Este documento trata sobre el análisis y procesamiento de señales. Introduce conceptos clave como señales continuas y discretas, transformaciones elementales de señales, funciones elementales y sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Explica que la convolución permite calcular la salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo dado cualquier entrada mediante la respuesta al impulso del sistema.
1. Procesamiento Digital de Señal
Tema 2 : Análisis de Señal e Introducción a los Sistemas
• Definición de señal y sistema
• Señales continuas y discretas
• Transformaciones elementales
• Funciones elementales continuas y discretas
• Definición de sistemas y propiedades
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Señales
• Definición de Señal
– Las señales son patrones de variación que representan
información codificada.
– Una señal se define como una magnitud física que varía con el
tiempo el espacio o cualquier otra variable independiente y
permite transmitir información.
Ejemplos:
– El sonido es una función de una variable, el tiempo, para cada
instante de tiempo (variable independiente) existe un valor
único de la función (variable dependiente).
– Una imagen es un función de dos variables (x,y), o si está en
movimiento de tres variables(x,y,t) que toma un valor que
codifica el color RGB del punto en cada instante.
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1
2. Señales
• Señales continuas y discretas.
– Analógicas, x(t) : Amplitud y Tiempo continuos.
– Muestreadas, xs[n] : Tiempo Discreto, Amplitud continua.
– Cuantizada, xQ(t) : Tiempo Continuo, Amplitud discreta.
– Digital, xQ[n] : Tiempo y Amplitud discretos.
t t
t t
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Señales
Definición de Energía y Potencia de una señal:
∞
– Energía de una señal :
E x = ∫ x ( t ) dt
2
−∞
– Potencia de una señal :
1
∫ x(t )
2
Px = lim dt
T0 →∞ T0 T0
Clasificacion en función de su energía y potencia
– Una señal se dice que es de energía si Ex es finito, lo que
implica que Px es 0. Ej. Pulsos limitados en el tiempo.
– Una señal se dice que es de potencia si Px es finito, lo que
implica que Ex es infinito. Ej. Una señal periódica.
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3. Señales
Propiedades de las señales para su clasificación
– Continuas: Se definen para todo tiempo t.
– Periódicas: Aquellas que verifican xp(t) = xp(t±nT),
donde T es el periodo y n es un entero.
– Causales: Son 0 para t<0.
Se definen sólo para el eje positivo de t.
– Anticausales: Son 0 para t>0.
Se definen sólo para el eje negativo de t.
– No causales: Se definen para todo el eje de t.
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Señales
Clasificación de señales basadas en simetrías:
– Simetría Par: x(t) = x(-t)
– Simetría Impar: x(t) = -x(-t)
Ejercicio: Se pide demostrar que una señal no simétrica
puede siempre expresarse como la suma de una función
par fp(t) y una función impar fi(t) .
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4. Señales
Transformaciones elementales:
Desplazamiento en el tiempo:
– Señal adelantada y retrasada en el tiempo
• x(t-t0), desplazamiento a la derecha. (Retrasada)
• x(t+t0), desplazamiento a la izquierda. (Adelantada)
Reflexión:
– Inversión en el tiempo de x(t) = x(-t)
Cambios lineales de escala en la variable independiente:
– Compresión en el tiempo de x(t) = x(2t)
– Dilatación en el tiempo de x(t) = x(t/2)
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Señales
• Ejemplos de Transformaciones elementales:
Sea
s ( t ) = t , para 0 ≤ t ≤ 1
s ( t ) = 1 2 ( 3 − t ), para 1 ≤ t ≤ 3
s ( t ) = 0 , para el resto
El desplazamiento en el tiempo y(t) = s (t-2) es:
y ( t ) = t − 2 , para 2 ≤ t ≤ 3
y ( t ) = 1 2 ( 5 − t ), para 3 ≤ t ≤ 5
y ( t ) = 0 , para el resto
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5. Señales
Funciones elementales(continuo) : Funciones elementales(discreto) :
– Escalón unidad : u(t) – Escalón unidad : u(t)
u (t ) = 0 , t 〈 0 u [ n ] = 0 , para n 〈 0
u ( t ) = 1, t 〉 0 u [ n ] = 1, para n ≥ 0
– Impulso δ(t) o función delta de – Impulso unitaro δ[n] o delta de
Dirac Kronecker
δ (t ) = 0 , t ≠ 0
∞
δ [ n ] = 0 , para n ≠ 0
∫ δ (τ ) d τ =1 δ [ n ] = 1, para n = 0
−∞
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Señales
Otras Funciones elementales:
– Escalón unidad : u(t)
– Rampa : r(t)=t u(t)
– Pulso : u(t+1/2)-u(t-1/2)
– Triangular : tri(t)=r(t+1)-2r(t)+r(t-1)
– Seno Cardinal , Senc :
sen (π t )
senc ( t ) =
πt
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6. Señales
Función delta de Dirac Función triangular unidad Función rampa unidad
2
1 1
0.8 0.8 1.5
0.6 0.6 1
0.4 0.4
0.5
0.2 0.2
0 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0 0
0.5 1 1.5 2 -2 -1 0 1 2 -2 0 2
Tiempo (t) Tiempo (t) Tiempo (t)
Función pulso unidad Función escalón unidad Función Sinc
1 1 1
0.8
0.8 0.8
0.6
0.6 0.6 0.4
0.4 0.4 0.2
0.2 0.2 0
0 -0.2
0
-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -5 0 5
Tiempo (t) Tiempo (t) Tiempo (t)
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Señales
Propiedades de interés entre las funciones elementales:
d u (t )
δ (t ) = δ [ n ] = u [ n ] − u [ n − 1]
dt
∑
∞
t
u[ n ] = δ [n − k ]
u (t ) = ∫
− ∞
δ (τ ) d τ k =0
1
δ [α ( t − β )] = ⋅ δ (t − β ) x[ n ]δ [ n ] = x[ 0 ]δ [ n ]
α
x ( t ) ⋅ δ ( t − α ) = x (α ) ⋅ δ ( t − α ) x[ n ]δ [ n − n0 ] = x[ n0 ]δ [ n − n0 ] = x[ n0 ]
∞
∫ x ( t ) ⋅ δ ( t − α ) ⋅ dt
−∞
= x (α )
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7. Procesamiento Digital de Señal
Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo
• Sistemas LTI. Principio de Superposición
• Respuesta al impulso de un sistema LTI
• Concepto y definición convolución
• Representación de sistemas en tiempo discreto.
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Sistemas
• Un sistema físico es un conjunto de dispositivos conectados entre
sí, cuyo funcionamiento está sujeto a leyes físicas.
– Desde nuestro punto de vista, es todo aquello que realiza un
proceso sobre una señal ≡ un procesador de señal.
La representación de un sistema en tiempo continuo se realiza normalmente a
través de ecuaciones diferenciales. Se relacionan la salida y(t) y la entrada x(t)
mediante constantes, parámetros y variables independientes (tiempo):
d n y(t ) d n −1 y (t ) dy (t ) d m x(t ) dx (t )
a0 n
+ a1 n −1
+ ... + an −1 + an y (t ) = b0 m
+ ... + bm −1 + bm x(t )
dt dt dt dt dt
La representación de un sistema en tiempo discreto se realiza por su ecuación en
diferencias o por su diagrama de bloques.
N −1 M −1
y[n] = −∑ ak • y[n − k ] + ∑ bk • x[m − k ]
k =1 k =0
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8. Sistemas
• La señal o señales a ser procesadas forman la excitación o
entrada x del sistema.
• La señal procesada es la respuesta o salida y del sistema.
Dominios de interés:
– El análisis de sistemas implica el estudio de la respuesta del
sistema a entradas conocidas.
– La síntesis de sistemas se realiza especificando las salidas que
deseamos para una entradas dadas y estudiando que sistema
es el más adecuado (Identificación de sistemas).
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Sistemas
x(t) y(t) x: entrada del sistema
y: salida del sistema
x[n] y[n] t ó n ; variable independiente
• Clasificación de los sistemas:
– Lineales: Los coeficientes no dependen de x ó y. No hay
términos constantes.
– No lineales: Los coeficientes dependen de x ó y. Hay
términos constantes.
– Invariantes en el tiempo: Los coeficientes no dependen de t.
– Variantes en el tiempo: Los coeficientes son funciones
explícitas de t.
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9. Sistemas
• Propiedades que definen los sistemas:
– Continuos.
– Discretos
– Lineales
– Invariantes en el tiempo
– Con Memoria.
– Invertibles
– Causales
– Estables e Inestables
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Sistemas Lineales
Definición de sistema Lineal
– Sea y1(t) la respuesta de un sistema a una entrada x1(t), y sea y2(t)
la salida correspondiente a la entrada x2(t). Entonces el sistema es
lineal si :
1. La respuesta a x1(t)+ x2(t) es y1(t)+ y2(t)
PROPIEDAD de ADITIVIDAD
2. La respuesta a kx1(t) es ky1(t) donde k es una constante compleja
cualquiera
PROPIEDAD de ESCALAMIENTO u HOMOGENIEDAD
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10. Principio de Superposición
Un sistemas lineal satisface el principio de superposición:
– Si al aplicar individualmente, como entradas al sistema, las señales x1(t), x2(t), ...
,xn(t))
– obtenemos como salida del sistema las señales y1(t), y2(t), ...,yn(t)).
x1(t) y1(t)
x2(t) y2(t)
x3(t) y3(t)
– La respuesta del sistema a una señal de entrada x(t) formada por la combinación
lineal de dos o más señales
x(t) = ax1(t)+b x2(t) +...+ kxn(t)
es igual a la combinación lineal de la suma de las respuestas del sistema a cada
una de las señales
y(t) = ay1(t)+ by2(t) +...+ kyn(t) x(t) y(t)
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Sistemas Invariantes en el tiempo
Se dice que un sistema es invariante en el tiempo cuando su
comportamiento y sus características permanecen fijos en el tiempo
– La respuesta y(t) depende sólo de la entrada x(t) y no de en que
tiempo se aplica al sistema .
Si T{x(t)} = y(t), entonces T{x(t- t)} = y(t- t ), donde T{ } representa el sistema. Por
tanto, conocida y(t) si el sistema es invariante la salida a x(t- t ) se pueda calcular
a partir de un desplazamiento temporal.
x(t) y(t) x(t-t)
y(t- t)
y(t- t)
(t- t)
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11. Sistemas LTI
• Muchos sistemas continuos de interés son del tipo lineal
invariante en el tiempo (LTI).
– La respuesta al impulso de un sistema se representa por h(t) y
corresponde a la salida de un sistema LTI cuando la entrada es la
señal impulso unidad d( t).
δ(t) h(t)
– A partir de la respuesta al impulso se puede estudiar la respuesta a
cualquier tipo de entrada. Para ello basta con conseguir expresar la
entrada x(t) en función del impulso unidad
– Por esta razón h(t) también se denomina función de transferencia del
sistema.
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Concepto y Definición de Convolución
Mediante la convolución calcularemos la respuesta de un sistema
(y(t)) a una entrada arbitraria (x(t)).
• Dos condiciones para realizar la convolución:
– Sistema LTI.
– Se conoce que la respuesta al impulso del sistema es h(t).
• Basándonos en el principio de superposición y en que el sistema
es invariante en el tiempo:
Si T {δ (t )} = h(t ) → T {K ⋅ δ (t − t0 )} = K ⋅ h(t − t0 )
• Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un
tren infinito de impulsos.
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12. Definición de Convolución
Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un
tren infinito de impulsos.
∞ t=0
Se define la función δ (t ) =
impulso d(t) como: 0 t≠0
y su versión desplazada ∞ t = t0
δ (t − t 0 ) =
0 t ≠ t0
con las siguientes ∞
propiedades:
∫ δ (τ )dτ = 1
−∞
∞
∫ x(τ )δ (t − τ )dτ = x(t )
−∞
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Concepto y Definición de Convolución
La última propiedad permite la descomposición de una entrada
arbitraria x(t) como una suma de impulsos mediante la formula:
∞
x(t ) = ∫ x(τ )δ (t − τ )dτ
−∞
Aplicando el principio de superposición al ser un sistema LTI:
∞ ∞ ∞
y(t) = T{x(t )} = T ∫ x(λ) ⋅δ (t − λ) ⋅ dλ = ∫ x(λ) ⋅T{δ (t − λ)}⋅ dλ = ∫ x(λ) ⋅ h(t − λ) ⋅ dλ = x(t ) ∗h(t )
−∞ −∞ −∞
Mediante convolución se consigue determinar la respuesta del sistema a
una señal de entrada a partir de la respuesta del sistema al impulso.
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13. Propiedades de la Convolución
• Supóngase que x(t)*h(t)=y(t)) entonces:
[ x1 ( t ) + x 2 ( t ) ] ∗ h ( t ) = y 1 ( t ) + y 2 ( t )
[K 1 x1 ( t ) + K 2 x 2 ( t ) ]∗ h ( t ) = K 1 y1 ( t ) + K 2 y 2 ( t )
x (t ) ∗ h (t − α ) = y (t − α )
x (t − α ) ∗ h (t − β ) = y (t − α − β )
δ (t ) ∗ h (t ) = h (t ) d(t) h(t)
x ( t ) ∗ h ′( t ) = x ′ ( t ) ∗ h ( t ) = y ′( t )
x ′( t ) ∗ h ′( t ) = y ′′( t )
x m (t ) ∗ h n (t ) = y m + n (t ) x(t) y(t)
1
x (α t ) ∗ h (α t ) = y (α t )
α
y(t)= x(t)*h(t)
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Interpretación Gráfica de la Convolución
Enlace original: http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html
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14. Convolución Discreta
La convolución discreta se define en base a la respuesta de un
sistema LTI a cualquier entrada
∞
y[n] = x[n]∗ h[n] = ∑ x [k ]h [n − k ]
s s
k = −∞
– Este resultado se conoce como la suma de convolución y la operación del
miembro derecho define la convolución de las secuencias x[n] y h[n]
• Propiedades sobre la duración de la convolución discreta.
– El índice del comienzo de la convolución es la suma de los índices de comienzo de
las respectivas señales. Si las dos señales comienzan en n=n0 y n=n1, la convolución
comienza en n=n0+n1.
– Para dos secuencias de duración M y N, su convolución se extiende durante M+N-1
muestreos.
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Convolución Discreta
Propiedades de la convolución discreta (x[n]*h[n]=y[n])
∞
y [n ] = ∑ x [k ]h [n − k ]
k = −∞
[Ax 1 + Bx 2 ]∗ h = y 1 + y 2
x [n ]∗ h [n − α ] = x [n − α ]∗ h [n ] = y [n − α ]
x [n − α ]∗ h [n − β ] = y [n − α − β ]
δ [n ]∗ h[n ] = h[n ]
h[n ] = δ [n ]∗ h[n ] = {u [n ] − u [n − 1]}∗ h[n ] = yu [n ] − yu [n − 1]
∞
u [n ]∗ x[n ] = ∑ x[k ]
k = −∞
{x[n ] − x[n − 1]}∗ h[n ] = y[n ] − y[n − 1]
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15. Convolución Discreta
Métodos para calcular la convolución a partir de dos secuencias
• Método de la tira deslizante
• Método de las Suma por Columnas
• Método de la malla.
x[n]
3 1 2 -1
3 1 2 -1 1
6 2 4 -2 2 h[n]
9 3 6 -3 3
y[n] 3 7 13 6 4 -3
n= 0 1 2 3 4 5
y[n]={3,7,13,6,4,-3,0,…}, n=0,1,2,...,5
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Interpretación Gráfica de la Convolución
Enlace original: http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv/index.html
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16. Correlación
Correlación: Es una operación similar a la convolución, con la diferencia de
que en la correlación no se reflejar una de las señales:
∞
CONTINUO Rxy(t) = x(t) ∗∗y(t) = ∫ x(λ) y(λ −t)dλ = x(t) ∗ y(−t)
−∞
∞
DISCRETO R xy [n ] = ∑ x[k ]y [k − n ] para n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, L
k = −∞
– La correlación nos da una medida de la similitud entre dos señales.
– No existe la propiedad conmutativa por lo que dadas dos señales x(t) e
y(t) se definen dos correlaciones:
∞ ∞
R xy ( t ) = x ( t ) ∗ ∗ y ( t ) = ∫ x (τ ) y (τ − t)dτ R xy [n ] = ∑ x[k ]y [k − n ]
−∞ k = −∞
∞ ∞
R yx ( t ) = y ( t ) ∗ ∗ x ( t ) = ∫ y (τ ) x (τ − t)dτ R yx [n ] = ∑ y [k ]x[k − n ]
−∞
k = −∞
que sólo coinciden en t=0 : Rxy(0)= Ryx(0)
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Autocorrelación
La correlación de una señal consigo misma se denomina autocorrelación:
∞
CONTINUO Rxx (t ) = x(t ) ∗ ∗x(t ) = ∫ x(λ ) x(λ − t )dλ
−∞
∞
DISCRETO R xx [n ] = ∑ x[k ]x[k − n ] para n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, L
k = −∞
La autocorrelación representa la similitud entre una señal y su
desplazada.
El máximo de autocorrelación se obtiene cuando no hay desplazamiento
(t=0).
La autocorrelación es simétrica con respecto al origen, ya que
Rxx(t)=Rxx(-t).
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17. Sistemas Digitales
Una señal discreta se puede descomponer en
Sistema discreto función de δ[n] ∞
x [n ] = ∑ x [k ]δ [n − k ]
k = −∞
x[n] y[n]
T Si el sistema esta caracterizado por la respuesta
h[n] y es LTI
h [n ] = T {δ [ n ]}
h [n − k ] = T {δ [ n − k ]}
Sistema Lineal e Entonces:
Invariante en el Tiempo ∞
x[n] y [n ] = T { x[ n ]} = T { ∑ x [k ]δ [n − k ]}
y[n] k = −∞
h[n] ∞ lineal
y [n ] = ∑ x[k ] T {δ [n − k ]}
k = −∞
∞ invariante
y [n ] = ∑ x[k ] h[n − k ]
k = −∞
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Sistemas Discretos LTI
El sistema se caracteriza por la respuesta al
impulso h[n]
Sistema discreto h [n ] = T {δ [ n ]}
x[n] y[n] Características
T Causal h [n ] = 0 , n<0
Estable ∑ h[n ] < ∞
Sistema Lineal e La salida depende de x[n] y h[n]
Invariante en el Tiempo y[n] es la convolucion de x[n] con h[n]
x[n] y[n]
Ecuación de convolución
h[n]
∞
y [n ] = x[ n ] * h[ n ] = ∑ x[k ] h[n − k ]
k = −∞
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18. Sistemas Discretos
La mayor parte de los sistemas digitales de interés son LTI
Las señales de entrada vienen dadas por secuencias y la operación
que realiza el sistemas es una ecuación del tipo
y [n ] + A1 y [n − 1] + A 2 y [n − 2 ] + L + A N y [n − N ]
= B 0 x [n ] + B1 x [n − 1] + L + B M x [n − M ]
que se denomina ecuación en diferencia.
Es fácil comprobar que este tipo de sistema satisface
– Linealidad
– Invariancia en el tiempo
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Sistemas Discretos
Clasificación de sistemas digitales
Por la respuesta del sistema h[n]
Sistemas FIR: caracterizado por tener una respuesta al
impulso finita
Sistemas IIR: con respuesta al impulso infinita
En cuanto a su realización
Sistemas No Recursivos
Sistemas Recursivos
Sistemas Realizables
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19. Sistemas Digitales
Sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias finitas
Sistema de interés práctico
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Sistemas Digitales
Sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias finitas
Sistemas de interés Práctico: IMPLEMENTACION
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20. Sistemas Digitales
Sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias finitas
Ejemplo: sistema de orden 2
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Sistemas Digitales
Sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias
Función de transferencia H(z)
Relacion entre la salida y la entrada del sistema H(z) = y[n]/x[n]
Para obtener una expresión de H(z) se tiene en cuenta que almacenar un
dato significa retrasar su uso un tiempo igual al periodo de muestreo. Este
retraso se representa mediante z-1 (retraso de una unidad),y así z-2 (dos
unidades, etc).
Ejemplo: y[n] –y[n-1] = b x[n]+b x[n-1]
0 1
y[n] – z-1 y[n] = b0x[n]+b1 z-1 x[n]
(1 – z-1 )y[n] = (b0+b1 z-1 )x[n]
y[n]/x[n]=H(z)= (b0+b1 z-1 )/ (1 – z-1 )
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21. Realización de Sistemas Digitales
• Para realizar estos sistemas digitales se debe partir de un
diagrama con las operaciones a realizar:
– Software :diagrama de flujo
– Hardware: diagrama de bloques, que especifica los elementos
del circuito y sus interconexiones.
• Una correcta elección del diagrama de bloques puede optimizar
significativamente las prestaciones de la realización (tiempo de
computación, memoria necesaria, minimizar los efectos de
cuantización, etc).
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Realización de Sistemas Digitales
• Propiedades de los diagramas de bloques
– Conexiones en cascada: La función de Transferencia global
de una conexión en cascada es el producto de las funciones de
Transferencia individuales.
– Conexiones en paralelo: La función de Transferencia global
de una conexión en paralelo es la suma de las funciones de
Transferencia individuales.
– Conexión en realimentación: La salida se realimenta en la
entrada directamente o a través de otros subsistema. La
función de Transferencia global viene dada por la relación
G( z )
HT (z) =
1 + G( z ) H ( z )
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22. Realización de Sistemas Digitales
H1 H2 H1 H2
Conexión de dos sistemas en Cascada
+
H1 Σ
+
H1+H2
H2
Conexión en paralelo de dos sistemas
+
Σ G
- G
1+GH
H
Un sistema sencillo con realimentación
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Realización de Sistemas Digitales
• Sistemas FIR (MA:Medium Average): Son sistemas no recursivos cuya
función de Transferencia HMA(z) y su correspondiente ecuación diferencia y[n]
son de la forma,
H MA ( z ) = B0 + B1 z −1 +L+ BM z − M y[n ] = B0 x[n ] + B1 x[n − 1]+L+ BM x[n − M ]
puede realizarse utilizando el diagrama de la figura
x[n] B0 +
Σ y[n]
+
z-1
B1 +
Σ
+
z-1
B2 +
Σ
+
z-1
BM
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23. Realización de Sistemas Digitales
• Sistemas Autoregresivos (AR): Son sistemas recursivos cuya función de
Transferencia HAR(z) y su correspondiente ecuación diferencia y[n] son de la
forma,
1
H AR ( z ) = −1 −N
y[n ] = − A1 y[ n − 1]−L− AN y[n − N ] + x[n ]
1 + A1 z +L+ AN z
puede realizarse utilizando el diagrama de la figura,
x[n] +
Σ y[n]
+
z-1
Σ + -A1
+
z-1
Σ + -A2
+
z-1
-AN
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Realización de Sistemas Digitales
• Sistemas ARMA( AutoRegresivo y Medium Average) : Son la combinación de los dos
anteriores. Su función de Transferencia y ecuación diferencia son,
B0 + B1 z −1 +L+ BM z − M
H(z) = = H AR ( z ) H MA ( z )
1 + A1 z −1 +L+ AN z − N
y[n ] = − A1 y[ n − 1]−L− AN y[ n − N ] + B0 x[ n]+L+ BM x[n − M ]
El diagrama puede hacerse de varias formas,
x[n] B0 +
Σ +
Σ y[n]
+ +
z-1 z-1
B1 +
Σ Σ + -A1
+ +
z-1 z-1
Directa I
B2 +
Σ Σ + -A2
+ +
z-1 z-1
BM -AN
HMA(z)·HAR(z)
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24. Realización de Sistemas Digitales
x[n] +
Σ B0 +
Σ y[n]
+ +
z-1 z-1
Σ + -A1 B1 +
Σ
+ +
z-1 z-1
Σ + -A2 B2 +
Σ
+ +
z-1 z-1
-AN BM
HAR(z)·HMA(z)
• Esta dos formas son idénticas. Se denominan forma directa I. Requieren el
uso de (N+M) elementos de memoria, (N+M) sumadores y (N+M+1)
multiplicadores.
• Esta última forma sugiere la eliminación M elementos de memoria, ya que
están repetidos. El diagrama resultante se denomina forma directa II.
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Realización de Sistemas Digitales
x[n] +
Σ B0 +
Σ y[n]
+ +
z-1
Σ + -A1 B1 +
Σ
+ +
z-1
Σ + -A2 B2 Σ Forma Directa II
+
+ +
z-1
Σ -AM BM
z-1
-AN
• De la forma directa II pasamos a la forma transpuesta o canónica. Consiste en
sustituir los nodos por sumas, las sumas por nodos, invertir el sentido de las
flechas y finalmente intercambiar los coeficientes y x[n] e y[n].
• Demostración ver: Crochiere y Oppenheim (1975)
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25. Realización de Sistemas Digitales
x[n] B0 + Σ y[n]
+
z-1
B1 + Σ -A1
+
+
z-1
B2 Σ -A2
+
+
+ Forma Transpuesta o
Canónica
z-1
BM + Σ -AM
+
+
z-1
-AN
• Esta forma da lugar a una realización con N elementos de memoria,
(N+M+1) multiplicadores y N sumadores.
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Referencias
WEB
Curso Tratamiento digital de señal por Andoni Irizar Picón
http://www1.ceit.es/asignaturas/tratamiento%20digital/tds5.html
Apuntes en WEB : Digital Signal Processing and Spectral Analysis by
Abdhelhak Zoubir
http://www.ece.curtin.edu.au/~dsp304/docs/notes/manuscript.pdf
Introduction to Digital Filters by Julius O. Smith III
http://www-ccrma.stanford.edu/~jos/filters/
FUNDAMENTALS OF SIGNALS AND SYSTEMSUSING THE WEB
AND MATLAB SECOND EDITION, EDWARD W. KAMEN AND
BONNIE S. HECK 2000 By Prentice-Hall, Inc.
http://users.ece.gatech.edu:80/~bonnie/book/
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