Utilizando o Winplot para explorar funções reais em laboratórios de informática

Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática... 1367
Utilizando o Winplot em Laboratórios
de Informática de Escolas Públicas
no Estudo de Funções Reais

! Resumo: O ensino-aprendizagem de funções reais p ode

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cido com a utilização de softwares matemáticos, dentre eles destaca-se
o Winplot. Esse software é livre e pode ser obtido (na versão em Portu-guês)
através de download pela Internet no seguinte endereço: http://
math.exeter.edu/rparris. O objetivo deste trabalho é mostrar como o
Winplot pode ser usado para explorar conteúdos matemáticos, com
destaque para o estudo de funções reais: funções polinomiais, logarít-micas,
exponenciais e trigonométricas, apresentando roteiros de ati-vidades
que tem sido desenvolvidas/aplicadas junto a escolas públicas
como parte de projetos desenvolvidos sob a orientação da professora
Ermínia de L. Campello Fanti, em especial o projeto do Núcleo de
Ensino Informática e Jogos no Ensino de Matemática: 2008-2009. É in-teressante
destacar que a utilização de software como uma ferramenta
adicional no ensino de Matemática, no Ensino Médio, tem sido suge-rida
pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.
Palavras-chave: Software Winplot, funções reais, ensino de Matemática.
Introdução
O Winplot, um dos softwares do grupo Peanut Software, é uma ferramenta computa-cional
bastante interessante, principalmente para se fazer/representar grá4cos de funções
1 Docente do Departamento de Matemática – IBILCE/UNESP - SJRP – Coord. do Projeto do Núcleo de Ensino
2 Professores da E E Profa. Amira Homsi Chalella - SJRP - Colaboradores do Projeto do Núcleo de Ensino
3 Aluna do Curso de Matemática – IBILCE – UNESP - Bolsista do Núcleo de Ensino
4 Aluna do Curso de Matemática – IBILCE – UNESP - Bolsista do Programa Ciência na UNESP

DSÄEducação Matemática 1368
reais de uma ou duas variáveis (2D e 3D). Foi desenvolvido pelo Professor Richard Parris
(Rick), da Philips Exeter Academy, por volta de 1985. Inicialmente chamava-se PLOT
e rodava no DOS. A versão para Windows surgiu em 2001. Além da versão original, em
inglês, o Winplot possui versões em mais seis idiomas, incluindo o português. A versão
em Português foi preparada com a assistência de Adelmo Ribeiro de Jesus (Bahia). É um
programa simples, mas que pode executar um grande número de tarefas. É pequeno e
roda em sistemas Windows 95/98/ME/2K/XP/Vista/7, e mesmo Linux. Outra de suas
vantagens é ser livre (gratuito), podendo por isso ser utilizado sem problemas por profes-sores
e alunos dos Ensinos Fundamental, Médio, e Superior. Pode ser obtido, através de
download pela Internet, no endereço: http://math.exeter.edu/rparris, sendo sua instalação
bastante rápida e fácil. O objetivo deste trabalho é mostrar como o Winplot pode ser
usado para explorar conteúdos matemáticos, com destaque para o estudo de funções reais,
apresentando roteiros de atividades que foram elaborados, após pesquisas e análise biblio-grá
4ca sobre conteúdo de cada série. Esse material foi aplicado junto a escolas públicas
como parte de projetos desenvolvidos sob a coordenação da professora Ermínia de L.
Campello Fanti, em especial o projeto do Núcleo de Ensino Informática e Jogos no Ensino
de Matemática - 2009.
Desenvolvimento/ Metodologia
O Winplot tem sido utilizado em escolas públicas como parte dos projetos Núcleo de
Ensino e Ciência na UNESP, desenvolvidos sob a coordenação da Profa. Dra. Ermínia
de L. Campello Fanti. As atividades são desenvolvidas pelos bolsistas dos referidos pro-jetos
nos Laboratórios de Informática das escolas públicas envolvidas, com o intuito de
melhorar o aprendizado dos alunos. Visto que a simples possibilidade de visualizar na tela
do computador os grá4cos das funções reais constitui um recurso pedagógico de alcance
ilimitado para os mesmos. Dentre as escolas que usamos o Winplot, destacamos a E. E.
Profa. Amira Homsi Chalella - SJRP, com 1as, 2as e 3as séries do Ensino Médio, dentro do
projeto do Núcleo de Ensino (só em 2009 – com mais de 340 alunos) e Etec Philadelpho
Gouvêa Netto - SJRP, em o4cinas oferecidas em 2009, com a colaboração de bolsistas do
programa Ciência na UNESP, realizadas com todas as classes de 1a e 3a séries , totalizando
8 classes (cerca de 250 alunos). Nas primeiras séries destaca-se o estudo das funções a4ns,
quadráticas, exponenciais e logarítmicas. Nas segundas, das funções trigonométricas, e
nas terceiras das funções polinomiais. A importância do estudo de funções e a análise de
seus grá4cos é indicada nos Parâmetros Curriculares Nacionais - Parte III - Ciências da
Natureza, Matemática e suas Tecnologias, por exemplo, na p.44 (no caso do estudo das
funções trigonométricas)

[...] Outro tema que exemplica a relação da aprendizagem de Mate-mática
com o desenvolvimento de habilidades e competências é a Trigo-nometria,
desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o
investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações
para enfatizar os aspectos importantes das funções trigonométricas e da
análise de seus grácos. [...]
Inicialmente foram realizadas pesquisas sobre quais os tópicos podem ser explorados
com o Winplot, e elaborados roteiros de atividades para serem entregues aos alunos (nas
aulas de laboratório). Nesses roteiros procurou-se selecionar quais itens devem ser abor-dados
de modo a estar de acordo com o plano de ensino do professor responsável pela
matéria (nos ensinos fundamental e médio, mais especi4camente ensino médio onde
temos mais utilizado), não atrapalhando a sequência estabelecida pelo mesmo, e enrique-cendo
e complementando suas aulas, de forma a ter um bom aproveitamento. Espera-se
que seja possível desenvolver cada roteiro de atividades no período de uma ou duas horas/
aula, como aconteceu, em geral, com as classes de Ensino Médio em que o projeto foi
desenvolvido/aplicado. Cada aluno anotou, no roteiro recebido, seu nome e suas conclu-sões/
observações. Esse material foi recolhido pelos bolsistas para análise. Os roteiros fo-ram
elaborados de modo que o mesmo possa ser usado por quem não tem familiaridade
com o software, por isso, no inicio de cada um, alguns passos básicos são apresentados.
Além disso, mesmo que o aluno já tenha feito alguma atividade utilizando o software, se
ocorreu um intervalo de tempo, ele pode já ter esquecido os comandos. Seria ótimo se
todos, alunos e professores, tivessem um bom domínio do software e pudessem, a partir
das atividades apresentadas aqui, criar as suas próprias aulas/atividades. Mas, em geral,
não há tempo disponível (em sala de aula) para realizarmos um estudo mais aprofunda-do
de um determinado software. Assim precisamos ser bastante objetivos na utilização
do espaço, em sala de aula/laboratório, que nos foi concedido. Espera-se que os roteiros
apresentados aqui (também referidos como “aulas”) sirvam de material auxiliar, e que a
partir deles, novos roteiros (aulas) possam ser elaborados aprimorando/aprofundando
ainda mais os conteúdos tratados.
Observamos que em FANTI, et al. (2008) já foi apresentado um breve relato de como o
Winplot foi utilizado no estudo de grá4cos de funções quadráticas/polinomiais de segun-do
grau, explorando os zeros/raízes reais (quando existem), pontos de máximo e mínimo,
e auxiliando no estudo de fatoração, através do comando adivinhar.

Winplot - Noções Básicas e Roteiro de Atividades
Embora os roteiros de atividades, apresentados no 4nal dessa seção tenham sido ela-borados
de modo a não exigir conhecimento do Winplot, apresentamos aqui, antes desses
roteiros, uma noção básica do software.
Noções básicas: Tomaremos como referência, neste trabalho, a última versão, em Por-tuguês
existente até então do software Winplot. Com relação aos comandos por nós utili-zados
na elaboração das atividades para o Ensino Fundamental e Médio, as alterações em
relação às versões anteriores foram poucas. De fato, a versão que utilizamos no projeto
(em 2009) foi uma versão anterior a essa que referiremos no texto.
Ao abrirmos o programa nós encontramos inicialmente duas “opções”: Janela e Ajuda.
Em Janela temos as escolhas: 2-dim, 3-dim, Adivinhar e Mapeador. Além disso, temos
também Planetas, Abrir última e Usar padrão (ao selecionarmos uma dessas duas últimas
opções estamos indicando qual arquivo o Winplot vai abrir, se é o último trabalho realiza-do
ou é a tela padrão), e Sair. As opções 2-dim e 3-dim permitem que trabalhemos com
funções/objetos no plano e no espaço, respectivamente. Estamos mais interessados em tra-balhar
com 2-dim tendo em vista nosso objetivo de explorar grá4cos de funções reais (de
uma variável real). Ao selecionarmos 2-dim ou 3-dim aparecerá uma tela com os menus:
Arquivo, Equação, Ver, Mouse (ou Botões – Btns), Um, Dois, Anim, Outros (ou Miscelânia).
Existe em cada um dos Menus um arquivo de Ajuda, apropriado, em português, que nos dá
algumas informações sobre a utilização dos comandos do menu selecionado. Por exemplo,
selecionando Ver (após Janela, 2-dim) e Ajuda, aparecerá um quadro explicativo contendo
certas informações sobre comandos do Menu Ver (ajuda Winplot).
Daremos uma breve descrição de alguns comandos/opções dos Menus:
Menu Arquivo: Para fechar um arquivo do Winplot que está aberto, clique na 4gura
(“parábola amarela” – símbolo do Winplot) no canto superior esquerdo da tela, referente
ao grá4co/arquivo que está aberto, e em seguida em fechar, ou feche clicando em “X” no
canto à direita.
Para abrir um arquivo do Winplot que já tinha sido salvo (2-dim, por exemplo): clique em
Janela, 2-dim, irá abrir um arquivo (padrão ou o último que foi feito). Nesse arquivo/tela
que está aberto, clique em Arquivo, Abrir e em seguida procure o arquivo desejado no local
disponível, computador ou pen drive, etc.
Para abrir um arquivo novo, vá em Arquivo e selecione Novo.
Interessante: Para copiar os grá.cos/construções já feitas, para um documento do Word, basta

abrir o arquivo do Winplot que contém os grá4cos, selecionar Arquivo e Copiar. Em se-guida,
abrir o arquivo do Word e selecionar editar, colar (ou Ctrl v).
Há outros comandos/funções no menu Arquivo. Podemos, por exemplo, salvar um ar-quivo
do Winplot para o formato EPS, usando Arquivo, Exportação de grá.cos, EPS.
Menu Equação: Em Equação temos os comandos para representações grá4cas:
Equação Explícita (tipo y = f(x) )
Equação Paramétrica (x = f(t), y = g(t ))
Equação Implícita (tipo f(x,y) = c)
Equação Polar (tipo r = f(t))
Aparecem ainda outras opções como Ponto, Segmento, Reta, Inventário, Fonte, Biblio-
teca, De.nir função, etc...
Inventário: Fornece uma caixa de diálogo que aparece só depois que o primeiro exem-plo
é criado, permite que você inspecione e edite exemplos existentes e faça outras modi.ca-
ções e construções. Para alterar um exemplo clique sobre a equação/função correspondente a
ele (na caixa Inventário) com o mouse, e em seguida em editar (faça as alterações e clique
em OK). Somente um exemplo por vez pode ser selecionado e alterado. Se selecionarmos
equação na caixa Inventário aparecerá na tela a equação/função correspondente ao exemplo
trabalhado. Caso a caixa de inventário não esteja aparecendo basta selecionar o menu Equa-
ção e em seguida Inventário.
Fonte : Permite mudar a fonte usada para mostrar as equações na tela.
Biblioteca: Dá uma lista de funções (padrão) do Winplot
De.nir função: Permite ampliar a biblioteca, criando uma nova função.
Importante: As funções da opção “Equação Explícita” devem ser digitadas de modo
compatível com a notação usada na Biblioteca do programa. Listamos a seguir algumas
funções e o modo de digitá-las no Winplot.
Função Winplot
y=ax+b ax+b
y=xn x^n
y =| x | abs(x)
y= sqr(x)
)

+ *) root(n,x) ou x^(1/n)
y = sen x sin(x)
y = cos x cos(x)
y = tg x tan(x)
y = ax a^x
y = ex e^x ou exp(x)
y = ln x ln(x)
y = loga x log(a, x)
Menu Ver: Alguns dos principais comandos desse menu são Ver, Zoom, Mover, Grade,
Restaurar, Eixos, Linhas de Grade.,
Ver : Permite redimensionar os eixos, para maior visualização do grá4co.
Zoom: Use as teclas Page Up e Page Down para aproximar ou afastar o grá4co na tela .
Restaurar : Restaura a con4guração padrão.
,-./0: Use as setas (para cima, baixo, direita, esquerda) do teclado para
PRYHURJUi¿FR
1023/: Apresenta um quadro com uma série de opções para melhor adequa-ção
da janela e detalhes relacionados ao sistema de coordenadas subjacente.
Pode-se colocar vários tipos de /452624 nos eixos, usando inclusive múltiplos
de S, inserir 678923/:023/, etc.
Eixos: Muda cor, espessura, etc dos eixos Ox e Oy
Linhas de Grade: Permite adequar cor e espessura da linha de grade.
Menu Mouse (ou Botões- Btns):
(LB ou BE- Botão Esquerdo - Left ; RB ou BD - Botão Direito - Right).
Arrastar Box BE/Recentr zoom BD: Quando este comando estiver selecionado, ao clicar
com BD do mouse sobre um determinado ponto do grá4co, criamos um caixa para visu-alizar
com mais detalhe o grá4co, nas proximidades do ponto, e com BE recentraliza o
grá4co. Se necessário, use Ver, Restaurar, para voltar a posição inicial.
Texto: Após selecionar Texto, podemos com BE (do mouse apertado) mover para um
lugar mais adequado da tela uma equação/lei de uma função, que estiver na tela. Por outro
lado, ao clicar com o BD aparecerá uma caixa de texto.

Colar: Com a opção colar selecionada podemos com um clique com BD colar grá4co
do “clipboard”. Para remover uma 4gura clicar com BD e em apagar.
Coords XY BE/Recentr BD: O botão esquerdo dá as coordenadas do ponto selecionado
e o direito recentraliza/movimenta o grá4co, sem mudar o tamanho da janela.
Desenhar: Com esta opção selecionada pode-se fazer com BE desenho livre na tela. A
cor e espessura da linha (do desenho) pode ser também de4nida no menu Mouse.
Menu Um:
Traço: Permite o usuário percorrer o grá4co de uma função, usando uma barra de rola-gem,
visualizar aproximações de Taylor da mesma. É possível também movimentar retas
secantes por um ponto 4xado na curva, ou ver retas tangentes ao longo da curva. Estas
duas opções são úteis, por exemplo, para ilustrar o conceito de derivada.
Zeros: possibilita encontrar (e marcar) as interseções do grá4co de uma função com o
eixo Ox (zeros).
Extremos: Encontra os pontos de máximo e mínimo da função.
Integração: Dá opções de integração da função considerada.
Menu Dois:
Interseções: Determina a interseção entre duas curvas
Integrações: Dá opções de integração entre duas funções. O programa calcula a integral
de f - g, onde f e g são funções especi4cadas pelo usuário.
Combinações: Faz operações com funções: soma, produto, composta, etc.
Menu Anim (Animação): Permite animar grá4cos de funções ou equações cuja expres-são
foi dada e contenha um ou mais parâmetro (tais parâmetros precisam ser inseridos na
equação/função). Por exemplo, pode-se trabalhar com a função quadrática y = ax2+bx+c e
variar valores os valores de a, b ou c após inseri-la (usando Janela, 2-dim, Equação, Explici-
ta, ax^2+bx+c), clicar em Anim e selecionar o parâmetro que queremos variar, suponhamos
A, e movimentar a barra de rolagem que aparece na caixa auxiliar. O Intervalo de variação
e a velocidade podem ser adequados.
Menu Outros (ou Miscelânea): Nesse menu encontramos as opções Fontes que permi-
te escolher uma fonte (para Escala dos eixos, Tabelas, Inventário, e Coordenadas), Cores

(para Fundo da tela, por exemplo), Eq. dif. miscelânea, Dados, Texto, Tolerância, entre outras.
Para mudar a cor de fundo da tela selecione: Outros (ou Misc, se for alguma versão anterior),
Cores, Fundo, Cor (escolha a cor desejada) e fechar.
A seguir vejamos com mais detalhes a opção “Grade” do menu “Ver”:
Selecionando Janela, 2-dim aparecerá a tela para representarmos os grá4cos. Usando
as opções Ver, Grade aparecerá uma tela (quadro), como na 4gura seguinte, que indica que
podemos escolher os intervalos das “marcas” nos eixos x e y, o “número de decimais” em cada
eixo, etc...
FIGURA 1: Grade (menu Ver - Winplot)
Mais especi4camente, ao selecionarmos (após Ver, Grade), eixos, ambos (aplicar e fechar):
aparecerão os dois eixos x e y. Selecionado setas, ambos (aplicar e fechar): aparecerão as setas
nos eixos x e y. Ainda,
pontos (na segunda linha da caixa de grade): aparecerá uma “malha pontilhada” (pontos
em cruz).
rótulos ( e ambos) : aparecerão as letras x e y nos eixos.
marcas (ambos): selecionado marcas serão inseridas pequenas marcas verticais nos eixos
x e/ou y, cujo tamanho pode ser de4nido usando “tamanho da marca”.
escala (sobre eixos) aparecerão os números nos eixos de acordo com o intervalo e a opção
escolhida.
Por exemplo, para o eixo x (já tendo selecionado marcas-ambos) fazendo,
intervalo: 1 , escala (em x) e aplicar, aparecerão os números ... -2, -1, 0, 1, 2, 3... no eixo x.

Ou
intervalo: pi/2 (digite dessa forma), selecionando escala (em x), e clicando em pi (de-pois
de freq) e aplicar, aparecerá no local indicado para intervalo x o número (aproximado)
1.570796, e na tela aparecerão os números .... – S, -S/2, 0, S/2, S, ... no eixo x.
Decimais: indica o número de casas decimais a ser usado.
Freq: indica a freqüência que queremos que os números apareçam nos eixos.
Retangular: aparecerá uma tela quadriculada (linhas contínuas).
Pontilhado e Retangular: aparecerá uma tela “quadriculada” formada de linhas pontilhadas.
Alguns Roteiros de Atividades: Na sequência apresentamos roteiros de atividades (que
referiremos também como “aulas”), que foram elaborados e aplicados em Laboratórios de
Informática com classes do Ensino Médio:
Aula 1.Representando pontos e segmentos no plano,
Aula 2. Funções polinomiais do 1º e 2º graus (ou a4ns e quadráticas),
Aula 3. Funções Exponenciais,
Aula 4.Funções Logarítmicas,
Aula 5. Função seno,
Aula 6. Função Cosseno,
Aula 7. Funções Polinomiais.
Para facilitar o uso do material (cópias/xerox) por professores interessados em utilizá-
-los em suas aulas, em Laboratórios de Informática, vamos apresentar os roteiros/aulas
assim como foram utilizados no projeto, em espaçamento simples (no caso foram incluí-dos
também, nesses roteiros/aulas, os nomes, do projeto na UNESP, da escola de Ensino
Médio onde foram aplicados, e um espaço para o aluno colocar o seu nome). Ainda, as
4guras serão numeradas separadamente em cada “aula” proposta.
Em geral uma “aula” pode ser desenvolvida/trabalhada independentemente das demais.
Como já observado anteriormente, para o desenvolvimento de algumas dessas “aulas” fo-ram
necessárias mais de uma hora/aula.

Aula 1: Representando pontos e segmentos no plano.
Público Alvo: 8ª série Ens. Fund., e 1a a 3a Séries do E. Médio. Software: Winplot
Observação: Para baixar o Winplot use http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
(selecione Português). Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o
tamanho do grá4co/4gura na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas
(o,n,m, p).
Apresentamos a seguir os passos básicos para o desenvolvimento das atividades:
Passos: 1) Abrindo o programa e preparando a tela/eixo cartesiano:
a) Abrir o Winplot (software do grupo Peanut - clicar no ícone “parábola amarela”)
b) Clicar em Janela – 2-dim;
c) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver – Grade (alguns itens já são
estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, am-
bos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo 1(para x e 0 para y), decimais – 0,
escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular (deixar todos os quadrantes selecionados);
aplicar e fechar (ver Fig.1.1).
Atividade I. Representar os pontos P1=(2,1), P2=(2,3) e P3=(4,1).
Passos: 2) Representar o ponto P1=(2,1): Equação, ponto, (x,y), digite 2 e 1, tamanho do
ponto 2, e ok. Deverá aparecer na tela o ponto escolhido. Deverá aparecer também, ao lado,
um quadro como na Fig. 1.2, caso não apareça selecione no menu (acima na tela) Equação
e depois Inventário.
Figura 1.1: Grade Winplot Figura 1.2: Equação/Inventário - Winplot

3)Usando essa caixa, clique em equação (para mostrar a equação na tela), automatica-mente
as coordenadas do ponto será exibida na tela.
4) Representando os demais pontos: Para representar os outros pontos na mesma tela
(ou arquivo) basta repetir (no arquivo que está aberto) o mesmo procedimento: Equação,
Ponto, (x,y), digite 2 e 3, tamanho do ponto 2, e clique em ok. Use novamente equação (na
caixa inventário) para exibir as coordenadas do ponto. Agora, repita novamente para o
ponto (4,1): Equação, Ponto, (x,y), digite 4 e 1, tamanho do ponto 2, ok e equação (para
mostrar as equações do ponto na tela).
5) Ajustando a “posição do texto/coordenadas” dos pontos na tela: Para colocar na
tela o texto/coordenadas próximas dos respectivos pontos, simplesmente selecione Mouse
(ou Bnts), Texto e clique e arraste com o botão esquerdo do mouse apertado as “coordenadas”
próxima ao respectivo ponto. Na Fig. 1.3, apresentada na seqüência, 4zemos isso com os
pontos P1 = (2,1) e P2 = (2,3).
6) Digitando um texto na tela: Podemos também (uma vez que já selecionamos Mouse
(ou Bnts) e Texto), clicar com o botão direito do mouse sobre um local da tela e digitar
um texto qualquer, por exemplo, “Representando pontos no plano”, ou digitar as coordenadas
x e y do ponto (x,y) e em seguida em ok. Para um novo texto, clique novamente na tela
com o botão direito. Na 4gura digitamos ponto P1, para o ponto (2,1), P2 para (2, 3) e as
coordenadas de P3, ou seja, (4,1).
7) Caso queira salvar essa atividade, selecione Arquivo, Salvar como, escolha o local a
ser salvo (Salvar em computador: C, ou pen-drive, etc) e digite o nome adequado para o
arquivo e clique em Salvar.
Figura 1.3: Representando pontos

Atividade II: Representar o segmento com extremos nos pontos (2,1) e (3,3). (Em
geral não há necessidade de adequar novamente as coordenadas - 4ca a anterior).
Passos: 8) Selecione Arquivo, Novo. Depois, Equação, Segmento, (x,y), digite x= 2 e y=
1 (primeiro ponto), 3, 3 (para o 2º. ponto), espessura da linha 2, e clique em ok.
Figura 1.4: Segmento
Observação: Algumas variações podem ser feitas de modo a obter um “segmento pon-tilhado”,
a cor seja alterada e espessura da linha.
Exercícios: 1) Marcar os pontos Q1=(1, -1) e Q2=(3,2; 2) (note, aqui x = 3,2 e y = 2, e
para o número real 3,2 digitar no Winplot 3.2).
2) Representar os pontos (-2,1) e (0,3) (use tamanho do ponto 3), e o segmento com
extremos nesses pontos.
3) Representar um triângulo isósceles de base AB, sendo A=(2,1) e B=(4,1).
4) Representar um quadrado de área 4.
5) Representar um triângulo de área 3 tendo (1,1) como um de seus vértices.
Aula 2: Grá4cos de funções polinomiais do 1º e 2º graus (ou a4ns e quadráticas).
Público Alvo: 1a Série do Ensino Médio. Software: Winplot
Observação: Para baixar o Winplot use http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do grá4co na
tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (o,n,m, p).
Apresentamos a seguir os passos básicos para o desenvolvimento da atividade:
1) Abrir o Winplot (clicando no ícone – “parábola amarela”)
2) Clicar em Janela – 2-dim;

3) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver – Grade (alguns itens já são
estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, am-
bos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo 1 (para x e para y), decimais – 0,
escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular (deixar todos os quadrantes selecionados);
aplicar e fechar (ver Fig.2.1).
4) Clicar Menu Outros – Decimais – digitar 0 e clicar em - ok;
5) Clicar Menu Equação, Explícita: obterá um quadro como na Fig. 2.2 abaixo.
6) Digitar a lei da função f(x) = x+1 e selecionar ok (aparecerá na tela o grá4co).
;=?@ABCDEFGHI?@JF ;=?@ABADEFGKL@MNOPKQRSTUV@WQXC 7) Na caixa Inventário, clicar em equação para mostrar na tela a lei y=x+1.
8) Marcar as coordenadas dos pontos do grá4co que intersectam os eixos x e y, para isso
clicar em Equação – ponto – (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que intersectam o
eixo x das abscissas – que no caso é (x= -1, y= 0), repetir para o eixo y das ordenadas, para
que esse pontos apareçam marcados na tela.
9) Completar: Esta função é _______________ (crescente/decrescente).
10) Menu Equação, Explicita digitar a Função f(x) = -x+1 e clicar em ok.;
11) Clique em equação para mostrar na tela a lei y= - x+1; marcar as coordenadas dos
pontos do grá4co que intersectam os eixos x e y, como para y=x+1, ver item 8).
12) Completar: Esta função é ____________ (crescente/decrescente).
13) Clicar Menu – Arquivo – Novo;
14) Menu Equação, Explícita – digitar a função f(x) = x^2+2x-3 e clicar em ok.
15) Quais são os zeros da função? (isto é, as raízes da equação x2 + 2x - 3= 0)?______.

16) No Menu Equação, Ponto – (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que corres-pondem,
no grá4co, as raízes/zeros da função (isto é os pontos do grá4co -parábola - que
intersectam o eixo x das abscissas, ou seja, tem ordenada y = 0).
17) Equação, Ponto - (x,y)..., digitar as coordenadas (x, y) do vértice da parábola.
18) Quais são as coordenadas do vértice? __________;
19) Em que intervalo a função é positiva, ou seja, para quais valores de x tem-se
y = f(x) 0 ? _____________ , e negativa? _____________.
20) Exercício: Repetir os itens 13) a 19) para a função função f(x) = -x^2+4x.
Aula 3: Função Exponencial.
Público Alvo: 1ª Série do Ensino Médio. Software: Winplot.
Observação:
No site http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html pode-se obter o Winplot para
download (selecione Português). Quando estiver usando o Winplot, para melhor visuali-zação,
utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do grá4co na tela (aproximar),
PageDown para diminuir (afastar) e setas (o,n,m, p). Para corrigir/alterar dados já
apresentados na tela selecione Menu Equação – Inventário – Editar.
Passos básicos:
1) Abrir o Winplot;
3) Clicar no menu Mouse (ou botões- Btns) - Coords XY BE/Recentr BD;
4) Clicar no menu Ver – Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela
padrão no Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y),
use intervalo 1, decimais -0, escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular; e aplicar e
fechar .
5) Clicar Menu Outros – Decimais – digitar 0 e clicar em - ok;
6) Clicar no menu Equação, Explícita: aparecerá uma caixa/tela como na 4gura:

Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática... 1381 ;=?@YBCDEFGZ[]^'abcdefghijkf(x)=lmn 7) Digitar a função f(x) = 2^x (que signi$ca f(x) = 2x ) e clicar em ok.
8) Na caixa Inventário, clique em equação para mostrar na tela a lei y=2^x
9) Olhando o grá$co obtido, responda: o que acontece com os valores de y à medida
que x aumenta? __________________________
10) O que acontece com os valores de y à medida que x diminui? _____________
11) Esta função é crescente ou decrescente? _______. Por quê? ______________
12) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 0.5 ^x (ou (1/2)^x) e ok.
13) O que acontece com os valores de y à medida que x aumenta? ____________. O
que acontece com os valores de y à medida que x diminui? _____________.
14) Esta função é crescente ou decrescente? __________ . Por quê? __________.
15) Há uma simetria entres os grá$cos feitos acima?_____________. Se tiver, qual é o
eixo de simetria entre eles?______________________________________.
16) Os dois grá$cos se cruzam no ponto (0,1) e esse é o único ponto de intersecção dos
dois grá$cos. Porque?______________________. Justi$car isso algebricamente igualan-do
as duas funções e achando o ponto que as mesmas têm em comum _______________
___________________.
17) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 1 + 2^x e ok.
18) Os pontos (1,2) (2,4) pertencem ao grá$co da função y=2^x, e os pontos (1,_ )
(2,__). pertencem ao grá$co da função f(x)= 1+2^x. Comparando o grá$co dessa última
função como o da função y= 2^x e, o que você observa (há alguma relação entre eles)?__
__________________________.

Aula 4: Função Logarítmica.
Público Alvo: 1ª Série do Ensino Médio. Software: Winplot.
Observação Para uma melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar
o tamanho do grá$co na tela (aproximar) e PageDown para diminuir (afastar) e setas
(o,n,m, p). O Winplot pode ser obtido na página http://math.exeter.edu/rparris/win-plot.
html. Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela ir em Menu Equação – In-
ventário, selecionar o que se quer alterar– clicar em Editar e fazer as alterações.
Apresentamos a seguir os passos básicos:
1) Abrir o Winplot;
3) Clicar no menu Mouse (Botões- Bnts);
4) Clicar no menu Ver – Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela
padrão no Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y),
use intervalo 1, decimais -0, escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular; e aplicar e
fechar .
5) Clicar no menu Equação, Explícita: aparecerá uma tela como na Fig. 4.1:
opqrstuvwxyz{r|}rt~€a|n‚ƒ„p…tk‚€q†lan‡ opqrstuvlxˆs‰Šv log x 2 z log x 1/ 2
6) Digitar a função f(x) = log (2,x) (que signi$ca f(x) = log x 2 ). Em espessura da linha
digite 2 e clicar em ok.
7) Clique em equação para mostrar na tela a lei y= log (2,x).
8) Olhando o grá$co obtido, responda: o que acontece com os valores de y à medida
que x aumenta? __________________________.

9) O que acontece com os valores de y à medida que x aproxima de zero (x positivo)?
_________________.
10) Esta função é crescente ou decrescente? _____________ . Por quê?_________.
11) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = log (0.5 , x).
12) O que acontece com os valores de y a medida que x aumenta? ______________.
13) O que acontece com os valores de y a medida que x tende a zero? ___________.
14) Esta função é crescente ou decrescente? ________________ . Por quê? ______.
15) Há uma simetria entres os grá$cos feitos acima (ver Fig.4.2)?_____________. Se
tiver, qual é o eixo de simetria entre eles?_______________________________.
16) Os dois grá$cos se cruzam no ponto (1,0) e esse é o único ponto de interseção dos
dois grá$cos. Porque?______________. Tente justi$car isso algebricamente igualando as
duas funções e achando o ponto que as mesmas têm em comum.
17) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 1 + log(2,x).
18) Os pontos (2,1) (4,2) pertencem ao grá$co da função y = log(2,x), e os pontos
(2,__) (4,__) pertencem ao grá$co da função f(x) = 1 + log(2,x). Comparando o grá$co
dessa última função como o da função y = log(2,x), o que você observa (há alguma relação
entre eles)?____________________.
Aula 5: Função seno.
Público Alvo: 2ª Série do Ensino Médio Software: Winplot
Observação: Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tama-nho
do grá$co na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (o,n,m, p).
O Winplot pode ser obtido na página http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html.
Passos básicos:
1) Abrir o Winplot; Clicar em Janela – 2-dim.
2) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver – Grade (alguns itens já
são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos,
ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo pi/4 para x e 1 para y, decimais
– digite 1, freq. 1, selecione também em pi para x. Escala sobre - eixos, grade – pontilhado
e retangular (ver Fig. 5.1)

3) Clicar Menu Outros – Decimais – digitar - 0, clicar em ok;
4) Clicar Menu Equação, Explícita: aparecerá um quadro como na Figura 5.2.
opqrst‹vwxyz{rŒˆstz opqrst‹vlxyz{r|}rt~€a|n‚ƒ„p…tkŽp{†n‡ 5) Digitar a função f(x) = sin(x) (de fato deveria ser sen(x), mas o software usa sin(x)),
e clicar em ok. A seguir na caixa Inventário, que vai aparecer, clique em equação (para
mostrar a equação/lei da função na tela). Responda, qual o Período (da função) ________,
Amplitude ______ e Conjunto Imagem ___________.
5.1) Repita: Menu Equação, Explícita, digitar a função f(x) = sin(2x) e clicar em ok.
A seguir, na caixa Inventario, selecionar equação. Responda qual o Período ______, Am-plitude_______,
Conj. Imagem___________ dessa função.
5.2) Comparar os grá$cos das funções sen(2x) e sen(x) (Fig. 5.3) e responder quais
alterações podem ser observadas no que se refere a Período ________________, Ampli-tude
___________ e Imagem _____________.
)LJXUD*Ui¿FRGDVIXQo}HVVHQ[

5.3) Repetir 4) e 5) para obter o grá$co da função f(x) = sen(4x); selecionar também
equação. Responda, qual o Período _____, Amplitude____, Imagem_______. Comparar
os grá$cos das funções sen(4x) e sen(x) no que se refere a Período ____________, Ampli-tude
_________ e Conjunto Imagem _____________.

5.4) Idem para a função f(x) = sen(x/2). Responda, qual o Período _________, Ampli-tude________
e Imagem__________. Compare os grá$cos das funções sen(x/2) e sen(x)
no que se refere a Período ____________, Amplitude,_________ e Imagem __________.
6) Menu Arquivo, Novo. Menu Equação, Explicita, digitar a função f(x) = sin(x). se-lecionar
equação na caixa inventario. Dar o Período _______, Amplitude________, Ima-gem________.
6.1) Representar o grá$co da função f(x) = 2sen(x); selecionar também equação na caixa
inventário. Responder qual o Período __________, Amplitude _________ e Imagem
__________.
6.3) Comparar os grá$cos das funções 2sen(x) e sen(x) e responder quais alterações
podem ser observadas no que se refere a Período:_____________, Amplitude,__________
e Imagem __________.
6.2) Digitar agora a função f(x) = 3sin(x); selecionar também equação. Responder qual
o Período ______ Amplitude________ Imagem__________
6.4) Comparar os grá$cos das funções 3sen(x) e sen(x) e responder quais alterações
podem ser observadas no que se refere a Período_____________, Amplitude,__________
e Conjunto Imagem ____________.
7) Menu Arquivo, Novo. Menu Equação, Explicita digitar f(x)= sin(x) e selecionar
também equação na caixa Inventario. Dar: Período _____, Amplitude _____ e Imagem
________ .
7.1) Representar o grá$co da função f(x) = 1+sen(x); selecionar equação na caixa in-
ventário e responder, qual o Período _______, Amplitude _______ e Imagem________..
7.2) Representar o grá$co da função f(x) = -2+sen(x); selecionar também equação e
responda, qual o Período ________, Amplitude _______ e Imagem__________.
7.3) Comparar os grá$cos das funções 1+sen(x) e sen(x) e responder quais alterações
podem ser observadas no que se refere a Período:_______________ __________, Ampli-tude,_________
e Imagem __________.
7.4) Comparar os grá$cos das funções -2+sen(x) e sen(x). Período _____________,
Amplitude ___________ e Imagem __________.
8) Representar, usando o Winplot, o grá$co da função f(x)= 1+2sen(4x).

Usando o recurso animação:
1) Adequar o sistema de coordenadas como no item 1), se necessário.
2) Menu Equação, Explicita. Digitar a função f(x) = sin(Ax)
3) Clicar em Anim e depois em Parâmentros A-W (selecione A, se necessário).
4) Clicar na barra de rolagem que aparece na caixa (“valor corrente de A”) e movi-mentá-
la lentamente com o botão esquerdo do mouse apertado. Observar o que ocorre.
Podemos também clicar em auto-cícl (nesse caso use no teclado S: para sair/$nalizar, P:
pausa, R: rápido e L: lento).
Figura 5.4: Anim, Parâmetro “A”
5) Repetir os passos acima para as funções f(x) = Asin(x) e f(x) = A+cos(x).
Aula 6: Função cosseno.
Público Alvo: 2ª Série do Ensino Médio, Software Winplot
Observação: Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tama-nho
do grá$co na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (o,n,m, p).
O Winplot pode ser obtido na página http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html.
Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela ir em Menu Equação – Inventário,
selecionar o que se quer alterar– clicar em Editar e fazer as alterações.
Passos básicos:
1) Abrir o Winplot; Clicar em Janela – 2-dim.
2) Adequando nosso sistema de coordenadas: Menu Ver – Grade (alguns itens já são estão
selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos,
marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo pi/4 para x e 1 para y, decimais –
digite 1, freq. 1, selecione também em pi para x. Escala sobre - eixos, grade – pontilhado e
retangular (Fig. 6.1)

3) Clicar Menu Outros (ou Misc) – Decimais – digitar - 0, clicar em ok;
4) Clicar Menu Equação, Explícita: aparecera um quadro como na Fig. 6.2.
Figura 6.1: Menu - Grade Figura 6.2: Menu Equação, Explícita, cos(x)
5) Digitar a função f(x) = cos(x) e clicar em ok. A seguir na caixa Inventário, que vai
aparecer, clique em equação (para mostrar a equação/lei da função na tela). Responda, qual
o Período _____ Amplitude_______ e Conjunto Imagem__________.
5.1) Repetir: Menu Equação, Explícita, digitar a função f(x) = 1+cos(x) e clicar em ok.
A seguir, na caixa Inventario, selecionar equação. Responda qual o Período ________,
Amplitude _______ e Imagem__________ dessa função.
5.2) Comparar os grá$cos das funções 1+cos(x) e cos(x) e responder quais alterações
podem ser observadas no que se refere a Período ____________, Amplitude,_________
e Imagem __________.
5.3) Representar o grá$co da função f(x) = -1 +cos(x); dar sua equação (na tela), dar o
Período ______, Amplitude _____ e Imagem_______. Comparar os grá$cos das funções
y=cos(x) e f(x)= -1+cos(x) no que se refere a Período, Amplitude e Imagem ___________.
6) Arquivo, Novo (não precisa salvar o anterior). Representar o grá$co da função f(x) =
cos(x) (clicar em equação), e depois o de f(x) = (1/2)cos(x) (clicar em equação). Para essa
última função temos: Período ________, Amplitude ______ e Imagem _______.
6.1) Digitar a função f(x) = [1+cos(x)]/2 = ½ + ½cos(x); mostrar a equação na tela.
Responder qual o Período ______Amplitude_______ Imagem__________
6.2) Qual a diferença entre os grá$cos das funções y=cos(x) e f(x)=(1+cos(x))/2?
7) Digitar a função f(x) = - cos(x); clique em equação em Inventário. Escrever quais
diferenças podem ser observadas no que se refere ao Período __________, Amplitude
_________ e Imagem _________das funções y = cos(x) e f(x) = - cos(x).

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