Dimension und Multiplizität von D-Moduln

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Notes for a Seminar Talk in Mainz

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Dimension und Multiplizität von D-Moduln

  1. 1. Dimension und Multiplizit¨at Heinrich Hartmann Juni 2006 Generalvorraussetzungen. Im gesamten Vortrag bezeichne k einen K¨orper der Charakteristik 0.Es sei k[x1, . . . , xn] der Polynomring und An(k) = k < x1, . . . , xn, ∂1, . . . , ∂n > die Weil Algebra in n Variablen mit der kanonischen Filtration Ti = k <xα∂β | |α| + |β| ≤ i> Definition 1. Eine graduierte k-Algebra ist ein Ring S zusammen mit einer Zerlegung S = ∞ i=0 Si als (additive) ablsche Gruppe, mit: ∀ s ∈ Si, t ∈ Sj st ∈ Si+j Eine graduierter Modul ¨uber S ist ein S-Modul M zusammen mit einer Zerlegung M = ∞ i=0 Mi als ablsche Gruppe, mit: ∀ s ∈ Si, m ∈ Mj sm ∈ Si+j Beispiel 2. k[x1, . . . , xn] = ∞ i=0 k < xν | |ν| = i > ist ein graduierte k-Algebra. Satz 3. Sei M = ∞ i=0 Mi eine endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul. Dann existiert ein Polynom P ∈ Q[X] so, dass i j=0 dimk(Mj) = P(i) f¨ur alle i >> 0. Beweis. Induktion nach n, der Anzahl der Variablen xi. Sei n = 0. Nach Vorraussetzung ist M ein endlich dimensionaler k-Vektorraum. Also k¨onnen nur endlich viele Mi unglich 0 sein. Es ist damit i j=0 dimk(Mj) = dimk M f¨ur alle i >> 0. Sei die Behauptung f¨ur endliche k[x1, . . . , xn−1]-Moduln bereits gezeigt. Sei nun M = ∞ i=0 Mi ein endlicher k[x1, . . . , xn]-Modul. Setze K := ker(xn· : M → M) ⊂ M und N := M/xnM. Sowohl K als auch N sind endliche k[x1, . . . , xn]-Moduln und da sie von xn annulliert werden, sind sie bereits endliche k[x1, . . . , xn−1]-Moduln. Da xn homogen (vom Grad 1) tragen sie außerdem eine nat¨urliuche Graduierung: K = ∞ i=0(Mi ∩ K) =: ∞ i=0 Ki und N = ∞ i=0(Mi/xnMi−1) =: ∞ i=0 Ni. Damit ist die Induktionsverraussetzung f¨ur N und K erf¨ullt. Seien nun P, Q ∈ Q[X] Polynome mit i j=0 dimk(Kj) = P(i) und i j=0 dimk(Nj) = Q(i) f¨ur alle i >> 0. Damit ist auch dimk Ki = P(i) − P(i − 1) =: p(i) und dimk Ni = Q(i) − Q(i − 1) =: q(i) f¨ur große i durch ein Polynom gegeben. Wir haben f¨ur i ∈ N0 exakte Sequenzen: 0 → Ki → Mi → xnMi → 0 0 → xnMi → Mi+1 → Ni+1 → 0 1
  2. 2. Also gilt: dimk Mi = dimk Ki + dimk xnMi und dimk Mi+1 = dimk xnMi + dimk Ni+1. Subtrahiert man die beiden Gleichungen so erh¨alt man: dimk Mi+1−dimk Mi = dimk Ni+1−dimk Ki = p(i+1)− q(i) =: h(i) mit einem Polynom h ∈ Q[X]. Nach dem n¨achsten Lemma ist nun das diskrete Integral H(j) = i−1 j=0 h(j) = dimk Mi von h wieder ein rationales Polynom womit der Satz bewiesen ist. Lemma 4. (vgl. Hartshorne Algebraic Geometry, S.49) Ein numerisches Polynom ist ein Polynom P ∈ Q[X] mit der Eigenschaft, dass P(n) ∈ Z f¨ur große n ∈ N. 1. Ist P ein solches, dann gibt es ganze Zahlen c0, . . . , cr sodass: P(X) = c0 X r + c1 X r − 1 + · · · + cr (1) Insbesondere ist P(n) ∈ Z f¨ur alle n ∈ Z. 2. Ist f : Z → Z eine beliebige Funktion, deren Differenzfunktion ∆f := f(n + 1) − f(n) ein numerisches Polynom Q(n) ist. So ist auch f selbst ein numerisches Polynom P(n) f¨ur große n. Beweis. zu 1. Mit Induktion nach dem Grad von P. F¨ur grad Null ist die Behauptung trivial. Da x r = xr/r! + . . . k¨onnen wir P auf jeden Fall in der obigen Form schreiben, falls wir ci aus Q w¨ahlen. Betrachten wir nun ∆P(x) = P(x + 1) − P(x), so erhalten wir mit ∆ x r = x r−1 : ∆P = c0 x r − 1 + c1 x r − 2 + · · · + cr (2) Dies ist nun ein numerisches Polynom vom Grad r − 1, nach Induktionsvorraussetzung sind also c0, . . . , cr−1 ∈ Z. Doch nun folgt sofort cr ∈ Z, da P(n) ganzzahlig wird f¨ur große n. zu 2. Schreibe Q wie in (1), dann setze P = c0 x r + 1 + c1 x r + · · · + cr x 1 (3) Nun ist ∆P = Q, und damit ∆(f − P)(n) = 0 f¨ur große n. Also ist (f − P) eine Konstante cr+1 f¨ur große n und es gilt f = P + cr+1. Definition 5. Sei M = ∞ i=0 Mi eine endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul. Das Polynom P = adXd + · · · + a0 aus dem letzten Satz heißt Hilbertpolynom von M. Wir sagen Grad(P) =: d(M) ist die Dimension und die ganze Zahl(!) d! ad =: e(M) die Multiplizit¨at von M. Bemerkung 6. Aus dem Beweis des Satzes folgt, dass d(M) ≤ n der Anzahl der Variablen xi. Korollar 7. Sei Γ eine gute Filtration eines (endlichen) An(k)-Linksmoduls M. Dann existiert ein Polynom P ∈ Q[X] mit dimk Γi = P(i) f¨ur große i. Beweis. grΓ(M) ist ein endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul und da grΓ(M) ∼= M als k- Vektorraum folgt die Behauptung. Wir wollen nun Dimension und Multiplizit¨at f¨ur einen endlichen An(k)-Modul definieren. Dazu m¨ussen wir sicherstellen, dass Grad und Leitkoeffizient von P nicht von der gew¨ahlten Filtration abh¨angen. Lemma 8. Seien Γ, Γ zweit gute Filtrationen eines An(k)-Linksmoduls M. Dann gibt es eine Zahl b ∈ N0 mit Γi−b ⊂ Γi ⊂ Γi+b. 2
  3. 3. Beweis. Es reicht Γi ⊂ Γi+b f¨ur ein geeignetes b ∈ N0 zu zeigen. Da Γ eine gute Filtration ist gibt es eine Zahl a ∈ N so, dass grΓ(M) von Γ(0) ⊕ · · · ⊕ Γ(a) als gr(An(k))-Modul erzeugt wird. W¨ahlt man nun m ∈ Γi Γi−1 f¨ur i ≥ a so ist γ(m) ∈ T (i)Γ(0) + · · · + T (i − a)Γ(a) (wobei γ : Γi → Γ(i) = Γi/Γi−1 die kanonische Projektion bezeichnet). Setzen wir nun Ri := TiΓ0 + · · · + Ti−aΓa so gilt demnach Γi ⊂ Ri + Γi−1 f¨ur alle i ≥ a. (W¨ahle ein Urbild m von γ(m) in Ri, dann ist γ(m − m ) = 0 und m unterscheidet sich von m durch ein Element von Ker(γ) = Γi−1) Da f¨ur j ≤ i : Rj ⊂ Ri und Γa = Ra folgt induktiv sogar: ∀ i ≥ a : Γi ⊂ Ri. Betrachte nun (Γi ∩ Γa)i ist eine aufsteigende Folge von Unterr¨aumen des endlich dimensionalen k-Vektorraums Γa und da Γi = M gibt es eine Zahl b ∈ N mit Γa ⊂ Γb. Ist nun 0 ≤ j ≤ a und i ≥ a so ist Ta−jΓj ⊂ Ta−jΓa ⊂ Ta−jΓb ⊂ Γa+b und damit Γi ⊂ Ri ⊂ Γa+b f¨ur alle i ≥ a. Zusammengefasst gilt also f¨ur i < a: Γi ⊂ Γa ⊂ Ra ⊂ Γb ⊂ Γa+b was das Lemma beweist. Definition 9. Sei M ein endlicher An(k)-Linksmodul. W¨ahle eine gute Filtration Γ. Nach Korollar7 ist dimk Γi f¨ur große i durch ein Polynom PΓ(X) = adXd +· · ·+a0 gegeben, dessen Grad und Leit- koeffizient nach Lemma 8 nicht von der gew¨ahlten Filtration abh¨angen. Setze also die Dimension d(M) := d und die Multiplizit¨at e(M) := d! a0. Satz 10. Sei 0 → M → M → M → 0 eine exakte Sequenz endlicher An(k)-Linksmoduln. Dann gilt: d(M) = max{d(M ), d(M )} und falls d(M) = d(M ) = d(M ) so ist e(M) = e(M ) + e(M) . Beweis. Sei Γ eine gute Filtration von M. Γ induziert verm¨oge Γi := Γi ∩ M und Γi := Γi/Γi Filtrationen auf M bzw. M . Insbesondere ist 0 → Γi → Γi → Γi → 0 eine exakte Seqenz von endlichen k-Vektorr¨aumen und somit dimk Γi = dimk Γi + dimk Γi . Es reicht also zu zeigen, dass Γ und Γ gute Filtrationen sind. Denn dann folgen aus P = P + P die Behaupteten Relationen der Grade und Leitkoeffizienten. Betrachte dazu 0 → grΓ (M ) → grΓ(M) → grΓ (M ) → 0. Diese exakte Sequenz von gr(An(k))- Moduln ist exakt, nach Definition von Γ und Γ . Da Γ gute Filtration folgt grΓ(M) endlich und da gr(An(k)) noethersch sind auch grΓ (M ) und grΓ (M ) endliche gr(An(k))-Moduln. Das ist aber ¨aquivalent zu Γ ,Γ gut, was zu zeigen war. 3

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