1. 1
GUIA Nº4. CALCULO I. INGENIERIA.
I.- Límite de funciones.
1) Considerar f(x) =




≤<+−
≤≤
32,
2
7
2
21,
xsi
x
xsix
. Determinar dom(f), trazar el gráfico de f y
analizar su comportamiento cuando x 2→ . ¿Qué ocurre con ?)(lim
2
xf
x→
.
2) Efectuar lo mismo que en 1) para:
a) f(x) =





=
≠
−
−
2,0
2,
2
2
xsi
xsi
x
x
b) f(x) =



=
≠−
3,2
3,3
xsi
xsix
cuando x 2→ cuando x 3→
3) Utilizar la definición para demostrar el límite dado. Determinar 0>δ para el valor de
dadoε :
a) )1,0(1)23(lim
1
==−
→
εx
x
b) )002,0(8)52(lim
2
=−=+
−→
εx
x
c) )001,0(1)12(lim 2
2
==+−
→
εxx
x
d) )005,0(6
3
9
lim
2
3
=−=
+
−
−→
ε
x
x
x
e) )1,0(1
2
lim
4
==
→
ε
xx
f) )3,0(
2
11
lim
2
==
→
ε
xx
g) )02,0(
4
1
2
1
lim
4
==
+→
ε
xx
h) )5,0(2lim
2
==
→
εx
x
4) Analizar los límites laterales en el punto indicado y determinar si existe el límite en tal
punto:
a) f(x) = 6,6 0 =− xx b) f(x) = [ ] 2
3,3, =−= oo xxx
c) f(x) =



>+
≤+
1,1
1,32
xsix
xsix
, x 10 = d) f(x) =



>−
≤
2,28
2,2
xsix
xsix
, x 20 =
e) g(x) = [ ] [ ]xx −+ 4 , x 30 = f) h(x) = 1,
1
33
0
23
=
−
−+−
x
x
xxx
g) f(x) =







>
+−
−
<
−
+−
2,
53
4
2,
2
53
2
2
2
xsi
x
x
xsi
x
x
, x 20 =
5) Determinar )(lim),(lim),(lim
000
xfxfxf
xxx →→→ −+
para:
a) f(x) =





>+
=
<−
0,52
0,0
0,13
xsix
xsi
xsix
b) f(x) =







=
≠
−
+
−
−
0,
2
1
0,
102
101
1
1
xsi
xsi
x
x

2. 2
6) Determinar A y B de tal manera que
)(lim)(lim
31
xfyxf
xx →→
existan, siendo f(x) = [ )
[ )




+∞∈−
∈−
−∞∈−
,3,
3,1,1
)1,(,12
3
2
xsiBx
xsiAx
xsix
y f(2) = 3.
7) Calcular:
a) )232( 23
1
+−
→
xxlim
x
b)
1
13
1 +
+
−→ x
x
lim
x
c)
1
1
1 −
−
→ x
x
lim
x
d)
55
22
1 −
−
→ x
x
lim
x
e) )
1
3
1
1
( 31 xx
lim
x −
−
−→
f)
1
1
31 −
−
→ x
x
lim
x
g)
49
32
27 −
−−
→ x
x
lim
x
h)
65
152
2
23
3 ++
−−
−→ xx
xxx
lim
x
i)
22
312
4 −−
−+
→ x
x
lim
x
j)
x
x
lim
x
11
0
−+
→
k)
53
4
2
2
3
+−
−
→
x
x
lim
x
l)
3 3
2
1
3
+
−
∞→
x
x
lim
x
m)
x
x
lim
x
3sen
0→
n)
x
x
lim
x β
α
sen
sen
0→
ñ)
x
x
lim
x
tg
0→
o) 20
cos1
x
x
lim
x
−
→
p) 30
sentg
x
xx
lim
x
−
→
q) 22 )2(
cos1
ππ +
−
−→ x
x
lim
x
r)
x
xx
lim
x
sen1sen1
0
−−+
→
s) x
x x
k
lim )1( +
∞→
t) x
x x
lim 4
)
1
1( +
∞→
u) 5
)
1
1( +
∞→
+ x
x x
lim v) x
x x
x
lim )
1
3
(
−
+
∞→
w) x
x
xlim
1
0
)1( +
→
x) 3
)
3
1
( +
∞→ +
− x
x x
x
lim y) x
x x
x
lim )
1
(
+∞→
z) [ ])2ln()12ln( +−+
∞→
xxlim
x
z’) [ ])ln)1(ln( xxxlim
x
−+
∞→
z’’)
x
x
lim
x
)101log(
0
+
→
8) Calcular:
a)
x
x
lim
x
)1ln(
0
+
→
b)
x
ee
lim
xx
x
23
0
−
→
c)
1
1
0 −
−
→ bx
ax
x e
e
lim d)
x
xx
lim
x 2cos
sencos
4
−
→π
e)
x
xaxa
lim
x
)sen()sen(
0
−−+
→
f)
x
x
lim
x 20 sen
cos12 +−
→
g)
xx
ee
lim
xx
x 3sen5sen
35
0 −
−
→
h) x
x
xlim
1
0
)sen1( +
→
i) xg
x
xlim
2
cot2
0
)tg31( +
→
j) x
x
xlim sec3
2
)cos1( +
→π
k) x
x x
x
x
lim
1
)
1
1
·ln(
1
−
+
∞→
l) x
x x
x
lim )
24
12
(
+
+
∞→
m) 20 )3(
1
·sen2
+
+
→ x
x
x
lim
x
II.- Continuidad de funciones.
1) Determinar los puntos de continuidad y de discontinuidad de:
a) f(x) =





=
≠
−
−
2,0
2,
2
2
xsi
xsi
x
x
b) f(x) =



=
≠−
3,2
3,3
xsi
xsix
c) f(x) =



>+
≤+
1,1
1,32
xsix
xsix

3. 3
d) f(x) =



>−
≤
2,28
2,2
xsix
xsix
e) f(x) =







>
+−
−
<
−
+−
2,
53
4
2,
2
53
2
2
2
xsi
x
x
xsi
x
x
f) f(x) =
65
4
2
2
+−
−
xx
x
g) f(x) =
1
12
+
−
x
x
h) g(x) =
x
xx
3
32 −
i) h(x) =
x
x
sen
j) f(x) =
)1(
sen2 2
−xx
x
2) Analizar la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado. Si fuese
discontinua, indicar si es o no reparable. Cuando corresponda, señalar su extensión
continua:
a) f(x) = 0,
11
0 =
−+
x
x
x
b) f(x) = 2,
2
0 =
−
x
x
x
c) f(x) = 1,
1
1
03
2
=
−
−
x
x
x
d) g(x) = 1,
1
362
0
234
=
−
++−
x
x
xxx
e) g(x) = 1,
1
33
0
23
=
−
−−+
x
x
xxx
f) h(x) = 2,
53
4
02
2
±=
+−
−
x
x
x
g) h(x) = 7,
49
32
02
±=
−
−−
x
x
x
h) f(x) =









>
=
<
−
0,
2
sen
0,
2
1
0,
1
xsi
x
x
xsi
xsi
x
ex
, x 00 = i) f(x) =









>
−
−+−
=
<
−
−
1,
1
187
1,7
1,
1
.1
2
2
3
xsi
x
xx
xsi
xsi
x
x
, x 10 =
3) ¿Existe A y B tal que f sea continua en [ ]5,1 , si f(x) =





≤<−
≤<+
≤≤+−
53,15
32,
21,162
xsix
xsiBAx
xsixx
?.
4) Determinar A y B de modo que f sea continua en todo su dominio, si:
a) f(x) = [ )
[ )




+∞∈−
∈−
−∞∈−
,3,
3,1,1
)1,(,12
3
2
xsiBx
xsiAx
xsix
b) f(x) =







≥
<<−+
−≤−
2
,cos
22
,sen
2
,sen2
π
ππ
π
xsix
xsiBxA
xsix
c) f(x) =







>
+
+
≤≤−+
−<<−
+
0,
2
sen3sen2
02,
2
2
5,
2
tg
4
2
xsi
xx
xx
xsiBAx
xsi
x
xπ
5) Determinar a∈R tal que g sea continua en x 00 = , si g(x) =






<−
>
− −
0,)21(
1
0,
sen
1
3tg
3
xsix
a
xsi
x
e
xc
x
6) Determinar si son continuas en [ ]2,0 :
a) f(x) =



≤<−
≤≤
21,2
10,2
xsix
xsix
b) g(x) =



≤<−
≤≤
21,2
10,2
xsix
xsix

4. 4
7) Determinar si las sgtes. funciones cumplen las condiciones del Teorema del Valor
Intermedio en los intervalos que se indican. Para aquellas que cumplan las
condiciones, determinar el punto que verifica el teorema:
a) f(x) = x2
en [ ]3,1 b) f(x) = sen x, en [ ]2
3,
2
ππ c) f)x) = x [ ]0,202,232
−−− enx
III.- La derivada de una función.
1) Aplicando la definición de derivada, calcular f’(x) para el valor de x 0 dado:
a) f(x) = 5x+1, x 10 = b) f(x) = x 4,4 0
2
=+− xx c) f(x) = 7,19 0 =+ xx
d) f(x) = 3,
32
1
0 =
+
x
x
e) f(x) = lnx, x 10 = f) f(x) = e 1, 0 =xx
2) Aplicando la definición de derivada, determinar f’(x) para:
a) f(x) = x3
b) f(x) = x c) f(x) = sen 2x d) f(x) = e
2
x
e) f(x)=ln(x )12
+
f) f(x) =
1
1
+x
g) f(x) =
2
1
−x
h) f(x) =
2
1
−
+
x
x
i) f(x) = x−2
3) Derivar:
a) f(x) = 2
7
5 67
−+− xxx b) g(y) = 42
4 71
5
yy
y +++ c) f(t) = )14)(52( 2
−+ tt
d) h(x) =
12
12
2
2
+−
++
xx
xx
e) g(x) = 5x(2x2
+1) f) h(x) = sen x + e x
+ lnx
g) f(t) = 2tsen t – (t 2
- 2cos t) h) f(x) = cos x + x·sen x i) g(x) = -x + tg x
j) f(x) = xe xexx
cos+ k) f(x) = (3x xxx ln)6(cos)6 22
−+− h(x) = 2
2
3
x
xx +
4) Determinar el valor de f’(x), si es que existe, para las funciones definidas por:
a) f(x) =



>−
≤
1,2
1,3
xsix
xsix
b) f(x) =



>−
≤−
1,23
1,43 2
xsix
xsix
c) f(x) = 12
−x d) f(x) = 3
1−x
5) Si f(x) = ?4¿,4 0 =− xenderivablefesx
6) Dada f(x) = 1 + 2+x , determinar, si existen, f’(-2 +
) y f’(-2 −
). ¿Es derivable f en
x= -2 ?. Justificar. ¿Es f continua en x = -2 ?.
7) Sea f(x) =



−≥−
−<
1,1
1,2
xsi
xsix
. ¿Es f continua en x0 =-1?. ¿Es f derivable en x0 =-1?.
Justificar.
8) Determinar, si existen “a” y “b” ∈R de modo que f sea derivable en x0 =2, siendo
f(x) =



>+
≤−
2,
2,3 2
xsibax
xsix
9) Aplicando la regla de la cadena derivar las siguientes funciones:
a) f(x) = (x 32
)x− b) f(x) = (3x 832
)· xx− c) f(x) = x 223
·tg x

5. 5
d) f(x) = (1+x )sen(cos)2
x e) f(x) = 5sen 22
x f) f(x) = ln
x
x
+1
2
g) f(x) = 2sen 3x + cos 2x - x xcos2
h) f(x) = x 3 22
· x i) f(x) = e bxax
·sen
j) f(x) = (3x 22
51)·2 x++ k) f(x) = 3e xx
·sen16 2
−
l) f(x) = 3 2
x
e
m) f(x) =
2
1
+x
n) f(x) = 2
9 x− o) f(x) = 2
2
1
1
x
x
+
−
p) f(x) =
2
3
2
3
)1( x
x
−
q) f(x) = cos 32
)( xa − r) f(x) = sen
3
sen3
3
3 xx
− s) f(x) =
xx
xx
sen5
sen5
−
+
t) f(x) =



<
≥
0,
0,3
xsix
xsix
u) f(x) =



>−
−<
1,12
2,2
xsix
xsix
v) f(x) = x
2
284
· x
e −
w) f(x) =





>−
≤≤−++
−<+
0,5
02,54
2,3
2
2
xsix
xsixx
xsix
x) f(x) = ln(sec x+tg x) y) f(x) =
x
x
9
2sen
10) Determinar la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva y=f(x) en
el punto dado:
a) f(x) = 3,
2
1
0 =
−
+
x
x
x
b) f(x) = 1,3 0 −=− xx c) f(x) = x 2,32 0
23
=+− xx
11) Determinar los puntos de f(x) = x 101284 234
+−−− xxx , tal que la recta tangente en
dichos puntos sea paralela a la recta 12x + y - 5=0 y determinar las ecuaciones de las
respectivas rectas tangentes.
12) Determinar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada en el punto
indicado:
a) 5x )1,1(,5 233
enyxy =+ b) 2 )1,2(,092 33
enxyyx =−+ c) x-y= )1,3(, enyx +
d) )3,2(,0234279 223
−−=+−+−+ enyxyxx e) )1,1(,0255
enxyyx =−+ .
13) Determinar las ecuaciones de las tangentes y normales a f(x) = 325 34
−− xx en
aquellos puntos donde f’’(x) = 0.
14) Sean P ),(),( 222111 yxPyyx dos puntos de la parábola y = ax2
+bx+c y P ),( 333 yx
el punto en el cual la recta tangente a la curva es paralela a la cuerda 21PP . Probar
que
2
21
3
xx
x
+
= .
15) Determinar si las funciones dadas son o no derivables en el punto dado:
a) f(x) = 0, 0 =xenx b) f(x) = 1, 0 =xenx c) f(x) = 3,3 0 =− xenx
d)f(x) =



>+−
≤−
2,24
2,2
2
2
xsixx
xsix
, en x 20 = .

6. 6
16) Sea f(x) =




>−
≤−
2,4
2,4
2
2
xsix
xsix
:
a) ¿Es f continua en x 20 = y en x ?¿.?21 quéPor−=
b) Calcular las derivadas laterales en x0 y x1 .
c) Obtener la función derivada f’(x) y su dominio.
d) Esbozar el gráfico de f.
17) Derivar:
a) f(x) = arc sen 12
2
−
a
x
b) f(x) = arc tg
2
1 x
x
−
c) f(x) = arc cos
xba
xab
cos
cos
+
+
d) f(x) = ln(sec x + tg x) e) f(x) = arc sen(3x – 4x3
) f) 2522
=+ yx
g) 3694 22
=− yx h) 4
86
2
532
=
+−+
x
yyyxx
i) 1=+
x
y
y
x
j) tg y = 3x 2
+ tg(x + y) k) cot xy= -xy l) arc cos xy = arc sen(x + y)
m) (sen x) yx
=sen
n) e y
x
x
= ñ) y =
x
x
x o) y = (sen x) xtg
p) y = (arc tgx) x2
cos
q) y = x xarcsen
r) xy
yx = s) y = (sen x·cos x) x
.
18) Calcular:
a) f’’, si f(x) = 12
+x b) f’’, si f(x) =
x
x
+
−
2
2
c) f )4(
, si f(x) =
x
xx
−
−
1
2 23
d) f’’’, si f(x) =
x
x
−1
3
e) f )(n
, si f(x) =
x+1
1
f) f )(n
, si f(x) = ln(ax + b)
g) f )(n
, si f(x) = e x2
h) f )5(
, si f(x) = sen 2
x i) f’, si f(x) = ln(sen 2x)
19) Demostrar que y = sen(m·arc sen x) satisface la ecuación (1-x 2
)y’’- xy’ + m2
y = 0.
20) Determinar si y = e x−
·cos x satisface la ecuación y )4(
+ 4y = 0.
21) Sea sen(2x + y) = x. Determinar y’. Verificar que y’’ = tg(2x + y) + tg3
(2x + y).
22) Demostrar que y = sec 2
x satisface la ecuación y’’ – 2(y·sec 2
x + y’·tg x) = 0.
23) Determinar si el Teorema de Rolle es aplicable a las funciones dadas. En caso
afirmativo determinar el o los puntos que satisfacen dicho teorema:
a) f(x) = 


−
−−+ 1,
4
1
,144 23
enxxx b) f(x) = [ ]7,7,
7
7
−+ en
x
x
c) f(x) = [ ]4,0,)2(3 2
enx − d) f(x) = [ ]4,3,
3
122
−
−
−−
en
x
xx
24) Determinar si las siguientes funciones satisfacen las condiciones del Teorema del
Valor Medio. En caso afirmativo, determinar el o los puntos que satisfacen tal
teorema:
a) f(x) = 2x [ ]2,2,5323
−+−− enxx b) f(x) =




>
≤−
1,
1
1,3 2
xsi
x
xsix
en [ ]2,0

7. 7
c) f(x) = [ ]6,1,
)3(
4
2
en
x −
d) f(x) = [ ]2,1,
4
2
−
+
en
x
x
25) Aplicando la regla de L’Hopital, calcular:
a)
x
x
lim
x
11
0
−+
→
b)
)3sen(
33
3 −
− −−
→ x
ee
lim
xx
x
c)
)2cos(1
222
2 −−
−+ −−
→ x
ee
lim
xx
x
d)
x
xarcx
lim
x 30 sen
sen−
→
e)
x
xa
lim
x
x ln
ln
1
−
→
f)
x
aa
lim
xx
x
)1(
0
+−
→
g)
x
x
lim
x tgln
senln
0+
→
h) )cos
1
(
0
ecx
x
lim
x
−+
→
i) 4
2
0
2
cos1
x
x
x
lim
x
−−
→
j) xxlim
x
sen·lntg
0+
→
k) x
x
xxlim tg
0
)sen( ++
→
l)
x
x
xlim
−
→
2
2
)2(tg
π
π
m) xx
x
xlim sen
1
2
0
)1( +
→
n) x
x
xlim+
→0
ñ)
x
x
lim
x 11sen
7sen
0→
.
RESPUESTA A LOS EJERCICIOS
I.- Límite de Funciones.
1.- ( ) ∃
→
xf
x 2
lím 2.-a) ( ) ∃
→
xf
x 2
lím b) ( ) 0lím
3
=
→
xf
x
3.-a) 033,0=δ b) 0004,0=δ c) 00033,0=δ d) 005,0=δ
e)
10
323 +
=δ f) 6,0=δ g)
( )
25
3472 +
=δ h) 1=δ
4.-a) ( ) 0lím
6
=
→
xf
x
b) ( ) ∃
−→
xf
x 3
lím c) ( ) ∃
→
xf
x 1
lím d) ( ) 4lím
2
=
→
xf
x
e) ( ) 3lím
3
=
→
xf
x
f) ( ) 4lím
1
=
→
xf
x
g) ( ) ∃
→
xf
x 2
lím
5.-b) ( ) 1lím
0
−=−
→
xf
x
;
2
1
)(lím
0
=+
→
xf
x
6.- A = 1 ; B = 19
7.-d)
5
10
e) –1 f)
2
3
g)
56
1
− i)
3
22
j)
2
1
k)
314
5
−
e) 1
n)
β
α
ñ) 1 p)
2
1
q)
2
1
r) 1 u) e v) 4
e x) 4−
e
y) 1−
e z) ln2 z’)1 z”) 10loge
8.-a) 1 b) 1 c)
b
a
d) 1 e) 2cosa f)
24
1
g) 1 h) e
i) 3
e j) 3
e k) 0 l) 0 m)
9
2
II.- Continuidad de Funciones.
1.-a)f es discontinua en x = 2 b)f es discontinua en x = 3 c)f es discontinua en x =1
d)es continua ℜ∈∀x e)f es discontinua en x = 2 f)f es disc. en x = 2 y x =3

8. 8
g)f es discontinua en x =-1 h)g es discontinua en x = 0
i)h es continua { }Zkkxx ∈=−ℜ∈∀ ,π j)f es continua { }1,0−ℜ∈∀x
2.-a) disc. reparable, ( )
[ ) { }






=
−+∞−∈
−+
=
0;
2
1
0,1;
11
xsi
xsi
x
x
xf b) disc. irreparable
c)disc. reparable,






=
≠
−
−
=
1;
3
2
1;
1
1
)(
3
2
xsi
xsi
x
x
xf
d)disc. reparable, ( )



=−
≠++−
=
1;8
1;362 234
xsi
xsixxx
xf e) disc. irreparable
f)disc. reparable, ( )





±≠
±≠
+−
−
=
2;6
2;
53
4
2
2
xsi
xsi
x
x
xh
g)disc. reparable, ( )
[ ) { }






=−
−+∞∈
−
−−
=
7;
196
1
7,3;
49
32
2
x
x
x
x
xh h)disc. irreparable i)disc. rep.
3.- A = - 5 ; B = 3 4.-a)A = 2 ; B = 10 b)A = - 1; B = 1 c) 2;
2
2
=
−
= BA
π
5.-
3
3
2
−
=
e
a 6.-a)f es continua en [ ]2,0 b)f es continua en [ ]2,0
9.-a)no es aplicable b) π=0x c) 56,00 −=x
III.- La Derivada de una Función.
1.-b) 7 c)
16
9
d)
27
1
− e)1 f) e
2.-e)
1
2
2
+x
x
g)
( )222
1
−−
−
xx
h)
( )2
2
3
−
−
x
i)
x−
−
22
1
4.-a) , b) , c) y d) no es derivable en x = 1 5.-no es derivable en x = 4
6.- cont. y no derivable en x = -2 7.-disc. y no derivable en x = -1 8.- a =-12 ; b = 12
9.- t) ( )



<
>
=
0;1
0;3
'
2
x
xsix
xf w) ( )







>−
<<−+
−<<−
−<−
=
0;2
02;42
23;1
3;1
'
xsix
xsix
xsi
xsi
xf
10.-a)T: y – 4 = - 3 (x – 3) b)N: y – 2 = 4 (x + 1) c)T: y – 3 = 4 (x – 2)
11.-(0 , 10) ; (-1 , 19) ; (4 ,-166)

9. 9
12.-a) ( )1
5
2
1: −−=− xyN c) ( )3
5
3
1: −=− xyT e)T: y – 1 = - (x – 1)
13.-T: y + 3 = 0 , N: x = 0 ; 





−−=+
5
1
25
2
125
376
: xyT
16.-a)continua en 2±=x b) ( ) ( ) ∃− 2'2' fyf c) ( )
( ) ( )


+∞∪−∞−∈
<<−−
=
,22,;2
22;2
'
xsix
xsix
xf
17.-b)
2
2
1
1
x
x
−
+
c)
xba
ba
cos
22
+
−
23.-a)
2
1
=c b),c) y d) no es aplicable Rolle
24.-a) c = -1 b)no es aplicable c)no es aplicable d)
45
7
=c
25.-a)
2
1
b)2 c)2 e) –1+lna f)
1
ln
+a
a
g) 1 h) 0 i)
24
1
− j) 0
k) 1 l) 1 m) e n) 1 ñ)
11
7