Slide for my talk at the GdR SDH meeting on September 20, 2007.

1. Groupe de travail SDH (GdR MACS)
Exposé pour la réunion du 20 septembre 2007
Les systèmes hybrides stochastiques généraux (GSHS)
et leur équation de Fokker-Planck-Kolmogorov
Julien Bect
Département Signaux et Systèmes Électroniques
http://www.supelec.fr/deptsse
20 septembre 2007

2. Plan de l’exposé
Introduction aux GSHS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
Conclusion / perspectives
Références
1 Plan de l’exposé
2 Introduction aux GSHS
Généralités
GSHS : dynamique hybride & probabilités
Comparaison avec les automates hybrides
Domaines d’application
Un modèle de consommation électrique
3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
Caractérisation de l’incertitude ?
Rappel : cas des EDO et des EDS
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Résultat numériques
4 Conclusion / perspectives
5 Références
2 / 23

3. Plan de l’exposé Généralités
Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides
Conclusion / perspectives Domaines d’application
Références Un modèle de consommation électrique
1 Plan de l’exposé
2 Introduction aux GSHS
Généralités
GSHS : dynamique hybride & probabilités
Comparaison avec les automates hybrides
Domaines d’application
Un modèle de consommation électrique
3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
Caractérisation de l’incertitude ?
Rappel : cas des EDO et des EDS
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Résultat numériques
4 Conclusion / perspectives
5 Références
3 / 23

4. Plan de l’exposé Généralités
Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides
Conclusion / perspectives Domaines d’application
Références Un modèle de consommation électrique
Généralités sur les SHS
modélisation probabiliste de l’incertitude
système hybrides stochastiques
vs modélisation non-déterministe
automates hybrides
99% de la littérature porte sur des systèmes markoviens
on s’y ramène (souvent) par augmentation de l’état
processus de Markov à temps continu
sujet de recherche assez ancien
depuis les 70’s : modèles à sauts de paramètres markoviens
introduction de modèles « à sauts forcés »
processus déterministes par morceaux (Davis, 1984)
formalisme GSHS (Bujorianu & Lygeros, 2004)
4 / 23

5. Plan de l’exposé Généralités
Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides
Conclusion / perspectives Domaines d’application
Références Un modèle de consommation électrique
Dynamique hybride & probabilités (1)
saut spontané
Xτ1 ∼ K (Xτ− , · )
1
E2
X0 saut forcé
Xτ−
1
Xτ−
2
λ(Xt ) ≥ 0
Xτ2 ∼ K (Xτ− , · )
2
E1
E3
(Librement inspiré d’un schéma de J. Lygeros, CTS-HYCON, 2006)
5 / 23

6. Plan de l’exposé Généralités
Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides
Conclusion / perspectives Domaines d’application
Références Un modèle de consommation électrique
Dynamique hybride & probabilités (2)
Résumé des éléments définissant un GSHS :
Espace d’état « hybride » : E = ∪q∈Q{q} × Eq
Dynamique continue : EDS
Deux types de sauts :
sauts spontanés, intensité stochastique λ(Xt ) ≥ 0
sauts forcés, déclenché par la garde G ⊂ ∂E
Réinitialisation : noyau de transition K (x , dx ′ )
« Domaine invariant » : E0 = E G
(par déf. on a toujours E0 ∩ G = ∅ !)
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7. Plan de l’exposé Généralités
Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides
Conclusion / perspectives Domaines d’application
Références Un modèle de consommation électrique
Comparaison avec les automates hybrides
Automate hybride GSHS
inclusion différentielle équation différentielle stoch.
E0 ∩ G = ∅ en général E0 ∩ G = ∅ (par déf.)
sauts possibles dans E0 ∩ G sauts spontanés dans E0
(non déterminisme) (probabiliste, intensité λ ≥ 0)
sauts forcés dans G E0 sauts forcés dans G
réinit. non-déterministe réinit. stochastique
xτk ∈ Reset(xτk )
− Xτk ∼ K (Xτ− , · )
k
x0 détermine un ensemble x0 détermine une loi de proba.
de trajectoires admissibles sur l’ensemble des trajectoires
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8. Plan de l’exposé Généralités
Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides
Conclusion / perspectives Domaines d’application
Références Un modèle de consommation électrique
On trouve des GSHS dans des domaines très variés !
ateliers de fabrication : machines avec pannes
consommation optimale de resources renouvelables
systèmes embarqués (projet Columbus)
gestion du trafic aérien (projet Hybridge)
biologie : réseaux de régulation génétique
énergie : consommation électrique, éolienne à vitesse variable
...
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9. Plan de l’exposé Généralités
Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides
Conclusion / perspectives Domaines d’application
Références Un modèle de consommation électrique
Généralisation à 2d du modèle de Malhamé et Chong (1985)
pièce n 1
˚ pièce n 2
˚
(temp. Zt1 ) (temp. Zt2 )
thermostat
Qt ∈ {0, 1}
« vecteur » d’état : Xt = (Qt , Zt )
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10. Plan de l’exposé Généralités
Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides
Conclusion / perspectives Domaines d’application
Références Un modèle de consommation électrique
Modélisation par un GSHS à sauts forcés
Qt = 0
dZt = f(0, Zt ) dt + σ dBt 20
Zt1
Zt1 > zmin 24
22
Zt1 = zmin
Zt1 = zmax 20
24
Zt2
Qt = 1 22
dZt = f(1, Zt ) dt + σ dBt
Zt1 < zmax 1
0.5
Qt
f(q, z ) = Az + zext fext + qfchauff
0
σ1 0 0 20 40 60 80 100
σ = 0 σ2
temps (minutes)
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11. Plan de l’exposé Généralités
Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilités
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides
Conclusion / perspectives Domaines d’application
Références Un modèle de consommation électrique
Espace d’état hybride du modèle
E = {0} × E0 ∪ {1} × E1
z2
mode on (q = 1)
E1 = −∞; zmax × R
zmin zmax z1
z2
mode off (q = 0)
E0 = zmin ; +∞ × R
zmin zmax z1
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12. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
1 Plan de l’exposé
2 Introduction aux GSHS
Généralités
GSHS : dynamique hybride & probabilités
Comparaison avec les automates hybrides
Domaines d’application
Un modèle de consommation électrique
3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
Caractérisation de l’incertitude ?
Rappel : cas des EDO et des EDS
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Résultat numériques
4 Conclusion / perspectives
5 Références
12 / 23

13. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
Caractérisation de l’incertitude ?
l’état Xt est une variable aléatoire. . .
mais quelle est sa loi de probabilité µt ?
Xt n’est (presque) jamais une V.A. gaussienne, donc
pour caractériser µt , il ne suffit pas de s’intéresser à la
moyenne et à la variance !
deux situations où la question se pose :
propagation de l’incertitude
µ0 est connue : évolution t → µt ?
GSHS stable (en loi)
comment trouver la loi stationnaire µst ?
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14. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
Rappel : cas des EDO et des EDS
systèmes dynamiques « classiques » : tps continu, E = Rn
on suppose l’existence d’une ddp : µt (dx ) = pt (x ) dx
deux cas particuliers
en l’absence de bruit : évolution déterministe (EDO)
X0 ∼ p0 (x ) dx
˙
Xt = f(Xt )
en présence de bruit : processus de diffusion (EDS)
X0 ∼ p0 (x ) dx
dXt = f(Xt ) dt + gk (Xt ) dBtk
k
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15. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
Équations de Liouville et de Fokker-Planck-Kolmogorov
cas déterministe (EDO) : l’équation de Liouville

∂pt jt = fpt
+ div (fpt ) = 0 −→
∂t  ∂pt + div jt = 0
∂t
cas diffusif (EDS) : l’équation de FPK
1
jt = fpt − gk div (gk pt )
2
k
lorsque la dynamique est hybride :
équation de FPK généralisée !
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16. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
Quelques références
Processus de diffusion & équation de FPK
Kolmogorov (1931), Itô (1950), Stratonovich (1966)
Généralisation aux processus diffusifs par morceaux
sauts spontanés (assez bien connu)
Kolmogorov (1931), Gardiner (1985),
Krystul, Bagchi & Blom (2003), Hespanha (2005)
sauts forcés (seulement en dimension 1 !)
Feller (1952, 1954), Malhamé & Chong (1985)
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17. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
Prendre en comptes les sauts : la notion d’intensité moyenne de sauts
Soit R (A) = Eµ0 k ≥1 1A Xτ− , τk .
k
On dit que X admet une intensité moyenne de sauts, pour la
mesure initiale µ0 , s’il existe une application t → rt , à valeurs
dans l’ensemble des mesures positives sur E, telle que :
1 pour tout Γ ∈ E, la fonction t → rt (Γ) est mesurable ;
t
2 pour tous Γ ∈ E et t > 0, R (Γ×]0; t]) = 0 rs (Γ) ds.
Que vaut rt (dx ) ?
sauts spontanés : rt0 (dx ) = λ(x ) µt (dx )
sauts forcés : rtG (dx ) = ???
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18. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
L’équation de FPK généralisée
notations
µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)
L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.
rt (dx ) intensité moyenne de sauts
K (x , dy) noyau de réinitialisation
t → µt obéit à l’équation d’évolution
µ′ = L∗ µt + rt (K − I )
t
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19. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
L’équation de FPK généralisée
notations
µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)
L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.
rt (dx ) intensité moyenne de sauts
K (x , dy) noyau de réinitialisation
t → µt obéit à l’équation d’évolution
µ′ = L∗ µt + rt (K − I )
t
dérivée
par rapport
au temps
18 / 23

20. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
L’équation de FPK généralisée
notations
µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)
L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.
rt (dx ) intensité moyenne de sauts
K (x , dy) noyau de réinitialisation
t → µt obéit à l’équation d’évolution
µ′ = L∗ µt + rt (K − I )
t
dérivée
effet de
par rapport
la diffusion
au temps
18 / 23

21. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
L’équation de FPK généralisée
notations
µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)
L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.
rt (dx ) intensité moyenne de sauts
K (x , dy) noyau de réinitialisation
t → µt obéit à l’équation d’évolution
µ′ = L∗ µt + rt (K − I )
t
dérivée
effet de effet des sauts
par rapport
la diffusion rt K = E rt (dx )K (x , · )
au temps
18 / 23

22. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
Corollaire important
On en déduit l’expression de l’intensité moyenne de sauts forcés.
Si µt (dx ) = pt (x ) dx au voisinage de G, avec p de classe C 2,1 ,
rtG (Γ) = jt , n ds ,
Γ∩G
avec n la normale sortante sur G.
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23. Retour sur l’exemple du thermostat
Une vidéo a été projetée à ce stade de la présentation.
Cette vidéo (≈ 2.3 Mo) est disponible sur la page « réunions »
du site web du groupe SDH, à l’adresse suivante :
http ://www.rennes.supelec.fr/sdh.

24. Plan de l’exposé
Caractérisation de l’incertitude ?
Introduction aux GSHS
Rappel : cas des EDO et des EDS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
L’équation de FPK généralisée aux GSHS
Conclusion / perspectives
Résultat numériques
Références
Considérations numériques
Discrétisation spatiale : méthode des volumes finis
conservation de la masse garantie
matrices « très creuses » (densité : 10−6 – 10−8 )
Efficace pour le calcul du régime stationnaire
calcul « direct » (recherche d’un vecteur propre)
compris précision / temps de calcul comparable à une
méthode de type Monte-Carlo
intérêt de résoudre FPK : construction d’une
approximation de µst , stockable donc réutilisable
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25. Plan de l’exposé
Introduction aux GSHS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
Conclusion / perspectives
Références
Conclusion / perspectives
GSHS : classe très générale de modèle stochastiques hybrides
formalisme unifié, proposé par Bujorianu & Lygeros (2004)
⇒ besoin d’outils unifiés également !
Caractérisation de l’incertitude
une équation de FPK généralisée a été établie
unification + prise en compte de sauts forcés
concept d’intensité moyenne de sauts
Directions de recherche
phénomène de Zénon, différentes formes de stabilité, etc.
fonctions de Lyapunov multiples ?
méthodes numériques
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26. Plan de l’exposé
Introduction aux GSHS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude
Conclusion / perspectives
Références
Références en lien avec le travail présenté
J. Bect, Processus de Markov diffusifs par morceaux :
outils analytiques et numériques. Thèse de doctorat, Univ.
Paris-Sud 11, 2007.
http ://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00169791/fr
J. Bect, H. Baili et G. Fleury, Generalized Fokker-Planck
equation for piecewise-diffusion processes with boundary
hitting resets, MTNS 2006, Kyoto, juillet 2006.
http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00016373/en
J. Bect, Y. Phulpin, H. Baili et G. Fleury, On the
Fokker-Planck equation for stochastic hybrid systems :
application to a wind turbine model, PMAPS 2006,
Stockholm, juin 2006.
http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00016375/en
23 / 23