riassunto della Data Envelopment Analysis

1. Data Envelopment Analisys
a cura di Giuliano Resce

2. Data Envelopment Analisys (DEA)
• Metodo non parametrico;
• non ha bisogno di conoscere i prezzi dei fattori
(quindi monopolio, imprese
pubbliche, organizzazioni pubbliche e non a fini di
lucro);
• misura l’efficienza “relativa”;
• l’efficienza è stimata in termini di produttività
media, rapporto tra quantità di bene prodotto e
quantità di risorse utilizzate:
OUTPUT/INPUT

3. Esempio un input, un output
Negozio A B C D E F G H
INPUT
Dipendenti 200 300 300 400 500 500 600 800
OUTPUT
Incasso 100,00 400,00 200,00 300,00 450,00 200,00 300,00 500,00
OUTPUT/INPUT
Incasso/Dipendenti 0,500 1,333 0,667 0,750 0,900 0,400 0,500 0,625
In questo caso B è l’azienda (da ora DMU*) più efficiente, che nel linguaggio DEA si
chiama peer, essa rappresenta il punto di riferimento per misurare l’efficienza
relativa degli altri negozi.
*Decision Making Unit : è l’entità indipendente in grado di convertire l’input in output (può anche essere una parte dell’azienda).

4. Confronto grafico tra i
negozi
• La semiretta che unisce la peer con
l’origine è la frontiera di efficienza,
tutte le eventuali DMUs che stanno su
questa linea sono efficienti quanto B
(la migliore).
•La frontiera di efficienza è il
riferimento per misurare l’efficienza
relativa di tutte le DMU.

5. Input Oriented azienda A
•Il negozio A se fosse efficiente quanto
B (peer) produrrebbe lo stesso incasso
(100) con un numero di dipendenti
pari a WZ, la distanza ZA è Input in
eccesso (input slack)[personale in
esubero].
•Con l’approccio Input Oriented
l’efficienza relativa di A è data dal
rapporto WZ/WA(75/200 =0,37).
•Il punteggio Input Oriented è sempre
un numero compreso tra 0 e 1, il
punteggio pieno (1) lo ottiene solo la
peer, più basso è il risultato meno
efficiente è l’azienda.

6. Output Oriented
azienda A
•Il negozio A se fosse efficiente quanto
B (peer) con lo stesso numero di
dipendenti produrrebbe un incasso
pari a NP, la distanza AN è Output
mancante (output slack).
•Con l’approccio Output Oriented
l’efficienza relativa di A è data dal
rapporto NP/AP(266,67/100=2,67).
•Il punteggio Output Oriented è
sempre un numero superiore o uguale
a 1, il punteggio pieno (1) lo ottiene
solo la peer, più alto è il risultato meno
efficiente è l’azienda.
•Il punteggio Output Oriented è il
reciproco dell’Input Oriented (in
questo caso 1/2,67=0,37).

7. Esempio due inputs, un output
Negozio A B C D E F G H I
INPUT1
Dipendenti 4 7 8 4 2 5 6 5,50 6
INPUT2
Area espositiva 3 3 1 2 4 2 4 2,50 2,50
OUTPUT
Incasso 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Per comodità, abbiamo diviso tutti gli inputs per l’output in modo da avere output
identico per tutti i negozi e poterli rappresentare su due dimensioni

8. Confronto grafico
tra i negozi
•La frontiera di efficienza passa per le
tre aziende efficienti (E,D,C) e continua
nelle due direzioni parallela agli assi
cartesiani.

9. Efficienza relativa di
A, l’Input Virtuale
A può essere efficiente quanto le
peers in diversi modi:
• tiene costante il rapporto
SUPERFICIE/INCASSO e riduce di AD il
rapporto DIPENDENTI/INCASSO;
• tiene costante il rapporto
DIPENDENTI/INCASSO e riduce di RA il
rapporto SUPERFICIE/INCASSO;
• riduce in maniera proporzionale
entrambi gli inputs, e tiene costante
l’Input Mix (la combinazione dei fattori
produttivi); per fare ciò deve ridurre
l’Input Virtuale, che nel grafico è il
segmento AN, quello che unisce
l’azienda analizzata con l’origine. PA è
Input Virtuale in eccesso, l’efficienza
relativa di A è data dal rapporto
NP/NA. Questo approccio è
Input Oriented → 0≤ NP/NA ≤1

10. Esempio due outputs, un input
Negozio A B C D E F G
INPUT
Dipendenti 1 1 1 1 1 1 1
OUTPUT1
Clienti 1 2 3 4 4 5 6
OUTPUT2
Incasso 5 7 4 3 6 5 2
Abbiamo diviso tutti gli outputs per l’input in modo da avere input identico per
tutti i negozi e poterli rappresentare su due dimensioni

11. Confronto grafico
tra i negozi
• La frontiera di efficienza passa per le
quattro aziende efficienti (B,E,F,G) e
continua nelle due direzioni parallela
agli assi cartesiani.
• Dalla frontiera disegnata in questo
modo nasce il nome “Data
Envelopment Analysis”, tutte le
aziende analizzate sono “avvolte” dalla
frontiera.

12. Efficienza relativa di A,
l’Output Virtuale
A può essere efficiente quanto le
peers in diversi modi:
• tiene costante il rapporto
INCASSO/DIPENDENTI e aumenta di
AF il rapporto CLIENTI/DIPENDENTI;
• tiene costante il rapporto
CLIENTI/DIPENDENTI e aumenta di AN
il rapporto INCASSO/DIPENDENTI;
• aumenta in maniera proporzionale
entrambi gli outputs (Output Virtuale)
e tiene costante l’Output Mix, nel
grafico l’Output Vituale è il segmento
OP, che unisce l’origine con la
proiezione dell’azienda analizzata sulla
frontiera di efficienza. In questo caso
AP è Output Virtuale mancante,
l’efficienza relativa di A è il rapporto
OP/OA. Questo approccio è
Output Oriented → 1≤ OP/OA

13. Output e input molteplici
• L’efficienza delle aziende che producono più di
un output utilizzando più di un input si misura
in base al rapporto:

14. Output e input virtuale
• Nell’azienda m che produce j outputs
utilizzando i inputs:
dove e sono rispettivamente il j-esimo
output e l’i-esimo input dell’azienda m e
e sono i loro relativi pesi (prezzi).

15. I pesi
In un insieme di n aziende il valore dei pesi si
calcola massimizzando il rapporto:
sotto i vincoli:
sostituendo alle x il valore degli inputs e alle y il valore degli outputs si ottiene
l’efficienza relativa di m (l’azienda analizzata) rispetto alle n DMUs del gruppo.

16. Programma lineare CCR*
Linearizzando il programma sviluppato nella slide
precedente si ottiene questo programma lineare che è
la base da cui prendono vita tutte le versioni della DEA.
* La DEA in questa versione prende il nome dagli autori Charnes, Cooper e Rhodes (1978)

17. Caso 2 inputs, 2 outputs
INPUT 1 INPUT 2 OUTPUT 1 OUTPUT 2
Ospedale Medici (M) Infermieri (I) Ricoveri (R) Dimissioni (D)
A 33 235 220 88
B 67 206 31 45
C 30 244 190 100
D 50 268 250 100
E 53 110 260 400
F 15 284 250 398

18. Programma CCR ospedale A
Max vAR220+vAD88
s.v.
uAM33+uAI235=1
vAR220+vAD88≤ uAM33+uAI235
vAR31+vAD45≤ uAM67+uAI206
vAR190+vAD100≤ uAM30+uAI244
vAR250+vAD100≤ uAM50+uAI268
vAR260+vAD400≤ uAM53+uAI110
vAR250+vAD398≤ uAM15+uAI284
vAR ≥ 0, vAD ≥ 0, uAM ≥ 0, uAI ≥ 0
vAR= peso Ricoveri ospedale A, vAD = peso Dimissioni ospedale A
uAM= peso Medici ospedale A, uAI= peso Infermieri ospedale A

19. Programma CCR ospedale B
La soluzione del programma lineare della slide precedente è l’efficienza relativa
dell’ospedale A, cambiando la funzione obiettivo, il primo vincolo e i pesi, si
ottengono i punteggi di tutti gli altri.
Efficienza di B:
Max vBR31+vBD45
s.v.
uBM67+ uBI206=1
vBR220+vBD88≤uBM33+uBI235
vBR31+vBD45 ≤uBM67+ uBI206
vBR190+vBD100≤uBM30+uBI244
vBR250+vBD100≤uBM50+uBI268
vBR260+vBD400≤uBM53+uBI110
vBR250+vBD398≤uBM15+uBI284
vBR ≥ 0, vBD ≥ 0, uBM ≥ 0, uBI ≥ 0

20. Risultati CCR 2 input e 2 output
uMM uII vRR vDD
OSPEDALE Punteggio Medici Infermieri Ricoveri Dimissioni
A (0.79+0)/(0,41+0,59) = 0,79 0,41 0,59 0,79 0,00
B (0,08+0)/(0,62+0,38) = 0,08 0,62 0,38 0,08 0,00
C (0,69+0)/(0,38+0,62) = 0,69 0,38 0,62 0,69 0,00
D (0,69+0)/(0,48+0,52) = 0,69 0,48 0,52 0,69 0,00
E (1,00+0)/(0,70+0,30) = 1,00 0,70 0,30 1,00 0,00
F (1,00+0)/(1,00+0) = 1,00 1,00 0,00 1,00 0,00
Punteggio = v R+v D/u M+u I
R D M I

21. Rendimenti di scala
• L’azienda presa in considerazione
nel grafico utilizza quantità di input
X1 per produrre quantità di output
Y1, se incrementasse il proprio input
fino a X2, produrrebbe un output
Y2, con incremento più che
proporzionale rispetto
all’incremento dell’input; questo
accade poiché la funzione di
produzione del settore in cui opera
l’azienda, nel tratto (X1,X2), ha
rendimenti di scala crescenti;
• se la stessa azienda, partendo da
X2 incrementasse ulteriormente
l’input fino a X3, otterrebbe output
Y3, con incremento meno che
proporzionale rispetto a quello
dell’input, ciò implica che la stessa
funzione di produzione ha, nel
tratto (X2,X3), ha rendimenti di
scala decrescenti.
Input

22. DEA BCC*
Dal grafico emerge che la Frontiera di
Efficienza CCR costruita nel primo
esempio assume rendimenti di scala
costanti.
La Frontiera di Efficienza per assumere
rendimenti variabili deve includere i
negozi A,E e H, poiché l’inefficienza di
queste DMUs dipende esclusivamente
dalla loro dimensione.
L’inefficienza di A, E e H si chiama
Inefficienza di Scala, essa si differenzia
dall’Inefficienza Tecnica che
caratterizza le DMUs G, D, F e C.
Per stimare l’efficienza assumendo
rendimenti di scala variabili si utilizza
la DEA in versione BCC
che, nell’esempio, calcola il nuovo
punteggio sulla base della frontiera
blu.
Il punteggio BCC nella versione Input
Oriented è sempre superiore o uguale
a quello CCR.
* Banker, Charnes and Cooper (1984)

23. Programma lineare BCC
Aggiungendo la variabile libera al programma lineare
CCR si ottiene la versione BCC, il cui risultato è l’indice di
efficienza tecnica pura.

24. Programma BCC ospedale A
Max vAR220+vAD88-u0
s.v.
uAM33+uAI235=1
vAR220+vAD88-u0 ≤ UAM33+uAI235
vAR31+vAD45-u0 ≤ uAM67+uAI206
vAR190+vAD100-u0 ≤ uAM30+uAI244
vAR250+vAD100-u0 ≤ uAM50+uAI268
vAR260+vAD400-u0 ≤ uAM53+uAI110
vAR250+vAD398-u0 ≤ uAM15+uAI284
vAR ≥ 0, vAD ≥ 0, uAM ≥ 0, uAI ≥ 0, u0 libera
u0 è una variabile libera che può assumere segno positivo o negativo

25. Risultati BCC 2 input e 2 output
uMM uII U0 vRR vDD
Variabile
OSPEDALE Punteggio Medici Infermieri libera Ricoveri Dimissioni
A 0,91 0,39 0,61 0,91 0,00 0,00
B 0,69 0,60 0,40 0,69 0,00 0,00
C 0,92 0,36 0,64 0,92 0,00 0,00
D 0,71 0,46 0,54 0,71 0,00 0,00
E 1,00 0,70 0,30 0,00 1,00 0,00
F 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00
Punteggio = v R+v D+U /u M+u I
R D 0 M I

26. Efficienza di scala
Se per la stessa azienda si stima sia il
punteggio CCR sia il punteggio BCC si può
scomporre l’inefficienza in Inefficienza di
Scala e Inefficienza Tecnica Pura.
Seguendo l’approccio Output Oriented
nell’azienda G: l’inefficienza complessiva
si misura con l’output slack, che è: GV;
questo slack può essere scomposto in
slack di Scala: UV e slack di inefficienza
tecnica pura: UG.
L’indice (ouput oriented) di efficienza
tecnica pura è dato dal rapporto: UR/GR,
l’indice (output oriented) di efficienza
complessiva è dato dal rapporto: VR/GR.
L’indice (Output Oriented) di
efficienza di scala è:
VR/UR =
= (VR/GR)/(UR/GR) =
= CCR/BCC

27. Efficienza di Scala
Ospedale Punteggio CCR Punteggio BCC CCR/BCC (Scala)
A 0,79 0,91 0,87
B 0,08 0,69 0,12
C 0,69 0,92 0,75
D 0,69 0,71 0,98
E 1,00 1,00 1,00
F 1,00 1,00 1,00

28. CCR duale
Ogni programma lineare ha il suo duale che è un altro programma lineare la cui soluzione
corrisponde al programma originale, scrivendo il duale del “programma base CCR” si
ottiene:
Dove è l’efficienza dell’azienda m, è il j-esimo output della DMU n,
è l’i-esimo input dell’azienda n, è il peso relativo da assegnare all’azienda n,
in questo caso il programma stima i pesi delle DMUs (non più degli inputs -
outputs).

29. CCR duale ospedale A
Min θ
s. v.
220λA+31λB+190λC+250λD+260λE+250λF≥220
88λA+45λB+100λC+100λD+400λE+398λF≥88
33λA+67λB+30λC+50λD+53λE+15λF≤θ33
235λA+206λB+244λC+268λD+110λE+284λF≤θ235
λA≥0, λB≥0, λC≥0, λD≥0, λE≥0, λF≥0
λA = peso Ospedale A, λB = peso Ospedale B, λC = peso Ospedale C,
λD = peso Ospedale D, λE = peso Ospedale E, λF = peso Ospedale F.

30. Risultati CCR duale
Ospedale θ
λA λB λC λD λE λF
A 0,79 0,00 0,00 0,00 0,00 0,35 0,52
B 0,08 0,00 0,00 0,00 0,00 0,10 0,02
C 0,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25 0,50
D 0,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,53 0,45
E 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
F 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
Il valore assunto da θ è il punteggio, nella soluzione del programma gli unici λ ad
assumere valore sono quelli della peer (questa caratteristica permette di conoscere, per ogni
DMU qual è la peer, ovvero l’azienda di riferimento sulla quale è stato stimato lo slack e
il punteggio). I valori, in questo caso, indicano che, per tutti gli Ospedali inefficienti, le
peers sono sia E che F.

31. BCC duale
L’unica differenza tra il CCR duale e il BCC duale è il vincolo che impone alla
sommatoria dei Lambda l’uguaglianza a 1.

32. BCC duale ospedale A
Min θ
s. v.
220λA+31λB+190λC+250λD+260λE+250λF≥220
88λA+45λB+100λC+100λD+400λE+398λF≥88
33λA+67λB+30λC+50λD+53λE+15λF≤θ33
235λA+206λB+244λC+268λD+110λE+284λF≤θ235
λA+λB+λC+λD+λE+λF=1
λA≥0, λB≥0, λC≥0, λD≥0, λE≥0, λF≥0
λA = peso Ospedale A, λB = peso Ospedale B, λC = peso Ospedale C,
λD = peso Ospedale D, λE = peso Ospedale E, λF = peso Ospedale F.

33. Risultati BCC duale
Ospedale θ
λA λB λC λD λE λF
A 0,91 0,00 0,00 0,00 0,00 0,40 0,60
B 0,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,82 0,18
C 0,92 0,00 0,00 0,00 0,00 0,34 0,66
D 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,54 0,46
E 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
F 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
λA+λB+λC+λD+λE+λF=1

34. Il significato di λ nell’ esempio 2
outputs 1 input
Θ λA λB λC λD λE λF λG λH λI
A 0,86 0 0 0 0,71 0,29 0 0 0 0
B 0,63 0 0 0,11 0,89 0 0 0 0 0
C 1,00 0 0 1,00 0 0 0 0 0 0
D 1,00 0 0 0 1,00 0 0 0 0 0
E 1,00 0 0 0 0 1,00 0 0 0 0
F 0,92 0 0 1,00 0,85 0 0 0 0 0
G 0,60 0 0 0 0,80 0,20 0 0 0 0
H 0,77 0 0 0,06 0,94 0 0 0 0 0
I 0,75 0 0 0,13 0,88 0 0 0 0 0

35. Il significato di λ
Le versione duale CCR ospedale A è Input CCR duale ospedale A
Oriented (individua la DMU che a parità
di Outputs utilizza meno Inputs), per Min θ
come è scritto, il programma cerca il s. v.
valore minimo che può assumere θ (il 220λA+31λB+190λC+250λD+260λE+250λF≥220
moltiplicatore degli inputs della DMU 88λA+45λB+100λC+100λD+400λE+398λF≥88
analizzata), tale che il prodotto 33λA+67λB+30λC+50λD+53λE+15λF≤θ33
[θ*(input)] sia maggiore o uguale della 235λA+206λB+244λC+268λD+110λE+284λF≤θ235
somma di tutti i [λ*(input)] di tutte le λA≥0, λB≥0, λC≥0, λD≥0, λE≥0, λF≥0
aziende.
Se tutti i λ assumessero valore 0 il valore
minimo di θ sarebbe 0, dove λ assume un
valore quell’input diventa un punto di
riferimento (la soglia minima) per il
valore assunto da θ (EFFICIENZA
RELATIVA), di conseguenza l’azienda che
utilizza quella quantità di input non può
che essere una peer.