Polinômios, produtos notáveis, fatoração, frações algébricas e racionalização de denominadores

1. ALUNO:______________________________________________________________________________
TURMA: CN/EPCAr PROF: Ivan M S Monteiro ( www.mathaleph.blogspot.com.br )
AULA DE ÁLGEBRA
Non Multa Sed Multum
Esse material contém 67 questões. Confira!
Leia com atenção as seguintes instruções antes de resolver as questões desta avaliação:
Nota Final: _____________
• Não serão consideradas as respostas sem as correspondentes resoluções.
• Serão anuladas as questões objetivas que apresentem rasuras.
• A avaliação deve ser resolvida à caneta com tinta azul ou preta.
• É extremamente proibido o uso de calculadora.
• Serão descontados erros ortográficos.
• Realizar o trabalho extremamente organizado.
Lembretes:
POLINÔMIOS
1) Determine o grau de cada um dos polinômios abaixo:
a) f ( x ) = 5x + 1 b) g ( x ) = x 2 + 10 x − 3 c) h ( x ) = 5 x + 10 x 3 − 8 x 2 + 1
d) q ( x ) = ( k − 2 ) x 4 + 10 x3 − 3x + 1 e) r ( x ) = ( k 2 − 4 ) x3 + ( k + 2 ) x2 − ( k − 2 )
f) s ( x ) = ( a − 1) x5 + ( b + 2 ) x3 + ( c − 3) x
2) Sabendo que p ( x ) = ( a − 4 ) x3 − ( b + 2 ) x 2 + ( 3c − 8 ) x − ( 5d − 125) é o polinômio nulo, determine o valor de
a+b+c+d .
3) Se f ( x ) = 5 x3 + 10 x 2 − 7 e g ( x ) = ax4 + ( b −1) x3 − ( c + 3) x2 + ( 4d +12) x + e são polinômios idênticos,
determine o valor de a + b + c + d + e .
4) Efetue:
a) (2b + 5c − 3a) − (−2a + b − 4c)
2 2 2 2
b) ( a − b ) − (3a − b )
2 2 2 2 2 2
c) (b + 2bc + c ) + (b − 2bc − c ) − (b − c )
2 2 2 3 2 2
d) (4 a b + 3ab − b ) + (2b − 4 a b − 4ab )
2 3 4 4 2 3
e) 1 − x + x − x − (1 − x + x + x )
1 2 1 2 5 3 1 2 1 3 1 2
f) mn + m n + m −  m n − m − mn 
4 3 6 6 4 3 
g) 5 xy + y − 3 xy − ( − y − xy ) 
2 2
 
h) 3a − (4b − c + 2b) − [ a − (2b − 4c + 3d ) ] − 5a

2. 2
5) Sejam os polinômios: A = a + 2ab + b2 ; B = a 2 − 2ab + b2 e C = a 2 − b2 .
Determine : a) A + B + C b) A − ( B + C) c) A − ( B − C)
6) Efetue os produtos abaixo:
2 2
a) ab.( a − b )
2 2
b) 3 xy.( x y − xy )
2 2 2
c) −2 a b.(3a − 7b )
4
d) 10a 2b 2 .(−3a 2b + a 2b 2 )
5
m −1
e) 2 x.(5ax + 3bx − 8)
m
3 3
f) (2 x + 3)(2 x − 3)
2 2
g) (3a + 1)(3a − 2)
6 3 3
h) ( x + 3 x + 9)( x − 3)
6 4 4 2 8 12 2 4
i) (27 a − 9a b + 3a b − b )(3a + b )
4 4 3 3 2 2
j) ( − x − y + x y + xy − x y )( − x − y )
k) (a + b − c)(a − b + c)
2 2 2 2
l) ( x + y + xy )( x + y − xy )
m) (a + b − c)(a + b) + (a − b + c)(a + c) + (b + c − a)(b + c)
2 2 2
n) a (b − c ) + b (c − a ) + c ( a − b) + ( a − b )(b − c )(c − a )
7) Efetue as seguintes divisões :
6 4 3 2 2
a) ( x − x − 2 x + x + 2 x − 1) ÷ ( x − 1)
4 2 2
b) (4 x − 13 x + 12 x − 3) ÷ (2 x − 3 x + 1)
5 4 3 2 2
c) (15a − a − 4 a + 5a − a ) ÷ (5a + 3a − 1)
3 2
d) (2 a − 3a + a + 30) ÷ ( a + 2)
4 3 2 2
e) ( x − 5 x + 8 x − 5 x + 1) ÷ ( x − 2 x + 1)
4 3 2
(
f) x − 5 x + 2 x + 3 x − 1 ÷ ( x − 2) )
3
g) ( 2 x − x 2 − 1) ÷ (x-1)
5
h) ( 4 x − 5 x 4 + 1) ÷ (x-1)
5 4 3 2
i) ( x − 2 x − x + 3 x + x − 4) ÷ (2 x − 4)
3
j) (x + 2 x 2 − 5 ) ÷ (3x+6)
3 2
8) O valor de n para que a divisão do polinômio p ( x ) = 2 x + 5 x + x + 17 por
d ( x ) = 2 x 2 + nx + 4 tenha resto igual a 5 é um número
(a) menor que – 6. (b) negativo e maior que – 4. (c) positivo e menor que 5. (d) par e maior que 11.
9) Considere o polinômio p( x) = 2 x 3 − x 2 + kx + 5 . Determine o valor de k, sabendo que -1 é raiz de p(x).
10)Determine as raízes dos polinômios e escreva-os na forma fatorada:
2
a) P ( x ) = 3 x + 9x + 6
2
b) P ( x ) = 2 x + 3 x − 2
c) P ( x ) = x3 − 6 x 2 − x + 30
3 2
d) P ( x ) = 2 x − x − 2 x + 1
4 3 2
e) P ( x ) = x + x − 7 x − x + 6

3. PRODUTOS NOTÁVEIS
1) Se x + y = 3 e xy = 7 , então x 2 + y 2 é igual a :
(a) 3 (b) -5 (c) -3 (d) 5 (e) 9
2) Se 2 x + 2 − x = a , dar o valor de 8 x + 8 − x .
3) Se a + b = 1 e a² + b² = 1 então, calcule o valor de a 7 + b7
4) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual :
(a) à diferença dos quadrados dos dois números.
(b) à soma dos quadrados dos dois números.
(c) à diferença dos dois números.
(d) ao dobro do produto dos números.
(e) ao quádruplo do produto dos números.
3
5) Para que o polinômio f ( x ) = x 3 − 6x 2 + mx + n seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma f ( x ) = ( x + b ) , os
valores de m e n devem ser, respectivamente:
(a) 3 e −1 (b) −6 e 8 (c) −4 e 27 (d) 12 e −8 (e) 10 e −27
a2 b2
6) Se ab = 1 e a 2 + b 2 = 3 , determine + +2.
b2 a 2
7) Se
a + b = 1 e a 2 + b2 = 2 então a 3 + b3 é igual a:
(a) 4 (b) 3 ½ (c) 3 (d) 2 ½ (e) 2
FATORAÇÃO
1) Fatore pondo em evidência o fator comum:
a) ax + ay b) 15x2 − 5x
c) 6a2b + 3ab2 3 2
d) 8 x y − 4 x y
2 3
3 2
e) 15a x y − 30 a xy + 45a x y
2 3 4 3 4
f) 18a2b3c4 + 36ab4c5 − 54a3b2c
4 5
g) 33 x y − 22 x y + 11xy
3 6
h) x(a + 1) + y(a + 1) + z(a + 1)
i) x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c) j) x(a −1) + y(a −1) + z ( a −1)
2) Fatore por agrupamento:
2
a) ax + bx + ay + by b) 2 x − 3 xy − 4 x + 6 y
c) mx + 5 y + xy + 5m d) ab − ac + b2 − bc
e) x3 + x2 − x −1 f) 3x3 − 9ax2 − x + 3a
3) Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a) x2 + 10x + 25 2
b) 4 x − 20 xy + 25 y
2
4
c) y + 2 y + 1
2
d) a2 x2 − 2ax + 1
2 y2 6 3 2
e) x + xy + f) x + 6 x y + 9 y
4
4 2
g) 4 x − 24 x y + 36 y
2
h) a2 −16a + 64
4 2 4 x 2 2 xy y 2
i) y − 6 y + 9 j) − +
9 3 4

4. 4) Fatore as diferenças entre dois quadrados perfeitos:
a) m2 − n2 b) 25 x − 9 y
2 2
4
c) 16 x − 25 y
2
d) 1 − x2
2
e) 4 x y − 9a
6 8
f) a 2 n − b2 n
4n 2 10
g) x − 64 y h) x − 4 y2
6m 2n x2
i) 16 x −y j) 1 −
9
k) a2 − x2 + 2 xy − y 2 l) (a2 − b2 −1)2 − (a2 − b2 + 1)2
5) Fatore os seguintes trinômios da forma x2 + ( b + c ) x + bc :
a) x2 + 10x + 16 b) x2 −10x + 16
2
c) x + 6 x −16 d) x2 − 6 x −16
2
e) x − x − 6
2
f) y − 6 y + 5
2
g) a + a − 30 h) x2 + x − 2
4 2
i) x − 5x − 50
4 2
j) a − 5a + 4
6) Fatore os seguintes cubos de um binômio:
a) x6 + 3x4 + 3x2 + 1 6
b) x − 9 x y + 27 x y − 27 y
4 2 2 3
c) a9 + 3a6 + 3a3 + 1 3
d) 8 x − 12 x y + 6 xy − y
2 2 4 6
e) x3n + 3x2n + 3xn + 1 3
f) 64 x + 48 x y + 12 xy + y
2 2 3
7) Fatore as seguintes somas (ou diferenças) de cubos perfeitos:
a) a6 − b6 b) 8x + y
3 3
c) 1 − 8 y
3
d) x3 −1
e) x3 + 1 f) 27 − x3
g) a3 − (1 − a)3
1 1
8) Determine o valor de x6 + 6
sabendo que x + = 1 .
x x
9) Um dos fatores de a 4 + 6a² + 8 é :
(a) a + 4 (b) a² - 2 (c) a² + 2 (d) a 4 + 2 (e) a 4 -2
10) Fatorando 3x - 6y + ax - 2ay, obtém-se :
(a) (x + y)(3 - 2a) (b) ( x + 2y)( 3 - a) (c) ( x - 2y) (3 - a)
(d) ( x + 2y) (3 + a) (e) ( x - 2y)(3 + a)
2 2
11) Fatorando ( a + b ) - 4c obtém-se :
(a) ( a + b - 2c)(a + b - 2c) (b) ( a + b + 2c)(a + b - 2c) (c) ( a + b + c )(a + b - 2 )
(d) ( a + b -c ) ( a + b + 2 ) (e) ( a + b + 4 )(a + b - c )
12) Se a + b + 2c = 5 e a + b - 2c = 7 então a² + b² + 2ab - 4c² é igual a :
(a) 2 (b) -2 (c) 35 (d) -35 (e) 12
13) Fatore as expressões : a) 8x 3 − y 3 b) ac +2bc - ad - 2bd
2 2
14) Qual das expressões abaixo é idêntica a a –b - a+b ?
(a) (a + b )(a - b + 1) (b) ( a - b)(a - b + 1) (c) ( a - b )(a + b - 1)
(d) (a + b )( a - b - 1 ) (e) ( a - b) ( a - b - 1)

5. 15) Um dos fatores de a² - 1 - b² - 2b é :
(a) a + b –1 (b) a – b + 1 (c) b – a + 1 (d) 1 – b – a (e) a – b – 1
16) Sabendo-se que a² - 2bc - b² - c² = 40 e a - b - c = 10, com a, b e c reais. Então o valor de a + b + c é igual
a:
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 10 (e) 20
17) A diferença entre o quadrado de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos quadrados
desses dois números é :
(a) 29 (b) 97 (c) 132 (d) 184 (e) 252
18) Fatore a expressão S = x 4 + x 2 + 1.
19) Fatore :
a) ( x 2 + x + 3)( x 2 + x + 4) − 12
b) x 4 + 4 y 4
c) (a + 2b − 3c)3 + (b + 2c − 3a )3 + (c + 2a − 3b)3
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1) Efetue:
4x 2 y 15 x 3 y 2 5 x 2 y 4
a) ⋅ b) ÷
y 8x 4a 2 b 2 2ab3
2( x + 2) x+2 ( m − n ) 2 m( m − n )
c) ÷ d) ÷
x−2 ( x + 1)( x − 2) m+n m+n
x + 2 x +1 x + 1 3x + 1
e) − f) −
2 2 2 4
3x + 5 2 x − 9 x+2
g) − h) − ( x + 1)
2 3 2
x − y 2x + y y − 4x 2x + 3 x − 2
i) + + j) −
12 15 30 4x 8x
2x x −1 x y
k) − l) +
x +1 x +1 x− y y−x
1 1 1 1
m) + n) −
x +1 x −1 x+h x
b a 1 1
o) − p) +
2a 4b a ( a + b) b( a + b)
2 3 4x − 2 1 1 2x
q) + − r) + +
x − 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1) 1 + x 1 − x ( x + 1)( x − 1)
1 3 3
s) − +
( x + 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 1)
1+ x 1 1
−
t) 2x u) x a
1 x−a
+1
x

6. a −1
1−
 a −b   a +b  a +1
v) 1 + ÷ − 1 w)
 a +b   a −b  1 1
−
a + 1 a −1
x x 2( x + 5)
− x+5+
x) x −1 x +1 y) x +1
x x 2
+ 1+
x −1 x +1 x +1
Simplifique as seguintes frações algébricas:
2)
x + x2 5a − 5b a 3 + 3a 2
a) b) c)
y + yx 2a 2 − 2b 2 a2 − 9
x2 −1 ( a − b) 2 a 2 − 2a + 1
d) e) f)
x +1 a2 − b2 a2 −1
x 4 − 16 a3 − 1 x2 − 6 x + 9
g) 2 h) 2 i) 2
x −4 a + 2a − 3 x − 4x + 3
x 2 − x − 20 ( x 2 − x − 6)( x 2 + x − 20)
j) 2 k)
x − 7 x + 10 ( x 2 + 2 x − 15)( x 2 + 6 x + 8)
4
(x − a4
)( x + a) a 2 − a − 12 8 − x3
l) m) n)
2
( x − a)( x + a ) 2
16 − a 2 x2 + 2 x + 4
8 − x3 x2 − ( y − z )2 1 − ( x + y)2
o) p) q)
x2 + 2 x − 8 ( x + z )2 − y 2 1+ x + y
(a + x) 2 − 9 2ab + a 2 + b 2 − c 2
r) s)
a+ x+3 2bc − b 2 − c 2 + a 2
3) Efetue as operações com as frações algébricas e simplifique:
a −1 a + 1 a2 + 1 n + 1 n2 − n
a) + − b) −
a + 1 a −1 a2 −1 m mn − m
4a − 6b 1 4 xy x+ y
c) 2 2
+ d) 2 2
− +2
a −b a −b x − 2 xy + y x− y
2
x −1 x2 − 6x + 9 x 2 − x ( x − 1) 2
e) 2 − 2 f) − 2
x − 2x + 1 x − 4x + 3 x −1 x −1
a 2 − a ( a − b) 2 1 1
g) − h) +
ab − b a 2 − b 2 a + ab ab + b 2
2
a a 2a 2 4a 2b 2  x 3 − 4 x 3 x − 6   2a + 3 4 x 2 − 6 x 
i) + + + j)  ÷ − ⋅ 
a − b a + b a 2 + b2 a 4 − b4  x+2 2   4 x 12 a + 18 

7.  a − a2   a  2 y  y2 −1 y2 + 4 y + 3 
k)  2  ÷ −a l) + ÷ 
 a −1   a +1  y + 3  y −1 6 
1
4) Se x, y e z são números reais tais que z= , então z é igual a :
( x + y −2 ) −1
−2
1 1 x2 + y2 x2 + y2
(a) (b) (c) x² + y² (d) (e)
x+ y x + y2
2
xy x2 y2
2
5) Simplificando
(x 3
)
− 4 − 16
, x ∈ » , obtém-se :
x 2 + 2x + 4
(a) x³ (b) x + 3
4 (c) x - 3
4 (d) x 4 + 2x³ (e) x 4 - 2x³
 a 2 + ab a 2 − ab 
6) Simplificar a expressão  a 2 − b 2  ÷ 
   ÷  , onde ab ≠ 0.
  b 2 + ab b 2 − ab 
 
x 3 −1
7) Sendo x = 4,8349, então é igual a :
x 2 + x +1
(a) 3 (b) 5 (c) 3,8349 (d) 5,8349 (e) 0,8349
1+ a2
8) Simplifique a expressão algébrica .
(1 − ax ) 2 + ( a + x ) 2
a +b
9) Dado que a e b são tais que a 2 + b 2 + 2ab = 10 e a 2 − b 2 = 5 , pode-se concluir que é igual a :
a −b
(a) 2 (b) 4 (c) 8 (d) 16 (e) 32
2 x 2 − 8x + 8
10) O valor numérico para expressão para x = 98 é :
2x 2 − 8
(a) 0,72 (b) 0,96 (c) 1,24 (d) 1,36 (e) 1,5
m n m
+ 1+
 n
11) Simplificando a expressão m + n m − n + n
2
× 1 +  , com m ∈ » , n ∈ » , m ≠ ± n e m.n ≠ 0 ,
n m (m − n)  m 
− 1+
m+n m−n 4mn
5(m + n)
obtemos : (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e)
3mn
1 1
3
− 3
12) Simplificando a expressão ( a 2b + ab 2 ) × a b , obtemos:
1 1
−
a2 b2
(a) a + b (b) a² + b² (c) ab (d) a² + ab + b² (e) b – a
x4 − y4
13) O valor de , para x = 111 e y = 112 é:
x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3
(a) 215 (b) 223 (c) 1 (d) –1 (e) 214

8. 4x + 8 3x − 3
14) O valor da expressão 2
+ 2 , para x ≠ ±1 e x ≠ −2 , é equivalente a :
x + 3x + 2 x − 1
15) A expressão
(a − b )2 + c(a − b ) , a – b +c ≠ 0 é igual a :
a−b+c
(a) a – b (b) b – a (c) a + b + c (d) a – b + c (e) a + b – c
2 2 2
(a + b2 − c 2 ) − ( a2 − b2 + c2 )
16) Simplifique a fração : .
4ab 2 + 4abc
a +b a −b
+
ab3 − a 3b
17) (EPCAr) Simplificar : a − b a + b × 2 .
a − b a + b a + b2
−
a+b a −b
x y z a b c x2 y 2 z 2
18) Prove que se + + =1 e + + = 0, então 2 + 2 + 2 = 1.
a b c x y z a b c
 x  y
19) Se x 2 + y 2 = 3 xy, calcule 1 + 1 +  .
 y  x
2 2
 ( x + 1) 2 ( x 2 − x + 1) 2   ( x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) 2 
20) Calcule o valor da expressão S =  ⋅  .
 ( x3 − 1) 2   ( x3 + 1)2 
2x y y2
− + 2
x + y y − x y − x2
21) (EPCAr) Supondo x e y números reais tais que
x 2 ≠ y 2 e y ≠ 2 x , a expressão −1 −1
( x + y) + x ( x2 − y2 )
sempre poderá ser calculada em » se, e somente se,
(a) x ≥ 0 e y ≥ 0 (b) x > 0 e y é qualquer (c) x é qualquer e y ≥ 0 (d) x ≥ 0 e y é qualquer
−1 −1
a ≠ b , na expressão p=
( a + b )( 2a ) + a (b − a)
.
22) (EPCAr) Considere os valores reais de a e b, 2 −1
(a + b 2 )( ab 2 − ba 2 )
Após simplificar a expressão p e torná-la irredutível, pode-se dizer que p −1 está definida para todo
(a)
a ∈ » e b ∈ »* (b) a ∈ » e b ∈ »*
+ (c) a ∈ »* e b ∈ »* (d) a ∈ »* e b ∈ »*
+
23) (EPCAr) Considere os números reais a, b e x tais que
a+b= x
a − b = x −1
a≠b≠0
2 2 3 3
( a + 2ab + b )( a − b )
2 2 2 2
Y=
( a − b )( a + ab + b ) é
O valor da expressão  a 2 − ab 
 
 2a 
x2
(a) 2 (b) 2x 2 (c) x 2 (d)
2

9. 1 1 1 a b c a b c
24) (CN) Sejam “a”, “b” e “c” números reais não nulos tais que ab
+ + = p, + + + + + =q e
bc ac b a a c c b
ab + ac + bc = r . O valor de q 2 + 6q é sempre igual a
p2r 2 + 9 p2r 2 − 9 p p 2 r 2 − 10
(b) (c) p 2 r 2 − 9 (d) (e) p 2 r 2 − 12 p
(a) 4 12 4r
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
1) Racionalize os denominadores:
3 30 7 3 2 2
a) b) c) d) e) f)
5
5+ 3 15 8− 2 5 7+ 3 3
7 2 5 4
g) h) i)
6 3
3 5 2
8+ 6 4− 3
2) Colocando-se a expressão − sob a forma a + b 3 , o valor de a+ b é igual a :
6 3
2 4 8 10
(a) (b) (c) 2 (d) (e)
3 3 3 3
3) Os valores de x e y que satisfazem a
x y 1
+ − =0
5− 2 6+ 2 6− 5
são tais que x+ y é igual a : (a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7 (e) 9
38
4) Racionalizando o denominador da fração obtemos:
3 3 −2 2
(a) 6 3 + 4 2 (b) 6 2 − 4 3 (c) 6 3 − 4 2 (d) 2 (e) 6 2 + 4 3
2+ 3 2− 3 2
5) Efetuando + obtém-se : (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) (e) 1
2− 3 2+ 3 3
2 6
6) A fração é igual a:
2+ 3+ 5
1 1
(a) 2 + 3 − 5 (b)
2
( 2+ 5− 3 ) (c) 4 − 2 − 3 (d)
3
( 3+ 5− 2 ) (e) 2 + 3 + 6 −5
3
1 a+3 b+3 c
7) Racionalizando-se o denominador de 3
obtemos uma expressão da forma . O valor de
15 − 3 7 d
a + b + c + d é igual a:
(a) 381 (b) 383 (c) 385 (d) 387 (e) 389
Lembretes: