Maths1

1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
โดยทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์…ด้วยตนเอง
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3
(A+B)2
= A2
+ 2AB + B2
(A-B)2
= A2
- 2AB + B2
จุดประสงค์การเรียนรู้
 เพื่อให้นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
โดยทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์ได้
วิธีการเรียนด้วยตนเอง
1. เตรียมกระดาษทดสาหรับคิดหาคาตอบ
2. ศึกษาตัวอย่างและตอบคาถามแต่ละกิจกรรม
3. แต่ละกิจกรรมจะมีเฉลยอยู่ด้านซ้ายทาเสร็จแล้วจึงดูเฉลย
4. ถ้ากิจกรรมใดตอบคาถามไม่ได้ควรศึกษากิจกรรมนั้นอีกครั้ง
5. เมื่อศึกษาครบทุกกิจกรรมแล้ว ลองทดสอบเพื่อประเมินผลตนเองใน
กิจกรรมสุดท้ายถ้าไม่ผ่านตามเกณฑ์ที่กาหนดไว้ควรศึกษาใหม่อีกครั้ง
จัดทาโดย
นายเอนก พรมศรี
โรงเรียนส่วนบุญโญปถัมภ์ ลาพูน
กิจกรรมที่ 1 : พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกาลังสอง
A2
– B2
= (A-B)(A+B)
หน้า 2
- หลัง 2
= (หน้า - หลัง ) ( หน้า + หลัง )
ตัวอย่างการแยกตัวประกอบที่เป็นผลต่างกาลังสอง
1. x2
– 9 = x2
- 32
จัดรูปให้เป็นกาลังสองก่อน
= (x-3)(x+3) 
2. 25x2
- 16 = 52
x2
- 42
จัดรูปให้เป็นกาลังสองก่อน
= (5x )2
- 42
= (5x-4)(5x+4) 
3. x2
– 5 = x2
- ( 5 )2
จัดรูปให้เป็นกาลังสองก่อน
= (x - 5 )(x + 5 ) 
สบายมากเลย
ลองทาดูบ้างน่ะ… เฉลย
4. x2
– 25 = …………………. (x+5)(x-5)
5. x2
– 81 = …………………. (x+9)(x-9)
6. x2
– 169 = …………………. (x+13)(x-13)
7. 49x2
– 9 =………………… (7x+3)(7x-3)
8. x2
– 8 = ………………… (x- 8 )( x+ 8 )
9. 25x2
– 64 =……………… (5x-8)(5x+8)
10. 9x2
- y2
=……………… (3x-y)(3x+y)

2. กิจกรรมที่ 2 : การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองโดยทาให้อยู่ในรูปกาลังสองสมบูรณ์
กรณี a = 1
รูปทั่วไป : (A+B)2
= A2
+ 2AB + B2
(น+ล)2
= น2
+ 2นล + ล2
; น = หน้า , ล = หลัง
ตัวอย่าง 1 : จงแยกตัวประกอบของ x2
+ 6x + 5 โดยอาศัยรูปกาลังสองสมบูรณ์
วิธีทา x2
+ 6x + 5 จาก (น+ล)2
= น2
+ 2นล + ล2
จะได้รูปใหม่ x2
+ 6x + 5 = x2
+ 2x(3) + (3)2
– (3)2
+ 5
= ( x+3 )2
- 9 + 5
= ( x+3 )2
- 4
= ( x+3 )2
- 22
( ผลต่างกาลังสองไง )
= ( x+3-2 )( x+3+2 )
จะได้ x2
+ 6x + 5 = ( x+1 )( x+5 ) 
ตัวอย่าง 2 : จงแยกตัวประกอบของ x2
+ 6x + 1 โดยอาศัยรูปกาลังสองสมบูรณ์
วิธีทา x2
+ 6x + 1 = x2
+ 2x(3) + (3)2
– (3)2
+ 1
= ( x+3 )2
- 9 + 1
= ( x+3 )2
- 8
= ( x+3 )2
- ( 8 )2
= ( x+3- 8 )( x+3+ 8 ) 
มีต่อหน้าถัดไปจ้า…
กิจกรรมลองทาดู แสดงวิธีการแยกตัวประกอบในกระดาษทดดูน่ะ
1. x2
+ 4x + 3 = x2
+ 2x (…) + (…)2
– (…)2
+ 3
= ( x + ……. )2
- 1
= (………….)(…………..) (x+1)(x+3)
2. x2
+ 2x + 1 = x2
+ 2x (…) + (…)2
– (…)2
+ 1
= ( x + ……. )2
= (………….)(…………..) (x+1)(x+1)
3. x2
+ 6x + 7 = (………….)(…………..) (x+3- 2 )(x+3+ 2 )
4. x2
+ 6x - 5 = (………….)(…………..) (x+3- 14 )(x+3+ 14 )
5. x2
+ x - 3 = (………….)(…………..) (x+
2
1
-
4
13
)(x+
2
1
+
4
13
)
คิด…ใหญ่เลยเรา

3. กิจกรรมที่ 3 : การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองโดยทาให้อยู่ในรูปกาลังสองสมบูรณ์
กรณี a = 1
รูปทั่วไป : (A-B)2
= A2
- 2AB + B2
(น-ล)2
= น2
- 2นล + ล2
; น = หน้า , ล = หลัง
ตัวอย่าง 1 : จงแยกตัวประกอบของ x2
- 6x - 72 โดยอาศัยรูปกาลังสองสมบูรณ์
วิธีทา x2
- 6x – 72 = x2
– 2x(3) + (3)2
-(3)2
- 72
= ( x-3 )2
– 9 – 72
= ( x-3 )2
– 81
= ( x-3 )2
- 92
จัดเป็นกาลังสอง
= ( x-3-9 )( x-3+9 )
= (x-12)(x+6) 
ตัวอย่าง 2 : จงแยกตัวประกอบของ x2
- 3x - 10 โดยอาศัยรูปกาลังสองสมบูรณ์
วิธีทา x2
- 3x – 10 = x2
– 2x(
2
3
) + (
2
3
)2
-(
2
3
)2
- 10
= ( x -
2
3
)2
–
4
9
–
4
10
= ( x -
2
3
)2
–
4
49
= ( x -
2
3
)2
- (
2
7
)2
จัดเป็นกาลังสอง
= ( x -
2
3
-
2
7
)( x -
2
3
+
2
7
)
= (x - 5)(x+2) 
ลองฝึกทาโจทย์ในหน้าถัดไปซิ…
กิจกรรมประลองฝีมือ
หนูๆทดสอบฝึมือตนเองโดยคิดเปรียบเทียบจากตัวอย่างในกระดาษทดน่ะจ๊ะ
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้โดยอาศัยการทาให้อยู่ในรูปกาลังสองสมบูรณ์
เฉลย
1. x2
- x - 2 ( x+1)(x-2)
2. x2
- 2x - 2 ( x-1 + 3 )(x –1 - 3 )
3. x2
- 6x + 7 ( x-3 + 2 )(x –3 - 2 )
4. x2
- 5x + 3 ( x-
2
5
+
2
13
)(x –
2
5
-
2
13
)
ฮิๆฮิๆ…ง่ายจัง
โอ้ย…หายใจไม่ออกแล้ว

4. กิจกรรมที่ 4 : การแยกตัวประกอบโดยอาศัยการทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์ กรณีa  1
ตัวอย่างที่ 1 : 2x2
+ 8x + 5
วิธีทา 2x2
+ 8x + 5 = 2 ( x2
+ 4x +
2
5
) ต้องจัดให้ a = 1 ก่อน
= 2 [ x2
+ 2x(2) + 22
– 22
+
2
5
]
= 2 [ (x+2)2
– 4 +
2
5
] ทาส่วนให้เท่ากันก่อน
= 2 [ (x+2)2
–
2
3
]
= 2 [(x+2)2
– (
2
3
) 2
] จัดให้เข้าสูตรผลต่างกาลังสอง
= 2 [ (x+2 -
2
3
)(x+2+
2
3
) ]
= ( 2x + 4 - 3 )( x + 2 +
2
3
) นา 2 คูณวงเล็บแรกทุกตัว

ลองทาดูบ้างซิ
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ เฉลย
1. 2x2
– 5x – 3 (2x+1)(x-3)
2. 5x2
– 2x – 1 ห้ามดูเฉลยน่ะจ๊ะ (5x+1+ 6 )(x+
5
6
5
1
 )
3. 3x2
+ 11x + 6 (x +3)(3x +2 )
กิจกรรมที่ 5 : การแยกตัวประกอบโดยอาศัยการทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์ กรณี a  1
ตัวอย่าง : จงแยกตัวประกอบของ -2x2
+ 3x + 1 จัดวงเล็บนี้ตามกิจกรรมที่ 3 ไง
วิธีทา -2x2
+ 3x + 1 = -2 [ x2
-
2
3
x -
2
1
] ต้องจัดให้ a = 1 ก่อนโดยดึง –2 ออก
= -2 [ x2
– 2(
4
3
)x + (
4
3
)2
– (
4
3
)2
-
2
1
]
= -2 [ (x -
4
3
)2
-
16
9
-
2
1
] ทาส่วนให้เท่ากันก่อน
= -2 [ (x -
4
3
)2
-
16
17
]
= -2 [(x -
4
3
)2
- (
4
17
)2
จัดให้เข้าสูตรผลต่างกาลังสอง
= -2 [ (x -
4
3
+
4
17
)( x -
4
3
-
4
17
)
= ( -2x +
2
3
-
2
17
)( x -
4
3
-
4
17
) นา -2 คูณวงเล็บแรก

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1. –x2
+ x + 3 ( -x +
2
1
-
2
7
)( x +
2
1
+
2
7
)
2. –3x2
+ 6x + 12 ( -3x + 1 –3 5 )( x – 1 - 5 )

5. กิจกรรมที่ 6 : กิจกรรมทดสอบและประเมินผลการเรียนรู้ของตนเอง
1. x2
+ 14x – 3
2. x2
- 6x + 7
3. x2
- 8x + 3
4. -x2
+ 3x + 10
5. 6x2
– 7x – 3
6. –6x2
+ 17x – 5
เกณฑ์การประเมินผล
ทาถูก 6 ข้อ อยู่ในระดับ “ดีมาก”
ทาถูก 4 – 5 ข้อ อยู่ในระดับ “ดี”
ทาถูก 3 ข้อ อยู่ในระดับ “พอใช้”
ทาถูก 1 – 2 ข้อ อยู่ในระดับ “ปรับปรุง” ควรศึกษาใหม่
โชคดีเจ้า
การเรียน...แม้เหนื่อยยาก
แม้ลาบาก...มิใช่น้อย
จงสู้...อย่าท้อถอย
เพื่อรอคอย...ชัยชนะ