Il percorso della teoria della relatività dalle intuizioni di Galileo alla teoria delle superstringhe, Parte 1/3

1. =
E
Il Naviglio di
Galileo
Un viaggio alla scoperta della Teoria della Relatività

2. Tracciamo la rotta!
La storia della fisica, fin dal principio, è attraversata da una sottile
linea dorata, un filo che congiunge elementi distanti e fenomeni di natura in
apparenza diversi. Non si tratta di un principio ben stabilito; è piuttosto
un’intuizione o un’istanza metafisica, ma non per questo è meno suggestiva
e potente: si tratta dell’idea dell’unificazione, ossia della credenza che dietro
la multiforme varietà di fenomeni e di leggi naturali, si nascondano in realtà
dei principi unitari, delle regole semplici, eleganti, che permettano di
ricondurre tale varietà ad una descrizione sostanzialmente unitaria. Secondo
questo punto di vista, il fisico conduce un gioco contro madre natura, la
quale si diverte a dissimulare tale unità dietro un gioco di specchi che ne
moltiplica in maniera illusoria la propria, unica, immagine.
=
E
Le pagine del Dialogo sui Massimi Sistemi in cui Galileo descrive
l’esperienza immaginaria del Naviglio che faranno da sfondo al nostro
viaggio, sono in sostanza nient’altro che la descrizione qualitativa ed ancora
imprecisa della prima grande unificazione: quella fra movimento e quiete …
Giovanni Della Lunga, Emiliano Ricci “Il Naviglio di Galileo”

3. Spazio, tempo,
movimento
=
E

4. Movimento
 Nella visione aristotelica la Terra è al
centro dell’universo e questo ha enormi
conseguenze per la nostra comprensione
del movimento
 Nel cielo i pianeti cambiano direzione
perché sono attaccati a delle sfere che
per loro natura sono eternamente in
rotazione
=
E
 Questo non capita mai agli oggetti sulla
Terra: qualsiasi cosa spingiamo
lanciamo di li a poco si ferma
o
 Questo è lo stato naturale degli oggetti
che sono attaccati alle sfere celesti
 Quindi
nell’universo di Aristotele e
Tolomeo vi è una grande distinzione fra
movimento e quiete!

5. Movimento
 La proposta di Copernico che trasformava la Terra in un pianeta come
gli altri era sconvolgente!
 Se la Terra è un pianeta
=
E
allora
è
in
continuo
movimento con gli altri
pianeti. Ma com’è possibile??
 Infatti
se la Terra è in
movimento com’è che non ce
ne accorgiamo??

6. Movimento
 La soluzione dell’enigma fu la prima grande unificazione della scienza
=
E
 L’unificazione del movimento con la quiete
 Com’è possibile che non vi sia differenza fra movimento e quiete?
 Per capirlo occorre rendersi conto che il fatto che un corpo sia in
movimento o in quiete deve avere senso solo relativamente ad un
osservatore che può essere a sua volta in movimento o in quiete…

7. Moto traslazionale
Il caso unidimensionale
 Alice e Bruno stanno viaggiando nello stesso pulman. Alice vede Bruno
=
E
fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Bruno.

8. Moto traslazionale
Il caso unidimensionale
 Alice e Bruno stanno viaggiando nello stesso pulman. Alice vede Bruno
=
E
fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Bruno.
 Carla che vede passare il pulman attribuisce ad Alice e Bruno la
velocità del pulman (50 Km/H)
stessa

9. Moto traslazionale
Il caso unidimensionale
 Alice e Bruno stanno viaggiando nello stesso pulman. Alice vede Bruno
=
E
fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Bruno.
 Carla che vede passare il pulman attribuisce ad Alice e Bruno la
stessa velocità del pulman (50 Km/H)

10. Moto traslazionale
Il caso unidimensionale
Si noti che è importante disporre di due sistemi di riferimento in
 Alice e Bruno stanno viaggiando nello stesso pulman. Alice vede fare
moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro, per Bruno
ragionamenti sul fatto rispetto al è relazione
fermo rispetto a se stessa e che il motopulman e lo stesso è per Bruno.
=
E
 Carla che vede passare il pulman attribuisce ad Alice e Bruno la
stessa velocità del pulman (50 Km/H)

11. Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di
alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti
volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco
in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un
altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave,
osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno
verso le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente
per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi,
gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso
quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi,
come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate
che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre
il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta
si voglia velocità ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in
là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, nè
da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma
=
E

12. Il Principio di Relatività Galileiano
 In questo passo Galileo afferma in sostanza che le leggi fisiche risultano le
stesse per chi le sperimenta in un laboratorio fisso e per chi le sperimenta
in un laboratorio che si muove uniformemente (e non fluttuante in qua e
là)
 Nel pensiero di Galileo non è ancora perfettamente chiaro che cosa si
intende con moto uniforme, sicuramente egli intendeva che la velocità
doveva essere costante come valore ma non è del tutto chiaro se aveva
compreso che essa doveva essere costante anche in direzione
=
E
 In alcune pagine del Dialogo, ad esempio, sembra intendere che i moti
uniformi sono quelli circolari, dimostrando così di non essersi liberato del
tutto dall’influenza di Aristotele
 … ma non possiamo certo biasimarlo per questo!

13. Velocità e Accelerazione
 La velocità è un vettore e quindi oltre ad
un valore che ne rappresenta l’intensità
(es. 50 Km/h) necessita anche la specifica
di una direzione (50 Km/h in direzione
Nord)
 La velocità può quindi variare sia in
intensità (o modulo) che in direzione
 Il concetto sarà precisato più tardi da
Newton
=
E

14. Newton
 Newton chiarisce l’intuizione di Galileo ed enuncia i tre
principi della dinamica
 Per moto uniforme Newton intendeva un movimento a
velocità costante lungo una linea retta
 Lo stato di quiete diventa semplicemente un caso particolare
di moto uniforme: è il movimento a velocità nulla!
=
E

15. Osservatori Inerziali
 Tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto agli altri
rappresentano quindi una classe particolare di osservatori per i quali la
descrizione delle leggi della meccanica è la stessa
 Questa classe di osservatori prende il nome di osservatori inerziali
=
E

16. … e l’accelerazione?
 Quando cambiamo la velocità o la direzione del nostro movimento ce ne
accorgiamo.
 Questi mutamenti sono ciò che si chiama accelerazione
 In sostanza non ci accorgiamo di un moto a velocità costante lungo una
=
E
traiettoria diritta e fissata, o moto rettilineo uniforme, come viene
chiamato ma avvertiamo le variazioni di velocità cioè quando il moto
diventa accelerato.

17. Accelerazione
 Perché le variazioni di velocità sono
così speciali?
 Se la velocità ha senso solo per
confronto, se possiamo solo dire
che la tal cosa si muove rispetto alla
tal altra, perché le sue variazioni
sono in un certo qual modo
indipendenti e non richiedono
confronti per poter essere definite?
=
E

18. Il secchio di Newton
 Perché la superficie dell’acqua assume
una forma concava?
 Perché l’acqua ruota!
 Ma rispetto a cosa?
=
E
 Quando il secchio inizia a girare esiste
un moto relativo fra il secchio e l’acqua
perché quest’ultima ritarda un po’ a
mettersi in rotazione. Ciò nonostante la
sua superficie resta piana. Poco dopo
quando l’acqua gira alla stessa velocità
del secchio e dunque secchio e acqua
sono relativamente fermi uno rispetto
all’altra, la superficie dell’acqua diventa
concava.

19. Il secchio di Newton
 Se prendiamo il secchio quale riferimento, dunque, si verifica esattamente
il contrario di ciò che ci aspettavamo: quando esiste un moto relativo fra
acqua e secchio, la superficie dell’acqua è piana; quando non esiste un
moto relativo è concava!
 Le cose si fanno ancora ancora più complicate se proseguiamo
nell’osservazione. Mentre il secchio continua a girare la corda si arrotola di
nuovo rallentando il secchio fino a fermarlo mentre l’acqua all’interno
continua a ruotare
=
E
 A questo punto il moto relativo fra l’acqua e il secchio è identico a quello
esistente all’inizio dell’esperimento ma la forma della superficie dell’acqua
è diversa (prima era piana adesso è concava)
 Quindi l’esistenza di un moto relativo fra acqua e secchio non è in grado di
spiegare la forma della superficie!

20. Spazio e tempo assoluti
 Secondo Newton il palcoscenico vuoto e
trasparente in cui tutti ci troviamo e in cui
ogni moto si verifica era un’entità fisica
reale, che egli definì spazio assoluto
 Un corpo è realmente in stato di quiete
quando lo è in relazione allo spazio assoluto
e soprattutto un oggetto accelera veramente
quando accelera rispetto allo spazio assoluto
 La superficie dell’acqua è concava quando
questa ruota rispetto allo spazio assoluto
 Ma cos’è veramente lo spazio assoluto?
=
E

21. Non definisco, invece, tempo, spazio, luogo e moto, in quanto
notissimi a tutti. Va notato tuttavia, come comunemente non si
concepiscano queste quantità che in relazione a cose sensibili. Di qui
nascono i vari pregiudizi, per eliminare i quali conviene distinguere le
medesime cose in assolute e relative, vere e apparenti, matematiche e
volgari.
I. Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé e per sua natura senza
relazione ad alcunché di esterno, scorre uniformemente, e con altro
nome è chiamato durata; quello relativo, apparente e volgare, è una
misura (accurata oppure approssimativa) sensibile ed esterna della
durata per mezzo del moto, che comunemente viene impiegata al posto
del vero tempo: tali sono l’ora, il giorno, il mese, l’anno.
=
E
II. Lo spazio assoluto, per sua natura senza relazione ad alcunché di
esterno, rimane sempre uguale ed immobile; lo spazio relativo è una
dimensione mobile o misura dello spazio assoluto, che i nostri sensi
definiscono in relazione alla sua posizione rispetto ai corpi, ed è
comunemente preso come lo spazio immobile.

22. Non definisco, invece, tempo, spazio, luogo e moto, in quanto
notissimi a tutti. Va notato tuttavia, come comunemente non si
concepiscano queste quantità che in relazione a cose sensibili. Di qui
nascono i vari pregiudizi, per eliminare i quali conviene distinguere le
medesime cose in assolute e relative, vere e apparenti, matematiche e
E’ difficilissimo in verità conoscere i veri moti dei singoli corpi e
volgari.
distinguerli di fatto dagli apparenti: e ciò perché le parti di quello spazio
I. immobile in cui i corpi veramente si muovono e per sua natura senza
Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé non cadono sotto i nostri
relazione ad alcunché di esterno, scorre uniformemente, e con altro
sensi…
nome è chiamato durata; quello relativo, apparente e volgare, è una
misura (accurata oppure approssimativa) sensibile ed esterna della
durata per mezzo del moto, che comunemente viene impiegata al posto
del vero tempo: tali sono l’ora, il giorno, il mese, l’anno.
=
E
II. Lo spazio assoluto, per sua natura senza relazione ad alcunché di
esterno, rimane sempre uguale ed immobile; lo spazio relativo è una
dimensione mobile o misura dello spazio assoluto, che i nostri sensi
definiscono in relazione alla sua posizione rispetto ai corpi, ed è
comunemente preso come lo spazio immobile.

23. … e quindi?
 Newton ci lascia, dunque, in una posizione scomoda: conferisce allo spazio
assoluto un ruolo primario rispetto all’elemento basilare della fisica, il
moto, ma ne fornisce una definizione vaga e sembra quasi mettere le mani
avanti, sentendosi a disagio lui per primo di fronte a questa situazione …
 Ma adesso facciamo un salto avanti di un centinaio d’anni …
=
E

24. Elettricita’ e Magnetismo
=
E

25. Azione a distanza
 Il concetto intuitivo della forza come
causa immediata del moto sembra
implicare che l’azione della forza stessa si
esplichi per diretto contatto o che esiga
comunque l’intermediario di un agente
materiale
=
E
 Stranamente toccò proprio a Newton
scoprire che le cose non stanno
necessariamente così. Infatti Newton,
enunciando la legge della Gravitazione
Universale, dette il primo esempio di
azione a distanza
 Fra le azioni a distanza un’importanza
grandissima era rivestita dalla forza
elettrica …
q1q2
F =k 2
r

26. Il concetto di campo
 L’idea della pura e semplice azione a distanza non ha mai soddisfatto a pieno
la mente di molti scienziati.
 Si suole attribuire a M. Faraday il merito di aver compiuto i primi passi
decisivi nella direzione che oggi riteniamo giusta
 E’ noto a tutti il fenomeno della limatura di
ferro che, disposta su un cartone in presenza
di un magnete e scossa leggermente si
dispone in caratteristiche figure
 Ciascun frammento di ferro si magnetizza e
si orienta formando delle specie di catene
 Poiché in questo modo l’estremo negativo di
un frammento viene a trovarsi affacciato
all’estremo positivo del frammento che lo
segue, essi si attraggono e la catena diviene
quindi adatta a trasmettere una forza
=
E

27. Il concetto di campo
 Faraday ammise che questo fenomeno di
polarizzazione avvenisse anche nello spazio
vuoto, quando si manifestano fenomeni
magnetici e che un fatto analogo avvenisse per
i fenomeni elettrici
=
E
 Un CAMPO è una regione di spazio in cui si manifestano fenomeni fisici, in
particolare dove si manifesta l’azione di forze.
 Caratteristiche di un campo vettoriale sono le linee di forza, cioè le linee
aventi in ogni punto per tangente il vettore del campo in quel punto.
 Queste linee forniscono un’immagine geometrica delle direzioni dei vettori
del campo: nel caso di un campo di forze sono linee di forza.

28. Il concetto di campo
 Il valore del campo può
cambiare da un punto
all’altro dello spazio in
modo continuo e si
evolve anche nel tempo
 Il valore del campo in
un punto è influenzato
dal valore del campo
nei punti vicini o anche
da un corpo materiale o
da una carica posta in
quello stesso punto
 In tal modo un campo
può trasmettere una
forza da un corpo
attraverso lo spazio
=
E

29. Il campo elettromagnetico
 Il campo elettrico e il campo
magnetico
sono
profondamente
interconnessi
 Si scoprì infatti che le
variazioni di un campo
elettrico alterano un campo
magnetico vicino, il quale a
sua volta può modificare il
campo elettrico e così via…
=
E

30. Il campo elettromagnetico
 Maxwell diede un fondamento matematico a tali
interrelazioni dimostrando in modo rigoroso che
campi elettrici e campi magnetici sono
strettamente intrecciati l’uno con l’altro
 Tutto l’elettromagnetismo viene condensato in
quattro formule, da allora note come equazioni di
Maxwell
=
E

31. Onde elettromagnetiche
=
E
 Una conseguenza delle equazioni di Maxwell è un’altra equazione, che era
già da tempo nota nella fisica come equazione di D’Alembert
 E’ questa un’equazione che governa tutti i fenomeni di propagazione;
 In questa equazione ciò che varia da caso a caso è ovviamente la natura di
quello che si propaga e la sua velocità di propagazione
 Il valore di questa velocità è determinato tramite una precisa formula dal
valore delle costanti che compaiono nell’equazione di D’Alembert

32. Onde elettromagnetiche
 Nel caso della teoria di Maxwell l’equazione di D’Alembert
riguarda la propagazione del campo elettromagnetico
 La velocità di propagazione del campo elettromagnetico è
funzione di due costanti che compaiono nelle equazioni di
Maxwell, la costante dielettrica del vuoto e la permeabilità
magnetica del vuoto
 I valori di queste costanti dipendono dal sistema di unità di
misura scelto ma non dipendono in alcun modo dal sistema
di riferimento
=
E

33. Onde elettromagnetiche
 Calcolando la velocità si ottiene un valore pari a
 v = 299792458 m/sec
 Questo è il valore, già noto ai tempi di Maxwell, della velocità della luce nel
vuoto che d’ora in avanti indicheremo sempre con c
 Da questa osservazione Maxwell concluse che la luce consistesse in una
propagazione di grandezze elettromagnetiche quali il campo elettrico e il
campo magnetico
=
E

34. Onde elettromagnetiche
 Questo produce un guaio!
 Una velocità con un
valore numerico
particolare riveste un ruolo privilegiato e
questo risulta inconcepibile nella fisica classica
in quanto il valore numerico di qualsiasi
velocità dipende dal sistema di riferimento
inerziale nel quale è valutata.
 Com’è possibile che le equazioni di Maxwell
prevedano una velocità precisa senza alcun
riferimento ad un osservatore particolare?
 Forse la velocità si riferisce ad un osservatore in
quiete rispetto al mezzo in cui si trasmettono le
onde?
 Ma, a proposito, in cosa si trasmettono le onde
elettromagnetiche?
=
E

35. La Teoria della
Relativita’
Speciale
=
E

36. Il problema della luce …
 Einstein aveva cercato di immaginare che aspetto avrebbe avuto
un’onda luminosa se si fosse riusciti a viaggiare alla sua stessa velocità,
procedendo nell’etere di pari passo
 Dal nostro punto di vista la luce apparirebbe come se fosse ferma
 Ma qui sorge il problema: le equazioni di Maxwell proibiscono alla luce
di avere velocità nulla, cioè di stare ferma
 Inoltre
=
E
tutti
gli
esperimenti
per
determinare
gli
effetti
dovuti
all’esistenza
dell’etere avevano
dato
risultato
negativo!

37. … non è un problema!
 Se non esiste un etere che funga da
riferimento privilegiato di quiete, rispetto
a cosa si può valutare tale velocità?
 Einstein abbandonò le idee convenzionali
e rispose con grande semplicità:
 Se la teoria di Maxwell non si avvale di
un riferimento specifico in quiete, questo
non serve affatto.
=
E
La velocità della luce è di 300.000 km al secondo
sempre e comunque per tutti gli osservatori in moto
rettilineo uniforme !

38. La velocità della luce è una costante!
 La teoria di Maxwell impedisce alla luce di stare ferma perché la luce non è




mai ferma
Qualunque sia il nostro stato di moto la luce conserva la sua velocità fissa e
immutabile di 300.000 km/sec
Dato che la velocità non è altro che il rapporto fra distanza e tempo, le idee
newtoniane di spazio e tempo assoluti devono essere errate
Osservatori in movimento relativo percepiscono lo spazio e il tempo in
modo differente!
Einstein si pose quindi il problema di definire in maniera precisa e priva di
ogni riferimento metafisico i concetti di spazio e tempo:
 Tutte le grandezze della fisica devono essere definite a partire da una
procedura operativa che ne determini in modo univoco la misura
 Il tempo è ciò che misuriamo con un orologio
 Lo spazio è ciò che misuriamo con un sistema di determinazione delle
distanze (es. raggi di luce)
=
E

39. La velocità della luce è una costante!
 Il primo postulato di Einstein appare difficile da accettare perché delude le




nostre aspettative basate sulle esperienze della vita ordinaria.
Se in un treno in corsa, per esempio, lanciamo un sasso nel senso del
moto, la sua velocità rispetto al suolo è la somma della velocità da noi
impressa nel lancio e di quella del treno.
Se invece il sasso viene lanciato in senso contrario al moto, la sua velocità
sarà uguale alla differenza delle due velocità.
Se dovessimo considerare la luce alla stessa stregua del sasso, dovremmo
aspettarci che la luce emessa da una sorgente che si muove verso di noi
dovrebbe apparirci più veloce di quella emessa da una sorgente che si
allontana.
Dal'osservazione delle stelle doppie sappiamo invece che ciò non avviene.
=
E

40. Critica del concetto di Simultaneità
=
E

41. Critica del concetto di Simultaneità
 La conclusione cui siamo indotti è piuttosto sorprendente: due eventi,




contemporanei per un osservatore, possono non essere tali per un altro.
Finora avevamo usato l'avverbio simultaneamente attribuendo ad esso
un significato assoluto; sembrava ovvio, infatti, che avvenimenti
contemporanei per un particolare osservatore dovessero essere pure
contemporanei per qualsiasi altro osservatore.
Se ora accettiamo i postulati della relatività, non c'è alcun motivo di
prendere per vera l'affermazione dell'osservatore a bordo del treno e per
falsa l'altra.
È necessario invece rinunciare a nozioni come simultaneamente, prima,
dopo, nella forma in cui le avevamo intese fino ad ora, anche se ci sono
sempre sembrate, al di là di ogni incertezza, precise ed inequivocabili.
Possiamo quindi dare un'espressione più rigorosa al risultato precedente
dicendo: “Eventi che accadono nello stesso tempo, ma In luoghi diversi,
in un riferimento mobile, da un osservatore esterno sono giudicati
accadere in tempi diversi”.
=
E

42. Definizioni Operative
La definizione di ogni grandezza fisica deve essere accompagnata dalla
descrizione univoca di una procedura operativa che ne determini la misura;
In fisica non possono esistere grandezze prive di un processo di misura;
Il tempo non è più un concetto astratto, in fisica il tempo è ciò che misura
un orologio (naturalmente con qualche precisazione …)
=
E

43. La dilatazione del tempo
 Realizziamo
un
semplice ‘orologio’
 Una sorgente di luce
emette un fotone che
rimbalza
in
uno
specchio posto sul tetto
di un vagone in
movimento
 Per un osservatore in
quiete rispetto alla
sorgente
il
tempo
impiegato dalla luce per
percorrere il tragitto di
andata e ritorno è pari
a 2d/c
=
E

44. La dilatazione del tempo
 Che cosa misura un
=
E
2
1

l 2 =  v ⋅ ∆t  + d 2
2

v ⋅ ∆t
osservatore solidale
con la banchina?
 Per il lui il vagone si
muove verso destra
con velocità v
 La luce percorre una
traiettoria diversa ma
anche per lui essa
viaggia alla stessa
velocità c misurata
dall’osservatore sul
treno!

45. La dilatazione del tempo
2
1

l =  v ⋅ ∆t  + d 2
2

2
 Per il secondo osservatore la luce,
nell’intervallo di tempo ∆t, percorre
una distanza pari a 2l
=
E
2

2l
2l
4  1
c2

2
2
c=
⇒ ∆t =
⇒ ∆t = 2  v∆t  +
∆t0 
∆t
c
c  2
4




∆t0
v2
2
2
2
∆t = 2 ∆t + ∆t0 ⇒ ∆t =
c
v2
1− 2
c

46. La dilatazione del tempo
∆t =
∆t 0
 L’espressione a denominatore di questa
2
v
1− 2
c


formula percorre tutte le formule che
riguardano la relatività, e il suo inverso viene
abitualmente indicato con la lettera greca γ.
È opportuno guardarla bene in faccia per
capire che caratteristiche ha.
La prima cosa che va tenuta presente è che il
valore (v/c)2 è, per tutti i valori delle velocità
che
siamo
abituati
a
considerare
normalmente, straordinariamente piccolo,
così che il valore di γ è, in tutti i casi in cui la
velocità relativa dei due osservatori non sia
estremamente alta, molto prossimo a 1.
Quando v
è pari a 350 km/h, γ =
0,999999999999947.
Gli esperimenti con un treno anche molto
veloce non hanno nessuna speranza di dare
alcun risultato apprezzabile.
=
E



47. La contrazione delle lunghezze
c∆t m
lm =
2
=
E
c∆t 2 = lq − v∆t 2
c∆t1 = v∆t1 + lq

48. La contrazione delle lunghezze
c∆t m
lm =
2
c∆t1 = v∆t1 + lq
∆t q = ∆t1 + ∆t 2 =
=
E
c2 − v2
l q = ∆t q
2c
lq
c−v
∆t q =
2lm
∆t m c − v
c2 − v2
lm c 2 − v 2
lm
c
lq =
=
=
=
2
v 2 2c
v 2 2c
v2 c
v2
1− 2
1− 2
1− 2
1− 2
c
c
c
c
2
2
+
c∆t 2 = lq − v∆t 2
lq
c+v
=
∆t m
v2
1− 2
c
 v2 
v2
1 − 2  = l m 1 − 2
 c 
c


2clq
c2 − v2

49. La contrazione delle lunghezze
 Anche in questo caso è opportuno fare
lq = lm
2
v
1− 2
c
qualche riflessione sul valore del fattore
γ.
 Ipotizzando sempre di muoverci ad una
velocità di 350 Km/h, la differenza di
lunghezza di un regolo lungo un metro
sarebbe dell'ordine di 10-14 m, un
centesimo di miliardesimo di millimetro,
meno di un millesimo della dimensione
di un atomo di idrogeno, differenza in
ogni caso non rilevabile.
=
E

50. Prove Sperimentali
 I raggi cosmici sono radiazioni provenienti


dallo spazio esterno che penetrano nella
nostra atmosfera a grande velocità.
Nelle loro collisioni con nuclei di idrogeno
e di ossigeno presenti nell'alta atmosfera,
si generano vari tipi di radiazioni.
Tra queste i cosiddetti leptoni µ o muoni.
I muoni sono particelle instabili, in quanto
tendono a disintegrarsi subito dopo la loro
produzione, dando origine ad altre
particelle.
Il tempo medio necessario di questo
processo di decadimento per un muone a
riposo è dell' ordine del milionesimo di
secondo (10-6 sec).
Mediante ricerche accurate, la presenza
dei muoni è stata accertata anche nelle
immediate vicinanze della superficie
terrestre.
=
E




51. Prove Sperimentali
 Ci si pone allora la domanda: come è possibile che i muoni, data la brevità della loro
esistenza, riescano ad attraversare tutta l'atmosfera e a raggiungere la superficie dalla
Terra?
 Quand'anche viaggiassero alla velocità della luce, cioè a circa 3x10 5 km/sec, per
scendere da una quota, poniamo, di 300 km fino a terra avrebbero bisogno di un tempo
pari a 1 millesimo di secondo (10-3 sec).
 Né si può pensare che essi viaggino ad una velocità superiore a quella della luce, poiché
questa velocità è considerata il limite delle velocità possibili in natura e nessun corpo
(neanche un neutrino!) può averne una più grande.
=
E
 La risposta alla domanda può essere formulata nel modo seguente:
Poiché il muone viaggia ad una velocità molto vicina a quella della luce, l'intervallo di
tempo che un osservatore terrestre valuterebbe 1 millesimo di secondo (a causa della
dilatazione dei tempi), per la particella in moto rappresenta un intervallo inferiore alla
sua vita media: il muone ha quindi tutto il tempo di attraversare l'intera atmosfera
prima di disintegrarsi.
 Infatti, per quanto si è detto in precedenza, l'osservatore vedrebbe un orologio,
idealmente associato alla particella, marciate più lentamente del proprio.
 Dal punto di vista del muone (cioè in un riferimento solidale con esso) l'orologio
sembrerebbe funzionare a ritmo normale però le lunghezze apparirebbero talmente
accorciate nel senso del moto che la distanza, dall'alta atmosfera alla superficie
terrestre si ridurrebbe a qualche centinaio di metri solamente.

52. Lo spaziotempo
 L'accettazione del principio della costanza
della velocità della luce ci ha condotto a
riconoscere il valore relativo della
contemporaneità e a comprendere come la
distanza spaziale tra due eventi possa dar
luogo ad una separazione temporale tra gli
eventi stessi.
 Successivamente abbiamo visto come da
questi concetti discenda la diversa
valutazione delle distanze e dei tempi da
parte di due osservatori in moto relativo.
 Tutto questo è suscettibile di una semplice
interpretazione geometrica dovuta al
matematico tedesco Hermann Minkowski.
=
E

53. Lo spaziotempo
 Osserviamo che studiare il moto di un corpo significa trovare il legame tra





le varie posizioni assunte dal corpo nello spazio e gli istanti di tempo
corrispondenti.
Soltanto la loro unione ha un significato effettivo nella rappresentazione
del fenomeno.
D'altra parte, quello che stiamo dicendo vale per qualunque altro fatto
fisico, nel senso che esso si offre alla nostra percezione come evento
collocato nello spazio e nel tempo.
La fisica classica aveva scisso la realtà dello spazio-tempo in due entità
separate, lo spazio e il tempo.
Ciò è comprensibile perché, per il fisico classico, due osservatori valutano
alla stessa maniera la durata di un fenomeno, indipendentemente dal
luogo e dallo stato in cui si trovano l'uno rispetto all'altro.
Il tempo per loro è assoluto.
=
E

54. Lo spaziotempo
La relatività afferma invece che la valutazione
delle durate è diversa per due osservatori in moto
relativo, in quanto essi attribuiscono un ritmo
diverso allo scorrere del tempo; e la diversità è
determinata in ogni caso dalla velocità.
 Perché non assegnare allora ad ogni osservatore,
oltre che un sistema di coordinate spaziali, anche
una sua propria coordinata temporale?
 In tal modo egli può assegnare ad ogni evento
una posizione nel suo riferimento ed un istante
nel «suo» tempo.
 Questo è in sostanza quello che propose
Minkowski: ad ogni riferimento va associato un
sistema di quattro coordinate, tre per lo spazio e
una per il tempo.

=
E

55. Lo spaziotempo
=
E

56. Spaziotempo e osservatori inerziali
 Affinché la traiettoria di un corpo nello spaziotempo sia rettilinea il corpo non solo
si deve muovere in linea retta nello spazio ma il suo moto deve essere anche
uniforme nel tempo
 In altre parole la sua velocità e la sua direzione devono essere immutabili e quindi il
corpo si deve muovere a velocità costante
 Ora nonostante osservatori diversi discordino sulle misure di spazio e tempo
cionondimeno concordano sul fatto che una linea retta è sempre una linea retta.
 La traiettoria seguita da un osservatore inerziale nello spaziotempo è una retta
ovvero la linea più breve che congiunge due punti (almeno nella geometria
euclidea)
 Quindi possiamo affermare che gli osservatori inerziali, cioè gli
=
E
osservatori che non sperimentano l’effetto di alcuna forza, sono quelli le
cui traiettorie coincidono con le linee di minore distanza (geodetiche) fra
due punti
 Registrate quest’informazione perché ci servirà più avanti!

57. Sulla dilatazione temporale
 Siamo avvezzi al fatto che i corpi si muovono nello spazio, ma esiste un altro tipo di






moto che ha pari importanza: il moto nel tempo!
Qualunque entità nello spazio fisico si muove nel tempo alla velocità della luce
In realtà quello che si dimostra nella teoria della relatività ristretta è che la velocità
combinata del moto di un corpo nello spazio e nel tempo è sempre esattamente
uguale alla velocità della luce
la velocità massima nello spazio si raggiunge quando il moto attraverso il tempo
viene trasferito tutto al moto attraverso lo spazio, il che ci consente di capire perché
sia impossibile viaggiare ad una velocità superiore a quella della luce
La luce che viaggia sempre alla stessa velocità massima è speciale perché è l’unica
che riesce costantemente ad utilizzare tutto il suo capitale di velocità per il moto
attraverso lo spazio
Così come quando si viaggia dritti verso est la velocità verso nord è nulla, quando ci
si muove alla velocità della luce nello spazio non ci si muove più nel tempo!
Alla velocità della luce nello spazio il tempo si ferma!
=
E

58. Sulla dilatazione temporale
tempo
spazio
=
E

59. La Teoria della
Relativita’
Generale
=
E

60. Il Principio di Relatività
 Nell'ambito della meccanica classica, il principio di relatività di Galileo




stabilisce l'equivalenza di tutti i sistemi di riferimento inerziali ai fini della
descrizione dei fenomeni meccanici.
Il contenuto di questo principio, come s'è visto, può esprimersi
semplicemente dicendo che un osservatore, a bordo di un veicolo in moto
Con velocità costante, non ha alcuna possibilità di dire, in base ad
esperimenti meccanici, se egli si trovi in uno stato di quiete o di moto.
La relatività speciale estende l'equivalenza dei riferimenti inerziali nei
confronti di tutti i fenomeni fisici, e non solo di quelli puramente meccanici.
In altri termini, l'osservatore a bordo di un sistema inerziale non può
stabilire e il veicolo è fermo o si muove, qualunque sia il tipo di
esperimento che egli escogita per provarlo.
Tuttavia l’unificazione di movimento e quiete scoperta da Galileo secoli
prima riguardava soltanto il moto uniforme cioè il movimento lungo una
linea retta a velocità costante
=
E

61. Il Principio di Relatività
 La distinzione fra moto accelerato e non accelerato non si sarebbe potuta




cancellare qualche modo?
Einstein intraprese una via verso la soluzione di questo problema che lo
riportò al fondamento stesso del principio di relatività e che, nello stesso
tempo, lo portò ad una comprensione più profonda della gravitazione
universale.
Prima di tutto chiediamoci se esiste un modo univoco per distinguere un
moto accelerato da un moto non accelerato
In altre parole quello di cui abbiamo bisogno è un criterio assoluto sulla
base del quale tutti gli osservatori che si muovono gli uni rispetto agli altri
di moto rettilineo uniforme concordano per poter stabilire se un corpo
acceleri o no
La soluzione a questo problema richiede ancora una volta il concetto di
spaziotempo …
=
E

62. Moto uniformemente accelerato
=
E

63. Accelerazione e spaziotempo
 Sfruttando quest’idea arriviamo ad enunciare un criterio assoluto sulla
base del quale tutti gli osservatori che si muovono gli uni rispetto agli altri
di moto rettilineo uniforme concordano per poter stabilire se un corpo
acceleri o no
 Se la traiettoria seguita da un corpo nello spazio tempo è una linea retta
allora non c’è accelerazione
 Se invece ha una qualsiasi altra forma che non sia una linea retta allora c’è
accelerazione
 Le forme geometriche delle traiettorie nello spaziotempo sono il criterio
assoluto per stabilire se qualcosa sta accelerando o no
=
E

64. Accelerazione e Gravità
 Fu a questo punto che Einstein ebbe la sua più straordinaria delle sue
intuizioni
 Si rese conto che gli effetti dell’accelerazione erano indistinguibili dagli
effetti della gravità!
 Immaginiamoci per esempio, un osservatore a bordo di un veicolo spaziale,
che viaggia in una remota regione dell'uni verso, lontana da qualsiasi corpo
capace di esercitare un'attrazione gravitazionale. In queste condizioni la
navicella vola attraverso lo spazio in linea retta e con velocità costante.
Supponiamo ora che il motore venga acceso e che la navicella acceleri
guadagnando velocità.
 Il risultato della manovra sarà che tutti gli oggetti e gli stessi astronauti, dopo
un po', si troveranno addossati alla parete posteriore e poggeranno su di
essa proprio come se stessero sul pavimento di una stanza. I viaggiatori
potranno anche alzarsi e camminare, non trovando alcuna sostanziale
differenza tra la forza che agisce sui loro corpi e la normale forza di gravità
esistente sulla Terra.
=
E

65. Accelerazione e Gravità
=
E

66. Accelerazione e Gravità
=
E
Esaminiamo il caso opposto e supponiamo che l’astronave precipiti liberamente verso
la terra in caduta libera. Chi si trova nella cabina si sentirà senza peso, esattamente
come si sentono gli astronauti nello spazio vuoto. In altre parole, l'accelerazione
dell'astronave che precipita può annullare completamente gli effetti della gravità.

67. Accelerazione e Gravità
 Quindi Einstein riuscì ad unificare tutti i tipi di movimento.
 Lo stato di quiete è indistinguibile da quello di moto rettilineo uniforme …
 L’accelerazione non è diversa dalla quiete se non per la presenza di un




campo gravitazionale …
Ma si può fare ancora meglio …
Consideriamo infatti di nuovo i due osservatori “inerziali”, quello nello
spazio profondo e quello in caduta libera in un campo gravitazionale
Ricordate che gli osservatori inerziali sono quelli che si muovono lungo le
linee geodetiche di una geometria ?
Che cosa accade adesso ?
=
E

68. Geometria e Gravità
1200
1000
600
400
200
0
=
E
0
200
400
600
800
1000
1200
t
1200
1000
800
s
s
800
600
400
200
0
0
200
400
600
t
800
1000
1200

69. Geometria e Gravità
 Sarebbe bello se potessimo affermare che essi sono del tutto equivalenti,
ad esempio sarebbe fantastico se potessimo fare un’affermazione del tipo
“Tutti gli osservatori inerziali (cioè tutti gli osservatori che non
sperimentano l’effetto di alcun tipo di forza) si muovono lungo le
geodetiche dello spaziotempo”
=
E
 Il primo osservatore però percorre una linea retta nello spaziotempo
mentre il secondo percorre una traiettoria curva
 Ma la linea più breve fra due punti è sempre una linea retta ??
La risposta è NO!

70. Geometria e Gravità
=
E

71. Geometria e Gravità
 L'idea di Einstein fu di interpretare la presenza del campo gravitazionale
come dovuto non ad un effettivo campo di forza, ma piuttosto a una
curvatura o distorsione attribuibile allo spaziotempo stesso.
 In altre parole,gli osservatori inerziali si muovono sempre secondo le linee
più brevi dello spaziotempo (geodetiche), ma i risultati delle misure si
discostano da quelli previsti dalla geometria euclidea a causa di
un'intrinseca curvatura dello spaziotempo, provocata dalla presenza di una
massa gravitazionale.
 In definitiva l'azione gravitazionale, ad esempio, del Sole o della Terra non
si esplica attraverso un' azione fisica sui corpi materiali, bensì sotto forma
di una modificazione geometrica dello spaziotempo.
 Le modificazioni indotte nello spaziotempo dalla presenza delle masse
gravitazionali ci consentono di interpretare geometricamente il fenomeno
della gravitazione.
=
E

72. Geometria e Gravità
 Secondo questo punto di vista, non
c'è bisogno di ricorrere alla nozione
di forza per descrivere il moto dei
corpi celesti, in particolare quello
dei pianeti.
 In questo caso, per esempio, basta
sostituire all’idea newtoniana della
forza, che il Sole esercita sui pianeti
facendo loro descrivere delle orbite,
un concetto di carattere puramente
geometrico.
 Si può dire cioè che, in uno
spaziotempo
incurvato
dalla
presenza della massa solare, i
pianeti (e qualsiasi altro corpo) si
muovono obbedendo alla legge
d’inerzia e seguendo le linee
geodetiche.
=
E
1
Rµν − g µν R = −8π G Tµν
2

73. La deflessione dei raggi luminosi
 Il Principio di Equivalenza ha una conseguenza assolutamente inaspettata,
ed estranea alla Fisica Classica.
 Supponiamo di trovarci in un razzo che si muove con accelerazione elevata,
e di avere un fascio di luce che attraversi più schermi fluorescenti, posti a
distanza costante d , così da lasciare su di essi una traccia visibile
=
E

74. La deflessione dei raggi luminosi
 Si può dimostrare che il moto del raggio di luce, composto di un moto in






progressione aritmetica (con legge lineare) e di un moto in progressione
geometrica (con legge quadratica), è parabolico!
Il campo di accelerazioni ha deflesso il raggio di luce lungo la stessa
traiettoria di una palla di cannone!
Orbene, per il Principio di Equivalenza, ciò deve essere vero anche in un
sistema gravitazionale.
In altre parole, anche la gravità deve essere in grado di deflettere un
raggio di luce, altrimenti io avrei trovato un modo per distinguere un
campo di gravità da uno di accelerazioni, ed avrei distrutto il Principio di
Equivalenza.
La luce dunque cade in un campo gravitazionale!
Questo fenomeno è coerente con l’interpretazione geometrica del campo
gravitazionale.
La luce percorre sempre il cammino più breve … ma il cammino più breve
non è più una linea retta!
=
E

75. La deflessione dei raggi luminosi
 Se il campo gravitazionale
é molto più forte di quello
terrestre e le distanze
considerate sono grandi,
su scala astronomica, il
fenomeno può diventare
rilevabile.
 Per esempio, un raggio di
luce che passi accanto al
Sole può venire deflesso
da esso in maniera
sensibile
=
E

76. La deflessione dei raggi luminosi
 Il fenomeno della "lente gravitazionale" può facilmente essere compreso
quando si tenga presente il risultato sopra esposto, ovvero che un raggio
di luce viene deviato dalla sua traiettoria (altrimenti rettilinea) tanto di
più quanto maggiore è la massa che si interpone tra la sorgente luminosa
e l'osservatore e tanto più "radente" è il passaggio.
 Questa deflessione ricorda molto da vicino la deviazione dei raggi
luminosi operata dalle comuni lenti d'ingrandimento, ed è per questo
motivo che si parla di "lente" gravitazionale.
 In realtà le leggi che regolano la deviazione dei raggi luminosi dai campi
gravitazionali sono più complesse di quella dell'ottica geometrica, e
possono portare alla formazione di immagini multiple, a seconda della
posizione relativa tra sorgente luminosa, massa deviante, e posizione
dell'osservatore.
 Non è difficile immaginare inoltre che anche la forma e la distribuzione
della massa all'interno del corpo deviante siano importanti nel
determinare le caratteristiche dell'immagine finale.
=
E

77. La deflessione dei raggi luminosi
=
E

78. Quando la curvatura diventa infinita (?)
La curvatura dello spazio-tempo cambia a seconda della
massa dell'oggetto
=
E
Se un oggetto è abbastanza massivo (almeno 3
volte la massa del Sole) può collassare fino a un
punto
(singolarità → la teoria non è completa?)

79. Buchi Neri
,
 I buchi neri sono previsti dalla Relatività
Generale (soluzione di Schwarzschild)
 Sono regioni in cui la curvatura è così forte da
intrappolare anche la luce
 Nulla che vi si avvicini troppo (orizzonte degli
eventi) ne può fuggire
 Nel caso di un buco nero, l'orizzonte degli
eventi si crea nel momento in cui, in un corpo
autogravitante, la “materia” è così
concentrata che la velocità di fuga dovrebbe
essere pari o addirittura superiore a quella
della luce.
=
E
2GM
rS = 2
c

80. Buchi Neri
 Osservatore che attraversa l'orizzonte:
non si accorge di nulla e procede verso
la singolarità in un tempo finito per il
suo orologio
 Osservatore lontano dal buco nero:
vede l'altro osservatore avvicinarsi
all'orizzonte ma mai raggiungerlo
 Un errore molto comune è quello di
immaginare l'orizzonte degli eventi di
un buco nero come una superficie
statica di forma più o meno sferica.
Quello che è invece bene tenere
presente è che si tratta di un orizzonte
a tutti gli effetti, ovvero di qualcosa di
non raggiungibile e che si allontana
all'avvicinarsi di un osservatore
(esattamente
come
l'orizzonte
terrestre).
=
E

81. Buchi Neri
 Secondo una definizione data da Roger Penrose in un buco nero, l'orizzonte
degli eventi è una particolare superficie dello spazio-tempo che separa i
posti da cui possono sfuggire segnali da quelli da cui nessun segnale può
sfuggire.
 In una accezione molto più generale, se per "evento" si intende un
fenomeno (particolare stato della realtà fisica osservabile), identificato dalle
quattro coordinate spazio-temporali, un "orizzonte degli eventi" può essere
definito come una regione dello spazio-tempo oltre la quale cessa di essere
possibile osservare il fenomeno.
 Nel caso dei buchi neri di Schwarzschild, l'orizzonte degli eventi è una
superficie sferica che circonda una singolarità posta al centro della sfera;
quest'ultima è un punto nel quale la densità sarebbe infinita e le leggi della
fisica, secondo la teoria della relatività generale, perdono significato.
=
E

82. Buchi Neri o Stelle Nere ?
 Alcuni scienziati hanno messo in dubbio l'esistenza dei buchi neri e hanno
ipotizzato che i corpi celesti identificati attualmente come buchi neri ma
solo osservati indirettamente siano in realtà "stelle nere" prive di orizzonte
degli eventi.
 Tali scienziati hanno visto come la definizione attuale di buco nero provochi
alcuni paradossi: uno di questi è quello della perdita di informazioni.
 Questo paradosso consiste nel fatto che un buco nero, che contiene al suo
interno un enorme quantità di informazioni, evapori emettendo la
radiazione di Hawking, che tuttavia non porta con sé nessuna
informazione.
 Di conseguenza, durante l'evaporazione del buco nero, le informazioni
contenute in esso svaniscono nel nulla. Questa perdita di informazioni
contraddice una proprietà fondamentale della meccanica quantistica,
l'unitarietà, secondo cui nessuna informazione può essere distrutta.
=
E

83. La prossima (?) unificazione
 Lo studio dei buchi neri, così come quello relativo alle condizioni iniziali
dell’universo, pone domande alle quali la Teoria della Relatività Generale da
sola non può rispondere
 Occorre affrontare il problema di trovare una teoria che descriva i fenomeni
gravitazionali in condizioni estreme di densità e a distanze piccolissime
 In queste condizioni tuttavia non possiamo prescindere dall’ “altra” grande
teoria della fisica moderna: la meccanica quantistica
 Purtroppo le due teorie partono da presupposti concettuali completamente
incompatibili e sebbene si siano fatti enormi passi avanti nel rendere
coerente la meccanica quantistica con la teoria della relatività speciale
(Teoria Quantistica dei Campi) non esiste a tutt’oggi una teoria quantistica
in grado di descrivere in maniera neanche lontanamente soddisfacente i
fenomeni gravitazionali.
=
E

84. La prossima (?) unificazione
 L’unificazione di Einstein del campo gravitazionale con la geometria dello






spazio tempo indica una profonda trasformazione del nostro modo di
concepire la natura;
Prima di Einstein si credeva che lo spazio e il tempo avessero proprietà
eternamente immutabili;
Le cose si muovevano nello spazio e si evolvevano nel tempo ma lo spazio e
il tempo non si modificavano mai
La teoria della relatività generale è completamente diversa
Non esiste un background fisso. La geometria dello spazio e del tempo
cambia e si evolve come tutte le altre cose
Non abbiamo più campi che si propagano in una geometria di sottofondo
fissa. Abbiamo un insieme di campi ognuno dei quali interagisce con tutti gli
altri e influenza tutti gli altri, tutti dinamici e uno di questi è la geometria
dello spaziotempo
Una tale teoria è detta teoria indipendente dal background
=
E

85. La prossima (?) unificazione
 Candidati possibili
 Teoria delle superstringhe
 Loop Quantum Gravity
 ????
=
E
 Ma questo è un altro viaggio …

86. Grazie!
=
E