1. เลขยกกำลัง

2. เรื่อง เลขยกกำลัง ความหมายของเลขยกกำลัง บทนิยาม ถ้า a เป็นจำนวนใดๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก “ a ยกกำลัง n ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ หมายถึงผลคูณของ a ซึ่งมีทั้งหมด n ตัว นั่นคือ = a  a  a  a  ……  a n ตัว จำนวนเต็มบวก n เรียกว่า “ เลขชี้กำลัง ” (exponent) ของ a และเรียกจำนวน a ใดๆ ว่า “ ฐาน ” (base)

3. สมบัติของเลขยกกำลัง กำหนดให้ a , b เป็นจำนวนใดๆ และ m , n เป็นจำนวนเต็มบวก 1) เช่น 2) ( เมื่อ m > n ) เช่น ( เมื่อ m < n ) เช่น 3) เช่น 4) เช่น 5) ( เมื่อ b  0 ) เช่น 6) เช่น 7) ( เมื่อ a  0 ) เช่น และ

4. 8) เช่น 9) เช่น 9.1) 9.2) 9.3) เมื่อ b  0 9.4) 9.5) เมื่อ a  0 , a  1 จะได้ x = y สมบัติของเลขยกกำลัง ( ต่อ )

5.  วิธีดำเนินการ หาค่าของเลขยกกำลังในแต่ละช่องตาราง (1-25) ลากส่วนของเส้นตรงโดยเริ่มตั้งแต่ช่องตารางที่ (1) ไปหาช่องตารางที่ติดกัน ซึ่งต้องเป็นช่องตารางที่มีค่าน้อยที่สุด ( ตัวอย่างลากเส้นจากช่องตารางที่ (1) ไปหาช่องตารางที่ (7) ซึ่งมีค่าเลขยกกำลังน้อยที่สุด ) แต่ละช่องตารางลากส่วนของเส้นตรงผ่านได้ครั้งเดียว

6. ฟังก์ชันลอการิทึม จาก f = {(x,y)  R  R / y = a x , a>0 , a  1} ซึ่งเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R ไป R + จึงมีฟังก์ชันอินเวอร์สคือ f -1 = {(x,y)  R +  R / x = a y , a>0 , a  1} จาก x = a y สามารถเขียนในรูป y = f(x) ได้ โดยกำหนดเป็น y = log a x เช่น 9 = 3 2 เขียนในรูปลอการิทึมเป็น 2 = log 3 9 32 = 2 5 เขียนในรูปลอการิทึมเป็น 5 = log 2 32 บทนิยาม ฟังก์ชันลอการิทึมคือฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูป f = {(x,y)  R +  R / y = log a x , a>0 , a  1} เช่น y = log 2 x , f(x) = log 5 x

8. สมบัติของเลขยกกำลัง ทฤษฎีบท เมื่อ a , b เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และ m , n เป็นจำนวนเต็ม 1) a m .a n = a m+n 2) (a m ) n = a mn 3) (ab) n = a n b n 4) (a / b) n = a n / b n 5) a m / a n = a m-n ตัวอย่าง จงหาค่าของ (2 -3 x 2 y 4 /2 x -1 ) -2

9. 2 . รากที่ n ในระบบจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์ บทนิยาม เมื่อ x , y เป็นจำนวนจริง y เป็นรากที่สองของ x ก็ต่อเมื่อ y 2 = x สมบัติของรากที่สอง 1) เมื่อ x  0 , y  0 ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ 2) เมื่อ x  0 , y > 0

10. 3. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ บทนิยาม เมื่อ a เป็นจำนวนจริง n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 และ a มีรากที่ n ตัวอย่าง จงทำให้ส่วนไม่ติดกรณฑ์ บทนิยาม เมื่อ a เป็นจำนวนจริง p , q เป็นจำนวนเต็มที่ (p,q) = 1 , q > 0 และ  R โดยที่ p < 0 แล้ว a ต้องไม่เป็นศูนย์

11. 4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล บทนิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = {(x,y)  R  R / y = a x , a>0 , a  1} y ข้อสังเกต 1) กราฟของ y = a x ผ่านจุด (0,1) เสมอ 2) ถ้า a > 1 แล้ว y = a x เป็นฟังก์ชันเพิ่ม 3) ถ้า 0 < a < 1 แล้ว y = a x เป็นฟังก์ชันลด 4) y = a x เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R ไป R + 5 ) โดยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ a x = a y ก็ต่อเมื่อ x = y

12. 5. ฟังก์ชันลอการิทึม จาก f = {(x,y)  R  R / y = a x , a>0 , a  1} ซึ่งเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R ไป R + จึงมีฟังก์ชันอินเวอร์สคือ f -1 = {(x,y)  R +  R / x = a y , a>0 , a  1} จาก x = a y สามารถเขียนในรูป y = f(x) ได้ โดยกำหนดเป็น y = log a x เช่น 9 = 3 2 เขียนในรูปลอการิทึมเป็น 2 = log 3 9 32 = 2 5 เขียนในรูปลอการิทึมเป็น 5 = log 2 32 บทนิยาม ฟังก์ชันลอการิทึมคือฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูป f = {(x,y)  R +  R / y = log a x , a>0 , a  1} เช่น y = log 2 x , f(x) = log 5 x

13. สมบัติของลอการิทึม เมื่อ a , M , N เป็นจำนวนจริงบวกที่ a  1 และ k เป็นจำนวนจริง 1) log a MN = log a M + log a N 2) log a M / N = log a M – log a N 3) log a M k = k log a M 4) log a a = 1 5) log a 1 = 0 6) log a kM = 1 / k log a M 7) log b a = 1 / log a b

14. 6. การหาค่าของลอการิทึม ลอการิทึมสามัญ หมายถึงลอการิทึมฐาน 10 ซึ่งนิยมเขียนโดยไม่มีฐานกำกับ เช่น log 10 7 เขียนแทนด้วย log 7 log 10 15 เขียนแทนด้วย log 15 พิจารณาค่าของลอการิทึมของจำนวนเต็มที่สามารถเขียนในรูป 10 n เมื่อ n  I log 10 = log 10 1 = 1 log 100 = log 10 2 = 2 log 1000 = log 10 3 = 3 ดังนั้น log 10 n = n

15. จำนวนจริงบวก N ใดๆ สามารถเขียนในรูป N 0 x 10 n ได้เสมอ เมื่อ 1 < N 0 <10 และ n เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจาก N = N 0 x 10 n ดังนั้น log N = log (N 0 x 10 n ) = log N 0 + log 10 n = log N 0 + n log N 0 เรียกว่า แมนทิสซา (mantissa) ของ log N n เรียกว่า แคแรกเทอริสติก (characteristic) ของ log N

16. ตัวอย่าง จงหาค่าของ log 45 2 0 พร้อมทั้งบอก แมนทิสซาและแคแรกเทอริสติก วิธีทำ เนื่องจาก log 45 2 0 = log (4.5 2 x 10 3 ) = log 4.5 2 + log 10 3 = 0.65 51 + 3 = 3.6542 ดังนั้น log 4510 = 3.65 51 แมนทิสซาของ log 45 2 0 คือ 0.6551 แคแรกเทอริสติกของ log 45 2 0 คือ 3

17. แอนติลอการิทึม ตัวอย่าง กำหนดให้ log N = 2.5159 จงหาค่า N วิธีทำ เนื่องจาก log N = 2.5159 = 0.5159 + 2 = log 3.28 + log 10 2 = log (3.28 x 10 2 ) = log 328 ดังนั้น N = 328

18. 7. การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม กำหนดให้ y = log b x จะได้ x = b y log a x = log a b y log a x = y log a b y = ดังนั้น log b x = ตัวอย่าง จงหาค่าของ log 2 24

19. ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithms) ลอการิทึมธรรมชาติ คือลอการิทึมฐาน e เมื่อ e เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวนอตรรกยะ ซึ่งมีค่าประมาณ 2.7182818 หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “ ลอการิทึมแบบเนเปียร์ ” (Napierian Logarithms) ในการเขียนลอการิทึมธรรมชาติจะไม่นิยมเขียนฐานกำกับ ดังนี้ log e x เขียนแทนด้วย ln x log e 3 เขียนแทนด้วย ln 3 log e 20 เขียนแทนด้วย ln 20 การหาค่าลอการิทึมธรรมชาติทำได้โดยการเปลี่ยนฐานให้เป็นลอการิทึมสามัญ ซึ่ง log e = log 2.7182818 = 0.4343 ตัวอย่าง จงหาค่าของ ln 25

20. 8. สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและสมการลอการิทึม สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล คือสมการที่มีตัวแปรเป็นเลขชี้กำลัง ในการหาคำตอบของสมการ ทำได้โดยใช้สมบัติของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของสมการ 2 x .2 2x+1 = 4 x-2 วิธีทำ 2 x+2x+1 = (2 2 ) x-2 2 3x+1 = 2 2x-4 จะได้ 3x+1 = 2x-4 x = -5 ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ {-5} ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของสมการ 4 x + 2 x+1 – 24 = 0

21. สมการลอการิทึม คือสมการที่มีลอการิทึมของตัวแปร การหาคำตอบของสมการทำได้ โดยใช้สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของสมการ log 2 (x-2) + log 2 (x-3) = 1 วิธีทำ log 2 (x-2) + log 2 (x-3) = 1 log 2 (x-2)(x-3) = log 2 2 จะได้ (x-2)(x-3) = 2 x 2 - 5x + 4 = 0 (x-1)(x-4) = 0 x = 1 , 4 ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ {4} เพราะว่า เมื่อตรวจคำตอบ x = 1 หาค่าไม่ได้