Conjuntos e diagramas de Venn

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Conjuntos
1. (Espcex (Aman) 2014) Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação a seus três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. Os resultados indicaram que:
- 65 pessoas compram cream crackers. - 85 pessoas compram wafers. - 170 pessoas compram biscoitos recheados. - 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. - 50 pessoas compram cream crackers e recheados. - 30 pessoas compram cream crackers e wafers. - 60 pessoas compram wafers e recheados. - 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa.
Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa.
a) 200
b) 250
c) 320
d) 370
e) 530
2. (Pucrs 2013) O número de alunos matriculados nas disciplinas Álgebra A, Cálculo II e Geometria Analítica é 120. Constatou-se que 6 deles cursam simultaneamente Cálculo II e Geometria Analítica e que 40 cursam somente Geometria Analítica. Os alunos matriculados em Álgebra A não cursam Cálculo II nem Geometria Analítica. Sabendo que a turma de Cálculo II tem 60 alunos, então o número de estudantes em Álgebra A é
a) 8
b) 14
c) 20
d) 26
e) 32
3. (Uepg 2013) Uma prova continha dois problemas: 30 alunos acertaram somente um problema, 22 alunos acertaram o segundo problema, 10 alunos acertaram os dois problemas e 17 alunos erraram o primeiro problema. Nesse contexto, assinale o que for correto.
01) 10 alunos erraram os dois problemas.
02) 20 alunos erraram o segundo problema.
04) 18 alunos acertaram somente o primeiro problema.
08) 45 alunos fizeram a prova.

4. (Ufsj 2013) O diagrama que representa o conjunto A B C  CB  A é
a) b)
c) d)
5. (Uepg 2013) Dados os conjuntos abaixo, assinale o que for correto
 
 
A x | 4 x 0
B x | 1 x 3
    
    
01) 0AB
02) 0,1, 2, 3  AB
04) 3A –B
08) 1, 2  B – A
16) 1AB
6. (Ufsj 2013) Dados três conjuntos A, B e C, não vazios, com A  B e A C, então, é
sempre CORRETO afirmar que
a) B  C
b) A  BC
c) B  C
d) A  BC
7. (Cefet MG 2013) Em uma enquete realizada com pessoas de idade superior a 30 anos,
pesquisou-se as que estavam casadas ou não, se tinham ou não filhos. Constatou-se que 45
pessoas não eram casadas, 49 não tinham filhos, e 99 estavam casadas e com filhos.
Sabendo-se que 180 pessoas responderam a essa enquete, o número das que se declararam
não casadas e sem filhos foi de
a) 13.
b) 23.
c) 27.
d) 32.
e) 36.
8. (Uern 2012) Num grupo de 87 pessoas, 51 possuem automóvel, 42 possuem moto e 5
pessoas não possuem nenhum dos dois veículos. O número de pessoas desse grupo que
possuem automóvel e moto é
a) 4.
b) 11.
c) 17.
d) 19.

9. (G1 - ifce 2012) Sendo N o conjunto dos inteiros positivos, considere os seguintes
conjuntos:
12 x
A x N; N e B x N; N .
x 3
   
         
   
É verdade que
a) A possui mais elementos que B.
b) A e B não possuem elementos em comum.
c) A é um subconjunto de B.
d) B é um subconjunto de A.
e) A e B possuem exatamente três elementos em comum.
10. (Insper 2012) Dizemos que um conjunto numérico C é fechado pela operação ⋆ se, e
somente se, para todo 1 c , 2 c C, tem-se ( 1 c ⋆ 2 c ) C . A partir dessa definição, avalie as
afirmações seguintes.
I. O conjunto A  0,1 é fechado pela multiplicação.
II. O conjunto B de todos os números naturais que são quadrados perfeitos é fechado pela
multiplicação.
III. O conjunto C  1,2,3,4,5,6é fechado pela adição.
Está(ão) corretas(s)
a) apenas a afirmação I.
b) apenas as afirmações I e II.
c) apenas as afirmações I e III.
d) apenas as afirmações II e III.
e) as três afirmações.
11. (Uepa 2012) Uma ONG Antidrogas realizou uma pesquisa sobre o uso de drogas em uma
cidade com 200 mil habitantes adultos. Os resultados mostraram que 11% dos entrevistados
que vivem na cidade pesquisada são dependentes de álcool, 9% são dependentes de tabaco,
5% são dependentes de cocaína, 4% são dependentes de álcool e tabaco, 3% são
dependentes de tabaco e cocaína, 2% são dependentes de álcool e cocaína e 1% dependente
das três drogas mencionadas na pesquisa. O número de habitantes que não usa nenhum tipo
de droga mencionada na pesquisa é:
a) 146.000
b) 150.000
c) 158.000
d) 160.000
e) 166.000
12. (Ufsj 2012) Assinale a alternativa que indica quantos são os números inteiros de 1 a
21.000, que NÃO são divisíveis por 2, por 3 e nem por 5.
a) 6.300
b) 5.600
c) 7.000
d) 700
13. (G1 - ifsp 2012) Em um restaurante de uma empresa fez-se uma pesquisa para saber qual
a sobremesa preferida dos funcionários: pudim ou gelatina. Cada funcionário poderia indicar
que gosta das duas sobremesas, de apenas uma, ou de nenhuma das duas. Do total de
pesquisados, 21 declararam que gostam de pudim, 29 gostam de gelatina, 10 gostam dessas
duas sobremesas e 12 não gostam de nenhuma dessas duas sobremesas. Pode-se então
afirmar que o número de pesquisados foi
a) 52.
b) 62.
c) 72.
d) 82.
e) 92.

14. (Ufsj 2012) Na figura, R é um retângulo, T é um triângulo e H é um hexágono.
Então, é CORRETO afirmar que a região destacada em cinza é dada por
a) H– TR
b) T – H
c) (RT) – (TH)
d) (RT)
15. (G1 - ifsp 2012) Em uma determinada empresa, os trabalhadores devem se especializar
em pelo menos uma língua estrangeira, francês ou inglês. Em uma turma de 76 trabalhadores,
têm-se:
• 49 que optaram somente pela língua inglesa;
• 12 que optaram em se especializar nas duas línguas estrangeiras.
O número de trabalhadores que optaram por se especializar em língua francesa foi
a) 15.
b) 27.
c) 39.
d) 44.
e) 64.
16. (G1 - ifpe 2012) Alberto e Daniel são amigos e colecionadores de selos. Eles começaram a
colecionar selos ao mesmo tempo. Alberto já está com 32 selos, enquanto Daniel tem 17.
Sabendo que eles têm 8 selos em comum, quantos selos diferentes eles têm juntos?
a) 41
b) 42
c) 45
d) 48
e) 49
17. (Udesc 2012) Uma das últimas febres da internet são os sites de compras coletivas, que
fazem a intermediação entre anunciantes e consumidor final, oferecendo cupons com grande
percentual de descontos na compra de produtos e/ou serviços. O gestor de um destes sites,
preocupado em acompanhar essa tendência e ao mesmo tempo oferecer novas opções para
seus clientes, tabulou os dados referentes aos negócios realizados por sua empresa durante o
ano de 2011.
De posse desses dados, ele (gestor) percebeu que em seu site foram ofertados cupons apenas
nas seguintes categorias: Gastronomia, Entretenimento e Saúde & Beleza. Além disso,
considerando apenas os cinco mil clientes cadastrados que efetuaram a compra de pelo menos
uma oferta do seu site, o gestor notou que 52% destes adquiriram cupons do segmento
Gastronomia, enquanto 46% aderiram a ofertas de Saúde & Beleza e 44% compraram itens
relacionados a Entretenimento. O gestor notou também que apenas 300 clientes compraram
cupons dos três segmentos disponíveis, enquanto que 800 clientes adquiriram ofertas de
Gastronomia e Entretenimento e 700 compraram itens de Gastronomia e Saúde & Beleza.
Então a soma do número de clientes deste site que comprou ofertas relacionadas, exatamente,
a um dos três segmentos disponíveis, é:
a) 3800 b) 2600 c) 3200 d) 2200 e) 3000

18. (G1 - cftmg 2012) Dados os conjuntos numéricos A, B, C e D, a região sombreada do
diagrama corresponde a
a) CD.
b) CD.
c) (A B)(CD).
d) (A B)(CD).
19. (G1 - utfpr 2012) Numa cidade existem três shoppings: “X”, “Y” e “Z”. Foi feita uma
entrevista com as pessoas para saber sobre o hábito delas frequentarem esses shoppings e
obteve-se o seguinte resultado, disposto na tabela abaixo:
Shopping Pessoas
X 220
Y 226
Z 226
X e Y 120
X e Z 130
Y e Z 110
X, Y e Z 70
Nenhum dos três 100
Quantas pessoas entrevistadas não frequentam o shopping “X”?
a) 552.
b) 276.
c) 262.
d) 130.
e) 100.
20. (G1 - ifal 2012) Considerando-se os conjuntos A = {1, 2, 4, 5, 7} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8},
assinale a alternativa correta.
a) B  A, logo A B  B.
b) AB  A, pois A  B.
c) A B.
d) 8  B.
e) A B  B, pois A  B.

Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
Com os dados do problema, temos os seguintes diagramas:
Portanto, o número de pessoas que responderam a pesquisa será dado por:
N = 5 + 10 + 30 + 20 + 15 + 40 + 80 + 50 = 250.
[C]
Sejam X, Y e Z, respectivamente, o conjunto dos alunos que cursam Álgebra A, o conjunto
dos alunos que cursam Cálculo II e o conjunto dos alunos que cursam Geometria Analítica.
Sabemos que n(Y)  60, n(YZ)  6, n(XY)  0, n(XZ) e n(Z  (XY))  40. Logo
n(XYZ)  0 e, portanto, n(Z)  46, pois
n(Z (XY))  n(Z) n(XZ) n(YZ)  n(XYZ).
Desse modo, como n(XYZ)  120, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, vem
n(X Y Z) n(X) n(Y) n(Z) n(X Y) n(X Z) n(Y Z) n(X Y Z)
120 n(X) 60 46 6
n(X) 20.
             
   


02 + 04 + 08 = 14.
Considerando P1 o conjunto dos alunos que a acertaram o problema 1 e P2 o conjunto dos
alunos que acertaram o problema 2, temos:
[01] Falsa, pois 5 alunos erraram os dois problemas.
[02] Verdadeira, pois 18 + 5 = 23 erraram o problema 2, com certeza 20 acertaram.
[04] Verdadeira, 30 – 12 = 18.
[08] Verdadeira, 18 + 10 + 12 + 5 = 45.
[B]
01 + 04 + 08 = 13.
[01] (Verdadeiro), pois 0  A e 0B.
[02] (Falsa), pois 3  A e 3B.
[04] (Verdadeira), pois 3 A e 3B.
[08] (Verdadeiro), pois {1,2}  B e {1,2}  A.
[16] (Falsa), pois 1 A.

[B]
Se x A e A  B e A  CxB e x Cx(BC)A  (BC).
[A]
Pessoas casadas: 180 – 45 = 135
Pessoas casadas sem filho: 135 – 99 = 36
Pessoas não casadas e sem filho: 49 – 36 = 13
[B]
Considere o diagrama, em que A é o conjunto das pessoas que possuem automóvel, e M é o
conjunto das pessoas que possuem moto.
Seja x o número de pessoas que possuem automóvel e moto.
Como 51 pessoas possuem automóvel, segue que 51 x pessoas possuem apenas
automóvel. Além disso, sabendo que 42 pessoas possuem moto, temos que 42  x pessoas
possuem apenas moto.
Portanto, dado que 5 pessoas não possuem nenhum dos dois veículos e que o grupo tem 87
pessoas, segue que
51 x x 42 x 5 87 98 x 87
x 11.
        
 
[E]
Conjunto A: Divisores naturais de 12: {2,3,4,6,12}.
Conjunto B: Múltiplos naturais de 3: {0,3,6,9,12,...}.
A  B={3, 6, 12}.
Portanto, A e B possuem exatamente três elementos em comum.
[B]
I. Verdadeira, pois 1.0 = 0.1 = 0 A
II. Verdadeira, pois a2. b2 = (a.b)2  B (para a e b naturais)
III. Falso, pois 5 + 6 = 11 C.

[E]
Considere a figura.
Como o total de habitantes adultos corresponde a 100% do número de pessoas entrevistadas,
segue que
11% 3% 2%1% x 100%x  83%,
com x sendo o percentual dos entrevistados que não usam nenhuma das três drogas.
Portanto, o resultado pedido é
83
83% 200000 200000 166.000.
100
   
[B]
Sejam A o conjunto dos múltiplos de 2, B o conjunto dos múltiplos de 3 e C o conjunto dos
múltiplos de 5.
Queremos calcular o número de elementos do conjunto ABC.
Sabendo que AB é o conjunto dos múltiplos de 6, A C é o conjunto dos múltiplos de 5,
BC é o conjunto dos múltiplos de 15 e ABC é o conjunto dos múltiplos de 30, vem
n(A B C) n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C)
n(A B C)
21000 21000 21000 21000 21000 21000
2 3 5 6 10 15
21000
30
15400.
           
  
      


Portanto, segue que o resultado pedido é dado por
n(ABC)  21000 15400  5.600.

[A]
De acordo com o problema, podemos elaborar os seguintes diagramas:
Portanto o número de pesquisados é:
11 + 10 + 19 + 12 = 52.
[C]
[B]
Número de trabalhadores que optaram apenas pela Língua francesa: x = 76 – 12 – 49 = 15.
Portanto, o número de trabalhadores que optaram por se especializar em língua francesa foi
de:
x + 12 = 15 + 2 = 17.

[A]
n(A) = 32 (número de selos de Alberto)
n(B) = 17(número de selos de Daniel)
n(A B) n(A) n(B) n(A B)
n(A B) 32 17 8
n(A B) 41
    
   
 
Eles têm juntos 41 selos diferentes.
[C]
Considere o diagrama.
Temos que 0,525000  2600 clientes adquiriram cupons de Gastronomia, 0,465000  2300
adquiriram cupons de Saúde & Beleza e 0,445000  2200.
Sabendo que 300 clientes compraram cupons dos três segmentos disponíveis e 800 clientes
adquiriram ofertas de Gastronomia e Entretenimento, segue que 800  300  500 clientes
compraram cupons apenas dos segmentos Gastronomia e Entretenimento.
Analogamente, 700  300  400 clientes compraram cupons apenas dos segmentos
Gastronomia e Saúde & Beleza. Logo, o número de clientes que compraram apenas cupons de
gastronomia é dado por 2600 (300  400  500)  1400.
Assim, obtemos o sistema
x y z 2600 5000 x y z 2400
x y 300 400 2300 x y 1600
x z 300 500 2200 x z 1400
x 600
y 1000.
z 800
        
 
        
         
 
  
  
Portanto, o número de clientes que compraram exatamente um cupom é dado por
y  z 1400  1000  800 1400  3200.

[D]
[C]
De acordo com o problema, podemos elaborar os seguintes diagramas:
Pessoas que não frequentam o shopping “X”: 66 + 40 + 56 + 100 = 262.

[E]
Construindo os diagramas de Venn- Euler, temos: A B  B, pois A  B.

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