1. Giovanni Della Lunga
Università degli Studi di Bologna
Il capitano dice al mozzo di
bordo: “giovanotto, io non vedo
niente, c’è solo un po’ di nebbia
che annuncia il sole. Andiamo
avanti tranquillamente!”
F. De Gregori
“I Muscoli del Capitano”
Modelli di Value-at-Risk con VBA
RiskmetricsTM e CreditmetricsTM

2. Modelli di Value-at-Risk con VBA
RiskmetricsTM e CreditmetricsTM
Introduzione a RiskMetrics
Il mapping dei flussi
Integrare Excel con Access
L’approccio Delta-Gamma
Come Funziona CreditMetrics

3. Come si calcola il VaR

Il calcolo del capitale a rischio nella metodologia VaR richiede
i seguenti passi :
•
•
•
•

misurazione della posizione a rischio (tasso, cambio..) per ogni
unità operativa (mark-to-market);
calcolo della volatilità storica o implicita e delle correlazioni fra i
fattori di rischio;
valutazione del tempo minimo di liquidazione per tipologia di
posizione;
determinazione del livello di probabilità (o intervallo di
confidenza).
Il capitale a rischio ovvero la massima perdita potenziale per
il livello di probabilità stabilito è dato dalla moltiplicazione
delle quattro componenti sopra riportate.

4. Come si calcola il Value-at-Risk

In condizioni di elevata liquidità dei mercati finanziari e supponendo
che le posizioni possano essere smobilizzate in un giorno, la stima
della massima perdita probabile prende il nome di DEaR (Daily
Earnings at Risk).

Il calcolo del DEaR di un singolo strumento e/o di una posizione
richiede la determinazione dei seguenti elementi
•
il valore di mercato dello strumento o della posizione, che indicheremo con
Vx ;
•
la sensibilità di tale valore alle variazioni dei fattori di rischio dV/dy;
•
la volatilità dei fattori di rischio ∆y ponderata per il livello di confidenza
prescelto nell’ipotesi di normalità della distribuzione dei rendimenti e/o dei
cambi.

5. Come si calcola il Value-at-Risk
L’approccio delta-normal
Valore Posizione
dV
DEaR = Vx ×
× ∆y
dy
Sensitività
Volatilità fattore di rischio

6. Come si calcola il Value-at-Risk

Ferma restando l’ipotesi di normalità, quando la misura del rischio
avviene su un orizzonte temporale di investimento superiore al
giorno, la massima perdita potenziale prende il nome di VAR e si
calcola moltiplicando il DEaR per la radice quadrata del numero di
giorni di detenzione.

Specificando ulteriormente gli elementi introdotti per il calcolo del
DEaR, il valore di mercato si ottiene attualizzando i flussi di cassa
futuri generati dallo strumento o dalla posizione in esame; la
sensibilità del valore di mercato può essere approssimata dalla
duration modificata, limitatamente agli strumenti “interest rate
sensitive” o da un indice di volatilità storica.

7. Risk Metrics

Un’applicazione della metodologia VAR è consentita
dall’utilizzo del prodotto RiskMetrics™ che la JP Morgan ha
messo a disposizione degli utenti sul circuito telematico
Internet. Tale prodotto si compone di un dataset di volatilità e
correlazioni giornaliere relative ad un elevato numero di
attività e strumenti finanziari. I dati forniti coprono 25 paesi
relativamente alle seguenti classi di attività: cambi, indici di
borsa, tassi di interesse per diverse scadenze e merci.

8. Come si calcola il VaR
Obbligazioni



Supponiamo di detenere una posizione in Euro pari a 46.6 Milioni in
un (ipotetico) zero coupon bond decennale.
Supponiamo di aver stimato che la volatilità del rendimento a
scadenza 10 anni non sia superiore a ± 1.995% al 90 % di
probabilità.
Per calcolare la corrispondente variazione percentuale sul valore da
noi posseduto possiamo applicare la seguente formula
D
DEaR = Vx ×
× y × σ dy
1+ y
y

9. Come si calcola il VaR
Obbligazioni

Supponendo che la “modify duration” sia pari a 9.26 e
che il tasso di rendimento a 10 anni sia pari a 7.96
otteniamo
DEaR =
= 46.600.000 × 9.26 × 0.0796 × 0.01995 ≈
≈ 685.000

Pertanto abbiamo il 10 % di probabilità di perdere, su
questa posizione, più di 685.000 Euro nell’arco di 24 ore

10. Come si calcola il VaR: Azioni

Il VAR di un titolo azionario è definito come il prodotto del valore di
mercato MV per la volatilità del prezzo ponderata per il livello di
confidenza prescelto (per il 90% il fattore di ponderazione è 1.65)
DEaR = MVS × 1.65 × σ S

Poiché RiskMetrics non fornisce le volatilità dei singoli titoli, le
posizioni in azioni vengono “mappate” rispetto agli indici locali
nazionali. La base di questa procedura va ricercata ancora una volta
nel CAPM che lega il rendimento di un titolo a quello dell’indice di
mercato.

11. Come si calcola il VaR: Azioni

E’ possibile suddividere il rischio del titolo nella componente specifica e
in quella sistematica
2
2 2
2
σ S = β Sσ M + σ ε S

La componente di rischio specifico può essere resa trascurabile con
un’adeguata politica di diversificazione del portafoglio, per cui possiamo
scrivere
DEaR = MVS × 1.65 × σ S =
= MVS × β S × 1.65 × σ M

12. Come si calcola il VaR: Opzioni

In prima approssimazione si assume che l’opzione possa essere
descritta in termini di “Delta-equivalent”, quest’approssimazione
consiste nel trascurare tutti i termini della precedente equazione tranne
il primo. In questo modo l’opzione viene approssimata come un titolo
con “payoff” lineare.

Nell’approssimazione “Delta-equivalent” il VAR di un’opzione è dato
semplicemente da
VaROpzione ≈ ∆ × VaRsottostante

13. Come si calcola il VaR: Opzioni

Possiamo rendere l’approssimazione più precisa includendo
anche il fattore Γ; in questo caso la standar deviation del prezzo
dell’opzione è legata alla varianza del titolo sottostante dalla
relazione
σ dV ≈

2
S 2 ∆2σ dS / S
1 2 2
+ ( S Γσ dS / S ) 2
2
In questo caso il VaR dell’opzione non è più una funzione
lineare del VaR del sottostante.

14. Come si calcola il VaR:
correlazione fra fattori di rischio

In generale, il DEaR di un portafoglio costituito da N titoli, ciascuno dei quali
caratterizzato da un DEaRi ( i = 1, …., N ) è calcolato come segue
DEaR =

V ⋅ C ⋅V
T
dove
V = ( DEaR1 , DEaR2 ,..., DEaRN )
 1

C = 
ρ
 1N
 ρ1N 

  
 1 

 DEaR1 


 DEaR2 
VT =
 


 DEaR 
N 


15. Come si calcola il VaR:
correlazione fra fattori di rischio

Anche nel caso in cui i fattori di rischio siano più di uno occorre prendere in
considerazione le correlazioni fra questi ultimi.

Consideriamo come esempio la posizione in uno zero coupon bond decennale in
Euro per un valore complessivo di 46.5 Milioni ma questa volta poniamoci nei panni
di un investitore la cui valuta di riferimento sia il dollaro USA.

In questo caso i fattori di rischio sono due:



1) la volatilità dei rendimenti nella posizione sullo ZCB a 10 anni,
2) la volatilità del cambio EUR/USD.
Il rischio complessivo sarà dato da
2
2
σ = a 2σ 10Y + b 2σ FX + 2abρ10Y , FX σ 10Y σ FX

16. Come si calcola il VaR:
correlazione fra fattori di rischio

La componente dovuta al rischio di tasso è quella calcolata sopra ed è pari a 685.000 EUR,
ipotizzando un livello di cambio EUR/USD pari a 5.402 questa cifra equivale a 126.805 USD.

Supponiamo poi che la volatilità sul tasso di cambio sia pari allo 0.953 % e che la correlazione
fra il rendimento dello ZCB decennale e il tasso di cambio EUR/USD sia pari a –0.0726.

La componente di rischiosità dovuta alla volatilità dei cambi è data dal prodotto fra quest’ultima
e il valore in dollari della posizione
bσFX =

46.500.000
×0,00953 = 82.033 USD
5,402
Il rischio complessivo è quindi espresso da
σ = 126.8052 + 82.0332 − 2 × 0.0726 ×126.805 × 82.033 ≈ 145.810 USD

17. Modelli di Value-at-Risk con VBA
RiskmetricsTM e CreditmetricsTM
Introduzione a RiskMetrics
Il mapping dei flussi
Integrare Excel con Access
L’approccio Delta-Gamma
Come Funziona CreditMetrics

18. Come si calcola il VaR:
il mapping dei flussi

I flussi dei diversi mercati devono essere ripartiti su un numero limitato
di scadenze (“buckets”) in modo da preservarne le caratteristiche
finanziarie

Requisiti

Uguale Segno dei flussi: se il flusso originario è una posizione lunga
(corta), i flussi trasformati devono essere posizioni lunghe (corte).

Uguale Valore di mercato: il valore di mercato del flusso originario deve
essere uguale al valore di mercato della somma dei flussi trasformati

Uguale Rischio di mercato: la sensibilità al rischio del flusso originario
deve essere uguale alla sensibilità al rischio della somma dei flussi
trasformati

19. Come si calcola il VaR
Il mapping dei flussi

Opzione Fisher-Weil:


i due flussi trasformati sono determinati in modo che
la loro somma abbia: (i) lo stesso valore di mercato e
(ii) la stessa duration del flusso originario.
Opzione RiskMetrics™:

i due flussi trasformati sono determinati in modo che
la loro somma abbia: (i) lo stesso valore di mercato e
(ii) la stessa volatilità del flusso originario.

20. Come si calcola il VaR
Il mapping dei flussi

I fattori di sconto corrispondenti alle scadenze ti e ti-1 sono noti;
il fattore di sconto relativo alla scadenza τ è ottenuto
utilizzando il tasso di rendimento interpolato
ti − τ
t i −1 − τ
it ( τ ) =
i ( t i −1 ) −
i( t i )
t i − t i −1
t i − t i −1
Pt (τ ) =
1
(1 + it (τ ) )
τ

21. Come si calcola il VaR
Il mapping dei flussi

Nell’opzione Fisher-Weil i due flussi sono calcolati
risolvendo il sistema:
ci −1 Pt ( ti −1 ) + ci Pt ( ti ) = cτ Pt (τ )
t i −1 − t
ti − t
τ −t
ci −1 Pt ( ti −1 ) +
ci Pt ( ti ) =
ci Pt (τ )
1 + it ( ti −1 )
1 + it ( ti )
1 + it (τ )
ci −1 = αcτ
ci = (1 − α )cτ
(τ − t ) − (ti − t )
Pt (τ ) Pt (ti )
α=
( ti −1 − t ) − (ti − t )
Pt (ti −1 ) Pt (ti )

22. Come si calcola il VaR
Il mapping dei flussi

Nel caso di utilizzo dell’opzione RiskMetrics™ sono
necessarie anche le volatilità dei fattori di sconto, o più
precisamente dei ritorni, corrispondenti alla classe j e alle
scadenze ti e ti-1, nonché la correlazione tra di essi.

Imporre l’eguaglianza della standar deviation comporta due
passi

Interpolare la volatilità ignota a partire dalle volatilità dei due
buckets adiacenti
ˆ
σ = aσ i + (1 − a )σ i +1

23. Come si calcola il VaR
Il mapping dei flussi

Imporre che la volatilità così calcolata sia uguale alla volatilità dei
due flussi (da determinare) con scadenza uguale ai due buckets
adiacenti
ˆ
σ = α σ + 2α ( 1 − α ) ρ i ,i +1σ iσ i +1 + ( 1 − α ) σ
2
2
2
2
i
aα 2 + bα + c = 0
a = σ i2 + σ i2+1 − 2 ρ i ,i +1σ iσ i +1
b = 2 ρ i ,i +1σ iσ i +1 − 2σ
c =σ
2
i +1
ˆ2
−σ
2
i +1
2
i +1

24. Modelli di Value-at-Risk con VBA
RiskmetricsTM e CreditmetricsTM
Introduzione a RiskMetrics
Il mapping dei flussi
Integrare Excel con Access
L’approccio Delta-Gamma
Come Funziona CreditMetrics

25. Database e DBMS

La maggior parte dei sistemi informativi non si affida direttamente al
File System ma ad uno strumento software chiamato Database
Management System (DBMS). Un DBMS può essere visto in prima
approssimazione come uno strato di comunicazione fra applicazioni
e dati.

Lo scambio di informazioni fra applicazione e DBMS avviene
attraverso linguaggi di interrogazione. I comandi sono interpretati
dal DBMS che cerca di soddisfare le richieste (query)
dell’applicazione.

I DBMS si differenziano fra loro in base al meccanismo di
organizzazione logica dei dati, quelli che considereremo nel seguito
sono DBMS relazionali che usano il linguaggio di interrogazione
chiamato SQL.

26. Il linguaggio SQL

Visual Basic come del resto Access si appoggia su
un motore per Database Relazionali chiamato
Microsoft Jet Engine. Il linguaggio di interrogazione
usato è SQL.

SQL non è un linguaggio di programmazione vero e
proprio, ma i programmi che accedono ai dati sono
scritti in altri linguaggi (Visual Basic, C/C++, Java,
etc) i quali presentano meccanismi che consentono
di inviare query SQL al DBMS e gestirne i risultati.

27. L’istruzione SELECT

Il linguaggio SQL fornisce un’istruzione flessibile e potente
per interrogazioni su tabelle: l’istruzione SELECT.
Un’interrogazione è un meccanismo che consente di
selezionare colonne e righe di una tabella che soddisfano
particolari caratteristiche.

Sintassi

SELECT [predicato] { * | tabella.* | [tabella.]campo1 [AS alias1] [, [tabella.]campo2 [AS
alias2] [, ...]]}
FROM espressionetabella [, ...] [IN databaseesterno]
[WHERE... ]
[GROUP BY... ]
[HAVING... ]
[ORDER BY... ]
[WITH OWNERACCESS OPTION]

28. L’istruzione SELECT


Tradotta in italiano una SELECT è una frase
che suona pressappoco così:
“seleziona (SELECT) tali attributi <listaattributi> da (FROM) tali tabelle <lista-tabelle>
nelle quali (WHERE) è soddisfatta tale
condizione <condizione>”
SELECT Nome, Cognome, Corso FROM
TSTUDENTI WHERE Corso = ‘Finanza’;

29. L’istruzione INSERT INTO

Il comando INSERT INTO consente
l’inserimento di dati all’interno delle tabelle. I
dati possono essere specificati direttamente,
la sintassi del comando è la seguente

INSERT INTO destinazione [(campo1[, campo2[, ...]])] VALUES (valore1[,
valore2[, ...])

ESEMPIO

INSERT INTO Tstudente (matricola, cognome, nome) VALUES (‘0123459’,
‘SEMPRONIO’,’CAIO’)

30. L’istruzione UPDATE

Per modificare dati già presenti all’interno di tabelle,
SQL mette a disposizione il comando UPDATE. La
sintassi è la seguente
UPDATE <nome tabella> SET <campo> = <espressione>, … [WHERE
<condizione>]

ESEMPIO:

UPDATE Tarticolo SET prezzo = 0.8*prezzo WHERE prezzo >
50000

31. Visual Basic & Database



L’oggetto Database consente
ai programmi Visual Basic di
interfacciarsi con un file di
database.
Un Database è un elemento
dell’insieme Databases
contenuto in un altro oggetto
chiamato Workspace.
A sua volta l’oggetto
Database contiene altri
insiemi di oggetti.

32. L’oggetto RECORDSET

Come dice la parola stessa un Recordset
rappresenta un insieme di record. Proprietà e
metodi dell’oggetto consentono di effettuare
numerose
operazioni
come
inserimenti,
cancellazioni, aggiornamenti, etc.

L’oggetto Recordset è un’interfaccia Visual Basic
per l’accesso ai dati.

Il metodo OpenRecordSet applicato ad un oggetto
Database crea di fatto un nuovo oggetto
RecordSet

33. L’oggetto RECORDSET

LA SINTASSI
Set recordset = object.OpenRecordset (source,
type, options, lockedits)
dove



recordset è il nome dell’oggetto Recordset;
object è il nome dell’oggetto Database da cui
estrarre l’insieme di record;
source è la fonte da dove vengono prelevati i dati. Può
essere una tabella del database oppure un’istruzione SQL
di selezione;

34. L’oggetto RECORDSET

Da questo momento in poi l’oggetto Recordset è a nostra
completa disposizione. I record contenuti in RS non sono altro
che le righe della tabella. Grazie alle proprietà e ai metodi
dell’oggetto Recordset è possibile operare sui record e di
conseguenza sulle righe delle tabelle.

Il ciclo di vita di un Recordset è caratterizzato da un puntatore
che referenzia il record corrente. Molte proprietà e metodi
operano su questo record. Ovviamente è possibile spostare il
puntatore su altri record.

Per accedere ad un campo del record corrente si può ricorrere
alla collezione Fields presente all’interno di ogni Recordset.

35. L’oggetto Recordset

Metodi per la navigazione

MoveFirst


MoveLast


il record corrente diventa l’ultimo del Recordset
MoveNext


il record corrente diventa il primo del Recordset
il record corrente diventa il record successivo
MovePrevious

il record corrente diventa il record precedente

36. Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA
Il mapping dei Flussi
Il mapping dei Flussi

37. Modelli di Value-at-Risk con VBA
RiskmetricsTM e CreditmetricsTM
Introduzione a RiskMetrics
Il mapping dei flussi
Integrare Excel con Access
L’approccio Delta-Gamma
Come Funziona CreditMetrics

38. Funzione Caratteristica

la funzione caratteristica di una variabile aleatoria x è definita
come
Φ (ω ) =
+∞
∫
f ( x)e iωx dx
−∞

è la Trasformata di Fourier della funzione densità di
probabilità
si definisce poi la funzione generatrice dei momenti
φ ( s) =
+∞
∫
−∞
f ( x)e sx dx,
φ (iω ) = Φ (ω )

39. Funzione Caratteristica

Dalla definizione è evidente che
[ ]
[ ]
Φ (ω ) = E e iωx
φ ( s) = E e sx ,

inoltre
[
]
[ ]
φ ( n ) ( s ) = E x n e sx ⇒ φ ( n ) (0) = E x n = m ( n )

il che giustifica il nome di funzione generatrice dei momenti.

40. Approssimazione Delta-Gamma


Assumiamo di avere un derivato sensibile a un solo fattore di rischio
che identificheremo col prezzo del sottostante S.
Utilizzando uno sviluppo in serie di Taylor arrestato al secondo ordine
possiamo esprimere la variazione di prezzo dell’opzione in funzione
della variazione di prezzo del sottostante come
∂V
1 ∂ 2V
( ∆S ) 2 = δ∆S + 1 Γ( ∆S ) 2
∆V ≈
∆S +
∂S
2 ∂S 2
2
∆V
S ∆S 1 S  ∆S 
=δ
+ Γ


V
V S
2 V  S 
2
2

41. Approssimazione Delta-Gamma
Ponendo
r=
∆S
,
S
ˆ
r=
∆V
V
e
η=
S
V
~ 1~ 2
1
2
ˆ
r = δηr + ΓSηr = δ r + Γr
2
2
~
δ = δη
~
Γ = ΓSη

42. Approssimazione Delta-Gamma
A questo punto, il passaggio successivo nella nostra analisi, consiste
nel trovare un modo per calcolare la distribuzione di r^ o, quanto meno,
per trovarne una buona approssimazione.
Assumiamo che il rendimento del sottostante, r, sia distribuito secondo
una normale con media 0 e standard deviation pari a σ


~ ∗ 1 ~ 2 ∗2 ~∗ ∗ 1 ~∗ ∗2
ˆ
r = δ σr + Γσ r = δ r + Γ r
2
2
r
r =
σ
∗
~∗ ~
δ = δσ
e
~∗ ~ 2
Γ = Γσ

43. Approssimazione Delta-Gamma
( )
~∗ 2
~∗ 2
1 ~∗ ∗ δ 
1 δ
r + ~
ˆ
r= Γ 
−
~∗
∗ 
2 
2 Γ
Γ 

Anche ipotizzando che il rendimento del sottostante sia distribuito
secondo una normale, il rendimento dell’opzione segue una
distribuzione molto diversa. In particolare nell’approssimazione DeltaGamma che qui stiamo analizzando tale distribuzione è il risultato della
combinazione lineare di due variabili di cui la prima è distribuita secondo
una Chi-quadrato non centrata e la seconda è una costante;

Non esiste un’espressione in forma chiusa che ci permetta di
calcolare semplicemente il percentile corrispondente ad un generico
livello di confidenza;

44. Approssimazione Delta-Gamma

Vediamo ora alcuni metodi che permettono di affrontare il
problema del calcolo del percentile in maniera sufficientemente
generale.

Questi metodi, come vedremo, si basano sul calcolo dei momenti
della distribuzione da stimare al fine di approssimarla con una
distribuzione di forma nota di cui sia possibile calcolare in
maniera semplice il percentile per ogni livello di confidenza
desiderato.

Per calcolare i momenti della distribuzione faremo uso della
funzione caratteristica.

45. Approssimazione Delta-Gamma

Se x è distribuita secondo una normale standard allora y data da
y = λ( x −ξ )
2
Risulta distribuita secondo una chi-quadro non centrata con parametro
di non centralità pari a ξ.
Funzione
Funzione
Caratteristica
Caratteristica
 ξ λs 
Φ( s) =
exp
 1 − 2λs 

1 − 2λs


1
2

46. Approssimazione Delta-Gamma

Quindi tenendo conto che la funzione caratteristica di una costante k è
semplicemente exp(-ks) e che la funzione caratteristica della combinazione
lineare di più variabili è il prodotto delle funzioni caratteristiche, possiamo
scrivere l’espressione della funzione caratteristica di r^
 1 ~∗

~
~∗ 2 
 Γ s  δ ∗ 2 

1
δ
Φ rˆ ( s ) =
exp 2 ~ ∗  ~ ∗   exp − s ~ ∗ 
~

1 − Γ s  Γ  
Γ 
1 − Γ∗s

 





 1 ~∗

~∗ 2 
Γ s  ~∗ 2

1
δ
δ
=
exp 2 ~ ∗  ~ ∗  − s ~ ∗ 
~
1 − Γ s  Γ 
Γ 
1 − Γ∗s






( )
( )

47. Approssimazione Delta-Gamma
 ∂k

µ k =  k Φ( s)
 ∂s
 s =0

 1 ~∗
1 ~ ∗
 2Γ
∂
1
~ ∗ −3 / 2

Φ rˆ ( s ) =  Γ 1 − Γ s
+
~
~ 
∂s
2
1 − Γ∗s  1 − Γ∗s





 1 ~∗

~
~∗ 2 
 Γ s  δ ∗ 2
δ
× exp 2 ~ ∗  ~ ∗  − s ~ ∗ 
1 − Γ s  Γ 
Γ 






(
)
(
( )
1~
1~
∂

ˆ =  Φ rˆ ( s ) = Γ ∗ = Γσ 2
µ1 = r
2
 ∂s
 s =0 2
)
2

~∗ 2
~ ∗ 2 
δ 
δ
 ~ ∗  − ~ ∗ 

Γ 
Γ 




( )

48. Approssimazione Delta-Gamma
~2 2 1 ~2 4
µ2 = δ σ + Γ σ
2
~2~ 4 ~3 6
µ 3 = 3δ Γσ + Γ σ
~2~2 6
~4 8
µ 4 = 12δ Γ σ + 3Γ σ + 3µ 22
σ rˆ2 = µ 2
µ3
β1 = 3 / 2
µ2
µ4
β2 = 2
µ2

49. Approssimazione Delta-Gamma

 X −γ
f ( X ) = λ exp 
 δ

 +ξ

 X −γ 
exp 
( λ + ξ ) + ξ
 δ 
f (X ) =
 X −γ 
1 + exp 

 δ 
 X −γ
f ( X ) = λ sinh 
 δ
Le funzioni di Johnson
f (X ) ≥ ξ
ξ ≤ f (X ) ≤ ξ + λ

 +ξ

In tutte le funzioni X è una variabile aleatoria distribuita secondo una normale standard. Tutte
le funzioni dipendono da quattro parametri γ, δ, λ e ξ. Per ciascuna funzione la determinazione
dei parametri avviene imponendo che i primi quattro momenti siano uguali a quelli della
distribuzione che intendiamo approssimare.

50. Approssimazione Delta-Gamma
Dopo aver determinato f(X) possiamo calcolare il VaR
semplicemente come
VaR = f ( zα )
dove zα è il percentile di X al livello di confidenza α.

51. Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA
L’approccio Delta-Gamma
L’approccio Delta-Gamma

52. Modelli di Value-at-Risk con VBA
RiskmetricsTM e CreditmetricsTM
Introduzione a RiskMetrics
Il mapping dei flussi
Integrare Excel con Access
L’approccio Delta-Gamma
Come Funziona CreditMetrics

53. CreditMetrics
TM

Proposto da JP Morgan sull’onda del successo di RiskMetrics™

Considera sia il rischio di default che il rischio di deterioramento del merito
creditizio della controparte

E’ basato su una logica di valutazione a valori di mercato



Il valore attribuito ad ogni posizione altro non è che il valore attuale dei flussi futuri
scontato ad un tasso espressivo del rischio di credito dell’operazione
Il rischio connesso alle variazioni di merito può essere letto attraverso le variazioni del
valore di mercato della posizione connesse alla variazione del tasso di attualizzazione
dei flussi futuri
Un peggioramento dello standing creditizio implicherà la richiesta da parte del
mercato di un tasso di attualizzazione più elevato

54. CreditMetrics

TM
Il livello di rischio della controparte è definito sulla base del suo rating

Il rating è la sola discriminante del profilo di rischio della singola esposizione

La possibile evoluzione del profilo di rischio del cliente è rappresentata
mediante una matrice (detta matrice di transizione) che esprime la probabilità
che una controparte avente un dato rating al tempo t si trovi in ciascuna delle
diverse possibili classi di rating al tempo t + 1

I tassi di attualizzazione sono ricavati ricostruendo, per ogni classe di rating, la
curva dei tassi forward relativa all’orizzonte temporale sul quale si intende
misurare il rischio (tipicamente un anno)

55. CreditMetrics

La matrice di transizione
rappresenta la probabilità
di una controparte
caratterizzata da un certo
rating al tempo t …
Rating
iniziale
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
AAA
90.81%
0.70%
0.09%
0.02%
0.03%
0.00%
0.22%
AA
8.33%
90.65%
2.27%
0.33%
0.14%
0.11%
0.00%
TM
… di trovarsi in una delle
diverse possibili classi di
rating al tempo t+1
(tipicamente dopo un anno) …

Matrice di transizione ad un anno
Rating a fine anno
A
BBB
BB
0.68%
0.06%
0.12%
7.79%
0.64%
0.06%
91.05%
5.52%
0.74%
5.95%
86.93%
5.30%
0.67%
7.73%
80.53%
0.24%
0.43%
6.48%
0.22%
1.30%
2.38%
… oppure di cadere in
stato di insolvenza

B
0.00%
0.14%
0.26%
1.17%
8.84%
83.46%
11.24%
CCC
0.00%
0.02%
0.01%
0.12%
1.00%
4.07%
64.86%
Come si vede, per ogni classe di rating l’evento più probabile è quello di
rimanere nella medesima classe di partenza
Default
0.00%
0.00%
0.06%
0.18%
1.06%
5.20%
19.79%

56. CreditMetrics
TM

Occorre poi determinare quale tasso di attualizzazione sia associato ad
ogni stato;

CM utilizza la curva dei tassi forward zero coupon calcolata alla data di un
anno dal momento della valutazione



Tale curva può essere calcolata sulla base dei tassi spot riferiti ad ogni
scadenza per ogni classe di rating
In questo modo la curva ricavata dipende da un lato dalla term structure dei
tassi a termine e dall’altro dalla struttura per scadenza dei credit spread
Sulla base della curva dei tassi forward per ogni classe di rating è possibile
calcolare il valore di mercato di ogni titolo o prestito in corrispondenza ad
ogni possibile classe di rating alla data di un anno da quella di valutazione (
esempio).

57. CreditMetrics


TM
Procedendo con questa modalità è possibile calcolare il valore di
mercato futuro del titolo in corrispondenza di qualsiasi livello di rating.
Ciò che invece non può essere calcolato con questo procedimento è il
valore del credito in caso di default
In questo caso il valore del prestito viene posto pari ad una percentuale del
valore nominale del prestito che rappresenta la stima dell’ammontare che si
presume di recuperare (recovery rate)
 In particolare si possono utilizzare delle statistiche legate ai tassi di
recupero sui prestiti obbligazionari societari, suddivisi per classi di seniority
Tassi di (ovvero in base classedi seniority (% del valore nominale) crediti)
Tassi direcupero per classe di seniority (% del valore nominale)
recupero per alla graduazione dei privilegi nel rimborso dei
Deviazione
Deviazione
Classe di seniority Media
Classe di seniority Media
standard
standard
Senior Secured
53.80%
26.86%
Senior Secured
53.80%
26.86%
Senior Unsecured
51.13%
25.45%
Senior Unsecured
51.13%
25.45%
Senior Subordinated 38.52%
23.81%
Senior Subordinated 38.52%
23.81%
Subordinated
32.74%
20.18%
Subordinated
32.74%
20.18%
Junior Subordinated
10.90%
Junior Subordinated 17.09%
17.09%
10.90%


58. CreditMetrics

TM
A questo punto per ogni titolo di una determinata classe di rating
disponiamo


Della matrice di transizione
Dei possibili valori associati ad ogni possibile rating finale e all’evento
di default
E’ possibile costruire la distribuzione dei valori del titolo
alla data di un anno a partire da oggi!

59. CreditMetrics

TM
Il programma VBA sviluppato effettua il calcolo delle quantità richieste
producendo in output la seguente tabella
Tabella 1 - Valori futuri e probabilità ad un anno per un prestito di classe
con Valore Nominale :
100
Tasso :
6
Rating di fine anno
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
Valore
109.35
109.17
108.64
107.53
102.01
98.09
83.63
51.13
Probabilità
0.02%
0.33%
5.95%
86.93%
5.30%
1.17%
0.12%
0.18%
Variazione valore prestito
1.82
1.64
1.11
0.00
-5.52
-9.45
-23.91
-56.40
BBB
Durata : 5
Calcola

60. CreditMetrics

TM
Dalla distribuzione del valore del prestito è immediatamente desumibile
anche la distribuzione delle perdite ad esso associate

Per determinare la distribuzione delle perdite occorre però fare attenzione alla
determinazione della probabilità associata all’evento “perdite nulle”. In questo
caso infatti questo evento ha una probabilità pari alla somma delle probabilità
che si verifichino perdite pari a zero e delle probabilità che si verifichino dei
guadagni ossia dei casi in cui il prestito migri verso le classi di rating migliori.
Perdite
0.00
5.52
9.45
23.91
56.40
Probabilità
93.23%
5.30%
1.17%
0.12%
0.18%

61. CreditMetrics
TM
Distribuzione valore del Prestito
Distribuzione delle perdite
10.00%
10.00%
9.00%
9.00%
8.00%
8.00%
7.00%
7.00%
6.00%
6.00%
5.00%
5.00%
4.00%
4.00%
3.00%
3.00%
2.00%
2.00%
1.00%
1.00%
0.00%
0.00%
109.35


109.17
108.64
107.53
102.01
98.09
83.63
51.13
0.00
5.52
9.45
23.91
56.40
Come si vede la distribuzione dei valori del prestito e delle relative perdite è tutt’altro che
normale;
Le perdite in casi estremi (evidenziate dalle code a destra) sono più probabili rispetto a quelle
derivanti da una distribuzione statistica di tipo gaussiano;

62. CreditMetrics

TM
I calcoli confermano un marcato allontanamento dai risultati che
potremmo aspettarci in caso di distribuzione normale
media
varianza
Dev. Standard
1o perc. Normale
1o perc. Effettivo
VaR Effettivo = 14.79
VaR Normale = 6.97
107.07
8.94
2.99
100.10
92.28
Il Value-at-Risk effettivo è più
del doppio di quello stimato
con l’ipotesi di normalità !!!

63. CreditMetrics

TM
Il rischio di Portafoglio


Estendendo la metodologia appena vista al caso di un portafoglio con più
prestiti emerge un ulteriore fattore di rischio: la correlazione fra i vari
prenditori;
Maggiore è la correlazione all’interno del portafoglio, più elevato è il rischio;





La correlazione tende ad essere elevata per aziende appartenenti allo stesso
settore industriale;
Le correlazioni sono sensibili al ciclo economico;
Nel modello CreditMetrics™ si procede alla stima delle correlazioni fra i
rendimenti dei prenditori utilizzando come “proxy” i relativi rendimenti
azionari;
Si ipotizza pertanto che gli attivi aziendali siano finanziati esclusivamente
dal capitale azionario;
Utilizzando queste correlazioni si determina la distribuzione congiunta dei
rendimenti dei prenditori;

64. CreditMetrics



TM
Secondo il modello del valore delle attività aziendali proposto
da Merton (1974), il default di un’azienda si verifica quando il
valore delle sue attività scende al di sotto di un certo livello;
Assumiamo che il tasso di rendimento delle attività aziendali
si distribuisca secondo una normale e consideriamo la
distribuzione standardizzata;
Se la probabilità di insolvenza per un determinato prenditore i
è pari a pi allora il valore soglia di default è dato da
−1
Φ ( pi )
−1
Dove Φ (.) è l’inversa della funzione di densità cumulata di
una distribuzione normale standard.

65. CreditMetrics

TM
Nel caso di un prenditore che si trovi inizialmente nella classe BBB
troviamo
Distribuzione normale standard di un prenditore BBB
Distribuzione normale standard McGraw-Hill 2001) BBB
di un prenditore
(fonte: Benninga S. Modelli Finanziari
(fonte: Benninga S. Modelli Finanziari McGraw-Hill 2001)
0.45
0.45
Valore Probabilità Prob. Cum.
109.35
0.02%
100.00%
109.17
0.33%
99.98%
108.64
5.95%
99.65%
107.53 86.93%
93.70%
102.01
5.30%
6.77%
98.09
1.17%
1.47%
83.63
0.12%
0.30%
51.13
0.18%
0.18%
Soglia
3.54
2.70
1.53
-1.49
-2.18
-2.75
-2.91
0.4
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
Probabilità
Probabilità
Rating di fine anno
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
Default
CCC
B
BB
L'azienda rimane BBB
A
AA AAA
Default 0,12%
CCC
B
BB
L'azienda rimane BBB 5,95%
A
AA AAA
0,18%
1,17% 5,30%
86,93%
0,33% 0,02%
0,18%
0,12% 1,17% 5,30%
86,93%
5,95% 0,33% 0,02%
ZDef
ZCCC
ZBB
ZBBB
ZA
ZAA
ZB
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
-2,91Def -2,75CCC -2,18 B -1,49BB
1,53BBB 2,70 A 3,54 AA
-2,91 -2,75
1,53
2,70 3,54
-2,18 -1,49
Rendimento attività
Rendimento attività

66. CreditMetrics
TM

A questo punto analizziamo i movimenti dei rendimenti dell’attivo di due
prenditori caratterizzati da una determinata misura di correlazione;

Poiché i valori degli attivi non sono osservabili sul mercato, in CreditMetrics™ i
coefficienti di correlazione sono stimati sulla base dei prezzi azionari dei
prenditori (o di gruppi di prenditori sulla base dell’area geografica e del settore
di appartenenza);

Assumiamo che i rendimenti dell’attivo di due prenditori si distribuiscano
secondo una distribuzione normale standard bivariata che è funzione dei
rendimenti relativi alle varie classi di rating ri ed rj e del coefficiente di
correlazione fra i rendimenti degli attivi aziendali ρ :
f (ri , rj , ρ ) =


1
exp −
ri 2 + rj2 − 2 ρri rj 
2
2 1− ρ 2
2π 1 − ρ


1
(
(
)
)

67. CreditMetrics

TM
Esempio: calcolare la probabilità che due prenditori di classe
rispettivamente BBB e A restino nella stessa classe iniziale

Determinazione delle soglie
Rating di fine anno
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
Valore Probabilità Prob. Cum.
109.35
0.02%
100.00%
109.17
0.33%
99.98%
108.64
5.95%
99.65%
107.53
86.93%
93.70%
102.01
5.30%
6.77%
98.09
1.17%
1.47%
83.63
0.12%
0.30%
51.13
0.18%
0.18%
Soglia
Rating di fine anno
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
Valore Probabilità Prob. Cum.
109.35
0.09%
100.00%
109.17
2.27%
99.91%
108.64
91.05%
97.64%
107.53
5.52%
6.59%
102.01
0.74%
1.07%
98.09
0.26%
0.33%
83.63
0.01%
0.07%
51.13
0.06%
0.06%
Soglia
3.54
2.70
1.53
-1.49
-2.18
-2.75
-2.91
3.12
1.98
-1.51
-2.30
-2.72
-3.19
-3.24
− 1.49 ≤ ri ≤ 1.53
− 1.51 ≤ rj ≤ 1.98

68. CreditMetrics

TM
Calcolo dell’integrale doppio
P (−1.49 ≤ rBBB ≤ 1.53;−1.51 ≤ r∫A ≤ 1.98 =
∫
1.53 1.98
−1.49 −1.51
1.53 1.98
∫ ∫
−1.49 −1.51

1
exp −
ri 2 + rj2 − 2 ρri rj
2
2 1− ρ 2
2π 1 − ρ

1
(
(
)
Il calcolo di questo integrale avviene per via numerica
)

 dri drj


69. CreditMetrics

TM
L’integrale doppio può essere ricondotto ad un integrale in una singola
variabile attraverso le seguenti trasformazioni
  r12 + r22 − 2 ρr1r2 
∫ a∫ exp−  2 1 − ρ 2 dr1dr2 =



a1 2
 
b1 b2
(
)
b
  r22 − 2 ρr1r2  
  2


  ∫ exp − 
dr2 dr1 =

 2 1− ρ2 
a2
 
 
 

b1
b
  r12
  r22 − 2 ρr1r2 + ρ 2 r12 
  2
 ρ 2 r12

 exp 
2
∫ exp−  2 1 − ρ 2  a∫ exp−  2 1 − ρ 2




  2

2 1− ρ
a1
 
 

  r12
∫ exp−  2 1 − ρ 2

a1
 
b1
(
(
)
(
)
(
(
 r −ρ r
  r12  b2

∫ exp−  2  a∫ exp− 22 1 − ρ 12
 

a1
    2


b1
  r12    b2 − ρr1

exp −    N 
∫
 
2
a1
  2    1 − ρ
 
b1
)
(
)
)
2
)
 

dr2 dr1 =
 
 


 − N  a2 − ρr1

 1− ρ2



dr
 1


(
)
 

dr2 dr1 =

 


70. CreditMetrics
TM
Public Function Prob_congiunta(a1 As Double, a2 As Double, b1 As Double, b2 As
rho As Double, parti As Integer) As Double
Dim i As Long
Dim intervallo As Double
Dim cumX As Double
Dim cumY As Double
Double, _
intervallo = (b1 - a1) / parti
cumX = a1
cumY = 0
For i = 0 To parti
With Application.WorksheetFunction
cumY = cumY + .NormDist(cumX, 0, 1, False) * ((.NormDist((b2 - rho * cumX) /
Sqr(1 - rho ^ 2), 0, 1, True)) - (.NormDist((a2 - rho * cumX) / Sqr(1 - rho ^ 2), 0, 1,
True)))
End With
cumX = cumX + intervallo
Next
Prob_congiunta = cumY * intervallo
End Function

71. CreditMetrics

TM
Effettuando il calcolo per tutte le possibili combinazioni di rating dei
due prenditori, otteniamo una tabella che contiene le probabilità di
migrazione congiunte
Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori
Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori
Correlazione
Correlazione
Nr. Parti
Nr. Parti
Prend. 1
Prend. 1
Soglia
Soglia
AAA
AAA
AA
AA
A
A
BBB
BBB
BB
BB
B
B
CCC
CCC
Default
Default
0.2
0.2
100
100
Soglia
Soglia
4.00
4.00
3.54
3.54
2.70
2.70
1.53
1.53
-1.49
-1.49
-2.18
-2.18
-2.75
-2.75
-2.91
-2.91
-4.00
-4.00
Totale
Totale
AAA
AAA
3.12
3.12
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.02%
0.02%
0.07%
0.07%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.09%
0.09%
AA
AA
1.98
1.98
0.00%
0.00%
0.02%
0.02%
0.29%
0.29%
1.91%
1.91%
0.04%
0.04%
0.01%
0.01%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
2.28%
2.28%
Prenditore 2
Prenditore 2
A
BBB
A
BBB
-1.51
-2.30
-1.51
-2.30
0.02%
0.00%
0.02%
0.00%
0.30%
0.00%
0.30%
0.00%
5.56%
0.15%
5.56%
0.15%
79.74%
4.71%
79.74%
4.71%
4.67%
0.52%
4.67%
0.52%
1.00%
0.14%
1.00%
0.14%
0.10%
0.02%
0.10%
0.02%
0.15%
0.03%
0.15%
0.03%
91.53%
5.55%
91.53%
5.55%
BB
BB
-2.72
-2.72
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.01%
0.01%
0.61%
0.61%
0.08%
0.08%
0.02%
0.02%
0.00%
0.00%
0.01%
0.01%
0.74%
0.74%
In questo esempio abbiamo ipotizzato una correlazione pari a 0.2
B
B
-3.19
-3.19
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.21%
0.21%
0.03%
0.03%
0.01%
0.01%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.26%
0.26%
CCC
CCC
-3.24
-3.24
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.01%
0.01%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
0.01%
0.01%
Default
Default
-4.00
Totale
-4.00
Totale
0.00%
0.02%
0.00%
0.02%
0.00%
0.33%
0.00%
0.33%
0.00%
6.03%
0.00%
6.03%
0.04%
87.31%
0.04%
87.31%
0.01%
5.36%
0.01%
5.36%
0.00%
1.18%
0.00%
1.18%
0.00%
0.12%
0.00%
0.12%
0.00%
0.18%
0.00%
0.18%
0.06%
100.53%
0.06%
100.53%

72. CreditMetrics

TM
Dobbiamo ora calcolare il valore attuale delle esposizioni delle
attività dei due prenditori. Il calcolo è analogo a quello visto
precedentemente, si tratta semplicemente di attualizzare i flussi
futuri con le appropriate curve dei tassi forward. Ad esempio
ipotizzando due strutture di prestito del tipo


Prenditore 1 : rating BBB, valore nominale 100, cedola 6%, scadenza 5
anni
Prenditore 2: rating A, valore nominale 100, cedola 5%, scadenza 3
anni
Otteniamo
Rating di fine anno
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
Valore 1
109.35
109.17
108.64
107.53
102.01
98.09
83.63
51.13
Valore 2
106.59
106.49
106.30
105.64
103.15
101.39
88.71
51.13

73. CreditMetrics
TM

Combinando i dati fin qui calcolati siamo in grado di calcolare media,
varianza e percentile della distribuzione di valori. Nel nostro caso otteniamo

Media = 213.26
Varianza = 10.97
St. Deviation = 3.31


 VaR
=?

74. CreditMetrics
TM

Quando il portafoglio è composto da più attività i calcoli
diventano ovviamente più complessi;

CreditMetrics™ propone un metodo basato sulla simulazione
Monte Carlo. Questo metodo si suddivide in tre fasi



Generazione di vari scenari che corrispondono ai possibili “stati
del mondo” (ossia alle classi di rating dei nostri prenditori) che
possono verificarsi alla fine dell’orizzonte temporale di
riferimento (1 anno)
Valutazione del portafoglio in ogni scenario
Sintesi dei risultati ottenuti attraverso il calcolo delle statistiche
di rischio del portafoglio

75. CreditMetrics

TM
Generazione degli scenari

Consideriamo un portafoglio composto da 3 prestiti così costituito
Prestito 1
Prestito 2
Prestito 3
$4mil.,
BBB rating,
senior unsecured (tasso recupero 51,13%),
cedola 6%,
scadenza 5 anni
$2mil.,
A rating,
senior unsecured (tasso recupero 51,13%),
cedola 5%,
scadenza 3 anni
$1mil.,
CCC rating,
senior unsecured (tasso recupero 51,13%),
cedola 10%,
scadenza 2 anni

76. CreditMetrics

TM
Il primo passo consiste, come prima, nel calcolo delle probabilità di
migrazione e delle soglie dei rendimenti dell’attivo
Rating
Rating
AAA
AAA
AA
AA
A
A
BBB
BBB
BB
BB
B
B
CCC
CCC
Default
Default
Probabilità di migrazione (%) eesoglie dei rendimenti dell'attivo
Probabilità di migrazione (%) soglie dei rendimenti dell'attivo
Azienda 11(BBB)
Azienda 22(A)
Azienda 33(CCC)
Azienda (BBB)
Azienda (A)
Azienda (CCC)
pp
zz
pp
zz
pp
zz
cumul
cumul
cumul
i
i
i
i
i
i
cumul
cumul
cumul
i
i
i
i
i
i
0.02
100.00
0.09
100.00
0.22
100.01
0.02
100.00
0.09
100.00
0.22
100.01
0.33
99.98
3.54
2.27
99.91
3.12
0.00
99.79
2.86
0.33
99.98
3.54
2.27
99.91
3.12
0.00
99.79
2.86
5.95
99.65
2.70
91.05
97.64
1.98
0.22
99.79
2.86
5.95
99.65
2.70
91.05
97.64
1.98
0.22
99.79
2.86
86.93
93.70
1.53
5.52
6.59
-1.51
1.30
99.57
2.63
86.93
93.70
1.53
5.52
6.59
-1.51
1.30
99.57
2.63
5.30
6.77
-1.49
0.74
1.07
-2.30
2.38
98.27
2.11
5.30
6.77
-1.49
0.74
1.07
-2.30
2.38
98.27
2.11
1.17
1.47
-2.18
0.26
0.33
-2.72
11.24
95.89
1.74
1.17
1.47
-2.18
0.26
0.33
-2.72
11.24
95.89
1.74
0.12
0.30
-2.75
0.01
0.07
-3.19
64.86
84.65
1.02
0.12
0.30
-2.75
0.01
0.07
-3.19
64.86
84.65
1.02
0.18
0.18
-2.91
0.06
0.06
-3.24
19.79
19.79
-0.85
0.18
0.18
-2.91
0.06
0.06
-3.24
19.79
19.79
-0.85

77. CreditMetrics
TM

Come abbiamo già detto nel modello CreditMetrics™, che si ispira al
modello di Merton, i rendimenti logaritmici dell’attivo di ogni singola azienda
si distribuiscono secondo una normale standard, quelli di due aziende
secondo una normale bivariata e, quelli di n aziende secondo una normale
multivariata;

Questi movimenti congiunti sono caratterizzati da una certa misura di
correlazione che, nel modello CreditMetrics™ viene derivata dai prezzi
azionari delle società in portafoglio.
Matrice di correlazione
Matrice di correlazione
Azienda 11 Azienda 22 Azienda 33
Azienda
Azienda
Azienda
Azienda 11
1.0
0.3
0.1
Azienda
1.0
0.3
0.1
Azienda 22
1.0
0.3
0.2
Azienda
1.0
0.3
0.2
Azienda 33
1.0
0.1
0.2
Azienda
1.0
0.1
0.2

78. CreditMetrics

TM
Per la determinazione della correlazione si può procedere nel
modo seguente

Esprimiamo il rendimento della singola società, sulla base di un
modello multifattoriale, come funzione del rendimento di alcuni
indici azionari rappresentativi di paese/settore e di una
componente specifica;

Sulla base delle correlazioni tra i diversi indici di paese/settore,
determinare le correlazioni fra i rendimenti delle attività di due
controparti da utilizzare ai fini della simulazione

79. CreditMetrics

TM
Ad esempio si considerino due imprese A e B il cui rendimento
azionario può essere scomposto come
′
rA = w1, A I1 + w2, A I 2 + w3, A rA
′
rB = w1, B I 3 + w2, B rB

I1, I2 e I3 rappresentano tre indici di settore/paese che consentono di
spiegare i rendimenti azionari di A e B, r’A r’B la componente di
rischio specifico dei singoli titoli e i coefficienti w identificano i pesi
attribuiti a ciascuna controparte.

E’ possibile a questo punto calcolare la correlazione fra i rendimenti
di A e B sulla base della correlazione fra i diversi fattori;

80. CreditMetrics

TM
Le componenti idiosincratiche del rendimento dei due titoli sono
ipotizzate indipendenti dalle rimanenti variabili quindi la loro
correlazione con qualsiasi altro indice è pari a 0
ρ A, B = w1, A w1, B ρ I1 , I 2 + w2, A w1, B ρ I 2 , I 3

Per ottenere gli scenari occorre generare numeri casuali distribuiti
secondo una normale standard ma con correlazione assegnata pari
alla matrice di correlazione ricavata dai proxy di mercato

Per questo si può ricorrere al metodo della decomposizione di
Cholescky

81. CreditMetrics

TM
Dopo aver determinato la decomposizione di Cholescky dalla
matrice di correlazione procediamo alla generazione dei numeri
casuali correlati in 4 stadi



Iniziamo con la generazione di numeri casuali normali standard
non correlati;
Moltiplichiamo ogni vettore per la matrice di Cholescky
Associamo questi scenari dei rendimenti alle varie classi di rating
in quanto ogni variazione dei rendimenti comporta il cambiamento
dei valori soglia;


E’ possibile simulare la migrazione del rating del singolo emittente
confrontando i valori estratti dalla distribuzione aleatoria con i valori
soglia determinati per ogni classe di rating. In funzione dell’intervallo
nel quale il valore estratto cade è possibile determinare il rating del
singolo soggetto per ogni giro della simulazione.
Infine determiniamo il valore delle esposizioni delle 3 attività
finanziarie per ogni classe di rating.

82. CreditMetrics

TM
Valorizzazione dell’esposizione


Analogamente a quanto descritto in precedenza il valore di ogni
esposizione nelle varie classi di rating è uguale al valore attuale dei
flussi di cassa futuri scontati agli appropriati fattori di sconto forward;
L’unica eccezione riguarda il valore dell’esposizione in caso di default
che si considera pari ad una percentuale di recupero sul valore
nominale dell’esposizione

Gli autori di CreditMetrics™ ipotizzano che il recovery rate si distribuisca
secondo una distribuzione Beta, che può variare fra 0 ed 1 ed è
caratterizzata da due parametri alfa e beta, che sono funzione della media
e della deviazione standard della distribuzione stessa
µ (µ − µ 2 − σ 2 )
α=
σ2
(1 − µ ) µ 2 − µσ 2
(1 − µ )
2
σ
β=
µ

83. CreditMetrics

TM
Conclusioni



Il modello CreditMetrics™ consente di stimare il Value-at-Risk (VaR)
relativo al rischio di credito delle attività finanziarie (obbligazioni, prestiti
bancari, etc…);
In particolare si perviene all’identificazione della massima perdita
potenziale del portafoglio su un orizzonte temporale predefinito e in
base ad un certo intervallo di confidenza;
Questo modello richiede molti input di base tra cui




Un sistema di rating interno per la classificazione dei prenditori in classi di
rischio
Una matrice di transizione che fornisce le probabilità di transizione da una
classe di rating ad un’altra
I tassi forward ad un anno per ogni classe di rating necessari per
l’attualizzazione dei flussi di cassa futuri dell’esposizione
I tassi di recupero sull’esposizione suddivisi per classi di seniority

84. CreditMetrics
TM

L’importanza di questo modello è stata recentemente ribadita dal Comitato
di Basilea sulla Vigilanza Bancaria che lo ha adottato come riferimento
metodologico per la determinazione dei nuovi coefficienti di adeguatezza
del capitale delle istituzioni finanziarie a fronte del rischio di credito.

Limiti del modello CreditMetrics


1) Per risalire dalla probabilità osservata a quella usata nel modello di Merton è
necessario conoscere volatilità dell'attivo e prezzo di mercato del rischio
2) La correlazione tra i valori dell'azienda, che è ricavata dalla correlazione tra i
valori dell'equity, può essere significativamente distorta dalla presenza di
leverage"

85. Testi di riferimento

S. Benninga


U. Cherubini, G. Della Lunga


Misurare e Gestire il Rischio di Credito nelle Banche Alpha Test, 2001
F. Saita


Matematica Finanziaria, applicazioni con VBA per Excel McGraw-Hill, 2002
A. Resti (a cura di)


Il Rischio Finanziario McGraw-Hill, 2001
U. Cherubini, G. Della Lunga


Modelli Finanziari McGraw-Hill, 2001
Il risk management in banca EGEA, 2000
A. Sironi, M. Marsella (a cura di)

La misurazione e la gestione del Rischio di Credito Bancaria Editrice, 1998