disyunción con conjunción
14 (p˄(qvr) ↔((p˄q)v(p ˄r)) Ley distributiva de la conjunción con la disyunción
15 (p v(qvr) ↔((p v q) v r) Ley asociativa de la disyunción
16 (p ˄(q˄r) ↔((p˄q) ˄ r) Ley asociativa de la conjunción
17 (p↔(q↔r))↔((p↔q)↔r) Ley asociativa del bicondicional
