Recursive finite-domain programs and pushdown transducers

U N I V E R S I D A D E L U S Í A D A D E L I S B O A

Faculdade de Ciências da Economía e da Empresa

Mestrado em Ciências da Computação

Programas recursivos de domínio finito

Hercílio Rui Dinis Duarte

Lisboa

Maio 2012

U N I V E R S I D A D E L U S Í A D A D E L I S B O A

Faculdade de Ciências e da Economía da Empresa

Mestrado em Ciências da Computação



Lisboa

Maio 2012

APRESENTAÇÃO



Após verificar estudos anteriores sobre automatos finitos deterministicos e não
deterministicos, surge a necessidade de se efectuar um estudo sobre programas de
dominio finito, embora o presente trabalho irá simplesmente especializar-se nos
recursivos.

Neste trabalho, iremos estudar sobre os programas recursivos de dominio finito
baseando-se em transdutores que permitem fazer um controle recursivo de estados
finitos, ou seja, transdutores pushdown.

Após verificar-se resultados e concluir suas vantagens, iremos então simplificar este
trabalho ao simplifica-lo num diagrama mais simples.

Palavras-chave: Transdutores de estados finitos, Recursividade, Pilhas, Transdutores
pushdown

PRESENTATION

Recursive finite-domain programs


After verifying previous studies on deterministic finite automata and non-deterministic,
there is a need to conduct a study on finite domain programs, although this work will
specialize in just recursive.

In this paper, we study about the domain of recursive programs based on finite
transducers that allow a recursive finite state control, ie, pushdown transducers.

After checking up the results and conclude its advantages, then we will simplify the job
simplifying it to a simple diagram.

Keywords: finite-state tranducers, Recursion, Stacks, Pushdown transducers

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Ilustração 1 – Representação do processamento de uma pilha ........................................... 16

Ilustração 2 – Representação das partes de um transdutor pushdown. (GUARARI
Eiton, 1998) ......................................................................................................................... 18

Ilustração 3 – Representação da abordagem sintática da Web 1.0 e 2.0 (GUARARI
Eiton, 1998) ......................................................................................................................... 21

Ilustração 4 – Diagrama de estados do transdutor pushdown (GUARARI Eiton, 1998)........ 22

PROGRAMAS RECURSIVOS DE DOMÍNIO FINITO

LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E ACRÓNIMOS

PLN - Processamento de Linguagens Naturais
AFD - Autómatos Finitos Deterministicos
AFND - Autómatos Finitos Não Deterministicos
LIFO - Last in First Out

Hercílio Rui Dinis Duarte 13


SUMÁRIO

1. Introdução .................................................................................................... 15
2. Programas recursivos de domínio finito ....................................................... 16
2.1. Recursividade ........................................................................................ 16
2.1.1. Tipos de recursividade .................................................................... 17
2.1.2. Descrições resumidas sobre recursividade ..................................... 18
2.2. Estrutura de uma pilha ........................................................................... 18
2.3. Trasndutores baseados em pilhas (pushdown) ..................................... 19
2.3.1. Estrutura .......................................................................................... 20
2.3.1.1. Fita de entrada (Input tape) ....................................................... 20
2.3.1.2. Cabeçalho de entrada (Input head)........................................... 20
2.3.1.3. Controlo do estado finito ........................................................... 21
2.3.1.4. Cabeçalho de saída .................................................................. 21
2.3.1.5. Fita de saída ............................................................................. 21
2.3.1.6. Cabeçalho pushdown (escrita e leitura) .................................... 21
2.3.1.7. Fita pushdown ........................................................................... 21
2.3.2. Cálculo de uma relação pelo transdutor pushdown ......................... 21
2.3.3. Diagrama em grafo do transdutor pushdown .................................. 22
3. Conclusão .................................................................................................... 24



1. INTRODUÇÃO

A teoria da computação apresenta uma diversa e complexa relação de várias relações
capazes de simular qualquer realidade automática. Nesta viajem, entende-se a
essência do funcionamento dos sistemas, o que está por trás, quais as principais
barreiras entre a compreensão homem-máquina assim como a relação de
compreensão entre estes.

Tal como foi proposto, começou-se por estudar a compreensão e o processamento
das linguagens naturais (PLN). Agora a realidade tornou possivel o estudo de
formalismos que representam a comunicação nos dispositivos computacionais. O
presente trabalho vem aboradar aspectos relacionados a programas que dependem
de memórias finitas e que de maneira recursiva simplificam os cálculos.

Os transdutores são tidos como dispositivos que convertem um tipo de energía para
outro, é muito usado na electricidade. Mas para a nossa realidade o termo transdutor
será aplicado pelo facto deste ser um dispositivo em que antes de fornecer um
determinado resultado primeiro trata de aplicar antes suas propriedades previamente
programadas. Pois atravês de uma sequência de acções iremos verficar como estás
propriedades se desenvolvem.



2. PROGRAMAS RECURSIVOS DE DOMÍNIO FINITO

MOREIRA (1997) afirma que, os modelos de computação podem ser caracterizados
em termos do tipo de memória que possuem e como se tem acesso a ela.

Cada tarefa de computação finita pode ser realizada por um circuito combinacional.
Embora este conceito seja muito importante, mas não é tão prático. Não podemos
simplesmente projectar um circuito especialmente a cada tarefa computacional. Em
vez disso, é aconselhavel executar tarefas computacionais com máquinas que
funcionam com uma memória auxiliar para o controle do fluxo de dados. (SAVAGE
John, 1997)

Apartir do conceito acima, temos então as máquinas de memória finita e as máquinas
de memória finita com característica recursiva.

Podemos pensar que uma das formas de determinarmos a recursividade de um
programa de domínio finito é através da observação e descrição dos elementos
relacionados a memória. A memória deverá permitir um acesso recursivo de maneira
finita aos seus objectos pré-definidos.

Segundo SAVAGE (1997), os programas recursivos de domínio finito, funcionam tendo
em sua base a implementação de uma memória auxiliar Pushdown (uma pilha), isto é,
o armazenamento sobre esta é efectuado numa ordem LIFO (Last In, First Out).

2.1. RECURSIVIDADE

Segundo CRESPO (2001), A recursividade1 é a metodología de descrever uma
estrutura, em que um dos elementos é a descrição da própria estrutura.

A recursividade permite que possamos definir infinitos objectos de uma maneira
simples e objectiva. É uma técnica bastante poderosa para o desenvolvimento de
algoritimos.

Podemos verificar um comportamento recursivo na definição de uma função factorial:

1
Em outras palavras significa recorrência, enquanto uma data equação não é igualada a
definição de sua base.



1 se n  0 e
n! 
n.(n  1)! se n  1
Segundo KOWALTOWSKI (2010), em algoritimia uma estrutura de dados recursivos
pode definir-se atravês dos seguintes procedimentos:

void Exemplo (T1 x1 , T2 x2 , . . . ) {

S1 y1; S2 y2; . . . ;

Ci ; /* Comandos i n i c i a i s */

i f (E ( . . . ) ) {

C0 ; /* Caso base */

} else { /* Chamadas r e c u r s i v a s */

C1 ; Exemplo ( e11 , e12 , . . . ) ;

C2 ; Exemplo ( e21 , e22 , . . . ) ;

C3 ; Exemplo ( e31 , e32 , . . . ) ;

...;

Cm; Exemplo ( em1 , em2 , . . . ) ;

Cf ;

}
}

2.1.1. TIPOS DE RECURSIVIDADE

De uma forma objectiva e lógica de enquadramento do conceito recursividade em
nosso projecto iremos nos basear em dois tipos. Tal como NETO, António (1998)
classifica como tipos de recursividade o seguinte:

 Recursividade infinita



Um procedimento recursivo é infinito quando não existe nenhuma condição que faça o
procedimento ser interrompido.

 Recursividade finita

A recursão finita é conhecida quando se encontra uma estrutura de condição de
paragem em algum momento da execução de um programa.

2.1.2. DESCRIÇÕES RESUMIDAS SOBRE RECURSIVIDADE

 Num programa recursivo deve haver a garantia que o processo seja finito.
Caso contrario o programa estará a fazer infinitas chamadas recursivas. Neste
caso deve haver um estado de paragem.

 O estado de paragem de um programa recursivo é determinado através de um
subprograma associado denominado como a base do processo.

 A rotina recursiva trabalha sobre uma instância, e para cada chamada
recursiva deve haver garantia que a instância que será passada a ele seja
sempre mais restrita que a chamada superior.

 Através de resumos acima, verificamos que a recursividade finita é aplicada em
sistemas da computação, de formas a e evitar que estes sistemas sejam
infinitamente recursivos.

2.2. ESTRUTURA DE UMA PILHA

Segundo LOPES (1999), Uma pilha que também é conhecida como stack, é um
sistema usado para o armazenamento de dados. O seu critério de acesso é definido
pelo facto do último elemento que entra na estrutura, ser o primeiro a sair.

LOPES (1999) também afirma que, as pilhas são utilizadas para guardar dados que
devem ser processados em ordem inversa de chegada e que são muito utilizadas em
sistemas operativos, compiladores e nas instruções de programas que realizam
chamadas de subprogramas (recursividade).

NETO, António (1998) apresenta como afirmação de que, uma pilha é de
extrema importância para o entendimento de um processo recursivo.



Mediante as afirmações apresentadas, podemos supor que uma pilha é um sistema
conceptual que representa uma memória com a seguinte estrutura:

Ilustração 1 – Representação do processamento de uma pilha

Operações básicas de uma pilha:

 sobreposição de um novo elemento;

 retirar o elemento do topo da pilha;

 verificar qual é o elemento no topo da pilha;

 verificar se a pilha está vazia.

Para este trabalho, iremos admitir a apresentação de uma memória recursiva baseada
em pilhas denominada como Transdutor pushdown e que iremos estudar no
subcapítulo seguinte.

2.3. TRASNDUTORES BASEADOS EM PILHAS (PUSHDOWN)

Para GURARI (1989), um trasndutor pushdown é uma máquina abstracta de controlo
de estados finito mas de forma recursiva.



O Conceito de transdutores finito vem dar a possibilidade de esquematizar-mos um
programa que funciona mediante uma entrada, um estado e uma saida. O transdutor
não deixa de ser um automato, mas com a diferença deste ter em sua estrutura uma
memória que diretamente interage com a unidade de controlo.

Pelo facto contarem com uma memória antes de fornecer um determinado resultado é
que atribui a caracteristica de serem chamados de transdutores finitos que os
distingue dos demais tipos de automatos.

O termo recursividade nos transdutores de estados finitos é tido como verdade no
momento em que a pesquisa que a unidade de controle realiza a memória é do tipo
LIFO, ou seja, obdecendo uma estrutura de dados em pilha. Neste caso, o transdutor
deixa de ser simplesmente transdutor de controle finito e passa a ser transdutor de
controle finito recursivo (pushdown).

Ilustração 2 – Representação das partes de um transdutor pushdown. (GUARARI
Eiton, 1998)

2.3.1. ESTRUTURA

2.3.1.1. FITA DE ENTRADA (INPUT TAPE)

A fita de entrada permite apresentar a sequência determinada do conjunto de simbolos
do alfabeto a ser reconhecido.

2.3.1.2. CABEÇALHO DE ENTRADA (INPUT HEAD)

O Cabeçalho trata de efectuar a leitura a apartir da fita dos dados de entrada e deixar
os dados disponíveis para serem controlados finitamente.



2.3.1.3. CONTROLO DO ESTADO FINITO

Também tratado como unidade de controlo finito, é a parte principal que permite ter
controle da sequência de cálculos e trata de conectar-se a memória auxiliar de
maneira a obter um maior desempenho. Em que no caso, a memória é uma pilha.

2.3.1.4. CABEÇALHO DE SAÍDA

O cabeçalho que permite simplesmente escrever o reasultado final, como diz o próprio
termo, é apenas de saida, de modos a que a informação após ter passado por uma
regra rigorosa é então apresentada.

2.3.1.5. FITA DE SAÍDA

Esta fita, é entidade que exibe os dados atravês de uma escrita depois do cabeçalho
de saida efectuar o seu trabalho.

2.3.1.6. CABEÇALHO PUSHDOWN (ESCRITA E LEITURA)

O Cabeçalho de pushdown responsabiliza-se de efectuar continuamente uma
pesquisa sobre a mémoria (fita pushdown) em busca dos dados previamente
ordenados.

2.3.1.7. FITA PUSHDOWN

É vista como sendo a memória auxiliar do sistema. tal como foi estudado, esta ordena
os dados obedecendo as regras seguindo o principio de uma pilha.

2.3.2. CÁLCULO DE UMA RELAÇÃO PELO TRANSDUTOR PUSHDOWN

A imagem a baixo proposta por GUARARI (1998), representa os diferentes estados de
um transdutor no reconhecimento da linguagem { (aibi, ci) | i >1 }, sendo que no
primeiro estado o transdutor assume em sua fita pushdown (a chamada memória
auxiliar LIFO), o simbolo Z0 que marca o fundo da pilha. O cálculo começa pela leitura
da sequência de a´s pela fita de entrada, e enquanto ocorre essa leitura é dado
também como entrada de forma sequencila desses valores na memória pushdown, os
simbolos são lidas um a um a partir da entrada, ou seja, de forma léxica.



Assim que M termina a leitura dos a’s, começa a leitura dos b´s, e na ocorrência dessa
leitura é recuperado um a para cada b lido e ao mesmo tempo é escrito um c na fita de
saida.

A linguagem será aceite caso na leitura do último b, haver a recuperação do último a
(permitindo assim uma deslocação para o valor inicial da memória, Z0) e a escrita do
último c. Caso contrário, ou seja, se o último b for lido e não haver a recuperação de
Z0, a linguagem não será reconhecida.

Ilustração 3 – Representação da abordagem sintática da Web 1.0 e 2.0 (GUARARI
Eiton, 1998)

2.3.3. DIAGRAMA EM GRAFO DO TRANSDUTOR PUSHDOWN

Segundo Guarari (1998), graficamente um transdutor Pushdown é representado
obdecendo o seguinte:

M = <Q, Ʃ, Γ, Δ, δ, q0, Z0, F>, sendo que:

Q – Conjunto de estados

Ʃ - Alfabeto

Γ – Alfabeto pushdown

Δ – Alfabeto de saida



δ – Tabela das regras de transição

q0 – Estado inicial

Z0 - Simbolo do fundo da pilha

F – Estado final

Regras de transição

O conjunto das regras de transições (q, α, β, p, ϓ, ρ) são representados com p e q
que são o conjunto de estados em Q, α é tanto um simbolo de entrada ou uma string
vazia, β é tanto um simbolo pushdown ou uma string vazia, é uma string dos simbolos
pushdown, e ρ é tanto um simbolo de saida ou uma string vazia.

Ilustração 4 – Diagrama de estados do transdutor pushdown (GUARARI Eiton, 1998)

O automato resume-se como inicio a leitura de a´s e b´s no estado inicial, transitando
(escrevendo) o valor de c para o estado q1, e no final transita o ultimo valor que por
característica é o Z0 acompanhado das strings que o representam.



3. CONCLUSÃO

A ordem como abordei este tema, permitiu exibir de forma sintética a relação de um
programa, sua memória e propriedades recursivas. E facilmente os conceitos retirados
podem ser integrados em projectos anteriores ou ainda por surgir no ambito da
disciplina da Teoria da computação. Tratou-se de uma abordagem geral que
facilmente poderá insentivar o leitor a continuar suas pesquisas atravês da forma livre
como poderá interpretar e tirar suas conclusões por tratar-se de um trabalho
tipicamente acadêmico.

O essencial neste tema foi demonstrar uma daquelas coisas que existem e que são
eternas no ramo da computação. Por mais que surjam sistemas sofisticados de
computação, estes encaixarão sempre nestes modelos formais.



REFERÊNCIAS

SAVAGE, John (1997) – Models of computation – Exploring the power of computing
[Em linha]. [Consult. 06 Mai. 2012]. DisponíveI em WWW:
<http://www.cs.brown.edu/people/jes/book>.

MOREIRA, Nelma (1996) – Computabilidade – Uma Introdução [Em linha]. [Consult.
06.Mai.2012].Disponível: WWW:<http://www.dcc.fc.up.pt/~nam/publica/compdec.pdf>.

CRESPO, Rui (2001) – Processadores de linguagens – Da Concepção à
implementação. 2ª ed. Lisboa: IST Press.

KOWALTOWSKI, Tomasz (2010) – Estrutura de dados e técnicas de programação
[Em linha]. [Consult. 06 Mai. 2012]. Disponível em
WWW:<http://colibri.ic.unicamp.br/~tomasz/cursos/mc202/transp_ho_acum.pdf>.

LOPES, Arthur (1999) – Estrutura de dados – Para a construção de softwares. 1ª Ed.
Canoas: Editora da Ulbra.

NETO, António (1998) – Explorando recursão e fractals [Em linha]. [Consult. 06 Mai.
2012].Disponível:WWW:<http://lsm.dei.uc.pt/ribie/docfiles/txt200342415342159M.PDF
>.

GUARI, Eiton (1989) – Introduction to theory of the computation. [Em linha].
[Consult.06.Mai.2012].Disponível:WWW:<http://www.cse.ohio-
state.edu/~gurari/theory-bk/theory-bk.html>.



LISTA DE ANEXOS

Anexo A - Transdutor de controle finito
Anexo B - Uma máquina de estados finito



ANEXO A
Transdutor de controle finito



ANEXO B
Uma máquina de estados finitos


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