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Gestión de Carteras


                   Gerard Albà
              Xavier Noguerola
          FME UPC – Mayo 2012
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers



  4. Carteras óptimas con Simulación de escenarios.
     Distribuciones no normales


  5. Medidas de evaluación de la gestión

      5.1 Ratios de performance

      5.2 Performance attribution




                                                      2
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

    4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

•    En los problemas de optimización de carteras, la incertidumbre
     proviene de la aletoriedad de los retornos de los activos.

•    Una alternativa para tratar el problema es simular un número elevado
     de escenarios para los precios de los activos que capture la
     aleatoriedad.

•    Estas técnicas son especialmente útiles para instrumentos con
     distribuciones de rentabilidad no-normal. En el caso de
     distribuciones normales, el conjunto de soluciones para distintas
     funciones objetivo (riesgo/rentabilidad) utilizando simulación de
     escenarios coincide con las soluciones tradicionales de media/varianza.
     Por ejemplo, para un determinado nivel de rentabilidad objetivo, la
     cartera con menor VaR coincide con la cartera de mínima varianza.

•    La generación (simulación) de escenarios con distribuciones
     marginales generales y con dependencias generales puede hacerse
     mediante funciones Copulas (Ver módulo de Volatilidad y Correlación)

                                                                          3
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• Consideramos N activos y S escenarios posibles del
  mercado al final del periodo [0, T] de la inversión.
• Sean:
   – q = (qi )i i = 1,..., N el vector de valores iniciales de los N
      activos
    – B el valor inicial del benchmark (activo libre de riesgo, por
      ejemplo)
           ( )
    – b = b j j j = 1,..., S el vector de los valores del benchmark a
      vencimento para los S escenarios
    – D = (d ij )i , j i = 1, L, N j = 1, L, S la matriz de valores de los N
      activos a vencimento para los S escenarios.
    – x = ( xi )i i = 1,..., N el vector de ponderaciones de los activos
      i=1,...,N en la cartera.
           ( )
    – p = p j j j = 1,..., S el vector de probabilidades de los
      escenarios.



                                                                               4
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• Definimos el vector tracking error :


                          y = DT x − b
• Definimos una medida de riesgo (el regret R):

                            R= y

• Por ejemplo, con norma        1     :

                                S
                           R = ∑ ps ⋅ ys
                               s =1



                                                    5
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios



                                                              ( )
• Podemos descomponer el tracking error en una
                                                 ( )
  componente positiva y una negativa: y + = ys s y
                                             +
                                                         y − = ys s
                                                                −

  s=1,...,S , donde:

             y s = max (0, y s ) ∀s ∈ S
               +
                                          upside error


             y s = min (0, y s ) ∀s ∈ S downside error
               −



• Tenemos que:
                              y = y+ − y−



                                                                    6
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• Un primer problema de optimización consiste en
  minimizar la función riesgo regret, con las restricciones
  para replicar el benchmark:
                               mín R
                               x
    – Con las restricciones:

                           y = DT x − b
• Observamos que si descomponemos x = x + − x − (x+,x-
  componentes no negativas), tenemos un problema que
  se resuelve con técnicas de programación lineal.




                                                              7
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• Se pueden añadir restricciones lineales al problema:

    – Ponderaciones mínimas y máximas en cada activo:
                       li ≤ xi ≤ ui   i = 1, L, N


    – Cantidad invertida máxima Co

                              q T ⋅ x ≤ Co




                                                         8
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios



 • El problema de optimización de riesgo/rentabilidad con
   escenarios y función regret se formula añadiendo una
   restricción con la relación entre riesgo y rentabilidad.



 • La restricción es sobre la rentabilidad por encima del
   benchmark que exigimos.




                                                              9
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• Observamos que la rentabilidad de la cartera en el
  periodo [0,T] para un escenario s es:
                              N

                              ∑ (d
                              i =1
                                      is   − qi ) ⋅ xi


• La rentabilidad del benchmark en el periodo [0,T] para
  un escenario s es:
                                     bs − B

• La rentabilidad de la cartera por encima del benchmark
  es:                N

                      ∑(d is − qi ) ⋅ xi − (bs − B )
                       i =1



                                                           10
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• La rentabilidad esperada de la cartera por encima del
  benchmark, es:



                 N           S
                                    N                
            B − ∑ qi ⋅ xi + ∑ ps ⋅  ∑ d is ⋅ xi − bs 
                i =1        s =1    i =1             




                                                          11
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• La rentabilidad esperada son los flujos esperados a T de
  comprar la cartera y vender (ponernos cortos) el
  benchmark al inicio:

    – Los flujos iniciales de vender el benchmark y comprar la
                                N
      cartera:
                            B−    ∑
                                  q i ⋅ xi
                                  i =1


    – Los flujos finales de vender la cartera y comprar el
      benchmark:            N

                           ∑d
                           i =1
                                  is   ⋅ xi − bs

                                          S
                                                 N               
    – El flujo final esperado:           ∑ ps ⋅  ∑ dis ⋅ xi − bs 
                                         s =1    i =1            

                                                                      12
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios


 • Para el problema de optimización riesgo/rentabilidad,
   consideraremos la restricción paramétrica:

                N           S
                                   N                
           B − ∑ qi ⋅ xi + ∑ ps ⋅  ∑ d is ⋅ xi − bs  ≥ K
               i =1        s =1    i =1             


 • donde K ( k ≠ 0 ) es un escalar, que representa la
   rentabilidad (en unidades monetarias) mínima esperada
   por encima del benchmark.




                                                             13
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• Podemos determinar la cartera óptima tal que hace mínimo el
  riesgo (medido como a regret) de bajada:


                           mín           pT ⋅ y −
                             x

• Con las restricciones:

                                     (
                 − y+ + y− + D ⋅ x+ − x− = b     )       ∀s ∈ S

                      (          )           (       )
                  pT ⋅ y + − y − − qT ⋅ x + − x − ≥ K − B

• Determinamos la frontera eficiente riesgo/rentabilidad
  resolviendo el problema anterior para diferentes valores K


                                                                  14
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• Determinamos la frontera eficiente riesgo/rentabilidad
  resolviendo el problema anterior para distintos valores K

• La frontera eficiente se obtiene entonces de:

                           mín R − ( x) = p T ⋅ y −
                            x

• Con las restricciones:

          (     )
    – E p Π ( x) ≥ K            (    ) = B − q T ⋅ x + WT ⋅ p T ⋅ (y + − y − )
                            E p Π ( x)
    – y otras restricciones de trading



• Donde WT es el descuento del flujo futuro a valor presente.


                                                                           15
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• El riesgo se define como la rentabilidad respecto a un
  benchmark (que puede ser una variable estocástica).
  Esto permite considerar distribuciones no normales, no
  simétricas, etc. Contrariamente a la varianza.

• Se utilizan beneficios y perdidas, no rentabilidades
  estrictamente. Esto permite tratar derivados
  (instrumentos apalancados).

• La simulación de escenarios permite considerar
  características de dependencia respecto a la trayectoria
  seguida, saltos en los precios (jumps), casos extremos,
  no linealidad, etc.


                                                             16
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• El problema de optimización se puede generalizar para
  poder minimitzar el regret respecto varias
  características del benchmark.

• Es decir, consideramos varios atributos del benchmark
  (no solo su valor) y consideramos funciones de regret
  de la cartera con el benchmark respecto cada uno de
  estos.

• Entonces, se trata de minimizar:        R=   ∑w R
                                                i
                                                    i   i



                     (
    – donde Ri = E Π i − τ i )−   es la esperanza del error del
                 τ
      atributo i ( i es su valor para el benchmark).

    – Wi es la ponderación que asignamos al atributo i

                                                                  17
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• El problema de optimización mediante simulación de
  escenarios se puede plantear, alternativamente, como un
  problema sencillo de minimización de la desviación absoluta
  respecto la media (MAD: Mean Absolute Deviation).

• El riesgo se mide mediante:


• Al problema de minimizar el MAD podemos añadir
  restricciones tales como:




• Observar que minimizar la varianza, a diferencia del MAD,
  penaliza más mayores desviaciones respecto la media (al ser
  cuadrática).

                                                                18
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Si la desviación absoluta respecto la rentabilidad media de la
  cartera total en el escenario s la denotamos por ads , minimar la
  función MAD anterior se puede plantear como el problema de
  programación lineal:




• Observar que no es necesario (a diferencia de una optimización
  media/varianza) calcular la matriz de covarianzas.

                                                                 19
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• El problema de optimización mediante simulación de
  escenarios también permite plantear la optimización con otra
  medida alternativa de riesgo: la semivarianza (veremos este
  concepto en el apartado 5, un poco más adelante)




• Observar que minimizar la semivarianza en el caso de
  distribuciones simétricas (por ej., una normal) es equivalente
  a utilizar la varianza total.



                                                                   20
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• La simulación de escenarios también permite plantear la
  optimización con medidas de riesgo shortfall risk (o de lower
  partial moments). Se define el lower partial moment de orden
  k como:




• En particular, para k=0, se tiene la probabilidad de shortfall
  (“fallo”). El VaR con un nivel de significación α es equivalente
  a una pérdida con probabilidad de shortfall α.


• Observar que el problema de optimización utilizando como
  medida de riesgo el regret es un caso particular de shortfall
  risk.


                                                                     21
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• La simulación de escenarios también permite plantear la
  optimización con medidas de riesgo shortfall risk (o de lower
  partial moments). Se define el lower partial moment de orden
  k como:




• En particular, para k=0, se tiene la probabilidad de shortfall
  (“fallo”). El VaR con un nivel de significación α es equivalente
  a una pérdida con probabilidad de shortfall α.


• Observar que el problema de optimización utilizando como
  medida de riesgo el regret es un caso particular de shortfall
  risk.


                                                                     22
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• Las distribuciones de muchos activos financieros (crédito,
  hedge funds) o de determinados instrumentos (derivados)
  tienen distribuciones no-normales con skew y curtosis
  significativos. En estos casos, la simulación de escenarios
  utilizando medidas de riesgo como el Conditional VaR (CVaR)
  o Tail Conditional Loss (TCL) puede resultar útil.




• donde        denota el cuantil α de la secuencia de retornos rs
  de la cartera en los S escenarios ordenados en orden
  creciente.

                                                                    23
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

• Ejemplo: Cobertura estática de una opción barrera

• Podemos usar la optimización del regret de una cartera de
  opciones e instrumentos de mercado respecto al valor de la
  opción barrera (es el benchmark) para construir una cobertura
  estática.

• En Dembo, R., Rosen, D. The Practice of Portfolio Replication,
  Algo Research Quarterly, se usan 56 opciones europeas con
  diferente strikes y vencimientos para replicar la opción
  barrera.

• Se hacen simulaciones de MonteCarlo para generar los
  escenarios, añadiendo casos extremos con probabilidad más
  alta por seguridad.

• La cartera replicante se obtiene para distintos valores del
  coste. La frontera eficiente es el coste respecto el regret. La
  rentabilidad por encima del benchmark en este caso es el
  coste respecto el precio teórico (Black-Scholes).


                                                                    24
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios



• Ejemplo: Valoración de un CDO (derivado sobre una cesta
  de subyacentes de crédito)

• Referencia: Introduction to Modern Portfolio Optimization, B.
  Scherer, D. Martin. Springer.




                                                                  25
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Ejemplo: Cartera óptima con riesgo de crédito

• La varianza no es suficiente para medir el riesgo de crédito de
  una cartera (por ejemplo, de bonos corporativos, o de high
  yields), ya que la distribución de rentabilidades tiene fat-tails
  y a menudo es asimétrica.

• Algunas de las medidas estándar de mercado de riesgo de
  crédito son:

    – Pérdida esperada: la media de la distribución de pérdidas.
    – Pérdida máxima: la pérdida máxima que se producirá con una
      cierta probabilidad (nivel de confianza). Equivalente al VaR.
    – Pérdida no esperada (CreditVaR): la diferencia entre la
      pérdida máxima y la esperada.
    – Déficit esperado (expected shortfall): es la pérdida media
      cuando la pérdida es más grande que la pérdida máxima. Es
      equivalente al VaR condicional.

                                                                      26
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios




                                                    27
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios


 • Regret esperado: es la pérdida esperada por encima
   de una cantidad fijada K. Es decir, observamos la cola
   de la distribución de pérdidas más allá de la cantidad K.



 • La rentabilidad de un activo con riesgo de crédito es
   superior (prima de riesgo) a la del activo libre de riesgo.
   El diferencial (spread) recoge la compensación por
   posibles pérdidas esperadas (media de la distribución de
   pérdidas) y por pérdidas no esperadas.




                                                               28
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios


• La rentabilidad ri de un activo i la descomponemos:


                       ri = r f + rie + riu


       rf es el tipo libre de riesgo
       rie es el diferencial de rentabilidad esperada
       riu es el diferencial de rentabilidad no esperada




                                                           29
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• Ejemplo: Supongamos que un bono con riesgo de
  crédito que actualmente vale 100 € tendrà un valor de
  114 € (precio mercado más cupón corrido) en una fecha
  futura T si el emisor mantiene su rating de crédito. La
  rentabilidad ri es del 14%.

• Supongamos que el valor futuro esperado del bono es
  108 € si se consideran posibles cambios de rating.

• La pérdida esperada, es entonces, de 6 €. Por lo tanto,
  rie =6%

• Si suponemos que el tipo libre de riesgo es del 4%,
  entonces riu =4%


                                                            30
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4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• Consideramos N activos y S escenarios. Sean:

          ( )ij
     V = vij          i = 1, K; N   j = 1, K , N   matriz NxS de pérdidas
    debidas a cambio de rating o default.


    vij = bi − d ij     es la pérdida del activo i en el escenario j.


    bi es el valor del activo i si no hay cambios de rating.



        ( )
    D = d ij ij i = 1, K, N j = 1, K; S son los valores del activo i en el
    escenario j (posibilidad de transiciones de rating)



                                                                            31
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 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

   q = (qi )i i = 1,..., N
                    es el vector de posiciones actuales
  (anteriores a la optimización de la cartera) en los activos i.

• Podemos suponer que tenemos una unidad del activo i en
  cartera. Entonces, qi es su precio.

• O bien, podemos sustituir en las expresiones que vienen a
                             N
  continuación la expresión ∑ qi por la cantidad inicialmente
  invertida.                i =1




   x = (xi )i es el vector de ponderaciones de la cartera
  óptima.

    qi ⋅ xi es la posición invertida en el activo i en la cartera
  óptima.

                                                                    32
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• la pérdida de la cartera en el escenario j es:
                                       N

                                    ∑v i =1
                                              ij   ⋅ xi


• añadimos, por ejemplo, las restricciones de trading:

                                N                     N

                                ∑q ⋅ x = ∑q
                                i =1
                                         i    i
                                                     i =1
                                                            i
                                                                           N

                                                                           ∑
                                                                           i =1
                                                                                  qi
               l i ≤ xi ≤ u i            li = 0           u i = 0 . 20 ×
                                                                             qi


                                                                                       33
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4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• La condición de obtener una rentabilidad mínima esperada R
  cuando no hay cambios de rating es:
                          N                         N

                          ∑ (q ⋅ x )⋅ r ≥ R ⋅ ∑ q ⋅ x
                          i =1
                                   i    i       i
                                                    i =1
                                                           i   i


                                 N

                                 ∑ q (r − R )⋅ x
                                 i =1
                                        i   i       i   >0


        ri es la rentabilidad esperada del activo i cuando no hay cambios
       de rating.



                    ( )
• Definimos y = y j j j = 1, K , S como las pérdidas superiores a
  una cantidad fija K.


                                                                            34
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4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• El problema de optimización de minimización del regret
  esperado de pérdidas superiores a una cantidad k és:
                                                             N
                                                  mín
                                                     x
                                                         ∑p  j =1
                                                                      j   ⋅yj

• Con las restricciones:

         N                       N

         ∑                       ∑
                                                                                    N
  yj ≥          vij ⋅ xi − K ⇔          vij ⋅ xi − y j ≤ K          j = 1, K , S
         i =1                    i =1
                                                                                   ∑ q (r − R)⋅ x
                                                                                   i =1
                                                                                          i   i       i   ≥0

         N                N

     ∑q ⋅ x = ∑q
     i =1
                 i   i
                          i =1
                                   i                l i ≤ xi ≤ u i                 yj ≥ 0         j = 1,K , S



                                                                                                                35
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios




 • Generemos los escenarios, por ejemplo, utilizando
   MonteCarlo tal y como se explica a continuación.




                                                       36
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4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

Generación de escenarios:

• Se determinan intervalos para las rentabilidades ri de
  los activos generados por una distribución Normal de
  manera que correspondan a los diferentes ratings
  futuros posibles y a la vez reproduzca las probabilidades
  reales de transición de rating.

• La media de la Normal es la rentabilidad asociada al
  rating actual del emisor del activo i. La varianza es la
  volatilidad de la rentabilidad.




                                                              37
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

• Si Udefault, UC , UCC , UCCC , UB , ..., UAAA son los extremos
  de estos intervalos, imponemos:

                                                  U default        
            P(Default ) = P(ri < U default ) = N 
                                                  σ
                                                                    
                                                                    
                                                                   
                                                    UC        U          
            P(C ) = P(U default   < ri < U C ) = N        − N  default
                                                                 σ
                                                                            
                                                                            
                                                    σ    
                                                                         

                                          M
                                                 U        U    
             P( AAA) = P(U AA < ri < U AAA ) = N  AA  − N  AAA 
                                                  σ        σ 
                                                     




                                                                                38
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

 • y utilizando los valores reales para estas probabilidades
   de transición de rating, determinamos los extremos UX.
   Por ejemplo, para un emisor BBB las probabilidades de
   transición podrían ser:
                                 AAA       0.05%
                                 AA        0.35%
                                 A         6.20%
                                 BBB       86.00%
                                 BB        5.00%
                                 B         2.10%
                                 CCC       0.10%
                                 Default   0.20%



U X = InvNormal (P ( X ) ) ⋅ σ        U default = InvNormal (0.20% ) ⋅ σ = −2.878 ⋅ σ

                                                                                  39
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4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

                                  Se mantiene BBB          Cambio a A


   0.045
    0.04
   0.035
    0.03
   0.025
    0.02
   0.015
    0.01
   0.005
      0
                    UCCC     UB     UBB   UBBB      UA   UAA     UAAA


                           Rentabilidad del activo

                                                                        40
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios

 • Además, seria necesaria la matriz de correlación de
   transiciones de ratings conjuntas

 • Entonces, generamos Normales correlacionadas (por ejemplo,
   usamos Txoleski). Cada una de las rentabilidades simuladas
   corresponde a un rating. Tenemos así una matriz de
   transición de rating simulada.

 • Valoramos los activos con los ratings del escenario de la
   simulación (por ejemplo, para bonos, valor actual con curva
   del rating) y calculamos rentabilidad del escenario.

 • También podríamos usar probabilidades y correlaciones de
   transición implícitas en derivados de crédito cotizados en
   mercado.


                                                                 41
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5. Medidas de evaluación de la gestión


• La medición de los resultados de gestión no sólo debe
  incluir un análisis de rentabilidad sino que es importante
  también conocer el riesgo que se ha asumido para
  alcanzarla.

• Las medidas de performance permiten obtener una
  medida de la calidad de gestión.

• Proporcionan un método de comparación entre la
  gestión de distintas carteras mediante medidas
  homogéneas.




                                                               42
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5. Medidas de evaluación de la gestión

• Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside
  Deviation.

    – La volatilidad es una medida de riesgo simétrica, i.e.,
      asocia riesgo tanto a la posibilidad de obtener ganancias
      como pérdidas.

    – Sin embargo, para la mayoría de inversores, el riesgo es la
      “posibilidad de perder” o la “posibilidad de no alcanzar un
      rendimiento mínimo”.

    – La Downside Deviation es una medida de riesgo
      asimétrica.



                                                                    43
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5. Medidas de evaluación de la gestión

• Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside
  Deviation.

    – La Semivarianza negativa (o riesgo de pérdida)
      interpreta el riesgo como la posibilidad de que la
      rentabilidad de la inversión esté por debajo de un
      determinado límite de rentabilidad (ya sea 0 –
      posibilidad de perder – o el rendimiento mínimo que
      desea el inversor).




                                                            44
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5. Medidas de evaluación de la gestión

• Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside
  Deviation.

    – Fórmula de cálculo:

                              N
                         1
                 σ =
                   −

                         N
                             ∑ δ − (ri ) ⋅(ri − R) 2
                             i =1



    Donde R es el límite de rentabilidad,
          N es el número de observaciones de rentabilidad y

           δ − ( x) = 1 si x ≤ R,
           δ − ( x) = 0 si x > R

                                                              45
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5. Medidas de evaluación de la gestión

• Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside
  Deviation.

    – Cuando la rentabilidad mínima aceptable, R, es igual a la
      rentabilidad media, µ ,la llamamos simplemente
      semivarianza.

    – Recibe el nombre de semivarianza (negativa) porque es
      una medida de la dispersión de la rentabilidad en la zona
      inferior al límite R considerado, con respecto a este
      límite (rentabilidad mínima aceptable).




                                                                  46
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.1 Ratios de performance

• Ratio o coeficiente de Sharpe (1966)

   Mide el retorno extra (o prima de rentabilidad) que recibe el
   inversor por unidad de riesgo asumida.
                            rC − r0
                       S=
                             σC
   donde rC y σ C son la rentabilidad y volatilidad de la cartera
   y r es la rentabilidad del activo libre de riesgo.
       0


   Recordemos que este es el valor de la pendiente de la CML y
   que maximizándola, obtenemos la cartera de mercado.




                                                                    47
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.1 Ratios de performance

• Ratio o coeficiente de Sharpe

    – En el caso de inversiones que sigan un benchmark,
      podemos usar una variante de este ratio midiendo el
      exceso de rentabilidad sobre la rentabilidad del benchmark
      en lugar de sobre el activo libre de riesgo.

    – En principio, cuanto mayor sea este ratio, mejor es la
      gestión.




                                                                   48
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.1 Ratios de performance

• Ratio de Sortino

   Modificación del ratio de Sharpe que intenta no “castigar” en
   el ratio a fondos que hayan tenido resultados por encima del
   valor medio o de una medida de rentabilidad aceptable.
   Para ello considera como medida de riesgo la semivarianza
   negativa en lugar de la varianza.


                                 rC − r0
                            S=
                                  σC
                                   −




                                                                   49
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.1 Ratios de performance

• Ratio de Treynor (1965)

   Mide el retorno extra (o prima de rentabilidad) que recibe el
   inversor por unidad de riesgo asumida, pero considerando
   como medida de riesgo el coeficiente β . Así el riesgo viene
   definido como exposición de la cartera al mercado de
   referencia.

                              rC − r0
                         T=
                                βC




                                                                   50
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.1 Ratios de performance

• Ratio de Treynor

    – Este ratio se recomienda en carteras adecuadamente
      diversificadas ya que en estos casos el riesgo no
      sistemático (o diversificable) es pequeño y, por tanto, el
      riesgo sistemático representa un alto porcentaje del riesgo
      total.

    – En principio, cuanto mayor sea este ratio, mejor es la
      gestión.




                                                                    51
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.1 Ratios de performance

• Alpha de Jensen


   Mide la aportación del gestor sobre el benchmark (exceso de
   retorno respecto a la cartera benchmark).

                   α = rC − ( r0 + β ⋅ ( rm − r0 )) =
                     = ( rC − r0 ) − β ⋅ ( rm − r0 )

       rC − r0   exceso de retorno por la gestión de la cartera.

      β ⋅ (rm − r0 ) exceso de retorno que obtendría la media de
       mercado si siguiese la misma estrategia que la cartera
       analizada (riesgo de la cartera controlado por β ).



                                                                   52
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.1 Ratios de performance

• Alpha de Jensen


   Un valor de α positivo (negativo) indica que la cartera
   ha obtenido un mayor (menor) retorno al adecuado
   según su nivel de riesgo no diversificable.


      α > 0 ⇒ buena gestión (valor añadido)
      α = 0 ⇒ gestión adecuada a la línea de equilibrio
      α < 0 ⇒ mala gestión



                                                             53
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.1 Ratios de performance

• Tracking Error:

    – Dispersión de los diferenciales de rentabilidad de la
      cartera y su benchmark.

    – Fijar un máximo TE al gestor acota su libertad de
      movimiento pudiendo evitar resultados muy por debajo
      del benchmark establecido.

    – Un TE elevado puede significar varias cosas:
        • Gestión no controlada
        • El gestor realiza apuestas (estudiar su resultado)
        • Necesidad de cambio del benchmark de referencia.




                                                               54
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.1 Ratios de performance

• Ratio de información:

    – En este ratio se considera como rentabilidad el exceso de
      rentabilidad de la cartera sobre el Benchmark y como
      medida de riesgo el Tracking Error (posibilidad de que los
      resultados se desvíen de los obtenidos por el benchmark).

                             RC − RB
                          I=
                               TE
    – Mide en qué cantidad se ve compensado el fondo por
      desviarse de su índice de referencia. ¿Rentabiliza el gestor
      el riesgo asumido sobre el índice de referencia?




                                                                     55
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.1 Ratios de performance

• Ratio de información:


    – Es más adecuado que el ratio de Sharpe para mercados
      bajistas porque, al comparar con el activo libre de riesgo,
      en mercados bajistas el ratio de Sharpe puede tener
      fácilmente signo negativo, sin embargo, como el ratio de
      información se compara con el benchmark, su signo
      siempre es significativo.

    – Cuanto mayor y más positivo sea, mejor.




                                                                    56
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• La atribución de resultados (performance attribution) permite
  definir las causas que han determinado el éxito o fracaso de
  una estrategia de inversión.

• La consistencia de estos análisis a lo largo del tiempo
  permiten diferenciar entre habilidad y suerte.

• Estas técnicas parten de la existencia de una cartera base y
  tienen como objetivo describir las causas que hayan podido
  producir las diferencias de rentabilidad entre una cartera y su
  benchmark.




                                                                    57
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Son, por tanto, herramientas para que el gestor pueda
  conocer el origen del valor añadido de su gestión sobre el
  benchmark.

• La rentabilidad obtenida por el gestor sobre el benchmark es:

                              rC − rB
   donde rC es la rentabilidad de la cartera y rB la del benchmark
   de referencia.




                                                                     58
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Las técnicas que veremos nos dirán en cuál de los
  siguientes procesos se ha aportado/perdido rentabilidad
  respecto a la cartera base:

    – Asset Allocation: Composición de la cartera por categorías
      (sectores, mercados, países…).

    – Security Selection: Selección de los activos en cada una de
      las categorías.

    – Market timing: elección del instante de compra/venta.




                                                                    59
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Asset Allocation y Security Selection

   Denominaremos k a cada una de las categorías de activos
   considerada de manera que:

   WBk sea el peso de la categoría k en el benchmark,

   WCk sea el peso de la categoría k en la cartera gestionada,

    rBk   sea la rentabilidad de la categoría k en el benchmark y

   rCk    sea la rentabilidad de la categoría k en la cartera.




                                                                    60
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Asset Allocation y Security Selection

   Denotaremos como rBC a la rentabilidad del benchmark con
   las ponderaciones de la cartera gestionada, esto es:

                     rBC = ∑ W r     k k
                                    C B
                              k

   De esta manera, la rentabilidad añadida por el gestor es:


                rC − rB = (rC − rBC ) + (rBC − rB )



                                                               61
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Asset Allocation y Security Selection

   El primer sumando indica si la elección de los activos de la
   cartera ha sido positiva o negativa para la rentabilidad final,
   por tanto, es el factor que nos medirá la aportación de la
   security selection en los resultados obtenidos:




                   rC − rBC = ∑ WCk (rCk − rBk )
                               k




                                                                     62
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Asset Allocation y Security Selection

   y el segundo sumando, nos da la información respecto al
   asset allocation, es decir, nos indica la medida en la que
   hemos acertado/fallado en la elección de las ponderaciones
   de cada una de las categorías consideradas:


              rBC − rB = rBC − rB − rB + rB =
                       = ∑ (WCk − WBk )(rBk − rB )
                          k




                                                                63
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Asset Allocation y Security Selection

   Ejemplo:

                         Benchmark                        Cartera

    Categorías    WB        rB      WB* rB     WC           rC           WC* rC
    Renta
       Variable    50%      7,50%      3,75%        65%          8,20%      5,33%


    Renta Fija     35%      1,30%      0,45%        15%          1,20%      0,18%


    Corto Plazo    15%      0,60%      0,09%        20%          0,60%      0,12%

                                     4,29%                                5,63%




Valor añadido respecto al benchmark:1,34%

                                                                                    64
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Ejemplo

   Rentabilidad aportada por la security selection:


    Categorías      rC           rB           rC-rB      WC         Aportación

    Renta
       Variable          8,20%        7,50%     0,70%         65%        0,46%



    Renta Fija           1,20%        1,30%     -0,10%        15%       -0,02%


    Corto Plazo          0,60%        0,60%     0,00%         20%        0,00%

                                                                        0,44%




                                                                                 65
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Ejemplo

   Rentabilidad aportada por el asset allocation:



    Categorías    WC     WB     WC-WB      rB      rent B    Aportación
    Renta
    Variable       65%    50%     15,00%   7,50%     4,30%        1,13%


    Renta Fija     15%    35%    -20,00%   1,30%     4,30%       -0,26%


    Corto Plazo    20%    15%     5,00%    0,60%     4,30%        0,03%

                                                                 0,90%




                                                                          66
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Ejemplo

    Rentabilidad añadida                            1,33%


       Asset Allocation                             0,90%
                                   RV               1,13%
                                   RF               -0,26%
                                   CP               0,03%


       Security Selection                           0,44%
                                   RV               0,46%
                                   RF               -0,02%
                                   CP               0,00%

                                                             67
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Market Timing. Metodología de Henriksson y Merton

   También podemos medir la capacidad del gestor de
   anticiparse a los movimientos de mercado y, en
   consecuencia, modificar la posición del riesgo.

   Por la definición de β , el gestor debería construir una
   cartera con β elevada ante un mercado alcista y con un
   valor menor de β ante mercado bajista.




                                                              68
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Market Timing. Metodología de Henriksson y Merton

   Realizamos la siguiente regresión:

            ~ − r = a + b ⋅ (~ − r ) + c ⋅ (~ − r ) ⋅ D + u
            rP 0             rm 0           rm 0          ~
                     P   P              P                   P

                      1 si rm > r0
            donde D = 
                      0 si rm ≤ r0

En mercados alcistas, D=1 y “bull beta” = bk+ck
En mercados bajistas, D=0 y “bear beta” = bk




                                                                69
Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

5.2 Performance attribution

• Market Timing. Metodología de Henriksson y Merton

   Para evaluar la capacidad del gestor de adelantarse al
   mercado, buscamos el valor ck de la regresión.
    ck>0 indica que el gestor ha sabido adelantarse a los
   movimientos de mercado.




                                                            70

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Quantitative Portfolio Management handouts - 2012 May 23

  • 1. Gestión de Carteras Gerard Albà Xavier Noguerola FME UPC – Mayo 2012
  • 2. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras óptimas con Simulación de escenarios. Distribuciones no normales 5. Medidas de evaluación de la gestión 5.1 Ratios de performance 5.2 Performance attribution 2
  • 3. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • En los problemas de optimización de carteras, la incertidumbre proviene de la aletoriedad de los retornos de los activos. • Una alternativa para tratar el problema es simular un número elevado de escenarios para los precios de los activos que capture la aleatoriedad. • Estas técnicas son especialmente útiles para instrumentos con distribuciones de rentabilidad no-normal. En el caso de distribuciones normales, el conjunto de soluciones para distintas funciones objetivo (riesgo/rentabilidad) utilizando simulación de escenarios coincide con las soluciones tradicionales de media/varianza. Por ejemplo, para un determinado nivel de rentabilidad objetivo, la cartera con menor VaR coincide con la cartera de mínima varianza. • La generación (simulación) de escenarios con distribuciones marginales generales y con dependencias generales puede hacerse mediante funciones Copulas (Ver módulo de Volatilidad y Correlación) 3
  • 4. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Consideramos N activos y S escenarios posibles del mercado al final del periodo [0, T] de la inversión. • Sean: – q = (qi )i i = 1,..., N el vector de valores iniciales de los N activos – B el valor inicial del benchmark (activo libre de riesgo, por ejemplo) ( ) – b = b j j j = 1,..., S el vector de los valores del benchmark a vencimento para los S escenarios – D = (d ij )i , j i = 1, L, N j = 1, L, S la matriz de valores de los N activos a vencimento para los S escenarios. – x = ( xi )i i = 1,..., N el vector de ponderaciones de los activos i=1,...,N en la cartera. ( ) – p = p j j j = 1,..., S el vector de probabilidades de los escenarios. 4
  • 5. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Definimos el vector tracking error : y = DT x − b • Definimos una medida de riesgo (el regret R): R= y • Por ejemplo, con norma 1 : S R = ∑ ps ⋅ ys s =1 5
  • 6. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios ( ) • Podemos descomponer el tracking error en una ( ) componente positiva y una negativa: y + = ys s y + y − = ys s − s=1,...,S , donde: y s = max (0, y s ) ∀s ∈ S + upside error y s = min (0, y s ) ∀s ∈ S downside error − • Tenemos que: y = y+ − y− 6
  • 7. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Un primer problema de optimización consiste en minimizar la función riesgo regret, con las restricciones para replicar el benchmark: mín R x – Con las restricciones: y = DT x − b • Observamos que si descomponemos x = x + − x − (x+,x- componentes no negativas), tenemos un problema que se resuelve con técnicas de programación lineal. 7
  • 8. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Se pueden añadir restricciones lineales al problema: – Ponderaciones mínimas y máximas en cada activo: li ≤ xi ≤ ui i = 1, L, N – Cantidad invertida máxima Co q T ⋅ x ≤ Co 8
  • 9. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • El problema de optimización de riesgo/rentabilidad con escenarios y función regret se formula añadiendo una restricción con la relación entre riesgo y rentabilidad. • La restricción es sobre la rentabilidad por encima del benchmark que exigimos. 9
  • 10. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Observamos que la rentabilidad de la cartera en el periodo [0,T] para un escenario s es: N ∑ (d i =1 is − qi ) ⋅ xi • La rentabilidad del benchmark en el periodo [0,T] para un escenario s es: bs − B • La rentabilidad de la cartera por encima del benchmark es: N ∑(d is − qi ) ⋅ xi − (bs − B ) i =1 10
  • 11. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • La rentabilidad esperada de la cartera por encima del benchmark, es: N S  N  B − ∑ qi ⋅ xi + ∑ ps ⋅  ∑ d is ⋅ xi − bs  i =1 s =1  i =1  11
  • 12. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • La rentabilidad esperada son los flujos esperados a T de comprar la cartera y vender (ponernos cortos) el benchmark al inicio: – Los flujos iniciales de vender el benchmark y comprar la N cartera: B− ∑ q i ⋅ xi i =1 – Los flujos finales de vender la cartera y comprar el benchmark: N ∑d i =1 is ⋅ xi − bs S  N  – El flujo final esperado: ∑ ps ⋅  ∑ dis ⋅ xi − bs  s =1  i =1  12
  • 13. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Para el problema de optimización riesgo/rentabilidad, consideraremos la restricción paramétrica: N S  N  B − ∑ qi ⋅ xi + ∑ ps ⋅  ∑ d is ⋅ xi − bs  ≥ K i =1 s =1  i =1  • donde K ( k ≠ 0 ) es un escalar, que representa la rentabilidad (en unidades monetarias) mínima esperada por encima del benchmark. 13
  • 14. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Podemos determinar la cartera óptima tal que hace mínimo el riesgo (medido como a regret) de bajada: mín pT ⋅ y − x • Con las restricciones: ( − y+ + y− + D ⋅ x+ − x− = b ) ∀s ∈ S ( ) ( ) pT ⋅ y + − y − − qT ⋅ x + − x − ≥ K − B • Determinamos la frontera eficiente riesgo/rentabilidad resolviendo el problema anterior para diferentes valores K 14
  • 15. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Determinamos la frontera eficiente riesgo/rentabilidad resolviendo el problema anterior para distintos valores K • La frontera eficiente se obtiene entonces de: mín R − ( x) = p T ⋅ y − x • Con las restricciones: ( ) – E p Π ( x) ≥ K ( ) = B − q T ⋅ x + WT ⋅ p T ⋅ (y + − y − ) E p Π ( x) – y otras restricciones de trading • Donde WT es el descuento del flujo futuro a valor presente. 15
  • 16. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • El riesgo se define como la rentabilidad respecto a un benchmark (que puede ser una variable estocástica). Esto permite considerar distribuciones no normales, no simétricas, etc. Contrariamente a la varianza. • Se utilizan beneficios y perdidas, no rentabilidades estrictamente. Esto permite tratar derivados (instrumentos apalancados). • La simulación de escenarios permite considerar características de dependencia respecto a la trayectoria seguida, saltos en los precios (jumps), casos extremos, no linealidad, etc. 16
  • 17. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • El problema de optimización se puede generalizar para poder minimitzar el regret respecto varias características del benchmark. • Es decir, consideramos varios atributos del benchmark (no solo su valor) y consideramos funciones de regret de la cartera con el benchmark respecto cada uno de estos. • Entonces, se trata de minimizar: R= ∑w R i i i ( – donde Ri = E Π i − τ i )− es la esperanza del error del τ atributo i ( i es su valor para el benchmark). – Wi es la ponderación que asignamos al atributo i 17
  • 18. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • El problema de optimización mediante simulación de escenarios se puede plantear, alternativamente, como un problema sencillo de minimización de la desviación absoluta respecto la media (MAD: Mean Absolute Deviation). • El riesgo se mide mediante: • Al problema de minimizar el MAD podemos añadir restricciones tales como: • Observar que minimizar la varianza, a diferencia del MAD, penaliza más mayores desviaciones respecto la media (al ser cuadrática). 18
  • 19. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Si la desviación absoluta respecto la rentabilidad media de la cartera total en el escenario s la denotamos por ads , minimar la función MAD anterior se puede plantear como el problema de programación lineal: • Observar que no es necesario (a diferencia de una optimización media/varianza) calcular la matriz de covarianzas. 19
  • 20. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • El problema de optimización mediante simulación de escenarios también permite plantear la optimización con otra medida alternativa de riesgo: la semivarianza (veremos este concepto en el apartado 5, un poco más adelante) • Observar que minimizar la semivarianza en el caso de distribuciones simétricas (por ej., una normal) es equivalente a utilizar la varianza total. 20
  • 21. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • La simulación de escenarios también permite plantear la optimización con medidas de riesgo shortfall risk (o de lower partial moments). Se define el lower partial moment de orden k como: • En particular, para k=0, se tiene la probabilidad de shortfall (“fallo”). El VaR con un nivel de significación α es equivalente a una pérdida con probabilidad de shortfall α. • Observar que el problema de optimización utilizando como medida de riesgo el regret es un caso particular de shortfall risk. 21
  • 22. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • La simulación de escenarios también permite plantear la optimización con medidas de riesgo shortfall risk (o de lower partial moments). Se define el lower partial moment de orden k como: • En particular, para k=0, se tiene la probabilidad de shortfall (“fallo”). El VaR con un nivel de significación α es equivalente a una pérdida con probabilidad de shortfall α. • Observar que el problema de optimización utilizando como medida de riesgo el regret es un caso particular de shortfall risk. 22
  • 23. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Las distribuciones de muchos activos financieros (crédito, hedge funds) o de determinados instrumentos (derivados) tienen distribuciones no-normales con skew y curtosis significativos. En estos casos, la simulación de escenarios utilizando medidas de riesgo como el Conditional VaR (CVaR) o Tail Conditional Loss (TCL) puede resultar útil. • donde denota el cuantil α de la secuencia de retornos rs de la cartera en los S escenarios ordenados en orden creciente. 23
  • 24. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers • Ejemplo: Cobertura estática de una opción barrera • Podemos usar la optimización del regret de una cartera de opciones e instrumentos de mercado respecto al valor de la opción barrera (es el benchmark) para construir una cobertura estática. • En Dembo, R., Rosen, D. The Practice of Portfolio Replication, Algo Research Quarterly, se usan 56 opciones europeas con diferente strikes y vencimientos para replicar la opción barrera. • Se hacen simulaciones de MonteCarlo para generar los escenarios, añadiendo casos extremos con probabilidad más alta por seguridad. • La cartera replicante se obtiene para distintos valores del coste. La frontera eficiente es el coste respecto el regret. La rentabilidad por encima del benchmark en este caso es el coste respecto el precio teórico (Black-Scholes). 24
  • 25. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Ejemplo: Valoración de un CDO (derivado sobre una cesta de subyacentes de crédito) • Referencia: Introduction to Modern Portfolio Optimization, B. Scherer, D. Martin. Springer. 25
  • 26. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Ejemplo: Cartera óptima con riesgo de crédito • La varianza no es suficiente para medir el riesgo de crédito de una cartera (por ejemplo, de bonos corporativos, o de high yields), ya que la distribución de rentabilidades tiene fat-tails y a menudo es asimétrica. • Algunas de las medidas estándar de mercado de riesgo de crédito son: – Pérdida esperada: la media de la distribución de pérdidas. – Pérdida máxima: la pérdida máxima que se producirá con una cierta probabilidad (nivel de confianza). Equivalente al VaR. – Pérdida no esperada (CreditVaR): la diferencia entre la pérdida máxima y la esperada. – Déficit esperado (expected shortfall): es la pérdida media cuando la pérdida es más grande que la pérdida máxima. Es equivalente al VaR condicional. 26
  • 27. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios 27
  • 28. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Regret esperado: es la pérdida esperada por encima de una cantidad fijada K. Es decir, observamos la cola de la distribución de pérdidas más allá de la cantidad K. • La rentabilidad de un activo con riesgo de crédito es superior (prima de riesgo) a la del activo libre de riesgo. El diferencial (spread) recoge la compensación por posibles pérdidas esperadas (media de la distribución de pérdidas) y por pérdidas no esperadas. 28
  • 29. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • La rentabilidad ri de un activo i la descomponemos: ri = r f + rie + riu rf es el tipo libre de riesgo rie es el diferencial de rentabilidad esperada riu es el diferencial de rentabilidad no esperada 29
  • 30. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Ejemplo: Supongamos que un bono con riesgo de crédito que actualmente vale 100 € tendrà un valor de 114 € (precio mercado más cupón corrido) en una fecha futura T si el emisor mantiene su rating de crédito. La rentabilidad ri es del 14%. • Supongamos que el valor futuro esperado del bono es 108 € si se consideran posibles cambios de rating. • La pérdida esperada, es entonces, de 6 €. Por lo tanto, rie =6% • Si suponemos que el tipo libre de riesgo es del 4%, entonces riu =4% 30
  • 31. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Consideramos N activos y S escenarios. Sean: ( )ij V = vij i = 1, K; N j = 1, K , N matriz NxS de pérdidas debidas a cambio de rating o default. vij = bi − d ij es la pérdida del activo i en el escenario j. bi es el valor del activo i si no hay cambios de rating. ( ) D = d ij ij i = 1, K, N j = 1, K; S son los valores del activo i en el escenario j (posibilidad de transiciones de rating) 31
  • 32. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios q = (qi )i i = 1,..., N es el vector de posiciones actuales (anteriores a la optimización de la cartera) en los activos i. • Podemos suponer que tenemos una unidad del activo i en cartera. Entonces, qi es su precio. • O bien, podemos sustituir en las expresiones que vienen a N continuación la expresión ∑ qi por la cantidad inicialmente invertida. i =1 x = (xi )i es el vector de ponderaciones de la cartera óptima. qi ⋅ xi es la posición invertida en el activo i en la cartera óptima. 32
  • 33. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • la pérdida de la cartera en el escenario j es: N ∑v i =1 ij ⋅ xi • añadimos, por ejemplo, las restricciones de trading: N N ∑q ⋅ x = ∑q i =1 i i i =1 i N ∑ i =1 qi l i ≤ xi ≤ u i li = 0 u i = 0 . 20 × qi 33
  • 34. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • La condición de obtener una rentabilidad mínima esperada R cuando no hay cambios de rating es: N N ∑ (q ⋅ x )⋅ r ≥ R ⋅ ∑ q ⋅ x i =1 i i i i =1 i i N ∑ q (r − R )⋅ x i =1 i i i >0 ri es la rentabilidad esperada del activo i cuando no hay cambios de rating. ( ) • Definimos y = y j j j = 1, K , S como las pérdidas superiores a una cantidad fija K. 34
  • 35. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • El problema de optimización de minimización del regret esperado de pérdidas superiores a una cantidad k és: N mín x ∑p j =1 j ⋅yj • Con las restricciones: N N ∑ ∑ N yj ≥ vij ⋅ xi − K ⇔ vij ⋅ xi − y j ≤ K j = 1, K , S i =1 i =1 ∑ q (r − R)⋅ x i =1 i i i ≥0 N N ∑q ⋅ x = ∑q i =1 i i i =1 i l i ≤ xi ≤ u i yj ≥ 0 j = 1,K , S 35
  • 36. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Generemos los escenarios, por ejemplo, utilizando MonteCarlo tal y como se explica a continuación. 36
  • 37. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios Generación de escenarios: • Se determinan intervalos para las rentabilidades ri de los activos generados por una distribución Normal de manera que correspondan a los diferentes ratings futuros posibles y a la vez reproduzca las probabilidades reales de transición de rating. • La media de la Normal es la rentabilidad asociada al rating actual del emisor del activo i. La varianza es la volatilidad de la rentabilidad. 37
  • 38. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Si Udefault, UC , UCC , UCCC , UB , ..., UAAA son los extremos de estos intervalos, imponemos:  U default  P(Default ) = P(ri < U default ) = N   σ      UC  U  P(C ) = P(U default < ri < U C ) = N   − N  default  σ    σ      M U  U  P( AAA) = P(U AA < ri < U AAA ) = N  AA  − N  AAA   σ   σ    38
  • 39. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • y utilizando los valores reales para estas probabilidades de transición de rating, determinamos los extremos UX. Por ejemplo, para un emisor BBB las probabilidades de transición podrían ser: AAA 0.05% AA 0.35% A 6.20% BBB 86.00% BB 5.00% B 2.10% CCC 0.10% Default 0.20% U X = InvNormal (P ( X ) ) ⋅ σ U default = InvNormal (0.20% ) ⋅ σ = −2.878 ⋅ σ 39
  • 40. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios Se mantiene BBB Cambio a A 0.045 0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 UCCC UB UBB UBBB UA UAA UAAA Rentabilidad del activo 40
  • 41. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios • Además, seria necesaria la matriz de correlación de transiciones de ratings conjuntas • Entonces, generamos Normales correlacionadas (por ejemplo, usamos Txoleski). Cada una de las rentabilidades simuladas corresponde a un rating. Tenemos así una matriz de transición de rating simulada. • Valoramos los activos con los ratings del escenario de la simulación (por ejemplo, para bonos, valor actual con curva del rating) y calculamos rentabilidad del escenario. • También podríamos usar probabilidades y correlaciones de transición implícitas en derivados de crédito cotizados en mercado. 41
  • 42. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5. Medidas de evaluación de la gestión • La medición de los resultados de gestión no sólo debe incluir un análisis de rentabilidad sino que es importante también conocer el riesgo que se ha asumido para alcanzarla. • Las medidas de performance permiten obtener una medida de la calidad de gestión. • Proporcionan un método de comparación entre la gestión de distintas carteras mediante medidas homogéneas. 42
  • 43. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5. Medidas de evaluación de la gestión • Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside Deviation. – La volatilidad es una medida de riesgo simétrica, i.e., asocia riesgo tanto a la posibilidad de obtener ganancias como pérdidas. – Sin embargo, para la mayoría de inversores, el riesgo es la “posibilidad de perder” o la “posibilidad de no alcanzar un rendimiento mínimo”. – La Downside Deviation es una medida de riesgo asimétrica. 43
  • 44. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5. Medidas de evaluación de la gestión • Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside Deviation. – La Semivarianza negativa (o riesgo de pérdida) interpreta el riesgo como la posibilidad de que la rentabilidad de la inversión esté por debajo de un determinado límite de rentabilidad (ya sea 0 – posibilidad de perder – o el rendimiento mínimo que desea el inversor). 44
  • 45. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5. Medidas de evaluación de la gestión • Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside Deviation. – Fórmula de cálculo: N 1 σ = − N ∑ δ − (ri ) ⋅(ri − R) 2 i =1 Donde R es el límite de rentabilidad, N es el número de observaciones de rentabilidad y δ − ( x) = 1 si x ≤ R, δ − ( x) = 0 si x > R 45
  • 46. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5. Medidas de evaluación de la gestión • Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside Deviation. – Cuando la rentabilidad mínima aceptable, R, es igual a la rentabilidad media, µ ,la llamamos simplemente semivarianza. – Recibe el nombre de semivarianza (negativa) porque es una medida de la dispersión de la rentabilidad en la zona inferior al límite R considerado, con respecto a este límite (rentabilidad mínima aceptable). 46
  • 47. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.1 Ratios de performance • Ratio o coeficiente de Sharpe (1966) Mide el retorno extra (o prima de rentabilidad) que recibe el inversor por unidad de riesgo asumida. rC − r0 S= σC donde rC y σ C son la rentabilidad y volatilidad de la cartera y r es la rentabilidad del activo libre de riesgo. 0 Recordemos que este es el valor de la pendiente de la CML y que maximizándola, obtenemos la cartera de mercado. 47
  • 48. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.1 Ratios de performance • Ratio o coeficiente de Sharpe – En el caso de inversiones que sigan un benchmark, podemos usar una variante de este ratio midiendo el exceso de rentabilidad sobre la rentabilidad del benchmark en lugar de sobre el activo libre de riesgo. – En principio, cuanto mayor sea este ratio, mejor es la gestión. 48
  • 49. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.1 Ratios de performance • Ratio de Sortino Modificación del ratio de Sharpe que intenta no “castigar” en el ratio a fondos que hayan tenido resultados por encima del valor medio o de una medida de rentabilidad aceptable. Para ello considera como medida de riesgo la semivarianza negativa en lugar de la varianza. rC − r0 S= σC − 49
  • 50. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.1 Ratios de performance • Ratio de Treynor (1965) Mide el retorno extra (o prima de rentabilidad) que recibe el inversor por unidad de riesgo asumida, pero considerando como medida de riesgo el coeficiente β . Así el riesgo viene definido como exposición de la cartera al mercado de referencia. rC − r0 T= βC 50
  • 51. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.1 Ratios de performance • Ratio de Treynor – Este ratio se recomienda en carteras adecuadamente diversificadas ya que en estos casos el riesgo no sistemático (o diversificable) es pequeño y, por tanto, el riesgo sistemático representa un alto porcentaje del riesgo total. – En principio, cuanto mayor sea este ratio, mejor es la gestión. 51
  • 52. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.1 Ratios de performance • Alpha de Jensen Mide la aportación del gestor sobre el benchmark (exceso de retorno respecto a la cartera benchmark). α = rC − ( r0 + β ⋅ ( rm − r0 )) = = ( rC − r0 ) − β ⋅ ( rm − r0 ) rC − r0 exceso de retorno por la gestión de la cartera. β ⋅ (rm − r0 ) exceso de retorno que obtendría la media de mercado si siguiese la misma estrategia que la cartera analizada (riesgo de la cartera controlado por β ). 52
  • 53. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.1 Ratios de performance • Alpha de Jensen Un valor de α positivo (negativo) indica que la cartera ha obtenido un mayor (menor) retorno al adecuado según su nivel de riesgo no diversificable. α > 0 ⇒ buena gestión (valor añadido) α = 0 ⇒ gestión adecuada a la línea de equilibrio α < 0 ⇒ mala gestión 53
  • 54. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.1 Ratios de performance • Tracking Error: – Dispersión de los diferenciales de rentabilidad de la cartera y su benchmark. – Fijar un máximo TE al gestor acota su libertad de movimiento pudiendo evitar resultados muy por debajo del benchmark establecido. – Un TE elevado puede significar varias cosas: • Gestión no controlada • El gestor realiza apuestas (estudiar su resultado) • Necesidad de cambio del benchmark de referencia. 54
  • 55. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.1 Ratios de performance • Ratio de información: – En este ratio se considera como rentabilidad el exceso de rentabilidad de la cartera sobre el Benchmark y como medida de riesgo el Tracking Error (posibilidad de que los resultados se desvíen de los obtenidos por el benchmark). RC − RB I= TE – Mide en qué cantidad se ve compensado el fondo por desviarse de su índice de referencia. ¿Rentabiliza el gestor el riesgo asumido sobre el índice de referencia? 55
  • 56. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.1 Ratios de performance • Ratio de información: – Es más adecuado que el ratio de Sharpe para mercados bajistas porque, al comparar con el activo libre de riesgo, en mercados bajistas el ratio de Sharpe puede tener fácilmente signo negativo, sin embargo, como el ratio de información se compara con el benchmark, su signo siempre es significativo. – Cuanto mayor y más positivo sea, mejor. 56
  • 57. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • La atribución de resultados (performance attribution) permite definir las causas que han determinado el éxito o fracaso de una estrategia de inversión. • La consistencia de estos análisis a lo largo del tiempo permiten diferenciar entre habilidad y suerte. • Estas técnicas parten de la existencia de una cartera base y tienen como objetivo describir las causas que hayan podido producir las diferencias de rentabilidad entre una cartera y su benchmark. 57
  • 58. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Son, por tanto, herramientas para que el gestor pueda conocer el origen del valor añadido de su gestión sobre el benchmark. • La rentabilidad obtenida por el gestor sobre el benchmark es: rC − rB donde rC es la rentabilidad de la cartera y rB la del benchmark de referencia. 58
  • 59. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Las técnicas que veremos nos dirán en cuál de los siguientes procesos se ha aportado/perdido rentabilidad respecto a la cartera base: – Asset Allocation: Composición de la cartera por categorías (sectores, mercados, países…). – Security Selection: Selección de los activos en cada una de las categorías. – Market timing: elección del instante de compra/venta. 59
  • 60. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Asset Allocation y Security Selection Denominaremos k a cada una de las categorías de activos considerada de manera que: WBk sea el peso de la categoría k en el benchmark, WCk sea el peso de la categoría k en la cartera gestionada, rBk sea la rentabilidad de la categoría k en el benchmark y rCk sea la rentabilidad de la categoría k en la cartera. 60
  • 61. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Asset Allocation y Security Selection Denotaremos como rBC a la rentabilidad del benchmark con las ponderaciones de la cartera gestionada, esto es: rBC = ∑ W r k k C B k De esta manera, la rentabilidad añadida por el gestor es: rC − rB = (rC − rBC ) + (rBC − rB ) 61
  • 62. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Asset Allocation y Security Selection El primer sumando indica si la elección de los activos de la cartera ha sido positiva o negativa para la rentabilidad final, por tanto, es el factor que nos medirá la aportación de la security selection en los resultados obtenidos: rC − rBC = ∑ WCk (rCk − rBk ) k 62
  • 63. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Asset Allocation y Security Selection y el segundo sumando, nos da la información respecto al asset allocation, es decir, nos indica la medida en la que hemos acertado/fallado en la elección de las ponderaciones de cada una de las categorías consideradas: rBC − rB = rBC − rB − rB + rB = = ∑ (WCk − WBk )(rBk − rB ) k 63
  • 64. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Asset Allocation y Security Selection Ejemplo: Benchmark Cartera Categorías WB rB WB* rB WC rC WC* rC Renta Variable 50% 7,50% 3,75% 65% 8,20% 5,33% Renta Fija 35% 1,30% 0,45% 15% 1,20% 0,18% Corto Plazo 15% 0,60% 0,09% 20% 0,60% 0,12% 4,29% 5,63% Valor añadido respecto al benchmark:1,34% 64
  • 65. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Ejemplo Rentabilidad aportada por la security selection: Categorías rC rB rC-rB WC Aportación Renta Variable 8,20% 7,50% 0,70% 65% 0,46% Renta Fija 1,20% 1,30% -0,10% 15% -0,02% Corto Plazo 0,60% 0,60% 0,00% 20% 0,00% 0,44% 65
  • 66. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Ejemplo Rentabilidad aportada por el asset allocation: Categorías WC WB WC-WB rB rent B Aportación Renta Variable 65% 50% 15,00% 7,50% 4,30% 1,13% Renta Fija 15% 35% -20,00% 1,30% 4,30% -0,26% Corto Plazo 20% 15% 5,00% 0,60% 4,30% 0,03% 0,90% 66
  • 67. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Ejemplo Rentabilidad añadida 1,33% Asset Allocation 0,90% RV 1,13% RF -0,26% CP 0,03% Security Selection 0,44% RV 0,46% RF -0,02% CP 0,00% 67
  • 68. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Market Timing. Metodología de Henriksson y Merton También podemos medir la capacidad del gestor de anticiparse a los movimientos de mercado y, en consecuencia, modificar la posición del riesgo. Por la definición de β , el gestor debería construir una cartera con β elevada ante un mercado alcista y con un valor menor de β ante mercado bajista. 68
  • 69. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Market Timing. Metodología de Henriksson y Merton Realizamos la siguiente regresión: ~ − r = a + b ⋅ (~ − r ) + c ⋅ (~ − r ) ⋅ D + u rP 0 rm 0 rm 0 ~ P P P P 1 si rm > r0 donde D =  0 si rm ≤ r0 En mercados alcistas, D=1 y “bull beta” = bk+ck En mercados bajistas, D=0 y “bear beta” = bk 69
  • 70. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 5.2 Performance attribution • Market Timing. Metodología de Henriksson y Merton Para evaluar la capacidad del gestor de adelantarse al mercado, buscamos el valor ck de la regresión. ck>0 indica que el gestor ha sabido adelantarse a los movimientos de mercado. 70