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CIRCUNFERENCIA
             TEORÍA
PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS



     ABRAHAM GARCÍA ROCA


   agarciar@correo.ulima.edu.pe
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico
de un conjunto de infinitos puntos que
equidistan de un punto situado en el centro.
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
        Flecha o
         sagita               Q




                      N
Cuerda PQ                                          Recta




                              M
                P                                  secante
                                     Radio

            A                                  B

                                                Arco BQ
                                      Centro
     Diámetro
      ( AB )
                                       T
                                               Recta
                Punto de tangencia             tangente
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

01.-Radio   trazado al punto de tangencia es
                   perpendicular a la recta tangente.




                                    L
                             R

                                     R ⊥L
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
    la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
                          P




                  N
                      M

                              R
                                      Q




            R ⊥ PQ ⇒ PM = MQ
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
    entre las paralelas.

               A                   B
                                   
         C                              D




             Si : AB // CD ⇒ mAC = mBD
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
     les corresponden arcos congruentes.
                A                         C




                    Cuerdas congruentes
                     Arcos congruentes

           B
                       Las cuerdas            D
                      equidistan del
                         centro



          Si : AB = CD ⇒ mAB = mCD
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
           CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.




                              R
                         r




              d = Cero ;; d :: distancia
              d = Cero d distancia
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.




           R




                                                 r
                       R                     r


                           Distancia entre
                           los centros (d)




                           d>R+r
                           d>R+r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
      punto común que es la de tangencia.

                                             Punto de tangencia




               R




                                                r
                        R                r


                       Distancia entre
                       los centros (d)




                       d = R + rr
                       d = R +
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
      punto en común que es la de tangencia.


                                         Punto de
                                         tangencia


              R
                                    r

                             R
                         d




            d = R -- r
            d=R r            d: Distancia entre los centros
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
     que son las intersecciones.




                        R



                                             r
                           Distancia entre
                           los centros (d)




                  (( R – r )) < d < (( R + r ))
                     R–r <d< R+r
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
     perpendiculares en el punto de intersección.




                                        r
                    R
                      Distancia entre
                      los centros (d)



                                        d22 = R22 + r22
                                        d =R +r
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.




                       R




                                     r
                                d


          d < R -- r
          d<R r             d: Distancia entre los centros
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
    trazar dos rayos tangentes que determinan dos
    segmentos congruentes.

                          A

                     R
                                                α
                                                α      P

                    R

                         B            AP = PB
                                      AP = PB
2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes


             A
                                         B
         R
                                          r

                                          r
         R
                                         D
             C
                     AB = CD
                     AB = CD
3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.




                        A
                 R                    D
                                          r

                                          r
                 R                   B
                        C

                       AB = CD
                       AB = CD
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.

                                      Inradio

                                      b             Circunradio
       a                 r




                   R                        R
                               c


   a + b = c + 2r
   a + b = c + 2r                    a + b = 2 (( R + rr ))
                                     a + b = 2 R+
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.


                 b
                                     Cuadrilátero circunscrito



                                    c

        a



                         d

                      a + c = b + d
                      a + c = b + d
Circunferencia 4to año egb-2012
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
    medida del arco que se opone.

                             A
                         r
            C            α
                         r
                             B



                   α = mAB
                   α = mAB
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a
    la semisuma de las medidas de los arcos
    opuestos
              A           D


                  β
                            C


              B

                mAB + mCD
             β=
                    2
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
    del arco opuesto.
                             A




                                      B
                      θ
                 C


                        mAB
                     θ=
                         2
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
    del arco opuesto.


                                A

            C




                            δ
                        B

                      mAB
                   δ=
                       2
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
    la medida del arco ABC.
                         A




                                        ε
                C                   B



                        mABC
                     ε=
                          2
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:

a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
    igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
    opuestos.
                   A                     mACB - mAB
                                      α=
                                             2

  C                                    α        O



                  B
                                         α + mAB = 180°
                                         α + mAB = 180°
b

    B

              C


                  β    O

             D
    A


           mAB - mCD
        β=
               2
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
    secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
    arcos opuestos.


                             B


                                             θ        O

                                    C

             A

                      mAB - mBC
                   θ=
                          2
Circunferencia 4to año egb-2012
Problema Nº 01
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
RESOLUCIÓN                  Por ángulo semi-inscrito PQS
  PSQ = x                                      mQRS
Se traza la cuerda SQ                  m∠PQS =
                                                 2
          Q                        P       Reemplazando:
                             50°           140 º +2x
              70º+x
                      2X           m∠PQS =           = 70º + x
                                              2
                                        En el triángulo PQS:
                        R              X + (X+70) + 50° = 180°
          X
                                    Resolviendo la ecuación:
      S         140°
                                               X = 30°
                                               X = 30°
Problema Nº 02
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si m∠HRS=20º; calcule la m∠QPR.
RESOLUCIÓN                          En el triángulo rectángulo RHS
 PSQ = x
                                             m ∠ S = 70º
                    Q                     Por ángulo inscrito
                                         mQR
                                   70º =              mQR = 140°
                                          2
    H




S   70°                 140°              Es propiedad, que:
                               X
          20°                       P
                                            140° + X = 180°

                R                   Resolviendo:       X = 40°
                                                       X = 40°
Problema Nº 03
  Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
  trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
  y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
  del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
  RESOLUCIÓN
                            Medida del ángulo interior
   APD = x
       A                   130° + mBC
                                      = 90°              mBC = 50°
                                2
                     B            Medida del ángulo exterior
130°                                      130° − 50°
                     50°               X=
                           x      P           2
                                         Resolviendo:
                 C
       D
                                           X = 40°
                                           X = 40°
Problema Nº 04
    En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
    hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo
    secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al
    radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m∠APN.
    RESOLUCIÓN
                                        Se traza el radio OM:
         N              APN = x
                                          Dato: OM(radio) = PM
                                  Luego triángulo PMO es isósceles
    54°               M
                                     Ángulo central igual al arco
                       x
A                x           x
             o         B          P Medida del ángulo exterior

                                              54° − X
                                           X=
                                                 2
                           Resolviendo:      X = 18°
                                             X = 18°
Problema Nº 05
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,
“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide
70º. Calcule la m∠PRQ.
RESOLUCIÓN                 Por la propiedad del ángulo exterior
        B                      formado por dos tangentes:
                PRQ = x
        70°                   70° + mPQ = 180°      mPQ = 110°

        110°     Q            Medida del ángulo inscrito:
    P
                                             110°
                                        X=
                                              2
            x
                                  Resolviendo:       X = 55°
                                                     X = 55°
A           R             C
Problema Nº 06


Calcule la medida del ángulo “X”.


                    A



       70°
                                     X       P



                   B                     Resolución
RESOLUCIÓN                     A



           C     70°                    140º     X       P



                             B
                                      mAB
 Medida del ángulo inscrito: 70 º =             mAB=140º
                                       2

 Por la propiedad del ángulo exterior
     formado por dos tangentes:

       140º + x = 180º         Resolviendo:    X = 40º
Problema Nº 07

Calcular la medida del ángulo “x”



             A




            130º                     X           P



            B
                                    Resolución
A            RESOLUCIÓN



 260º                                             X             P
                   130º       C



                    B
                                      mAB
Medida del ángulo inscrito: 130 º =                    mAB = 260º
                                       2
En la circunferencia: 260º + mACB = 360º           mACB = 100º

Por la propiedad del ángulo exterior
                                     mACB + x = 100º       X = 80º
    formado por dos tangentes:
Problema Nº 08
        Calcule el perímetro del triángulo ABC.




    B




               2


A                                                    C
           5                            5
                                            Resolución
RESOLUCIÓN
                   B


               a              2            b


           A                                             C
                          5                        5
               Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
                                          a + b = 14         (1)
   Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10           (2)

Reemplazando (1) en (2)           (2p) = 14 + 10       (2p) = 24
Problema Nº 09
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia
se trazan la tangente PQ y la secante PRS de
modo que los arcos SQ y SR sean congruentes.
Si el arco QR mide 80º, calcular m∠QPR .
PLANTEAMIENTO

           Q
a
                      80º           X        P


                      R

S
                                    Resolución
               a
RESOLUCIÓN
        Q
a
                    80º              X             P


                    R
                           En la circunferencia:
S
                              2a + 80º = 360º
              a                      a = 140º

           Medida del ángulo exterior:

       a − 80º 140º −80º
    X=        =                          X = 30º
          2        2
Problema Nº 10
En un cuadrilátero ABCD m∠Q = m∠S = 90º se traza
la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y
PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el
perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la
longitud de PR               Q

PLANTEAMIENTO

                          3


                                         R
          P
                                2

                                        Resolución
                                    S
Q
RESOLUCIÓN

Dato:                         a           3           b
a + b + c + d = 22cm
                                                              R
                  P
                                                  2
                                                          c
                                      d
Teorema de Poncelet:
                                                      S
PQR  a + b = PR+2(3)            +
PSR  c + d = PR+2(2)
    a +b + c + d = 2PR + 10

            22 = 2PR + 10                     PR = 6cm

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Circunferencia 4to año egb-2012

  • 1. CIRCUNFERENCIA TEORÍA PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS ABRAHAM GARCÍA ROCA agarciar@correo.ulima.edu.pe
  • 2. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.
  • 3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Flecha o sagita Q N Cuerda PQ Recta M P secante Radio A B Arco BQ Centro Diámetro ( AB ) T Recta Punto de tangencia tangente
  • 4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. L R R ⊥L
  • 5. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P N M R Q R ⊥ PQ ⇒ PM = MQ
  • 6. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. A B   C D Si : AB // CD ⇒ mAC = mBD
  • 7. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A C Cuerdas congruentes Arcos congruentes B Las cuerdas D equidistan del centro Si : AB = CD ⇒ mAB = mCD
  • 8. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro. R r d = Cero ;; d :: distancia d = Cero d distancia
  • 9. 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. R r R r Distancia entre los centros (d) d>R+r d>R+r
  • 10. 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R r Distancia entre los centros (d) d = R + rr d = R +
  • 11. 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R d d = R -- r d=R r d: Distancia entre los centros
  • 12. 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r Distancia entre los centros (d) (( R – r )) < d < (( R + r )) R–r <d< R+r
  • 13. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. r R Distancia entre los centros (d) d22 = R22 + r22 d =R +r
  • 14. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. R r d d < R -- r d<R r d: Distancia entre los centros
  • 15. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A R α α P R B AP = PB AP = PB
  • 16. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes A B R r r R D C AB = CD AB = CD
  • 17. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. A R D r r R B C AB = CD AB = CD
  • 18. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. Inradio b Circunradio a r R R c a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 (( R + rr )) a + b = 2 R+
  • 19. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. b Cuadrilátero circunscrito c a d a + c = b + d a + c = b + d
  • 21. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone. A r C α r B α = mAB α = mAB
  • 22. 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos A D β C B mAB + mCD β= 2
  • 23. 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto. A B θ C mAB θ= 2
  • 24. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto. A C δ B mAB δ= 2
  • 25. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC. A ε C B mABC ε= 2
  • 26. 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. A mACB - mAB α= 2 C α O B α + mAB = 180° α + mAB = 180°
  • 27. b B C β O D A mAB - mCD β= 2
  • 28. c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. B θ O C A mAB - mBC θ= 2
  • 30. Problema Nº 01 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x mQRS Se traza la cuerda SQ m∠PQS = 2 Q P Reemplazando: 50° 140 º +2x 70º+x 2X m∠PQS = = 70º + x 2 En el triángulo PQS: R X + (X+70) + 50° = 180° X Resolviendo la ecuación: S 140° X = 30° X = 30°
  • 31. Problema Nº 02 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si m∠HRS=20º; calcule la m∠QPR. RESOLUCIÓN En el triángulo rectángulo RHS PSQ = x m ∠ S = 70º Q Por ángulo inscrito mQR 70º = mQR = 140° 2 H S 70° 140° Es propiedad, que: X 20° P 140° + X = 180° R Resolviendo: X = 40° X = 40°
  • 32. Problema Nº 03 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. RESOLUCIÓN Medida del ángulo interior APD = x A 130° + mBC = 90° mBC = 50° 2 B Medida del ángulo exterior 130° 130° − 50° 50° X= x P 2 Resolviendo: C D X = 40° X = 40°
  • 33. Problema Nº 04 En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m∠APN. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: N APN = x Dato: OM(radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles 54° M Ángulo central igual al arco x A x x o B P Medida del ángulo exterior 54° − X X= 2 Resolviendo: X = 18° X = 18°
  • 34. Problema Nº 05 En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la m∠PRQ. RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior B formado por dos tangentes: PRQ = x 70° 70° + mPQ = 180° mPQ = 110° 110° Q Medida del ángulo inscrito: P 110° X= 2 x Resolviendo: X = 55° X = 55° A R C
  • 35. Problema Nº 06 Calcule la medida del ángulo “X”. A 70° X P B Resolución
  • 36. RESOLUCIÓN A C 70° 140º X P B mAB Medida del ángulo inscrito: 70 º = mAB=140º 2 Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
  • 37. Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x” A 130º X P B Resolución
  • 38. A RESOLUCIÓN 260º X P 130º C B mAB Medida del ángulo inscrito: 130 º = mAB = 260º 2 En la circunferencia: 260º + mACB = 360º mACB = 100º Por la propiedad del ángulo exterior mACB + x = 100º X = 80º formado por dos tangentes:
  • 39. Problema Nº 08 Calcule el perímetro del triángulo ABC. B 2 A C 5 5 Resolución
  • 40. RESOLUCIÓN B a 2 b A C 5 5 Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 (1) Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2) Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10 (2p) = 24
  • 41. Problema Nº 09 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m∠QPR . PLANTEAMIENTO Q a 80º X P R S Resolución a
  • 42. RESOLUCIÓN Q a 80º X P R En la circunferencia: S 2a + 80º = 360º a a = 140º Medida del ángulo exterior: a − 80º 140º −80º X= = X = 30º 2 2
  • 43. Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD m∠Q = m∠S = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Q PLANTEAMIENTO 3 R P 2 Resolución S
  • 44. Q RESOLUCIÓN Dato: a 3 b a + b + c + d = 22cm R P 2 c d Teorema de Poncelet: S PQR  a + b = PR+2(3) + PSR  c + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10 PR = 6cm