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Teoremas sobre ecuaciones polinomiales




                         Christiam Huertas
                         www.xhuertas.blogspot.com
                         24/02/2013
TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES                                               Mathema


                                  Introducción
La búsqueda de fórmulas que permitan hallar las raíces de los polinomios fue un
problema central del álgebra durante siglos.

Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia (1499-1557), Cardano (1501-1576)
mostraron como resolver ecuaciones de tercer grado, y Ferrari (1522-1565) encontró
un método para calcular las raíces de las ecuaciones de cuarto grado




           del Ferro          Tartaglia        Cardano                     Ferrari

                                                          Prof.: Christiam Huertas             2
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El objetivo del álgebra clásica es expresar las raíces de la ecuación de grado


en términos de los coeficientes                   que pertenecen a un cuerpo             .

La resolución de ecuaciones polinomiales es un tema que ha sido muy estudiado a
lo largo de los años a causa de las distintas aplicaciones, provenientes de diversas
áreas de la ciencia y de la tecnología, en las que este tipo de ecuaciones aparecen.




                                    Ordenador cuántico
                                                              Prof.: Christiam Huertas             3
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                    Ecuación polinomial de grado superior
 Forma general




 donde          y       .


 Ejemplos
   
   
   
   

 Para resolver estas ecuaciones generalmente se utiliza las técnicas de
 factorización sobre ; aunque a veces no es muy sencillo.


                                                            Prof.: Christiam Huertas             4
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 Ejemplo 1.
 Resuelva la ecuación polinomial                            .


 Solución
 Factorizamos la ecuación y obtenemos
                  ⏟                ⏟




                           (       √ )(      √ )

                                       √           √   son las soluciones de la ecuación

                       {       √       √ }




                                                                 Prof.: Christiam Huertas             5
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 Ejemplo 2.
 Resuelva la ecuación polinomial                                    .

 Solución
 Factorizamos la ecuación por el método de aspa doble especial.




                             ⏟
                         Aplicamos la fórmula general

                                                  √


                                        {        √      √   }


                                                            Prof.: Christiam Huertas             6
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                       Teorema fundamental del álgebra

  Toda ecuación polinomial de grado , con coeficientes complejos, posee al menos
                                 una raíz compleja.

 Por ejemplo, la ecuación                             posee al menos una raíz.

 Gauss en su disertación doctoral (1799) dio la
 primera demostración rigurosa del Teorema
 Fundamental del Álgebra.

                     D’Alembert había tratado de
                     dar una demostración en
                     1746.
                     Gauss dio dos demostraciones más. En la tercera prueba
                     (1816) uso integrales complejas y mostro la gran maestría de
                     Gauss en la teoría de los números complejos.

                                                            Prof.: Christiam Huertas             7
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 Corolario
 Toda ecuación polinomial de grado                con coeficientes complejos, tiene
 exactamente    raíces contadas cada una de ellas según lo indique su multiplicidad.


 Ejemplos
                            Tiene exactamente 3 raíces.
                                        Tiene exactamente 4 raíces.
                             Tiene exactamente 5 raíces.
                   Tiene exactamente 12 raíces.


 Observación.
 Si la ecuación polinomial         tiene raíces                 ; entonces, la ecuación
 se puede expresar como:




                                                             Prof.: Christiam Huertas             8
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     La ecuación de tercer grado: fórmula de Cardano-Tartaglia
                 El matemático italiano Scipione del Ferro (1465-
                 1526) resolvió la ecuación general de grado 3,
                 pero sus descubrimientos no fueron publicados.
                 Otro matemático italiano, Tartaglia (1499-1557),
                 encontró un método para resolver cualquier
                 ecuación cúbica de la forma



 y sus resultados fueron publicados por Cardano (1501-1576) en su obra Ars
 Magna.

 La fórmula se deduce de la siguiente manera. En primer lugar la ecuación cubica


 se puede llevar a una de la forma

                                                           Prof.: Christiam Huertas             9
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 mediante la sustitución

 La sustitución anterior se llama de Tchirnhausen.

 Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (o Tschirnhausen)
 (1651-1708) fue un matemático, físico, médico y
 filósofo alemán.

 Es bien conocida la transformación de Tschirnhaus,
 mediante la cual eliminaba ciertos términos intermedios
 de una ecuación algebraica dada; fue publicada en su
 Acta Eruditorum en 1683.


 Por ejemplo, para la ecuación
 Hacemos el cambio de variable:                      de donde,
 Al reemplazar obtenemos:                  .

                                                           Prof.: Christiam Huertas             10
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 Es decir; vamos a resolver la ecuación


 Sea            y reemplacemos en la ecuación


 Esto es,


 Supongamos que las incógnitas     y     satisfacen además la ecuación                                .
 Nuestro problema se reduce a encontrar      y   tales que


                                   {


 Como se conoce              y      , sabemos que            y        son las raíces de la
 ecuación cuadrática


                                                                 Prof.: Christiam Huertas             11
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 Resolviendo la ecuación se obtiene


                               √                      √


 y así llegamos a la fórmula de Cardano:



                    √        √( )        ( )   √     √( )             ( )


 Denotemos

                                         ( )   ( )

 es el discriminante de la ecuación cubica                .

                                                              Prof.: Christiam Huertas             12
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 Sean

                              √          √         √        √

 Luego, las tres raíces de la ecuación                   están dadas por




                  √
 donde


 Propiedades
 Dada la ecuación                   donde     y   son números reales.

 i.    Si    , entonces, las tres raíces son reales y diferentes.
 ii.   Si    , entonces, las tres raíces son reales y dos de ellas iguales.
 iii. Si     , entonces, una raíz es real y las otras dos son imaginarias.

                                                                Prof.: Christiam Huertas             13
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 Ejemplo. Resuelva la ecuación cúbica    .




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                        La ecuación de cuarto grado
 La ecuación de grado 4 fue resuelta por Ludovico Ferrari (1522-
 1565).

 Fue un estudioso de las matemáticas que se dedicaba
 principalmente al estudio del álgebra, con lo que le llegó al
 descubrimiento de la resolución algebraica de la ecuación general
 de cuarto grado.


 Lagrange encontró un método distinto para resolver las
 ecuaciones de grado 2, 3 y 4, que no dependía de un cambio
 de variables con ciertas condiciones, sino que era el final de
 una sucesión de razonamientos ordenados y profundos que
 utilizaban la teoría de los polinomios simétricos, la teoría de
 las permutaciones de las raíces y la teoría de las resolventes.

                                                            Prof.: Christiam Huertas             15
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                          Teorema de Cardano - Viette




 Relaciona los coeficientes de una ecuación polinomial con sus raíces.

1. Para una ecuación cuadrática.
                    de raíces    y   .
   Suma de raíces                              Producto de raíces




                                                           Prof.: Christiam Huertas             16
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2. Para una ecuación cúbica.
                           de raíces     y

   Suma de raíces




   Suma de productos binarios




   Producto de raíces




                                             Prof.: Christiam Huertas             17
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   Ejemplo


   1.   Dada la ecuación                 .
        Entonces,




                                             Prof.: Christiam Huertas             18
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3. Para una ecuación cuártica.
                                 de raíces   ;   y   .

   Suma de raíces




   Suma de productos binarios




   Suma de productos ternarios




   Producto de raíces



                                                         Prof.: Christiam Huertas             19
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   Ejemplo

   1. Si la ecuación                           tiene dos raíces que suman dos, calcule la
      suma de las inversas de las otras dos raíces.

      Solución
      Sean las raíces       ;       y       . Por dato,         .


      Se pide calcular          .

      Por Cardano
                 ⏟




                     ⏟                  ⏟


                                                                    Prof.: Christiam Huertas             20
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                         ⏟




              ⏟               ⏟




      Sumando




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4. Para una ecuación polinomial de grado .
   Dada la ecuación polinomial de grano



   de raíces                .

   Suma de raíces




   Suma de productos binarios




                                             Prof.: Christiam Huertas             22
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   Suma de productos ternarios




   Producto de raíces




                                         Prof.: Christiam Huertas             23
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                          Teorema de paridad de raíces

Teorema 1.
En toda ecuación polinomial de coeficientes reales y grado                  , si una raíz es
                   , entonces otra raíz es          .


Teorema 2.
En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y grado                 , si una raíz es
          √ , entonces otra raíz es          √ .
(Se considera           y √     )


Teorema 3.
En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y grado                 , si una raíz es
      √    √ ; con {√     √ }       y√ √       , entonces,        √          √ ;            √
√ y          √    √ tambien son raices.

                                                             Prof.: Christiam Huertas             24
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Teoremas sobre ecuaciones

  • 1. 2013 Teoremas sobre ecuaciones polinomiales Christiam Huertas www.xhuertas.blogspot.com 24/02/2013
  • 2. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Introducción La búsqueda de fórmulas que permitan hallar las raíces de los polinomios fue un problema central del álgebra durante siglos. Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia (1499-1557), Cardano (1501-1576) mostraron como resolver ecuaciones de tercer grado, y Ferrari (1522-1565) encontró un método para calcular las raíces de las ecuaciones de cuarto grado del Ferro Tartaglia Cardano Ferrari Prof.: Christiam Huertas 2
  • 3. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema El objetivo del álgebra clásica es expresar las raíces de la ecuación de grado en términos de los coeficientes que pertenecen a un cuerpo . La resolución de ecuaciones polinomiales es un tema que ha sido muy estudiado a lo largo de los años a causa de las distintas aplicaciones, provenientes de diversas áreas de la ciencia y de la tecnología, en las que este tipo de ecuaciones aparecen. Ordenador cuántico Prof.: Christiam Huertas 3
  • 4. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ecuación polinomial de grado superior Forma general donde y . Ejemplos     Para resolver estas ecuaciones generalmente se utiliza las técnicas de factorización sobre ; aunque a veces no es muy sencillo. Prof.: Christiam Huertas 4
  • 5. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo 1. Resuelva la ecuación polinomial . Solución Factorizamos la ecuación y obtenemos ⏟ ⏟ ( √ )( √ ) √ √ son las soluciones de la ecuación { √ √ } Prof.: Christiam Huertas 5
  • 6. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo 2. Resuelva la ecuación polinomial . Solución Factorizamos la ecuación por el método de aspa doble especial. ⏟ Aplicamos la fórmula general √ { √ √ } Prof.: Christiam Huertas 6
  • 7. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Teorema fundamental del álgebra Toda ecuación polinomial de grado , con coeficientes complejos, posee al menos una raíz compleja. Por ejemplo, la ecuación posee al menos una raíz. Gauss en su disertación doctoral (1799) dio la primera demostración rigurosa del Teorema Fundamental del Álgebra. D’Alembert había tratado de dar una demostración en 1746. Gauss dio dos demostraciones más. En la tercera prueba (1816) uso integrales complejas y mostro la gran maestría de Gauss en la teoría de los números complejos. Prof.: Christiam Huertas 7
  • 8. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Corolario Toda ecuación polinomial de grado con coeficientes complejos, tiene exactamente raíces contadas cada una de ellas según lo indique su multiplicidad. Ejemplos  Tiene exactamente 3 raíces.  Tiene exactamente 4 raíces.  Tiene exactamente 5 raíces.  Tiene exactamente 12 raíces. Observación. Si la ecuación polinomial tiene raíces ; entonces, la ecuación se puede expresar como: Prof.: Christiam Huertas 8
  • 9. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema La ecuación de tercer grado: fórmula de Cardano-Tartaglia El matemático italiano Scipione del Ferro (1465- 1526) resolvió la ecuación general de grado 3, pero sus descubrimientos no fueron publicados. Otro matemático italiano, Tartaglia (1499-1557), encontró un método para resolver cualquier ecuación cúbica de la forma y sus resultados fueron publicados por Cardano (1501-1576) en su obra Ars Magna. La fórmula se deduce de la siguiente manera. En primer lugar la ecuación cubica se puede llevar a una de la forma Prof.: Christiam Huertas 9
  • 10. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema mediante la sustitución La sustitución anterior se llama de Tchirnhausen. Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (o Tschirnhausen) (1651-1708) fue un matemático, físico, médico y filósofo alemán. Es bien conocida la transformación de Tschirnhaus, mediante la cual eliminaba ciertos términos intermedios de una ecuación algebraica dada; fue publicada en su Acta Eruditorum en 1683. Por ejemplo, para la ecuación Hacemos el cambio de variable: de donde, Al reemplazar obtenemos: . Prof.: Christiam Huertas 10
  • 11. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Es decir; vamos a resolver la ecuación Sea y reemplacemos en la ecuación Esto es, Supongamos que las incógnitas y satisfacen además la ecuación . Nuestro problema se reduce a encontrar y tales que { Como se conoce y , sabemos que y son las raíces de la ecuación cuadrática Prof.: Christiam Huertas 11
  • 12. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Resolviendo la ecuación se obtiene √ √ y así llegamos a la fórmula de Cardano: √ √( ) ( ) √ √( ) ( ) Denotemos ( ) ( ) es el discriminante de la ecuación cubica . Prof.: Christiam Huertas 12
  • 13. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Sean √ √ √ √ Luego, las tres raíces de la ecuación están dadas por √ donde Propiedades Dada la ecuación donde y son números reales. i. Si , entonces, las tres raíces son reales y diferentes. ii. Si , entonces, las tres raíces son reales y dos de ellas iguales. iii. Si , entonces, una raíz es real y las otras dos son imaginarias. Prof.: Christiam Huertas 13
  • 14. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo. Resuelva la ecuación cúbica . Prof.: Christiam Huertas 14
  • 15. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema La ecuación de cuarto grado La ecuación de grado 4 fue resuelta por Ludovico Ferrari (1522- 1565). Fue un estudioso de las matemáticas que se dedicaba principalmente al estudio del álgebra, con lo que le llegó al descubrimiento de la resolución algebraica de la ecuación general de cuarto grado. Lagrange encontró un método distinto para resolver las ecuaciones de grado 2, 3 y 4, que no dependía de un cambio de variables con ciertas condiciones, sino que era el final de una sucesión de razonamientos ordenados y profundos que utilizaban la teoría de los polinomios simétricos, la teoría de las permutaciones de las raíces y la teoría de las resolventes. Prof.: Christiam Huertas 15
  • 16. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Teorema de Cardano - Viette Relaciona los coeficientes de una ecuación polinomial con sus raíces. 1. Para una ecuación cuadrática. de raíces y . Suma de raíces Producto de raíces Prof.: Christiam Huertas 16
  • 17. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema 2. Para una ecuación cúbica. de raíces y Suma de raíces Suma de productos binarios Producto de raíces Prof.: Christiam Huertas 17
  • 18. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo 1. Dada la ecuación . Entonces, Prof.: Christiam Huertas 18
  • 19. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema 3. Para una ecuación cuártica. de raíces ; y . Suma de raíces Suma de productos binarios Suma de productos ternarios Producto de raíces Prof.: Christiam Huertas 19
  • 20. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Ejemplo 1. Si la ecuación tiene dos raíces que suman dos, calcule la suma de las inversas de las otras dos raíces. Solución Sean las raíces ; y . Por dato, . Se pide calcular . Por Cardano ⏟ ⏟ ⏟ Prof.: Christiam Huertas 20
  • 21. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema ⏟ ⏟ ⏟ Sumando Prof.: Christiam Huertas 21
  • 22. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema 4. Para una ecuación polinomial de grado . Dada la ecuación polinomial de grano de raíces . Suma de raíces Suma de productos binarios Prof.: Christiam Huertas 22
  • 23. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Suma de productos ternarios Producto de raíces Prof.: Christiam Huertas 23
  • 24. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Teorema de paridad de raíces Teorema 1. En toda ecuación polinomial de coeficientes reales y grado , si una raíz es , entonces otra raíz es . Teorema 2. En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y grado , si una raíz es √ , entonces otra raíz es √ . (Se considera y √ ) Teorema 3. En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y grado , si una raíz es √ √ ; con {√ √ } y√ √ , entonces, √ √ ; √ √ y √ √ tambien son raices. Prof.: Christiam Huertas 24
  • 25. TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema Prof.: Christiam Huertas 25