2. INTRODUCCIÓN En estas diapositivas encontramos el concepto de masa resorte y péndulo simple, también ejercicios con sus formulas, con su solución, e imágenes. Facilitando así el entendimiento de cada problema aquí representado.
3.
4. Mostrar ejercicio que puedan facilitar el aprendizaje y el desarrollo fácil de problemas del péndulo simple y masa resorte.
7. EL péndulo simple esdispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. T = 2.π.√m/k
9. Ejercicio #1 El bloque representado en la figura, oscila con amplitud de 0.05 m. En el instante en que pasa por su posición de equilibrio, se deja caer verticalmente sobre el bloque una masa de barro de 0.1 kg que se adhiere a él.
10. A = 0,05 m = 5 cm m1 = 0,1 kg m2 = 0,1 kg k1 = 1 N.m-1 k2 = 3 N.m-1 a) Determínese el nuevo período. b) ¿Ha habido pérdida de energía mecánica? En caso afirmativo, ¿en qué se emplea?. c) ¿Serían iguales las respuestas si se hubiera dejado caer la masa de barro sobre el bloque cuándo este se encontrara en un extremo de su trayectoria?.
11. Desarrollo a) T = 2.π.√m/k mT = m1 + m2 mT = 0,2 kg kT = k1 + k2 kT = 4 N.m-1 T = 2.π.√0,2/4 = 1,41 s b) Sí, ha existido una pérdida de energía mecánica la cual se convierte en calor por el coeficiente de rozamiento, ya que el movimiento es en el plano horizontal. c) No, porque de igual forma existiría otra fuerza la cual cambia los valores originales por lo que permanece la pérdida de energía mecánica.
12. Ejercicio #2 Un péndulo simple de 4m de longitud oscila con amplitud de 0.2m. a) Calcúlese la velocidad del péndulo en el punto más bajo de la trayectoria. b) Calcúlese la aceleración en los extremos de su trayectoria
13. Desarrollo a) A = 0,2 m. L = 4 m. vm = √k/m.A; el en péndulo simple se considera que: vm = √m.g/(L/m).A vm = √g/L.A vm = √9,8/4.0,2 vm = 0,313 m/s b) a máximo = k.A/m; aplicando para el péndulo se obtiene: a máximo = g.A/L a máximo = 9,8.0,2/4 = 0,49 m/s ²
14. Ejercicio #3 Determínese la longitud de un péndulo simple cuyo período es exactamente 1s en un punto donde g = 9.80 m/s ².
15. Desarrollo T = 1 s g = 9,8 m/s ² L = ? T = 2.π.√L/g L = g.(T/2.π) ² L = 9,8.(1/2.π) ² = 0,248 m
16. Ejercicio #4 Se desea construir un péndulo de período 10s. a) ¿Cuál es la longitud de un péndulo simple que tenga este período?. b) Supóngase que el péndulo ha de montarse en una caja cuya altura no exceda de 0.5 m ¿Puede idearse un péndulo que satisfaga este requisito con un período de 10 s?.
17. Desarrollo a) T = 2.π.√L/k L = g.(T/2.π) ² L = 9,8.(10/2.π) ² = 24,8 m b) Si, se puede considerar de esa manera, ya que la gravedad en 0,5m, es la misma prácticamente que la 0,5m abajo, siempre y cuando se mantenga las condiciones del péndulo de la L; por tanto el período se mantendrá.
18. Ejercicio #5 Cierto péndulo simple tiene en la tierra un período de 2s ¿Cuál sería su período en la superficie de la luna, donde g = 1.7 m.s-2. Desarrollo T tierra = 2 s T luna = ? g luna = 1,7 m/s ² T Tierra = 2.π.√L/g L = g.(T/2.π) ² L = g.(T/2.π) ² = 9,8.(2/2.π) ² = 0,992 m T Luna = 2.π.√L/g
20. Masa resorte: Como su nombre lo indica es una masa suspendida de un resorte. El periodo de una masa suspendida de un resorte es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa, y es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la constante elástica del resorte
22. Ejercicio #1 Un bloque pequeño ejecuta un movimiento armónico simple en un plano horizontal con una amplitud de 10 cm. En un punto situado a 6 cm de distancia de la posición de equilibrio, la velocidad es de 24 cm/s. a) ¿Cuál es el período?. b) ¿Cuál es el desplazamiento cuando la velocidad es ± 12 cm/s. c) Si un pequeño cuerpo que oscila sobre el bloque se encuentra justo a punto de deslizar sobre el en el punto final de la trayectoria, ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento?.
23. Desarrollo A = 10 cm X = 6 cm V = 24 cm.s-1 a) ω = 24/8 = 3/s T = 2.π / ω T = 2.π /3 T = 2,094 s b) A ² - x ² = (V/ ω) ² 100 - x ² = (12/3) ² x ² = 100 - 16 x = √100 - 16 = 9,16 cm c) a = ω ².x a = 9.10 = 90 cm/s u = F/N N = m.g u es el coeficiente de rozamiento, N es la normal. De aquí podemos sacar: u = m.a/m.g u = 0,9/9,8 = 0,0918 adimensional. Nótese que las m (masa) en el instante de armar la ecuación se eliminan por lo que se extrae fácilmente el u
24. Ejercicio #2 Una fuerza de 30N estira 15 cm un resorte vertical. a) ¿Qué masa ha de suspenderse del resorte para que el sistema oscile con un período de (π /4) s. b) Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, ¿dónde está el cuerpo y en que dirección se mueve (π /12) s después de haber sobrepasado la posición de equilibrio, dirigiéndose hacia abajo?. c) ¿Qué fuerza ejerce el resorte sobre el cuerpo cuando está 3 cm por debajo de la posición de equilibrio y moviéndose hacia arriba?.
25. Desarrollo F = 30 N A = 15 cm = 0,15 m a) T = π.s/4 m = ? F = k.x k = F/x k = 30/0,15 = 200 N.m-1 T = 2.π.√m/k m = k.(T/2.π) ² m = 200.[(π /4)/(2.π)] ² = 3,12 kg b) A = 5 cm = 0,05 m x = ? t = π s/12 x = 5.cos.8t se tiene que: x = 5.cos (8.π /12) = 4,33 cm v = -40.sin.8t v = -20 cm/s; esto nos da a conocer que el cuerpo se está moviendo hacia el centro, desde abajo hacia arriba.
26. c) Tenemos que cuando está 3 cm debajo de la posición de equilibrio la fuerza es: F = -k.x F = -6N; pero como se necesita la fuerza total que es: FT = F eq + F; entonces: FT = m.g + F FT = 3,125.9,8 + 6 FT = 36,6 N
27. Ejercicio#3 Un cuerpo de 100g de masa cuelga de un largo resorte helicoidal. Cuando se tira de él 10 cm por debajo de su posición de equilibrio y se abandona a sí mismo, oscila con un período de 2 s. a) ¿Cuál es su velocidad al pasar por la posición de equilibrio?. b) ¿Cuál es su aceleración cuando se encuentra 5 cm por encima de la posición de equilibrio?. c) Si se está moviendo hacia arriba. ¿Cuánto tiempo tarda en desplazarse desde un punto situado 5 cm por debajo de su posición de equilibrio a otro situado 5 cm por encima de ella?. d) ¿Cuánto se acortará el resorte si se quita el cuerpo?.
28. Desarrollo a) m = 100 g x = 10 cm T = 2 s V máximo = ω .A ω = 2.π /T ω = π V máximo = π.10 V máximo = 31,4 cm/s b) a = ω ².x a = π ².5 a = 49,34 cm/s ²
29. c) X = A.cos ω .t cos ω.t = x/A ω.t = arc cos (x/A) t = arc cos (x/A)/ ω t = arc cos (5/10)/ π t = 0,333 s d) m.g = k.x x = m.g/k k = ω ².m k = π ².100 x = 100.980/(100.π ²) x = 99,3 cm Se acortaría los 9,33 cm, que para casos de cálculo se toma como si estuviéramos partiendo desde x = 0 que es la posición de equilibrio.
30. Ejercicio #4 Un cuerpo de 5 kg de masa cuelga de un resorte y oscila con un período de 0,5s. ¿Cuánto se acortará el resorte al quitar el cuerpo?.
31. Desarrollo m = 5 kg T = 0,5 s k = ω ².m k = (2.π /T) ².m k = (2.π /0,5) ².5 k = 789,56 x = m.g/k x = 5.9,8/789,56 x = 0,062 m
32. Ejercicio #5 Un cuerpo de 4 kg. de masa está sujeto aun resorte helicoidal, y oscila verticalmente con movimiento armónico simple. La amplitud es de 0,5 m, y en el punto más alto del movimiento el resorte tiene su longitud natural. Calcúlese la energía potencial elástica del resorte, la energía cinética del cuerpo, su energía gravitacional respecto al punto más bajo del movimiento y la suma de estas tres energías, cuando el cuerpo está: a) En su punto más bajo. b) En su posición de equilibrio, y Cuando está en su punto de equilibrio la energía Ep = 0, porque X = 0. c) En su punto más alto.
33. Desarrollo m = 4 kg A = 0,5m k = F/x k = m.g/x 4.9,8/0,5 = 78,4 N/m a) Ep = k.x ²/2 Ec = m.v ²/2 = 0 Ep = 78,4.5 ²/2 9,8 J Ec = 0 porque su velocidad es cero. E pg = m.g.h/2 = 0 porque la h (altura es 0). ET = Ep + Ec + E pg = 9,8N.m
34. b) entonces: Ec = 4.2,21 ²/2 9,76 J E pg = m.g.h/2 = 4.9,8.0,5/2 = 9,8 J ET = Ep + Ec + E pg = 19,56 J c) Ep = k.x ²/2 Ec = m.v ²/2 = 0 Como es en este caso para el punto mas alto se considera la energía como negativa, definida así por su amplitud (-A). Ep = 78,4.0,5 ²/2 = -9,8 J E pg = m.g.h/2 = 4.9,8.1/2 = 19,6 J ET = Ep + Ec + E pg = 9,8 N.m
35. Conclusión En este trabajo mostramos una forma fácil de realizar distintos problemas de péndulo simple y masa resorte, brindado así un a aprendizaje rápido. Graficando cada ejercicio para un mejor entendimiento, ayudando así a que la persona conozca como se debe plantear cada problema y cual es su solución.
