2. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras óptimas con Simulación de escenarios.
Distribuciones no normales
5. Medidas de evaluación de la gestión
5.1 Ratios de performance
5.2 Performance attribution
2
3. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• En los problemas de optimización de carteras, la incertidumbre
proviene de la aletoriedad de los retornos de los activos.
• Una alternativa para tratar el problema es simular un número elevado
de escenarios para los precios de los activos que capture la
aleatoriedad.
• Estas técnicas son especialmente útiles para instrumentos con
distribuciones de rentabilidad no-normal. En el caso de
distribuciones normales, el conjunto de soluciones para distintas
funciones objetivo (riesgo/rentabilidad) utilizando simulación de
escenarios coincide con las soluciones tradicionales de media/varianza.
Por ejemplo, para un determinado nivel de rentabilidad objetivo, la
cartera con menor VaR coincide con la cartera de mínima varianza.
• La generación (simulación) de escenarios con distribuciones
marginales generales y con dependencias generales puede hacerse
mediante funciones Copulas (Ver módulo de Volatilidad y Correlación)
3
4. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Consideramos N activos y S escenarios posibles del
mercado al final del periodo [0, T] de la inversión.
• Sean:
– q = (qi )i i = 1,..., N el vector de valores iniciales de los N
activos
– B el valor inicial del benchmark (activo libre de riesgo, por
ejemplo)
( )
– b = b j j j = 1,..., S el vector de los valores del benchmark a
vencimento para los S escenarios
– D = (d ij )i , j i = 1, L, N j = 1, L, S la matriz de valores de los N
activos a vencimento para los S escenarios.
– x = ( xi )i i = 1,..., N el vector de ponderaciones de los activos
i=1,...,N en la cartera.
( )
– p = p j j j = 1,..., S el vector de probabilidades de los
escenarios.
4
5. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Definimos el vector tracking error :
y = DT x − b
• Definimos una medida de riesgo (el regret R):
R= y
• Por ejemplo, con norma 1 :
S
R = ∑ ps ⋅ ys
s =1
5
6. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
( )
• Podemos descomponer el tracking error en una
( )
componente positiva y una negativa: y + = ys s y
+
y − = ys s
−
s=1,...,S , donde:
y s = max (0, y s ) ∀s ∈ S
+
upside error
y s = min (0, y s ) ∀s ∈ S downside error
−
• Tenemos que:
y = y+ − y−
6
7. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Un primer problema de optimización consiste en
minimizar la función riesgo regret, con las restricciones
para replicar el benchmark:
mín R
x
– Con las restricciones:
y = DT x − b
• Observamos que si descomponemos x = x + − x − (x+,x-
componentes no negativas), tenemos un problema que
se resuelve con técnicas de programación lineal.
7
8. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Se pueden añadir restricciones lineales al problema:
– Ponderaciones mínimas y máximas en cada activo:
li ≤ xi ≤ ui i = 1, L, N
– Cantidad invertida máxima Co
q T ⋅ x ≤ Co
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9. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• El problema de optimización de riesgo/rentabilidad con
escenarios y función regret se formula añadiendo una
restricción con la relación entre riesgo y rentabilidad.
• La restricción es sobre la rentabilidad por encima del
benchmark que exigimos.
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10. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Observamos que la rentabilidad de la cartera en el
periodo [0,T] para un escenario s es:
N
∑ (d
i =1
is − qi ) ⋅ xi
• La rentabilidad del benchmark en el periodo [0,T] para
un escenario s es:
bs − B
• La rentabilidad de la cartera por encima del benchmark
es: N
∑(d is − qi ) ⋅ xi − (bs − B )
i =1
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11. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• La rentabilidad esperada de la cartera por encima del
benchmark, es:
N S
N
B − ∑ qi ⋅ xi + ∑ ps ⋅ ∑ d is ⋅ xi − bs
i =1 s =1 i =1
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12. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• La rentabilidad esperada son los flujos esperados a T de
comprar la cartera y vender (ponernos cortos) el
benchmark al inicio:
– Los flujos iniciales de vender el benchmark y comprar la
N
cartera:
B− ∑
q i ⋅ xi
i =1
– Los flujos finales de vender la cartera y comprar el
benchmark: N
∑d
i =1
is ⋅ xi − bs
S
N
– El flujo final esperado: ∑ ps ⋅ ∑ dis ⋅ xi − bs
s =1 i =1
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13. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Para el problema de optimización riesgo/rentabilidad,
consideraremos la restricción paramétrica:
N S
N
B − ∑ qi ⋅ xi + ∑ ps ⋅ ∑ d is ⋅ xi − bs ≥ K
i =1 s =1 i =1
• donde K ( k ≠ 0 ) es un escalar, que representa la
rentabilidad (en unidades monetarias) mínima esperada
por encima del benchmark.
13
14. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Podemos determinar la cartera óptima tal que hace mínimo el
riesgo (medido como a regret) de bajada:
mín pT ⋅ y −
x
• Con las restricciones:
(
− y+ + y− + D ⋅ x+ − x− = b ) ∀s ∈ S
( ) ( )
pT ⋅ y + − y − − qT ⋅ x + − x − ≥ K − B
• Determinamos la frontera eficiente riesgo/rentabilidad
resolviendo el problema anterior para diferentes valores K
14
15. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Determinamos la frontera eficiente riesgo/rentabilidad
resolviendo el problema anterior para distintos valores K
• La frontera eficiente se obtiene entonces de:
mín R − ( x) = p T ⋅ y −
x
• Con las restricciones:
( )
– E p Π ( x) ≥ K ( ) = B − q T ⋅ x + WT ⋅ p T ⋅ (y + − y − )
E p Π ( x)
– y otras restricciones de trading
• Donde WT es el descuento del flujo futuro a valor presente.
15
16. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• El riesgo se define como la rentabilidad respecto a un
benchmark (que puede ser una variable estocástica).
Esto permite considerar distribuciones no normales, no
simétricas, etc. Contrariamente a la varianza.
• Se utilizan beneficios y perdidas, no rentabilidades
estrictamente. Esto permite tratar derivados
(instrumentos apalancados).
• La simulación de escenarios permite considerar
características de dependencia respecto a la trayectoria
seguida, saltos en los precios (jumps), casos extremos,
no linealidad, etc.
16
17. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• El problema de optimización se puede generalizar para
poder minimitzar el regret respecto varias
características del benchmark.
• Es decir, consideramos varios atributos del benchmark
(no solo su valor) y consideramos funciones de regret
de la cartera con el benchmark respecto cada uno de
estos.
• Entonces, se trata de minimizar: R= ∑w R
i
i i
(
– donde Ri = E Π i − τ i )− es la esperanza del error del
τ
atributo i ( i es su valor para el benchmark).
– Wi es la ponderación que asignamos al atributo i
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18. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• El problema de optimización mediante simulación de
escenarios se puede plantear, alternativamente, como un
problema sencillo de minimización de la desviación absoluta
respecto la media (MAD: Mean Absolute Deviation).
• El riesgo se mide mediante:
• Al problema de minimizar el MAD podemos añadir
restricciones tales como:
• Observar que minimizar la varianza, a diferencia del MAD,
penaliza más mayores desviaciones respecto la media (al ser
cuadrática).
18
19. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Si la desviación absoluta respecto la rentabilidad media de la
cartera total en el escenario s la denotamos por ads , minimar la
función MAD anterior se puede plantear como el problema de
programación lineal:
• Observar que no es necesario (a diferencia de una optimización
media/varianza) calcular la matriz de covarianzas.
19
20. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• El problema de optimización mediante simulación de
escenarios también permite plantear la optimización con otra
medida alternativa de riesgo: la semivarianza (veremos este
concepto en el apartado 5, un poco más adelante)
• Observar que minimizar la semivarianza en el caso de
distribuciones simétricas (por ej., una normal) es equivalente
a utilizar la varianza total.
20
21. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• La simulación de escenarios también permite plantear la
optimización con medidas de riesgo shortfall risk (o de lower
partial moments). Se define el lower partial moment de orden
k como:
• En particular, para k=0, se tiene la probabilidad de shortfall
(“fallo”). El VaR con un nivel de significación α es equivalente
a una pérdida con probabilidad de shortfall α.
• Observar que el problema de optimización utilizando como
medida de riesgo el regret es un caso particular de shortfall
risk.
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22. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• La simulación de escenarios también permite plantear la
optimización con medidas de riesgo shortfall risk (o de lower
partial moments). Se define el lower partial moment de orden
k como:
• En particular, para k=0, se tiene la probabilidad de shortfall
(“fallo”). El VaR con un nivel de significación α es equivalente
a una pérdida con probabilidad de shortfall α.
• Observar que el problema de optimización utilizando como
medida de riesgo el regret es un caso particular de shortfall
risk.
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23. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Las distribuciones de muchos activos financieros (crédito,
hedge funds) o de determinados instrumentos (derivados)
tienen distribuciones no-normales con skew y curtosis
significativos. En estos casos, la simulación de escenarios
utilizando medidas de riesgo como el Conditional VaR (CVaR)
o Tail Conditional Loss (TCL) puede resultar útil.
• donde denota el cuantil α de la secuencia de retornos rs
de la cartera en los S escenarios ordenados en orden
creciente.
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24. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
• Ejemplo: Cobertura estática de una opción barrera
• Podemos usar la optimización del regret de una cartera de
opciones e instrumentos de mercado respecto al valor de la
opción barrera (es el benchmark) para construir una cobertura
estática.
• En Dembo, R., Rosen, D. The Practice of Portfolio Replication,
Algo Research Quarterly, se usan 56 opciones europeas con
diferente strikes y vencimientos para replicar la opción
barrera.
• Se hacen simulaciones de MonteCarlo para generar los
escenarios, añadiendo casos extremos con probabilidad más
alta por seguridad.
• La cartera replicante se obtiene para distintos valores del
coste. La frontera eficiente es el coste respecto el regret. La
rentabilidad por encima del benchmark en este caso es el
coste respecto el precio teórico (Black-Scholes).
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25. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Ejemplo: Valoración de un CDO (derivado sobre una cesta
de subyacentes de crédito)
• Referencia: Introduction to Modern Portfolio Optimization, B.
Scherer, D. Martin. Springer.
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26. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Ejemplo: Cartera óptima con riesgo de crédito
• La varianza no es suficiente para medir el riesgo de crédito de
una cartera (por ejemplo, de bonos corporativos, o de high
yields), ya que la distribución de rentabilidades tiene fat-tails
y a menudo es asimétrica.
• Algunas de las medidas estándar de mercado de riesgo de
crédito son:
– Pérdida esperada: la media de la distribución de pérdidas.
– Pérdida máxima: la pérdida máxima que se producirá con una
cierta probabilidad (nivel de confianza). Equivalente al VaR.
– Pérdida no esperada (CreditVaR): la diferencia entre la
pérdida máxima y la esperada.
– Déficit esperado (expected shortfall): es la pérdida media
cuando la pérdida es más grande que la pérdida máxima. Es
equivalente al VaR condicional.
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28. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Regret esperado: es la pérdida esperada por encima
de una cantidad fijada K. Es decir, observamos la cola
de la distribución de pérdidas más allá de la cantidad K.
• La rentabilidad de un activo con riesgo de crédito es
superior (prima de riesgo) a la del activo libre de riesgo.
El diferencial (spread) recoge la compensación por
posibles pérdidas esperadas (media de la distribución de
pérdidas) y por pérdidas no esperadas.
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29. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• La rentabilidad ri de un activo i la descomponemos:
ri = r f + rie + riu
rf es el tipo libre de riesgo
rie es el diferencial de rentabilidad esperada
riu es el diferencial de rentabilidad no esperada
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30. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Ejemplo: Supongamos que un bono con riesgo de
crédito que actualmente vale 100 € tendrà un valor de
114 € (precio mercado más cupón corrido) en una fecha
futura T si el emisor mantiene su rating de crédito. La
rentabilidad ri es del 14%.
• Supongamos que el valor futuro esperado del bono es
108 € si se consideran posibles cambios de rating.
• La pérdida esperada, es entonces, de 6 €. Por lo tanto,
rie =6%
• Si suponemos que el tipo libre de riesgo es del 4%,
entonces riu =4%
30
31. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Consideramos N activos y S escenarios. Sean:
( )ij
V = vij i = 1, K; N j = 1, K , N matriz NxS de pérdidas
debidas a cambio de rating o default.
vij = bi − d ij es la pérdida del activo i en el escenario j.
bi es el valor del activo i si no hay cambios de rating.
( )
D = d ij ij i = 1, K, N j = 1, K; S son los valores del activo i en el
escenario j (posibilidad de transiciones de rating)
31
32. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
q = (qi )i i = 1,..., N
es el vector de posiciones actuales
(anteriores a la optimización de la cartera) en los activos i.
• Podemos suponer que tenemos una unidad del activo i en
cartera. Entonces, qi es su precio.
• O bien, podemos sustituir en las expresiones que vienen a
N
continuación la expresión ∑ qi por la cantidad inicialmente
invertida. i =1
x = (xi )i es el vector de ponderaciones de la cartera
óptima.
qi ⋅ xi es la posición invertida en el activo i en la cartera
óptima.
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33. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• la pérdida de la cartera en el escenario j es:
N
∑v i =1
ij ⋅ xi
• añadimos, por ejemplo, las restricciones de trading:
N N
∑q ⋅ x = ∑q
i =1
i i
i =1
i
N
∑
i =1
qi
l i ≤ xi ≤ u i li = 0 u i = 0 . 20 ×
qi
33
34. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• La condición de obtener una rentabilidad mínima esperada R
cuando no hay cambios de rating es:
N N
∑ (q ⋅ x )⋅ r ≥ R ⋅ ∑ q ⋅ x
i =1
i i i
i =1
i i
N
∑ q (r − R )⋅ x
i =1
i i i >0
ri es la rentabilidad esperada del activo i cuando no hay cambios
de rating.
( )
• Definimos y = y j j j = 1, K , S como las pérdidas superiores a
una cantidad fija K.
34
35. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• El problema de optimización de minimización del regret
esperado de pérdidas superiores a una cantidad k és:
N
mín
x
∑p j =1
j ⋅yj
• Con las restricciones:
N N
∑ ∑
N
yj ≥ vij ⋅ xi − K ⇔ vij ⋅ xi − y j ≤ K j = 1, K , S
i =1 i =1
∑ q (r − R)⋅ x
i =1
i i i ≥0
N N
∑q ⋅ x = ∑q
i =1
i i
i =1
i l i ≤ xi ≤ u i yj ≥ 0 j = 1,K , S
35
36. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Generemos los escenarios, por ejemplo, utilizando
MonteCarlo tal y como se explica a continuación.
36
37. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
Generación de escenarios:
• Se determinan intervalos para las rentabilidades ri de
los activos generados por una distribución Normal de
manera que correspondan a los diferentes ratings
futuros posibles y a la vez reproduzca las probabilidades
reales de transición de rating.
• La media de la Normal es la rentabilidad asociada al
rating actual del emisor del activo i. La varianza es la
volatilidad de la rentabilidad.
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38. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Si Udefault, UC , UCC , UCCC , UB , ..., UAAA son los extremos
de estos intervalos, imponemos:
U default
P(Default ) = P(ri < U default ) = N
σ
UC U
P(C ) = P(U default < ri < U C ) = N − N default
σ
σ
M
U U
P( AAA) = P(U AA < ri < U AAA ) = N AA − N AAA
σ σ
38
39. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• y utilizando los valores reales para estas probabilidades
de transición de rating, determinamos los extremos UX.
Por ejemplo, para un emisor BBB las probabilidades de
transición podrían ser:
AAA 0.05%
AA 0.35%
A 6.20%
BBB 86.00%
BB 5.00%
B 2.10%
CCC 0.10%
Default 0.20%
U X = InvNormal (P ( X ) ) ⋅ σ U default = InvNormal (0.20% ) ⋅ σ = −2.878 ⋅ σ
39
40. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
Se mantiene BBB Cambio a A
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
UCCC UB UBB UBBB UA UAA UAAA
Rentabilidad del activo
40
41. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
4. Carteras Óptimas con Simulación de escenarios
• Además, seria necesaria la matriz de correlación de
transiciones de ratings conjuntas
• Entonces, generamos Normales correlacionadas (por ejemplo,
usamos Txoleski). Cada una de las rentabilidades simuladas
corresponde a un rating. Tenemos así una matriz de
transición de rating simulada.
• Valoramos los activos con los ratings del escenario de la
simulación (por ejemplo, para bonos, valor actual con curva
del rating) y calculamos rentabilidad del escenario.
• También podríamos usar probabilidades y correlaciones de
transición implícitas en derivados de crédito cotizados en
mercado.
41
42. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5. Medidas de evaluación de la gestión
• La medición de los resultados de gestión no sólo debe
incluir un análisis de rentabilidad sino que es importante
también conocer el riesgo que se ha asumido para
alcanzarla.
• Las medidas de performance permiten obtener una
medida de la calidad de gestión.
• Proporcionan un método de comparación entre la
gestión de distintas carteras mediante medidas
homogéneas.
42
43. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5. Medidas de evaluación de la gestión
• Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside
Deviation.
– La volatilidad es una medida de riesgo simétrica, i.e.,
asocia riesgo tanto a la posibilidad de obtener ganancias
como pérdidas.
– Sin embargo, para la mayoría de inversores, el riesgo es la
“posibilidad de perder” o la “posibilidad de no alcanzar un
rendimiento mínimo”.
– La Downside Deviation es una medida de riesgo
asimétrica.
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44. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5. Medidas de evaluación de la gestión
• Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside
Deviation.
– La Semivarianza negativa (o riesgo de pérdida)
interpreta el riesgo como la posibilidad de que la
rentabilidad de la inversión esté por debajo de un
determinado límite de rentabilidad (ya sea 0 –
posibilidad de perder – o el rendimiento mínimo que
desea el inversor).
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45. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5. Medidas de evaluación de la gestión
• Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside
Deviation.
– Fórmula de cálculo:
N
1
σ =
−
N
∑ δ − (ri ) ⋅(ri − R) 2
i =1
Donde R es el límite de rentabilidad,
N es el número de observaciones de rentabilidad y
δ − ( x) = 1 si x ≤ R,
δ − ( x) = 0 si x > R
45
46. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5. Medidas de evaluación de la gestión
• Medida de riesgo: Semivarianza negativa o Downside
Deviation.
– Cuando la rentabilidad mínima aceptable, R, es igual a la
rentabilidad media, µ ,la llamamos simplemente
semivarianza.
– Recibe el nombre de semivarianza (negativa) porque es
una medida de la dispersión de la rentabilidad en la zona
inferior al límite R considerado, con respecto a este
límite (rentabilidad mínima aceptable).
46
47. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.1 Ratios de performance
• Ratio o coeficiente de Sharpe (1966)
Mide el retorno extra (o prima de rentabilidad) que recibe el
inversor por unidad de riesgo asumida.
rC − r0
S=
σC
donde rC y σ C son la rentabilidad y volatilidad de la cartera
y r es la rentabilidad del activo libre de riesgo.
0
Recordemos que este es el valor de la pendiente de la CML y
que maximizándola, obtenemos la cartera de mercado.
47
48. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.1 Ratios de performance
• Ratio o coeficiente de Sharpe
– En el caso de inversiones que sigan un benchmark,
podemos usar una variante de este ratio midiendo el
exceso de rentabilidad sobre la rentabilidad del benchmark
en lugar de sobre el activo libre de riesgo.
– En principio, cuanto mayor sea este ratio, mejor es la
gestión.
48
49. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.1 Ratios de performance
• Ratio de Sortino
Modificación del ratio de Sharpe que intenta no “castigar” en
el ratio a fondos que hayan tenido resultados por encima del
valor medio o de una medida de rentabilidad aceptable.
Para ello considera como medida de riesgo la semivarianza
negativa en lugar de la varianza.
rC − r0
S=
σC
−
49
50. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.1 Ratios de performance
• Ratio de Treynor (1965)
Mide el retorno extra (o prima de rentabilidad) que recibe el
inversor por unidad de riesgo asumida, pero considerando
como medida de riesgo el coeficiente β . Así el riesgo viene
definido como exposición de la cartera al mercado de
referencia.
rC − r0
T=
βC
50
51. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.1 Ratios de performance
• Ratio de Treynor
– Este ratio se recomienda en carteras adecuadamente
diversificadas ya que en estos casos el riesgo no
sistemático (o diversificable) es pequeño y, por tanto, el
riesgo sistemático representa un alto porcentaje del riesgo
total.
– En principio, cuanto mayor sea este ratio, mejor es la
gestión.
51
52. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.1 Ratios de performance
• Alpha de Jensen
Mide la aportación del gestor sobre el benchmark (exceso de
retorno respecto a la cartera benchmark).
α = rC − ( r0 + β ⋅ ( rm − r0 )) =
= ( rC − r0 ) − β ⋅ ( rm − r0 )
rC − r0 exceso de retorno por la gestión de la cartera.
β ⋅ (rm − r0 ) exceso de retorno que obtendría la media de
mercado si siguiese la misma estrategia que la cartera
analizada (riesgo de la cartera controlado por β ).
52
53. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.1 Ratios de performance
• Alpha de Jensen
Un valor de α positivo (negativo) indica que la cartera
ha obtenido un mayor (menor) retorno al adecuado
según su nivel de riesgo no diversificable.
α > 0 ⇒ buena gestión (valor añadido)
α = 0 ⇒ gestión adecuada a la línea de equilibrio
α < 0 ⇒ mala gestión
53
54. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.1 Ratios de performance
• Tracking Error:
– Dispersión de los diferenciales de rentabilidad de la
cartera y su benchmark.
– Fijar un máximo TE al gestor acota su libertad de
movimiento pudiendo evitar resultados muy por debajo
del benchmark establecido.
– Un TE elevado puede significar varias cosas:
• Gestión no controlada
• El gestor realiza apuestas (estudiar su resultado)
• Necesidad de cambio del benchmark de referencia.
54
55. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.1 Ratios de performance
• Ratio de información:
– En este ratio se considera como rentabilidad el exceso de
rentabilidad de la cartera sobre el Benchmark y como
medida de riesgo el Tracking Error (posibilidad de que los
resultados se desvíen de los obtenidos por el benchmark).
RC − RB
I=
TE
– Mide en qué cantidad se ve compensado el fondo por
desviarse de su índice de referencia. ¿Rentabiliza el gestor
el riesgo asumido sobre el índice de referencia?
55
56. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.1 Ratios de performance
• Ratio de información:
– Es más adecuado que el ratio de Sharpe para mercados
bajistas porque, al comparar con el activo libre de riesgo,
en mercados bajistas el ratio de Sharpe puede tener
fácilmente signo negativo, sin embargo, como el ratio de
información se compara con el benchmark, su signo
siempre es significativo.
– Cuanto mayor y más positivo sea, mejor.
56
57. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.2 Performance attribution
• La atribución de resultados (performance attribution) permite
definir las causas que han determinado el éxito o fracaso de
una estrategia de inversión.
• La consistencia de estos análisis a lo largo del tiempo
permiten diferenciar entre habilidad y suerte.
• Estas técnicas parten de la existencia de una cartera base y
tienen como objetivo describir las causas que hayan podido
producir las diferencias de rentabilidad entre una cartera y su
benchmark.
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58. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.2 Performance attribution
• Son, por tanto, herramientas para que el gestor pueda
conocer el origen del valor añadido de su gestión sobre el
benchmark.
• La rentabilidad obtenida por el gestor sobre el benchmark es:
rC − rB
donde rC es la rentabilidad de la cartera y rB la del benchmark
de referencia.
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59. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.2 Performance attribution
• Las técnicas que veremos nos dirán en cuál de los
siguientes procesos se ha aportado/perdido rentabilidad
respecto a la cartera base:
– Asset Allocation: Composición de la cartera por categorías
(sectores, mercados, países…).
– Security Selection: Selección de los activos en cada una de
las categorías.
– Market timing: elección del instante de compra/venta.
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60. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.2 Performance attribution
• Asset Allocation y Security Selection
Denominaremos k a cada una de las categorías de activos
considerada de manera que:
WBk sea el peso de la categoría k en el benchmark,
WCk sea el peso de la categoría k en la cartera gestionada,
rBk sea la rentabilidad de la categoría k en el benchmark y
rCk sea la rentabilidad de la categoría k en la cartera.
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61. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.2 Performance attribution
• Asset Allocation y Security Selection
Denotaremos como rBC a la rentabilidad del benchmark con
las ponderaciones de la cartera gestionada, esto es:
rBC = ∑ W r k k
C B
k
De esta manera, la rentabilidad añadida por el gestor es:
rC − rB = (rC − rBC ) + (rBC − rB )
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62. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.2 Performance attribution
• Asset Allocation y Security Selection
El primer sumando indica si la elección de los activos de la
cartera ha sido positiva o negativa para la rentabilidad final,
por tanto, es el factor que nos medirá la aportación de la
security selection en los resultados obtenidos:
rC − rBC = ∑ WCk (rCk − rBk )
k
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63. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.2 Performance attribution
• Asset Allocation y Security Selection
y el segundo sumando, nos da la información respecto al
asset allocation, es decir, nos indica la medida en la que
hemos acertado/fallado en la elección de las ponderaciones
de cada una de las categorías consideradas:
rBC − rB = rBC − rB − rB + rB =
= ∑ (WCk − WBk )(rBk − rB )
k
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64. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.2 Performance attribution
• Asset Allocation y Security Selection
Ejemplo:
Benchmark Cartera
Categorías WB rB WB* rB WC rC WC* rC
Renta
Variable 50% 7,50% 3,75% 65% 8,20% 5,33%
Renta Fija 35% 1,30% 0,45% 15% 1,20% 0,18%
Corto Plazo 15% 0,60% 0,09% 20% 0,60% 0,12%
4,29% 5,63%
Valor añadido respecto al benchmark:1,34%
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68. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.2 Performance attribution
• Market Timing. Metodología de Henriksson y Merton
También podemos medir la capacidad del gestor de
anticiparse a los movimientos de mercado y, en
consecuencia, modificar la posición del riesgo.
Por la definición de β , el gestor debería construir una
cartera con β elevada ante un mercado alcista y con un
valor menor de β ante mercado bajista.
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69. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.2 Performance attribution
• Market Timing. Metodología de Henriksson y Merton
Realizamos la siguiente regresión:
~ − r = a + b ⋅ (~ − r ) + c ⋅ (~ − r ) ⋅ D + u
rP 0 rm 0 rm 0 ~
P P P P
1 si rm > r0
donde D =
0 si rm ≤ r0
En mercados alcistas, D=1 y “bull beta” = bk+ck
En mercados bajistas, D=0 y “bear beta” = bk
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70. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers
5.2 Performance attribution
• Market Timing. Metodología de Henriksson y Merton
Para evaluar la capacidad del gestor de adelantarse al
mercado, buscamos el valor ck de la regresión.
ck>0 indica que el gestor ha sabido adelantarse a los
movimientos de mercado.
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