Die Theorie der mathematischenBillards und die mathematische      Theorie des Billards
Die Gesetze des                 BillardsDas Gesetz der elastischen ReflexionDer Winkel des Fallens ist dem Winkel der Refl...
Die Beispiele der      BillardsDie Theorie der mathematischen Billards (TMB) ist eine der jüngsten Richtungen derMathemati...
Das Billard im Kreis       α                                   m                            α = 2π                        ...
Das Billard in der              Ellipse                         F1 M + MF2 = constÜber viele interessante Eigenschaften ve...
Die erste    Billardeigenschaft der            Ellipse                 n                       M       m                  ...
Die scheinbare                  Sonne Der elliptische Spiegel                                                           Di...
Die Effekte der erstenBillardeigenschaft der Ellipse         М              BА
Die zweite  Billardeigenschaft der          Ellipse                                                                    ε W...
Die dritte  Billardeigenschaft der          Ellipse                           KaustikDie Bahnen der Kugeln in der Ellipse ...
Die Konstante der     Kaustik                     a                         x           b           z                     ...
Die Aufgabe über dieBeleuchtung des nicht  konvexen GebietesDie Aufgabe über die Beleuchtung des nicht konvexen Gebietes i...
Die Hypothese : jedes nichtkonvexe Polygon kann man  von einer willkürlichen    Quelle beleuchten Der genaue Beweis dieser...
« Das Telefon »                                                   Rohr                                        Rohr        ...
Das Gesetz der gleitenden       Anziehung                  Das Gebiet                     der                  Anziehung  ...
Kriteriale Gleichung      eines Dreieckes                                        d + R = ( R1 − R2 )                      ...
Kriteriale Gleichung eines Viereckes                                            1          1        1                     ...
Das Kriterium der Konzentrizität                             2                R1 R           r =            2             ...
Das « goldene »            Kriterium der            Konzentrizität                                                      √Ф...
Die Aufgabe über zwei        7           Behälter0                                                             11    Mit H...
Die geometrische Theorie       des Visiers                                                           Der Kreis des        ...
« Fremd » - « Eigen »     Die Punkte des Visiers
Das Double       « Fremd » - « Eigen » AbprallersDer Punkt desDie scheinbare Kugel (Spiegelbild von Bord) und der Kreis de...
Abrikol« Fremd » - « Eigen »
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Die Meisterschaft im Billard         in Nigeria
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  1. 1. Die Theorie der mathematischenBillards und die mathematische Theorie des Billards
  2. 2. Die Gesetze des BillardsDas Gesetz der elastischen ReflexionDer Winkel des Fallens ist dem Winkel der Reflexion gleich Das Gesetz des elastischen 6 Stoßes 6 90°Bei dem nicht zentralen Stoß sind die Bahnen der Kugeln immer senkrecht
  3. 3. Die Beispiele der BillardsDie Theorie der mathematischen Billards (TMB) ist eine der jüngsten Richtungen derMathematik (1970). Ihr Autor ist J. G. Sinaj – heutzutage Professor der PrinstonskiUniversität, der Enkel des Gründers der Russischen Schule der DifferentialgeometrieW. F. Kagan
  4. 4. Das Billard im Kreis α m α = 2π nKriteriale Gleichung Am meisten studiert ist das Billard im Kreis
  5. 5. Das Billard in der Ellipse F1 M + MF2 = constÜber viele interessante Eigenschaften verfügt das Billard in der Ellipse
  6. 6. Die erste Billardeigenschaft der Ellipse n M m F2 F1 ∠mMF1 = ∠nMF2Wenn die Bahn der Kugel durch einen Fokus geht, verläuft sie auch durch den zweiten Fokus der Ellipse
  7. 7. Die scheinbare Sonne Der elliptische Spiegel Die Sonne Die scheinbare Sonne Der Beobachter auf der ErdeWenn sich die Sonne im Fokus des elliptischen Spiegels befindet, so wird derBeobachter von der Erde zwei Sonnen sehen: eine reale und eine scheinbare
  8. 8. Die Effekte der erstenBillardeigenschaft der Ellipse М BА
  9. 9. Die zweite Billardeigenschaft der Ellipse ε Wenn die Bahn der Kugel durch den Fokus den geht, so werden dienachfolgenden Glieder der Bahn asymptotisch nach der großen Achse der Ellipse streben
  10. 10. Die dritte Billardeigenschaft der Ellipse KaustikDie Bahnen der Kugeln in der Ellipse betreffen entweder die konfokale Ellipse, oder den konfokalen Hyperbel
  11. 11. Die Konstante der Kaustik a x b z y c d a + b + y + z = c + d + z + x = const
  12. 12. Die Aufgabe über dieBeleuchtung des nicht konvexen GebietesDie Aufgabe über die Beleuchtung des nicht konvexen Gebietes ist TMB eng verbunden
  13. 13. Die Hypothese : jedes nichtkonvexe Polygon kann man von einer willkürlichen Quelle beleuchten Der genaue Beweis dieser Hypothese ist noch nicht geschaffen
  14. 14. « Das Telefon » Rohr Rohr Hörermuschel GrübchenRohr GebietUm das Gebiet zu beleuchten, das aus 2N Telefone bestehet, wird 2N Lämpchen nicht genug
  15. 15. Das Gesetz der gleitenden Anziehung Das Gebiet der Anziehung Das Gesetz der elastischen Reflexion wird mit dem Gesetz dergleitenden Anziehung ersetzt. Jedes Glied der Bahn der Kugel soll das Gebiet der Anziehung betreffen
  16. 16. Kriteriale Gleichung eines Dreieckes d + R = ( R1 − R2 ) 2 2 2 2 S R1 − R2 R2 dWenn im Billard des Kreises das Gebiet der Anziehung auch ein Kreis ist und existiert eine dreigliedrige geschlossene Bahn, so wird jede andere Bahn auch dreigliedrig und geschlossen sein
  17. 17. Kriteriale Gleichung eines Viereckes 1 1 1 + = 2 ( r1 + d ) ( r1 − d ) r2 2 2 ( ) ( ) d 4 − 2 r12 + r22 d 2 + r12 r12 − 2r22 = 0Die Zentren der Gebiete der Anziehung der dreigliedrigen und viergliedrigen Bahnen stimmen überein
  18. 18. Das Kriterium der Konzentrizität 2 R1 R r = 2 2 2 R1 − R2 d = const R1 = r1
  19. 19. Das « goldene » Kriterium der Konzentrizität √Ф Ф Ф² Ф 1 1 Ф² 1 √Ф d = r2Wenn das Zentrum des Billards dem viergliedrigen Kreis der Anziehung gehört, dann werden die Beziehungen der Radien „golden“
  20. 20. Die Aufgabe über zwei 7 Behälter0 11 Mit Hilfe der TMB werden die Aufgaben für das Umgießen anschaulich gelöst. Hier nehmen die Behälter 7 und 11 – Liter teil. Man muss zwei Liter abmessen. Das Wasser kann man aus dem großen Fass schöpfen. Das Wasser kann man auch in dieses Fass ausgießen.
  21. 21. Die geometrische Theorie des Visiers Der Kreis des Visiers R = 2r r А R Der Punkt des VisiersDer Punkt A ist ein verbreiteter Fehler. Mit der seltenen Ausnahme kann sie keinPunkt des Visiers sein.
  22. 22. « Fremd » - « Eigen » Die Punkte des Visiers
  23. 23. Das Double « Fremd » - « Eigen » AbprallersDer Punkt desDie scheinbare Kugel (Spiegelbild von Bord) und der Kreis des Visiers sind mitpunktierter Linie dargestellt.
  24. 24. Abrikol« Fremd » - « Eigen »
  25. 25. Karambol« Fremd » - « Eigen »
  26. 26. Die Meisterschaft im Billard in Nigeria

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