1) O documento discute limites de funções e continuidade. Primeiramente reescreve o expoente de uma expressão e calcula valores de constantes e limites.
11. 9.3. DERIVADA 343
Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente
3 ‘ 3 ¥ E! D
D
angular da reta é . O coeficiente angular da reta normal à curva é:
¤
V
S 3 ¥ 3 ( ¤
T 'e c ¨
( 3V
Como as retas são paralelas, temos que ¤ ¤
, isto é:
3 'e c ¨ § 'e ¨ S
3 c D § ¢(¥b 3
logo, temos que
( ¥ b D 3 ( ¥ b c¨ ( ¥ b 3 ¥ . A equação da reta normal à curva que passa pelo
ponto é:
( ¥ b D ' ( ¥ b
§
( ¥ b 7 3 ( ¥ b g ¥
D ¥ T(¥b 3
0.6
0.4
0.2
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
-0.2
-0.4
Figura 9.8: A reta ¥
(¥b 3 .
[4] Determine os parâmetros , e
tais que a parábola
) £ B¡ ¥
) ( 3 tangencie a reta
¥
3
no ponto de abscissa e passe pelo ponto .
‘ ' X$
Solução : Como o ponto
‘ ' X$
deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos
que:
T ‘ 3 ) $
3
Como a parábola deve tangenciar a reta
3 no ponto de abscissa , temos que se
3 ¥ , então
' $ ¥
. Isto é, o ponto é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:
T 3 ) D
O coeficiente angular da reta é ¤
3 e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é
¤
D 3 ¥ 3 (, logo ) ( 3V ¤
)
V D 3 $ (
. Como :¤ ¤
T 3 ) D
Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:
)
‘ 3
) 3
)
D 3 '
12. 344 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
cuja solução é: V 3 3 e ) V( 3 .
2
1
1
Figura 9.9: Exemplo [4].
[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação
¥
§ § B ‘ ( D C 3
¢
, sendo
£ y ¨ ¨ §
. Um caçador, munido de um rifle está localizado no yd
‘‘
ponto . A partir de que ponto da colina, a fauna estará segura?
'
Solução : Denotemos por
¥ ' e 3 7
o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo
caçador, situado no ponto
‘ ' D
. A fauna estará a salvo, além do ponto onde a reta que liga
7
‘ ' D
à colina seja tangente à mesma.
2
Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.
Observe que
5 D 3 ¥
¢ £
é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo,
no ponto , temos
7 5 D 3 ¥ ¢ £
e a equação da reta tangente é:
¥ T !e'y ¤ D $ 3 ¥
¢ £
Como a reta passa por
‘ ' D , temos:
$ T D 'y 5 D $ 3 ¥
¢ £
7
O ponto também pertence à parábola; então:
T § § ¤ ( ˆ 3 ¥ D
¢ £
14. 346 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
9
4
1
-4 -2 6
Figura 9.12: Exemplo[7].
[8] Nos pontos de interseção da reta com a curva
, traçam-se as
¥
‘ 3 9
¥ ¥ Y ( 3
normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtende
os referidos pontos de interseção.
Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta
‘ 3 ¤ ¥ 1
com a curva:
¥
(
¥ Y ¤4 3
¥ T 3
Obtemos
‘ 3 Y e' e 3 Y C ¥ (
; então e
Y 3 3
; logo temos os pontos
7 D ' $ 3
e
7 ¥' Y 3 (
. Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por:
V
¤
3 ¢ Y ! D 3
¥
¤
V( 3 $
e ¤
V 3 Y . As equações das normais em (7 V7 e , são respectivamente:
D '
3 ¥
Y T Y D 3 0 ¥
Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:
D ¥
4 3
Y ¥ ¢ Y #4C 3
D
obtemos
§ 3 5( 3 ¥
e . Seja
5
' ( § 37 . A área do triângulo de vértices
7 (7 V
, e
7
é dada por
, onde:
(¡ 3
¢ ¥ D 3 ££££ § Y ££££ 3 §
T
T @ ¥Y 3
£ D ¥ ¥ D £
¤