Módulo de autoaprendizaje: Potencias y radicación

Módulo de auto aprendizaje:

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contenidos

1. Potencias
1.1 potencias
1.2 propiedades de las potencias
1.3 ecuaciones exponenciales
2. Radicación
2.1 raíces
2.2 propiedades de las raíces
2.3 racionalización
2.4 ecuaciones irracionales

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Definición de potencia

Se llama potencia a la
mumtiplicación abreviada de un
mismo número

Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba
de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”

n
a
de esta forma:
Al “n” se le llama exponente de la potencia

Al “a” se le llama base de la potencia
“a” es el número en cuestión,”n” es
la cantidad de veces que se Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)
multiplica por si mismo.
Las potencias sirven para expresar la
multiplicación de un dato que se repite una cierta
cantidad de veces

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Ahora veamos si entendiste
Calculemos el valor de (-2)3

Aplicando la definición tenemos:
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8
Calculemos el valor de -34
Observamos que la base de la potencia es 3
( y no -3) expresándola en forma de
producto nos queda:
-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81

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Ahora resuelve tú

Soluciones:
-16

−2 = 4 16

( − 2) 4
=
Como conclusión se puede decir
que cuando un término que es
antecedido por un signo negativo
se eleva a un exponente impar el
término siempre será el mismo que
al inicio, en cambio elevado a un
número par se logrará el signo
contrario al inicial.

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Potencias con exponente 1
Es igual a la base de la potencia, es decir:

a1=a ejemplos: 101=10; 31=3
Ejercita:
• 7 1= Soluciones:
1)7
• 221= 2)22
3)4
• 4 1= 4)6

• 6 1= En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma
si el exponente es 1.

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Potencias con exponente -1
es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:
a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2
Ejercita:
−1 Soluciones:
2
1)  = ___ 2) 2
4
2)( 2,3) = ___
−1
3) 10/23
3)8−1 = ___ 4) 1/8
−1
  2  5) 3/10
4) 5 ⋅    = ___
 
  3 

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Multiplicación de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y
sumamos los exponentes, es decir:
an • am = an+m
al revés cuando tenemos una base con una suma en el
exponente la podemos descomponer, es decir:
an+m = an • am

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Ejercicio resuelto
Expresemos en forma de potencias: aquí
tenemos el producto del término (-1/2) cinco
veces (el término se repite 5 veces).En este
caso lo que se hace es sumar los
exponentes de todos los términos, dejando
solo un término.
5
 1  1  1  1  1   1 
 −  −  −  −  −  =  − 
 2  2  2  2  2   2 

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Resuelve estos ejercicios para ver
como vas manejando esta
propiedad
1)a ⋅ a = ___
3 5

2)b ⋅ b ⋅ b = ___
2 3 6

3)5 ⋅ 5 = ___
4

2 x+4 y x−2 y
4) a ⋅a = ___
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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
1)a8
2)b11
3) 55
4)a3x+2y

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya
tienes las nociones de esta propiedad clara, si
crees que costo, o tienes dudas, resuelve los
ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta
bibliografía de este módulo y encontrarás algunos
links para reforzarte.

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División de potencias de igual base
• En este caso, mantenemos la base y restamos
los exponentes, es decir:
an : am = an-m
al revés cuando tenemos una base con una resta
en el exponente la podemos descomponer, es
decir:
an-m = an : am

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Ejercicio resuelto
En el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base,
se pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso a paso.

6− 2
x :x = x
6 2
=x 4

(a + b) 3
3− 2
= (a + b) = (a + b)
(a + b) 2

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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta
propiedad

16
m
1) 6 = ____
m
x ⋅x
6 5
2) 5 4 = ____
x ⋅x
−4 −5
 2  2
3)  :   = _____
5 5
x +1 x −1
4)m : m = _____
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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te
haya ido bien.
1)m10
2)x2
3) 2/5
4)m2


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Potencia con exponente 0
Ejercita:
Es igual a 1:
• 30=___ 3)-20=___
a0=1, 00= no existe • (1/2)0=___ 4) 10=___

Soluciones:
Ejemplos:
1)1 3)-1
50=1 2)1 4)1
-40=-1

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Potencia con exponente negativo

Es la misma propiedad que con exponente
a -1,solo que ahora, cuando se da vuelta
al ser negativo el exponente, no queda en
1, sino que en n.
a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9
Ejercitemos: Soluciones:

1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___ 1)-1/4 3)9
2)1/4 4)16
2)(-2) =___ 4) (2 /2 ) =___
-2 2 3 -4

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Potencia de una potencia
Aquí debemos elevar la base a la multiplicación
de los exponentes.
(am)n = an • m
En el caso contrario si tenemos una base con
exponentes multiplicándose se pueden
distribuir.
an • m = (am)n

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Ejercicio resuelto
• Desarrollemos (a2 :a6)2
Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando
los exponentes, luego aplicando las propiedades ya
conocidas deberíamos poder llegar a un término.

a  2
a
2
a ( )
2⋅2
1 4
1
 6  = 6⋅2 = 12 = ( 12− 4 ) = 8 = a −8
a 
  a a a( ) a

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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando
esta propiedad

2
a b 2 4

1) 6
 x  = ___

 
(
2) 3a b c ) ⋅ ( 2a b c )
4 2 3 2 −2 5 3
= ___

3)( 9 x y z ) = ___
1
6 4 2 2

4)( a ) = ___
3
0 , 25 4

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Soluciones:
1) (a4b8)/x12
2) 72a2b19c9
3) 3x3y2z
4) a3/16

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Potencia de un producto
Elevamos el producto de las bases al
exponente común.
an • bn = (ab)n
Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis
elevado a un numero, los componentes del
paréntesis se pueden separar.
(ab)n = an • bn

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Ejercicio resuelto
Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar
las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.

3 ⋅ 5 = ( 3 ⋅ 5) = 60
4 4 4

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esta propiedad

1) x ⋅ a ⋅ 8 = ___
3 3

2)( a + b ) ⋅ ( 2q ) = ___
2 2

4 p −1 4 p −1
3)a ⋅b = ___
4)8 ⋅ 27 = ___
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Soluciones:
1) (2ax)3
2) [2q(a+b)]2
3) (ab)4p-1
4) 63

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Potencias de 10
•Se muestra cuando tenemos 10
elevado a un número cualquiera:

100 = 1 104 = 10000
101 = 10 105 = 100000
102 = 100 106 = 1000000
103 = 1000 107 = 10000000

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Notación científica
• Se utiliza para expresar grandes cantidades en
números mas pequeños.
• Para poder expresar un numero como notación
científica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y
luego hacer el producto entre este y una potencia de
10.
• Ej.:
- La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3•105 Km./s
- El tamaño de una célula: 0,000008 metros = 8•10-6
metros

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Ejercitemos juntos, para aprender
esta propiedad
Primero se tiene que dejar
lo mas reducido el
número que multiplica al
10, no puede ser decimal, −4
ni menos pasarse de 10 0,0003 = 3 ⋅ 10
unidades, se cuentan los
8
0, por cada cero será un
digito más. 800.000.000 = 8 ⋅ 10
Si es decimal, o sea un
número minúsculo, el
exponente es negativo y
si el número es muy
grande, es positivo el
exponente.

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esta propiedad

1) 0,0000000065 3)0,00000000000121
2) 123.000.000 4) 567.000.000.000

Soluciones:
1) 6,5 • 10-9 3) 1,21 •10-12
2) 1,23 • 108 4)5,67 • 1011

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Potencia con exponente fraccionario
• Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja
de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la
fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice
corresponde a el denominador de la fracción.
1 m

a = a
n n
a = n am
n

• Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver
una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el
índice como denominador y el exponente que tenga el
radicando como numerador en la potencia que se formaría
5
3
a =a
5 3

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Resuelve estos ejercicios para ver
como vas manejando esta propiedad

1 Soluciones:

1)25 2 = _____
1 2 1)5

2)64 2 + 81 4 = _____ 2)17
3)-1
1 1
4)10
3)125 3 − 216 3 = _____
1 1
4)1728 3 − 16 4 = ____

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Ecuaciones exponenciales
• Aquí se trabaja con los exponentes como los
elementos de la ecuación
• Lo mas difícil de estas ecuaciones es igualar las
bases
• Una ves igualada las bases se aplica la siguiente
propiedades y se igualamos exponentes:

a =a ⇒n=m
n m

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En el ejemplo b, se igualo
• Ejemplos:
para poder hacer la ecuación,
a)
cuando ya se igualo esta, se
32x-5=3x-3
trabaja deforma normal como
2x-5=x-3
x=2
una ecuación de primer
b)4x+3=82x+9 grado.

b)
(22)x+3=(23)2x+9
x+3=2x+9

-4x=21
x= -4/21

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Resuelve estos ejercicios para ver tu
aprendizaje, ya queda poco, para terminar
potencias

1)9 2 x −5
= 81 3) 256 x = 4 ⋅ 4 2 x −3
1
2( x −4)
2)3 =1 4)128 x =1

Soluciones:
1) x=7/2 3)x=-1
2) x=4 4) x=0/1= no solución en los reales

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Reforzamientos varios:

20 + 21 + 2 2 + 23 = ___
2 = ___
2

(12) −1 + (−12) −1 = ___
3 = ___
2
1 − 2 −1 + 2 − 2 − 2 −3 = ___
( −2) 3 = ___ (0,02) 2 + (0,02) − 2 = ___
−3
10 = ___
1
 4  1 
−1 −2 0

 3  +    = ___
( −1,1) = ___
3
 5 
 2 

−3 6  3  
−1 0

) = ___
−2
( = ___
4 11  
 5 
 

1 3
( −1 ) = ___ −1
2 5 2
−2 3

4   ⋅   ⋅   = ___
5 2 5
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Problema de profundización:

Alfredo recibe una carta pidiéndole que
participe en una “cadena”, enviándole
copia de la misma carta a 3 otras
personas, cada una de las cuales debe
enviarle un cheque por $1000 a vuelta
del correo. Él, a su vez, debe enviar
$1000 al remitente de la carta que
recibió. Si cada persona que recibe una
carta de esta “cadena” procede como
indicado, todos harán beneficios.
¿dónde esta la trampa?
Descúbrelo a través de tus
conocimientos adquiridos.

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Raíces

Índice de la raíz Operante
n
a Cantidad subradical o radicando

Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede
hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:
1
n
a =a n

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Propiedades de las raíces
Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las
propiedades de las raíces, veamos la primera:

Raíz de una potencia con exponente igual al índice.
• Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el
radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el
radicando como potencia, una base elevado a una
fracción de la siguiente forma:

1 n
/ Al elevar a n la raíz n-enesima
de a estamos simplificando el
n
a n = ( a ) = a = a1
n n n
/ proceso anterior por lo cual el
numero quedaría el numero

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• Veamos unos ejemplos:

2 Aplicando la propiedad,
5 =5 =5 =5
2 2 1 vemos que el índice y el
exponente del radicando
se deja en forma de
3
potencia, por lo tanto igual
3
7 3 = 7 = 71 = 7
3 numerador y denominador
dan como resultado 1, así
p se dice que se simplifico o
elimino la raíz y se
p
x p = x = x1 = x
p convierte en una simple
base elevado a 1 lo que da
como resultado la misma
5
5 1 base, como vemos en los
2 2 2 2 5 ejemplos.
5   =  =  = 
5 5 5 5

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Ahora te toca a ti trabajar:

1. 6 = 2

2. 59 =
4 4

3. 23 =
3 3

4. 48 =
5 5

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Raíz de un producto:
Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén
multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales
tienen el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen,
como se muestra a continuación.

n
a ⋅b = a ⋅ b n n

Así también podemos hacer el proceso inverso,
donde el producto de dos raíces de igual índice
que puede agrupar en una sola raíz

n
a ⋅ n b = n a ⋅b

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Resolvamos juntos estos ejercicios, separando
cada raíz en dos productos de raíces y
resolviéndolas por separado, luego se
multiplica y se obtiene el resultado
correspondiente:

4
1296 = 4 16 ⋅ 81 = 4 16 ⋅ 4 81 = 2 ⋅ 3 = 6
3
27000 = 3 125 ⋅ 216 = 3 125 ⋅ 3 216 = 5 ⋅ 6 = 30
4 ⋅ 25 = 4 ⋅ 25 = 100 = 10
3
8 ⋅ 3 27 = 3 8 ⋅ 27 = 3 216 = 6

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Trabaja tu:

1. 3 ⋅ 12 =
2. 3a ⋅ 2a ⋅ 6 =
3. 2 x ⋅ 4 x ⋅ 8 x =
3 3 3

4. 5 p ⋅ 5 p ⋅ 25 p =
4 3 4 7 4 6

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Soluciones:
1) 6
2) 6a
3) 4x
4) 5p4


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* Pasemos a Raíz de un cuociente:

• De la raíz de una fracción o división se puede separar en
2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior
y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.
a na ** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a
n =n raíz de un producto
b b
* Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y
el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se
muestra a continuación:

n
a n a
=
n
b b

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Resolvamos algunos ejemplos para
aprender mejor:

18
18 : 2 = = 6 Pero para poder
2 resolver algunos
ejercicios no solo
125 debemos dividir,
125 : 5 = = 25 = 5 sino también
5 aplicar
propiedades de
26a las potencias
26a : 2a = = 13 como es la resta
2a de exponentes
444a 3
444a 3 : 111a = = 4 =2
111a

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• Vamos te toca ahora

Si tienes alguna duda
240 no vaciles en repasar la
= ______ materia.!!!!
60
3
216
3
= ______
8
4096
4 = ______
16
600
= ______
6

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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.
1) 2
2) 3
3) 2
4) 10
crees que costo, o tienes dudas, consulta
bibliografíca de este módulo y encontrarás
algunos links para reforzarte.

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¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz?

* Bueno aquí simplemente se multiplican los
índices y se deja al final una sola raíz con
índice igual al producto de los índices. Como
se puede ver:

n m
a = n ⋅m
a

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Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando,
¿o no?:

2 = 2⋅2 2 = 4 2
a b
x = a⋅b x = ab x
3 4
531441 = 3⋅4
531441 = 531441 = 3
12

3 a
1= 3⋅a
1 = 1 =1
3a

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Sigue multiplicando tu los
índices y resuelve los siguiente:

1. 4
64 = ____

2. 5 4 3
1 = ____
3. 81 = ____
4. 4
729 = ____

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Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.
1) 2
2) 1
3) 3
4) 13
crees que costo, o tienes dudas, consulta
bibliografíca de este módulo y encontrarás
algunos links para reforzarte.

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Pasemos a amplificación y
simplificación del índice de una
raíz:

Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice
como el exponente de la cantidad subradical,
por un termino o numero en particular, ejemplo:

n⋅ p 1⋅ p
n
a= a
n: y
n
a = x
a x: y

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Resolvamos estos ejercicios:

10
25 = 5 10:5
25 5:5
= 25 = 5
1⋅2
3⋅ 4 =
3 2 •3
3 ⋅
1•3 3• 2
4 = 3 ⋅ 4 = 6 432
6 3 2

* • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver
mas fácilmente, así queda como resultado 5
• En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores,
ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se
puede resolver como cualquier otro problema.

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• Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la
amplificación y simplificación de raíces.

6
7 = _____
2

2
5 = _____
3

15
4 = _____
5

3
p = _____
4

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Soluciones:
1. 3 7
2. 5 5
3. 3 4
4. p 3 p
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y
encontrarás algunos links para reforzarte.

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Factor de una raíz como factor:
* En palabras simples es pasar un número que
multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe
elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro
multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así
se pueden aplicar otras operaciones como la suma de
raíces de igual índice.
Se da de la siguiente forma:
a⋅ b = b⋅an n n

** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser
no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:

288 = 12 ⋅ 2 = 12 2
2

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Vamos resolvamos:

20 = 2 ⋅ 5 = 2 5
2

7 2 = 7 ⋅ 2 = 98 2
* Se puede ver dos
posibilidades:
• simplificar una
3
250 = 5 ⋅ 2 = 5 2
3 3 3 raíz, dejándola mas
simple
• O realizar una raíz,
juntando términos,
pero de esta forma
queda una raíz muy
compleja.

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Racionalización de denominadores:
• La idea es dejar los denominadores sin expresiones con
raíces para poder trabajar mas fácilmente.
• Consiste en eliminar los radicales de los denominadores.

3 3⋅ 2 3 2 3 2
= = =
2 2⋅ 2 4 2
3 3⋅ 2 3
3 22
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
= = = =
3
2 3 2 ⋅ 3 22 3 2 ⋅ 22 3
2 3 2
En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el
radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder
eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.

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• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica
la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se
eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o
negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.
• Se presentan los siguiente casos de expresiones:

1 1⋅ 5 + 2 5+ 2 5+ 2
= = =
5− 2 ( )(
5− 2 ⋅ 5+ 2 ) ( 5) − ( 2) 2 2
3
1 1⋅ 5 − 2 5− 2 5− 2
= = =
5+ 2 ( )(
5+ 2 ⋅ 5− 2 ) ( 5) − ( 2)2 2
3

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Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe
amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:

(a 3
) (
+ b 3 = ( a + b ) ⋅ a 2 − ab + b 2 )
(a 3
− b ) = ( a − b) ⋅ ( a
3 2
+ ab + b 2 )
2 2 ( 3
32 − 6 + 3 2 2 ) = 2⋅( 3
32 − 6 + 3 2 2 )
( 2 )
=3 ⋅
3
3+ 2
3
3+ 2
3 3
32 − 6 + 3 2 5

Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero
evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.

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• Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupan
dos términos para dejarlos como suma por diferencia a
la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una
suma por diferencia simple:
3 (
3⋅ 5 + 2 + 3 ) ( )
5+ 2 + 3 ( )
3⋅ 5 + 2 + 3 3⋅ 5 + 2 + 3( )
5+ 2− 3
=
[( ) ] [(
5+ 2 − 3 ⋅ 5+ 2 + 3
=
) ] [( 5+ 2)] − ( 3 )
2 2
=
5 + 2 − 3 + 2 10
=
4 + 2 10
=

3⋅ ( 5 + 2 + 3) 3⋅ ( 5 + 2 + 3 ) ⋅ 2 ⋅ ( 2 − 10 ) − ( 5 + 2 + 3 ) ⋅ (2 − 10 )− ( )(
5 + 2 + 3 ⋅ 2 − 10 )
(4 + 2 10 ) ⋅ (4 + 10 ) ⋅ ( 4 − 2 10 )
=
16 − 8 10 + 8 10 − ( 4 ⋅ 100
=
) 4

Luego de resolver el trinomio, se
resolvemos el binomio resultante igual que
si fuera suma por diferencia, y así se
elimina términos con raíces en el
denominador, y en este caso nos queda
con denominador 4.

Seguir

Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:

2
1) =_____
2
3
2) =_____
2− 5
1
3) 3 =_____
9

Seguir

soluciones

1. 2
2. - 2 + 5
3
81
3.
9
Seguir

Ecuaciones irracionales:
son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical,
para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de
la raíz, para eliminarla:

Ejemplos: 6 +3 3 x +3 =3 / () 2
6 + 3 3x + 3 =9 / -6
3
3x + 3 =3 / ()3
2 x − +2 =7
1 / -2 3x + 3 = 27 / -3
2x - 1 = 5 / () 2 3x = 24 / :3
( 2x - 1 ) 2
= ( 5 )
2
x =8
2x - 1 = 25 / +1
2x = 26 / : 2
x = 13

Seguir

Practiquemos un poco

1. x − 1 = x − 3

2. x − 3 = 5
3. x( x − 3) − x = 5

4. x + 4 − 3 = x − 2
2

Seguir

Soluciones:
1. x1 = 5 x2 = 2
2. x = 28
25
3. x =
13
3
4. x =
2

Seguir

Gratificaciones:
• Haz pasado todo el modulo, espero que te
haya servido, consúltalo cada vez que
quieras algún concepto o algún dato
especifico.
• A continuación están los links y la
bibliografía mas exhaustiva para tu
comodidad, para poder profundizar mas
aun los temas propuestos en este
programa.

Seguir

Bibliografía:
• Libros:
- algebra arrayán.
 potencias páginas 295 a 307
 Raíces páginas 307 a 329
- Mare nostrum primero medio
 Potencias páginas 26 a 35
- Mare nostrum tercero medio
 Potencias y raíces páginas 14 a 41
- Mare nostrum cuarto medio
 potencias, exponenciales, funciones páginas 10 a 38
- Libro san mateo tercero medio matemático 2005
 potencias páginas 15 a 24
 Raíces páginas 24 a 31

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• Recurso “software e Internet”
- Encarta 2004 “software” definiciones.
-www.areamatematica.cl
 Apuntes y talleres.
-http://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.html
Consultas habladas a:
Sr. Héctor Thompson (Licenciado en educaciòn)

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