Trabajo Nº1 en LaTEX

1. Escribir los siguientes textos en PcTex
Ejercicio 1. Calcular los siguientes limites:
1. l´ım
n→∞
1 + 1
n
n
2. l´ım
n→∞
2 + 2
n
n2
3. l´ım
n→∞
2n+3n2+4n3
n4−2n
Ejercicio 2. Calcular los siguientes limites:
(i) l´ım
x→1
(f(x)), sif(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1
2
√
x2 − 4x + 4 si x > 1
(ii) l´ım
x→1
(g(x)), sig(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1
2
√
x2 − 4x + 4 si x > 1
1. Continuidad de funciones
Definicion 1 Sea la funcion f : A → R, A ⊂ R y sea x0 ∈ A, se dice que f es
continua en x0, si para cada E(f(x0), ε) dado, existe un entorno E(x0, δ) tal que si
x ∈ E(x0, δ) entonces f(x) ∈ E(f(x0), ε)
Teorema 1 Sea f : A → R, A ∈ R una funcion, entonces las dos condiciones sigu-
ientes son equivalentes:
1. f es continua en a
2. f verifica:
(a) f(a) ∈ A, es decir, existe f(a)
(b) Existe l´ım
x→a
f(x) = L
(c) f(a) = L
1

2. Ejercicio 2.Escribir los enunciados de los siguientes ejercicios y resuel-
valos:
1. Sea P(x) = x3
− 3x5
+ 2x y Q(x) = x4
− 5x3
− 2x + 3 efectuar las siguientes
operaciones entre polinomios:
(a) P(x) + Q(x) = x3
− 3x5
+ 2x + x4
− 5x3
− 2x + 3 = −4x3
− 3x5
+ x4
+ 3
(b) P(x) − Q(x) = x3
− 3x5
+ 2x − x4
− 5x3
− 2x + 3 = −4x3
− 3x5
− x4
+ 3
(c) P(X)Q(x)
= x3
− 3x5
+ 2xx4−5x3−2x+3
: x3
− 3x5
+ 2xx4−5x3−2x+3
2. Calcular los siguientes limites:
(a) l´ımx→∞
n
√
n3 + 3n : (n3
+ 3n)
1
n
(b) l´ımn→∞
n
√
n3 + 3n
2n − 3n
observela diferencia l´ımx→∞
n
√
n3 + 3n
2n − 3n3
= 0
(c) l´ımn→∞
(n3
+ 3n)n
= ∞
3. Analizar la convergencia de las siguientes series:
(a)
∞
n=1
n 3n − 54
2n2
− 5n3 =
∞
n=1
1
2
3n − 625
n2
− 5n3
1
n
(b)
∞
n=1



n 3n − 54
2n2
2
− 5n3



n
=
∞
n=1


1
4
(3n − 625)2
n4
− 5n3
1
n


n
(c)
∞
n=1
en
+ e−n
2
= ∞
(d)
∞
n=1
1
2
√
sen2x − cos2x
:
∞
n=1
1
2
(sen2x − cos2x)
Ejercicio 3.Calcular los siguientes limites de funciones:
1. (a) l´ım
x→0
sinax
x
= a
(b) l´ım
x→0
sin7x
3x
:
7
3
(c) l´ım
x→0
2x
− 3x
x
= ln2 − ln3
(d) l´ım
x→0
x−1
cotx
= 1
2

3. (e) l´ım
x→0+
1
x
tanx
= 1
Ejercicio 4.Graficar las siguientes conicas teniendo en cuenta el tipo de
coordenadas mas adecuado:
(a) x2
+ y2
= 9
(b) x2
9
+ y2
4
= 1
(c) x2
5
− y2
3
= 1
(d) −2x2
+ 3x − 1 = 0
Ejercicio 5.Graficar las siguientes cuadricas teniendo en cuenta el tipo
de coordenadas mas adecuado:
1. (a) x2
+ y2
+ z2
= 9
(b) x2
5
− y2
3
= 2z
(c) −2x2
+ 3 − z (cilindricas)
Ejercicio 6.Graficar la funci´on f(x) = ex
x2+1
indicar la posible ecuaci´on de una
as´ıntota oblicua observando el gr´afico
Ejercicio 7.Obtener las ra´ıces de las siguientes ecuaciones:
1. (a) 3x2
− 2x + 1 = 0, verificar el valor obtenido observando la grafica corre-
spondiente
(b) x3
− 3x2
+ 2x − 6 = 0
(c) x4
− x3
− 7x2
+ x + 6 = 0
Ejercicio 8.Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analitica y
graficamente:
1. (a)
x − 3y = 2
2x − 6y = 4
(b)
−2x + 3y = −1
x − 2y = 0
3