1. www.matematiranje.com
LOGARITMI
Logaritam broja b za osnovu a je realan broj x kojim treba stepenovati osnovu a da
bi se dobilo pozitivan broj b. (a > 0, a ≠ 0) ili log a b = x ⇔ b = a x
Važno: b > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je a ∈ R, a ≠ 1, i a > 0
b-se zove numerus (logaritmand), a je osnova (baza)
Osnovna svojstva logaritma
1. log a 1 = 0
2. log a a = 1
3. log a ( xy ) = log a x + log a y
x
4. log a = log a x − log a y
y
5. log a x n = n log a x
1
6. log a s x = log a x
s
1
7. log a b ⋅ log b a = 1 tj. log a b =
log b a
log c b
8. Za prelazak na neku novu bazu c: log a b =
log c a
9. a log a b = b
→ Ako je baza (osnova) a=10 takvi se logaritmi nazivaju DEKADNI i označavaju se
log10 x = log x
(Znači kad nema da piše osnova, podrazumeva se da je 10)
→ Ako je osnova (baza) a=e ( e ≈ 2,7 ) onda se takvi logaritmi zovu PRIRODNI I
označavaju se
log e x = ln x
→ Moramo voditi računa o zapisu:
(log a x )2 = log 2 x = log a x ⋅ log a x
a
log a x 2 = log a x ⋅ x = 2 log a x
Upoznajmo se sa svojstvima logaritma kroz sledeće primere:
1

2. www.matematiranje.com
Izračunati:
1)
log 5 1 = ? Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 0. Znači, za bilo koju osnovu,
log 6 1 = ? od jedinice rešenje je 0 ( log a 1 = 0 )
log 1 1 = ?
2
log 1 = ?
ln 1 = ?
2)
log12 12 = ? Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 1, jer je log a a = 1
2 PAZI: log 10 = log10 10 = 1
log 2 =?
3
3 ln e = log e e = 1
log10 = ?
ln e = ?
3)
a) log 6 2 + log 6 3 = ?
b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = ?
Primenićemo svojstvo 3: log a x + log a y = log a ( xy )
Dakle:
a) log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 ⋅ 3) = log 6 6 = ( po drugom svojstvu)=1
b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = log 30 (2 ⋅ 5 ⋅ 3) = log 30 30 = 1
4)
a) log 5 10 − log 5 2 = ?
b) log 2 20 − log 2 10 = ?
x
Primenićemo: log a x − log a y = log a
y
Dakle:
10
a) log 5 10 − log 5 2 = log 5 = log 5 5 = 1
2
20
b) log 2 20 − log 2 10 = log 2 = log 2 2 = 1
10
2

3. www.matematiranje.com
5) Izračunati:
a) log 2 8 = ?
1
b) log 5 =? Ovde ćemo upotrebiti log a x n = n log a x
125
n
1
v) log a 5 a 2 = ? Podsetnik: m
an = a m i = a −n
an
a)
log 2 8 = log 2 23 = 3 log 2 2 = 3 ⋅1 = 3
b)
1 1
log 5 = log 5 3 = log 5 5−3 = −3log 5 5 = −3 ⋅1 = −3
125 5
v)
2
2 2 2
log a a = log a a =
5 2 5
log a a = ⋅1 =
5 5 5
6) Izračunati:
a) log81 3 = ?
b) log 2
2=?
v) log 3
27 = ?
1
Ovde ćemo upotrebiti da je log a s x = log a x
s
1 1 1
a) log81 3 = log 34 3 = log 3 3 = ⋅1 =
4 4 4
1
b) log 2 = log 1 2 = log 2 2 = 2 ⋅1 = 2
2
22 1
2
1
v) log 27 = log 1 33 = 3 ⋅ log 3 3 = 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6
3
32 1
2
3

4. www.matematiranje.com
7) Izračunati:
a) log 5 2 ⋅ log 2 5 = ? Važi:
b) log10 15 ⋅ log15 10 = ? log a b ⋅ log b a = 1
Dakle rešenja oba ova zadačića je 1.
8) Izračunati:
a) log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log 8 7 = ?
b) Ako je log 5 2 = a i log 5 3 = b izračunati log 45 100 = ?
Rešenje:
log c b
Ovde ćemo primeniti prelazak na novu osnovu: log a b =
log c a
a)
log 2 log 3
Ajde recimo da uzmemo novu osnovu 10 tada je: log 3 2 = ; log 4 3 = ,
log 3 log 4
itd.
Dakle:
log 2 log 3 log 4 log 5 log 6 log 7
log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log 8 7 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8
log 2
Kao što vidimo dosta toga se ‘’skratiti’’ = = (sad vidimo da je bilo bolje da
log 8
log c a
uzmemo osnovu 2, ali nema veze vraćamo se u = = log b a )
log c b
1 1 1
= log8 2 = log 23 2 = log 2 2 = ⋅1 =
3 3 3
b)
log 5 2 = a ∧ log 5 3 = b
4

5. www.matematiranje.com
log 5 100
log 45 100 = (ovde je jasno da nova osnova mora biti 5.) = =
log 5 45
log 5 102 2 log 5 10 2 log 5 (5 ⋅ 2) 2 ( log 5 5 + log 5 2 )
= = = = =
log 5 (5 ⋅ 9) log 5 5 + log 5 9 1 + log 5 32 1 + 2 log 5 3
2(1 + log 5 2) 2(1 + a )
= =
1 + 2 log 5 3 1 + 2b
9) Izračunati:
a) 3log3 81 = ? Primenjujemo:
b) 10 log 5 = ? a log a b = ?
Dakle: 3 log3 81 = 81 i 10 log 5 = 5
Sad kad smo se upoznali sa osnovnim svojstvima logaritama , pokažimo još neke
osnovne tipove zadataka:
1) Logaritmovati sledeće izraze za osnovu 10.
x⋅ y
a) A =
z
x2 ⋅ y3
b) B =
z5
3
x
v) C =
5
y2 ⋅ y
d) D = 3 5 x 4 y 3
Rešenja:
a)
x⋅ y
A=
z
xy
log A = log = log( xy ) − log z = log x + log y − log z
z
b)
x2 ⋅ y3
B=
z5
x2 ⋅ y3
log B = log 5
= log( x 2 ⋅ y 3 ) − log z 5 = log x 2 + log y 3 − log z 5 =
z
= 2 log x + 3 log y − 5 log z
5

6. www.matematiranje.com
v)
3 n 1
x
C= PAZI: m
an = a m , a = a2
5
y2 ⋅ z
( )  
3 1 2 1
x
log C = log = log 3 x − log 5
y 2 ⋅ z = log x 3 −  log y 5 + log z 2  =
5
y2 ⋅ z  
1 2 1
= log x − log y − log z
3 5 2
g)
D = 3 5x 4 y 3
1 4
D = 3 5 x 4 y 3 = 3 5 3 x 4 3 y 3 = 5 3 ⋅x 3 ⋅ y
 1 4 
log D = log 5 3 ⋅ x 3 ⋅ y 
 
 
1 4
= log 5 + log x + log y
3 3
2) Rešiti po x jednačine:
a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log 15
b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H
1
v) 2 log x − 3 log a = log 5 + log b + log c
2
Rešenje: Ideja je da se upotrebom svojstva logaritma ‘’spakuju’’ obe strane!!! Dobićemo
izraz log x = log ⊗, ovde izvršimo takozvano ANTILOGARITMOVANJE, tj. skratimo
logaritme i dobijemo x = ⊗
a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log 15 SAVET: Prvo brojeve ispred prebacimo kao
stepen numerusa!!! n log a x = log a x n
log x = log 4 + log 52 + log 6 − log15
4 ⋅ 25 ⋅ 6
log x = log
15
600
log x = log
15
log x = log 40.................. / ANTILOGARITMOVANJE
x = 40
6

7. www.matematiranje.com
b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H
log( x ⋅ 3) = log r 2 + log π + log H
log(3 x) = log(r 2π H )....................................... / ANTILOGARITMOVANJE
3 x = r 2π H
r 2π H
x= ...............................................(V kupe)
3
v)
1
2 log x − 3log a = log 5 + log b + log c
2
1
log x − log a = log 5 + log b + log c
2 3 2
x2
log = log 5 ⋅ b ⋅ c ................. / ANTILOGARITMOVANJE
a3
x2
= 5b c
a3
x 2 = 5a 3 b c
x = 5a 3 b c
3) Ako je log14 7 = a i log14 5 = b Izračunati log 35 28 = ?
Rešenje: ovo je onaj tip zadataka gde moramo uzeti novu osnovu, naravno, to će biti 14.
196
log14
7 = log14 196 − log14 7 = log14 14 − log14 7 =
2
log14 28
log 35 28 = =
log14 35 log14 (7 ⋅ 5) log14 7 + log14 5 log14 7 + log14 5
2 log14 14 − log14 7 2 − a
= =
log14 7 + log14 5 a+b
196 14 2
Vi se sada naravno pitate kako smo mi znali da napišemo 28 = = . Probajte razne
7 7
opcije, nešto mora da ‘’upali’’, uglavnom, iskustvo je presudno!!!
7