Diplomarbeit

8 Aufrufe

Veröffentlicht am

0 Kommentare
0 Gefällt mir
Statistik
Notizen
  • Als Erste(r) kommentieren

  • Gehören Sie zu den Ersten, denen das gefällt!

Keine Downloads
Aufrufe
Aufrufe insgesamt
8
Auf SlideShare
0
Aus Einbettungen
0
Anzahl an Einbettungen
3
Aktionen
Geteilt
0
Downloads
0
Kommentare
0
Gefällt mir
0
Einbettungen 0
Keine Einbettungen

Keine Notizen für die Folie

Diplomarbeit

  1. 1. TU Bergakademie Freiberg Fakultät für Geowissenschaften, Geotechnik und Bergbau Institut für Bohrtechnik und Fluidbergbau Abschlussarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Diplom-Ingenieur Entwicklung und experimentelle Verifizierung eines numerischen Modells für Polymerfluten in unverfestigten Sanden Vorgelegt von Jannick Seelig am 14. Juli 2016 1. Prüfer Prof. Dr.-Ing. Moh’d M. Amro TU Bergakademie Freiberg 2. Prüfer Dipl.-Geophy. Sven Reichmann TU Bergakademie Freiberg
  2. 2. I Zusammenfassung Während der primären Förderphase verbleibt ein Großteil des Öls in der Lagerstätte. Aus die- sem Grund kommen in der sekundären und tertiären Förderphase eine Vielzahl verschiede- ner Abbaumethoden zum Einsatz. In dieser Arbeit wird auf das der sekundären Förderphase zuzuordnende Wasserfluten und das während der tertiären Förderphase durchgeführte Poly- merfluten eingegangen. Es werden in Kapitel 1 die grundlegenden Mechanismen erläutert, die beim Polymerfluten eine Erhöhung der Ölproduktionsrate hervorrufen. In Kapitel 2 werden die Eigenschaften von Polymerlösungen, insbesondere von denen mit dem Biopolymer Xan- than, betrachtet. Diese Eigenschaften beziehen sich auf die Bulklösung. Die Eigenschaften von Polymerlösungen in porösen Medien werden in Kapitel 3 diskutiert. Diese unterscheiden sich von denen der Bulklösung aufgrund eines nicht-newtonschen Fließverhaltens und Wechsel- wirkungen mit der Gesteinsoberfläche. Es wurde eine Versuchsreihe mit den Polymeren TriX und Xanthan in Sandpackungen durchgeführt. Das Produktionsverhalten mit diesen Polymer- lösungen wird in Kapitel 4 beschrieben und interpretiert. Die Charakteristiken einer Zwei- phasenströmung von Öl und Wasser werden in Kapitel 5 geschildert. Ein weiteres Ziel war die numerische Modellierung der Flutversuche. Eine Einordnung der Lagerstättensimulation in zur Verfügung stehende Modellierungsmethoden und die Herleitung der Strömungsgleichun- gen für eine Strömung zweier inkompressibler und nicht mischbarer Fluide werden in Kapitel 6 präsentiert. Das Vorgehen bei einer Anwendung der Finite-Differenzen-Methode wird aus- geführt. Dann werden die Strömungsgleichungen mithilfe dieser numerischen Methode dis- kretisiert und durch ein Modell für den Polymertransport sowie die hervorgerufenen Effekte erweitert. Es wird eine Fehlerbetrachtung durchgeführt, denn die Kenntnis der möglichen Feh- lerquellen ist bei der Verifizierung von entscheidender Bedeutung. Schließlich werden die Er- gebnisse der Laborversuche in Kapitel 7 zusammengefasst und Anregungen für Folgearbeiten gegeben.
  3. 3. II Eidesstattliche Erklärung Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit ohne unzulässige Hilfe Dritter und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe; die aus fremden Quellen direkt oder indirekt übernommenen Gedanken sind als solche kenntlich gemacht. Freiberg, 14. Juli 2016 Jannick Seelig
  4. 4. III Danksagung Ohne die Hilfe anderer Menschen wäre diese Arbeit nicht möglich gewesen. Ich möchte mich vor allem bei meinem Betreuer Sven Reichmann für die umfangreiche Unterstützung bei der Durchführung der Laborversuche, der Hilfestellung bei theoretischen Problemen und die gut gemeinten Ratschläge bedanken. Auch die Gespräche mit Prof. Amro haben mir weitergehol- fen und Christin Dieterichs hat durch das Bereitstellen der benötigten Lösungen zu den Ver- suchen beigetragen. Die Mitarbeiter im Labor haben mir hilfsbereit zur Seite gestanden. Mein besonderer Dank gilt Angelika Liedke, Uwe Jonderko, Uwe Wohrow und Philipp Wella.
  5. 5. Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Eigenschaften von Polymerlösungen 4 2.1 Molekulare Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Viskosität der Bulklösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Biologische, chemische und mechanische Degradierung . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Polymerlösungen in porösen Medien 7 3.1 Mikroskopische und makroskopische Verdrängungseffizienz . . . . . . . . . . . 7 3.2 In-situ-Rheologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Zurückhaltung von Polymeren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3.1 Adsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3.2 Mechanische Zurückhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.4 Unzugängliches Porenvolumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.5 Permeabilitätsreduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Laborexperimente 14 4.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 Fluid- und Gesteinseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4 Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.5 Ergebnisse und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 Zweiphasenströmung 24 5.1 Strömungscharakterisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.2 Benetzbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.3 Mobilitätskontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.4 Darcy-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.5 Gesteinseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.6 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6 Mathematisch-numerisches Modell 28 6.1 Modellierungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.2 Strömungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.3 Finite-Differenzen-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.4 Diskretisierung der Strömungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.4.1 Räumliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 IV
  6. 6. INHALTSVERZEICHNIS V 6.4.2 Zeitliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.4.3 Lösungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.4.4 Polymermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.5 Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7 Schlussfolgerungen 47
  7. 7. Abbildungsverzeichnis 2.1 Schichtströmung (blau) zwischen zwei Platten (schwarz). [1] . . . . . . . . . . . 5 2.2 Schubspannungs-Schergeschwindigkeits-Diagramm für ein newtonsches und ein pseudoplastisches Fluid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.1 Hydraulischer Schaltplan der Versuchsanlage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 Erhöhung des Ausbeutefaktors durch Polymerfluten nach Wasserfluten. . . . . . 19 4.3 Produktionsverhalten während des Wasserflutens der Versuche 1 und 2. . . . . . 20 4.4 Zusätzliche Ölproduktion durch TriX nach Polymerfluten mit Xanthan. . . . . . 21 4.5 Ölproduktion mit TriX und Xanthan im Vergleich zu Wasserfluten. . . . . . . . . 22 4.6 Zusätzliches Öl durch die Polymerlösungen im Vergleich zu Wasser. . . . . . . . 22 6.1 Rechenstern für ein 3-dimensionales Rechengitter. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.2 2-dimensionales block-zentriertes Rechengitter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.3 Approximationen einer Ableitung. [14, S. 49] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.4 Struktur von A für den 1-dimensionalen Fall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.5 Approximation des Zeitintegrals durch die explizite (links) und die implizite Euler-Methode (rechts). [14, S. 159] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 VI
  8. 8. Tabellenverzeichnis 4.1 Zusammensetzung von NDIIa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2 Fluideigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3 Versuchsplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4 Versuchsschritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.5 Porenvolumina und Porositäten der Sandpackungen . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.6 Initiale Ölvolumina und initiale Ölsättigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 VII
  9. 9. Symbolverzeichnis Lateinische Kleinbuchstaben aL – Parameter (Gleichung (3.9)) bL kg/kg Parameter (Gleichung (3.9)) d m Korngröße g m/s2 Erdbeschleunigung h m Gitterblocklänge / Distanz zwischen benachbarten Gitterpunkten i, j, k – Indizes der Gitterblöcke k m2 Absolute Permeabilität kr – Relative Permeabilität kα m2 Effektive Permeabilität einer Phase m – Reaktionsordnung mFZ1 kg Masse der Flutzelle vor dem Einbau mFZ2 kg Masse der Flutzelle nach dem Einbau mS kg Sandmasse mS1 kg Sandmasse vor dem Einbau mS2 kg Sandmasse nach dem Einbau mw kg Wassermasse n – Fließindex n – Zeitschritt (Kapitel 6) p Pa Druck pa Pa Druck am Auslass der Flutzelle pc Pa Kapillardruck pe Pa Druck am Einlass der Flutzelle pe Pa Kapillarer Eintrittsdruck (Gleichung (5.4)) pm Pa Manteldruck der Flutzelle q kg/m3 s Quelle/Senke (Kapitel 6) VIII
  10. 10. TABELLENVERZEICHNIS IX q m3/s Volumenstrom q 1/s Fließrate einer Quelle/Senke t s Zeit u m/s Darcy-Geschwindigkeit v m/s Abstandsgeschwindigkeit v m/s Geschwindigkeit (Kapitel 1) x, y, z – Koordinatenrichtungen Lateinische Großbuchstaben A m2 Fläche A – Koeffizient (Gleichung (6.21)) A – Koeffizientenmatrix C – Parameter für Turtuosität (Gleichung (3.6)) Cp kg/kg Polymerkonzentration (mPolymer/mPolymerlösung) ˆCp kg/kg Adorbierte Polymerkonzentration (mPolymer/mGestein) ˆCp,max kg/kg Adsorptionskapazität DL m2/s Longitudinaler Dispersionskoeffizient DT m2/s Transversaler Dispersionskoeffizient DSmax – Maximale Sättigungsänderung im Zeitschritt F kgs/s2 Kraft Fkr – Permeabilitätsreduktionsfaktor Fkrr – Residualer Permeabilitätsreduktionsfaktor FR – Widerstandsfaktor FRr – Residualer Widerstandsfaktor Ho m Füllstand Öl Hw m Füllstand Wasser K – Konsistenzindex Kd 1/s Ratenkonstante der chemischen Degradierung L m Länge M – Mobilitätsverhältnis Nc – Kapillare Zahl P V – Porenvolumen QP – Koeffizient ohne Unbekannten
  11. 11. TABELLENVERZEICHNIS X Q m3/s Fließrate einer Quelle/Senke Q – Vektor ohne Unbekannten R m Mittlerer Kapillarenradius S – Fluidsättigung Snw – Normalisierte Sättigung der benetzenden Phase Snc – Kritische Sättigung/Restsättigung der nicht benetzenden Phase Soi – Initiale Ölsättigung Swc – Kritische Sättigung/Restsättigung der benetzenden Phase T – Temperatur V m3 Gesamtvolumen der Sandpackung ohne Manteldruck (Glei- chung (4.4)) V m3 Gitterblockvolumen Voi m3 Initiales Ölvolumen Vo,inj m3 Injiziertes Ölvolumen Vo,pr m3 Produziertes Ölvolumen Vo,pr,pol m3 Zusätzliches Öl durch Polymerfluten Vp m3 Porenvolumen Vw,pr m3 Produziertes Wasservolumen Griechisch γ kg/m2 s2 Wichte γ 1/ms Gewichtete Wichte ˙γ 1/s Schergeschwindigkeit ˙γpm 1/s Scheinbare Schwergeschwindigkeit Γ – Koeffizient (Gleichung (6.19)) ηapp Pas Scheinbare Viskosität λ 1/Pas Absolute Mobilität λ – Porengrößenverteilungsindex (Gleichung (5.4)) λα 1/Pas Mobilität einer Phase µ Pas Dynamische Viskosität ρ kg/m3 Fluiddichte σ kg/s2 Grenzflächenspannung φ – Porosität
  12. 12. TABELLENVERZEICHNIS 1 φ – Unbekannter Variablenwert ((6.21)) φ – Vektor mit den unbekannten Variablenwerten Φ kg/ms2 Potential τ kg/ms2 Scherspannung Tiefgestellt d – Verdrängende Phase o – Nicht benetzende Phase p – Polymer pm – Poröses Medium u – Verdrängte Phase w – Benetzende Phase wa – Wand α – Beliebige Phase Mathematische Symbole d – Gewöhnliche Ableitung ∆ – Differenz – Nabla-Operator · – Divergenz
  13. 13. Kapitel 1 Einleitung Die Produktion aus einer Erdöl- und Erdgaslagerstätte besteht aus 3 Förderphasen. Während der primären Förderphase bewirkt der natürliche Lagerstättentrieb eine Fluidströmung zur Produktionsbohrung. Der natürliche Lagerstättentrieb kann in Fluiden und Gestein gespei- cherte Kompressionsenergie, Aquiferzuflüsse und potenzielle Energie umfassen. Es entsteht ein Abfall des Lagerstättendruckes und bei Unterschreiten des Blasenpunktdruckes wird im Öl gelöstes Gas frei. Um Produktionseinbußen durch ein Entstehen dieser zusätzlichen Gasphase zu vermeiden, wird in der sekundären Förderphase Wasser injiziert. Als Folge der Wasserinjektion werden der Lagerstättendruck oberhalb des Blasenpunktdruckes gehalten und die Verdrängungseffizienz erhöht. Aufgrund einer im Vergleich zur Ölviskosität geringeren Wasserviskosität oder einer ausgeprägten Heterogenität der Lagerstätte, kann die Ölverdrängung ineffizient sein und in einem frühen Wasserdurchbruch resultieren [32, S. 1]. Eine Vielzahl verschiedener Abbaumethoden werden der tertiären Förderphase zugeord- net. Zu ihnen gehören thermische Methoden (Dampffluten und In-situ-Verbrennung), Gasin- jektion (N2, CO2 und Kohlenwasserstoffe), Chemisches Fluten (Alkali, Tensid, Polymer und Schaum) und mikrobielle Methoden [7, S. 13]. Mit ihrer Hilfe wird Öl mobilisiert, welches in den ersten beiden Förderphasen nicht gewonnen werden konnte. Die Wirksamkeit einer Abbaumethode wird in der tertiären Förderphase durch viele Faktoren beeinflusst. Zu den Wichtigsten gehören die Lagerstättentemperatur, Salinität, Konzentration zweiwertiger Ionen, der Tongehalt, die Ölviskosität und im Fall von Polymerfluten zusätzlich die Permeabilität [31, S. 8]. Öl wird während eines Wasserflutens nicht mobilisiert, weil es entweder durch Kapillar- kräfte gebunden ist oder nicht vom Injektionswasser erreicht wird. Das aufgrund von Kapil- larkräften unbewegliche Öl bildet das Restöl [12]. Für die Mobilisierung dieses unbeweglichen Öls muss das Verhältnis von viskosen zu kapillaren Kräften zwischen der Öl- und Wasserphase deutlich erhöht werden. Dieses Verhältnis wird durch die kapillare Zahl Nc [22] beschrieben. Nc = vµ σ (1.1) Die Erhöhung von Nc ausgehend vom Wert eines typischen Wasserflutens (Nc ≈ 10−6) um ei- nige Größenordnungen gelingt nur duch die Verringerung der Grenzflächenspannung. Durch ein typisches Polymerfluten wird die Viskosität der Wasserphase nur um etwa eine Größenord- nung erhöht und die Grenzflächenaktivität reicht nicht für die Mobilisierung des Restöls aus. Aus diesem Grund wird bei einem Polymerfluten nicht die Verringerung der Restölsättigung 2
  14. 14. KAPITEL 1. EINLEITUNG 3 angestrebt, sondern Öl gewonnen, welches nicht während vorangegangener Förderphasen ge- wonnen wurde [32, S. 2]. Das Verhältnis der relativen Permeabilität und der Viskosität einer Phase wird als Mobilität bezeichnet. Die Mobilitäten von Öl und Wasser sind λo = kro/µo und λw = krw/µw [7, S. 15]. Das Mobilitätsverhältnis M wird als Verhältnis der Mobilität der verdrängenden Phase zu der Mobilität der verdrängten Phase definiert [31, S. 81]: M = λu λd . (1.2) Die Kontrolle des Mobilitätsverhältnisses ist ein wichtiges Konzept der tertiären Förderphase. Sie kann mithilfe einer Viskositätsänderung durch die Injektion von Chemikalien oder einer Wärmezufuhr erreicht werden. Eine andere Möglichkeit besteht in einer Änderung der rela- tiven Permeabilitäten durch die Injektion von Schaum oder grenzflächenaktiven Stoffen [31, S. 79]. Weil eine Viskositätsänderung der Ölphase meist nur durch eine Wärmezufuhr mög- lich ist, werden vorrangig Chemikalien für eine Viskositätsänderung der verdrängenden Phase injiziert. Typischerweise werden Polymere für eine Viskositätserhöhung der Wasserphase ein- gesezt [31, S. 101]. Das vorrangige Ziel der Mobilitätskontrolle ist die Verbesserung der Verdrängungseffizienz [31, S. 4]. Aufgrund des verringerten Mobilitätsverhältnisses wird eine Fingerbildung vermin- dert, die durch eine Herausbildung bevorzugter Fließwege entsteht. Der geringere Fließwi- derstand in den Fingern führt zu einer unzureichenden Durchströmung der restlichen Lager- stättenbereiche und das Öl verbleibt in den Poren. Die Finger breiten sich in Richtung der Produktionsbohrung aus und es entsteht ein früher Wasserdurchbruch. Außerdem verbessern Polymere die Strömung zwischen Schichten mit verschiedenen Permeabilitäten. Die Strömung erfolgt durch beide Schichten und nicht fast ausschließlich durch die Schicht mit einer deutlich höheren Permeabilität [31, S. 176]. Ein wirtschaftlicher Vorteil von Polymerfluten ist die im Vergleich zum Wasserfluten ver- ringerte Wasserinjektion. Zudem wird aufgrund der erhöhten Verdrängungseffizienz weniger Wasser produziert. In einigen Fällen, wie zum Beispiel in Wüsten oder offshore, kann die Be- schaffung und Aufbereitung von Wasser aufwendig sein [31, S. 176]. Das im Vergleich zum Wasserfluten zusätzlich gewonnene Öl dient oft als Erfolgsmaßstab. Wird dieses inkrementel- le Öl mit dem initialen Ölvorrat ins Verhältnis gesetzt, ergibt sich der inkrementelle Abbau- faktor. Ein anderer Erfolgsmaßstab ist das Verhältnis von injizierter Chemikalienmasse und inkrementellem Öl [31, S. 5 f.]. Die Komplettierung von Bohrungen für die Injektion von Polymerlösungen gleicht der von Wasserinjektionsbohrungen. Weil die Viskosität von Polymerlösungen mit zunehmender Scherrate abnimmt, ist das Hauptziel die Verringerung von Scherspannungen. Deshalb werden die Bohrungen üblicherweise perforiert und in einigen Fällen eine hydraulische Rissbildung angewandt, um die Scherrate im bohrlochnahen Bereich zu verringern [31, S. 182 f.].
  15. 15. Kapitel 2 Eigenschaften von Polymerlösungen 2.1 Molekulare Struktur Die zwei am häufigsten eingesetzten Polymertypen sind synthetische Polymere wie hydroly- sierte Polyacrylamide (HPAM) und Biopolymere wie Xanthan [31, S. 101]. Fast sämtliche Polymereigenschaften einschließlich Fließverhalten, Adsorption/Zurückhaltung sowie thermische und mechanische Stabilität können bei einer Betrachtung der molekularen Struktur verstanden werden. In diesem Kapitel werden die Eigenschaften von Polymeren in wässrigen Lösungen dargestellt. Es geht also um die Eigenschaften der Bulklösung unabhän- gig vom porösen Medium [32, S. 6]. Polymere verhalten sich wie halbstarre Stäbchen und sind recht unempfindlich gegen- über mechanischer Degradierung. Durchschnittliche Molekulargewichte von Xanthan liegen im Bereich von 1 bis 15 · 106 g/mol. Bestimmte Polymertypen haben sich vor allem in der Erdölgewinnung etabliert, weil sie bereits in anderen Anwendungen eingesetzt wurden. Das Molekulargewicht von Xanthan in Polymerlösungen für die Erdölgewinnung liegt im unteren Bereich. Xanthan wird als trockenes Pulver oder konzentrierte Brühe vertrieben [16]. Die ge- ringen Auswirkungen von Temperatur, pH-Wert und Ionenstärke auf das Fließverhalten von Xanthan-Polymerlösungen ist auf die starre Struktur der Polymermoleküle zurückzuführen. Andere Polymere wie hydrolysierte Polyacrylamide besitzen eine spiralförmige Struktur, die sie anfälliger gegenüber den erwähnten Einflüssen machen. Das ausgeprägte pseudoplastische (scherverdünnende) Verhalten von Xanthan kann ebenfalls mithilfe seiner starren Struktur er- klärt werden [32, S. 9]. Ein elastisches Verhalten wurde bei Xanthan im Allgemeinen nicht festgestellt [31, S. 224]. 2.2 Viskosität der Bulklösung Die wichtigste Eigenschaft der Polymerlösung ist ihre Viskosität. Polymerlösungen besitzen im Gegensatz zu Flüssigkeiten wie Öl und Wasser keine von der Fließrate unabhängige Viskosität. Öl und Wasser sind newtonsche Fluide und zeigen einen linearen Zusammenhang zwischen Scherspannung τ und Schergeschwindigkeit ˙γ. Polymerlösungen sind nicht-newtonsche Flui- de und der Zusammenhang zwischen Scherspannung und Schergeschwindigkeit ist nichtline- ar; die Viskosität ändert sich entsprechend der Scherspannung. Die Beschreibung des Fließ- verhaltens nicht-newtonscher Fluide wird als Rheologie bezeichnet. Es ist nicht möglich, die in einem Viskosimeter gemessenen rheologischen Eigenschaften einer Polymerlösung vollständig 4
  16. 16. KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN VON POLYMERLÖSUNGEN 5 auf die Rheologie in einem porösen Medium zu übertragen [32, S. 37]. Die Viskosität ist ein Maß für die freiwerdende Reibungsenergie, wenn ein bewegtes Fluid einer Scherspannung entgegenwirkt. Sie hat die Dimension Kraft/(Fläche·Zeit) [7, S. 12]. Wenn die Viskosität als Scherwiderstand definiert wird, ist die Scherspannung zwischen zwei dünnen Flüssigkeitsschichten [32, S. 38] τ = F(Kraft) A(Fläche) . (2.1) Die Schergeschwindigkeit ˙γ = du/dy ist das Verhältnis vom Geschwindigkeitsunterschied du benachbarter Schichten und deren Abstand dy [1]. Abbildung 2.1: Schichtströmung (blau) zwischen zwei Platten (schwarz). [1] Die Viskosität eines pseudoplastischen Fluids als Funktion der Schergeschwindigkeit kann mit dem Potenzgesetz µp = K ˙γ(n−1) (2.2) beschrieben werden. Für pseudoplastische Fluide ist der Fließindex n ≤ 1 (typischerweise n = 0.4 bis 0.7). Bei verschiedenen Polymerkonzentrationen ändert sich n im Gegensatz zum Konsistenzindex K kaum. Für newtonsche Fluide ist n = 1 und K ist die konstante Viskosität µ [2]. ˙γ τ newtonsch pseudoplastisch Abbildung 2.2: Schubspannungs-Schergeschwindigkeits-Diagramm für ein newtonsches und ein pseudoplastisches Fluid. Die Viskosität einer Polymerlösung hängt von der Größe und der Struktur der Polymermole- küle ab. Größere Moleküle bewirken eine höhere Viskosität [32, S. 43].
  17. 17. KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN VON POLYMERLÖSUNGEN 6 2.3 Biologische, chemische und mechanische Degradierung Die Degradierung von Polymeren bezieht sich auf sämtliche Mechanismen, welche die Struktur der Polymermoleküle zerstören. In der Erdölgewinnung sind die wesentlichen Degradierungs- mechanismen biologischer, chemischer oder mechanischer Art [31, S. 135]. Biologische Degradierung beschreibt die mikrobielle Zerstörung der Polymerstruktur wäh- rend der Lagerung oder in der Lagerstätte. Sie ist nur bei geringen Temperaturen oder der Ab- wesenheit von Bioziden von Bedeutung. Durch den Einsatz von Bioziden kann die biologische Degradierung wirksam verhindert werden. Das am häufigsten eingesetzte Biozid war Formal- dehyd (HCHO) in einer wässrigen Lösung. Weil Formaldehyd giftig ist und Wechselwirkungen mit anderen Chemikalien haben kann, kommt es heutzutage selten zum Einsatz [31, S. 147 f.]. Als chemische Degradierung werden die zerstörenden Eigenschaften von Kontaminanten wie Sauerstoff und Eisen oder die langzeitbedingte Hydrolysierung der Polymermoleküle be- zeichnet. Die Hydrolysierbarkeit ist eine Eigenschaft der Polymere, die auch ohne das Vorhan- densein von Kontaminanten eine Instabilität zur Folge hat. Die chemische Stabilität von Poly- mermolekülen wird somit von Redox-Reaktionen und der Hydrolyse beeinflusst [31, S. 135]. Die Temperaturbeständigkeit von Xanthan ist weitestgehend unabhängig vom Gehalt zwei- wertiger Ionen in der Polymerlösung. Sie hängt jedoch von der Übergangstemperatur der Poly- mermoleküle ab. In einem alkalischen Medium war Xanthan bei T > 50 °C vollständig degra- diert [27]. Mechanische Degradierung entsteht durch hohe Schergeschwindigkeiten und bewirkt einen Zerfall der Polymerstruktur durch unzulässig hohe Schubspannungen. Xanthan besitzt auf- grund seiner starren Struktur eine hohe Scherfestigkeit. Mechanische Degradierung spielt vor allem bei hohen Fließraten, langen Fließwegen und geringen Permeabilitäten eine Rolle. In einem geringpermeablen porösen Medium besitzen die Porenhälse einen geringen Durchmes- ser und die Scherspannung ist dementsprechend hoch. Wenn der Fließweg lang ist, steigt die Wahrscheinlichkeit einer mechanischen Überbeanspruchung [31, S. 143 ff.].
  18. 18. Kapitel 3 Polymerlösungen in porösen Medien 3.1 Mikroskopische und makroskopische Verdrängungseffizienz Die mikroskopische Verdrängungseffizienz beschreibt die Effizienz des Flutens auf Porenebe- ne, wohingegen bei der makroskopischen Verdrängungseffizienz Sektionen der Lagerstätte be- trachtet werden. Nur im mehrdimensionalen Fall kann das Konzept der makroskopischen Ver- drängungseffizienz angewandt werden. Im Fall eines linearen (1-dimensionalen) Flutens ist die mikroskopische Verdrängungseffi- zienz nur bei einem Mobilitätsverhältnis M > 1 von Interesse. Für M < 1 liegt eine kolbenähn- liche Verdrängung vor und beinahe das gesamte mobile Öl wird bis zum Wasserdurchbruch produziert. Deshalb wäre der Einsatz von Polymeren unsinnvoll und wird im linearen Fall erst bei M ≥ 5 in Erwägung gezogen [32, S. 2]. Bei der Betrachtung einer 2-dimensionalen Sektion bestehen beim Polymerfluten bereits einige Unterschiede zum linearen Fall. In einem homogenen System sind sowohl die mikro- skopische Verdrängungseffizienz als auch die 2-dimensionale makroskopische Verdrängungs- effizienz bei einem geringen Mobilitätsverhältnis gut, obwohl bei M = 1 nicht ebenso viel Öl bis zum Wasserdurchbruch produziert wurde wie im linearen Fall. Die 2-dimensionale Ver- drängungseffizienz wird bei einer Senkung des Mobilitätsverhältnisses unter einen Wert von 1 verbessert, was für das lineare Fluten nicht zutrifft. Wird das Mobilitätsverhältnis erhöht, so sinkt auch wie im linearen Fall die mikroskopische Verdrängungseffizienz. Zusätzlich kann sich eine Instabilität im Verdrängungsprozess ausbilden, wodurch eine Fingerbildung entsteht und die 2-dimensionale Verdrängungseffizienz deutlich verschlechtert wird. Eine schlechte 2- dimensionale Verdrängungseffizienz in vertikaler Richtung entsteht vor allem durch Heteroge- nitäten. Häufig tritt eine Wechselfolge von Schichten mit geringen bzw. hohen Permeabilitäten auf oder es liegen Strömungskanäle in Form von hochpermeablen Sanden vor. Diese Form der Heterogenität führt zu einem frühen Wasserdurchbruch beim Wasserfluten, auch wenn das Mobilitätsverhältnis vorteilhaft ist M = 1 [32, S. 2 f.]. 3.2 In-situ-Rheologie Die Viskosität der Bulklösung ist wie bereits angesprochen die in einem Viskosimeter gemes- sene Viskosität der Polymerlösung unabhängig vom porösen Medium. Die In-situ-Viskosität wird nicht direkt gemessen, sondern entsprechend der Darcy-Gleichung aus Kernflut-Experi- menten bestimmt. Es wird bei mehreren Fließraten der Differenzdruck zwischen Ein- und 7
  19. 19. KAPITEL 3. POLYMERLÖSUNGEN IN PORÖSEN MEDIEN 8 Auslass gemessen und die scheinbare Viskosität berechnet. Weil die Viskosität einer Polymer- lösung von der Schergeschwindigkeit abhängt, muss die im Viskosimeter gemessene Viskosität mit der scheinbaren Viskosität im porösen Medium bei equivalenten Schergeschwindigkeiten ins Verhältnis gesetzt werden [31, S. 149]. Bei der Beschreibung eines porösen Mediums mithilfe eines Kontinuumsmodells werden die Porenstruktur vernachlässigt und Strömung makroskopisch beschrieben. Die Darcy-Glei- chung setzt den Druckverlust mit der Fließrate einer 1-Phasen-Strömung ins Verhältnis und ist ein Beispiel für diesen Ansatz. In der Darcy-Gleichung gibt die Permeabilität k eine Ab- schätzung für den effektiv durchströmbaren Querschnitt. Diese makroskopischen Methoden sind nicht für die Beschreibung der Fluidströmung auf Porenebene geeignet. Und beim Poly- merfluten hängt das Fließverhalten entscheidend von den Vorgängen auf Porenebene ab [32, S. 166]. Die Permeabilität gibt die Durchlässigkeit eines porösen Mediums für eine Fluidströmung an. Die Darcy-Gleichung definiert die Permeabilität als k = µqL A · ∆p . (3.1) Die Darcy-Gleichung setzt eine laminare Strömung ohne Turbulenzeffekte und das Fehlen von Wechselwirkungen mit der Porenwand voraus. Wenn die Fließrate des einströmenden Fluids durch die querschnittsfläche der porösen Mediums geteilt wird, ergibt sich die Darcy- Geschwindigkeit u u = q A (3.2) Während die Darcy-Geschwindigkeit das poröse Medium in ihrer Definition unberücksich- tigt lässt, beinhaltet die Definition der Abstandsgeschwindigkeit v die Porosität. Sie kann als mittlere Fließgeschwindigkeit in allen Poren verstanden werden. v = u φ = q Aφ (3.3) Die zugrundeliegende Annahme der Übertragung einer makroskopischen Messung auf die mittlere Porengeschwindigkeit ist die Dupuit-Forsheimer-Annahme. Für ein nicht-newtonsches Fluid kann die Darcy-Gleichung (3.1) für die Beschreibung der scheinbaren Viskosität ηapp angepasst werden zu ηapp = kA∆p qL . (3.4) Aufgrund des nichtlinearen Zusammenhangs zwischen der Scherspannung und Schergeschwin- digkeit ist ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen dem Druckverlust ∆p entlang des po- rösen Mediums und der Fließrate q zu erwarten. Dies ist eine hilfreiche phenomenologische Beschreibung der scheinbaren Viskosität, aber es ist einige Vorsicht geboten. Polymermoleküle können wie im Unterkapitel 3.3 beschrieben im porösen Medium zurückgehalten werden und die absolute Permeabilität verringern. Deshalb muss bei der Interpretation von Gleichung (3.8) klar sein, ob der Druckverlust durch die Viskosität des Fluids oder eine Permeabilitätsminde- rung verursacht wurde [32, S. 168 f.]. Bei Bekanntsein der scheinbaren Viskositäten kann durch die Kombination eines Fluidmo- dells und eines Kapillarbündelmodells auf die scheinbare Schergeschwindigkeit ˙γpm im porö-
  20. 20. KAPITEL 3. POLYMERLÖSUNGEN IN PORÖSEN MEDIEN 9 sen Medium geschlossen werden. Dadurch wird ein Zusammenhang zwischen den Messungen im Viskosimeter und der In-situ-Rheologie anhand von typischen Parametern des porösen Me- diums (k und φ) hergestellt [32, S. 171 f.]. Die Wandschergeschwindigkeit in einem Fluid für welches das Potenzgesetz (2.2) gilt ist ˙γwa = 1 + 3n 4n 4v R . (3.5) Wenn n → 1 ist der Term in Klammern ebenfalls 1 und die Gleichung vereinfacht sich zu einem Ausdruck für ein newtonsches Fluid [8]. Das einfachste Kapillarbündelmodell nimmt das poröse Medium als ein Bündel paralleler Kapillaren an. Um eine gleichmäßige Fluidströmung in alle drei Richtungen zu ermöglichen, wird die Permeabilität durch 3 geteilt und den Richtungen zugeordnet. Für die Berücksichti- gung ungleichmäßiger Porendurchmesser werden die Kapillardurchmesser entsprechend einer Porengrößenverteilung variiert. Parallele Kapillaren verschiedenen Durchmessers können auf- einanderfolgend angeordnet werden. Einige Kapillaren können in einem Winkel zu anderen stehen oder gekrümmt sein. Alle Abweichungen vom einfachsten dreidimensionalen Modell fließen in die Konstante C ein, die eine Repräsentation der Turtuosität ist. Das Kapillarbün- delmodell entsprechend [28] ist R = 8kC φ . (3.6) Die Formeln für die Abstandsgeschwindigkeit v (3.3) und den mittleren Kapillarenradius R (3.6) können in die Formel für die Wandschergeschwindigkeit ˙γwa (3.5) eingesetzt werden. Wenn die resultierende Formel für den Fall einer Wassersättigung Sw < 1 erweitert und un- ter der Berücksichtigung von Laborexperimenten angepasst wird, ergibt sich die scheinbare Schergeschwindigkeit im porösen Medium ˙γpm. Aus der Viskosität bei unendlich hoher Scher- geschwindigkeit und der scheinbaren Schergeschwindigkeit wird die scheinbare Viskosität be- rechnet [4]. ˙γpm = C 3n + 1 4n n n−1 u kwSwφ . (3.7) ηapp = µ∞ + ˙γn−1 pm = µ∞ + K 3n + 1 4n n   6u kwSwφ   n−1 . (3.8) Für Messungen der In-situ-Rheologie von Polymerlösungen wurden häufig Sandpackun- gen verwendet. Ein Vorteil der Sandpackungen ist die Möglichkeit, Porengrößenverteilungen in Abhängigkeit der verwendeten Korngrößen zumindest statistisch zu wählen. Grundlegende Fließeigenschaften können in unkonsolidierten Medien gemessen werden. Für eine realisti- schere Repräsentation der Lagerstättenbedingungen bieten sich Bohrkerne an [32, S. 167]. Bei Messungen der Adsorption spielen etwa die Mineralzusammensetzung und die innere Ober- fläche eine wichtige Rolle. Wie bereits erwähnt müssen beim Vergleich von Messungen im Viskosimeter und im po- rösen Medium die für Abweichungen verantwortlichen Faktoren berücksichtigt werden. Po- lymere werden durch verschiedene Mechanismen im porösen Medium zurückgehalten und verringern dessen Permeabilität. Die Bildung eines Mikrogels würde ebenfalls die Permeabi- lität verringern. Wenn die Permeabilitätsreduktion nicht berücksichtigt wird, ergibt sich bei Verwendung der Darcy-Gleichung eine höhere scheinbare Viskosität, weil die Schergeschwin-
  21. 21. KAPITEL 3. POLYMERLÖSUNGEN IN PORÖSEN MEDIEN 10 digkeit unterschätzt wird [31, S. 152]. Im Bereich einer geringen Schergeschwindigkeit und einer geringen Polymerkonzentration tritt ein Gleiteffekt auf. Aufgrund der Zurückhaltung von Polymermolekülen ist die Viskosität der Polymerlösung an der Porenwand geringer als in der restlichen Polymerlösung. Aufgrund dieses Gleiteffekts wäre die mit der Darcy-Gleichung ermittelte scheinbare Viskosität geringer als die Viskosität unter Umständen geringer als die der Bulklösung. Die Polymerkonzentration kann in Porenwandnähe deutlich absinken, sodass die Viskosität der Polymerlösung in diesem Bereich geringer als die der Bulklösung sein kann [31, S. 153]. 3.3 Zurückhaltung von Polymeren Zwischen der Polymerlösung und dem porösen Medium können umfangreiche Wechselwir- kungen auftreten. Diese Wechselwirkungen führen zu einem Entzug von Polymermolekülen aus der Polymerlösung und bewirken die Bildung einer gering-viskosen Polymerbank. Die Vis- kositätsverringerung erhöht das Mobilitätsverhältnis und verringert somit die Verdrängungs- effizienz. Andererseits hat die Zurückhaltung von Polymeren eine selektive Permeabilitätsmin- derung zur Folge, die wiederum die Ölausbeute erhöhen kann. Insgesamt führt die Zurückhal- tung von Polymeren zu einer geringeren Ölausbeute und ist ein entscheidender Faktor bei der Planung eines Polymerflutens. Weil die Polymerzurückhaltung vom porösen Medium abhängt (insbesondere dessen Permeabilität) [32, S. 126], muss sie für jede Kombination von Fluid und Gestein bestimmt werden. Die Polymerzurückhaltung umfasst Adsorption, mechanische und hydrodynamische Ein- schlüsse. Die Auswirkung hydrodynamischer Einschlüsse wird als gering angesehen [32, S. 127]. Wenn stationäre Strömungsbedingungen erreicht sind, ändert sich bei einer Änderung der Fließrate auch die Menge der zurückgehaltenen Polymere [10; 26; 5; 11]. Dieser Effekt entsteht aufgrund von Turbulenzen, in denen die Polymere festgehalten werden. 3.3.1 Adsorption Adsorption bezieht sich auf die Wechselwirkungen zwischen Polymermolekülen und der Ge- steinsoberfläche. Diese Wechselwirkungen führen zu einer Bindung der Polymermoleküle an die Gesteinsoberfläche durch physikalische Adsorption, Van-der-Waals-Kräfte und Wasserstoff- brückenbindungen. In gewisser Weise besetzen Polymermoleküle Adsorptionsstellen. Adsorp- tion hängt von der Größe der zur Adsorption zur Verfügung stehenden Oberfläche ab und ist der einzige Mechanismus, der zu einem Entzug von Polymermolekülen aus der Bulklösung führt [31, S. 154]. Die Adsorbierte Polymermenge ˆCp als Funktion der Polymerkonzentration Cp kann durch eine Langmuir-Isotherme beschrieben werden. ˆCp = aLCp 1 + bLCp (3.9) Hier sind aL und bL empirische Konstanten. In Adsorptionsexperimenten mit Xanthan wur- de ein fast linearer Anstieg der Adsorption in Abhängigkeit der Polymerkonzentration beob- achtet [25]. Das Langmuir-Modell geht von dem Erreichen eines Gleichgewichtszustandes aus und nimmt an, dass die Adsorption augenblicklich erfolgt und reversibel ist. Aufgrund der im Verhältnis zur Adsorption sehr geringen Desorption [34; 20; 15] ist es üblich, die Adsorption
  22. 22. KAPITEL 3. POLYMERLÖSUNGEN IN PORÖSEN MEDIEN 11 als irreversibel anzunehmen. Während einer langanhaltenden Wasserinjektion werden geringe Mengen Polymer desorbiert, nur ist die Menge derart gering, dass sie nicht akkurat gemessen werden kann [31, S. 159]. In diesem Fall kann das Langmuir-Modell nicht direkt verwendet werden, wenn die Polymerkonzentration abnimmt [31, S. 156]. Das Ausmaß der Polymeradsorption hängt vor allem von folgenden Faktoren ab [32, S. 143]: 1. Der Polymertyp (Xanthan etc.) und die Eigenschaften der Polymermoleküle wie Moleku- largewicht, Molekülgröße, Ladungsdichte und im Fall von HPAM die Hydrolyse. 2. Der pH-Wert, die Salinität (Na+, Cl− etc.) und die Härte (Ca2+, Mg2+ etc.) des Lösungs- mittels. Die Anwesenheit anderer gelöster Stoffe wie beispielsweise Alkohole beeinflusst ebenfalls die Qualität des Lösungsmittels und folglich die Polymeradsorption. 3. Die Größe der Gesteinsoberfläche und ihre Zusammensetzung (Silikat, Calciumcarbonat, Ton etc.). Es bestehen im Allgemeinen deutliche Unterschiede zwischen der statischen Adsorption und der dynamischen Adsorption in einer Sandpackung und konsolidierten Gesteinen vor allem weil sich die Größen der Oberflächen und das Ausmaß der mecha- nischen Einschlüsse [16] voneinander unterscheiden. Auch der Oberflächenladung wird eine Bedeutung beigemessen. Die Oberflächenladung hängt vom pH-Wert ab [23]. Ein vorausgegangener Kontakt mit Öl oder anderen adsorbierenden Stof- fen wie Tensiden kann durch die Veränderung der Benetzbarkeit einen Einfluss haben [17]. 3.3.2 Mechanische Zurückhaltung Mechanische Einschlüsse entstehen durch das Festsetzen von Polymermolekülen in engen Fließ- kanälen [35]. Die Bedeutung der mechanischen Zurückhaltung für das Polymerfluten hängt von der Porengrößenverteilung ab. Sie muss insbesondere in gering-permeablen Medien ge- nauer untersucht werden [33; 11]. Wenn Polymermoleküle bis zur mittleren Molekülgröße zurückgehalten werden, ist von einem Zusetzen der Injektionsbohrung auszugehen. Der Kon- zentrationsabfall der zurückgehaltenen Polymere weg von der Injektionsbohrung ist ungefähr exponentiell [32, S. 127]. Mechanische Zurückhaltung kann durch ein Vorfiltern oder eine Vor- scherung der Polymerlösung in einer hochpermeablen Lagerstättensektion vermieden werden. In Lagerstätten hat die hydrodynamische Zurückhaltung einen geringen Anteil und kann ver- nachlässigt werden. Die Adsorption hat den größten Anteil an der gesamten Zurückhaltung [31, S. 154 f.]. 3.4 Unzugängliches Porenvolumen Wenn die Molekülgröße den Durchmesser des Porenhalses übersteigt, können die Polymere nicht in die Pore gelangen. Das Gesamtvolumen aller unerreichbaren Poren ist das unzugäng- liche Porenvolumen. In einer wässrigen Lösung mit Tracern (Partikel ohne Einfluss auf die Strömung) ist die Strömungsgeschwindigkeit der Polymermoleküle deshalb größer als die der Tracer; die Polymermoleküle nutzen nur das zugängliche Porenvolumen als Strömungsweg und entsprechend Formel (3.3) ist die Abstandsgeschwindigkeit höher. Somit erreichen die Polymermoleküle eher den Auslass bzw. die Produktionsbohrung. Andererseits wird die Po- lymerausbreitung durch die Rückhaltemechanismen verzögert. Würde nur die Zurückhaltung betrachtet, breiteten sich die Polymermoleküle langsamer aus als die Tracer. Die Größen der
  23. 23. KAPITEL 3. POLYMERLÖSUNGEN IN PORÖSEN MEDIEN 12 Poren und der Polymermoleküle variieren, sodass die Strömung kleiner Polymermoleküle be- günstigt wird [31, S. 164] und die mittlere Molekülgröße an einem Punkt einen zeitlichen Verlauf zeigt. 3.5 Permeabilitätsreduktion Eine Permeabilitätsreduktion wird in erster Linie durch Adsorption verursacht. Die Permea- bilität ist bei einer Strömung von Polymerlösungen also geringer als bei der Strömung von Wasser. Diese Permeabilitätsreduktion wird durch den Permeabilitätsreduktionsfaktor Fkr aus- gedrückt. Fkr = kw kp (3.10) Es wurde von [3] angenommen, dass die Permeabilitätsreduktion ausschließlich durch die Adsorption entsteht und die Adsorption irreversibel ist. Weiter wurde die maximale Permeabi- litätsreduktion Fkr,max der Adsorptionskapazität des Gesteins Cp,max (die maximale adsorbier- bare Polymermenge) zugeordnet. Die Permeabilitätsreduktion wird aus einem linearen Zusam- menhang mit dem Verhältnis von adsorbierter Polymermenge zu Adsorptionskapazität berech- net. Fkr = 1 + (Fkrr − 1) ˆCp ˆCp,max (3.11) Somit wird ein Zusammenhang zwischen der adsorbierten Polymermenge und der resultieren- den Permeabilitätsreduktion hergestellt. Weil die Adsorption als irreversibel betrachtet wird, verbleibt die gesamte adsorbierte Polymermenge auch bei einer anschließenden Verdrängung der Polymerlösung am Gestein. Der residuale Permeabilitätsreduktionsfaktor gibt die Permeabilitätsreduktion nach dem Polymerfluten an [31, S. 168 f.]. Fkrr = kw (initial) kw (nach Polymerfluten) (3.12) Zusätzlich zur Permeabilität kann die Viskosität betrachtet und ein Widerstandsfaktor [19, S. 391] definiert werden, der die Mobilitäten ins Verhältnis setzt. FR = λw λp (3.13) Der residuale Widerstandsfaktor ist analog zum residualen Permeabilitätsreduktionsfaktor ein Maß für die Mobilitätsreduktion von Wasser nach dem Polymerfluten. FRr = λw (initial) λw (nach Polymerfluten) (3.14) Die Permeabilität der wässrigen Phase wird durch die Polymerinjektion verringert. Es wird oft angeführt, dass im Gegensatz dazu die Permeabilitäten anderer Phasen weitestgehend un- verändert bleiben [36; 29]. Das vereinfacht zwar die Modellierung, steht jedoch im Wider- spruch zur Verringerung der absoluten Permeabilität. Wenn diese sinkt, sinken mit ihr die effektiven Permeabilitäten. Es sei denn, die relativen Permeabilitäten werden erhöht. Obwohl die Annahme der unveränderten Permeabilitäten durch Experimente gestützt ist, bleibt ih-
  24. 24. KAPITEL 3. POLYMERLÖSUNGEN IN PORÖSEN MEDIEN 13 re Gültigkeit fragwürdig. Eine mögliche Erklärung ist die räumliche Trennung von Öl und Wasser auf Porenebene. Wegen der Trennung fließt die Polymerlösung hauptsächlich durch die Wasser-Fließwege in Zonen mit einer hohen Wassersättigung und das Öl strömt in eige- nen Fließwegen. Diese Öl-Fließwege könnten miteinander bis zum Ende des Polymerflutens in Verbindung bleiben, wodurch das Öl nur in einem geringen Ausmaß mit der Polymerlösung in Kontakt kommt [24]. Ebenso bleibt die Gesteinsoberfläche entlang der Öl-Fließwege wei- testgehend von einer Polymeradsorption verschont. Wenn das Öl bevorzugt durch Zonen mit einer hohen Ölsättigung fließt, bleibt seine Permeabilität etwa gleich. Außerdem sammeln sich Polymermoleküle aufgrund ihres hohen Molekulargewichts mehrheitlich an Porenhälsen. Die Polymermoleküle blockieren dann aufgrund ihrer Unlöslichkeit in Öl bei einer Strömung von Polymerlösung durch den Porenhals nur die Polymerlösung [31, S. 175]. An diesem Beispiel wird deutlich, dass die absolute Permeabilität aufgrund einer Verkleinerung des Durchström- ten Querschnitts abnehmen muss. Weil sich die Adsorption umgekehrt zur Permeabilität verhält, erhöhen sich der Permeabi- litätsreduktionsfaktor und der residuale Permeabilitätsreduktionsfaktor mit einer abnehmen- den Permeabilität [30]. Neben der Viskositätsbeeinflussung sind Polymere auch grenzflächen- aktiv. Sie erhöhen die Restwassersättigung und verringern die Resölsättigung, indem sie die Gesteinsoberfläche mehr wasserbenetzend machen [18; 6].
  25. 25. Kapitel 4 Laborexperimente 4.1 Versuchsaufbau Der Aufbau der Versuchsanlage ist in Abbildung 4.1 schematisch dargestellt. Leitungswasser wird aus einem Flüssigkeitsbehälter von einer HPLC-Pumpe (Hochdruckflüssigchromatogra- phie) angesaugt und in einen Kolbenspeicher gefördert. In diesem verdrängt es den Kolben und damit die Flüssigkeit auf der anderen Seite. Diese Flüssigkeit wird durch einen Einlass in die Flutzelle injiziert, in der sich die Sandpackung befindet. Die Sandpackung wird in einem Schrumpfschlauch eingebaut und mit einem Manteldruck beaufschlagt. Nachdem die Flüs- sigkeit durch die Sandpackung geströmt ist, verlässt es die Flutzelle am Auslass und wird in einem Becherglas oder Fraktionssammler aufgefangen. Es werden die Differenzdrücke am Ein- lass pe, am Auslass pa und im Mantel der Flutzelle pm gemessen. Eine Fluidströmung aus der Flutzelle heraus oder in sie hinein kann jederzeit durch ein Verschließen der Absperrventile am Ein- bzw. Auslass unterbunden werden. Durch die Verwendung des Kolbenspeichers wird ein Kontakt der Pumpe mit den injizierten Flüssigkeiten (Öl, Lagerstättenwasser oder Polymerlö- sung) vermieden. Somit entfällt eine insbesondere bei eingefärbten Flüssigkeiten aufwendige Reinigung. Es wurden für die Injektion verschiedener Flüssigkeiten separate Rohrleitungen verwendet. Flutzelle pe pm pa Abbildung 4.1: Hydraulischer Schaltplan der Versuchsanlage. Die allgemeine Bedeutung (und die spezielle Bezeichnung) der Schaltzeichen ist: 14
  26. 26. KAPITEL 4. LABOREXPERIMENTE 15 Flutzelle Absperrventil (3-Wege-Hahn) Flüssigkeitsbehälter mit einer Verbindung zur Atmosphäre. Die Rohrverbindung befindet sich über dem Flüssigkeitsspiegel. (Becher- glas oder Fraktionssammler) Flüssigkeitsbehälter mit einer Verbindung zur Atmosphäre. Die Rohrverbindung befindet sich unter dem Flüssigkeitsspiegel. (An- saugflasche) Differenzdruckmessgerät Flutzelle Hydraulikpumpe (HPLC-Pumpe) Doppelt wirkender Zylinder. (Kolbenspeicher) Die Sandpackung ist zylindrisch, hat einen Durchmesser von 3,9 cm und ist 30 cm lang. Durch Kanäle in der Flutzelle und ein Geovlies an beiden Enden der Sandpackung wird eine Ein- und Ausströmung durch den gesamten Querschnitt gewährleistet. Das Geovlies verhin- dert weitestgehend eine Sandproduktion und damit eine Verstopfung des Auslasses sowie der nachfolgenden Rohrleitung. Der Manteldruck wird mithilfe einer Handpumpe aufgegeben. 4.2 Fluid- und Gesteinseigenschaften Für den Einbau der Sandpackung, die Herstellung der Polymerlösung und das Wasserflu- ten wurde im Labor zubereitetes Wasser mit der Zusammensetzung vom Lagerstättenwasser NDIIa verwendet. NDIIa zeichnet sich durch einen hohen Ionengehalt aus und stellt deshalb eine hohe Anforderung an die chemische Stabilität der Polymermoleküle. Tabelle 4.1: Zusammensetzung von NDIIa Stoff Konzentration in g/l NaCl 132,000 CaCl2 · 2H2O 56,429 MgCl2 · 6H2O 22,420 NaBO2 · 4H2O 0,380 Na2SO4 0,270 Es wurden Polymerlösungen mit 0,3 % Xanthan oder 0,5 % TriX hergestellt (Gewichtspro-
  27. 27. KAPITEL 4. LABOREXPERIMENTE 16 zent). TriX ist ein neuartiges Polymermolekül, dessen Eigenschaften bei einer hohen Tempera- tur und Salinität mit denen von Xanthan verglichen werden sollten. Es wurde bei der Herstel- lung der Polymerlösungen ein Viskositätsverhältnis zum Öl von 1 angestrebt. Das verwendete Öl WIOLTAN SHH 70 ist ein Weißöl, das aufgrund seiner Transparenz, Gesundheitsverträg- lichkeit und Viskosität gut für die Laborexperimente geeignet ist. In Tabelle 4.2 sind die wich- tigsten Fluideigenschaften zusammengefasst. Tabelle 4.2: Fluideigenschaften Flüssigkeit Dichte in g/cm3 Viskosität in mPas pH-Wert Wert T in °C bei 55 °C bei 23 °C WIOLTAN SHH 70 0,873 15 33 – NDIIa 1,109 55 0,783 5,8 Xanthan 0,3 % 1,115 55 31 – TriX 0,5 % 1,109 55 43 – Für die Sandpackung wurde gesiebter Sand der Korngrößenklasse 0,63 mm < d < 1 mm mit einer Dichte von 2,65 g/cm3 verwendet. 4.3 Versuchsdurchführung Zuerst wurde der Sand mit NDIIa nass in die Flutzelle eingebaut und dann wurde durch Wä- gungen das Porenvolumen ermittelt. Ein Manteldruck von 10 bar wurde aufgegeben und ei- ne Alterungszeit von einem Tag vor der Permeabilitätsmessung abgewartet. Dann wurde das Weißöl bis zum Erreichen der Restwassersättigung injiziert und bis zum Beginn des Wasser- oder Polymerflutens 3 Tage gewartet. In den ersten beiden Versuchen wurde erst mit Wasser und dann Polymerlösung geflutet. Im dritten und Versuch wurde direkt Polymerlösung inji- ziert. Teilweise wurde auf das Polymerfluten folgend Wasser injiziert. Alle Versuche fanden im Wärmeschrank bei einer konstanten Temperatur von 55 °C statt. Es wurde eine Fraktionsmes- sung für die Bestimmung des zeitlichen Verlaufs der Öl- und Wasserproduktion durchgeführt. Alle 4 Minuten wurde eine Fraktion gemessen, sodass sich bei einer Injektionsrate von 2 ml ungefähr ein Volumen von 8 ml ergibt. Es ergibt sich somit der in Tabelle 4.3 angegebene Ver- suchsplan. Tabelle 4.3: Versuchsplan Versuch Polymerlösung Versuchsschritte 1 TriX 0,5 % S1, S3, S4, S5 (a+b), S6 2 Xanthan 0,3 % S1, S2, S3, S4, S5, S6 3 TriX 0,5 % S1, S3, S5 (a+b), S6 4 Xanthan 0,3 % S1, S2, S3, S5 (a+b), S6 Die Versuchsschritte werden in Tabelle 4.4 erläutert.
  28. 28. KAPITEL 4. LABOREXPERIMENTE 17 Tabelle 4.4: Versuchsschritte Kürzel Versuchsschritt ˙Vinj in cm3/min Vinj Messwerte/-intervalle S1 Einbau – – mS1, mFZ1 mS2, mFZ2 Vw,pr S2 Permeabilitätsmessung 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10 – pe S3 Sättigen mit Öl 2 – Vo,inj Vw,pr, Vo,pr pe, pa S4 Wasserfluten 2 – Vw,pr, Vo,pr (4 min) pe, pa S5 Polymerfluten für (a), (b), (c): (a) Polymerlösung 2 1 PV Vw,pr, Vo,pr (4 min) (b) Lagerstättenwasser 2 3 PV pe, pa (c) Andere Polymerlösung 2 2 PV S6 Fraktionsmessung – – Hw, Ho Bei Versuch 4, S5 (b) wurde die Injektion aufgrund einer fehlenden Ölproduktion und kon- stanten Druckdifferenz nach 2,5 PV beendet. Für die Ermittlung des Porenvolumens wurden bei jedem Einbau die verwendete Sand- masse und die Gewichtserhöhung der Flutzelle bestimmt. Die eingebaute Sandmasse ergibt sich aus der Differenz der abgewogenen Sandmasse mS vor und nach dem Einbau. Wird die eingebaute Sandmasse von der Gewichtserhöhung der Flutzelle abgezogen, ergibt sich die ein- gebaute Wassermasse mw. mS = mS2 − mS1 (4.1) mw = mFZ2 − mFZ1 − mS (4.2) Bei der Aufgabe des Manteldrucks wird etwas Wasser produziert. Die Verringerung des Poren- volumens Vp durch das produzierte Wasservolumen Vw,pr muss bei der Berechnung berück- sichtigt werden. Vp = mw ρw − Vw,pr (4.3) Dieses produzierte Wasservolumen verringert im selben Maße das Gesamtvolumen wie das Porenvolumen und muss auch bei der Berechnung der Porosität abgezogen werden. φ = Vp V − Vw,pr (4.4) Während der Versuche 1 bis 4 wurden die in Tabelle 4.5 aufgeführten Werte für die Sand- packungen erhalten.
  29. 29. KAPITEL 4. LABOREXPERIMENTE 18 Tabelle 4.5: Porenvolumina und Porositäten der Sandpackungen Versuch Vw,pr in cm3 Vp in cm3 φ 1 1,8 139,1 0,39 2 3,5 140,0 0,39 3 1,5 136,0 0,38 4 0,8 139,5 0,39 Aus der Differenz des injizierten Ölvolumens Vo,inj und des produzierten Ölvolumens Vo,pr während des Sättigens mit Öl ergibt sich das initiale Ölvolumen Voi. Daraus und aus dem Po- renvolumen kann die initiale Ölsättigung Soi berechnet werden. Es wurde bis zur Erreichung der Restwassersättigung Swc, also bis kein Wasser mehr produziert wurde, Öl injiziert. Die initialen Ölsättigungen zeigen eine gute Übereinstimmung (siehe Tabelle 4.6) und die Rest- wassersättigungen liegen zwischen 0,14 und 0,19. Tabelle 4.6: Initiale Ölvolumina und initiale Ölsättigungen Versuch Vo,inj in cm3 Vo,pr in cm3 Voi in cm3 Soi 1 160 42 118 0,85 2 160 40 120 0,86 3 148 30,5 117,5 0,86 4 142 29 113 0,81 Während des bei den Versuchen 1 und 2 vor dem Polymerfluten durchgeführten Wasserflu- tens wurde solange geflutet, bis kein Öl mehr produziert wurde. Es zeigten sich Unterschiede, die wahrscheinlich auf eine variierende Verdrängungseffizienz in den beiden Sandpackungen zurückzuführen sind. In beiden Versuchen wurde etwa 59 % des initialen Ölvolumens wäh- rend des Wasserflutens gewonnen, jedoch unterschieden sich die dafür benötigten Wasservo- lumina voneinander. Im ersten Versuch wurde nach 458 cm3 bzw. 3,29 Porenvolumina (PV) kein Öl mehr gewonnen. Im zweiten Versuch wurde erst nach 660 cm3 bzw. nach 4,71 PV kein Öl mehr produziert. Diese Unterschiede können nur auf Eigenschaften der Sandpackun- gen zurückgeführt werden und sollten für die Auswertung des Polymerflutens im Hinterkopf behalten werden. Für die Sandpackungen der Versuche 2 und 4 wurden Permeabilitäten von 12,2 Darcy bzw. 17,9 Darcy gemessen. Für die Permeabilitätsmessung wurde mit Injektionsraten von 1, 2, 3, 4, 5, 7 und 10 cm3/min Wasser injiziert und der Druckabfall durch die Sandpackung gemes- sen. Die Messdaten wurden mit einem Medianfilter geglättet und entsprechend der Anzahl verschiedener Injektionsraten mithilfe einer Clusteranalyse in Cluster gruppiert. Der Mittel- punkt eines Clusters steht für den Druckabfall bei der zugehörigen Injektionsrate. Anhand einer linearen Regression durch die Wertepaare von Injektionsrate und Druckabfall wird der Anstieg q/∆p bestimmt. Durch die Anwendung der Darcy-Gleichung wird schließlich die Per- meabilität berechnet.
  30. 30. KAPITEL 4. LABOREXPERIMENTE 19 4.4 Beobachtungen Während der Permeabilitätsmessungen traten wiederholt Druckschwankungen auf, welche die Messung aufgrund der als gering zu erwartenden Druckdifferenzen erschwerten. Diese Mess- werte wurden nicht für die Auswertung verwendet und aufgrund der 7 verschiedenen Injekti- onsraten sowie des Auswerteverfahrens können die berechneten Permeabilitäten als verlässlich angesehen werden. Vermutlich traten die Druckschwankungen aufgrund von Verschiebungen der Sandkörner auf. Nachden einige Minuten geströmt wurde, klangen die Druckschwankun- gen etwas ab. Trotz des Geovlieses können einige Sandkörner den Auslass passiert und die Rohrleitung blockiert haben. Im produzierten Fluid und in der Rohrleitung wurden jedoch keine größeren Feststoffe entdeckt. Lediglich feine Partikel führten bei einigen Fraktionen zu einer gelblichen Verfärbung der Ölphase. 4.5 Ergebnisse und Auswertung Wie in Kapitel 3 bereits angesprochen wurde, ist der Einfluss von Polymeren auf die Restöl- sättigung sehr gering. Das Ziel ist die Gewinnung des in vorangegangenen Förderphasen nicht produzierten Öls. Diese Fragestellung wurde in den ersten beiden Experimenten untersucht. Nachdem durch Wasserfluten kein Öl mehr gewonnen werden kann, ist nun die Effektivität eines Polymerflutens von Interesse. Diese hängt vom Mobilitätsverhältnis und der daraus re- sultierenden Verdrängungseffizienz ab. In Abbildung 4.2 ist die Erhöhung des Ausbeutefaktors für die Versuche 1 und 2 dargestellt. Nach der Injektion von 1 PV der jeweiligen Polymerlösung wurden zusätzlich etwa 3 PV Wasser injiziert. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 60 65 70 75 80 85 Polymerdurchbruch Vinj in PV Vo,prin%Voi TriX 0,5 % Xanthan 0,3 % Abbildung 4.2: Erhöhung des Ausbeutefaktors durch Polymerfluten nach Wasserfluten. Die zusätzliche Ölausbeute durch TriX fällt trotz der höheren Viskosität geringer aus als durch Xanthan. Anscheinend fand durch die Polymerlösung mit Xanthan eine kolbenähnliche Ver- drängung statt, weil der Ausbeutefaktor nach weniger als 1 PV rasch ansteigt und dann auf
  31. 31. KAPITEL 4. LABOREXPERIMENTE 20 einem hohen Niveau stagniert. Beim Erreichen des maximalen Ausbeutefaktors wurde die Öl- sättigung wahrscheinlich bis auf die Restölsättigung verringert. Dass schon Öl produziert wird, bevor der gesamte Porenraum mit Polymerlösung ausgefüllt ist, kann einerseits am unzugäng- lichen Porenvolumen liegen. Die Polymermoleküle können nur in Poren gelangen, deren Po- renhälse groß genug sind. Im Fall der verwendeten Sandpackung sollte aufgrund der großen Korndurchmesser und des geringen Tongehalts kein unzugängliches Porenvolumen vorhanden sein. Andererseits schiebt die Polymerlösung eine Ölbank vor sich her, die ein gewisses Poren- volumen ausfüllt und dementsprechend eher ausströmt als die Polymerlösung. Die plausibels- te Erklärung für die geringere Ölausbeute mit TriX sind die anderen Eigenschaften der Sandpa- ckung, die auch schon zu einer etwas geringeren Ölproduktion beim Wasserfluten führten. Die Adsorption sollte aufgrund des großen mittleren Porendurchmessers und der infolgedessen geringen inneren Oberfläche eine untergeordnete Rolle spielen. Da Polymere auch in geringem Ausmaß die Benetzbarkeit verändern, wären die Polymere in dieser Hinsicht miteinander zu vergleichen. Das Wasserfluten ausgehend von der initialen Ölsättigung ist in Abbildung 4.3 zu sehen. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 10 20 30 40 50 60 Vw,inj in PV Vo,prin%Voi NDIIa Versuch 1 NDIIa Versuch 2 Abbildung 4.3: Produktionsverhalten während des Wasserflutens der Versuche 1 und 2. Nach der Injektion von 1 PV Xanthan 0,3 % und 3 PV NDIIa wurden im zweiten Versuch anschließend 2 PV TriX 0,5 % injiziert. Der Ausbeutefaktor konnte durch TriX um 3,7 % auf 90,5 % gesteigert werden (siehe Abbildung 4.4). Die Xanthan-Polymerlösung hat somit nicht das gesamte mobile Öl verdrängt, die TriX-Polymerlösung führte aufgrund ihrer höheren Vis- kosität zu einer besseren Verdrängungseffizienz oder TriX veränderte die Benetzbarkeit des Gesteins und mobilisierte dadurch zusätzliches Öl. Es ist unbekannt, ob eine zusätzliche Injek- tion von 2 PV Xanthan 0,3 % in derselben Sandpackung eine höhere Ölausbeute bewirkt hätte. Jedoch führte die Injektion von 3 PV Wasser nach dem Fluten mit 1 PV Xanthan 0,3 % zu keiner Ölproduktion. Die Permeabilitätsminderung durch eine Adsorption von Polymermole- külen scheint entweder nicht vorhanden zu sein oder keinen Effekt auf den Abbauprozess zu haben. Eine Permeabilitätsminderung würde nur die Wasserphase betreffen und deren Mobi-
  32. 32. KAPITEL 4. LABOREXPERIMENTE 21 lität verringern. Öl würde somit bevorzugt fließend und während der Wasserinjektion müsste zusätzliches Öl produziert werden. Andererseits wird der Permeabilitätsminderung im Allge- meinen eine Verringerung der Ölausbeute zugerechnet, was hier zumindest nicht wiederlegt wird. Wahrscheinlicher ist aber die Abwesenheit einer Permeabilitätsminderung aufgrund ei- ner nur geringen Adsorption. 0 1 2 3 4 5 6 60 65 70 75 80 85 90 95 InjektionsstartTriX Vinj in PV Vo,prin%Voi Xanthan 0,3 % und NDIIa TriX 0,5 % Abbildung 4.4: Zusätzliche Ölproduktion durch TriX nach Polymerfluten mit Xanthan. In den Versuchen 3 und 4 wurde die Wirksamkeit der Polymerlösungen bei der initialen Ölsättigung untersucht. Die Vorteile gegenüber Wasserfluten und die Unterschiede zu einem Polymerfluten nach vorausgegangenem Wasserfluten sollten herausgestellt werden. Nach der Injektion von 1 PV Xanthan 0,3 % betrug der Ausbeutefaktor im Versuch 4 etwa 78 % und stieg während der folgenden Wasserinjektion langsam auf 85 % (siehe Abbildung 4.5). Mit TriX 0,5 % wurde nach der Injektion von 1 PV ebenfalls ein Ausbeutefaktor von 78 % erreicht. Die Ölproduktion setzte zwar später ein, war dann aber höher. Die anschließende Wasserinjekti- on brachte im dritten Versuch kein weiteres Öl. Die Eigenschaften der Sandpackung waren wahrscheinlich besser als im vierten Versuch, weil die initiale Ölsättigung und das initiale Öl- volumen höher waren. Somit entspricht die spätere Ölproduktion nicht den Erwartungen, das Erreichen desselben Ausbeutefaktors bis zur Injektion von 1 PV ist aber hervorzuheben. Das kann an der höheren Viskosität der TriX-Polymerlösung, der höheren Ölsättigung oder einer höheren Permeabilität liegen. Der Einfluss der Permeabilität ist aufgrund der generell hohen Werte wohl vernachlässigbar. Bei beiden Polymerlösungen lag das Mobilitätsverhältnis in etwa bei 1. Aufgrund einer weiteren Verringerung des Mobilitätsverhältnisses kann nicht pauschal auf eine Verbesserung der Verdrängung geschlossen werden. Das Verhalten von TriX kann so- mit als vielversprechend angesehen werden.
  33. 33. KAPITEL 4. LABOREXPERIMENTE 22 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 20 40 60 80 100 Vinj in PV Vo,prin%Voi NDIIa (Wasserfluten Versuch 1) TriX 0,5 % Xanthan 0,3 % Abbildung 4.5: Ölproduktion mit TriX und Xanthan im Vergleich zu Wasserfluten. Im Vergleich zum Polymerfluten nach Wasserfluten wird ein Ausbeutfaktor von 78 % mit TriX und Xanthan bereits nach nur einem Porenvolumen erreicht. Für denselben Ausbeutefaktor wurden 3,4 PV Wasser und 0,8 PV Xanthan 0,3 % bzw. 4,7 PV Wasser und 2,1 PV TriX 0,5 % injiziert. Die maximalen Ausbeutefaktoren unterscheiden sich nicht. Der Vorteil vom Po- lymerfluten ausgehend von der initialen Ölsättigung besteht in der schnelleren Produktion derselben Ölmenge mit einem geringeren Wasseranteil. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 10 20 30 40 Vinj in PV Vo,pr,polin%Voi TriX 0,5 % Xanthan 0,3 % Abbildung 4.6: Zusätzliches Öl durch die Polymerlösungen im Vergleich zu Wasser.
  34. 34. KAPITEL 4. LABOREXPERIMENTE 23 Der Vorteil des Polymerflutens gegenüber dem Wasserfluten wird besonders bei der Darstel- lung des zusätzlichen Öls durch die Polymerlösung im Vergleich zum Wasser Vo,pr,pol deutlich (siehe Abbildung 4.6). Dieses ist die Differenz zwischen den Kurven der Polymerlösungen in Abbildung 4.5 und der Kurve für Wasserfluten. Die Differenz zwischen Polymer- und Wasser- fluten nimmt bei einer weiteren Wasserinjektion ab, weil Polymerfluten nicht die Restölsätti- gung senkt. Durch Wasserfluten wird ebenso viel Öl produziert, allerdings durch die Injektion deutlich höherer Volumina. Es konnte ein klarer Vorteil vom Polymerfluten gegenüber dem Wasserfluten festgestellt werden. Außerdem konnten die Vorteile vom Polymerfluten ausgehend von der initialen Ölsät- tigung gegenüber des Polymerflutens im Anschluss an ein Wasserfluten experimentell aufge- zeigt werden. Die Eigenschaften von TriX sind vielversprechend und sollten weiter untersucht werden.
  35. 35. Kapitel 5 Zweiphasenströmung 5.1 Strömungscharakterisierung Im Folgenden wird eine 2-Phasen-Strömung nicht mischbarer Fluide ohne Massentransfer zwi- schen den Phasen betrachtet. Das poröse Medium wird durch ein Fluid stärker benetzt als durch das Andere. Das stärker benetzende Fluid ist benetzende Phase und wird durch den In- dex w identifiziert. Die nicht benetzende Phase benetzt das poröse Medium weniger und erhält den Index o. Üblicherweise ist Öl das nicht benetzende Fluid und Wasser ist das benetzende Fluid [7, S. 83]. Fluide können in Abhängigkeit ihres Verhaltens bei einer Druckänderung als inkompressibel, gering kompressibel oder kompressibel charakterisiert werden. Die Dichte ei- nes inkompressiblen Fluides ist unabhängig vom Druck. Wasser und gasfreies Öl können als inkompressibel beschrieben werden [7, S. 9 f.]. 5.2 Benetzbarkeit Die relative Permeabilität beschreibt die Strömungsminderung von einer Phase durch eine An- dere. In einer 2-Phasen-Strömung hängt die relative Permeabilität von der Sättigung der jewei- ligen Phase ab. Der Kapillardruck resultiert aus einem Druckunterschied zwischen nicht benet- zender und benetzender Phase. Dieser Druckunterschied entsteht an der Grenzfläche zweier nicht mischbarer Fluide als Folge der Grenzflächenspannung [7, S. 14 f.]. pc = po − pw (5.1) Die Benetzbarkeit des Gesteins beeinflusst die Verdrängung eines Fluids. Von ihr hängen die Verläufe der relativen Permeabilitäten und des Kapillardruckes in Abhängigkeit der Sät- tigung der benetzenden Phase ab. In einem wasserbenetzten Gestein sind die kleinen Poren mit Wasser gefüllt und die Gesteinsoberfläche ist mit einem dünnen Wasserfilm überzogen. Wasserfluten stellt in solch einem System eine Imbibition dar. Das Wasser imbibiert ohne äu- ßere Kraft in das ölhaltige Gestein und verdrängt es. Die Wahl eines Simulationsmodells hängt vom modellierten Verdrängungsprozess ab. Findet eine Imbibition statt, steigt die Sättigung der benetzenden Phase. Bei einer Drainage steigt die Sättigung der nicht benetzenden Phase. In einem wasserbenetzten System ist die Verdrängung von Wasser durch Öl eine Drainage. Die Verläufe der relativen Permeabilitäten und des Kapillardrucks hängen von der Sättigungshis- torie ab und unterscheiden sich für Imbibition und Drainage [7, S. 12 f.]. Relative Permeabilitäten müssen empirisch oder experimentell für jedes poröse Medium 24
  36. 36. KAPITEL 5. ZWEIPHASENSTRÖMUNG 25 ermittelt werden. Messungen relativer Permeabilitäten wurden überwiegend für 2-Phasen- Strömungen durchgeführt [7, S. 15 f.]. Bei der kritischen Wassersättigung Swc beginnt das Wasser zu fließen und bei der Restölsät- tigung Snc hört das Öl auf zu fließen. Während einer Drainage werden Swc als Restwassersät- tigung und Snc als kritische Ölsättigung bezeichnet. In der Lagerstättensimulation müssen die Steigungen der Kapillardruckkurve für die Anwendung numerischer Methoden endlich sein, sodass diese Kurve nicht direkt für die Ermittlung der Sättigung verwendet werden kann, bei welcher die verdrängte Phase immobil wird. Die Sättigung wird als Restsättigung ermittelt, bei der die relative Permeabilität der Phase Null ist. Bei einer Betrachtung der Darcy-Gleichung wird deutlich, dass die Phase aufhört zu fließen, weil ihre Mobilität Null ist und nicht weil die äußeren Kräfte verschwinden. Deshalb ist eine Unterscheidung der kritischen Sättigung und der Restsättigung nicht notwendig. Die relative Permeabilität der benetzenden Phase hängt nicht von der Sättigungshistorie ab, wohingegen die relative Permeabilität der nicht benetzen- den Phase bei dem Vorliegen einer Imbibition immer geringer ist als bei einer Drainage [7, S. 15 f.]. Das Modell nach Brooks und Corey [9] ist für eine Drainage in einem konsolidierten Ge- stein anwendbar. Es liefert einen auf einer theoretischen Grundlage basierenden Zusammen- hang zwischen der Sättigung der benetzenden Phase und den relativen Permeabilitäten beider Phasen sowie dem Kapillardruck. Die normalisierte Sättigung der benetzenden Phase ist Snw = Sw − Swc 1 − Swc (5.2) und die dazugehörige relative Permeabilität ist definiert durch krw = S4 nw . (5.3) Die relative Permeabilität der nicht benetzenden Phase lautet kro = (1 − Snw)2 (1 − S2 nw) . Der Kapillardruck wird nach pc = pe · S−1/λ nw (5.4) mit dem kapillaren Eintrittsdruck pe und dem Porengrößenverteilungsindex λ berechnet. 5.3 Mobilitätskontrolle Üblicherweise wird das Mobilitätsverhältnis so eingestellt, dass die Mobilität der verdrängen- den Phase kleiner oder gleich der Mobilität der verdrängten Phase ist [13; 21]. Doch vernach- lässigt diese Vorgehensweise den Umstand, dass die Strömungsgeschwindigkeiten der Phasen unterschiedlich sind [31, S. 82]. Die benötigte Viskosität der Polymerlösung sollte deshalb be- stimmt werden als krw(Sw = 1) µp (1 − Swc) = kro(Swc) µo . (5.5)
  37. 37. KAPITEL 5. ZWEIPHASENSTRÖMUNG 26 5.4 Darcy-Gleichung Die Darcy-Gleichung für eine 1-Phasen-Strömung (3.1) kann leicht für eine 2-Phasen-Strömung erweitert werden. Es wird der Volumenstrom durch das poröse Medium für jede Phase getrennt betrachtet und mit dem Druckgradienten, den Fluideigenschaften (µo oder µw) und den Eigen- schaften des porösen Mediums (effektive Permeabilität ko oder kw und Querschnittsfläche A) ins Verhältnis gesetzt. Für den 1-dimensionalen Fall wird die Darcy-Gleichung geschrieben als qw = − kwA µw ∂pw ∂x , qo = − koA µo ∂po ∂x . (5.6) Die Darcy-Geschwindigkeiten sind analog zu (3.2) uo = qo/A und uw = qw/A. Werden die Vo- lumenströme in die Formeln für die Darcy-Geschwindigkeiten eingesetzt ergeben sich die For- meln für die Darcy-Geschwindigkeiten uw = − kw µw ∂pw ∂x , uo = − ko µo ∂po ∂x . (5.7) Für eine 3-dimensionale Strömung mit einem Einfluss der Gravitation lautet die Darcy-Glei- chung für Phase α uα = − 1 µα kα( pα − ραg z) , α = w, o . (5.8) Die Erdbeschleunigung ist durch g dargestellt und z ist die Tiefe [7, S. 84 f.]. Die Summe der relativen Permeabilitäten ist aufgrund der Wechselwirkungen zwischen den Phasen immer geringer als die absolute Permeabilität [7, S. 84 f.]. Aus dem Produkt der relativen Permeabilität einer Phase und der absoluten Permeabilität ergibt sich die effektive Permeabilität der Phase kα = krαk , α = w, o . (5.9) 5.5 Gesteinseigenschaften In einer Lagerstätte existiert oft eine räumliche Variation der Gesteinseigenschaften. Wenn eine Gesteinseigenschaft überall den gleichen Wert aufweist, ist die Lagerstätte bezogen auf diese Eigenschaft homogen. Wenn eine Eigenschaft räumlich variiert, ist sie heterogen. Die Permea- bilität hängt oft in einem großen Ausmaß vom Ort und der Fließrichtung ab. Für praktische Belange kann die Permeabilität meistens als Diagonaltensor betrachtet werden [7, S. 8]. k =   kxx kyy kzz   = diag(kxx, kyy, kzz) . (5.10) Es kann also nur eine Strömung in die drei Koordinatenrichtungen, nicht jedoch diagonal zu ihnen stattfinden. Im 3-dimensionalen Fall kann als Folge dessen nur eine Strömung zwischen einem Gitterblock und seinen 6 Nachbarblöcken entlang der Koordinatenrichtungen stattfin- den. Bei einer voll besetzten Permeabilitätsmatrix hätte jeder Gitterblock 26 Nachbarblöcke. Wenn kxx = kyy = kzz ist die Permeabilität isotrop (richtungsunabhängig) [7, S. 8].
  38. 38. KAPITEL 5. ZWEIPHASENSTRÖMUNG 27 5.6 Dispersion Wenn Fluide durch ein poröses Medium strömen, findet eine Vermischung statt. Diese durch eine turbulente Strömung oder durch ein von der Strömung hervorgerufenes Konzentrations- gefälle entstehende Vermischung wird als Dispersion bezeichnet. Im Gegensatz zur moleku- laren Diffusion resultiert die Dispersion aus unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten. Die Dispersion kann in zwei Typen aufgeteilt werden; die longitudinale und die transversale Dispersion. In der Hauptströmungsrichtung entsteht die longitudinale Dispersion und wird durch den longitudinalen Dispersionskoeffizienten DL beziffert. Quer zur Hauptströmungs- richtung entsteht die transversale Dispersion und wird durch den transversalen Dispersions- koeffizienten DT angegeben. Während die Dispersion beim chemischen Fluten eine wichtige Rolle spielt, ist sie aufgrund ihrer Skalenabhängigkeit schwer quantifizierbar [31, S. 16]. Die Dispersion ist nicht aufgrund einer theoretischen Basis vorhersagbar. Es müssen ein Laborexperiment durchgeführt und die Polymerkonzentration am Auslass mit der Lösung der Konvektions-Dispersions-Gleichung korreliert werden [31, S. 20].
  39. 39. Kapitel 6 Mathematisch-numerisches Modell 6.1 Modellierungsmethoden Eine Lagerstätte ist ein Kohlenwasserstoffe enthaltendes poröses Medium. Mithilfe der Lager- stättensimulation sollen das zukünftige Abbauverhalten vorhergesagt und die Ausbeutung op- timiert werden. Dazu sind vier Schritte nötig: 1. Entwicklung eines physikalischen Modells, welches die wesentlichen physikalischen Pro- zesse in der Lagerstätte widergibt. 2. Beschreibung des physikalischen Modells durch ein mathematisches Modell. 3. Diskretisierung des mathematischen Modells. 4. Entwicklung eines Computerprogramms. Andere Methoden für die Vorhersage des Abbauverhaltens sind analoger, experimenteller und analytischer Natur. Analoge Methoden basieren auf Analogien des Abbauverhaltens alter Lagerstätten mit dem Abbauverhalten der betrachteten Lagerstätte, unter der Voraussetzung ähnlicher Lagerstätteneigenschaften. Experimentelle Methoden nutzen Messwerte wie Drücke, Sättigungen oder Fließraten aus Laborexperimenten und übertragen diese auf die Lagerstätte. Analytische Methoden nutzen wie die Lagersättensimulation mathematische Modelle für die Vorhersage des Abbauverhaltens [7, S. 1]. Bei Extrapolationsmethoden wie der decline curve analysis wird die Fortsetzung aller Pro- zesse in der Zukunft vorausgesetzt. Sie sind deshalb nicht für die Vorhersage des Abbauver- haltens bei sich ändernden Abbauprozessen geeignet. Polymerfluten führt beispielsweise die Änderung mehrerer physikalischer Prozesse herbei und seine Effektivität könnte nicht anhand der Abbauhistorie bestimmt werden. Analytische Methoden wie die nach Buckley und Lever- ett nutzen die analytische Lösung eines mathematischen Modells. Das mathematische Modell besteht aus Differentialgleichungen für die Beschreibung der Fluidströmung zusammen mit Initial- und Randbedingungen. Für die Lösung dieser Gleichungen sind insbesondere in Bezug auf die Geometrie vereinfachende Annahmen nötig, welche die Anwendbarkeit analytischer Methoden einschränken. Die Buckley-Leverett-Methode für 2-Phasen-Strömungen vernach- lässigt die Einflüsse von Gravitation und Kapillarkräften und ist nur für inkompressible Flui- de gültig. Weil in vielen Fällen die wichtigen Systemeigenschaften erhalten bleiben, werden dennoch analytische Methoden verwendet. Auch dienen sie der Verifizierung von Lagerstät- tensimulatoren [7, S. 2 f.]. 28
  40. 40. KAPITEL 6. MATHEMATISCH-NUMERISCHES MODELL 29 Für die Lagerstättensimulation wird ein Verständis der Lagerstätte benötigt. Gesteinseigen- schaften bestimmen den Umfang, in dem die Lagerstätte Fluide speichern und transportieren kann [7, S. 7]. Fluideigenschaften und die Wechselwirkungen zwischen Fluiden und Gestein haben ebenfalls einen Einfluss auf die Strömung und müssen für die Modellierung bekannt sein. 6.2 Strömungsgleichungen Das mathematische Modell muss eine Gleichung für den Druck, Gleichungen für die Fluid- sättigungen und jeweils eine Transportgleichung für jede explizit angegebene Komponente beinhalten. Bei der Modellierung von Polymerfluten wird das Phasenverhalten der Ölphase oftmals vernachlässigt und das Vorhandensein zusätzlicher Komponenten (Polymere, Ionen etc.) nur in geringen Konzentrationen in der Wasserphase ermöglicht. Polymerfluten wird in der Regel nur in Lagerstätten ohne freies Gas durchgeführt. Die Modellierung einer Gasphase ist deshalb nicht von Nöten [32, S. 246 f.]. Im Folgenden werden die Strömungsgleichungen für eine inkompressible 2-Phasen-Strömung von Öl und Wasser wie in [7, S. 83 ff.] hergeleitet. Das Polymermodell wird im mathematisch-numerischen Modell vorgestellt. Jeder Lagerstättensimulator basiert auf einer Massenerhaltungsgleichung und der Darcy- Gleichung. Die Massenänderung in einem Teilvolumen der Lagerstätte ist ∂(φραSα) ∂t ∆x∆y∆z . (6.1) Durch ∆x, ∆y und ∆z werden die Längen des Teilvolumens in jeder Koordinatenrichtung ange- geben und das Produkt ergibt das Volumen. Jeder Phase wird eine eigene Dichte und Sättigung zugewiesen. Wenn die Strömung nicht mischbar ist, es also keinen Massentransfer zwischen den Phasen gibt, gilt ∂(φραSα) ∂t = − · (ραuα) + qα , α = o, w . (6.2) Hier taucht die Darcy-Geschwindigkeit uα auf [7, S. 84]. Wir erinnern uns an die Darcy- Gleichung mit Gravitationseinfluss (5.8) und setzen diese in die Massenerhaltungsgleichung (6.2) für uα ein. Das führt auf · ρα µα kα( pα − ραg z) = ∂(φραSα) ∂t − qα . (6.3) Aufgrund der Tatsache, dass in einer Zweiphasenströmung die benetzende und die nicht be- netzende Phase den gesamten Porenraum ausfüllen, gilt Sw + So = 1 . (6.4) Der Kapillardruck pc wurde in Gleichung (5.1) bereits als Druckdifferenz von nicht benetzen- der und benetzender Phase definiert. Durch Ausnutzung dieser beiden Beziehungen für die Sättigungen und den Kapillardruck kann Gleichung (6.3) für jede Phase geschrieben werden. Für die benetzende Phase ist pw = po − pc und es ergibt sich · ρw µw kw po − dpc dSw Sw − ρwg z = ∂(φρwSw) ∂t − qw . (6.5)
  41. 41. KAPITEL 6. MATHEMATISCH-NUMERISCHES MODELL 30 Die Sättigung der nichtbenetzenden Phase So kann durch 1 − Sw ersetzt werden und die Glei- chung für die nichtbenetzende Phase lautet · ρo µo ko( po − ρogz) = ∂(φρo(1 − Sw)) ∂t − qo . (6.6) Weil die Fluide inkompressibel sind, können die Gleichungen (6.5) und (6.6) jeweils durch die Fluiddichten ρw bzw. ρo geteilt werden. Eine anschließende Addition führt auf 1 ρw · ρw µw kw po − dpc dSw Sw − ρwg z + 1 ρo · ρo µo ko( po − ρog z) = Sw ρw ∂(φρw) ∂t + 1 − Sw ρo ∂(φρo) ∂t − qw ρw − qo ρo . (6.7) Die absolute Darcy-Geschwindigkeit u ist die Summe der Darcy-Geschwindigkeiten beider Phasen. Aus der Summer der Mobilitäten beider Phasen geht analog die absolute Mobilität λ hervor. u = uw + uo , λ = λw + λo (6.8) An dieser Stelle wird auf die in Gleichung (5.9) bereits definierte effektive Permeabilität und die Mobilität (Gleichung (1.2)) hingewiesen. In die Formel der absoluten Darcy-Geschwindigkeit werden die Darcy-Gleichungen der beiden Phasen eingesetzt. Unter Verwendung der obigen Beziehungen wird soweit wie möglich vereinfacht. Das Ergebnis ist u = − 1 µw kw( pw − ρwg z) − 1 µo ko( po − ρog z) = − kw µw pw + kw µw ρwg z − ko µo po + ko µo ρog z = −k     krw µw + kro µo   po − krw µw ( po − pw) −   krw µw ρw + kro µo ρo  g z   = −k[λ po − λw pc − (λwρw + λoρo)g z] . (6.9) Die Divergenz der absoluten Darcy-Geschwindigkeit ergibt die Fließrate einer Quelle/Senke. · u = q ≡ qw + qo , qα = qα ρα . (6.10) Ein Einsetzen von Gleichung (6.9) in Gleichung (6.10) führt auf die Druckgleichung − · (kλ po) = q − · (k[λw pc + (λwρw + λoρo)g z]) . (6.11) Wenn die Massenerhaltungsgleichung mit eingesetzter Darcy-Gleichung (6.3) für Wasser ge- schrieben und durch die Fluiddichte ρw geteilt wird, folgt daraus die Sättigungsgleichung mit
  42. 42. KAPITEL 6. MATHEMATISCH-NUMERISCHES MODELL 31 der Wichte des Wassers γw = ρw · g · 1 µw kw( pw − ρwg z) = ∂(φSw) ∂t − qw ρw φ ∂Sw ∂t = · (λwk( pw − γw z)) + qw . (6.12) Die einzige Unbekannte in der Druckgleichung ist der Druck in der Ölphase. In der Sät- tigungsgleichung taucht nur die Wassersättigung als Unbekannte auf. Diese Formulierung er- möglicht die Anwendung der IMPES-Methode (IMplicit Pressure Explicit Saturation), bei der die beiden Gleichungen für den Druck und die Sättigung aufeinanderfolgend gelöst werden. Wie das geschieht, wird bei der Erläuterung des mathematisch-numerischen Modells gezeigt. 6.3 Finite-Differenzen-Methode Nun da die strömungsbeschreibenden partiellen Differentialgleichungen bekannt sind, müs- sen diese diskretisiert werden. Es wird eine Diskretisierungsmethode angewendet, die eine Ap- proximation der Differentialgleichungen durch algebraische Gleichungen liefert. Diese können dann durch ein Computersystem gelöst werden. Für die Approximation werden Raum und Zeit in endliche Gebiete unterteilt und die Werte nur an bestimmten Stellen berechnet [14, S. 27]. Der Hauptvorteil der Finite-Differenzen-Methode besteht in der einfachen Anwendbarkeit auf strukturierte Rechengitter. In einem strukturierten Gitter kreuzen Gitterlinien eines Sat- zes nur Gitterlinien eines anderen Satzes. Jedes Mitglied eines Satzes schneidet ein Mitglied eines anderen Satzes nur einmal. Deshalb können die entstehenden Gitterblöcke und -punkte eindeutig durchnummeriert werden. Im 3-dimensionalen Fall werden den Koordinatenrich- tungen x, y und z die Indizes i, j und k zugeordnet. Jeder Gitterblock besitzt 6 direkte Nach- barn, deren Indizes sich um ±1 in der jeweiligen Koordinatenrichtung unterscheiden (siehe Abbildung 6.3) [14, S. 31 f.]. Es ist anschaulich, die Gitterblöcke nach Kompassrichtungen zu benennen (Polar, East, West, North, South, Bottom und Top). P EW N S B T i,j,k i + 1,j,ki − 1,j,k i,j + 1,k i,j − 1,k i,j,k + 1 i,j,k − 1 Abbildung 6.1: Rechenstern für ein 3-dimensionales Rechengitter.
  43. 43. KAPITEL 6. MATHEMATISCH-NUMERISCHES MODELL 32 Für die Erzeugung eines block-zentrierten Rechengitters wird das Gebiet durch Gitterlini- en in Blöcke eingeteilt und dann werden die Gitterpunkte im Mittelpunkt eines jeden Blocks platziert. Ein Beispiel ist in Abbildung 6.3 für ein 2-dimensionales Rechengitter dargestellt. Der Gitterpunkt (xi, yj) befindet sich im Zentrum des Gitterblockes (i, j). Die linke Seite des Blockes liegt bei xi−1/2 und die Rechte Seite liegt bei xi+1/2. In y-Richtung befinden sich die Gitterblockgrenzen bei yj−1/2 und yj+1/2. x y i,j−1 i−1,j i,j i+1,j i,j+1 xi−1 xi xi+1 xi−1/2 xi+1/2 yj−1 yj yj+1 yj−1/2 yj+1/2 hx,i−1/2 hx,i+1 hy,j+1/2 hy,j−1 Abbildung 6.2: 2-dimensionales block-zentriertes Rechengitter. Die Lage der Gitterpunkte wird anhand der Lage der Gitterblockgrenzen berechnet. Ab- hängig vom Index steht h für die Gitterblocklänge oder die Distanz zwischen zwei Gitterpunk- ten. xi = 1 2 (xi−1/2 + xi+1/2) , (6.13) hx,i = xi+1/2 − xi−1/2 , (6.14) hx,i−1 2 = xi − xi−1 . (6.15) Analoge Beziehungen gelten für die anderen Koordinatenrichtungen [7, S. 38]. Die Einfachheit strukturierter Gitter wird mit ihrer Beschränkung auf einfache Geome- trien erkauft. Außerdem ist die ungleichmäßige Verteilung von Gitterpunkten ein mögliches Problem. Für eine Verbesserung der Genauigkeit werden in manchen Gebieten mehr Punkte benötigt und aufgrund der Gitterstruktur werden daraufhin in anderen Gebieten mehr Gitter- punkte zugewiesen als benötigt. In den Ecken bleibt das Gitter of zu grob [14, S. 32] und runde Geometrien können schlecht diskretisiert werden. In den Gitterpunkten müssen Approximationen für die Ableitungen ausgewählt werden. Es kann aus vielen Möglichkeiten gewählt werden und die Entscheidung hat einen Einfluss auf die Genauigkeit der Approximation. Die Entscheidung wirkt sich ebenfalls auf den Entwicklungs- aufwand des mathematisch-numerischen Modells und des Rechenmodells aus. Für genauere Approximationen werden mehr Gitterblöcke in die Gleichungen einbezogen und dementspre- chend höher fallen der Speicherbedarf und der Rechenaufwand aus. Der Speicherbedarf kann bei großen Rechengittern die Gitterpunktdichte einschränken, wodurch der Vorteil der ge-
  44. 44. KAPITEL 6. MATHEMATISCH-NUMERISCHES MODELL 33 naueren Approximation verfliegt. Es muss ein Kompromiss aus Einfachheit der Modelle, Ge- nauigkeit und Recheneffizienz gefunden werden [14, S. 36]. Wenn das Rechengebiet diskretisiert und die Differentialgleichung in jedem Gitterpunkt durch eine auf dem Wert des Gitterpunktes basierende Approximation ersetzt wurde, ist das Ergebnis eine algebraische Gleichung. In ihr kommen die Werte des Gitterpunktes und ei- ner gewissen Anzahl an Nachbarpunkten als Unbekannte vor. Die Approximationen werden mithilfe einer Taylor-Reihenentwicklung erhalten. Durch eine Interpolation können auch Wer- te zwischen den Gitterpunkten berechnet werden [14, S. 42 f.]. Die Anzahl der Gleichungen muss mit der Zahl der Unbekannten übereinstimmen [14, S. 48 f.]. In Randpunkten können die Unbekannten je nach Randbedingungen (Dirichlet, Neummann) meist durch bekannte Werte ersetzt werden. Die Steigung der Tangente an einen Punkt der Kurve φ wird durch die erste Ableitung in diesem Punkt ∂φ/∂x beschrieben. In Abbildung 6.3 ist die Tangente an den Punkt i mit „exakt“ beschriftet [14, S. 49]. Entsprechend der Definition der Ableitung, wird der Abstand zweier auf der Kurve liegender Punkte unendlich verringert. Bei der Finite-Differenzen-Methode wird dieser Abstand durch die Diskretisierung auf einen bestimmten Wert festgelegt. Deshalb ist die Steigung einer Gerade durch diese zwei Punkte nur eine Näherung an die Tangentensteigung. Der Punkt i hat zwei benachbarte Punkte (i − 1 und i + 1). Es gibt also 3 Möglichkeiten für die Approximation der Steigung im Punkt i. Eine Gerade durch i + 1 und i, durch i und i − 1 oder durch i +1 und i −1. Diese sind als Vorwärts-, Rückwärts- und Zentraldifferenzen bekannt und in Abbildung 6.3 mit „vorwärts“, „rückwärts“ und „zentral“ beschriftet [14, S. 49]. ziehung zwischen dem Variablenwert im gegebenen Gitterpunkt und den Werten in einigen Nachbargitterpunkten dar. Man erh¨alt sie, indem man jeden Term der Differentialgleichung im betreffenden Gitterpunkt durch ei- ne Finite-Differenzen-Approximation ersetzt. Nat¨urlich muss die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten ¨ubereinstimmen. In Rand- punkten, wo die Variablenwerte gegeben sind (Dirichlet-Bedingungen), ist keine Gleichung notwendig. Wenn die Randbedingungen Ableitungen bein- halten (wie bei Neumann-Bedingungen), muss die Randbedingung f¨ur solche Randpunkte diskretisiert werden, um eine Gleichung zum zu l¨osenden Glei- chungssystem hinzuzuf¨ugen. Die Grundidee f¨ur FD-Approximationen stammt direkt von der Definition einer Ableitung: ∂φ ∂x xi = lim Δx→0 φ(xi + Δx) − φ(xi) Δx . (3.2) In Abb. 3.2 wird eine geometrische Interpretation gegeben, auf die h¨aufig Be- zug genommen wird. Die erste Ableitung ∂φ/∂x in einem Punkt repr¨asentiert die Neigung der Tangente zur Kurve φ(x) in diesem Punkt; diese Linie ist mit “Exakt” in der Abbildung gekennzeichnet. Ihre Neigung kann durch die Neigung einer Geraden, die durch zwei benachbarte Punkte auf der Kurve verl¨auft, approximiert werden. Die gepunktete Linie zeigt die Approximati- on bei einer Vorw¨artsdifferenz; die Ableitung in xi wird durch die Neigung einer Linie, die durch den Punkt xi und einen anderen Punkt in xi + Δx verl¨auft, approximiert. Die gestrichelte Linie stellt eine Approximation durch R¨uckw¨artsdifferenz dar: Der zweite Punkt liegt hier bei xi − Δx. Die mit “Zentral” markierte Linie zeigt eine Approximation durch Zentraldifferenz: Sie verwendet eine Linie, die durch einen Punkt rechts und einen Punkt links vom Punkt verl¨auft, in dem die Ableitung approximiert wird. I xiiŦ1iŦ2 i+1 i+2 exakt rückwärts zentral vorwärts ' 'xx i+1i Abbildung 3.2. Zur Definition einer Ableitung und deren Approximationen Abbildung 6.3: Approximationen einer Ableitung. [14, S. 49] Wenn die Taylor-Reihenentwicklungen nach dem ersten Term abgebrochen werden, lauten die ersten Ableitungen im Punkt i: ∂φ ∂x i ≈ φi+1 − φi xi+1 − xi , (6.16) ∂φ ∂x i ≈ φi − φi−1 xi − xi−1 , (6.17) ∂φ ∂x i ≈ φi+1 − φi−1 xi+1 − xi−1 . (6.18)
  45. 45. KAPITEL 6. MATHEMATISCH-NUMERISCHES MODELL 34 Das sind die Formeln für die Vorwärts-, Rückwärts- und Zentraldifferenz. Aufgrund des Ab- bruches der Taylorreihenentwicklung nach dem ersten Term entsteht ein Abbruchfehler. Der Abbruchfehler bestimmt die Änderungsrate des Fehlers bei einer Veränderung der Gitterab- stände und ist ein Maß für die Genauigkeit der Approximation [14, S. 51 f.]. Der Abbruchfehler hängt nicht nur von den Gitterabständen ab, sondern auch von den Ableitungen der Variablen. Auf einem äquidistanten Rechengitter kann also kein gleichverteilter Diskretisierungsfehler existieren. Wo die Ableitung groß ist, muss das Rechengitter verfeinert werden und an Stellen mit einer kleinen Ableitung kann es gröber sein. Das Ziel ist eine gleichmäßige Verteilung des Fehlers für eine optimale Genauigkeit bei einer vorgegebenen Anzahl von Gitterpunkten [14, S. 56]. Das Größenverhältnis benachbarter Zellen sollte kleiner 2 sein. Andernfalls wird die Genauigkeit der Lösung verringert. Insbesondere am Rand sollte dieses Verhältnis eingehalten werden [14, S. 255]. Die in den Strömungsgleichungen auftauchenden Ableitungen 2. Ordnung werden durch eine Kombination der Approximationen 1. Ordnung approximiert. Am häufigsten wird eine Zentraldifferenz 2. Ordnung eingesetzt. Die äußere Ableitung ist eine Zentraldifferenz zwi- schen den Gitterblockgrenzen und für die inneren Ableitungen werden Vorwärts- bzw. Rück- wärtsdifferenzen eingesetzt. ∂ ∂x Γ ∂φ ∂x i ≈ Γ ∂φ ∂x i+1/2 − Γ ∂φ ∂x i−1/2 xi+1/2 − xi−1/2 ≈ Γi+1/2 φi+1 − φi xi+1 − xi − Γi−1/2 φi − φi−1 xi − xi−1 xi+1/2 − xi−1/2 (6.19) Andere Kombination der Approximationen 1. Ordnung sind natürlich möglich [14, S. 62 f.]. Die Beiträge zur Approximation kommen bei Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzen hauptsäch- lich von einer Seite. Deshalb wird die Differenz bei Konvektionsproblemen meistens mit dem Block gebildet, von dem aus das Fluid strömt. Wenn das Fluid von xi−1 zu xi strömt, wird eine Rückwärtsdifferenz verwendet. Eine Vorwärtsdifferenz wird bei einer Strömung von xi+1 nach xi gewählt. Diese Methoden werden als Aufwindapproximationen bezeichnet [14, S. 53]. Zusätzlich zu den Gleichungen für jeden inneren Gitterpunkt müssen Randbedingungen für die Gewährleistung einer eindeutigen Lösung definiert werden. Es gibt zwei Arten von Randbedingungen und eine Kombination dieser. Wenn der Variablenwert am Rand vorgege- ben ist (Druck, Temperatur etc.), handelt es sich um eine Dirichlet-Randbedingung (Rand- bedingung 1. Art). Eine Neumann-Randbedingung (Randbedingung 2. Art) wird durch den Gradienten der Variablen in einer Richtung definiert. Für Gitterblöcke mit bekannten Varia- blenwerten muss keine Gleichung gelöst werden. Die bekannten Variablenwerte werden auch in die Gleichungen anderer Gitterblöcke eingesetzt [14, S. 64]. Der Gradient in randnorma- ler Richtung kann nur durch eine einseitige Approximation berechnet werden, weil ein Punkt einer beidseitigen Approximation außerhalb des Rechengebietes liegen würde. Zum Beispiel könnte ein Nullgradient durch eine Vorwärtsdifferenz approximiert werden. ∂φ ∂x 1 = 0 ⇒ φ2 − φ1 x2 − x1 = 0 (6.20) Das bedeutet φ1 = φ2 und der Variablenwert des Randgitterpunktes kann durch den Varia- blenwert des inneren Nachbarpunktes ersetzt werden [14, S. 64 f.]. Im 1-dimensionalen Fall wird durch die Diskretisierung ein lineares Gleichungssystem der
  46. 46. KAPITEL 6. MATHEMATISCH-NUMERISCHES MODELL 35 Form AP φP + l Alφl = QP (6.21) erzeugt. Wie in Abbildung 6.3 steht der Index P für den Gitterpunkt, in dem die Differential- gleichung approximiert wird. Der Index l nimmt die Werte aller Nachbarpunkte an, die ein Teil des Rechensterns sind. Wenn nur die direkten Nachbarpunkte in die Approximation einbezo- gen werden, hat im 1-dimensionalen Fall jeder innere Gitterpunkt die 2 Nachbarpunkte i − 1 und i +1. QP enthält alle Terme ohne unbekannte Variablenwerte. Auf diese Weise entsteht ein großes Gleichungssystem mit jeweils einer Gleichung für jeden Gitterpunkt. Jede Gleichung enthält nur wenige Unbekannte, weil die Lösung jedes Gitterpunktes nur von seinen direk- ten Nachbarn abhängt; das System ist dünn besetzt. In Matrizenschreibweise ergibt sich eine Matrix A mit bekannten Koeffizienten, φ ist ein Vektor mit den unbekannten Variablenwerten und Q enthält alle Terme ohne Unbekannten. Aφ = Q (6.22) Je nachdem, wie die Variablenwerte in φ angeordnet werden, ergibt sich die Struktur von A. Im betrachteten 1-dimensionalen Fall liegen alle Koeffizienten ungleich Null auf der Hauptdiago- nalen und zwei Nachbardiagonalen (siehe Abbildung 6.3). Aufgrund dieser Struktur können effiziente Gleichungslöser eingesetzt werden [14, S. 66 f.]. Pi Ei Ei Wi Pi Ei Wi Wi Pi     Abbildung 6.4: Struktur von A für den 1-dimensionalen Fall. Bei instationären Strömungen muss nach dem Rechengebiet die Zeit diskretisiert werden. Ähnlich wie der Raum wird die Zeit in eine bestimmte Anzahl Intervalle mit dem Zeitschritt ∆t geteilt. Während der Simulation wird in der Zeit jeweils um diesen Zeitschritt vorgerückt [7, S. 21]. Deshalb werden diese Lösungsmethoden als Schrittverfahren bezeichnet. Zusätzlich zu den Randbedingungen müssen noch initiale Bedingungen vorgegeben werden. Im Gegensatz zu einer Kraft im Raum, welche überall auf die Strömung wirken kann, übt eine Kraft zu einem gewissen Zeitpunkt nur einen Einfluss auf die nachfolgende Strömungsentwicklung aus. Des- halb können zu einem späteren Zeitpunkt nur die Randbedingungen vorgegeben werden [14, S. 157]. Für die Erläuterung des prinzipiellen Vorgehens bei Anfangs-Randwert-Problemen wird eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung mit der Variablen φ und der An- fangsbedingung φ0 herangezogen. dφ(t) dt = f (t,φ(t)) , φ(t0) = φ0 (6.23)
  47. 47. KAPITEL 6. MATHEMATISCH-NUMERISCHES MODELL 36 Es wird ausgehend vom Startpunkt die Lösung nach dem Zeitschritt ∆t gesucht. Wenn die Lösung zum Zeitpunkt t1 = t0 + ∆t,φ1 berechnet wurde, kann diese als neue Anfangsbedin- gungen verwendet werden. Dann wird die Lösung zum Zeitpunkt t2 = t1 + ∆t berechnet und dieses schrittweise Vorgehen kann durch die Addition eines Zeitschritts beliebig oft wiederholt werden. Die einfachste Methode ist die Integration der Gleichung (6.23) von tn bis tn+1 = tn+∆t: tn+1 tn dφ dt dt = φn+1 − φn = tn+1 tn f (t,φ(t))dt . (6.24) Für den Variablenwert zum neuen Zeitpunkt wird verkürzt φn+1 = φ(tn+1) geschrieben. Diese Gleichung ist zwar exakt, kann jedoch ohne den zeitlichen Verlauf der Lösung nicht berechnet werden. Es ist also eine Approximation des Zeitintegrals f nötig. Eine Möglichkeit für die Abschätzung des Integrals auf der rechten Seite in Gleichung (6.24) ist die Approximation des Mittelwertes als Integrandenwert zum Anfangszeitpunkt. φn+1 = φn + f (tn,φn )∆t (6.25) Dieses Vorgehen wird als explizite oder Vorwärts-Euler-Methode bezeichnet. Alle Werte auf der rechten Seite sind bekannt und es kann direkt für φn+1 gelöst werden. Die Abschätzung des Integrals mit dem Integrandenwert zum Endzeitpunkt als Approximation des Mittelwertes wird implizite oder Rückwärts-Euler-Methode genannt [14, S. 157 f.]. φn+1 = φn + f (tn+1,φn+1 )∆t (6.26) Weil die Werte auf der rechten Seite zum Zeitpunkt tn+1 unbekannt sind, muss die Lösung iterativ berechnet werden. In der Abbildung 6.3 werden die explizite und die implizite Euler- Methode veranschaulicht. Abbildung 6.5: Approximation des Zeitintegrals durch die explizite (links) und die implizite Euler-Methode (rechts). [14, S. 159] Für die iterativen Methoden müssen Konvergenzkriterien festgelegt werden. Nichtlineari- täten und Kopplungen der Gleichungen werden in äußeren Iterationen behandelt und die Glei- chungssysteme werden in den inneren Iterationen gelöst. Die Konvergenzkriterien geben an, wann der Iterationsprozess auf jeder Iterationsebene angehalten werden soll und wirken sich auf die Genauigkeit und Effizienz aus [14, S. 37]. Die Programmierung expliziter Methoden ist leicht und sie benötigen wenig Speicher sowie eine geringe Rechenzeit je Zeitschritt. Jedoch ist ihre Stabiliät an Bedingungen geknüpt und große Zeitschritte sind mit Problemen behaftet. Bei den impliziten Methoden muss ein lineares Gleichungssystem gelöst werden. Es existiert eine
  48. 48. KAPITEL 6. MATHEMATISCH-NUMERISCHES MODELL 37 Vielzahl hocheffizienter Löser, jedoch ist die Erzeugung dieses Gleichungssystems schwer zu programmieren. Außerdem benötigen sie mehr Speicher und Rechenzeit je Zeitschritt als die expliziten Methoden. Die Stabilität ist hingegen nicht an Bedingungen geknüpft und es sind deutlich größere Zeitschritte möglich [14, S. 161]. 6.4 Diskretisierung der Strömungsgleichungen Im Unterkapitel 6.2 wurden die Strömungsgleichungen für eine inkompressible Strömung zweier nicht mischbarer Fluide hergeleitet. Die Strömungsgleichungen werden diskretisiert und es wird ein Polymermodell hinzugefügt. Dieses Polymermodell beinhaltet den Polymer- transport in der Wasserphase und die Rückwirkungen auf die 2-Phasen-Strömung. Weil die im Diskretisierungsprozess entstehenden Gleichungen sehr lang sind, werden einige Kurzschreib- weisen eingeführt. Die Erste ist die der gewichteten Wichte γ γ = λwγw + λoγo . (6.27) Bisher wurden die Gleichungen mithilfe von Differentialoperatoren allgemein für den mehr- dimensionalen Fall geschrieben. Jetzt wird der 3-dimensionale Fall betrachtet und für diesen lautet die Druckgleichung (6.11) mit den Koordinatenrichtungen x, y und z − ∂ ∂x kxxλ ∂po ∂x − ∂ ∂y kyyλ ∂po ∂y − ∂ ∂z kzzλ ∂po ∂z = q − ∂ ∂x kxx λw ∂pc ∂x + γ ∂z ∂x − ∂ ∂y kyy λw ∂pc ∂y + γ ∂z ∂y − ∂ ∂z kzz λw ∂pc ∂z + γ ∂z ∂z . (6.28) Die Sättigungsgleichung (6.12) wird ebenso ausgeschrieben. φ ∂Sw ∂t = ∂ ∂x λwkxx ∂pw ∂x − γw ∂z ∂x + ∂ ∂y λwkyy ∂pw ∂y − γw ∂z ∂y + ∂ ∂z λwkzz ∂pw ∂z − γw ∂z ∂z + qw (6.29) 6.4.1 Räumliche Diskretisierung Die räumliche Diskretisierung erfolgt nach der vorgestellten Approximationsmethode 2. Ord- nung (6.19) in der die äußere Ableitung zwischen den Gitterblockgrenzen ±1/2 approximiert wird und die inneren Ableitungen durch Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferenzen ersetzt werden.
  49. 49. KAPITEL 6. MATHEMATISCH-NUMERISCHES MODELL 38 Zuerst wird die linke Seite der Druckgleichung (6.28) diskretisiert. − ∂ ∂x kxxλ ∂po ∂x − ∂ ∂y kyyλ ∂po ∂y − ∂ ∂z kzzλ ∂po ∂z i,j,k ≈ − (kxxλ)i+1/2,j,k po,i+1,j,k − po,i,j,k xi+1 − xi − (kxxλ)i−1/2,j,k po,i,j,k − po,i−1,j,k xi − xi−1 xi+1/2 − xi−1/2 − (kyyλ)i,j+1/2,k po,i,j+1,k − po,i,j,k yj+1 − yj − (kyyλ)i,j−1/2,k po,i,j,k − po,i,j−1,k yj − yj−1 yj+1/2 − yj−1/2 − (kzzλ)i,j,k+1/2 po,i,j,k+1 − po,i,j,k zk+1 − zk − (kzzλ)i,j,k−1/2 po,i,j,k − po,i,j,k−1 zk − zk−1 zk+1/2 − zk−1/2 (6.30) Im Nenner der Zentraldifferenzen stehen die Gitterblocklängen in der jeweiligen Koordinaten- richtung. Diese ergeben sich aus den Differenzen der Lage der Gitterblockgrenzen hx,i = xi+1/2 − xi−1/2 (6.31) hy,j = yj+1/2 − yj−1/2 (6.32) hz,k = zk+1/2 − zk−1/2 (6.33) Die Differenzen der Gitterpunktlagen führen auf die Abstände zwischen den Gitterpunkten. hx,i+1/2 = xi+1 − xi und hx,i−1/2 = xi − xi−1 , (6.34) hy,j+1/2 = yj+1 − yj und hy,j−1/2 = yj − yj−1 , (6.35) hz,k+1/2 = zk+1 − zk und hz,k−1/2 = zk − zk−1 . (6.36) Die Gitterblockfläche A quer zur Strömungsrichtung wird aus dem Produkt der Gitterblock- längen quer zur Strömungsrichtung berechnet. Ax = hy,j · hz,k (6.37) Ay = hx,i · hz,k (6.38) Az = hx,i · hy,j (6.39) Wenn die Gitterblocklängen, die Abstände zwischen den Gitterpunkten und die Gitterblock- fläche quer zur Durchströmungsrichtung in die Gleichung (6.30) eingesetzt werden, wird es
  50. 50. KAPITEL 6. MATHEMATISCH-NUMERISCHES MODELL 39 etwas übersichtlicher. − ∂ ∂x kxxλ ∂po ∂x − ∂ ∂y kyyλ ∂po ∂y − ∂ ∂z kzzλ ∂po ∂z i,j,k ≈ − Axkxxλ hx i+1/2,j,k (po,i+1,j,k − po,i,j,k) + Axkxxλ hx i−1/2,j,k (po,i,j,k − po,i−1,j,k) − Aykyyλ hy i,j+1/2,k (po,i,j+1,k − po,i,j,k) + Aykyyλ hy i,j−1/2,k (po,i,j,k − po,i,j−1,k) − Azkzzλ hz i,j,k+1/2 (po,i,j,k+1 − po,i,j,k) + Azkzzλ hz i,j,k−1/2 (po,i,j,k − po,i,j,k−1) (6.40) Die Terme an den Gitterblockgrenzen stellen die Transmissibilitäten dar, welche die Kapazität für eine Fluidströmung ausdrücken. Multipliziert mit einer Druckdifferenz ergeben sie eine Fließrate. Die Terme auf der rechten Seite geben also der Reihe nach die Fließrate zwischen dem Gitterblock (i, j, k) und seinen Nachbarn East, West, North, South, Bottom und Top an (siehe Abbildung 6.3). Analog wird bei der Diskretisierung der restlichen Terme vorgegangen. Die algebraische Gleichung für die rechte Seite der Druckgleichung (6.28) ist q − ∂ ∂x kxx λw ∂pc ∂x + γ ∂z ∂x − ∂ ∂y kyy λw ∂pc ∂y + γ ∂z ∂y − ∂ ∂z kzz λw ∂pc ∂z + γ ∂z ∂z i,j,k ≈ Qi,j,k − Axkxxλw hx i+1/2,j,k (pc,i+1,j,k − pc,i,j,k) + Axkxxλw hx i−1/2,j,k (pc,i,j,k − pc,i−1,j,k) − Aykyyλw hy i,j+1/2,k (pc,i,j+1,k − pc,i,j,k) + Aykyyλw hy i,j−1/2,k (pc,i,j,k − pc,i,j−1,k) − Azkzzλw hz i,j,k+1/2 (pc,i,j,k+1 − pc,i,j,k) + Azkzzλw hz i,j,k−1/2 (pc,i,j,k − pc,i,j,k−1) − Axkxxγ hx i+1/2,j,k (zi+1,j,k − zi,j,k) + Axkxxγ hx i−1/2,j,k (zi,j,k − zi−1,j,k) − Aykyyγ hy i,j+1/2,k (zi,j+1,k − zi,j,k) + Aykyyγ hy i,j−1/2,k (zi,j,k − zi,j−1,k) − Azkzzγ hz i,j,k+1/2 (zi,j,k+1 − zi,j,k) + Azkzzγ hz i,j,k−1/2 (zi,j,k − zi,j,k−1) . (6.41)

×