Le suivi des process de production fait l'objet d'une littérature abondante. le SPC (MSP) est une technique qui a pénétré le monde des process "séries". Force est néanmoins de constater que la mesure, et les incertitudes associées, sont rarement considérées. Et pourtant ...

1. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 1
Métrologie industrielle : comment
enrichir vos décisions en exploitant
les études visant la maîtrise
des procédés ?
Laurent Leblond – P.S.A Peugeot Citroën
Christophe Dubois – Delta Mu
Jean-Michel POU – Delta Mu
Rencontres francophones
sur la Qualité et la Mesure
Angers – 28, 29 et 30 Avril 2015

2. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 2
Sommaire
• Le contexte
• Les objectifs
• La problématique
• L’approche choisie
• Quelques premiers résultats
• Suite des travaux
• Vos questions

3. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 3
Le contexte
Sous l’impulsion du WG1 du JCGM,
la Métrologie semble s’orienter vers
une approche bayésienne :
• JCGM 106 (NF ISO/CEI Guide 98-4)
• Révision du G.U.M

4. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 4
Le contexte
1. Les décisions industrielles
reposent sur des mesures
2. Toutes les mesures sont fausses
(mais certaines sont utiles !)
3. Comment l’incertitude impacte nos
décisions :
a) Risque « Client » ?
b) Risque « Fournisseur » ?

5. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 5
Le contexte
Le Guide 98-4 propose des solutions :
• Lorsque toutes les entités d’un lot
sont mesurées : Risque Global
• Pour une entité en particulier d’un lot :
Risque Spécifique

6. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 6
Le contexte
Le Guide 98-4 ne propose pas de
solution dans le cas des phénomènes
d’intérêt (production industrielle ou autres contextes)
connus uniquement à partir
d’échantillons mesurés …

7. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 7
L’objectif
Estimer un intervalle contenant :
Le taux d’entités réellement
« non conformes »

8. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 8
Les moyens
Proposer une approche qui prenne en
compte :
• L’effet échantillonnage
• Les propriétés des incertitudes de
mesure (Part HO et LO)
• La répétition des échantillonnages
tout au long de l’observation du
« Phénomène d’Intérêt »

9. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 9
Définition
Phénomène d’Intérêt 𝑃ℎ𝐼𝑛𝑡é𝑟ê𝑡
On appelle ici « phénomène d’intérêt » tout
ensemble « d’entités » possédant des propriétés
que l’on cherche à connaitre, par exemple :
• Une production de pièces industrielles;
• « L’ambiance » climatique dans une enceinte;
• La qualité d’une production agro-alimentaire;
• …

10. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 10
La problématique
Lors des mesures par échantillonnage, on
obtient, pour chaque entité mesurée :
𝑣 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é𝑒 = 𝑣 𝐸𝑛𝑡𝑖𝑡é𝑒 + 𝑒 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒
Avec :
𝑣 𝐸𝑛𝑡𝑖𝑡é𝑒: UNE réalisation de la variable aléatoire
« Phénomène d’intérêt »
𝑒 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒 : UNE réalisation de la variable aléatoire
« Incertitude de mesure » notée 𝑈

11. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 11
La problématique
𝑃ℎ𝐼𝑛𝑡é𝑟ê𝑡 est la variable aléatoire qui
décrit la réalité du « phénomène
d’intérêt ».
Si 𝑃ℎ𝐼𝑛𝑡é𝑟ê𝑡peut être modélisé par une
loi de probabilité, les paramètres de la
modalisation sont indiqués de la façon
suivante :
𝐿𝑜𝑖 𝑃ℎ 𝐼𝑛𝑡é𝑟ê𝑡
(𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒1, 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒2, … 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑛)
Note : Sans paramètres associés, 𝐿𝑜𝑖 𝑃ℎ 𝐼𝑛𝑡é𝑟ê𝑡
est une loi empirique qui peut être
décrite par son histogramme des fréquences

12. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 12
La problématique
𝑈 est une variable aléatoire permettant
de décrire la distribution des erreurs
de mesure.
Dans le cas le plus fréquemment
admis, 𝑈 suit une loi de distribution
Normale, de paramètres :
• Moyenne = 𝑏𝑖𝑎𝑖𝑠
• Variance 𝑢 𝑐
2
= 𝑢 𝐿𝑂
2
+ 𝑢 𝐻𝑂
2
Elle sera notée : 𝑈 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠, 𝑢 𝑐
2

13. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 13
Approche envisagée

14. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 14
Dans un premier temps, nos travaux se
limitent au cas gaussien, pour
𝐿𝑜𝑖 𝑃ℎ 𝐼𝑛𝑡è𝑟ê𝑡
et pour 𝑈.
On considère donc :
• 𝐿𝑜𝑖 𝑃ℎ 𝐼𝑛𝑡è𝑟ê𝑡
(𝜇, 𝜎2
) suit une loi normale
de moyenne 𝜇 et de variance 𝜎2
• 𝑈 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠, 𝑢 𝑐
2
suit une loi normale de
moyenne 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 et de variance 𝑢 𝑐
2
Approche envisagée

15. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 15
Remarque :
Lorsqu’on mesure 𝑛 entités dans un
même contexte, le 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 et « une
partie de 𝑢 𝑐
2
(la 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂)» restent
constants entre les mesures.
Propriété : La 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂 des erreurs de
mesure ne varie pas entre les mesures
de chaque entité.
Approche envisagée

16. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 16
Ainsi, pour chaque entité mesurée d’un
échantillon, on obtient :
𝑣 𝑀𝑒𝑠1
= 𝑣 𝐸𝑛𝑡𝑖𝑡é 1 + 𝑒 𝑀𝑒𝑠1
𝑣 𝑀𝑒𝑠2
= 𝑣 𝐸𝑛𝑡𝑖𝑡é 2 + 𝑒 𝑀𝑒𝑠2
….
𝑣 𝑀𝑒𝑠 𝑛
= 𝑣 𝐸𝑛𝑡𝑖𝑡é 𝑛 + 𝑒 𝑀𝑒𝑠 𝑛
Où 𝑛 représente le nombre d’entités
dans l’échantillon.
Approche envisagée

17. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 17
Avec :
𝑒 𝑀𝑒𝑠1
= 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐻𝑂1
𝑒 𝑀𝑒𝑠2
= 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐻𝑂2
….
𝑒 𝑀𝑒𝑠 𝑛
= 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐻𝑂 𝑛
Approche envisagée

18. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 18
Pour un échantillon donné, il est
possible d’obtenir :
• Une estimation de 𝜇 via la moyenne
empirique 𝑥 des valeurs mesurées
des échantillons;
• Une estimation de 𝜎2
via la variance
empirique 𝑠2
de l’échantillon;
En tenant compte des propriétés de 𝑼
Les premiers résultats

19. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 19
Mais :
𝒙 est une estimation de 𝝁 + 𝑩𝒊𝒂𝒊𝒔 + 𝒑𝒂𝒓𝒕 𝑳𝑶.
Pour être réaliste, il convient de déterminer
l’intervalle de dispersion dans lequel se
trouve 𝜇.
La « largeur » de cet intervalle dépend :
– Du nombre 𝑛 d’échantillons (Student)
– Du 𝐵𝑖𝑎𝑠 et 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂des erreurs de mesure
Les premiers résultats

20. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 20
Mais :
𝒔 𝟐
est une estimation de 𝝈 𝟐
+ 𝒖 𝑯𝑶
𝟐
Pour être objectif, il convient de déterminer
l’intervalle de dispersion dans lequel se
trouve 𝜎2.
La « largeur » de cet intervalle dépend :
– Du nombre 𝑛 d’échantillons (Khi Deux)
– De la part 𝐻𝑂 des erreurs de mesure
Approche envisagée

21. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 21
Intervalle de dispersion de 𝝈 𝟐
La variance apparente (« phénomène
d’intérêt » et « mesure » indépendants) est
égale à :
𝜎𝐴𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
2
= 𝜎2 + 𝑢 𝐻𝑂
2
𝑠2 est une estimation de 𝜎𝐴𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
2
. Donc,
une estimation de 𝜎2
est donnée par :
𝑠2 − 𝑠 𝐻𝑂
2
𝑠 𝐻𝑂
2
est une estimation de la 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐻𝑂 de 𝑈
Approche envisagée

22. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 22
Intervalle de dispersion de 𝝈 𝟐
Avec :
𝑠2 est calculé à partir des 𝑛 données mesurées
disponibles.
𝑛−1
𝜎2+ 𝑢 𝐻𝑂
2 𝑠2
se distribue suivant une loi
du Khi Deux à 𝑛 − 1 degré de liberté.
Dans le cas d’une évaluation de type A, 𝑠 𝐻𝑂
2
se
distribue suivant une loi du Khi Deux.
Approche envisagée

23. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 23
Intervalle de dispersion de 𝝈 𝟐
En utilisant la simulation de Monté Carlo
pour réaliser cette décomposition de
variances, on obtient un intervalle de
dispersion des 𝑠2dans lequel se trouve 𝜎2.
Approche envisagée

24. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 24
Intervalle de dispersion de 𝝁
𝑥 −𝜇 − 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 − 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂
𝑠2+ 𝑢 𝑃𝑎𝑟𝑡 𝐻𝑂
2
𝑛
d’un échantillon se
distribue suivant une loi de Student à
𝑛 − 1 degrés de liberté.
L’intervalle de confiance de 𝜇 est obtenu en
tenant compte d’un intervalle d’incertitude de
la 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂
Approche envisagée

25. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 25
Connaissance du « phénomène
d’intérêt »
A ce stade, nous disposons :
• De valeurs de 𝜇 possibles
• De valeurs de 𝜎2 possibles
Avec ces simulations (Couple 𝜇; 𝜎2
possibles), on peut déterminer des taux de
non-conformité possibles.
Approche envisagée

26. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 26
Paramètres théoriques
Soit :
Un coefficient de capabilité
6×𝜎 𝑃𝑟𝑜𝑑
2× 𝜎 𝐻𝑂
2 + 𝜎 𝐿𝑂
2
d’environ 7
Un taux de non conforme de 5% environ
Quelques premiers résultats
µ 𝜎
prod 10 1
mesure HO 0 0,3
mesure LO 0 0,3
Cible 10
borne inf 8
borne sup 12

27. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 27
Sensibilité au nombre 𝑛 de mesures
Quelques premiers résultats
Borne Max (95%) de l’intervalle de dispersion du taux de Non conforme
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Taux nc sup
Pour n = 30
0
20
40
60
80
100
120
Taux nc sup
Pour n = 1000
Pour n = 10 000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Taux nc sup

28. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 28
Sensibilité à la capabilité du processus de
mesure (𝑛 = 1000)
0
20
40
60
80
100
120
Taux nc sup
Pour C = 7
Pour C = 10
0
20
40
60
80
100
120
Taux nc sup
Pour C = 4
0
20
40
60
80
100
120
Taux nc sup
Quelques premiers résultats
Borne Max (95%) de l’intervalle de dispersion du taux de Non conforme

29. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 29
Sensibilité à la part HO et LO (C = 4; 𝑛 =
1000)
Pour 100%HO
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0,95%1,34%1,73%2,11%2,50%2,89%3,28%3,67%4,06%4,45%4,84%5,23%5,62%6,01%6,39%
Taux nc sup
0
20
40
60
80
100
120
Taux nc sup
Pour 100%LO
Quelques premiers résultats
Borne Max (95%) de l’intervalle de dispersion du taux de Non conforme

30. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 30
• Ecrire les modèles analytiques pour retrouver (ou
infirmer) les résultats obtenus;
• Etendre l’approche aux phénomènes « non
gaussiens », tant pour le « Phénomène d’intérêt »
que pour « Incertitude »;
• Augmenter le nombre n de résultats en
« ajoutant » les résultats de chaque
échantillonnage obtenus au cours du temps;
• Intégrer la révision bayésienne des valeurs
mesurées en tenant compte de l’a priori
• Définir la qualité des estimateurs de l’incertitude
de mesure (Biais, 𝑢 𝐻𝑂
2
, 𝑢 𝐿𝑂
2
)
Suite des travaux

31. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits
Page 31
Jean-Michel POU
• Président Fondateur de la société Delta Mu
• Président du cluster « Auvergne Efficience
Industrielle »
Mail : jmpou@deltamu.fr
Vos questions