Volatility models and their applications in Finance (3/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-3

Volatilitat i Correlació
Gerard Albà
Xavier Noguerola
FME UPC – febrer 2014

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
1. Introducció
2. Volatilitat
2.1 Volatilitat històrica.
2.2 Volatilitat implícita.
2.3 Volatilitat implícita vs real.
Sessió Pràctica 1:

Gregues. Gestió del risc d’una opció.
Gestió d’un llibre de derivats.
Informació de mercat sobre volatilitat.

2.4 Models de volatilitat.
2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH.
2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Volatilitat.
Local, Volatilitat Estocàstica i Jump diffusion
2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat.
2


3. Correlació
3.1 Introducció. Covariància i correlació.
3.2 Correlació històrica i implícita.
3.3 Models de correlació.
3.4 Trading de correlació.
3.5 Inconvenients de la correlació.
3.6 Altres mesures de dependència. Exemple: Opció Composite.
3.7 Efectes de la correlació en la valoració i càlcul de gregues.
3.8 Inconvenients en l’ús de paràmetres no observables. Provisions.

3


2.4 Models de volatilitat
•

Històricament, s’observa:
–

Moviments reduïts de l’acció venen seguits d’altres moviments
reduïts, i moviments accentuats venen seguits de més moviments
accentuats (clustering).

–

Reversió a la mitjana de la volatilitat històrica.

–

Correlació negativa entre rendibilitats de l’acció i volatilitat
implícita

4


•

i en la volatilitat implícita:
–

Les volatilitats de curt termini es mouen més que les de llarg
termini.

–

Les volatilitats implícites en strikes “a la baixa” més elevades que
les volatilitats per strikes “a l’alça” (skew).

–

Les volatilitats implícites es mouen més quan la volatilitat
implícita és més alta.

–

L’skew de la volatilitat implícita a curt termini molt més accentuat
que a llarg termini (salts – jumps-)

5

•

Índex S&P500 des del 1990 a 2005

6

•

Moviments superiors al 4% i volatilitat. Salts en ambdós.

7


•

Els models de volatilitat poden ser utilitzats tant en la
predicció del nivell de volatilitat actual com en la valoració
d’opcions.

•

Existeixen dues famílies de models de volatilitat:
–

Models discrets (usats en la predicció)
•
•

–

EWMA
ARCH i GARCH

Models continus (usats en la valoració d’opcions)
•
•
•

Volatilitat local
Volatilitat estocàstica
Jump diffusion.

8


2.4.1 Models de volatilitat discrets: EWMA, GARCH
• Per tal de calcular la volatilitat actual, l’estimador de la
m
σ n2 =

volatilitat

1
2
∑ rn−i
m i =1

es pot modificar assignant

diferents ponderacions α i a les observacions, de manera que
les observacions més recents contribueixin més:
m

σ n = ∑ α i ⋅ rn −i
2

2

αi < α j i > j

i =1

m

∑α
i =1

i

=1

• També podem afegir al model una volatilitat mitjana V a llarg
termini amb un cert pes γ:
m

σ n = γ ⋅V + ∑ α i ⋅ rn −i
2

m

γ + ∑α i = 1

2

i =1

i =1

• Model ARCH(m):
m

σ n = ω + ∑ α i ⋅ rn −i 2
2

i =1

9


• En el model de mitjana mòbil exponencial (EWMA) s’usa un
factor λ (λ ≤1 per assignar els pesos a cada observació.
)
• A les observacions més recents se’ls assigna una ponderació
major que les anteriors:

α i = λ ⋅ α i −1
• S’obté la següent expressió pel càlcul successiu de les
volatilitats:

σ n 2 = λ ⋅ σ n −12 + (1 − λ ) ⋅ rn −12

• El model EWMA s’usa sobretot en càlculs de riscos VaR. Podeu
veure “RiskMetrics-Technical Document” de RiskGroup
(JPMorgan et al) (λ=0.94 per diària; 30 dies aprox és el periode
d’observació efectiu. λ=0.97 per mensual; 100 dies)
10



γ +α + β = 1

• Model GARCH(1,1):

σ n = γ ⋅V + α ⋅ rn −1 + β ⋅ σ n −1
2

2

• EWMA és GARCH(1,1) amb

α + β <1

2

γ = 0 α = 1− λ β = λ

• GARCH presenta reversió a la mitjana, tal com s’observa en
els mercats. EWMA no té reversió.
• Model GARCH(p,q) calcula σ n a partir de les p observacions
més recents i les q darreres estimacions de la variància.
2

• GARCH(1,1) σ n = ω + α ⋅ rn −1 + β ⋅ σ n −1
es calibra
ajustant els paràmetres amb funcions de màxima
versemblança. Implica càlcul massiu, sobretot en cas
multivariant.
2

2

2

11


• Model GARCH de Heston:

1 2
rn = µ − σ n + σ n ⋅ ε n
2

σ n 2 = ω + α ⋅ rn −12 + β ⋅ ε n −12
–
–

εn
µ

segueix una distribució N(0,1)
tipus d’interès compost continu

• Es poden calibrar els paràmetres mitjançant preus de mercat
d’opcions europees, ja que en aquest model es té fórmula
tancada per la seva valoració.
• En el límit quan el pas de temps tendeix a 0, aquest model
ens dóna un model continu de volatilitat estocàstica.

12


13


14


15


2.4.2 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Local,
Estocàstica i Jump diffusion
• Els models més importants de modelització de la volatilitat
i de valoració d’opcions més enllà de Black-Scholes són:

Volatilitat Local
Volatilitat Estocàstica
Jump diffusion

16


• Black-Scholes:

dSt
= µt dt + σ t ⋅ dWt
St
∂Vt σ t St ∂ 2Vt
∂V
+
+ µt St t − rVt = 0
∂t
2 ∂St 2
∂St
2

2

17


• Volatilitat Local:
– És una metodologia pràctica i simple per valorar opcions
exòtiques de manera consistent amb l’skew de volatilitat del
mercat de les opcions vainilles. Extensió Black-Scholes.
– És conegut que la funció de densitat (risc neutral) per la
distribució de probabilitats dels preus d’un actiu subjacent St a
venciment T (és a dir, distribució d’ST) es pot obtenir dels
preus d’opcions europees:

{C (S o , K , T ); K ∈ (0, ∞ )}

– Donada la distribució dels preus ST per cada T amb preu inicial
S0, ∃! procès de difusió que la genera.

dS t
= µ t dt + σ (S , t ; S 0 )dWt
St
18


•

Volatilitat Local:

–

Per tant, donats els preus d’opcions europees per diferents
strikes
{C (S o , K , T ); K ∈ (0, ∞ )} , ∃! procès de difusió que genera
aquests preus. És a dir, existeix una única funció (Volatilitat
Local) σ (S , t ; S ) que calibra els preus de mercat de les opcions
0
europees.

19


– Com calculem la funció Volatilitat Local?

dS t
= µ t dt + σ (S , t ; S 0 )dWt permet
– El Lema d’Ito aplicat a:
St
obtenir EDP pel preu de l’opció europea (anàleg a BlackScholes.):

∂C σ t K 2 ∂ 2C
∂C 

=
+ µt ⋅  C − K

2
∂T
2 ∂K
∂K 

2

T

∫ µt dt

– o bé, equivalentment, si C=C(FT, K, T) amb FT = S 0 ⋅ e 0

∂C σ 2 K 2 ∂ 2 C
=
∂T
2 ∂K 2
20



∂C
∂T
σ 2 (K , T , S 0 ) =
1 2 ∂ 2C
K ⋅
2
∂K 2

21


Per tant, amb el preu d’una opció en un cert instant de
temps, amb els preus de dues opcions d’strikes adjacents i
el d’una opció amb venciment a l’instant posterior, podem
calcular la volatilitat local en aquest instant. És a dir, amb
butterflies i calendar spreads d’opcions podem obtenir
(garantir-nos) volatilitats implícites futures (anàleg a tipus
d’interès forward).
Podem usar volatilitats locals en arbres, MonteCarlo,
diferències finites per EDPs per valorar derivats
complexos.

22


– Avantatges:
Calibració exacta de la superfície de volatilitats de mercat.
Mercat complet (existeix cartera replicant) i tots els
paràmetres són observables.
Solució senzilla pel pricing (EDP,Crank Nicholson.
Aproximacions analítiques per opcions amb barrera).

– Inconvenients:
Dinàmica de l’skew no realista.
L’estructura de volatilitat futura (implícita) que resulta no
correspon a la realitat. Especialment, per dates futures
allunyades es perd l’skew.
La calibració és molt sensible a interpolació/extrapolació dels
preus discrets observats de mercat.

23


• Volatilitat Estocàstica:
– Els models de volatilitat estocàstica modelitzen la volatilitat
mitjançant un procés continu estocàstic.
– Els models poden ser integrats en els processos habituals de
modelització de preus.
– Existeixen diversos models de volatilitat estocàstica:
– Heston
– Hull & White
– Ornstein-Uhlenbeck

24


• Model de Heston:

(

)

dσ t2 = κ θ 2 − σ t2 dt + γσ t dWt (2 )
σ0
θ
κ
γ

Volatilitat a curt termini
Volatilitat a llarg termini
Velocitat de reversió a la mitjana κ > 0
Volatilitat de la Volatilitat γ ≥ 0

dS t
= µ t dt + σ t dWt (1)
St
•

dWt (1) , dWt ( 2 ) amb distribució N (0, dt ) i correlació ρ.
25


– Modelitza reversió a la mitjana i correlació entre la volatilitat i el
preu de l’actiu subjacent.
– Suposant σ t < θ , el model implica que a l’instant següent t+dt, la
volatilitat haurà augmentat en mitjana, ja que θ 2 − σ 2 > 0
i
t
l’esperança de l’altre terme és 0. Anàlogament, la volatilitat
disminueix si σ t > θ
. La velocitat de reversió a la mitjana
determina la força de retorn cap a la mitjana θ .
– La correlació ρ afecta l’skew de volatilitat. Per exemple, per una
correlació positiva, un augment de la rendibilitat de l’actiu vindrà
acompanyat, en mitjana, d’un augment de la volatilitat. És a dir,
la volatilitat implícita augmenta amb l’strike.
– El paràmetre de volatilitat γ afecta a la kurtosi (fat tails).
26


– Existeix fórmula tancada de valoració d’opcions vainilla europees
– S’usa per valorar altres opcions exòtiques, calibrant el model a
partir dels preus de mercat de vainilles.
– Sovint es valora usant MonteCarlo o diferències finites, calibrant
amb preus de mercat.
– Valoració usant MonteCarlo:

27


Exemple de valoració usant simulacions de Montecarlo:
Option Explicit
Option Base 1
Global Const Pi = 3.14159265358979
Function opcioPVHeston( _
ByVal CallPutFlag$, _
ByVal data1 As Date, _
ByVal data2 As Date, _
ByVal S0#, _
ByVal K#, _
ByVal r#, _
ByVal div#, _
ByVal vol#, _
ByVal kappa#, _
ByVal theta#, _
ByVal lambda#, _
ByVal rho#, _
ByVal N&, _
ByVal m&)
'kappa=Velocitat de reversió a la mitjana (>0)
'theta=Volatilitat a llarg termini
'lambda=Volatilitat de la volatilitat (>=0)
'rho=correlació entre les variables aleatories
'
del preu del subjacent i la volatilitat
'N=nombre de tirades de MC
'm=discretització de temps
Dim
Dim
Dim
Dim

rnd1#, rnd2#
S#, v#, dt#
i&, j&, cpflag%
valor

valor = 0

28

Select Case CallPutFlag
Case "CALL":
cpflag = 1
Case "PUT"
cpflag = -1
Case Else:
opcioPVHeston = "ERROR EN TIPUS D'OPCIÓ!!!"
Exit Function
End Select
'Comprovem si la data d'inici es superior a la de venciment
If data1 >= data2 Then
valor = Max(cpflag * (S0 - K), 0)
Else
'Definim tic de temps
dt = (data2 - data1) / (365 * m)
For i = 1 To N
v = vol * vol
S = S0
For j = 1 To m
'Generem dos nombres aleatoris correlacionats
rnd1 = BoxMuller()
rnd2 = rho * rnd1 + Sqr(1 - rho * rho) * BoxMuller()
S = S * Exp((r - div - 0.5 * v) * dt + Sqr(v * dt) * rnd1)
v = v + kappa * (theta * theta - v) * dt + lambda * Sqr(v * dt) * rnd2
If v < 0 Then
v = -v
End If
Next
'payoff
valor = valor + Max(cpflag * (S - K), 0)
Next
opcioPVHeston = valor / N
End If
End Function

29


Function BoxMuller()
Dim x As Double
Dim y As Double
Dim dist As Double
Do
x = 2 * Rnd() - 1
y = 2 * Rnd() - 1
dist = x * x + y * y
Loop While dist >= 1 Or dist = 0#
BoxMuller = x * Sqr(-2 * Log(dist) / dist)
End Function

30


31


32


• Altres models de volatilitat estocàstica:
– Hull&White: (Volatilitat sense reversió a la mitjana)

dσ t2 = κσ t2 dt + γσ t2 dWt ( 2)
– Ornstein-Uhlenbeck: (La variància pot resultar negativa)

(

)

dσ t2 = κ θ − σ t2 dt + γdWt ( 2 )
33


• Volatilitat Estocàstica:
– Avantatges:
Calibració adequada de l’smile de mercat pels terminis llargs.
Dinàmica de l’smile realista.

– Inconvenients:
Calibració inadequada de l’smile per terminis curts.
Problemes en un mercat incomplet o amb paràmetres no
observables.
Solució numèrica complexa.

34


• Jump diffusion:

dSt
= (µt − λ ⋅ M )dt + σ t dWt + M ⋅ dPt
St
– λ es la mitjana de salts a l’any (nombre de salts)
– M és la magnitud mitjana del salt (%)
– dP amb distribució de Poisson (independent de
t
freqüència λ ⋅ dt :

dWt

) amb

dPt ~ Poisson(λ ⋅ dt )
35


• Jump diffusion:
– Avantatges:
Calibració adequada de l’smile de mercat pels terminis curts.
Dinàmica de l’smile realista.
Existeix fórmula analítica de valoració de vanilles europees.

– Inconvenients:
Calibració inadequada a l’smile per terminis llargs.
Problemes en un mercat incomplet o amb paràmetres no
observables.
Solució numèrica complexa.

36


• Models Universals:

Els models universals corresponen a combinacions dels tres
models anteriors (volatilitat local, estocàstica i de jump
difussion), alguns fins i tot amb jumps en la volatilitat.

Aquestes combinacions permeten obtenir models que
reuneixen els avantatges dels models inicials però també
presenten més problemàtica en altres aspectes (per exemple,
en la complexitat de càlcul dels paràmetres).

37


Estocàstica i Jump diffusion. Exemple.
• Model de volatilitat local estocàstica (SLV):
=

∙

∙

= − ∙
∙

+

,

∙

− ∙

∙

+

=

∙

∙
∙

∙

on:
,

∙

|

=

=

,

⇒

,

=

∙

|

=

=

,

,
!" |

#$

38


Estocàstica i Jump diffusion. Exemple.
Valoració alternativa sense model específic de volatilitat per a
opció exòtica (per exemple, opció FX amb barrera):
o Calcular preu teòric usant entorn B-S (volatilitat ATM constant).
o Considerar skew:
Portfolio de vainilles que replica aproximadament la Vega
de l’opció exòtica (implica, doncs, opcions OTM, i.e.,
utilització de l’skew). Es determinen nominals usant, per
ex., mínims quadrats i un univers finit de vainilles.
Calcular cost/benefici (primes) de la cartera respecte
valoracions ATM.

o Preu exòtica = Valor teòric + cost/benefici de l’skew.

39


2.5 Trading de volatilitat. Swaps de volatilitat
• Un swap de volatilitat és un derivat que té com a subjacent la
volatilitat d’un cert actiu durant un període de temps.
• Tal com un swap de tipus d’interès que permet intercanviar un
tipus fix per un de flotant, els swaps de volatilitat permeten
intercanviar una volatilitat fixada per la volatilitat futura real.
• Permeten tenir una exposició a la volatilitat d’un subjacent,
independentment de moviments direccionals d’aquest.

40



• Si la volatilitat fixa és Vf (també anomenada strike) i la
volatilitat real (anualitzada) al llarg del termini del contracte
és Vh, el payoff del swap de volatilitat és:
Payoff=Nominal x (Vh-Vf)
• La volatilitat real (històrica) es calcula segons una font,
freqüència i fórmula pactats inicialment.

41



• Els swaps de volatilitat són útils per a especular sobre valors
futurs de la volatilitat.

• També són molt útils per a market-makers d’opcions, ja que
permeten cobrir-se del diferencial entre la volatilitat real i la
implícita. El market-maker té un risc de volatilitat realitzada
en el delta-hedging, però les opcions es negocien segons
valors de volatilitat implícita.

42


• Exemple: Valoració d’un swap de volatilitat usant el model de
Heston:
– Swap cost zero:

E [σ − K ] = 0 ⇒ K = E [σ ]
E [σ ] ≈

[ ]

[ ] ([ ]

E σ +σ
Var σ + E σ − σ 0
−
3
2σ 0
8σ 0
2

2
0

2

2

)

2 2

– Model de Heston:

[ ]

Eσ

2

1 − e −κT 2
=
σ 0 −θ 2 +θ 2
κT

(

)

γ 2 e −2κT
[2(− 1 + e2κT κT )(σ 02 − θ 2 )+ (− 1 + 4eκT − 3e2κT + 2e2κTκT )θ 2 ]
Var [σ ] =
2κ 3T 2
2

43

Volatility models and their applications in Finance (3/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-3

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Mehr von Gerard Alba

Mehr von Gerard Alba (20)

Volatility models and their applications in Finance (3/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-3