O documento descreve os conjuntos dos números reais, racionais e irracionais. Define o que são números racionais e irracionais e dá exemplos de cada um. Também explica a reta real e como se relacionam os números nela, além de apresentar as operações básicas com números reais.
Conjunto dos números reais, operações e expressões numéricas
1. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
1
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Գ ൌ ሼ 0, 1, 2, 3, 4, … ሽ ܿݐ݊ݑ݆݊ ݀ݏ ݊ú݉݁ݏݎ ݊ܽ.ݏ݅ܽݎݑݐ
Ժ ൌ ሼ… െ 3, െ2, െ1, 0, 1, 2, 3, … ሽ ܿݐ݊ݑ݆݊ ݀ݏ ݊ú݉݁ݏݎ .ݏݎ݅݁ݐ݊ܫ
Է ൌ ቄ ݔ א Է ݔ⁄ ൌ
ܽ, ܾ א Ժ , ܾ ് 0 ቅ ܿݐ݊ݑ݆݊ ݀ݏ ݊ú݉݁ݏݎ .ݏ݅ܽ݊݅ܿܽݎ
ുൌ ሼ ݔ ב Է ݔ⁄ ൌ √2, √3 , √5
య
, … ߨ, ݁, … ሽ ܿݐ݊ݑ݆݊ ݀ݏ ݊ú݉݁ݏݎ ݅.ݏ݅ܽ݊݅ܿܽݎݎ
A diferença entre um número racional e um número irracional:
Número Racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou infinita e periódica (possui dízima).
Exemplo de números racionais:
a)
ଷ
ଵ
ൌ 0,3 é um decimal finito.
b)
ଵ
ൌ 0.1666 … é um decimal infinito e periódico com dízima 6.
c)
ସ
ଶ
ൌ 2 é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional.
Número Irracional é todo número cuja a representação decimal é sempre infinita sem ser periódica.
Exemplo:
a) ߨ ൌ 3,1415927 … representa a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro.
ߨ ൌ
௧ ௗ ௨ê
ௗâ௧ ௗ ௨ê
ൌ 3,1415927 … é ܽ݉ݑ ܿ݁ݐ݊ܽݐݏ݊
݁ ൌ 2,7182818 … , é ܽ݉ݑ ܿ݁ݐ݊ܽݐݏ݊ ݄ܿܽ݉ܽ݀ ݀݁ ܿ݁ݐ݊ܽݐݏ݊ ݀݁ .ݎ݈݁ݑܧ
√2 ൌ 1,4142135 … é um número infinito sem dízima.
Definimos o conjunto dos números Reais sendo a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais.
Թ ൌ Է ܫ ܿݐ݊ݑ݆݊ ݀ݏ ݊ú݉݁ݏݎ .ݏ݅ܽ݁ݎ Թ
Է ു
Exercícios:
Dados os números abaixo, identifique os números racionais e os números irracionais:
a) 3,12 e) 0 i) - 9
b) 0,3333... f) - 6,8 j) 17,323232...
c) 1,73205... g) √4 l) 0,5
d) 25 h) - 1,4142... m)
ଶ
ଷ
2. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
2
RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os números reais, o número zero representa a origem da reta.
Os números da reta real são simétricos e opostos.
-6 -5 -4 -3,14 -3 -2 -√2 -1 0 1 √2 2 3 3,14...
. . . I I I I I I I I I I I I I I I I.... r reta real
* Os números da reta que estão a esquerda de um número em questão sempre serão menores que esse número.
Exemplo: 1 ݁ݐݏá ܽ ݁ܽ݀݁ݑݍݏ ݀݁ 2 logo 1 ൏ 2
ሺെ6ሻ ݁ݐݏá ܽ ݁ܽ݀ݎ݁ݑݍݏ ݀݁ ሺെ5ሻ ݈݃ ሺെ6ሻ ൏ ሺെ5ሻ
ሺെ2,3ሻ ݁ݐݏá ܽ ݁ܽ݀ݎ݁ݑݍݏ ݀݁ ሺെ1,5ሻ ݈݃ ሺെ2,3ሻ ൏ ሺെ1,5ሻ
Em geral ...െ4 ൏ െ3 ൏ െ2 ൏ െ1 ൏ 0 ൏ 1 ൏ 2 ൏ 3 ൏ 4 …
*Os números da reta que estão a direita de um número em questão, sempre serão maiores que esse número.
Exemplo: ሺെ 1ሻ݁ݐݏá ܽ ݀݅ܽݐ݅݁ݎ ݀݁ ሺെ4ሻ ݈݃ ሺെ 1ሻ ሺെ4ሻ
൫െ √2 ൯݁ݐݏá ܽ ݀݅ܽݐ݅݁ݎ ݀݁ ሺെ3,1415 … ሻ ݈݃ ሺ െ √2 ሻ ሺെ3,1415 … ሻ
OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS
ADIÇÃO: A soma de números reais resulta em um número real.
Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal.
Exemplos:
ሺሻ ሺሻ ൌ ሺሻ ݑ ሺെሻ ሺെሻ ൌ ሺെሻ
a) 2 9 ൌ 11 c) (െ2 ሻ ሺെ 9ሻ ൌ െ11
b) 15 10 ൌ 25 d) (െ15 ሻ ሺെ10ሻ ൌ െ25
ܛܑ܉ܖܑ܁ :ܛ܍ܜܖ܍ܚ܍ܑ܌ subtraem െ se os números e dá െ se o ܔ܉ܖܑܛ ܗ܌ ܚܗܑ܉ܕ em módulo ሺ maior algarismoሻ.
Exemplos:
a) ሺെ3ሻ 5 ൌ 2 ݏ݅ 5 é ݉ܽ݅ݎ ݈ܽ݃ܽ݉ݏ݅ݎ ݁ é .ݒ݅ݐ݅ݏ
b) ሺെ15ሻ 10 ൌ െ 5 ݏ݅ 15 é ݉ܽ݅ݎ ݈ܽ݃ܽ݉ݏ݅ݎ ݁ é ݊݁݃ܽ.ݒ݅ݐ
ܿሻ 7 ሺെ3ሻ ൌ 4
݀ሻ 4 ሺെ10ሻ ൌ െ 6
SUBTRAÇÃO: é a operação INVERSA da adição. A subtração de números reais resulta em um número real. Toda
subtração é uma adição.
O sinal positivo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o
sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o mesmo sinal.
Exemplo:
a) െ8 ሺ 9 ሻ ൌ െ8 9 ൌ 1
b) െ8 ሺെ9ሻ ൌ െ8 െ 9 ൌ െ17c) 12 ሺെ15ሻ ൌ 12 െ 15 ൌ െ3
O sinal negativo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o
sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o sinal trocado.
Exemplos:
a) ( െ4ሻ െ ሺ 6ሻ ൌ ሺെ4ሻ െ 6 ൌ െ10
b) െ 16 െ ሺെ20ሻ ൌ െ16 20 ൌ 4
c) 9 െ ሺെ10ሻ ൌ 9 10 ൌ 19
3. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
3
MULTIPLICAÇÃO : ou produto de números reais sempre será um número real.
Sinais iguais multiplicam-se os números e dá-se o sinal ( + ) positivo.
Exemplo:
a) ሺ 5ሻ . ሺ4ሻ ൌ 20
b) ሺെ3 ሻ . ሺെ6ሻ ൌ 18
ܛܑ܉ܖܑ܁ ܛ܍ܜܖ܍ܚ܍ܑ܌ multiplicam െ se os números e ܌á െ ܍ܛ ܗ ܔ܉ܖܑܛ ൫– ൯ .ܗܞܑܜ܉܍ܖ
Exemplo:
a) ሺ8ሻ . ሺെ5ሻ ൌ െ40
b) ሺെ1,5ሻ. ሺ10ሻ ൌ െ15
DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação, a regra de sinal é a mesma da multiplicação.
Exemplo:
ଷହ
ାହ
ൌ 7
ሺିସሻ
ሺିଽሻ
ൌ
ସ
ଽ
ଶଵ
ሺ ିሻ
ൌ െ 3
ሺିଵ଼ሻ
ଷ
ൌ െ 6
QUADRO DE SINAIS
.
:
െ
െ
െ െ
Exercícios: Resolver as operações indicadas abaixo:
a) 27 20 ൌ e) ሺെ15ሻ െ ሺെ15ሻ ൌ
b) 65 െ 30 ൌ f) 23 ሺെ45ሻ ൌ
c) ሺെ41ሻ 39 ൌ ݃ሻ ሺെ90ሻ െ ሺ90ሻ ൌ
d) 87 െ ሺെ7ሻ ൌ h) ሺെ1ሻ െ ሺെ1ሻ ൌ
െ
Adição
Somar Subtrair
݈ܽ݊݅ݏ Sinal do maior
em módulo
Subtrair Somar
െ Sinal do maior ݈ܽ݊݅ݏ െ
em módulo
Respostas a) 47 b) 35 c) െ2 d) 94 e) 0 f) െ22 g) െ180 h) 0
4. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
4
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES: Para resolver expressões seguiremos alguns passos:
1º ) Resolver primeiro o que estiver entre os parênteses, colchetes e chaves.
2º ) Efetuarmos primeiro a multiplicação ou divisão, seguindo ordem em que aparecem na expressão.
3º ) Efetuarmos a adição ou subtração na ordem em que aparecem na expressão.
Exemplo Resolvido: Resolver as expressões numérica:
a ) ሼ5 ሾ4 െ 6ሺെ1 3ሻ
ଵ
ଶ
( 2 െ4 ሻሿሽ 1 ൌ b ) െሼ െ6 4 .3 െ ሾ 5 െ ሺ1 െ 9ሻሿሽ
{5 ሾ4 െ 6ሺ 2ሻ 5ሺെ2 ሻሿሽ 1 ൌ െሼെ6 12 െ ሾ 5 െ ሺെ8ሻሿሽ ൌ
ሼ5 ሾ4 െ 12 െ 10ሿሽ 1 ൌ െሼെ6 12 െ ሾ 5 8ሿሽ ൌ
ሼ5 ሾെ8 െ 10ሿሽ 1 ൌ െሼെ6 12 െ ሾ 13ሿሽ ൌ
ሼ5 ሾെ18ሿሽ 1 ൌ െሼെ6 12 െ 13ሽ ൌ
ሼ5 െ 18ሽ 1 ൌ െሼെ7 ሽ ൌ 7
െ13 1 ൌ െ12
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as expressões numéricas abaixo:
a ) 20 ሺെ9 12ሻ െ ሺെ15 20ሻ ൌ b ) 2 െ ൛െ11 ൣ ሺ17— 12ሻ 10൯ െ 3 ൧ ሽ ൌ
c ) 55 ሺെ10ሻ. ሺെ4ሻ െ ሾെ2 െ ൫6 ሺെ3ሻ൯ 2ሿ ൌ d ) 31 ሺെ40ሻ: 2 െ ሾ ሺെ9 9ሻ െ 7 ሿ ൌ
e) െሾ 9
଼ଵ
ଽ
+ 4 ሺെ4ሻ ሺെ19 െ 1ሻሿ ൌ f) 10 െ ሾ 6 െ ሺ9 െ 4ሻ ሿ . ሾ ሺെ2ሻ 5 ሿ ൌ
g) 60 ሺെ5ሻ െ ൫െ1 ሺെ1ሻ൯ 13 ൌ h)
ହ ା ሺିସሻ ି ଽሺିଶሻ
ିଶ
ൌ
i)
ሺି ଼ሻ
ଵସ ି ଼ . ଶ ା ସ
ൌ j)
ଶ ି . ଷ ି ଶሺିଶሻ
ସ ା ଷሺିଶሻ
ൌ
Respostas:
a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0
h)
ଵ
ଶ
i) െ4 j) 6
5. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
5
FRAÇÃO: Dois números naturais a e b, com b് 0, quando escritos na forma
representam uma fração.
=
ே௨ௗ
ௗ ሺ് ሻ
ܱ ݀݁݊ݎ݀ܽ݊݅݉ ݉݁ݐ ݁ݑݍ ݎ݁ݏ ݂݀݅݁݁ݐ݊݁ݎ ݀݁ ݎ݁ݖ ሺ ݊ݏ Թ݁ܽ݅ݏ ݊ã ݁݁ݐݏ݅ݔ ݀݅ݏ݅ݒã ݎ ݎ݁ݖሻ.
O denominador representa o número de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o número de
partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e
consideramos 3 partes (numerador). A fração será:
Exemplo de frações:
ଵ
ଶ
; െ
ଶ
ଷ
;
ଵହ
;
ଵ
ଵ
; െ
ହ
;
ସ
ସ
;
ଵ
;
ସ
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES:
Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algébrica do denominador.
Exemplo:
ଶ
ଷ
ଵ
ଷ
െ
ଷ
ൌ
ଶ ା ଵ ି
ଷ
ൌ
ଷ
ൌ 2
ଵ
ହ
െ
ଽ
ହ
ସ
ହ
ൌ
ଵ – ଽ ା ସ
ହ
ൌ
ିସ
ହ
ൌ െ
ସ
ହ
Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor múltiplo comum dos denominadores).
m.m.c.(3- 5- 2) 2
Exemplo:
ଶ
ଷ
െ
ଷ
ହ
ଵ
ଶ
ൌ
ଶିଵ଼ାଵହ
ଷ
ൌ
ଶିଵ଼ାଵହ
ଷ
ൌ
ଵ
ଷ
3- 5- 1 3
1- 5- 1 5
1-1-1 2.3.5 = 30
ଷ
ସ
ହ
଼
ଵ
ଶ
ൌ
ା ହ ା ସ
଼
ൌ
ଵହ
଼
m.m.c.(4-8-2) 2
2-4-1 2
1- 2- 1 2
1- 1- 1 2.2.2 = 8
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente.
Exemplo:
ହ
଼
.
ଶ
ଷ
ൌ
ହ . ଶ
଼ . ଷ
ൌ
ଵ
ଶସ
ൌ
ହ
ଵଶ
ൌ 0,42
ଶ
ହ
.
ଷ
ସ
. ሺെ
ଵ
) =
ଶ . ଷ ሺିଵሻ
ହ . ସ .
ൌ
ሺିሻ
ଵଶ
ൌ െ
ଵ
ଶ
3
5
6. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
6
NÚMEROS INVERSOS: dois números são inversos quando a multiplicação entre eles dá 1.
Na prática, para achar o inverso de um número, basta inverter o numerador com o denominador.
O Inverso de
ହ
଼
é
଼
ହ
O Inverso de
1
2
é
ଶ
ଵ
ൌ 2
O Inverso de
ଶ
ଷ
é
ଷ
ଶ
O Inverso de
ଶ
é
ଶ
*O número zero não admite inverso: o inverso de
ଵ
é
ଵ
nos Թ݁ܽ݅ݏ não existe divisão por zero.
DIVISÃO DE FRAÇÕES: conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda.
Exemplo: Calcular a divisão das frações abaixo:
a)
ଶ
ହ
:
ଷ
ൌ
ଶ
ହ
.
ଷ
ൌ
ଶ .
ହ . ଷ
ൌ
ଵସ
ଵହ
b)
ల
ళ
మ
య
ൌ
.
ଷ
ଶ
ൌ
. ଷ
. ଶ
ൌ
ଵ଼
ଵସ
ൌ
ଽ
c)
ଵହ
మ
య
ൌ 15 .
ଷ
ଶ
ൌ
ଵହ . ଷ
ଶ
ൌ
ସହ
ଶ
Exercício resolvido: Resolver as operações aritméticas:
a)
ଶ
ଷ
.
ସ
ହ
ଶ
:
ଵ
ସ
ൌ
ଶ.ସ
ଷ.
ହ
ଶ
.
ସ
ଵ
ൌ
଼
ଶଵ
ଶ
ଶ
ൌ
଼
ଶଵ
ଵ
ଵ
ൌ
଼
ଶଵ
ଶଵ.ଵ
ଶଵ
ൌ
଼ାଶଵ
ଶଵ
ൌ
ଶଵ଼
ଶଵ
b)
1
2
4
1െ 3
2
ൌ
1
2
8
2
2
2
െ 3
2
ൌ
9
2
െ 1
2
ൌ 9
2
. ቀെ
ଶ
ଵ
ቁ ൌ െ
ଵ଼
ଶ
ൌ െ 9
c)
య
ఴ
ା
భల
ఱ
.
భఱ
ర
వవ
ర
ൌ
య
ఴ
ା
భల . భఱ
ఱ . ర
వవ
ర
ൌ
య
ఴ
ା
ర . య
భ . భ
వవ
ర
ൌ
య
ఴ
ା
భమ
భ
వవ
ర
ൌ
య
ఴ
ା
వల
ఴ
వవ
ర
ൌ
ൌ
వవ
ఴ
వవ
ర
ൌ
ଽଽ
଼
.
ସ
ଽଽ
ൌ
ଽଽ . ସ
଼ . ଽଽ
ൌ
ଵ . ଵ
ଶ . ଵ
ൌ
ଵ
ଶ
12. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
12
RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação.
Definição: Dado um número real não negativo ࢇ e um número natural ݊, ݊ 1, chama-se
ݖ݅ܽݎ ݁݊éܽ݉݅ݏ ܽ݉ݐ݅ݎéܽܿ݅ݐ ݀݁ ࢇ ݊ú݉݁ݎ ݈ܽ݁ݎ ݁ ݊ã ݊݁݃ܽݒ݅ݐ ࢈ (b ሻ tal que ܾ
ൌ ܽ, ݑ ݆ܽ݁ݏ
√ࢇ
ൌ ࢈ ֞ ࢈
ൌ ࢇ onde √ ՜ ݈ܽܿ݅݀ܽݎ
ܽ ՜ radicando , ࢇ
ܾ ՜ raiz , ࢈
݊ ՜ í݊݀݅ܿ݁ ݀ ,݈ܽܿ݅݀ܽݎ ࢋ א Գ
√ܽ ൌ √ܽ
మ
݈ê െ ݁ݏ ݖ݅ܽݎ ܽ݀ܽݎ݀ܽݑݍ ݀݁ ܽ
√ܽ
3
݈ê െ ݁ݏ ݖ݅ܽݎ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ ܽ
√ܽ
4
݈ê െ ݁ݏ ݖ݅ܽݎ ܽݐݎܽݑݍ ݀݁ ܽ
Exemplos:
a) √16 ൌ ? ֞ ሺ ? ሻଶ
ൌ 16 , qual é o número positivo que elevado ao quadrado resulta no número 16?
Resposta: O número é 4, pois 4ଶ
ൌ 16, logo, raiz quadrada de 16 é 4, isto é, √16 ൌ 4
b) √8
య
ൌ ? ֞ ሺ ? ሻଷ
ൌ 8 √8
య
ൌ 2 2ଷ
ൌ 8, portanto 2 é ܽ ݖ݅ܽݎ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ 8.
c) √1
ఱ
ൌ ? ֞ ሺ ? ሻହ
ൌ 1 √1
ఱ
ൌ 1 1ହ
ൌ 1 , portanto 1 é ܽ ݖ݅ܽݎ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ 1.
d) √16
ర
ൌ 2 2ସ
ൌ 16 portanto 2 é ܽ ݖ݅ܽݎ ܽݐݎܽݑݍ ݀݁ 16.
Índice Par : Quando í݊݀݅ܿ݁ ݂ݎ ܴܲܣ a restrição é que ܽ 0 , pois não existe no conjunto dos números reais
raiz quadrada de número negativo, ou seja , não existe um número que elevado ao quadrado resulte em número
negativo.
√െ16 ൌ ሺ ݊ã ݁݁ݐݏ݅ݔሻ݊ݏ Թ ݉ݑ ݊º ݁ݑݍ ݈݁݁݀ܽݒ ܽ ݀ܽݎ݀ܽݑݍ ݁ݐ݈ݑݏ݁ݎ ሺെ16ሻ.
Índice Ímpar: Quando o índice for ímpar não há restrição, por exemplo, existe número que elevado ao cubo resulte
em um número negativo.
a) √െ 8
3
ൌ ? ֞ ሺ ? ሻଷ
ൌ െ8 √െ8
3
ൌ െ2 ሺെ2ሻଷ
ൌ െ8, portanto െ2 é ܽ ݖ݅ܽݎ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ െ 8.
b) √െ243
ఱ
ൌ െ3 ሺെ3ሻହ
ൌ െ243, portanto െ3 é ܽ ݖ݅ܽݎ ܽݐ݊݅ݑݍ ݀݁ െ 243.
Exercícios: Calcular, caso exista, as raízes dos números abaixo:
a) √0 ൌ
b) √1 ൌ
c) √ 81
4
ൌ
d) √െ 27
3
ൌ
e) √െ4 ൌ
f) √െ16
4
ൌ
13. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
13
Propriedades da radiciação: a, b א Թା +, ܽ , ܾ 0, ݉ א Ժ , ሺ݊, 2ሻ א Գ.
P1 ) √ܽ
ൌ √ܽ..
Ex.: √ݔଶ3
ൌ √ݔଶ.ହ3.5
ൌ √ݔଵ15
P2 ) √ܽ. ܾ
ൌ √ܽ
. √ܾ
Ex.: ඥ.ݔ ݕ ൌ √ݔ . ඥݕ
P3 ) ට
ൌ
√
√
ሺܾ ് 0ሻ Ex.: ට
଼
ଶ
య
ൌ
√଼
య
√ଶ
య ൌ
ଶ
ଷ
P4 ) ൫ √ܽ
൯
ൌ √ܽ
Ex.: ൫√ܽ
3
൯
ଷ
ൌ √ܽଷ3
ൌ ܽ
P5 ) ඥ √ܽ
ൌ √ܽ
.
Ex.: ඥ√5
మ3
ൌ √5
3.2
ൌ √5
6
Potência de expoente racional: Sejam os números ܽ א Թା, ሺܽ 0ሻ, א Ժ , ݍ א Գ , ݍ 1, ݄ܿܽ݉ܽ െ ݁ݏ
ܲݐê݊ܿ݅ܽ ݀݁ ܾܽ݁ݏ ࢇ ݁ ݁݁ݐ݊݁ݔ
ܽ ݖ݅ܽݎ ݁ݑݍéܽ݉݅ݏ ܽ݉ݐ݅ݎéܽܿ݅ݐ ݀݁ ܽ
.
ܽ
ൌ √ܽ
Exemplos:
a) 25
1
2 ൌ √25ଵమ
ൌ √25 ൌ 5
b) 8
1
3 ൌ √8ଵ3
ൌ 2
c) 2
3
2 ൌ √2ଷమ
ൌ √8
√ܽ
ൌ ܽ
quando o índice do radical e o expoente da base forem múltiplos entre si, podemos simplificar.
Exemplos:
a) √5ଶమ
ൌ 5
మ
మ ൌ 5ଵ
ൌ 5
b) √7ଶమ
ൌ 7
c) √4ଷ3
ൌ 4
d) √5ଶ6
ൌ √5ଵ3
ൌ √5
3
e) √5ଶ6
ൌ √5ଵ3
ൌ √5
3
f) √9ଵସ7
ൌ √9ଶ1
ൌ 9ଶ
ൌ 81
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Resolver as operações com radicais:
a) √െ27
3
√8
3
ൌ
b) ඥ3126
െ ඥ533
ൌ
c) √0 √1 √4ଷ3
– ቀ √2
4
ቁ
ସ
ൌ
Respostas a) െ1 b) 4 c) 3
14. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
14
POTÊNCIA DE 10: É a potência onde a base é o número 10. Valem todas as propriedades de potência.
10
ൌ ܾ
10ଵ଼
ൌ 1 000 000 000 000 000 000 ሺ ݁ܽݔ ሻ ܧ
10ଵହ
ൌ 1 000 000 000 000 000 ሺ ܽݐ݁ ሻ ܲ
10ଵଶ
ൌ 1 000 000 000 000 ሺ ܽݎ݁ݐ ሻ ܶ
10ଽ
ൌ 1 000 000 000 ሺ ݃݅݃ܽ ሻ ܩ
10
ൌ 1 000 000 ሺ ݉݁݃ܽ ሻ ܯ
10ଷ
ൌ 1 000 ሺ ݈݅ݑݍ ሻ ݇
10ଶ
ൌ 100 ሺ ݄݁ܿݐ ሻ ݄
10ଵ
ൌ 10 ሺ ݀݁ܿܽ ሻ ݀ܽ
10ିଵ
ൌ 0,1 ሺ ݀݁ܿ݅ ሻ ݀
10ିଶ
ൌ 0,01 ሺ ܿ݁݊݅ݐ ሻ ܿ
10ିଷ
ൌ 0,001 ሺ ݈݉݅݅ ሻ ݉
10ି
ൌ 0,000 001 ሺ ݉݅ܿݎ ሻ ߤ
10ିଽ
ൌ 0,000 000 001 ሺ ݊ܽ݊ ሻ ݊
10ିଵଶ
ൌ 0,000 000 000 001 ሺ ܿ݅ ሻ
10ିଵହ
ൌ 0,000 000 000 000 001 ሺ ݂݁݊ݐ ሻ ݂
10ିଵ଼
ൌ 0,000 000 000 000 000 001 ሺ ܽݐݐ ሻ ܽ
Transformando um número decimal em potência de 10:
Exemplos:
a) 0,5 ൌ
5
10
ൌ 5
101 ൌ 5. 10ିଵ
b) 0,05 ൌ
5
100
ൌ 5
102 ൌ 5. 10ିଶ
c) 0,005 ൌ
5
1000
ൌ 5
103 ൌ 5. 10ିଷ
Deslocando-se a vírgula de um decimal para a direita, esse número fica multiplicado por 10, 100, 1 000 ..., o
expoente da potência de 10 diminui ି
, ି
, ି
, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.
Resumindo, o número aumenta o expoente diminui. ܰº . 10
Exemplos:
a) 1,7 ൌ 1,7. 10
ൌ 17 . 10ିଵ
ൌ 17 . 10ିଵ
deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita, logo, o expoente na base 10 diminui 1 unidade.
b) 2,45 ൌ 2,45. 10
ൌ 245 . 10ିଶ
ൌ 245 . 10ିଶ
deslocar a vírgula 2 casas decimais à direita, logo, o expoente na base 10 diminui 2 unidades.
c) 84,052 ൌ 84052 . 10ିଷ
Exercícios : Dado o número 0,01234 escreva-o deslocando a vírgula para a direita:
a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais
b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais
c) Três casas decimais f) Seis casas decimais
15. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
15
Deslocando-se a vírgula de um número para a esquerda, esse número fica dividido por 10, 100, 1 000, ..., o
expoente da potência de 10 aumenta
,
,
, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.
Resumindo, o número diminui o expoente aumenta. ܰº . 10
Exemplos:
a) 17 ൌ 17 . 10
ൌ 1,7 . 10ାଵ
ൌ 1,7 . 10ଵ
deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade.
b) 245 ൌ 2,45 . 10ଶ
deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades.
Exercícios : Dado o número 1234 escreva-o deslocando a vírgula para a esquerda:
a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais
b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais
c) Três casas decimais f) Seis casas decimais
Adição e Subtração de potência de base 10:
É necessário que os expoentes da base 10 sejam iguais.Exemplos:
a) 5 . 10ଶ
4 . 10ଶ
ൌ ሺ 5 4 ሻ10ଶ
ൌ 9 . 10ଶ
expoentes iguais
b) 29. 10ିଷ
െ 1. 10ିଷ
ൌ ሺ29 െ 1ሻ10ିଷ
ൌ 28. 10ିଷ
c) 1 .10ିଶ
3 . 10ିଶ
െ 7 . 10ିଶ
ൌ ሺ1 3 െ 7 ሻ. 10ିଶ
ൌ െ 3 . 10ିଶ
d) 10ସ
+ 10ସ
10ସ
ൌ 1. 10ସ
1. 10ସ
1. 10ସ
ൌ ሺ1 1 1ሻ10ସ
ൌ 3 . 10ସ
Na adição ou subtração, quando os expoentes da base 10 não forem iguais temos que transformá-los para o
mesmo expoente. Exemplos:
a) 6 . 10ଷ
4 . 10ଶ
ൌ 60 . 10ଶ
4 . 10ଶ
ൌ ሺ 60 4 ሻ10ଶ
ൌ 64 . 10ଶ
transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, 6 . 10ଷ
ൌ 60. 10ଶ
b) 0, 29 . 10ିଵ
െ 147. 10ିଷ
ൌ 29 . 10ିଵିଶ
െ 147. 10ିଷ
ൌ 29. 10ିଷ
െ 147. 10ିଷ
ൌ െ118 . 10ିଷ
expoentes diferentes expoentes iguais
c) 0,09 .10ିଵ
10ିଶ
െ 3 . 10ିଷ
ൌ 9 .10ିଵିଶ
10 .10ିଶିଵ
െ 3 . 10ିଷ
ൌ 9 .10ିଷ
10.10ିଷ
െ 3 . 10ିଷ
ൌ 16. 10ିଷ
expoentes diferentes expoentes iguais
16. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
16
Exercícios Propostos:
a) 15 . 10ଷ
13 . 10ଷ
ൌ
b) 21 . 10ଶ
െ 10ଶ
ൌ
c) 44 . 10ସ
4 . 10ସ
െ 8 . 10ସ
ൌ
d) 666 . 10
2220 . 10ହ
ൌ
e) െ5,9 . 10ିଶ
9 . 10ିଷ
ൌ
f) 6 . 10ଷ
െ 10ଷ
40 . 10ଶ
ൌ
Respostas a) 28 . 10ଷ
b) 20 . 10ଶ
c) 40 . 10ସ
d) 888 . 10
e) െ50 . 10ିଷ
f) 9 . 10ଷ
Multiplicação de Potência de base 10:
Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos:
a) 4. 10ହ
. 2. 10ିଶ
ൌ 4 . 2 .10ହିଶ
ൌ 8 . 10ଷ
b) 8. 10ି
. ሺെ 3. 10ସ
ሻ ൌ 8 . (-3) .10ିାସ
ൌ െ24 . 10ିଶ
c) 7. 10ହ
. 10ିଶ
. 2. 10ିଷ
ൌ 7.1.2 .10ହିଶିଷ
ൌ 14. 10
ൌ 14.1
Divisão de Potência de base 10:
Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10.
Exemplos:
a)
ସ . ଵఱ
ଶ . ଵషమ ൌ
ସ
ଶ
.10ହିሺିଶሻ
ൌ 2 . 10
b)
ଶସ . ଵషల
ସ .ଵయ ൌ
ଶସ
ସ
. 10ିିଷ
ൌ 6 . 10ିଽ
c)
ହ . ଵయ
ଽ .ଵషభ ൌ
ହ
ଽ
. 10ଷିሺିଵሻ
ൌ 0,56 . 10ସ
d)
ଶହ.ଵమାଵమ
,ଵ.ଵషర . ଶ.ଵషయ ൌ
ሺଶହାଵሻ.ଵమ
ሺ,ଵሻ.ଶ .ଵషరషయ ൌ
ଶ.ଵమ
,ଶ.ଵషళ ൌ
ଶ
,ଶ
. 10ଶା
ൌ 130 . 10ଽ
18. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
18
POLINÔMIOS:
Monômio: Na variável ݔ é uma expressão do tipo ࢇ ࢞
onde ࢇ ൌ ܿ݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁ ݀ ݉݊ô݉݅, ࢇ א ԧ.
ൌ ݃ݑܽݎ ݀ ݉݊ô݉݅, א Գ.
Grau do monômio: É o expoente da variável.
Exemplo:
a) 4 ݔଶ
é um monômio na variável ݔ de 4 ൌ ܿ݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁ ݀ ݉݊ô݉݅
2 ൌ ݃ݑܽݎ ݀ ݉݊ô݉݅ ݉݊ô݉݅ é ݀݁ 2º ݃ݑܽݎ
b) 6 ݕ é um monômio na variável ݕ de coeficiente 6 e grau 1.
c)
ହ
ଶ
ݐ é um monômio na variável ݐ de coeficiente
5
2
e grau 1.
d) 9 é um monômio de coeficiente 9 e grau 0.
e) 0 é um monômio de coeficiente 0 e sem definição de grau.
f) 8ݔିଶ
não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e െ א Գ.
g) 3ݔଵ ଶ⁄
não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e
א Գ.
POLINÔMIO: Representa a soma algébrica de monômios na mesma variável.
Pሺxሻ ൌ ܽݔ
ܽିଵݔିଵ
ܽିଶݔିଶ
ڮ ܽଶݔଶ
ܽଵݔଵ
ܽ
Os números complexos ( ܽ, ܽିଵ, ܽିଶ, … , ܽଶ, ܽଵ, ܽሻ ݏã ݏ ܿ݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁ ݀ ݈݊݅ô݉݅ de variável ݔ e א Գ.
Grau do Polinômio: É o expoente de maior grau entre os monômios de mesma variável.
Exemplo:
a) 3ݔଶ
2ݔ െ 1 é um polinômio de 2º grau de variável ݔ e coeficiente 3.
b) 12ݐ െ 5 é um polinômio de 1º grau de variável ݐ e coeficiente 12.
c) 9ݔଷ
2ݔଶ
െ 3ݔ 7 é um polinômio de 3º grau de variável ݔ e coeficiente9.
Exercícios Propostos: Para cada polinômio abaixo, identificar o grau e o seu respectivo coeficiente e variável:
a) 2ݔସ
3ݔଷ
െ 3ݔଶ
8ݔ െ 1
b) െ4ݐଶ
ݐ െ 1
c) ܾܽݔଶ
ܽݔ െ ܾ
19. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
19
Adição e Subtração de polinômios: Somam-se os coeficientes dos monômios de mesmo grau.
Exemplo
a) 3ݔଶ
2ݔ െ 1 9ݔଷ
2ݔଶ
െ 3ݔ 7 ൌ 9ݔଷ
ሺ3 2ሻݔଶ
ሺ2 െ 3ሻݔ െ 1 7 ൌ ૢ࢞
࢞
െ ࢞
b) 7ݔଷ
െ 5ݔଶ
2ݔ 1 െ ሺ െݔଷ
2ݔଶ
െ 4ݔ 3ሻ ൌ trocar o sinal de cada monômio dentro do parênteses.
7ݔଷ
െ 5ݔଶ
2ݔ 1 ݔଷ
െ 2ݔଶ
4ݔ െ 3 ൌ somar os coeficientes dos monômios de mesmo grau.
8ݔଷ
െ 7ݔଶ
6ݔ െ 2
Produto de Polinômios: aplicamos a propriedade distributiva. Multiplicamos cada monômio do primeiro fator com
todos os monômios do segundo fator, não se esquecendo de aplicar as propriedades de potenciação.
Propriedade Distributiva: ሺܽ ܾሻ. ሺ ܿ ݀ሻ ൌ ܽ . ܿ ܽ . ݀ ܾ. ܿ ܾ. ݀
Exemplo:
a) ሺ2ݔ 5ሻ . ሺݔ െ 1ሻ ൌ 2.ݔ ݔ െ 2.ݔ 1 5. ݔ െ 5.1
ൌ 2ݔଶ
െ 2ݔ 5ݔ െ 5
ൌ 2ݔଶ
3ݔ െ 5
b) ݔ . ሺݔ െ 1ሻ ൌ .ݔ ݔ െ .ݔ 1
ൌ ݔଶ
െ ݔ
c) 2ݔଶሺ ݔ െ 3ሻ ൌ 2ݔଶ
. ݔ െ 2.3ݔଶ
ൌ 2ݔଷ
െ 6ݔଶ
d) ( 3ݔଶ
2ݔ െ 1) . (8ݔଷ
െ 7ݔଶ
6ݔ െ 2ሻ ൌ
3.8ݔଶାଷ
െ 3.7ݔଶାଶ
3.6ݔଶାଵ
െ 3.2ݔଶ
2.8ݔଵାଷ
െ 2.7ݔଵାଶ
2.6ݔଵାଵ
െ 2.2ݔ െ 1.8ݔଷ
1.7ݔଶ
െ 1.6ݔ 1.2 ൌ
24ݔହ
െ 21ݔସ
18ݔଷ
െ 6ݔଶ
16ݔସ
െ 14ݔଷ
12ݔଶ
െ 4ݔ െ 8ݔଷ
7ݔଶ
െ 6ݔ 2 ൌ
24ݔହ
ሺെ21 16ሻݔସ
ሺ18 െ 14 െ 8ሻݔଷ
ሺെ6 12 7ሻݔଶ
ሺെ4 െ 6ሻݔ 2 ൌ
24ݔହ
െ 5ݔସ
െ 4ݔଷ
13ݔଶ
െ 10ݔ 2
Divisão de Polinômios: O divisor é um polinômio não nulo (് 0ሻ.
(8ݔଷ
െ 4ݔଶ
6ݔ െ 2) : ( 2ݔଶ
3ݔ െ 5 ሻ ൌ 8ݔଷ
െ 4ݔଶ
6ݔ െ 2 2ݔଶ
3ݔ െ 5 ሺ് 0ሻ
െ8ݔଷ
െ 12ݔଶ
20ݔ 4ݔ െ 8
0 െ16ݔଶ
26ݔ െ 2
16ݔଶ
24ݔ െ 40
0 50ݔ െ 42 (Resto)
Exercícios propostos: Calcular as operações com os polinômios abaixo:
a) െ5ݔଶ
ݔ 2 െ ݔሺ6ݔ െ 2ሻ ൌ b) ሺ3ݔଶ
െ 7ݔ 1ሻݔ ൌ
20. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
20
Produtos notáveis:
1) Trinômio do Quadrado Perfeito: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
ሺݔ ݕሻଶ
ൌ ݔଶ
2. .ݔ ݕ ݕଶ
Demonstração:
ሺݔ ݕሻଶ
ൌ ሺݔ ݕሻ. ሺݔ ݕሻ ൌ ݈ܽ݀݊ܽܿ݅ ܽ ݁݀ܽ݀݁݅ݎݎ ݀݅ܽݒ݅ݐݑܾ݅ݎݐݏ ݏ݉݁ݐ
ሺݔ ݕሻଶ
ൌ ݔଶ
2. .ݔ ݕ ݕଶ
Exemplo:
ሺݔ 5ሻଶ
ൌ ݔଶ
2. ݔ .5 5ଶ
ൌ ݔଶ
10ݔ 25
2) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
ሺݔ െ ݕሻଶ
ൌ ݔଶ
െ 2. .ݔ ݕ ݕଶ
Demonstração:
ሺݔ െ ݕሻଶ
ൌ ሺݔ െ ݕሻ. ሺݔ െ ݕሻ ൌ ݈ܽ݀݊ܽܿ݅ ܽ ݁݀ܽ݀݁݅ݎݎ ݀݅ܽݒ݅ݐݑܾ݅ݎݐݏ ݏ݉݁ݐ
ሺݔ െ ݕሻଶ
ൌ ݔଶ
െ 2. .ݔ ݕ ݕଶ
Exemplo:
ሺ2 െ ܽሻଶ
ൌ 2ଶ
െ 2.2. ܽ ܽଶ
ൌ 2 െ 4ܽ ܽଶ
3) O Produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
ሺ ݔ ݕ ሻ . ሺ ݔ െ ݕ ሻ ൌ ݔଶ
െ ݕଶ
Exemplos:
a) ሺ ݔ 3 ሻ. ሺ ݔ െ 3 ሻ ൌ ݔଶ
െ 3ଶ
ൌ ࢞
െ ૢ
b) ሺ ܽ െ 4 ሻ. ሺ ܽ 4 ሻ ൌ ࢇ
െ
c) ሺ 2ݔ 5 ሻ. ሺ 2ݔ െ 5 ሻ ൌ ሺ 2ݔ ሻଶ
െ 5ଶ
ൌ ࢞
െ
d) ൫ 6࢞
െ 1൯. ൫ 6࢞
1൯ ൌ ሺ 6࢞
ሻଶ
െ 1ଶ
ൌ ࢞
െ
21. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
21
Exercícios propostos: Calcular os produtos abaixo:
a) ሺ 2ݐ 3 ሻ. ሺ 2ݐ െ 3 ሻ ൌ
b) 5ݔሺ 4 െ ܽ ሻ ൌ
c) ሺ ݐଶ
െ 7 ሻ. ሺݐଶ
7 ሻ ൌ
d) ሺݔ 1ሻଶ
െ ݔ 1 ൌ
Fatoração de polinômios: É escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios.
Exemplos:
a) Fatorar o polinômio 2ܽ2ݔ5 4ܽ3ݔ3
Podemos escrever o polinômio desta maneira:
ࢇ
ݔଶ
. ࢞
2. ࢇ
. ܽ. ࢞
ൌ ࢇ
࢞
. ሺݔଶ
2 ܽሻ
Foi colocado em evidência :
o maior divisor comum dos números ݉.݀. ܿ. ሺ4 , 2ሻ ൌ
e as potências repetidas de menor expoente: ࢇ
࢞
b) Fatorar o polinômio 6ݔ2 െ 3ݔ
6ݔଶ
െ 3ݔ ൌ ࢞ ሺ 2ݔ െ 1 ሻ , ݉. ݀. ܿ. ሺ6 , 3ሻ ൌ
menor expoente: ࢞
c) Fatorar o polinômio 6 ݔ4 4ݔ3 െ 12ݔ2
6 ݔସ
4ݔଷ
െ 12ݔଶ
ൌ 2 ݔଶ
ሺ3 ݔଶ
2ݔ െ 6 ሻ ݉. ݀. ܿ. ሺ6, 4 , 12ሻ ൌ
menor expoente: ࢞
d) Fatorar o polinômio 8ܽସ
ܾହ
20ܽଷ
ܾଶ
8ܽସ
ܾହ
20ܽଷ
ܾଶ
ൌ 2. . ࢇ
. ܽଶ
. ࢈
. ܾଷ
5. . ܽ. ࢇ
. ࢈
݉. ݀. ܿ. ሺ8, 20ሻ ൌ
ൌ 4ܽଶ
ܾଶ
ሺ 2ܽଶ
ܾଷ
5ܽ ሻ menor expoente: ࢇ
࢈
22. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
22
Frações algébricas: O quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual duas ou mais variáveis
aparecem no denominador, tendo o denominador não nulo ( ് 0ሻ.
Exemplos de frações algébricas:
௫
2ݔ2
3ݔെ5
,
ହ
௫ାହ
,
௫
௫ିଵ
Adição e Subtração de frações algébricas:
a)
௫
ଶ௫మ
ଶ
ଷ௫
ൌ
ଷ.௫
௫మ
ଶ.ଶ௫
௫మ ൌ
ଷ௫ାସ௫
௫మ ൌ
௫
௫మ ൌ
௫
m.m.c (2 , ݔଶ
, 3 , ݔሻ 2
1, ݔଶ
, 3 , ݔ 3
1, ݔଶ
, 1 , ݔ ݔ
1, ݔ , 1, 1 ݔ
1, 1 , 1, 1 6ݔଶ
b)
௫
௫ି௬
ଵ
௫ା௬
௬ି௫
௫మି௬మ ൌ
௫.ሺ௫ା௬ሻ
ሺ௫ି௬ሻ.ሺ௫ା௬ሻ
ଵ.ሺ௫ି௬ሻ
ሺ௫ି௬ሻ.ሺ௫ା௬ሻ
௬ି௫
ሺ௫ି௬ሻ.ሺ௫ା௬ሻ
ൌ
ൌ ݔ2ݕ.ݔݔെݕݕെݔ
൫ݔെݕ൯.ሺݔݕሻ
ൌ ݔ2ݕ.ݔ
൫ݔെݕ൯.ሺݔݕሻ
ൌ ݔሺݔݕሻ
൫ݔെݕ൯.ሺݔݕሻ
ൌ ݔ
൫ݔെݕ൯
Multiplicação e Divisão de frações algébricas:
a)
௫
ሺ௫ି௬ሻ
.
௫య
ሺ௫ା௬ሻ
ൌ
௫.௫య
ሺ௫ି௬ሻ.ሺ௫ା௬ሻ
ൌ
௫ర
௫మି௬మ
b)
ሺ௫ି௬ሻయ
ሺ௫ା௬ሻ
:
ሺ௫ା௬ሻ
ሺ௫ି௬ሻమ ൌ
ሺ௫ି௬ሻయ
ሺ௫ା௬ሻ
.
ሺ௫ି௬ሻమ
ሺ௫ା௬ሻ
ൌ
ሺ௫ି௬ሻఱ
ሺ௫ା௬ሻ2
Atenção:
Só podemos simplificar frações algébricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos.
É errado: simplificar frações algébricas onde tem adição ou subtração no numerador,denominador ou em ambos.
௫
௫ ା ଵ
errado
௫ ି ଵ
௫
errado
௫ ା ଵ
௫ ି ଵ
errado
25. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
25
FUNÇÕES:
Função é uma relação que existe entre duas grandezas, tal que uma depende da outra.
Exemplo:
a) A área do quadrado depende do lado do quadrado, então dizemos que a área está em função do lado e
escrevemos ܣ ൌ ݂ሺ ℓ ሻ. Se ℓ varia então ܣ varia.
b) ܥ ൌ ݂ሺ ݎ ሻ, ܿݐ݊݁݉݅ݎ݉ ݀ܽ ܿ݅ݎ݂݁݊ݑܿݎê݊ܿ݅ܽ ݁݉ ݂݊ݑçã ݀ .݅ܽݎ
cሻ ܸ ൌ ݂ሺ ݐ ሻ , ݈݁݀ܽ݀݅ܿ݁ݒ ݁݉ ݂݊ݑçã ݀ .݉݁ݐ
Notação de Função: ࢌ: Թ ՜ Թ ࡰí ሺԹሻ ՜ contra-domínio ( Թሻ
࢞ ՜ ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ
݂ é uma função dos Reais nos Reais, onde para todo elemento ࢞ א ࡰí ሺԹሻ existe em correpondência um
único elemento ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ א contra-domínio(Թሻ queé asuaimagem.
Definição de função: Sejam ࢞ ݁ ࢟ variáveis, tais que para cada valor atribuído a ࢞ existe em correspondência
um único valor ܡ . Dizemos que ࢟ é uma função de ݔ e representamos por
࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ ࢞ ൌ ݅ݎܽݒá݈݁ݒ ݈݅݁ݎݒ ݑ ݅݊݀݁݁ݐ݊݁݀݊݁ ݁
࢟ ൌ ݅ݎܽݒá݈݁ݒ ݀݁݁ݐ݊݁݀݊݁
PLANO CARTESIANO:
O plano cartesiano Թ
é representado pelos eixos das
abscissas, ݁݅ݔ ݔ ൌ ࡰ݂ሺݔሻ א Թ
ordenadas, ݁݅ݔ ݕ ൌ ࡵ݂ሺݔሻ א Թ .
ܳ1:݁ݐ݊ܽݎ݀ܽݑº. 2º , 3º ݁ 4º
Os eixos se cruzam na origem do sistema, no ponto ܲሺ0,0ሻ, formando quatro regiões chamadas de quadrantes.
ݕ ( contra-domínio)
º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢚ࢋ º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢚ࢋ
ሺ࢞ ൏ 0, ݕ 0ሻ ሺ࢞ 0, ݕ 0ሻ
0 ࢞ ( domínio da função )
º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢚ࢋ º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢚ࢋ
ሺ࢞ ൏ 0, ݕ ൏ 0ሻ ሺ࢞ 0, ݕ ൏ 0ሻ
26. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
26
Representando no plano cartesiano o ponto P de coordenadas ܲሺ,ݔ ݕሻ.
ݕ
݂ሺݔሻ - - - - - -ࡼ ሺ abscissa, ordenada ሻ
0 ݔ ݔ
Exercícios:
Representar no plano cartesiano os pontos abaixo:
ܲሺ 2 , 2 ሻ ݕ
ܳሺെ1 , 2ሻ 4
ܴሺ 3 , െ2ሻ 3
ܵ ቀ
ଵ
ଶ
, 3ቁ 2
ܶሺെ3 , 0ሻ 1
ܷሺ 0 , 1ሻ ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... ݔ
ܸሺെ4 , െ3ሻ - 1
- 2
- 3
Construindo Gráficos de Funções: Seja a função ࢟ ൌ ࢞ com domínio nos reais
1º Passo: Atribuímos valores para a variável independente ࢞, encontramos as imagens que são os valores de ࢟
2º Passo: As coordenadas ሺ,ݔ ݕሻ colocamos no plano cartesiano
3º Passo: Traçamos a função que passa pelos pontos encontrados.
ݔ ࢟ ൌ ࢞ ܲሺ,ݔ ݕሻ
െ2 ݕ ൌ 2. ሺെ2ሻ ൌ െ4 ሺെ 2 , െ4ሻ ݕ
െ1 ݕ ൌ 2. ሺെ1ሻ ൌ െ2 ሺെ1 , െ2ሻ 4 .
0 ݕ ൌ 2 . 0 ൌ 0 ሺ 0 , 0ሻ 3
1 ݕ ൌ 2 . 1 ൌ 2 ሺ 1 , 2ሻ 2 .
2 ݕ ൌ 2 . 2 ൌ 4 ሺ2 , 4ሻ 1
... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4... ݔ
- 1
. - 2
- 3
. – 4
Exercícios: Construir os gráficos das funções:
a) ݕ ൌ 2ݔ 1
ܾሻ ݕ ൌ 2ݔ െ 1
c) ݕ ൌ െ2ݔ 1
d) ݕ ൌ െ2ݔ െ 1
e) ݕ ൌ ݔ
f) ݕ ൌ െݔ
ݔ , ݕ
27. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
27
Função Crescente: Seja a função ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ e sejam ࢞ e ࢞ elementos do domínio da função com ࢞ ݔ ,
dizemos que a função é Crescente se as imagens
݂ሺݔଶሻ ݂ሺ ݔଵ )
Função Decrescente: Seja a função ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ e sejam ࢞ e ࢞ elementos do domínio da função com ࢞ ݔ,
dizemos que a função é Decrescente se as imagens
݂ሺݔଶሻ ൏ ݂ሺ ݔଵ )
Função Constante: Seja a função ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ e sejam ࢞ e ࢞ elementos do domínio da função com ࢞ ݔ,
dizemos que a função é Constante se as imagens
݂ሺݔଵሻ ൌ ݂ሺ ݔଶ ).
Exemplo:
A função é crescente nos intervalos:
ݕ ܥ ݔ ܦ e ܪ ݔ ܬ
D E
࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ
A B C F G H I J
0 ݔ A função é decrescente nos intervalos:
ܣ ݔ ܤ ݁ ܧ ݔ ܩ
A função é constante nos intervalos:
ܤ ݔ ,ܥ ܦ ݔ ܧ , ܩ ݔ ܪ
Exercícios:
Observando o esboço das funções nos gráficos, indique os intervalos do domínio onde a função for crescente,
decrescente ou constante.
ݕ ݕ ݕ ݕ
4 8 1 1
0 2 4 6 8 10 ݔ 0 5 10 15 ݔ 0 ݔ 0 ݔ
28. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
28
Função Linear: ࢟ ൌ ࢇ࢞ ࢈
ࢇ ൌ Coeficiente Angular da reta: ܽ ൌ ݃ݐ ߠ ൌ
௬
௫
ࢇ ്
É o valor da reta tangente à função com o eixo das abscissas.
Se a função é crescente o coeficiente angular ࢇ é positivo, ࢇ 0.
Se a função é decrescente o coeficiente angular ࢇ é negativo, ࢇ ൏ 0.
Se a função é constante o coeficiente angular ࢇ ൌ ݃ݐ 90° , ݃ݐ 90°, logo ࢇ não está definido.
࢈ ൌ Coeficiente Linear da reta:
É o valor da ordenada quando a função corta o eixo das ordenadas no ponto ܲሺ 0 , ݕሻ.
Exemplos: Sejam as funções,
1
ݕ ൌ 2ݔ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 2 2 0 ՜ ݂ ܿ݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ
Coeficiente Linear ܾ ൌ 1 corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , 1ሻ.
ݕ ൌ 2ݔ െ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 2 2 0 ՜ ݂ ܿ݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ
Coeficiente Linear ܾ ൌ െ1 corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , െ1ሻ. -1
ݕ ൌ െ2ݔ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ െ2 2 ൏ 0 ՜ ݂ ݀݁ܿ݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ 1
Coeficiente Linear ܾ ൌ 1 corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , 1ሻ.
ݕ ൌ െ2ݔ െ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ െ2 2 ൏ 0 ՜ ݂ ݀݁ܿ݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ
Coeficiente Linear ܾ ൌ െ1 corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , െ1ሻ.
-1
ݕ ൌ ݔ Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 1 1 0 ՜ ݂ ܿ݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ
Coeficiente Linear ܾ ൌ 0 corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , 0ሻ.
0
ݕ ൌ െݔ Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 2 െ 1 െ1 ൏ 0 ՜ ݂ ݀݁ܿ݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ
Coeficiente Linear ܾ ൌ 0 corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , 0ሻ.
0
ݕ ൌ 3 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ ݊ã ݁ݐݏá ݂݀݁݅݊݅݀ ՜ ݂ ܿ݁ݐ݊ܽݐݏ݊ 3
Coeficiente Linear ܾ ൌ 3 corta o eixo y no ponto ܲሺ ݔ , 3ሻ.
ݕ ൌ െ3 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ ݊ã ݁ݐݏá ݂݀݁݅݊݅݀ ՜ ݂ ܿ݁ݐ݊ܽݐݏ݊
Coeficiente Linear ܾ ൌ െ3 corta o eixo y no ponto ܲሺ ݔ , െ3ሻ.
-3
29. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
29
݂ଵ
Exercícios:
Determine os valores do coeficiente angular ࢇ e coeficiente linear ࢈ das funções ݂ଵ e ݂ଶ ,nos gráficos abaixo:
a) b)
ݕ ݕ
4 ݂ଵ ݂ଵ ݂ଶ
5
0 3 6 9 ݔ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 ݔ
-5
c)
ݕ d) ݕ
6 ݂ଵ ݂ଶ 35 ݂ଵ
݂ଶ
0 2 4 6 8 ݔ 0 7 14 21 28 ݔ
Funções Lineares Periódicas do tipo: Onda Quadrada. Triangular, Dente de Serra e Trapezóide.
Período ( T ) : São intervalo , ou ciclos, quando a função volta a se repetir novamente, da mesma maneira.
A : é o pico máximo da onda.
1) Ondas Quadrada: É formada por funções constante.
a) b)
ݕ ݕ
9
3
4
0 1 ݂ଶ 2 3 ݔ
0 0,1 0,2 0,3 0,4 ݔ
ܶ ൌ 2 ܶ ൌ 0,2
ܣ ൌ 3 ܣ ൌ 9
݂ଵ
ൌ ݕଵ ൌ 3 ݁ݏ 0 ݔ 1 ݂ଵ
ൌ ݕଵ ൌ 9 ݁ݏ 0 ݔ 0,1
݂ଶ ൌ ݕଶ ൌ 0 ݁ݏ 1 ݔ 2 ݂ଶ ൌ ݕଶ ൌ 4 ݁ݏ 0,1 ݔ 0,2
33. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
33
Função Exponencial: Chama-se função exponencial qualquer função ݂: Թ ՜ Թ dada por uma lei da forma:
ࢌሺ࢞ሻ ൌ ࢞
base ݊ א Թ , ݊ 0 ݊ ് 1
Função Exponencial na base ࢋ ൌ , ૠૡ … ሺࢉ࢙࢚ࢇ࢚ࢋ ࢊࢋ ࡱ࢛ࢋ࢘ሻ.
࢟ ൌ ordenada do ܲሺ0, ܣሻ
1. ݂ሺ ݔ ሻ ൌ . ࢋࢇ࢞
A ݂ሺݔሻ é .݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎܥ
0 ݔ
Para ܣ ൌ 1 , ܽ ൌ 1 ⇒ ݂ሺ ݔ ሻ ൌ 1. ݁1.ݔ
ݕ ൌ a ordenada do ܲሺ0,1ሻ
1.1 ݂ሺ ݔ ሻ ൌ ࢋ࢞
1
0 ݔ
ݕ
2. ݂ሺ ݔ ሻ ൌ . ࢋെࢇ࢞
A ݂ሺݔሻ é .݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎܿ݁ܦ
0 ݔ
Para ܣ ൌ 1 , ܽ ൌ െ1 ⇒⇒⇒⇒ ݂ሺ ݔ ሻ ൌ 1 . ݁െ1.ݔ
ݕ
2.1 ݂ሺ ݔ ሻ ൌ ࢋെ࢞
1 ݂ሺݔሻ é .݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎܿ݁ܦ
0 ݔ
34. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
34
Equação Exponencial na base ࢋ ൌ , ૠૡ …: são equações onde a incógnita está no expoente.
Para isolar a incógnita devemos utilizar as propriedades de potência , afim de deixar na mesma base e poder fazer
as simplificações necessárias.
Exemplos:
a) ݁ଶ௫ିଶ
ൌ 1 sabemos que ݁
ൌ 1 , então podemos escrever
݁ଶ௫ିଶ
ൌ ݁
encontrada a mesma base e podemos simplificá-las, restando os expoentes
2ݔ െ 2 ൌ 0 isolamos a incógnita ݔ encontramos valor que satisfaz a equação.
ݔ ൌ 1
b) 3 . ݁ݔ + 2 . ݁௫
ൌ 5 . ݁ି௫ା଼
ሺ3 2ሻ݁ݔ ൌ 5 . ݁െݔ8 colocamos em evidência o termo comum ݁௫
5. ݁ݔ ൌ 5 . ݁െݔ8 simplificamos as bases iguais restando os expoentes
ݔ ൌ െݔ 8
ݔ ݔ ൌ 8
2ݔ ൌ 8 ݔ ൌ
଼
ଶ
ݔ ൌ 4
c) ݁ିଶ௫
ൌ
ଵ
ల tomemos o inverso da potência no 2º membro da equação
݁ିଶ௫
ൌ ݁ି
simplificamos as bases iguais restando os expoentes
െ2 ݔ ൌ െ6
ݔ ൌ
ି
ିଶ
ݔ ൌ 3
Exercícios Propostos: Resolver as equações exponenciais abaixo:
a) ݁ିଷ
ൌ ݁ସି௫
b) ଼݁௫
ൌ
ଵ
݁2
c) 1 ൌ ݁௫ିଵ
d) ݁ଶ௫
ൌ 1
Respostas: a) 7 b) 0,25 c) 1 d) 0
35. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
35
Função Exponencial do tipo: ࢟ ൌ ሺ െ ࢋିࢇ࢞ሻ , ݔ 0
Muito utilizada em circuitos elétricos. ࢟
Quanto maior o ࢞ mais a curva se aproxima de A
A . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A função tende a A quando ࢞ tende ao infinito.
0 ݔ
Tabela de valores de ࢋ࢞
Exemplo: Esboçar o gráfico da função ݕ ൌ 2 ሺ 1 െ ݁ି௫
)
Solução:
A = 2 ݔ ݕ ൌ ܣሺ1 െ ݁െݔሻ
࢟ 0 2ሺ1 െ ݁ሻ ൌ 2.0 ൌ 0
2 . . . . . . . . . . . . 1 2ሺ1 െ ݁ିଵሻ
ൌ 2ሺ1 െ
ଵ
݁
) ؆ 1,26
2 2ሺ1 െ ݁ିଶሻ
ൌ 2ሺ1 െ
ଵ
݁2) ؆ 1,73
3 2ሺ1 െ ݁ି3ሻ
ൌ 2ሺ1 െ
ଵ
݁3) ؆ 1,9
Quanto maior o valor de x a função mais se aproxima de 2. ڭ ڭ ڭ ڭ
Exercícios: Esboçar o gráfico das funções abaixo:
a) ݕ ൌ 3 ሺ 1 െ ݁ି௫
ሻ
b) ݕ ൌ 2 ሺ 1 െ ݁ିଶ௫
ሻ
c) ݕ ൌ 1 ሺ 1 െ ݁ି௫
ሻ
d) ݕ ൌ 7 ሺ 1 െ ݁ିଶ௫
ሻ
ݔ െ3 െ2 െ1 0 1 2 3
݁௫ 0,05 0,14 0,37 1 2,72 7,39 20,09
0 1 2 3 4 ݔ
x
36. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
36
Logaritmo: É a operação inversa da potência ( cálculo do expoente n ) .
Definição : Logaritmo de um número b real positivo, na base ࢇ real positiva e diferente de 1 é o número ao qual
se deve elevar a base ࢇ para se obter a potência b.
log ܾ ൌ ܽ
ൌ ܾ
ܾ ൌ ࢍࢇ࢚࢘ࢇࢊ ܾ 0 b א Թା
כ
.
ܽ ൌ ࢈ࢇ࢙ࢋ, ܽ 0 ݁ ܽ ് 1
ൌ ࢍࢇ࢚࢘
Exemplos:
logଶ 16 ൌ ݊ 2
ൌ 16 ฺ ݊ ൌ é o logaritmo de 16 na base 2
logହ 5 ൌ ݊ 5
ൌ 5 ฺ ݊ ൌ 1
log 1 ൌ ݊ ܽ
ൌ 1 ฺ ݊ ൌ é o logaritmo de 1 em qualquer base ሺܽ 0 ݁ ܽ ് 1ሻ
כ ã ࢋ࢙࢚࢞ࢋ logaritmo de número negativo ܖܔሺ െሻ.
Logaritmo Neperiano:
Chamado de logaritmo Natural é o logaritmo que usa como base o número e ( constante de Euler).
log ܾ ൌ ݁
ൌ ܾ ou ܖܔ ࢈ ൌ ࢋ
ൌ ࢈
ln ݁ ൌ 1 ݁ଵ
ൌ ݁
ln 1 ൌ 0 ݁
ൌ 1
Propriedades dos logaritmos:
ܲଵ: ܖܔሺ . ሻ ൌ ܖܔ ܖܔ Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.
ܲଶ: ܖܔ ቀ
ቁ ൌ ܖܔ െ ܖܔ Logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos.
݊݁ݐܣçܽõ!
୪୬
୪୬
് ln ቀ
ቁ
ܲଷ: ܖܔ ࢋ
ൌ ܕ . ܖܔ ࢋ ൌ . ൌ Logaritmo da potência é o expoente da potência multiplicado pelo logaritmo
da base dessa potência.
ܲସ: ܖܔ ൌ ܖܔ ൌ Se dois logaritmos são iguais então seus logaritmandos também são.
39. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
39
Trigonometria no Triângulo Retângulo: é todo triângulo que possui um â݈݊݃ݑ ݐ݁ݎ ൌ 90°.
ܽݏݑ݊݁ݐ݅ܪ é o lado oposto ao ângulo reto : ܥܤ ൌ ܽ
ܾ ܽ ݏݐ݁ݐܽܥ são os lados opostos a cada ângulo agudo: ܤܣ ൌ ܿ ݁ ܥܣ ൌ ܾ
Teorema de Pitágoras: ܽଶ
ൌ ܾଶ
ܿଶ
A c B
Razões Trigonométricas:
ࡿࢋ
Seno de um ângulo agudo é o quociente , entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.
b a ࢙ࢋࢻ ൌ
௧௧ ௦௧ â௨ ఈ
௧௨௦
ൌ
c
ߙ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢙ࢋ
Exemplo: Calcular o valor do arco no triângulo retângulo:
3 6 ߙ݊݁ݏ ൌ
ଷ
ൌ
ଵ
ଶ
ߙ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢙ࢋ
ଵ
ଶ
ൌ 30°
࢙࢙ࢋ
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.
b ܿߙݏ ൌ
௧௧ ௗ௧ â௨ ఈ
௧௨௦
ൌ
c
ࢀࢇࢍࢋ࢚ࢋ
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo.
݃ݐ ߙ ൌ
ܿܽݐ݁ݐ ݐݏ
ܿܽݐ݁ݐ ݆ܽ݀ܽܿ݁݊݁ݐ
ൌ
֜ ݃ݐ ߙ ൌ
௦ఈ
௦ఈ
ߚ
ߙ
C
ߙ
ߙ
a
ߙ
41. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
41
Exercícios propostos:
1) Calcule o que se pede nos triângulos retângulos abaixo:
4 6 9
8 2 9 √2
ߠ ൌ ߠ ൌ ߠ ൌ
݊݁ݏ ߠ ൌ ߠ݊݁ݏ ൌ ߠ݊݁ݏ ൌ
ܿݏ ߠ ൌ ܿߠݏ ൌ ܿߠݏ ൌ
݃ݐ ߠ ൌ ݃ݐ ߠ ൌ ݃ݐ ߠ ൌ
2) Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo:
a) ߠ݊݁ݏ ൌ 0,8660254 d) ߠ݃ݐ ൌ 1
b) ܿߙݏ ൌ 0,7071067 e) ߙ݃ݐ ൌ 2,7474774
c) ߚ݃ݐ ൌ 1,7320508 fሻ ߠ݃ݐ ൌ െ1,7321
g) ߚ݃ݐ ൌ െ0,5773 h) ߙ݃ݐ ൌ െ1
42. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
42
TRIGONOMETRIA
Arco : de uma circunferência é qualquer segmento da circunferência limitado por dois pontos distintos
B AB = arco menor e AÔB = ângulo central = ݔ
݉݁݀ሺ ܤܣ ሻ ൌ ݉݁݀ ሺ ܣÔܤ ሻ ൌ ݔ
Unidades de medidas : Graus e radianos
Grau ( ° ) 1 ° =
ଵ
ଷ
da circunferência, então
90° ൌ
ଵ
ସ
da circunferência
180° ൌ
ଵ
ଶ
270° ൌ
ଷ
ସ
360° ൌ 1 circunferência
Radiano ሺ ࢘ࢇࢊ ሻ 1 ݀ܽݎ ൌ raio da circunferência
ܥ ൌ 2ߨ ݎ comprimento de uma circunferência
ݎ ൌ 1 ݀ܽݎ
ܥ ൌ 2ߨ ݀ܽݎ
Conclusão: ܥ ൌ 360° ൌ 2ߨ ,݀ܽݎ logo 90° ൌ
గ
ଶ
180° ൌ ߨ ݀ܽݎ
90° ൌ
గ
ଶ
݀ܽݎ 180° ൌ ߨ 0° ൌ 360° ൌ 2ߨ
ڭ ڭ
270° ൌ
ଷగ
ଶ
Transformar graus para radianos e vice-versa:
Regra de três simples
180° ߨ ݀ܽݎ
30° ݔ ݔ ൌ 30° . ߨ ݀ܽݎ
180°
ൌ ߨ
6
݀ܽݎ
Graus 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Radianos ߨ
6
ߨ
4
ߨ
3
ߨ
2
π 3ߨ
2
2π
O ߙ
A
43. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
43
ࡲ࢛çã ࡿࢋ : ݕ ൌ ݊݁ݏ ݔ
Sobre os eixos cartesianos traçamos uma circunferência de raio unitário ࢘ ൌ com o centro coincidindo com a
origem do sistema.
Tomemos um arco ܴܲ ou o ângulo .ݔ
Seno do arco ܴܲ ou do ângulo ࢞ é a ordenada do ponto P, projeção do segmento OP sobre o ࢋ࢞࢟.
ݕ
1
Arco ܴܲ ൌ ݔ
݊݁ݏ ݔ ൌ ܱܯ
ݎܩá݂݅ܿ: ࡿࢋóࢊࢋ
ݕ
. . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
െ2ߨ െ
ଷగ
ଶ
െ ߨ െ
గ
ଶ
0
గ
ଶ
ߨ
ଷగ
ଶ
2ߨ ݔ
A ࢌ࢛çã ࢙ࢋ é Íࡹࡼࡾ pois é simétrica a origem do sistema ( 0 , 0 ).
࢙ࢋ ሺെ࢞ ሻ ൌ െ ࢙ࢋ ሺ ࢞ ሻ , ݊݁ݏ ቀെ
గ
ଶ
ቁ ൌ െ ݊݁ݏ
గ
ଶ
Período ( ܶ ൌ 2ߨሻ é o período de tempo quando a função se repete.
Amplitude ሺ ܣ 0 ሻ : é a metade da distância entre o ponto máximo e mínimo da onda.
ൌ
ெá௫ – í
ଶ
ݔ െ ߨ െ
ߨ
2
0 ߨ
2
π 3ߨ
2
2π
݊݁ݏ ݔ 0 െ 1 0 1 0 െ 1 0
.........ܯ P
ݔ 1
-1 0 R ݔ
-1
. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .
1 ݎ݁í݀ ܶ ൌ 2ߨ
44. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
44
ࡲ࢛çã ࢙࢙ࢋ : ݕ ൌ cos ݔ
Seja o arco AP = ângulo x ,denominamos
Cosseno do ângulo ݔ , a abscissa do ponto P , projeção do segmento OP sobre o eixo ࢞ , eixo das abscissas.
ݕ
1
Arco ܴܲ ൌ ݔ
ܿݔݏ ൌ ܱܰ
-1
ݎܩá݂݅ܿ: ࢙࢙ࢋóࢊࢋ
ܶ ൌ 2ߨ ݕ
ܣ ൌ 1 . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
െ2ߨ െ
ଷగ
ଶ
െ ߨ െ
గ
ଶ
0
గ
ଶ
ߨ
ଷగ
ଶ
2ߨ ݔ
A função ܿ݊݁ݏݏ é ܴܲܣ pois é simétrica ao eixo ݕ
ܿݏ ሺെݔ ሻ ൌ ܿݏሺ ݔ ሻ cos ሺ െ
గ
ସ
ሻ ൌ ܿݏ ሺ
గ
ସ
ሻ
Função Tangente: ࢟ ൌ ࢚ࢍ ࢞
ݔ݃ݐ ൌ
ݔ݊݁ݏ
ܿݔݏ , ܿݔݏ ് 0 ݁݊ݐã ݔ ്
గ
ଶ
݇ߨ
A ݂݊ݑçã ݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ não está definida nos arcos ቀ ݔ ൌ
గ
ଶ
݇ߨ ቁ ൌ 90° , 270°, …
A ݂݊ݑçã ݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ é Í:ܴܣܲܯ é simétrica a origem do sistema ( 0 , 0 ).
݃ݐሺെݔሻ ൌ െ ݃ݐሺݔሻ ݃ݐ ቀെ
గ
ସ
ቁ ൌ െ ݃ݐ
గ
ସ
ݔ െߨ ିగ
ଶ
0 గ
ଶ
π ଷగ
ଶ
2π
ܿݏ ݔ െ1 0 1 0 െ1 0 1
. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .
ܶ ൌ 2ߨ
P
ݔ 1
-1 0 N R ݔ
51. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
51
LIMITES DE FUNÇÕES
ࡿ ൌ
Idéia Intuitiva de Limite: Seja a figura de forma quadrada e de área igual a 1.
A soma de todas as áreas hachuradas vai se aproximar de 1, dizemos que essa ܽ݉ݏ ݁݀݊݁ݐ ܽ 1,
matematicamente nunca será igual a 1, sempre haverá uma divisão da figura.
+
ൗ +
ൗ +
ൗ ... + ...
ൗ
ൗ
ൗ
ൗ
Quando as divisões tendem ao infinito a área da figura tende a 1.
Definição:
Dizemos que o limite da função ݕ ൌ ݂ ሺ ݔ ሻ, quando ݔ tende a ܽ é o número real ܮ se e
somente se, os números reais da imagem ݂ሺ ݔ ሻ permanecem bem próximo s de ܮ para os infinitos
valores de ݔ próximos de ܽ.
y
݂ሺ ݔ ሻ lim ݂ ሺ ݔ ሻ
௫՜
ൌ ܮ
0 ܽ ݔ lê-se: limite da função ݂ ሺ ݔ ሻ quando ݔ tende a ܽ é .ܮ
݂ሺ ݔ ሻ ՜ ܮ ݀݊ܽݑݍ ݔ ՜ ܽ
Limites Laterais: Para que exista limite é necessário que exista limite pela esquerda e pela direita do ponto e
que esses limites sejam iguais.
Lim௫՜ ݂ ሺ ݔ ሻ ൌ lim௫՜ష ݂ ሺ ݔ ሻ ൌ lim௫՜శ ݂ ሺ ݔ ሻ ൌ ܮ
ܮ െ
ૡൗ
1⁄16
ૡൗ
52. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
52
Y
Unicidade do limite: O limite quando existe é único. 4
Lim
௫՜ଶష
݂ሺݔሻ ൌ 4 0 1 2 3 x
lim
௫՜ଶశ
݂ሺݔሻ ൌ െ3 -3 . . . . .
Exemplo1: Qual o limite da função ݂ሺݔሻ ൌ െݔ 2 quando ݔ ՜ 0 , ݔ ՜ 2 .
Y
2
0 1 2 3 4 ݔ
-2. . . . . . . . . . . ݂ሺݔሻ ൌ െݔ 2
lim
௫՜
ሺെݔ 2ሻ ൌ lim
௫՜
ሺെ0 2ሻ ൌ 2 lim
௫՜ଶ
ሺെݔ 2ሻ ൌ lim
௫՜ଶ
ሺെ2 2ሻ ൌ 0
lim
௫՜ష
ሺെݔ 2ሻ ൌ lim
௫՜ష
ሺെ0 2ሻ ൌ 2 lim
௫՜ଶష
ሺെݔ 2ሻ ൌ lim
௫՜ଶష
ሺെ2 2ሻ ൌ 0
lim
௫՜శ
ሺെݔ 2ሻ ൌ lim
௫՜శ
ሺെ0 2ሻ ൌ 2 lim
௫՜ଶశ
ሺെݔ 2ሻ ൌ lim
௫՜ଶశ
ሺെ2 2ሻ ൌ 0
Exemplo 2: Calcular o lim
ݔ՜1െ
√ݔ െ 1 lim
௫՜ଵశ
√ݔ െ 1 e lim
௫՜ହ
√ݔ െ 1
Solução: A condição de existência desse limite é: O radicando
ݔ െ 1 0 ݔ 1 , existe a função para valores maiores ou igual 1, portanto
lim
௫՜ଵష
√ݔ െ 1 ൌ ܽ ݂݊ݑçã ݊ã ݁ݐݏá ݂݀݁݅݊݅݀ܽ , ݈݃ ݈݅݉݅.,݁ݐ y ݔ ݕ
lim
௫՜ଵ
√ݔ െ 1 ൌ lim
ݔ՜1
√1 െ 1 ൌ lim
ݔ՜1
√0 ൌ 0 1 0
lim
௫՜ଵశ
√ݔ െ 1 ൌ lim
௫՜ଵశ
√1 െ 1 ൌ lim
௫՜ଵశ
√0 ൌ 0 0 1 x 5 2
lim
௫՜ହ
√ݔ െ 1 ൌ lim
௫՜ହ
√5 െ 1 ൌ lim
௫՜ହ
√4 ൌ 2 10 3
Não existe limite da função ݕ ൌ √ݔ െ 1 quando ݔ ՜ 1ି
Supondo que a função ݕ ൌ √ݔ െ 1 for contínua para todo ݔ 1 então o limite vai existir para quaisquer valores
do domínio. Por exemplo: ݔ ՜ 2 , ݔ ՜ 3 ... ݔ ՜ ∞ .
് ݏ݁ݐ݅݉݅ܮ ฺ lim݂ሺݔሻ
ݔ՜2
53. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
53
Símbolos ∞ e െ ∞ em limites
∞ lê – se mais infinito, representa um valor muito alto. Não é número.
െ ∞ lê – se menos infinito, representa um valor muito pequeno.
Exemplos 1: Seja ࢟ ൌ ࢋି࢞
, função exponencial decrescente y
a) lim
௫՜ାஶ
݁ି௫
ൌ lim
௫՜ାஶ
ଵ
ೣ
ൌ lim
௫՜ାஶ
ଵ
ಮ
ൌ lim
௫՜ାஶ
ଵ
ஶ
ൌ 0 1
- ∞ 0 +∞
b) lim
௫՜ିஶ
݁ି௫
ൌ lim
௫՜ିஶ
݁ିሺିஶሻ
ൌ lim
௫՜ିஶ
݁ஶ
ൌ ∞
c) lim
௫՜
݁ି௫
ൌ lim
௫՜
݁
ൌ lim
௫՜
1 ൌ 1
Exemplos 2: + ∞
Seja ݕ ൌ
ଵ
௫
, ݔ ് 0, O gráfico da função é uma hipérbole.
lim
௫՜ିஶ
ଵ
௫
ൌ lim
௫՜ିஶ
ଵ
ିஶ
ൌ 0
- ∞ 0 + ∞
lim
௫՜ାஶ
ଵ
௫
ൌ lim
௫՜ାஶ
ଵ
ஶ
ൌ 0
lim
௫՜ష
ଵ
௫
ൌ െ∞ ് lim
௫՜శ
ଵ
ൌ ∞ ֜ lim
௫՜
ଵ
௫
- ∞
55. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
55
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO :
A função primitiva passa por um processo de derivação, derivando uma nova função chamada de função derivada .
Seja a função ݕ ൌ ݂ ሺ ݔ ሻ
contínua ( existe o limite da função no ponto e este limite é finito)
ݔ ݁ ݔ ∆ݔ dois pontos de seu domínio.
Acréscimo da variável independente ࢞
∆ݔ ൌ é a diferença entre o valor com o acréscimo e o primeiro valor.
Ex: ݔ ൌ 4 ݁ ሺ ݔ ∆ݔ ሻ ൌ 9 então ∆ݔ ൌ 5 é o acréscimo.
Acréscimo da variável dependente ࢟
∆ݕ ൌ é a diferença entre o valor que a função toma em ݔ ∆ݔ e o valor da função em .ݔ
∆ݕ ൌ ݂ ሺ ݔ ∆ݔ ሻ – ݂ ሺ ݔ ሻ.
RAZÃO INCREMENTAL ൌ
∆࢟
∆࢞
é a razão entre o acréscimo da variável dependente ݕ em relação ao
acréscimo da variável independente ݔ . ݕ
Quando ∆ݔ tende a zero ( ∆ݔ ՜ 0 ) a razão
∆࢟
∆࢞
vai chegar no limite, e esse limite é a função derivada em ࢞.
lim∆௫՜
∆௬
∆௫
ൌ lim
∆௫՜
ሺ௫ା∆௫ሻ ି ሺ௫ሻ
∆௫
ൌ ݂݊ݑçã ݀݁ܽ݀ܽݒ݅ݎ
Definição : A derivada de uma função é o limite da razão entre o acréscimo da variável dependente em relação ao
acréscimo da variável independente, quando esta última tende a zero. Representamos esta nova função pelos
Símbolos da função derivada:
ࢊ࢟
ࢊ࢞
= ࢟´ ൌ ࢌ´ሺ࢞ሻ ൌ ࢊ
ࢊ࢞
࢟
Lê-se : ࢊࢋ࢘࢜ࢇࢊࢇ ࢊࢋ ࢟ ࢋ ࢘ࢋࢇçã ࢇ ࢞
݂ሺݔ ∆ݔሻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ݕ ൌ ݂ሺݔሻ
݂ሺ)ݔ ......
0 ݔ ∆ݔ ሺݔ ∆ݔሻ ݔ
56. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
56
PROCESSO DE DERIVAÇÃO ou Regra Geral de Derivação : Regra dos 4 Passos.
Seja ܻ ൌ ݂ ሺ ݔ ሻ
função e x um ponto fixo , pré-estabelecido
1º Passo: ݕ ∆ݕ ൌ ݂ ሺ ݔ ∆ݔ ሻ Damos um ∆x à variável independente, implicando
acréscimo ∆y na função (x coloca-se ݔ ∆ݔ )
2º Passo ∆ݕ ൌ ݂ ሺ ݔ ∆ݔሻ െ ݕ Fazemos a subtração da função,sabemos que y =f(x)
∆ݕ ൌ ݂ ሺ ݔ ∆ݔ ሻ െ ݂ ሺ ݔ ሻ Dividimos ∆ݔ em ambos os membros da equação
3º Passo
∆௬
∆௫
ൌ
ሺ ௫ା ∆௫ ሻ– ሺ ௫ ሻ
∆௫
Fazendo ∆x→0 a razão
∆௬
∆௫
chega ao limite
4º Passo ܕܑܔ∆࢞→
∆࢟
∆࢞
= ܕܑܔ∆࢞→
ࢌሺ࢞ା∆࢞ሻି ࢌሺ࢞ሻ
∆࢞
=
ࢊ࢟
ࢊ࢞
Esse limite é a derivada da função inicial
Exemplos :
Utilizando o processo definição de derivada calcule a derivada das funções abaixo:
a) ݕ = ࢞
1º Passo: 5ݔ 3 ∆ݕ = 5ሺݔ ∆ݔሻ 3
2º Passo ∆ݕ = 5ݔ 5 ∆ݔ 3 െ 5ݔ െ 3
∆ݕ = 5 ∆ݔ
3º Passo
∆௬
∆௫
=
ହ ∆௫
∆௫
4º Passo lim∆௫→
∆௬
∆௫
= lim∆௫→ 5 = 5
ܴ݁:ܽݐݏݏ
ࢊ
ࢊ࢞
࢞ =
58. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
58
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Determinar
ௗ௬
ௗ௫
das funções abaixo, utilizando a definição de derivada .
a) ݕ ൌ ݔ
b) ݕ ൌ 10ݔ െ 4
c) ݕ ൌ ݔଶ
3ݔ
Respostas: a)
ௗ௬
ௗ௫
ൌ 1 b)
ௗ௬
ௗ௫
ൌ 10 c)
ௗ௬
ௗ௫
ൌ 2ݔ 3
Para encontrar a derivada de uma função usando a Regra geral de derivação é um trabalho exaustivo e
demorado.
Assim faremos o uso de um formulário de derivadas.
63. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
63
Interpretação Geométrica da Derivada:
Consideramos a curva de função contínua ݕ ൌ ݂ ሺ ݔ ).
Tomemos dois pontos de seu domínio: ݔ ݁ ݔ ∆ݔ com suas respectivas imagens ݂ሺݔሻ ݁ ݂ሺݔ ∆ݔሻ.
݆ܵ݁ܽ ܲ ൫ݔ , ݂ሺݔሻ൯ ݁ ܳ ሺ ݔ ∆ݔ , ݂ሺ ݔ ∆ሻ ሻ
Pontos da ࢘ࢋ࢚ࢇ ࢙ secante a curva a qual determina uma inclinação com o eixo das abscissas de â݈݊݃ݑ ߙ.
A ݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ ݀ â݈݊݃ݑ ߙ determina o ܿ݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁ ܽ݊݃ݎ݈ܽݑ ݀ܽ ܽݐ݁ݎ ࢙.
ܣ ܽݐ݁ݎ ࢚ ݃ݐ à curva ݊ ݐ݊ ܲ determina uma inclinação de â݈݊݃ݑ ߠ com o ݁݅ݔ ݀ܽݏ ܾܽݏܽݏݏ݅ܿݏ , .ݔ
ߙ݃ݐ ൌ
∆௬
∆௫
= coeficiente angular da reta s
Se ∆ݔ ՜ 0 ݐ݊ ܳ ՜ ܲ, ܽ ܽݐ݁ݎ ࢙ ՜ ࢚ ݁ ߙ ՜ ߠ,assim
ߙ݃ݐ ՜ ߠ݃ݐ , ݑ ݆ܽ݁ݏ , ߙ݃ݐ ൌ
∆௬
∆௫
chega ao limite.
Esse limite é a derivada da função .
Esta derivada é coeficiente angular da reta tangente à curva de equação ݕ ൌ ݂ሺݔሻ no ponto P.
ߠ݃ݐ ൌ lim∆௫՜
∆௬
∆௫
ฺ ߠ݃ݐ ൌ ݂´ሺݔሻ
Conclusão: O valor da derivada na abscissa de um ponto de uma curva é igual ao coeficiente angular da reta
tangente à curva nesse ponto.
Exemplo: Achar o coeficiente angular da reta tangente à curva de equação ࢟ ൌ ࢞
࢞ no seu ponto ݔ ൌ 2 .
Solução: O coeficiente angular é ݂´ሺ2ሻ, que é a derivada da função dada.
݂´ሺ2ሻ =lim∆௫՜
ሺଶା∆௫ሻି ሺଶሻ
∆௫
݂´ሺ2ሻ ൌ lim∆ݔ՜0
ሾ ൬2∆ݔሻ
2
2 ሺ2∆ݔሻ൨െ ሾ22
2.2ሿ
∆ݔ
ൌ lim∆ݔ՜0
44∆ݔሺ∆ݔሻ
2
42∆ݔെ8
∆ݔ
݂´ሺ 2 ሻ = lim∆௫՜
∆௫ሺ∆௫ାሻ
∆௫
= lim∆௫՜ ∆ݔ 6 ൌ 0 6 ൌ 6 ࢌ´ሺሻ ൌ
݂ሺݔሻ . . . . . . . . . .• ܲ
ݕ ݕ ൌ ݂ሺ)ݔ curva
݂ሺݔ ∆ݔሻ … … … … … … … • . ܳ
∆ݕ
∆ݔ
0 ݔ ݔ ∆ݔ ݔ
ߠ ߙ