Bourguet4

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Chapitre
Mod`les POD-Galerkin
e
7 d’ćoulements transsoniques,
e
tridimensionnels et turbulents

Aperçu
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2 Interaction tremblement/instabilité de von Kármán en écoulement trans-
sonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.1 Phénomène de tremblement en régime transsonique . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.2 Analyse modale par POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.3 Modèle réduit POD-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3 Modèle réduit de l’écoulement transitionnel compressible autour d’une aile162
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.2 Numerical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.3 Three-dimensional transition in the flow around a wing . . . . . . . . . . . . . 164
3.4 Low-order modelling for compressible flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.6 Analyse des intermittences de l’instabilité secondaire . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.7 Robustesse de la base POD vis-à-vis des évènements rares . . . . . . . . . . . . 175
4 Modèle réduit d’écoulements turbulents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.1 Modèles POD-Galerkin d’écoulements turbulents dans la littérature . . . . . . 176
4.2 Ecoulement turbulent modélisé par une approche statistique . . . . . . . . . . . 178
5 Pertinence de l’approche POD-Galerkin pour la modélisation d’écoule-
ments réalistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

1 Introduction
Dans ce chapitre trois écoulements instationnaires sont étudiés afin d’examiner la pertinence de la
méthode de modélisation de dimension réduite POD-Galerkin dans des configurations physiques réa-
listes, proches des applications visées, dans le contexte de la conception optimale de forme notamment.
Qu’advient-il de l’efficacité de la méthode proposée en termes de représentation et de prédiction des va-
riables d’état lorsque l’écoulement d’intérêt est moins régulier que celui considéré au chapitre précédent ?
Cette question est ici envisagée pour des écoulements de complexité croissante.
Dans un premier temps, l’écoulement transsonique bidimensionnel, autour d’un profil d’aile, soumis au
phénomène de tremblement est étudié. Cette configuration physique est proche de celle présentée dans le
chapitre précédent mais pour le couple nombre de Mach/nombre de Reynolds ici considéré, l’écoulement
présente une interaction entre l’instabilité de von Kármán précédemment décrite et l’oscillation périodique
des régions supersoniques localisées de part et d’autre du profil. Ainsi, deux fréquences prédominantes
apparaissent dans l’écoulement conduisant à des dynamiques temporelles plus complexes et donc a priori
plus difficiles à capturer par un nombre limité de modes. L’analyse modale du tremblement en régime

153

Chapitre 7. Modèles POD-Galerkin d’écoulements transsoniques, tridimensionnels et turbulents

transsonique ainsi que la modélisation de dimension réduite fondée sur cette analyse ont fait l’objet d’un
article publié dans le cadre de cette thèse (Bourguet et al., 2007a) et présenté dans l’annexe C. Le nombre
de Reynolds modéré considéré dans cette étude permet une identification claire des instationnarités liées
à l’instabilité de von Kármán et au tremblement, ce qui n’apparaît pas nécessairement aisé à grands
nombres de Reynolds, les fréquences propres des deux phénomènes pouvant alors être proches. Bien que
plus “riche” que l’écoulement de référence présenté au chapitre 6, l’écoulement considéré au § 2 conserve
un caractère périodique marqué lié à l’éloignement des fréquences des deux sources d’instationnarité.
La seconde configuration correspond à l’écoulement compressible transitionnel et tridimensionnel au-
tour d’une aile à forte incidence, également pour un nombre de Reynolds modéré. Les simulations numé-
riques directes considérées sont issues comme précédemment du code ICARE/IMFT compressible présenté
au chapitre 3. Dans cette étude, l’accent est mis sur le caractère plus erratique des phénomènes physiques
instationnaires mis en jeu. L’instationnarité est liée à l’instabilité de von Kármán qui donne lieu à un
lâcher de tourbillons qui acquièrent une structure tridimensionnelle sous l’effet de l’instabilité secondaire.
Il apparaît que cette ondulation des tourbillons le long de l’envergure de l’aile n’est pas strictement pério-
dique et que des intermittences spatiales et temporelles de ce mode d’instabilité peuvent être observées
dans le sillage. L’étude de ce phénomène et la possibilité de le modéliser via l’approche POD-Galerkin
sont rapportées dans un article soumis pour publication présenté au § 3.
Enfin, le cas de la simulation de dimension réduite d’écoulements turbulents modélisés par des ap-
proches statistiques est abordé au § 4. Cette étape constitue le lien avec les méthodes “haute-fidélité”
développées dans le cadre de cette thèse et présentées au chapitre 4. En effet, dans le contexte d’une
modélisation hiérarchique d’écoulements aérodynamiques réalistes, il semble important d’envisager le cas
où les données HF disponibles pour construire un ROM ne sont pas issues de simulations directes mais ont
déjà fait l’objet d’une modélisation de la turbulence. Différentes approches rapportées dans la littérature
sont évoquées et une application directe de la modélisation POD-Galerkin à la simulation de l’écoulement
turbulent quasi-incompressible autour d’un profil d’aile à forte incidence est proposée.

L’étude de ces différents écoulements est menée selon deux axes principaux. Dans un premier temps, la
capacité de la décomposition aux valeurs propres à décrire efficacement ces configurations avec un nombre
de modes raisonnable est examinée. Dans le cas où l’écoulement considéré admet une représentation de
faible dimension, une analyse critique de la pertinence de la base POD peut être envisagée, notamment
vis-à-vis d’évènements rares ou chaotiques inclus dans la base de données à représenter. Dans certains cas,
la POD peut par ailleurs conduire à une identification efficace des différentes sources d’instationnarité
autorisant ainsi un “découplage” dans l’étude des divers mécanismes d’instabilité mis en jeu. Suite à cette
analyse, des modèles réduits de ces différents écoulements sont construits et leur efficacité évaluée. Dans
ce chapitre, les capacités prédictives des POD ROM développés sont examinées pour les configurations
d’écoulement dont sont issues les réalisations utilisées pour construire les bases POD. La robustesse des
modèles réduits POD-Galerkin vis-à-vis d’une variation d’un paramètre de l’écoulement est abordée au
chapitre 8.

2 Interaction tremblement/instabilité de von Kármán en écoule-
ment transsonique
L’écoulement autour d’un profil d’aile de type NACA0012 à incidence nulle est instationnaire en
régime transsonique comme cela a déjà été évoqué au chapitre précédent, où un écoulement gouverné par
l’instabilité de von Kármán a été étudié. Pour certains couples de nombres de Mach et de Reynolds, une
seconde instationnarité apparaît et se superpose au lâcher tourbillonnaire de von Kármán. Ce phénomène,
lié à l’oscillation des régions supersoniques de part et d’autre du profil, est appelé tremblement ou buffet
et peut conduire en pratique à une mise en vibration des surfaces portantes1 . Cette instationnarité peut
notamment induire une fatigue accrue des structures et diminuer leur manœuvrabilité. Il s’agit donc d’un
phénomène à atténuer, notamment via l’optimisation de forme ; il est donc important de parvenir à le
simuler efficacement. L’analyse du tremblement, de son interaction avec l’instabilité de von Kármán et sa
modélisation d’ordre faible constituent les objectifs de cette section. Le phénomène de tremblement est
en premier lieu décrit quantitativement sur la base de simulations directes issues du code ICARE/IMFT.
Par la suite, une analyse modale est proposée grâce à la décomposition aux valeurs propres. Enfin, un
1 Ce phénomène aéro-élastique qui met en jeu un mouvement de la surface portante est connu sous le nom de buffeting.

154

2. Interaction tremblement/instabilité de von Kármán en écoulement transsonique

modèle réduit POD-Galerkin est dérivé et évalué.

2.1 Phénomène de tremblement en régime transsonique
Le phénomène de tremblement autour de surfaces portantes en régime transsonique a fait l’objet de
nombreuses études expérimentales à grands nombres de Reynolds autour de profils d’aile comme cela a
déjà été évoqué au chapitre 2 (McDevitt et al., 1976; Seegmiller et al., 1978; Raghunathan et al., 1998).
D’une manière générale, ce phénomène est associé à une oscillation des ondes de choc présentes à l’extrados
ou de part et d’autre d’un profil d’aile en régime transsonique. L’oscillation des régions supersoniques
est souvent liée à l’apparition de décollements instationnaires de la couche limite qui peuvent donner
lieu à des échappements tourbillonnaires (§ 4 du chapitre 2). Pour des nombres de Reynolds modérés,
des études numériques antérieures ont montré, pour le cas de l’aile à incidence nulle (Bouhadji & Braza,
2003a,b), une dissociation nette des fréquences fondamentales de ces deux instationnarités, l’instabilité
de von Kármán présentant une fréquence plus élevée d’au moins un ordre de grandeur.
Pour des nombres de Mach et Reynolds égaux respectivement à 0.8 et 104 , l’écoulement étudié dans
cette section est soumis à un tremblement pleinement développé ainsi qu’à un lâcher tourbillonnaire lié
au décollement des couches limites en aval des régions supersoniques, comme dans le cas où ces régions
sont stationnaires. L’oscillation de plus basse fréquence des zones de sur-vitesse est illustrée sur la figure
7.1 par des iso-contours de nombre de Mach local à quatre instants successifs sur une demie-période de
tremblement.

(a) (b)
Mach: 0.40 0.48 0.55 0.62 0.70 0.78 0.85 0.93 1.00 Mach: 0.40 0.48 0.55 0.62 0.70 0.78 0.85 0.93 1.00

(c) (d)
Mach: 0.40 0.48 0.55 0.62 0.70 0.78 0.85 0.93 1.00 Mach: 0.40 0.48 0.55 0.62 0.70 0.78 0.85 0.93 1.00

Fig. 7.1 – Champs instantanés de nombre de Mach à quatre instants successifs sur une demie-période
de tremblement. Ecoulement autour d’un profil d’aile de type NACA0012 à incidence nulle, M = 0.8 et
Re = 104 .

L’interaction des deux instationnarités se traduit par une évolution fortement instationnaire du co-
efficient de pression pariétale comme illustré sur la figure 7.2. De plus, il apparaît clairement sur cette

155


figure que les points situés dans les régions en amont des poches supersoniques ne sont pas affectés par
l’instabilité de von Kármán se développant en aval. Les fréquences propres à chaque phénomène insta-
tionnaire sont identifiables sur ces courbes ; la superposition des deux est notable au niveau des points
situés près du bord de fuite.

A
B
C
D
-0.25

-0.3

-0.35
Cp

-0.4

-0.45

-0.5
A
C
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 D
Temps (s) B

Fig. 7.2 – Coefficient de pression instantanée aux points A, B, C et D au cours de deux périodes de
tremblement.

La fréquence adimensionnelle du mode de tremblement est Fbuffet = 0.082 et celle de l’instabilité de
von Kármán St = 1.65. Dans le cas précédemment étudié (Re = 0.5 × 104 , M = 0.85) la fréquence
fondamentale était St = 1.30. Vis-à-vis des efforts aérodynamiques s’exerçant sur le profil d’aile, le
tremblement conduit à une oscillation de plus basse fréquence et d’amplitude nettement supérieure par
rapport à l’instabilité de von Kármán. Les coefficients aérodynamiques instantanés sont présentés au §
2.3 pour l’évaluation de la précision du modèle réduit développé (figure 7.9).

2.2 Analyse modale par POD
Afin de définir un modèle d’ordre réduit de cet écoulement, une base POD est construite à partir de
clichés successifs issus du code de simulation directe ICARE/IMFT compressible. Par analogie à l’étude
menée dans le cas où l’écoulement était gouverné par la seule instabilité de von Kármán, une centaine
de réalisations sont stockées par période de Strouhal sur une période de tremblement. Ainsi Nt = 2200
clichés successifs sont considérés avec un pas de temps de collecte égal à ∆t = 1.9 × 10−5 s. La POD
vectorielle est adoptée comme dans le cas précédent et le produit scalaire consistant utilisé est ici fondé
sur la définition locale de la variance statistique (6.42).
Les contributions relatives de chaque mode POD à la capture de l’information statistique contenue
dans la base de données sont représentées sur la figure 7.3, ainsi que l’information cumulée associée aux
bases POD tronquées. Une comparaison des spectres obtenus pour la présente configuration et celle où
seule l’instabilité de von Kármán apparaît montre une forte modification de la pente spectrale et donc du
nombre de modes à retenir pour capturer une même quantité d’information. En particulier, l’information
capturée par la deuxième paire de modes augmente significativement dans le cas présent : 18.5% contre
2% dans le cas précédent. Ce comportement traduit, au niveau de la base POD, la plus grande richesse de
l’écoulement étudié dans cette section. La complexité accrue de la dynamique de l’écoulement apparaît
sur la matrice des corrélations temporelles représentées sur la figure 7.4, à comparer avec la figure 6.5
dans le cas sans tremblement.
Pour cette configuration d’écoulement, les Npod = 16 premiers modes POD permettent de retenir
99.9% de l’information statistique de la base de données et 34 modes sont nécessaires pour retenir 99.99%
comme dans le cas de la seule instabilité de von Kármán. Les huit premiers modes POD associés à la
vitesse longitudinale et à la pression sont représentés sur les figures 7.5 et 7.6, respectivement. Parmi
les premières paires de modes, il semble que la POD conduise à une identification efficace des deux dy-
namiques prédominantes. En effet, les premières et troisièmes paires sont associées à des oscillations de
part et d’autre du profil alors que la deuxième paire présente une allure similaire à celle obtenue dans
le cas de l’instabilité de von Kármán seule. Certains modes apparaissent ainsi associés au phénomène de
tremblement et d’autres à l’échappement tourbillonnaire de von Kármán. Les modes d’indices plus élevés
présentent des topologies plus complexes liées au couplage entre les deux instationnarités. Par ailleurs,
les modes POD représentent les corrélations spatiales des quantités physiques mises en jeu. Il apparaît

156


100
-1
10

Information relative cumulée (%)
Inf. rel. - tremblement
Inf. cumul. - tremblement 90
10-2
Information relative Inf. rel. - von Karman
Inf. cumul. - von Karman
-3
10 80

-4
10
Base POD 70
tronquée
16 modes - 99.9%
10-5
60
-6
10

10-7 50

5 10 15 20 25 30
Mode

Fig. 7.3 – Contribution relative de chaque mode POD à l’extraction de l’information statistique de la base
de données (axe de gauche - traits pleins) et information statistique cumulée de la base POD tronquée en
fonction du nombre de modes retenus (axe de droite - traits pointillés) dans le cas où seule l’instabilité de
von Kármán apparaît ( ) et lorsque se superpose à cette instabilité le phénomène de tremblement ( ).

0.04

Corrélation
0.03 1.0
0.8
0.6
Temps (s)

0.3
0.1
0.02 -0.1
-0.3
-0.6
-0.8
-1.0
0.01

0
0 0.01 0.02 0.03 0.04
Temps (s)

Fig. 7.4 – Matrice des corrélations temporelles normalisées.

ainsi sur le premier mode POD associé à la pression (figures 7.6) que l’oscillation lente des régions su-
personiques induit un mouvement d’oscillation du sillage à cette même fréquence. Ce phénomène est
effectivement observé près du bord de fuite comme le traduit l’évolution du coefficient de pression (figure
7.2).

L’identification des deux mécanismes physiques par les modes POD spatiaux se traduit au niveau des
coefficients temporels associés dans la décomposition aux valeurs propres. Les premiers coefficients issus
de la projection des clichés sur les modes POD sont représentés sur la figure 7.7. La fréquence propre de la
première paire de modes correspond à la fréquence du tremblement alors que les dynamiques temporelles

157


Mode 1 - u1 Mode 2 - u1




Fig. 7.5 – Premiers modes POD associés à la composante longitudinale de la vitesse. Les lignes pointillées
représentent les valeurs négatives.

des troisièmes et quatrièmes modes sont associées à l’instabilité de von Kármán. Le couplage entre les
deux phénomènes est illustré par la quatrième paire de coeﬃcients temporels qui oscillent à la fréquence
du lâcher tourbillonnaire tout en étant modulés par le phénomène de plus basse fréquence.

Dans ce contexte où les deux sources d’instationnarité présentent des fréquences fondamentales re-
lativement éloignées, la POD permet de découpler les deux phénomènes d’un point de vue spatial et
du point de vue de leurs dynamiques temporelles. De plus, bien que le nombre de modes à prendre en
compte dans la base tronquée soit plus élevé que dans le cas précédent une représentation d’ordre faible
satisfaisante peut-être obtenue. Dans la section suivante, le modèle d’ordre réduit POD-Galerkin associé
à cet écoulement est examiné.

158


Mode 1 - p Mode 2 - p




Fig. 7.6 – Premiers modes POD associés à la pression. Les lignes pointillées représentent les valeurs
négatives.

2.3 Modèle réduit POD-Galerkin
Un système d’équations différentielles ordinaires à 16 degrés de liberté est obtenu par la méthodologie
POD-Galerkin précédemment décrite. Les coefficients temporels de la décomposition aux valeurs propres
prédits par le modèle réduit calibré2 sont présentés sur la figure 7.73 . Le modèle réduit non calibré diverge
au-delà d’un horizon d’intégration correspondant à cinq périodes de l’instabilité de von Kármán, en raison
de l’instabilité structurale (Rempfer, 2000; Noack et al., 2003) évoquée précédemment. Le modèle réduit
calibré conduit à une prédiction fiable des dynamiques associées aux modes POD sur l’horizon temporel
de la base de données qui correspond ici à environ 20 périodes de l’instabilité de von Kármán. Aucune
dérive en amplitude significative n’est observée sur les premiers modes. Une légère atténuation peut être
notée à la fin de l’horizon d’intégration sur la quatrième paire.
2 La calibration de Floquet (portant sur le vecteur d’état) est ici mise en œuvre.
3 Sur cette figure et dans la suite de l’étude, les coefficients temporels sont présentés normalisés ; par définition a2 = λi .
i

159


1 1
a1/lambda1^1/2

a2/lambda2^1/2
0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400
Temps (s) Temps (s)

1 1
a3/lambda3^1/2

a4/lambda4^1/2
0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400
Temps (s) Temps (s)

1 1
a5/lambda5^1/2

a6/lambda6^1/2

0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400
Temps (s) Temps (s)

2 2

1 1
a7/lambda7^1/2

a8/lambda8^1/2

0 0

-1 -1

-2 -2
0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400
Temps (s) Temps (s)

Fig. 7.7 – Coefficients temporels associés aux premiers modes POD en fonction du temps : prédiction
par le ROM (lignes rouges) et référence ( ).

Les erreurs de représentation et de prédiction des variables physiques du modèle “haute-fidélité” sont
présentées sur la figure 7.8. Comme au chapitre précédent, l’erreur porte sur les fluctuations temporelles
des variables autour d’un champ moyen de référence supposé connu. L’erreur de représentation des clichés
3%
sur la base POD tronquée est environ égale à√ en moyenne (figure 7.8, ligne pointillée), en accord avec
le critère de troncature fixé à 99.9% puisque 0.0001 ≈ 3.2%. L’erreur liée à la prédiction des coefficients
temporels par le ROM apparaît plus importante que pour l’écoulement précédent (≈ 8.5% au maximum)
mais reste relativement proche de l’erreur de représentation.
Afin d’illustrer la précision du ROM, les coefficients aérodynamiques instationnaires issus de la si-
mulation directe et du modèle réduit sont représentés sur la figure 7.9. Les évolutions temporelles des
coefficients de traînée et de portance traduisent l’interaction du tremblement avec l’échappement tour-
billonnaire. Ces efforts aérodynamiques sont rigoureusement prédits par le modèle réduit. En particulier,
le comportement relativement irrégulier du coefficient de traînée est capturé précisément par le ROM.
La capacité du modèle réduit à prédire les coefficients temporels de la POD au-delà de l’horizon des

160


10
POD

Erreur relative instantanée (%)
9 ROM - Floquet

8

7

6

5

4

3

2
0 0.01 0.02 0.03 0.04
Temps (s)

Fig. 7.8 – Erreur relative instantanée de prédiction des variables d’état par le ROM calibré et erreur
d’approximation liée à la troncature de la base POD en fonction du temps.

Navier-Stokes Navier-Stokes
(a) POD
(b) POD
ROM 0.1 ROM
0.076
Coefficient de portance
Coefficient de traînée

0.05
0.0755

0

0.075

-0.05

0.0745
-0.1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0 0.01 0.02 0.03
Temps (s) Temps (s)

Fig. 7.9 – Coefficients de (a) traînée et (b) portance obtenus par l’approche “haute-fidélité”, après filtrage
POD et par le modèle réduit, en fonction du temps.

réalisations stockées dans la base de données est évaluée (figure 7.10). La prédiction des dynamiques
associées aux modes les plus énergétiques est stable sur la période suivante de tremblement (environ 20
périodes supplémentaires de l’échappement tourbillonnaire). Une certaine dérive en amplitude apparaît
pour les modes d’indices supérieurs au-delà de ce nouvel horizon.

1 1
a1/lambda1^1/2

a3/lambda3^1/2

0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 0.0800 0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 0.0800
Temps (s) Temps (s)

Fig. 7.10 – Coefficients temporels associés aux premier et troisième modes POD en fonction du temps :
prédiction par le ROM calibré (calibration du vecteur d’état) (lignes rouges) et référence ( ).

Dans cette section, la méthode POD-Galerkin a été mise en œuvre pour l’analyse physique et la
modélisation de dimension réduite d’un écoulement transsonique soumis au phénomène de tremblement.
Plus précisément, il a été montré que la POD pouvait conduire à une identification efficace des différents

161


mécanismes gouvernant l’instationnarité de l’écoulement et qu’un modèle réduit de dimension raisonnable
(16 modes) pouvait assurer une prédiction rigoureuse de l’interaction complexe entre l’instabilité de von
Kármán et le tremblement. Les principaux résultats présentés dans cette section ont été rapportés dans
l’article (Bourguet et al., 2007a) présenté dans l’annexe C.

En tenant compte de la diﬀérence d’ordre de grandeur des fréquences fondamentales associées aux
deux phénomènes physiques mis en jeu, l’écoulement considéré semble présenter un comportement quasi-
périodique certes plus complexe que dans le cas d’un simple échappement tourbillonnaire, mais exempt
d’évènements rares ou chaotiques. Dans la section suivante, le cas d’un écoulement tridimensionnel autour
d’une aile à forte incidence présentant un caractère moins régulier est examiné.

3 Modèle réduit de l’écoulement transitionnel compressible au-
tour d’une aile
L’étude rapportée dans cette section fait l’objet d’un article, rédigé en langue anglaise, soumis pour
publication. Il est retranscrit dans sa version originale et des compléments à l’analyse proposée sont
présentés au § 3.6.

162

3. Modèle réduit de l’écoulement transitionnel compressible autour d’une aile

Capturing transition features around a wing
by reduced-order modelling based on
compressible Navier-Stokes equations

R. Bourguet, M. Braza, A. Sévrain and A. Bouhadji

Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse, Allée du Pr. C. Soula, 31400 Toulouse, France

The three-dimensional transition in the flow around a NACA0012 wing of constant spanwise section at
Mach number 0.3, Reynolds number 800 and incidence 20o is investigated by direct numerical simulation
and low-order modelling. The interaction between the von Kármán and the secondary instabilities is
analysed. Irregular events modulating the spanwise undulation are highlighted and quantified. These
transition features, including local “intermittencies” in the secondary instability pattern are efficiently
captured by a reduced-order model derived by means of Galerkin projection of the compressible flow
Navier-Stokes equations onto a truncated proper orthogonal decomposition basis.

3.1 Introduction
In the context of complex aerodynamic flow prediction, the investigation of the transition to turbulence
is a challenging issue, especially for design purposes. To this end, the Direct Numerical Simulation (DNS)
is a powerful approach for physical analysis of fundamental mechanisms of the flow transition that appear
at low Reynolds number (Re ) and that persist at high-Re regimes. However, this approach demands a
considerable number of degrees of freedom to capture the flow physics. This is also the case for the Large
Eddy Simulation (LES), as well as for hybrid (statistical-LES) turbulence modelling, to achieve prediction
at high Re . Therefore, “physics-driven” Reduced-Order Models (ROMs) are needed. The transition to
turbulence around wings at high Re was analysed by a great deal of works (e.g. Arnal, 1992), whereas
it is less studied at low and moderate Re . Pulliam & Vastano (1993) have investigated the period-
doubling mechanism in two-dimensional flows around a NACA0012 airfoil. In the incompressible case,
Hoarau et al. (2003) studied the onset of the three-dimensional transition in the wake of a wing at high
incidence. The transition induced by compressibility effects in the high-transonic regime around a wing
has been examined by Bouhadji & Braza (2003a) in two dimensions and Bourdet et al. (2003) in three
dimensions. These studies quantified the predominant wavelengths concerning the von Kármán, shear-
layer and secondary instabilities, and the last analysed the nature of the secondary instability by a global
oscillator model. These works reported the high complexity of the flow transition in the incompressible and
in the high-transonic regimes. Therefore, in the present study, three-dimensional transition phenomena
are examined at the onset of compressibility effects as well as the ability of ROM in estimating them
appropriately.
During the two past decades, ROMs of low-Re periodic and transient wall flows have been developed
by means of Proper Orthogonal Decomposition (POD)-Galerkin approach (e.g. Deane et al., 1991; Noack
et al., 2003). Recent studies have proven the efficiency of such ROMs for the prediction of quasi-periodic
and more chaotic three-dimensional flows on the basis of DNS (Ma & Karniadakis, 2002) or LES (Couplet
et al., 2005) for example, and for turbulent flow analysis (Noack et al., 2008). However, the majority of
ROMs focus on the incompressible Navier-Stokes equations and only few studies deal with compressible
flows. Assuming isentropic conditions, Rowley et al. (2004) developed ROMs for compressible cavity flows.
The difficulties induced by coupling thermodynamic and kinematic state variables in the compressible
Navier-Stokes equations can be solved by considering an appropriate state formulation (Vigo et al.,
1998; Bourguet et al., 2007a, in two dimensions). In the present study, this formulation is extended
to the three-dimensional case and a consistent inner product is suggested for POD. The efficiency of
this ROM is examined in respect of capturing main three-dimensional transition features predicted by
DNS, especially irregularities that appear in space-time evolution of flow quantities. Section 3.2 briefly
describes the numerical method. Section 3.3 focuses on DNS results. Section 3.4 presents the ROM and
results regarding its reliability.

163


3.2 Numerical method
The complete, time-dependent Navier-Stokes equations have been solved in three dimensions under a
conservative form, in a general non orthogonal curvilinear coordinate system. The ICARE/IMFT software
for compressible flows around bodies has been employed. The Roe upwind scheme (Roe, 1981) has been
used to discretise the convection and pressure terms because of their hyperbolic character. The MUSCL
approach by Van Leer (1979) has been employed in order to increase the spatial accuracy from first to
second order. The diffusion terms have been discretised by second-order-accurate central differences and
the temporal terms by an explicit, second-order-accurate, four-stage Runge-Kutta scheme. The computa-
tional domain is a C-type grid (369 × 89 × 101) of 4 chord-lengths (c) in the spanwise direction, 6 c from
the leading edge to the upstream outer boundary and 10 c from the trailing edge to the downstream outer
boundary. The perfect gas equation is used as well as Sutherland’s law to define the dynamic viscosity.
The boundary conditions are no-slip and constant temperature on the wing, the upstream Mach num-
ber M = 0.3, Reynolds number Re = 800 and flow temperature T∞ = 300 K. Freestream conditions have
been imposed at the outer boundaries, except for the outlet boundary where a first-order extrapolation
has been used for the unknown variables. The side boundary conditions are Neumann type. Detailed grid
convergence and time-step studies have been performed previously in two and three dimensions to ensure
the validity of the numerical software, as well as numerical tests concerning the computational domain
size (Bouhadji, 1998; Bouhadji & Braza, 2003a). Moreover, the flow has been slightly perturbed by a ran-
dom field of small magnitude (10−4 u∞ ) introduced as freestream boundary condition for the transverse
velocity component to shorten the transient phase towards appearance of the secondary instability. This
technique had been carefully verified in previous studies concerning similar flow configurations (Braza
et al., 2001; Hoarau et al., 2003) where it was shown that the small perturbation magnitude has no effect
on the final instability development beyond the transient phase.

3.3 Three-dimensional transition in the flow around a wing
The flow around a NACA0012 wing at 20o of incidence in the above mentioned conditions exhibits
a strong unsteady character induced by the interaction between two instability modes, the von Kármán
and the secondary instabilities. The von Kármán instability induces a quasi-periodic alternating lea-
ding/trailing edge vortex shedding illustrated in figure 7.11(a). The Strouhal number associated with
the fundamental frequency of this instability has been evaluated on more than forty vortex shedding
events of the established three-dimensional flow and is found equal to 0.55. This is in good agreement
with incompressible flow simulations (Hoarau et al., 2003). The secondary instability appears as a large
spanwise wavelength undulation of the von Kármán vortex rows, accompanied by “braid”-like structures
of streamwise vorticity. This is illustrated in figure 7.11(b) by the iso-surface of Q criterion (Hunt et al.,
1988). The spanwise wavelength of the secondary instability is found in the range λ3 /c ∈ [0.74, 0.83] which
is comparable with experimental (Williamson, 1996a) and numerical (Braza et al., 2001) studies around
a circular cylinder at an equivalent Re. However, figure 7.11(b) shows spanwise events that modify the
secondary instability pattern, as described in the following.
The present aerodynamic lift (Cl ) and drag (Cd ) coefficients are close to those reported in Hoarau
et al. (2003). The time-averaged coefficients are Cl = 0.90 and Cd = 0.45 in two dimensions, Cl = 0.85 and
Cd = 0.43 in three dimensions. As in case of previous DNS, a reduction of the time-averaged values and
amplitudes of the lift and drag coefficients is observed between two- and three-dimensional simulations.
The present results show that the main features of the flow configuration of interest are rather similar to
lower Mach number flows. However, compressibility effects arise in the present case. In the acceleration
region on the upper side of the wing, the Mach number equals 0.45 and the relative density variations in
the field are higher than 20% of the upstream density.

Figure 7.11(b) shows chaotic states in the spanwise evolution of the vortex filaments. These consist of
irregular appearance of “rarefied” spanwise regions, where one spanwise-periodic event is missing and an
irregular vortex structure appears instead, breaking the continuous undulation of the von Kármán vortex
rows (see sketch in figure 7.11(b)). The present study aims at tracking these events and at quantifying
their impact in the flow transition. Figure 7.11(c) shows iso-surfaces of Mach number, also indicating
an irregular spanwise undulation and wavelength dispersion. The above mentioned irregularities can be
observed in the recirculation region at the upper side of the wing as illustrated in figure 7.12(a). In fi-
gures 7.12(b) and 7.12(c), instantaneous spanwise velocity profiles in the recirculation region are plotted.

164


Fig. 7.11 – Instantaneous (a) iso-contours of ω3 vorticity component at x3 /c = 2, (b) iso-surface of Q
criterion (Q = 0.3) coloured by iso-contours of ω1 , (c) iso-surfaces of Mach number (M = 0.21/0.32/0.39,
blue/yellow/red).

Space/frequency analysis is carried out on these signals to quantify the wavelength variation along the
span. Hilbert transform is used to ensure the amplitude demodulation and the Burg algorithm is applied
afterwards for Auto-Regressive (AR) power spectral density estimation (Marple, 1987). The predomi-
nant wavenumber is presented in figures 7.12(b) and 7.12(c) as a function of x3 /c. A strong wavelength
(phase) modulation occurs along the span, as well as a large variation of the velocity amplitude. In the
region where the phase modulation appears, there is a significant increase of the wavenumber of the
velocity signal related with irregular structure appearance. Figure 7.12(d) shows the temporal evolution
of the spatial power spectrum of u3 along a spanwise axis within the recirculation region. A significant
variation of the predominant wavelength occurs, as a function of time. This is closely associated with
the occurrence of phase and amplitude irregularities as illustrated in figure 7.12(c). This phenomenon
that appears randomly along the span in time and space, is called here “intermittency”, referring to the
regular pattern of the secondary instability. It is known that irregularities appear in bluff body wakes as
vortex dislocation patterns that consist of a junction of two adjacent von Kármán vortex rows (William-
son, 1996a; Braza et al., 2001). Moreover, in the incompressible case, Scarano et al. (2007) depicted a
“losange-like” modulation of the spanwise vortices by using tomographic particle image velocimetry. The
presently observed intermittencies could be induced by the onset of compressibility effects. The origin of
these irregular events could be investigated by using elliptic stability theory (Waleffe, 1990), on a single
undulated vortex row excited by small spanwise perturbations that could depend on Mach number. This
kind of study is beyond the objectives of the present work that focuses on elaboration of a low-order
model, able to capture the onset of compressibility, the secondary instability and the above mentioned
intermittent irregularities.

165


Fig. 7.12 – u3 (x1 /c = 0.71, x2 /c = 0.16) (a) as a function of time in 50 location points along the span ;
as a function of x3 /c at t = 0.1 s, (b) ; t = 0.74 s, (c) (plain lines, bottom axis). Predominant wavenumber
of u3 spectrum superimposed in (b) and (c) (squares, upper axis). (d) Spatial power spectrum density
of u3 along spanwise axis (x1 /c = 0.71, x2 /c = 0.16) as a function of time. Dashed line : sketch of the
predominant wavenumber evolution. The monitoring starts after approximately 20 von Kármán vortex
shedding events.

166


3.4 Low-order modelling for compressible flows
The ROM is constructed by performing a Galerkin projection of the compressible Navier-Stokes
equations onto a truncated POD basis. This needs an appropriate formulation of the flow quantities, as
well as a suitable, dimensionally consistent, inner product for POD basis extraction, as explicited in the
following. This method was previously used to derive ROM in the high-transonic regime (Bourguet et al.,
2007a). The ROM approach relies on the assumption that the flow physics can be described by a reduced
number of degrees of freedom. The present flow is governed by two main instabilities and shows a strong
quasi-periodic character induced by the von Kármán vortex shedding. Therefore this flow is, a priori, a
good candidate for low-order representation. However, the flow transition is characterised by irregular
events, that are challenging to capture by the low-dimensional approach.

Proper Orthogonal Decomposition
In the context of model reduction, the POD is often used to extract the most energetic modes that are
able to reconstruct the predominant flow structures. Assuming time-space separation, the POD consists
in expanding the vector of state variables v as a linear combination of specific deterministic spatial
eigenfunctions (Berkooz et al., 1993) :

∞ Npod
˜
v = v(x) + v (x, t) = v(x) + ai (t)Φi (x) ≈ v(x) + ai (t)Φi (x). (7.1)
i=1 i=1

˜
v and v are the mean and fluctuating state vectors. Npod is the number of retained POD modes. ai are
time-dependent functions and Φi orthonormal spatial modes. These are the successive solutions of the
following optimisation problem :
2
Φi+1 = arg max (˜ − Πi v , Ψ)
v ˜ subject to (Ψ, Ψ) = 1, (7.2)
Ψ∈L2 (Ω)d

where · denotes time-averaging operator. Ω ⊂ Rd−2 is the spatial domain and d is the number of
state variables (d = 5 in the three-dimensional case). Πi is the orthogonal projector onto the subspace
spanned by the ith first modes. (·, ·) denotes the spatial inner product. In the fully compressible case, the
kinematic variables are associated with two thermodynamic quantities. A dimensionally consistent inner
product is reached by a normalisation of each state variable contribution as follows :
d t0 +Ts
1 1
v I , v II = 2
I II 2
vi vi dx with σi = ˜2
vi dtdx. (7.3)
i=1
σi Ω Ts Ω t0

v I and v II are two given states. σi is the space-averaged variance of the ith variable and Ts is the time
2

interval of the snapshot series. POD modes are determined by means of “snapshot-POD” technique (Siro-
vich, 1987). The time-dependent evolution of the flow transition in two and three dimensions is studied by
considering two different series of flow fields containing each 400 snapshots. These data sets correspond
to four periods of the established von Kármán vortex shedding. The relative energy or statistical content
of each POD mode is measured by the relative magnitude of the corresponding eigenvalue (ζi ) of the
correlation matrix. This is shown in figure 7.13, as well as the cumulative energy conveyed by the POD
Npod Nt
basis, defined by INpod = i=1 ζi / i=1 ζi , where Nt is the number of snapshots. Most of the dynamic
system energy is represented by the first POD modes in both two- and three-dimensional cases. However,
figure 7.13 shows that the three-dimensional flow that involves complex instability interactions compared
with the two-dimensional one, requires more POD modes for the same INpod (representation quality).
INpod = 99% is chosen as a truncation criterion in the three-dimensional case and thus 28 modes are
retained. For the two-dimensional flow, a 8-dimensional POD basis is considered.

POD-Galerkin model
The compressible Navier-Stokes equations are expressed as quadratic fluxes by means of the following
t
state formulation : v = [1/ρ u1 u2 u3 p] as reported in Vigo et al. (1998). ρ is the density, ui are velocity
components, p is the pressure. Selected three-dimensional spatial POD modes are shown in figure 7.14.
Although they do not correspond to coherent structures, the three-dimensional POD modes efficiently

167


Fig. 7.13 – (a) Relative energy of each POD mode, (b) relative energy of the truncated POD basis as a
function of mode number, concerning the two- and three-dimensional snapshot series.

identify the von Kármán and the secondary instabilities, in the present case. The first pair combination
in the flow-field reconstruction yields the alternating vortex pattern. However, this vortex pattern is
highly modulated in the three-dimensional case. This modulation is captured by the higher-order modes
as shown in figure 7.14. For example, modes 3 and 4 are related to the reconstruction of the secondary
instability. These modes clearly exhibit a local modification of their spanwise pattern where intermittency
of the secondary instability occurs, as discussed in section 3.3 (see sketch in figure 7.14). Higher-order
modes present less organised patterns and can be associated with more chaotic phenomena related with
the interaction between the two instability modes. The time-histories of selected POD coefficients are
shown in figure 7.15. As expected, the first POD coefficients are close to periodic while higher-order ones
are not. The coefficients associated with the secondary instability (modes 3 and 4) are approximately
periodic at half frequency compared to the von Kármán instability. The higher-order coefficients display
significant amplitude and frequency modulations.
The Galerkin projection of the Navier-Stokes equations onto the truncated POD basis yields the
following quadratic polynomial ODE system, for i = 1, . . . , Npod :

Npod Npod
a = (C + C s ) + Lij + Ls aj + Qijk aj ak = fi (C s , Ls , a)

˙i i i ij
j=1 j,k=1 (7.4)
a (t ) = (v(·, t ) − v, Φ ) .

i 0 0 i

The constant coefficients are computed as follows : Ci = (F α − Aα , Φi ), Lij = (F α
11 11 1(j+1) + F (j+1)1 −
α

A1(j+1) − A(j+1)1 , Φi ) and Qijk = (F (j+1)(k+1) − A(j+1)(k+1) , Φi ). Greek sub- and superscripts are used
α α α α

to specify implicit summations. In the three-dimensional case :
 (1/ρ) (1/ρ)

Φj ui Φk,i − Φj u 0
 
Φk,ii
(1/ρ)
Φj Φk,i + Φj (1/ρ) Φk,i δ1i 
p
 ui u 1
Φj τ1ik,i
  
 
i (1/ρ)
Φ ui Φ u2 + Φ (1/ρ) Φ p δ  , F i = 
 
Ajk =  j jk Φj τ2ik,i ,

(7.5)
j k,i 2i 
 ui k,i3

(1/ρ) p
 (1/ρ) 
Φ Φ u
+Φ Φ δ3i 
  Φj τ3ik,i 
j k,i j k,i
p (1/ρ)
γΦj p Φk,ii + Φj ui Φk,i
u p γµ
Pr (Φj Φk ),ii + (γ − 1)Φj,i α ταik
u

u
where τijk = µ(Φk,ji + Φk,ij − 2/3Φk,α δij ) and Φ = [v Φ1 . . . ΦNpod ]. µ is the fluid viscosity. In the
u uα

ROM, this is assumed constant to allow evaluation of all the ODE coefficients, once for all. γ = 1.4
is the polytropic coefficient and Pr = 0.72, Prandtl number. δij is Kronecker symbol. ·,i denotes space
derivative in direction i. ROM integration is ensured by a fourth-order-accurate Runge-Kutta scheme. As
reported in Noack et al. (2003), dynamical systems issued from POD-Galerkin methodology are subject
to structural instabilities. To ensure ROM accuracy, different approaches have been envisaged in the
litterature and especially calibration procedures. A linearised calibration method is adopted here in a
similar way to Couplet et al. (2005) in the incompressible case. The calibration coefficients C s and Ls

168


Fig. 7.14 – Selected POD modes, concerning the kinematic and thermodynamic quantities. Light/dark
grey : positive/negative valued iso-surfaces.

Fig. 7.15 – Time-history of selected POD coeﬃcients issued from : snapshot projection onto POD modes
(circles), ROM integration (plain lines), over four periods of the von Kármán vortex shedding (snapshot
temporal horizon).

169


Fig. 7.16 – Relative L2 prediction errors of : (a) POD time-dependent coefficients for each mode, (b)
state vector fluctuations as a function of time, over the time interval of the snapshot series. In (b), both
POD basis truncation and ROM errors are plotted.

are found by minimising the following function :
2 2
E (C s , Ls ) Cs Npod + Ls 2
Npod
J (C s , Ls , θ) = θ + (1 − θ) 2 2 , (7.6)
E 0Npod , 0Npod
2 C Npod + L 2
Npod

2 2 2
where the norms are defined by C Npod = Cα and L 2
Npod
= L2 . The linearised prediction error
αβ
N t +T t
is : E(C s , Ls ) = i=1 t00 s (ai (t) − ai (t0 ) −
pod s s
f (C , L , apod )dt )2 dt, where apod are the reference
t0 i
POD coefficients. The blending coefficient 0 < θ < 1 is chosen to control the weight of the calibration
coefficients compared to those issued from Galerkin projection. This coefficient can also be regarded
as a regularisation parameter in Tikhonov’s regularisation framework (Tikhonov & Arsenin, 1977). A
calibration cost lower than 30% is considered in the three-dimensional case. As shown in figure 7.15, the
calibrated ROM achieves prediction of the POD time-dependent coefficients that provide a satisfactory
flow reconstruction even in case of non-periodic evolutions, as detailed at the end of the present section.
The relative L2 prediction error of the temporal coefficients remains small even for the higher order
modes (figure 7.16(a)). The accuracy of the ROM is confirmed by the low values of the state vector pre-
diction error over the entire spatial domain (figure 7.16(b)). Moreover, the difference between ROM and
POD errors is very small. This means that the major part of the ROM error with respect to “high-fidelity”
results is induced by the POD basis truncation in both two- and three-dimensional cases. The aerody-
namic coefficients versus time estimated by the ROM present a good comparison with those predicted
by DNS (figure 7.17). This is an interesting aspect concerning the use of ROM in design procedures.
Instantaneous flow fields issued from DNS and ROM are compared at the final ROM integration time
(last snapshot) in figure 7.18. The pressure coefficient is accurately estimated by the present low-order
approach (figure 7.18(a)). Moreover, the spanwise pattern including irregularities of the secondary insta-
bility is well captured (figure 7.18(b-d)).

3.5 Conclusion
The three-dimensional transition in the flow around a NACA0012 wing of constant spanwise section, at
low Mach number and high incidence has been investigated. The appearance of preferential wavenumbers
due to the von Kármán and secondary instabilities has been analysed. Intermittent modulations of the
secondary instability have been identified and quantified. The transition process including these irregular
events has been captured by an appropriate low-order model derived from the compressible Navier-Stokes
equations by means of POD-Galerkin approach. The present ROM provides an accurate simulation of
both kinematic and thermodynamic quantities.

170


Fig. 7.17 – Unsteady aerodynamic (a) lift and (b) drag coefficients issued from DNS, truncated POD
basis representation and ROM, as functions of time.

Fig. 7.18 – Instantaneous iso-contours at final ROM integration time (t = 0.0695 s) : (a) the pressure
coefficient at x3 /c = 2, (b) the transverse velocity component at x1 /c = 1.5 ((x3 , x2 ) plane). Red dashed
line in (a) : location of plane (x3 , x2 ) in (b). DNS : plain iso-lines and iso-colour contours. ROM : dashed
iso-lines. Instantaneous iso-surfaces of ω3 = −1/1 in black/grey and ω2 = −0.5/0.5 in yellow/red in the
wake, at final ROM integration time (t = 0.0695 s) : (c) DNS, (d) ROM.

171


3.6 Analyse des intermittences de l’instabilité secondaire
Cette section propose un complément à l’analyse des irrégularités spatio-temporelles de l’instabilité
secondaire. Il est rappelé que cette instabilité correspond à l’ondulation transversale des tourbillons de
von Kármán. En premier lieu, quelques résultats supplémentaires représentatifs de la tridimensionnalité
de l’écoulement considéré sont présentés puis la stratégie de traitement des signaux mise en œuvre dans
l’article est brièvement décrite.

Diagrammes spatio-temporels
Les évolutions spatio-temporelles des variables d’état le long de deux lignes transversales situées
dans la zone de recirculation (x1 /c = 0.71, x2 /c = 0.16) à l’extrados de l’aile et dans le sillage proche
(x1 /c = 1.18, x2 /c = 0.04) sont représentées sur la figure 7.19. Ces différents diagrammes montrent
qu’après une phase de croissance, l’instabilité secondaire pleinement développée donne lieu à un sillage
fortement tridimensionnel. Au cours de la première phase d’établissement (pour t < 0.15s environ),
l’ondulation transversale des tourbillons de von Kármán est régulière. Par la suite, l’instabilité secondaire
perd son caractère strictement périodique et des irrégularités marquées apparaissent. Ce phénomène a
été décrit précédemment d’un point de vue quantitatif par une analyse “fréquentielle” à la fois spatiale
et temporelle de signaux provenant de la région du sillage proche. Les techniques utilisées pour effectuer
cette étude sont présentées ci-dessous.

Transformée de Hilbert
Afin d’examiner la régularité de l’instabilité secondaire, des signaux instantanés le long de l’envergure
du profil tels que ceux présentés sur les figures 7.12(b) et (c) sont considérés. Une étude quantitative de
l’évolution de la phase spatiale et de l’amplitude de ces signaux peut être envisagée grâce à la transformée
de Hilbert qui s’avère particulièrement adaptée à l’analyse des signaux à bande étroite. La transformée
de Hilbert d’un signal s dépendant d’une variable x s’écrit :
∞
1
s (x) =
ˆ s (ζ) h (x − ζ) dζ avec h (x) = . (7.7)
−∞ πx

ˆ
Du point de vue spectral, si S et S désignent les transformées de Fourier de s et s respectivement, il
ˆ
s’ensuit : 
−iS (κ)
 si κ > 0
ˆ
S (κ) = 0 si κ = 0 (7.8)

iS (κ) si κ < 0.


La transformée de Hilbert conduit ainsi à un déphasage de −π/2 des fréquences positives et π/2 des
fréquences négatives. En considérant le signal complexe z formé à partir du signal et de sa transformée
tel que
z (x) = s (x) + iˆ (x) = A (x) eiφ(x) ,
s (7.9)
l’enveloppe “instantanée” 4 du signal correspond au module A(x) et la phase instantanée à l’argument φ(x).
Cette transformation permet donc d’accéder aux modulations d’amplitude et de phase du signal. Pour
plus de détails concernant la transformée de Hilbert, le lecteur pourra se référer à l’ouvrage de Papoulis
(1962), par exemple. Dans la présente étude, cette technique est appliquée directement pour déterminer la
variation spatiale de la fréquence de l’instabilité secondaire le long de l’envergure. Sur la figure 7.20 sont
représentés les amplitudes et les angles de phase instantanés obtenus par la transformée de Hilbert des
signaux de vitesse transversale tracés sur les figures 7.12(b) et (c). Le premier signal, quasi-périodique,
permet une validation de la méthode qui restitue une légère variation d’amplitude observée au-delà de
x3 /c = 2.5 alors que la phase croît linéairement de telle sorte que φ(x3 /c) ≈ ωx3 /c + ω0 . Le second signal
présente une forte modulation d’amplitude et de phase. Dans ce cas, le fait que la phase ne soit plus
une fonction affine de la distance x3 /c trahit le caractère non-périodique de l’évolution transversale de la
vitesse et donc une irrégularité spatiale de l’instabilité secondaire.
L’enveloppe du signal estimée grâce à la transformée de Hilbert est également utilisée pour démoduler
le signal avant d’effectuer une analyse spectrale par l’approche paramétrique présentée ci-dessous.
4 La transformation de Hilbert est ici mise en œuvre dans le domaine spatial (selon l’envergure de l’aile).

172


A
B

Fig. 7.19 – Iso-contours représentant l’évolution spatio-temporelle des variables d’état le long de deux
lignes transversales repérées par les points A (a-e) et B (f-j). Le tracé débute après 20 périodes de
l’instabilité de von Kármán. Les unités des grandeurs physiques sont les mêmes que sur la ﬁgure 6.2.

173


(a)15 (d)
15
10
10
5 5
u3 (m/s)

u3 (m/s)
0 0

-5
-5
-10
-10
-15
-15
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
x3/c x3/c
(b) (e)
20 20
Amplitude (m/s)

Amplitude (m/s)
15 15

10 10

5 5

0 0
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
x3/c x3/c
(c) (f)
30 30 Modulation de phase
25 25
Phase (rad)

Phase (rad)

20 20

15 15

10 10
Phase Phase
Tendance Tendance
5 5

0 0
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
x3/c x3/c

Fig. 7.20 – Analyse des signaux instantanés de vitesse transversale obtenus aux instants t = 0.1s (a-c)
et t = 0.74s (d-f) le long de l’envergure de l’aile (point A sur la figure 7.19) par transformée de Hilbert :
(a) et (d) signaux instantanés, (b) et (e) amplitudes, (c) et (f) phases instantanées.

Modèle auto-régressif pour l’estimation de la densité spectrale de puissance

Deux approches distinctes sont mises en œuvre pour l’analyse spectrale des intermittences spatio-
temporelles de l’instabilité secondaire. D’une part, la méthode du périodogramme est utilisée pour l’esti-
mation des spectres de puissance de signaux tels que ceux présentés sur la figure 7.20. D’autre part, une
analyse fréquentielle locale est proposée grâce à une approche paramétrique. Cette analyse est illustrée
sur les figures 7.12(b) et (c) qui montrent l’évolution de la fréquence spatiale prédominante en chaque
point de l’envergure de l’aile. Pour cela un modèle Auto-Régressif (AR) de la forme générique suivante
est utilisé, pour l’approximation d’un signal discret s au point n :

p
s (n) = cj s (n − j) + B (n) , (7.10)
j=1

où B est un bruit blanc discret stationnaire et les cj sont des coefficients constants, les paramètres du
modèle, à déterminer. Dans cette étude un modèle AR d’ordre quatre est utilisé (p = 4). De nombreuses
méthodes existent pour la détermination des coefficients des modèles AR. L’algorithme récursif de Burg
est ici utilisé (Morettin, 1984, par exemple). Le modèle AR étant défini, une estimation de la densité
spectrale de puissance du signal s est alors obtenue ainsi :

σ2
P (κ) ≈ p , (7.11)
|1 + cj eiκj |2
j=1

174


où σ 2 désigne la variance du bruit B. L’avantage de cette approche paramétrique par rapport à la
méthode du périodogramme est la possibilité d’effectuer des analyses à court terme, dans le cas présent,
en considérant une fenêtre glissante correspondant environ à 1/5 de l’envergure de l’aile, ce qui semble
impossible en utilisant la transformée de Fourier qui nécessite des échantillons longs. Par contre, le choix
du degré du modèle AR ainsi que la dépendance forte vis-à-vis de la taille de la fenêtre d’étude en font une
méthode délicate à mettre en œuvre a priori, sans estimation des fréquences prédominantes du phénomène
étudié. Comme le montre le tracé des maxima successifs de la densité spectrale de puissance sur les figures
7.12(b) et (c), cette approche permet une quantification précise de la modulation de phase des signaux
qui peut-être comparée aux résultats obtenus par la transformée de Hilbert (figure 7.20 (c) et (f)). Les
algorithmes classiquement utilisés pour l’estimation des paramètres des modèles AR sont détaillés dans
Marple (1987), par exemple.

3.7 Robustesse de la base POD vis-à-vis des évènements rares
L’écoulement tridimensionnel étudié présente une forte composante périodique liée à l’instabilité de
von Kármán. Néanmoins, en raison de l’apparition d’intermittences dans l’ondulation transversale des
structures contra-rotatives propres à cette instabilité, des structures irrégulières et la formation de “trous” 5
sont observées dans le sillage. L’analyse précédente a montré que ces irrégularités pouvaient être capturées
par les modes POD comme l’illustre la figure 7.14.
Dans ce contexte, quelle est la pertinence d’une base POD construite à partir de réalisations collectées
sur un horizon temporel donné pour la représentation de l’écoulement au-delà de cet intervalle ? Une
illustration de la dépendance des modes POD vis-à-vis des données utilisées pour les générer est proposée
sur la figure 7.21.

(a) (b)
100 100


90 90

80 80 2D - 99.9%
3D - 99.1%
70 2D - 99.9% 70

60 60

50 50 3D - 67.7%

40 40 2D
2D
30 3D 30 3D

20 20
5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30
Mode Mode

Fig. 7.21 – Information statistique capturée par la base POD tronquée en fonction du nombre de modes
(a) sur l’horizon temporel des clichés, (b) au cours de la période de l’instabilité de von Kármán suivante,
dans les cas bidimensionnel et tridimensionnel.

Sur ces diagrammes sont représentés les informations statistiques capturées par des bases POD tron-
quées sur l’intervalle de collecte des clichés (a) et au-delà (b), dans les cas bi- et tridimensionnel. Le
produit scalaire consistant fondé sur une normalisation par la moyenne de la variance statistique est
utilisé ; l’énergie relative capturée par les Npod premiers modes s’exprime donc comme suit :
Npod T
1
INpod = (v − v, Φi )2 dt. (7.12)
Td i=1 0

Dans le cas bidimensionnel strictement périodique, la base POD construite sur un intervalle temporel
donné parvient parfaitement à extraire l’information statistique de nouveaux clichés, sans perte d’ef-
ficacité. Dans le cas tridimensionnel, plus chaotique, une chute de la représentativité de la base POD
d’environ 30% est observée. Ce phénomène a également été mis en évidence par Buffoni et al. (2006) pour
5 Il s’agit ici de régions du sillage où les composantes longitudinale et verticale de la vorticité s’annulent sur une portion

de l’envergure de l’aile (figure 7.11(a)).

175


une autre configuration tridimensionnelle. Même si l’information capturée par les deux premiers modes
diminue peu en raison de la quasi-périodicité de l’instabilité de von Kármán dont ils sont représentatifs,
une perte globale est observée, quel que soit le nombre de modes retenus. Autrement dit, la base POD ne
constitue pas une base complète des nouveaux clichés. Une telle chute de la représentativité des modes
POD rend-elle la base correspondante obsolète ? Il s’agit d’un point délicat car les évènements rares non-
représentés par la base POD originale peuvent à la fois correspondre à de petites fluctuations chaotiques
dans la base de données qui n’ont pas véritablement de sens du point de vue de la dynamique globale
de l’écoulement, mais aussi à des intermittences de plus grande ampleur traduisant simplement son ca-
ractère non-périodique. Afin de distinguer les évènements erratiques significatifs des petites fluctuations
chaotiques dans la base de données, des stratégies de filtrage a priori des clichés pourraient par exemple
être mises en œuvre. Par ailleurs, dans le cas où la diminution de la représentativité de la base POD
est liée à une évolution du champ moyen6 , des modes correctifs tels que les shift modes proposés par
Noack et al. (2003) peuvent être ajoutés arbitrairement à la base POD tronquée. Ce point sera abordé
au chapitre suivant.

4 Modèle réduit d’écoulements turbulents
Les écoulements considérés jusqu’à présent dans cette étude sont laminaires ou transitionnels. Ils
correspondent à des configurations où le nombre de Reynolds reste modéré. Afin d’envisager l’approche
POD-Galerkin comme une étape de la modélisation hiérarchique d’écoulements aérodynamiques réalistes
et significatifs d’un point de vue applicatif, il apparaît important de considérer le cas des écoulements
à grands nombres de Reynolds. L’objectif est ici d’appliquer la méthode de réduction de modèle pré-
cédemment décrite aux écoulements turbulents simulés par les approches statistiques telles que celles
présentées au chapitre 4 de ce mémoire et en particulier l’approche Organised Eddy Simulation aniso-
trope (§ 4 du chapitre 4). Dans ce contexte, les équations de Navier-Stokes en moyenne7 couplées à un
modèle de turbulence constituent le modèle “haute-fidélité” et le passage au système dynamique par la
méthode POD-Galerkin représente un second niveau de modélisation. Dans cette section, un bref tour
d’horizon de différents travaux rapportés dans la littérature concernant la modélisation POD-Galerkin
d’écoulements turbulents est proposé. Par la suite, cette méthode est appliquée au cas d’un écoulement
turbulent fortement décollé autour d’un profil d’aile simulé via l’approche OES anisotrope développée
précédemment.

4.1 Modèles POD-Galerkin d’écoulements turbulents dans la littérature
La méthodologie POD-Galerkin a été appliquée à la modélisation d’écoulements turbulents sur la
base de données expérimentales et de simulations numériques diverses. Bien que la présente étude soit
consacrée à la simulation numérique d’écoulements, les approches d’ordre réduit mises en œuvre dans
le contexte expérimental, notamment les fermetures des POD ROM pour la prise en compte des modes
tronqués, semblent intéressantes car éventuellement transposables au cas de la prédiction numérique.

Ecoulements turbulents expérimentaux
L’approche POD-Galerkin a été utilisée pour la représentation d’écoulements turbulents sous forme
de systèmes dynamiques de petites dimensions à partir de bases de données expérimentales. Ainsi, Aubry
et al. (1988) proposent un modèle d’ordre réduit de couche limite turbulente incompressible mettant en
jeu des fonctions propres obtenues expérimentalement. Le modèle physique original est le système des
équations de Navier-Stokes. L’effet des modes POD négligés après troncature est introduit dans le système
via une viscosité de turbulence. Cette méthode de fermeture est proche du modèle de Smagorinsky utilisé
en simulation aux grandes échelles et suppose que le seul effet induit par les interactions avec les modes
tronqués est dissipatif. Bien que la modélisation proposée pour le tenseur des contraintes des modes non
résolus comprenne une constante arbitraire à ajuster, les résultats issus de ce modèle réduit conduisent
à une description efficace de la dynamique de l’écoulement expérimental. Le même type de fermeture est
mise en œuvre par Ukeiley et al. (2001) pour l’étude expérimentale d’une couche de mélange turbulente.
6 Les processus considérés ne sont alors plus stationnaires d’un point de vue statistique.
7 D’ensemble ou de phase pour l’approche OES.

176

4. Modèle réduit d’écoulements turbulents

Plus récemment, Samimy et al. (2007) utilisent la formulation suggérée par Rowley et al. (2004) pour
développer un modèle d’ordre réduit représentatif d’un écoulement de cavité contrôlé pour des nombres de
Mach et Reynolds égaux à 0.3 et 105 respectivement. Les données expérimentales considérées sont issues
de vélocimétrie par imagerie de particules. Dans ce cas également, l’effet de la troncature des modes est
pris en compte par une viscosité de turbulence additionnelle8 .
Il apparaît ainsi que l’application de l’approche POD-Galerkin aux écoulements expérimentaux dans
le cas turbulent diffère peu du cas laminaire, des termes dissipatifs additionnels étant dans tous les cas
introduits pour pallier l’instabilité naturelle de cette approche.

Ecoulements turbulents simulés numériquement
Dans le cas d’un écoulement turbulent de marche descendante prédit par simulation aux grandes
échelles, Couplet et al. (2005) suggèrent de considérer comme modèle “haute-fidélité” les équations de
Navier-Stokes classiques (non moyennées) et de corriger l’erreur commise en ne tenant pas compte des
contraintes de sous-maille a posteriori par une procédure de calibration décrite au chapitre précédent.
Un point important de l’analyse proposée par Couplet et al. (2005) est que l’effet lié à la troncature de
la base POD dans un cas où la dynamique de l’écoulement s’avère relativement complexe, est bien plus
important que celui lié à la non prise en compte du tenseur des contraintes de sous-maille.
Concernant les écoulements simulés par des approches statistiques, un modèle réduit de l’écoulement
turbulent bidimensionnel autour d’un cylindre de section carrée est présenté par Iollo et al. (2000). Le
système des équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds (URANS) fermé grâce à un modèle à
deux équations de type k − ε est considéré pour générer les réalisations de référence. Le modèle physique
considéré pour la construction du modèle réduit est le système des équations de Navier-Stokes comme
dans le cas précédent. L’instabilité du ROM ainsi développé est alors contrôlée par l’ajout de dissipations
numériques9 .
Dans ce contexte, il semblerait judicieux de considérer comme modèle physique de référence le sys-
tème complet, couplant les équations de Navier-Stokes en moyenne à la fermeture turbulente mise en
œuvre pour générer la base de données. Une telle approche est suggérée par Vigo (2000) pour le modèle
de turbulence à une équation de transport de Spalart & Allmaras (1992). Une première étape consiste
à générer une base POD propre aux quantités turbulentes à transporter dans le vecteur d’état, puis à
effectuer la projection de Galerkin des équations de transport associées à ce vecteur d’état. La principale
difficulté est alors de trouver une formulation des variables turbulentes conduisant à un flux polynomial.
Une telle formulation ne pouvant être obtenue pour le modèle de Spalart & Allmaras (1992), Vigo (2000)
propose de considérer la viscosité de turbulence moyenne ; cette approximation semble satisfaisante sans
pour autant conduire à un ROM stable.

Par ailleurs, Noack et al. (2008) proposent d’aborder le problème de la fermeture du ROM directe-
ment dans l’espace des phases et non en projetant un modèle de turbulence donné sur la base modale.
Cette approche, dénommée Finite-Time Thermodynamics (FTT), se fonde sur des principes thermody-
namiques simples pour élaborer un modèle réduit dit de “Galerkin-Reynolds”. Ce modèle réduit conduit à
la prédiction des coefficients temporels moyens10 et à l’estimation du “niveau d’énergie” de chaque mode
(ai )2 /2. Cette méthodologie semble pouvoir être appliquée à la réduction de modèle pour des écoule-
ments turbulents simulés par DNS ou LES. Elle apparaît particulièrement prometteuse pour la prise en
compte de l’effet des modes non résolus dans le ROM, mais aussi pour le développement de modèles de
fermeture dans l’espace physique.

Au cours de la présente étude, une stratégie de modélisation statistique avancée de la turbulence a
été développée dans le contexte de l’approche Organised Eddy Simulation pour l’amélioration de la pré-
diction des propriétés structurales de la turbulence dans les régions hors-équilibre. Cette méthodologie
se fonde sur un modèle de turbulence à deux équations auquel sont adjointes des équations de transport
supplémentaires pour la capture des non-linéarités entre contraintes turbulentes et tenseur des déforma-
tions moyennes. Il ne semble pas envisageable d’obtenir une formulation polynomiale de ce modèle de
8 Dans cette étude une viscosité de turbulence différente est attribuée à chaque mode en suivant les conclusions de Couplet

et al. (2003)
9 Iollo et al. (2000) montrent également que l’utilisation d’un produit scalaire dans H 1 conduit à des modèles POD-

Galerkin plus stables dans les cas laminaire et turbulent.
10 Moyennes d’ensemble, de phase, . . .

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Bourguet4

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