SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 153
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Botime shkollore Albas
Shefik Sefa
Libër për mësuesin
“Matematika 9”
Përgatitur nga:
Miratuar nga Ministria e Arsimit dhe Shkencës
Botues:
Latif AJRULLAI
Rita PETRO
Redaktore:
Sevi LAMI
Redaktore letrare:
Vasilika DINI
Arti grafik:
Emanuela LUMANI
© Albas, Tiranë 2008
Ribotim, 2010
Të gjitha të drejtat janë të rezervuara
Shtëpia Botuese Albas
Në Tiranë: Rr. Budi, Pall. “Classic Construction”, zyra nr. 2
Tel/Fax: ++ 355 4 2379184
e-mail: albas_tr@yahoo.com
Në Tetovë: Rr.Ilindenit, nr.105
Tel: 044 344047
e-mail: albas_te@yahoo.com
Në Prishtinë: Rr.Eqrem Çabej, nr.47
Tel: 038 5457139
e-mail: albas_pr@yahoo.com
HYRJE
Libri për mësuesin Matematika 9 është hartuar si udhëzues për të zhvilluar orët
mësimore, me qëllim që të zbërthehen sa më qartë objektivat mësimorë dhe të
ndihmohen nxënësit të zotërojnë aftësitë matematikore të domosdoshme për nivelet
e mëtejshme të shkollimit.
Në këtë udhëzues mësuesit do të gjejnë për çdo kapitull objektivat e arritjeve
(OA).
Meqenëse temat në tekstin e nxënësit Matematika 9 janë hartuar duke u paraprirë
nga objektivat e programit, këtu mësuesi/ja do të gjejë objektivat specifikë që renditen
duke ndjekur të parat. Matematika 9 i është përmbajtur me korrektësi programit,
prandaj mësuesit në hartimin e objektivave duhet të mbështeten te teksti. Kujdes të
bëhet me ushtrimet e vështira!
Për të qenë më pak teorik, krahas planit mësimor, i ndërtuar sipas modelit të ri, do
të gjeni për çdo temë tri nivelet e objektivave dhe materialin e përzgjedhur, që duhet
në çdo orë mësimi për realizimin e këtyre objektivave. Mbështetur në udhëzimin e
Qendrës së Trajnimit dhe Kualifikimit për Arsimin (Grupi qendror për formulimin e
objektivave të kapitujve), në hartimin e objektivave janë përdorur tri nivele: I. Bazë,
II. Mesatar, III. I Lartë.
Në këtë udhëzues, i cili nuk merr përsipër të jetë ditar i mirëfilltë, do të gjeni shumë
materiale që përdoren sot në ditar, si metoda mësimdhënieje (që mbeten në kuadër të
rekomandimeve), ashtu edhe mjete ndihmëse. Te këto të fundit, nëse ato përgatiten
me kujdes mund të shkëputim plot të tilla për pasurimin e kabinetit të matematikës.
Materiali i ndërtuar si udhëzues për çdo temë, ku shpesh theksohet: kujdes, “kjo duhet
theksuar”, tema mund të ndahet në dy pjesë etj. Te temat ku është parashikuar testi
do të gjeni skemën e qortimit, pra do të gjeni vlerësimin e nxënësve hap pas hapi në
çdo ushtrim të testit. Ditari mund të bëhet sipas strukturës mësimore ERR (Evokimi,
Realizimi i kuptimit dhe Reflektimi), ose siç quhet ndryshe PNP, (Punë përgatitore,
Ndërtimi i njohurive dhe Përforcimi).
Në këtë libër mësuesi janë planifikuar 130 orë mësimi, të cilat mund të realizohen
sipas kësaj renditjeje. Plani sintetik dhe analitik që është dërguar me tekstin në
shkolla, duhet të pasurohet me objektivat specifikë për çdo orë mësimi. Që të jeni më
të suksesshëm me nxënësit, është mirë të ndiqen me kujdes këto udhëzime.
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
10
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
11
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Mësimi 1.1
Tema: Numrat natyrorë, veprimet me to
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë veprimet me numrat natyrorë. Të formulojë vetitë e veprimeve
me numrat natyrorë. Të formulojë kuptimin e numrave të thjeshtë.
II. Të ilustrojë në boshtin numerik vetitë e mbledhjes së numrave natyrorë.
Të gjejë PMP-në (SHVP-në) e dy numrave duke u mbështetur te rregulla
praktike.
III. Të vërtetojë duke i ilustruar në boshtin numerik vetitë e mbledhjes. Të gjejë
PMP-në (SHVP-në) për më shumë se dy numra duke u mbështetur te përkufizimi.
Metoda që rekomandohet:
1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.
2. Ilustruesi grafik.
3. Punë individuale.
Zhvillimi i temës së re:
1. Shkruani një numër natyror.
Shkruani tre numra natyrorë të njëpasnjëshëm. Këtu mësuesi të tregohet i
kujdesshëm, sepse nxënësi mund të gabojë, ai mund të shkruajë p.sh.: 3, 5, 8.
Mësuesi/ja do të kërkojë numra të tillë, si: 3, 4, 5. Këtu ai/ajo kontrollon nxënësit si
punojnë.
- Pse themi se numrat 3, 4, 5 janë të njëpasnjëshëm?
Nxënësit përgjigjen: sepse 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1.
Mund të ndodhë që nxënësi të shprehet: Sepse 4 është më e madhe se 3 dhe 5
më e madhe se 4.
U kërkohet nxënësve të paraqitin në boshtin numerik këta numra.
2. Veprimet me numrat natyrorë.
Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:
Shprehni numrin 5 si shumë e dy numrave:
5 = 4 + 1, ose 5 = 3 + 2
Ndaluni te 5 = 2 + 3.
Dimë se 3 = 1 + 1 + 1, prandaj themi se 5 = 2 + 1 + 1 + 1
Mësuesi/ja mund të kërkojë nga nxënësit përkufizimin e shumës së numrit 2
me numrin 3.
Nëse nxënësit nuk arrijnë të shprehen saktë ndërhyn mësuesi/ja:
Shuma e numrit 2 me 3 është numri që fitohet nga numri 2, duke shtuar në mënyrë
të njëpasnjëshme 3 njësi. Kërko ilustrimin në boshtin numerik. Nxënësit shohin
përkufizimin në tekst.
KREU I
KUPTIMI I NUMRIT
Mjetet ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa
me ngjyra.
12
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Paraqiten në boshtin numerik:
Shuma 3 + 2
Shuma 3 + 0
Shuma (3 + 2) + 2, 3 + (2 + 2)
Pas këtyre ilustrimeve do të formulohen vetitë duke kërkuar më parë mendimin
e nxënësve.
Pas formulimit të vetive me nxënësit përgatitet vërtetimi i tyre.
3. Në të njëjtën mënyrë (duke u mbështetur në tekst) përgatiten përkufizimet e
veprimeve të tjera.
4. PMP-ja dhe SHVP-ja.
Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:
- A mund të shkruhen numrat 3, 5 si prodhim faktorësh të ndryshëm nga 1? (Jo)
- Po numrat 6 dhe 18? (6 = 2 • 3, 18 = 2 • 32
)
Numrat 2, 3, 5 etj., do t’i quajmë numra të thjeshtë.
Nxënësit shkruajnë dy numra të thjeshtë (7, 11, 13...).
Në fund mësuesi/ja duhet të tregojë rregullën praktike për të gjetur PMP-në dhe
SHVP-në.
Këtu ka rëndësi të theksohet formula SHVP (m, n) =
m n
PMP m n
•
( , )
Punë e pavarur.
Kjo mund të përdoret dhe në formën e minitestit.
Plotësoni tabelën në tekst. Shkruani 7 si shumën e dy numrave
të njëpasnjëshëm.
Gjeni PMP-në dhe SHVP-në e numrave 42, 63
Gjeni PMP-në dhe SHVP-në e 288, 360, 432
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 3/a, 5/d, 9/a, faqe 12.
Mësimi 1.2
Tema: Numrat racionalë. Bashkësia e numrave racionalë
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë numrat racionalë. Të shënojë në boshtin numerik të paktën dy
numra racionalë. Të përkufizojë bashkësinë e numrave racionalë.
II. Të shkruajë si numra dhjetorë të paktën dy thyesa. Të shkruajë një numër
thyesor si numër dhjetor.
III. Të vërtetojë të paktën dy vetitë e numrave racionalë.
Metodat që rekomandohen:
1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.
2. Ilustruesit grafikë.
3. Punë individuale.
Mjetet ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa
me ngjyra.
13
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Zhvillimi i temës së re:
1. Në fillim mësuesi/ja shkruan në tabelë këta numra: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....
dhe pyet nxënësit: - Si emërtohen këta numra?
Paraqitini në boshtin numerik.
- A ka kuptim shënimi ?


- Po −


?
Përmendni disa veti të thyesave, më pas paraqitini në boshtin
numerik thyesat dhe .
Mësuesi/ja kërkon përkufizimin, i cili gjendet në tekstin e nxënësit.
2. Shkruani numrin e plotë -3 në formën e numrit racional.
Theksohet se: për çdo m z m
m
∈ ⇒ =
1
,( )1∈N , pra çdo numër i plotë
është racional, domethënë Z Q⊂ (bashkësia e numrave të plotë është
pjesë e bashkësisë së numrave racionalë).
3. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që të shkruajnë 4 thyesa, një me emërues 2,
një me emërues 5, një me emërues 10 dhe një me emërues çfarëdo, sipas
dëshirës (jo 2, 5, 10). P.sh.:
U kërkohet nxënësve të bëjnë pjesëtimet 3 : 2; 4 : 5; 11 : 10; 4 : 3.
Një nxënës shkruan në tabelë:


15= , ,


0 8= , ,
11
10
11= , ,


1= , .....
Duhet theksuar se çdo numër racional (thyesë) shkruhet si numër me
presje dhjetore dhe anasjellas. (shiko Matematika 9, faqe 14)
Kujdes duhet pasur në zgjedhjen e thyesave (të jenë sa më të thjeshta që të
dalë qartë ideja).
Punë e pavarur.
Nxënësit shkruajnë tre numra racionalë.
- Cilët janë numra racionalë? -3, −


, 0,15, −0 2,
Shkruani si thyesa numrat: 0,15; ; -12; ; 12
1

+ .
Shkruani si numra me presje thyesat:




12

; ; .
Gjeni x që:
x + 1

dhe


të paraqitin të njëjtin numër racional.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2/a, 6, faqe14-15.
−




xx‘ II I II
11
I I I I I I I
0
−




−0 2,




11
10


, , ,

1

+
14
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Mësimi 1.3
Tema: Numrat irracionalë. Bashkësia e numrave realë
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë kuptimin e numrave irracionalë. Të shkruajë të paktën dy
numra irracionalë.
Të tregojë lidhjen ndërmjet bashkësive N, Z, Q, R, duke përdorur kuptimin
e nënbashkësisë.
II. Të paraqesë në boshtin numerik të paktën dy numra irracionalë.
III. Të vërtetojë se ekzistojnë numrat irracionalë (të paktën në dy raste).
Metodat që rekomandohen:
1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.
2. Diagrami i Venit.
3. Ilustruesi grafik.
4. Puna individuale.
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:
- Pse themi se  = ; 0 16 0 , ,= ?
Gjeni  ;  .
- A mund të themi se 3 1= , ? Po 3 1= , ?
Këtu është e rëndësishme që mësuesi/ja të tregojë se ,17 3 1, , 
sepse ( , )17 
 dhe( , )18 
 për të njëjtat arsye.
17  17, , 
1 3 1, , 
17320 3 17321, , 
Mësuesi/ja duhet të theksojë përfundimin se  është një numër që nuk
mund të paraqitet në formën e një thyese
m
n
(thyesë e pathjeshtueshme).
Kujdes! Te faqja 16 korrigjo n = 3l, rreshti i dytë dhe i tretë.
Më pas kalohet te përkufizimi 1:
Bashkësinë e numrave irracionalë do ta shënojmë me I.
Bashkësia e numrave realë quhet bashkësia R = Q U I
Mësuesi/ja duhet të kërkojë nga nxënësit:
- Cilat nga pohimet janë të sakta?
N Q Z N Z R Q I Q I I R⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ∩ = ⊂, , , , ,ϕ
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Kompas.
4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa
me ngjyra.
Çdo numër që nuk paraqitet në formën e një thyese,
m
n
ku m Z n N∈ ∈,
quhet numër irracional (joracional).
15
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të paraqitin me anë të diagramit të Venit lidhjen
ndërmjet N, Q, I, R.
U kërkohet nxënësve të paraqitin  në boshtin numerik. Çdo numër real paraqitet
në boshtin numerik me një pikë të vetme.
Mësuesi/ja jep për punë të pavarur:
-	 Cilat nga shënimet janë të sakta?
⊄ ⊂ ⊂ ∩ =Z Z I I Q R Q I, , ,
Tregoni se  nuk është numër racional. Paraqitni në boshtin numerik 3.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/b, 2, faqe 16.
Mësimi 1.4
Tema: Nënbashkësia. Intervalet, segmentet numerike
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë kuptimin e bashkësive duke e paraqitur me anë të ndryshoreve.
Të formulojë vetitë e përfshirjes. Të shkruajë me simbole intervalet numerike.
II. Të paraqesë në boshtin numerik intervalet numerike.
III. Të vërtetojë vetitë e përfshirjes (së paku vetinë e kalimit).
Metodat që rekomandohen:
1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.
2. Ilustruesit grafikë.
3. Diagrami i Venit.
4. Punë individuale.
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja shkruan në tabelë dy bashkësi numerike.
P.sh.: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dhe B = {2, 4, 6, 8, 10}.
Pyeten nxënësit: - A mund të themi se B-ja është pjesë e A-së?
E njëjta kërkesë është për A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10}.
- A mund të përkufizoni kuptimin e nënbashkësisë?
Kujdes! Këtu ka rëndësi përkufizimi që paraqitet me anë të implikimit:
Më pas kalohet te vetitë e përfshirjes. E domosdoshme është të vërtetohet
vetia e kalimit.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa
me ngjyra.
4. Tabela ndihmëse të parapërgatitura
(paraqitja e intervaleve numerike në bosht).
( ) (B A⊂ ⇔ ∈ ⇒ ∈çdo x B x A)
N Z Q I
R
I
16
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Skematikisht kjo veti paraqitet me diagramin e Venit.
Në këtë moment mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:
- Çfarë do të thotë për ju shënimi: R = { X / X Q ose X I}
(kujto bashkësinë e numrave realë)
A x R x= ∈ −  ≤{ / } 
Paraqite në boshtin numerik.
Për më tepër vazhdo si te teksti i nxënësit.
Mësuesi/ja duhet të theksojë rubrikat Kujdes, që janë te teksti dhe për çdo hap
të ftojë nxënësit në paraqitjen e shembujve. Rikujtohet se rubrika Mbaj mend
duhet parë me vëmendje në çdo orë mësimi.
Pas kësaj kalohet në punë të pavarur.
Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të shkruajnë në formën:
A = {x R / a x b}∈ ≤ ≤ dhe të paraqesin në boshtin numerik bashkësitë:
]-3; -1[, [0; 5], ]-11; 3[
Shkruani në formën e intervaleve (segmenteve) numerike bashkësitë:
A B CA B dhe B C A C⊂ ⊂ ⇒ ⊂Nëse
I
B
2x 0
I I II
I
A = {x N / x  }∈
A = {x R / - x 5}∈ ≤ ≤ B = {x R / - x 2}∈  
C = {x R / -30 x 32}∈  
∈ ∈
!
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 3, 4, faqe 18.
Për nxënësit e nivelit të lartë: Vërtetoni nëse A B⊂ dhe B A⊂ ,
atëherë A = B.
Mësimi 1.5
Tema: Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësitë plotësuese
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë prerjen (bashkimin) e dy bashkësive duke i paraqitur me anë të
ndryshorit. Të formulojë vetitë.
II. Të gjejë prerjen e dy bashkësive të dhëna. Të gjejë bashkimin e dy bashkësive të
dhëna. Të paraqesë në boshtin numerik prerjen (bashkimin) e dy intervaleve numerike.
Të gjejë plotësin e një bashkësie në lidhje me një bashkësi të dhënë.
III. Të vërtetojë vetitë e prerjes dhe bashkimit të bashkësive. Të vërtetojë të paktën
njërën veti të bashkësive plotësuese.
17
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja në tabelë shkruan dy bashkësi numerike:
P.sh.: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}
Kërkohen nga nxënësi elementet e përbashkëta të A-së dhe B-së.
Po t’i paraqitim me diagramin e Venit, vihet në dukje se
Këtu jepet përkufizimi i prerjes së dy bashkësive.
Më pas, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të gjejnë prerjen në dy rastet e tjera.
P.sh.:
Gjeni A B∩ , nëse A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {3, 4, 5, 7, 8} dhe B C∩ nëse
C = {4, 5, 9, 10}.
Në këtë moment mësuesi/ja përmend vetitë e prerjes:
1. A ∩ ϕ 2. A A A∩ = 3. A B B A∩ = ∩ të cilat janë rrjedhime të përkufizimit.
Mësuesi/ja shtron këto pyetje për nxënësit:
Te bashkësitë A = {1, 2, 3, 4} dhe B = {3, 4, 5, 6, 7}.
-	 Cilat elemente të A-së nuk janë në B?
-	 Cilat elemente të B-së nuk janë në A?
Shënoni me D bashkësinë D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
- Çfarë mund të thoni për D-në?
Kujdes! Shumë nxënës përgjigjen: “Bashkësia D ka elementet e bashkësisë
A dhe të bashkësisë B”, kjo përgjigje nuk është e saktë, sepse lidhëza “dhe”
është përdorur te kuptimi i prerjes së bashkësive.
Përgjigjja e saktë është: “Bashkësia D ka për elemente ato që janë në
bashkësinë A ose në bashkësinë B”.
Mësuesi/ja duhet të ndërhyjë në rastin kur nxënësit nuk shprehen saktë.
1
2
3
4 6
5
x
x x
x
x
x
 ∈A dhe  ∈B
dhe  ∈A e .  ∈B
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa
me ngjyra.
4. Tabela që tregojnë prerjen, bashkimin
dhe plotësin e bashkësive (me ngjyra).
A B
A B
A B
A B A
E
A
E
Metodat që rekomandohen:
1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.
2. Ilustruesit grafikë.
3. Diagrami i Venit.
4. Punë individuale.
18
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Pas formimit të përkufizimit mësuesi/ja kalon në shembuj dhe në formimin
e vetive:
1. A A∪ =ϕ 2. A A A∪ = 3.
Punë e pavarur.
Jepet A = −] ; ]  ,
Gjeni A B∪ dhe
Zgjidhje:
Shënoni në B elementet e sipërpërmendura.
Mësuesi/ja duhet të theksojë për nxënësit se vetëm kur bashkësia mund
të flasim për plotës të A-së në lidhje me E-në.
Më pas, punohet me vetitë duke vërtetuar njërën prej tyre.
P.sh.: A EE
A
∪ ⊂ = (kujdes A E⊂ ).
Vërtetim: 1. E zëmëse,
ose
2. E zëmë se x E∈ (meqenëse A E⊂ ) ⇒ ( )x A ose x A∈ ∉ ,
ose x x AE
A
E
A
∈⊂ ⇒ ∈ ∪ ⊂
Këto vërtetime tregojnë se
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/b (d/h për nxënës të nivelit të lartë), 2 dhe 3.
Mësuesi/ja në tabelë shkruan bashkësitë: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dhe
A = {1, 2, 3, 4} pyet nxënësit.
- Cilat elemente të E-së nuk janë në A?
A B B A∪ = ∪
B = − ∞] ; ]
A B∩
A B∩ = ] ; ]  A B∪ = − ∞] ; ]
I III I I I I I
0-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7
I
A B
A B
A
B-oo
xx’
A E⊂
A
A
E
Ilustrohet me diagramin e Venit.
Shënohet ⊂E
A
(dhe jo ⊂A
E
).
Këtu jepet përkufizimi.
x A x AE
A
∈ ∪ ⊂ ⇒ ∈
x x A ose x E x A x EE
A
∈⊂ ⇒ ∈ ∈ ∉ ⇒ ∈( / )
A EE
A
∪ ⊂ =
19
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Mësimi 1.6
Tema: Ushtrime
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të gjejë PMP-në dhe SHVP-në e dy numrave njëshifrorë. Të tregojë lidhjen
ndërmjet bashkësive N, Z, Q, R.
II. Të gjejë PMP-në për dy numra 2, 3, 4... shifrorë. Të gjejë SHVP-në për dy
numra 2, 3, 4... shifrorë. Të gjejë bashkimin (prerjen) e bashkësive.
III. Të gjejë numrin e elementeve të bashkimit të dy bashkësive.
Të provojë formulën SHVP (m, n) • PMP (m, n) = m • n duke diskutuar
me shembuj.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela për gjetjen e PMP-së në
mënyrë skematike.
(P.sh.: PMP (192; 80)).
Herësi		 2 2	2
Veprimi	 16
Mbetja	
192 :
160
80 :
64
32:
32
32	 16	 0
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutim problemor.
2. Ilustrues me tabela.
3. Punë individuale.
4. Punë në grup.
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Kujtoni përkufizimin e PMP (SHVP) të dy
numrave: m; n.
Gjeni PMP (4; 6), SHVP (4; 6).
Gjeni PMP (54; 162) duke zbatuar skemën e paraqitur te tabela.
Gjeni PMP (25; 30; 60) (Shënim: në fillim gjeni PMP (25; 30).
Gjeni SHVP (54; 162) dhe provoni se PMP (54; 162) • SHVP (54; 162) =
54 • 162 ⇒ SHVP (54; 162) =
Ndërhyn mësuesi/ja duke theksuar se: ShVP m n
m n
PMP m n
( ; )
( ; )
=
•
Gjeni SHVP (144; 216) duke përdorur rregullimin e tabelës dhe formulën (1).
Mësuesi/ja në tabelë të zezë shkruan bashkësitë:
A = {1, 4, 5, 6, 8, 11, 12}; B = {2, 4, 8, 10}; C = {1, 4, 8, 11}
 162
 162
•
PMP ( ; )
PMP (192 ; 80) = 16
(1)
20
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:
Gjeni:
Krahasoni:
Gjeni:
Krahasoni:
Nga dhe tregoni se:
n A B n A n B n A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ (2)
Duke zbatuar formulën (2) gjeni n B C( )∪ .
Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të punojnë ushtrimin 6.
- Si do t`i ktheni në numra dhjetorë thyesat: 



; ?
Ktheni në thyesa 0,53 dhe 0,5  .
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1b/c, 4, 7/3, 8/3.
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë përkufizimin e rrënjës aritmetike me tregues
Të shkruajë përkufizimin e fuqisë me eksponent racional.
II. Të shkruajë vetitë e fuqive me eksponent racional, duke zbatuar vetitë
e rrënjëve.
Të shkruajë një rrënjë në formën e fuqisë, në të paktën dy raste. (P.sh.: 
;
a
c
−1 etj.)
III. Të vërtetojë të paktën dy nga vetitë e fuqive. Të shkruajë si fuqi rrënjët e tilla,
si: a b dhe anasjellas.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela në të cilat janë shkruar formula
(p.sh.: a am n mn/
= etj.)
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: a. Gjeni:  = ;


= ; 	
Kujdes! Kujtoni përkufizimin e rrënjës katrore. Duhet të kujdeseni që ajo të jetë
numër pozitiv (marrëveshja) dhe se ekziston vetëm për numra jonegativë.
b. A mund të themi se:  
= , sepse 23
= 8
x x
16 = ⇔ = ± d.m.th. 16 
= , sepse 24
= 16.
Gjeni  
⋅ dhe krahasoni me
Mësimi 1.7
Tema: Fuqitë me eksponent racional. Lidhja e fuqive me rrënjët. Vetitë
A B B C A B C A B C∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩; ; ( ) , ( )
( ) ( )A B C me A B C∩ ∩ ∩ ∩
A B B C A B C A B C∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪; ; ( ) , ( )
( ) ( )A B C me A B C∪ ∪ ∪ ∪
n N n∈ ≥, 
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrues me tabela.
3. Punë individuale.
0 1, =
  
⋅
A B∩ A B∪
21
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të shkruajnë vetinë që rrjedh nga shembulli
i mësipërm.
Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:
- Pse 16 
= (sepse 24
= 16), d.m.th. 16   
= = ose
Kështu:   


= = .
- A mund të shkruajmë se     


= = = ? - Po    12
12
 
= = = ?
Vini re me kujdes!
Këtu shkruani përkufizimin mbi fuqinë me eksponent racional.
Pas shembujve kalohet te vetitë. Këtu u jepet nxënësve punë e pavarur,
punoni ushtrimet 1 dhe 2 pas rubrikës Mbaj mend.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/c, 2/b, faqe 24.
Mësimi 1.8
Tema: Ushtrime
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë rrënjët si fuqi me eksponent racional. Të shkruajë fuqitë si rrënjë.
II. Të tregojë zgjidhjet e ekuacioneve të fuqisë më të lartë se e para të formës,
x 1

= −
	
III. Të thjeshtojë shprehje me rrënjë, si p.sh.: x10 ; ( )− 10
a . Të shkruajë
rrënjët me të njëjtin tregues. Të thjeshtojë shprehje më rrënjë. Të shkruajë
rrënjët si fuqi, p.sh. a  .
Të krahasojë rrënjët p.sh.:   
me
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula ose model ushtrimi
i shkurtër.
P.sh. a am n mn/
= etj.
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto ekuacione:
x2
= 4; x 1
16
= ; x 1

= − ; x16
= -10; x5
= -32; x2
= -0,16; x 

= 	
si p.sh.: x4
= 256



           12       
= • • = • • = • • = =
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustruesi me tabela.
3. Punë individuale.
22
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Mësuesi/ja pyet klasën:
- Cilat nga ekuacionet nuk kanë zgjidhje? Pse?
Gjeni zgjidhjet e ekuacioneve që kanë një të tillë.
Zbuloni veprimin që është kryer te shndërrimi:
x x x x x10

10
 
 

 
= = = =
•
•
Thjeshtoni shprehjen:
a b a  10
 , ( ) , ( )−
Jepen 
, 
dhe 7115
.
Shkruani:
    
1

1 3
 

15 15
= = = =
•
•
    
1

1 5
 

15 15
= = = =
•
•
Kështu marrim 15
; 15
dhe 7115
ose 15
; 15
; 7115
.
- Cila nga këto është më e madhe?
Renditini nga më e madhja deri te më e vogla.
Punë e pavarur:
Mësuesi/ja jep këto ushtrime:
1. Thjeshtoni: 16
; ( )  ; ( )−
x
y

 .
2. Krahasoni:  me 
;  me 16
;  me 
;
3. Shkruani më thjesht: a 
.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/c, 4/c, 5 b/c, 6/a, faqe 25.
23
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Skema e qortimit të Testit (faqe 26)
Ushtrimi 1:
Nxënësi, nëse qarkon 1/d, fiton. (1 pikë)
Nëse qarkon 2/a, fiton. (1 pikë)
Ushtrimi 2:
Nxënësi, nëse paraqet boshtin numerik, fiton. (1 pikë)
Nxënësi fiton pikën e dytë nëse paraqet në boshtin numerik numrin 5.
Nxënësi fiton pikën e tretë (+1) nëse nga ndarja 5 shton tre (3) ndarje të tjera.
Shënim: Nëse një nxënës paraqet direkt figurën, fiton. (2 pikë)
Nxënësi fiton pikën e katërt nëse nga ndarja 5 zbret tri ndarje.
Ushtrimi 3:
Nëse qarkon 2 numra të thjeshtë, fiton. (1 pikë)
Nxënësi për çdo çift numrash të qarkuar fiton. (1 pikë)
Ushtrimi 4:
a. Nëse nxënësi gjen faktorët e thjeshtë të numrit, fiton (1 pikë)
p.sh.: 128 ka vetëm 1 faktorë.
Nëse shkruajnë numrin si prodhim faktorësh të thjeshtë, fiton (1 pikë)
p.sh.: 128 = 27
.
b. Nëse gjejnë PMP-në për dy numra, fitojnë. (1 pikë)
. Nëse gjejnë PMP-në për tre numra i jepen. (1 pikë)
. Nëse gjejnë PMP-në për tre numrat njëherësh. (2 pikë)
Njëlloj veprohet edhe për SHVP-në.
Ushtrime 5/
a. Shkrimi i numrit periodik (p.sh.  , = 2,2222..) 10 = 22.222.. (1 pikë)
Shkrimi i numrit në thyesë ( = 20/9) 	 (1 pikë)
b. Njëlloj veprohet edhe për numrin 10, .
I II I I I I I
0 5
I
8x1
x
+3
(5+3=8)
I II I I I I I
0
I
8x1
x
I I I I I
0
I
x1
x52
-3
 ,
 ,
24
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Ushtrimi 6:
Qarkimi i alternativës së saktë R I Q= ∪ 	 (1 pikë)
Ushtrimi 7:
a. Shkrimi i [ ; , ] { / , }− = ∈ − ≤ ≤7 1  15x R x 	 (1 pikë)
Paraqitja në bosht. (1 pikë)
Kjo për secilën bashkësi.
b. 1. Paraqitja e bashkësive A, B, C në boshtin numerik si më lart jepet
për secilën. (1 pikë)
Shkrimi A B∩ ; A B∪ ; B C∩ ; A C∩ jepet për secilën. (1 pikë)
2. Paraqitja në bosht e secilës. (1 pikë)
Ushtrimi 9:
Shkrimi i secilës fuqi si rrënjë. 		 (1 pikë)
Llogaritja e rezultatit për secilën.		 (1 pikë)
P.sh.










 =



 (1 pikë)	








  



 =





 =



 = 	 (1 pikë)
b. Shkrimi i saktë i secilës rrënjë si fuqi. 	 (2 pikë)
Nëse nxënësi në ndonjë rast shkruan diçka ndërmjetëse, por jo rezultatin.
Shënim: Tek ushtrimi 6 alternativa e saktë është c) R I Q= ∪ (joR I Q⊄ ∪ ).
Tek ushtrimi 7/a duhet shënuar −


 ; që mungon.
Tek ushtrimi 7/b bashkësitë të shënohen:
A x R x= ∈ −  ≤{ / }  , B x R x= ∈ − ∞  ≤{ / , }15
(dhe jo si në tekst)
	
Kujtesë për mësuesin/en! Dihet se nxënësi i di rregullat e mbledhjes dhe të
veprimeve të tjera të numrave realë nga klasat e mëparshme. Qëllimi i këtyre temave
është që të përafrohet perceptimi i nxënësit, mbi veprimet me numrat realë, me
trajtimin e tyre shkencor-matematik. Prandaj, në këto tema është e rëndësishme që
mësuesi/ja të këmbëngulë në zbatimin e vetive dhe rregullave, duke i evidentuar në
çdo hap të shndërrimeve që kryen gjatë veprimeve me numrat realë.
Kreu II
VEPRIMET ME NUMRAT REALË
Mësimi 2.1
Tema: Mbledhja dhe zbritja e numrave realë. Rregullat
P.sh.     
1

1

• = • = •a a a do të vlerësohet për çdo rast me 1 pikë.
C x R x= ∈ ≥ −{ / }
I II I I I I I
0
I
1,5x1
x-7
25
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë vetitë dhe rregullat e mbledhjes. Të mbledhë (zbresë) dy numra
duke përmendur rregullën (vetinë).
II. Të thjeshtojë shprehje me kllapa që përmbajnë dy veprime.
III. Të zgjidhë problema që kthehen në shprehje aritmetike me veprimet e
mbledhjes (zbritjes).
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Ilustrues grafik (figurat e tekstit, faqe 9).
Këto mund të përgatiten nga
mësuesi/ja në kartonë.
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja shkruan në tabelë bashkësitë:
N = {1, 2, 3, 4, .......}
Z+
= {0, 1, 2, 3, 4, ......}
Z = {...., -3, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ......}
Q
m
n
m Z n N= ∈ ∈






/ ,
I x x Q= ∉{ }/
Më pas, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që të emërtojnë këto bashkësi dhe
të shkruajnë për secilën nga 2 elemente.
- A jeni takuar me numrat




  ; ; ; ; ;− − −π π etj.?
- A mund të tregoni se cilës bashkësi të përmendur më lart i përkasin?
Në këtë moment mësuesi/ja pyet: - A dini të mblidhni (zbrisni) dy numra?
Mësuesi/ja diskuton me një nxënës duke marrë shembuj dhe kërkon që nxënësi
të ilustrojë në boshtin numerik.
P.sh. 3 + 2 = 5
Mësuesi/ja ndërhyn me pyetjen:
- Çdo të thotë të mbledhësh dy numra? P.sh. numrat 6 me 15.
- Çdo të thotë të zbresësh dy numra? P.sh. 15 me 6.
Duhet theksuar se mbledhja (+) dhe zbritja (-) ne algjebër identifikohen me të
njëjtin emërtim. Mbledhje algjebrike d.m.th. a + b (mbledhje e a me b) dhe a – b
(mbledhje e a me të kundërtin e b (-b).
Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të gjejnë këto shuma:

1

+



 +
Metodat që rekomandohen:
1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë
2. Ilustruesi grafik (tabela)
3. Punë individuale
I I I I I
0
I
x1
x53
+2
; ; ;;  + −[ ]+ −( ) ( )   + − +[ ]( )   + −[ ]+( )   + −[ ]+( )
26
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Nxënësit përmendin vetitë e mbledhjes, në rast të kundërt duhet që mësuesi/ja
t`i shkruajë saktësisht në tabelë dhe për çdo veti të sjellë shembuj.
Kujdes! Është e domosdoshme të kërkojë që nxënësit të përsëritin rregullën
e mbledhjes së dy numrave realë.
Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Gjeni shumat duke evidentuar vetitë (rregullën):
1. -10,2 – 17,6 = 			
2. +21,2 + 32,3 – 20,15 =
3.
Mësuesi/ja së bashku me nxënësit zgjidh problemën 3, faqe 28.
Zgjidhja: 103 + (9 – 15) + (27 – 13) + (8 – 53) =
	 103 – 6 + 14 – 45 = [(103 – 6) + 14] – 45 =
			 = (97 + 14) – 45
			 = 111 – 45
			 = 66
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2 b/c.
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë përkufizimin e prodhimit (herësit) të dy numrave realë. Të formulojë
vetitë e shumëzimit (pjesëtimit).
II. Të formulojë rregullat e shumëzimit (pjesëtimit) të numrave realë. Të thjeshtojë
shprehje me veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimit.
III. Të thjeshtojë shprehje me katër veprimet. Të vërtetojë të paktën njërën veti.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula
(P.sh. 1.) m
n
p
q
m p
n q
• =
•
•	
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto shprehje aritmetike:
2 + 2; 		2 + 2 + 2;		 







+ + + ;
- Si mund t’i shkruani ndryshe këto shprehje?
(2 + 2 = 2 2, 	2 + 2 + 2 = 3 2, 		











+ + + = • )
Mësimi 2.2
Tema: Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave realë
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi me tabela.
3. Punë individuale.
4. Punë grupi.
  
1

0 5 
1



0 1   0 8 1, , , , ,− − − + − + −



 +





 − +




m
n
p
q
m q
n p
m q
n p
: =
•
•
=
•
•
2.)
27
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Kujtoni përkufizimin m n.
Mësuesi/ja pyet nxënësit: - A janë të barabarta këto shprehje?
2 + 2 + 2; 	3 + 3;
- A mund të themi se: 3 2 = 2 3? - Cilën veti ju kujton?
Formuloni vetitë e shumëzimit të dy numrave të plotë.
Kujdes! (-2) 3 = 3(-2) = -2 + (-2) + (-2)
	 (-2)(-3) = 2 3 = 3 2
- Cili rregull zbatohet?
Mësuesi/ja këtu ndërhyn për shumëzimin e numrave racionalë.
Përkufizim: Prodhim i thyesave
m
n
e
p
q
, quhet thyesa m p
n q
•
•
.
Vini re tabelën:
m
n
p
q
m p
n q
• =
•
•
≠ ≠ku n 0 dhe q 0
Nxënësit formulojnë vetitë e shumëzimit. Pas përkufizimit merren 2-3 shembuj.
Përkufizimi i pjesëtimit:
Vini re tabelën
m
n
p
q
m
n
q
p
: = • ≠ ≠ ≠ku n 0, p 0, q 0
Më pas vihen nxënësit në punë të pavarur:
Thjeshto:
− −
− • −
 
1 3
: ( )
( ) ( )
; 	
( ) ( )
( ) ( )
− • −
− • − •
16 
3 1 
; 	 	 .
Gjeni vlerën e y y
y
• −
−
( )

për .
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 b/d, 2/a, 3/b, 7 faqe 30.
Mësimi 2.3
Tema: Ushtrime
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të thjeshtojë shprehje aritmetike të plota me katër veprime. Të thjeshtojë shprehje
aritmetike racionale me dy veprime.
II. Të thjeshtojë shprehje aritmetike racionale me katër veprime. Të llogaritë vlerën
e shprehjeve shkronjore për vlera të dhëna të shkronjave.
III. Të thjeshtojë shprehje aritmetike me numra periodikë.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Punë e udhëhequr.
3. Punë grupi (individuale).










10

− −









 • − −










−



:
y =
28
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të kujtojë vetitë e rrënjëve. Të përkufizojë rrënjët e ngjashme.
II. Të llogaritë rrënjën e prodhimit dhe të herësit. Të reduktojë rrënjë të
ngjashme.
III. Të thjeshtojë shprehje me rrënjë që përmbajnë ann për n-çift.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula
(ku shprehin vetitë e rrënjëve).
Mësimi 2.4
Tema: Veprimet me rrënjët
Zhvillimi i temës së re:
Kjo etapë e orës së mësimit ndahet në tri pjesë. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit
të rikujtojnë rregullat e veprimeve me numrat (mbledhja, zbritja, shumëzimi,
pjesëtimi).
Kërkohet nga nxënësit radha e veprimeve në shprehjet pa kllapa, me shprehjet
me kllapa.
Punë e pavarur. Thjeshtoni:
a. − −( ) • − +( ) • − −( ) 2 1 2 1   ;
1

 −( )+





 	; − + −( )  • − −









7 17 1


: 	
	 .
b.


13
14



21
− − +









 ;

12



14
+ −



 •





 ;		
1

1

1

1

1

1

+
+




:
:
;


1



1

1

1


−
− +
−
.
c. Llogarit:


0 4


0 3


0 4 0 53 0 

 
• + − •



 − ( )








− ( )





, , , : , ,


Gjeni vlerën e shprehjes:
a a
a
a a
a
 
2 1
1
 


+ +
+
+
+ +
+



 : për a = 0 5, .
Kujdes! Nëse nxënësit kanë vështirësi,ushtrimi c nuk duhet të punohet.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet I/2 dhe 5, II/2, III/1.
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi tabelor.
3. Puna e pavarur (grupi).
4. Punë e udhëhequr.


13
14



21

12



14
− − +









 + −



 •





:
29
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
P.sh.:
a b a b
a
b
a
b
a a a a
n n n n
n
n
mn
m
n nn
• = • =
= = për n-çift
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja në fillim tregon tabelat dhe kërkon nga nxënësit të gjejnë:
1.  • ; 		  
• ; 		 16 81 •
2.  12 18
• ;		   10
• • ; 	 −( ) • −( ) 1
3.

16
;		
125

 ;			
a
x
15
10
 .
Kujdes! - A zbatohen vetitë te: − −( )  ;
−
−
16

?
Mësuesi/ja shkruan në tabelë:
 ;  ; 	 −( )

- A mund t`i shkruani rezultatet e tyre?
Vini re nga tabela kemi çift dhen n
a a a an n
= = n tek .
Duke u mbështetur nga sa thamë gjeni:
( )− 
	
( )x −  
	
( )1 2 
−
	
	 .
Mësuesi/ja shkruan në tabelë:  ;  ; 50 .
- A mund të thjeshtohen këto rrënjë?
Vini re:  16 2 1   = • = • =
Njëlloj tregohet se:   = ; 50  = ;
Rrënjët   ;   ;   quhen rrënjë të ngjashme.
- A mund të përkufizoni rrënjët e ngjashme?
Mësuesi/ja jep këtë shprehje:  
1

50
1

− − + dhe kërkon
thjeshtimin.
a. Në fillim nxirret faktori para rrënjëve:
      = • = • =
 16 2 1   = • = • =
50      = • = • =
      = • = • =
; ;
( )
( )
 
 



−
−
( )
( )
1 3
 


−
−
;
për për
30
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
b. Kështu shkruajnë:
 
1

50
1

    
1

 
1

 − − + = − − + •
			
Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Thjeshtoni shprehjen:
1.  0 4  18   0− + + −
2. 
1

0 5  − + +,
Detyrë shtëpie. Ushtrimi 3, pika 1, 3/b faqe 33; ushtrimet 2 dhe 3,
pika 3 në faqen 34, 3/a, faqe 36; 6/a, faqe 37.
Mësimi 2.5	
Tema: Veprimet me rrënjët
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të rikujtojë përkufizimin e shprehjeve të konjuguara të njëra-tjetrës. Të zhdukë
rrënjën nga emëruesi i një thyese, duke zbatuar shumëzimin e drejtpërdrejtë
(si p.sh.: 1

1 2
 


=
•
•
=
).
II. Të zhdukë rrënjën nga emëruesi i një thyese duke zbatuar shumëzimin me të
konjuguarën (si p.sh.: 1
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1 
−
=
+
− −
=
+
−
=
+
−
= +
( )( ) ( )
)
III. Të thjeshtojë shprehje me thyesa, me rrënjë në emëruesit e tyre, duke zbatuar
në mënyrë të kombinuar: 1. shumëzimin e drejtpërdrejtë; 2. shumëzimin me të
konjuguarën; 3. kthimin e thyesave në emërues të përbashkët.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula:
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi me tabela.
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur (grupi).
P sh a a per a
a b a b a b a b per a b
nn
. . .
. ( , )
.
1 0
2 0 0

 
= ≥
−( ) +( )= ( ) − ( ) = − ≥ ≥
aa b a a b b a b a b
a b a b etjn n n
      




   
�
( ) • +( )= ( ) ( ) =
=. .
= − − + = −
31
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja shkruan në tabelë shprehjet:

 •
; 
 

 
•
	dhe kërkon nga nxënësit të shkruhen më thjeshtë.
Kujdes! Do të ketë nxënës që do të shkruajnë:

 
1
•
=
; 	 
 
1


 
•
=
;
Ky shtjellim nuk është i gabuar, por veprohet duke larguar rrënjën
nga emëruesi.

 

 




•
=
•
= =







 

 





 





•
=
•
= =






Punë e pavarur. Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës:


;	 
a
;	 a
a


.
Mësuesi/ja në tabelë shkruan shprehjet: 1.
   −( ) +( );
	
2.           
−( ) + • +( )
Kërkon nga nxënësit që të thjeshtojnë duke zbatuar formulat në tabela
(shih mjetet ndihmëse).
Së bashku me nxënësit mësuesi/ja zhduk rrënjën nga emëruesi i thyesës:

 −
; a
a
−
+


; a
a
−
−
1
1
	 ;
Kujdes! Që vlera a  0 ose një fuqi e saj të nxirret nga rrënja me tregues n,
duhet që a-ja të jetë baza e fuqisë me tregues shumëfish i n, d.m.th. a ak nn k•
=
P.sh.: a a 
= etj.
Mësuesi/ja u jep nxënësve punë të pavarur.
Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës:
10

; x
x
−
−


; a b
a b
−
+
; a
a
−
−


.
Mësimi 2.6
Tema: Ushtrime
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të llogaritë prodhimin e rrënjëve (herësin) duke zbatuar vetitë.
Të nxjerrë faktorin para rrënjës.
II. Të shprehë vlerat e lejuara të shkronjës në një shprehje me rrënjë.
Të futë faktorin para rrënjës, brenda shenjës së saj.
III. Të thjeshtojë shprehje që kombinohen me zhdukjen e rrënjëve nga emëruesi
i thyesave.
Detyrë shtëpie. Ushtrimi 7 a/b/c, faqe 37.
32
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabelat me formula (shiko mësimet 2, 3, 4, 5),
ku mund të shtohen formulat e rëndësishme,
si: a2
– b2
= (a – b)(a + b)
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja shkruan në tabelë:
a. Gjeni:  • ; a a• (a ≥ 0); x x− • −1 1;(x ≥ 1); 13 12 
− ;
b. Në cilin rast janë të vërteta barazimet: x x
= ; ( )x x− = − 
;
c. Pse themi se nuk ka kuptim: − ; −
; (kujto përkufizimin)
Mësuesi/ja shkruan në tabelë:
x −1;  − x ;  
− x
Kërkon nga nxënësit që të gjejnë vlerat e lejuara të shkronjës x.
Kujdes! Shumë nxënës mund të mos e kuptojnë pyetjen. Në këtë rast
ndërhyn mësuesi/ja:
Le të merret x −1 dhe vlerën e x = 2.
- Çfarë do të ketë? ( 2 1 1 1− = = ). Thuhet se x = 2 është vlerë e lejuar.
Vini re: x – 1 = 2 – 1 = 1  0
Për shprehjen x −1 dhe x = -1 do të kemi − − = −1 1  nuk ka kuptim.
Themi se x = -1 është vlerë e palejuar. Vini re: x – 1 = -1 – 1 = -2  0.
Përfundimisht nëse x – 1 ≥ 0 ⇒ x 1 janë vlera të lejuara.
Pas këtij përfundimi punohen me nxënësit rastet e tjera.
Punë e udhëhequr. Nxirret faktori nga rrënja:  ; 
;  
x
P.sh.:               
x x x x x x x= • = = • = =( ) ( ) ( )
Futni faktorin brenda rrënjës:   ;   ; a a
P.sh.: a a a a a a a    
= • = =
a
a b
b
a b
a a b b a b
a b a b−
−
+
=
+ − −
−( ) +( )
=
( ) ( )
=
( ) + • − • + ( )
( ) − ( )
=
+ • − • +
−
=
a a b b a b
a b
a a b a b b
a b
 
 
Metodat që rekomandohen:
1. Punë e udhëhequr.
2. Punë e pavarur.
Punë e udhëhequr.Nxënësit theshtojnë shprehjen:
100  
−
( ) 
− = −b b
≥
33
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Për punë të pavarur jepet ushtrimi 8/a.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/b, 3/c, 4/b në faqen 36; si dhe ushtrimet 7/c,
. 8/c,në faqen 37.
Mësimi 2.7
Tema: Veprime të kombinuara të fuqive
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë si rrënjë fuqitë me eksponent racional. Të shumëzojë (pjesëtojë)
fuqi me baza të njëjta.
II. Të shkruajë si fuqi rrënjë të ndryshme. Të thjeshtojë shprehje me fuqi.
III. Të zgjidhë ekuacione të kombinuara (me ndryshore me eksponent të fuqive,
me tregues të rrënjës).
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula, si p.sh.:
A x R x= ∈ −  ≤{ / } 
dhe vetitë e fuqive (rrënjëve) shiko
temat përkatëse.
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja u rikujton nxënësve formulën për a ≥ 0 dhe a
a
n
n
−
=
1
.
Këtu kërkon të shkruhen si rrënjë fuqitë: 
1
 ; 125
1
 ; 

 dhe të gjenden ato.
Më pas mësuesi/ja shtron para nxënësve pyetjen:
- A mund të shkruhet si rrënjë 
1
 ? (shiko Matematikën 9, faqe 38).
Njëlloj shkruani si rrënjë: 16


−
; 100 5, ; 0 3,
Shkruani si fuqi me bazë 3.
3, 9,
1

;  ;   ;  ;


Më pas për punë të pavarur mësuesi/ja jep: Gjeni A B• nëse:
A =
•
•
−
−
( )
( )
 
 
  
  
;	
B =
•
•






( )
( )
 
 

 

Zgjidhni ekuacionet: 2x
= 8; 
1

x
= ; 3 1x
=
Kujdes! Për të zgjidhur ekuacionin 
1

x
= , në fillim duhet që
1

të shkruhet si
fuqi me bazë 2.
Domethënë
1

1



= = −
, kështu   x
x= = ⇒ = −−
.
Njëlloj veprohet edhe me ushtrimet e tjera.
Metodat që rekomandohen:
1. Punë e udhëhequr.
2. Ilustrim me tabela.
3. Punë e pavarur.
a amn
m
n
=
P.sh.:      
1

1
1



• = • = =
+
34
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të llogaritë me makinë llogaritëse xy
, kur x dhe y janë numra të plotë pozitivë.
II. Të llogaritë xy
me makinë llogaritëse në rastet kur x e y janë thyesa pozitive.
III. Të llogaritë me makinë llogaritëse vlerën e një shprehjeje aritmetike, duke
përdorur me mënyrë të kombinuar tastet xy
; M+
; M-
; RM .
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Tabela në të cilën është shënuar mënyra se si bëhet llogaritja e një
shprehjeje me makinë llogaritëse, duke përdorur xy
të kombinuar me tastet
e tjera (shiko shembullin, faqe 40).
3. Makinë llogaritëse që ka tastin xy
.
Metodat që rekomandohen:
1. Praktikë e udhëhequr (me makinë llogaritëse).
2. Ilustrim me tabela (shih mjetet ndihmëse).
3. Praktikë e pavarur.
Zhvillimi i temës së re:
Në fillim mësuesi/ja kërkon që nxënësit të llogaritin me makinë 23
; 33
dhe njëri
të komentojë veprimet që kreu.
Pas kësaj u drejtohet nxënësve. Provoni të llogaritni 
1

; 
1
 ; 
1
 . Tregoni si
bëhet llogaritja, kujdes,këtu do të merrni këto përgjigje:
1. Shkruaj 
,
pastaj shtyp dhe në ekran marrim rezultatin për 
1

, sepse
 
1

= .
2. Shkruaj 
,
pastaj shtyp xy
, më pas 0, dhe në fund shtyp = .
Nëse nxënësit nuk shprehen për pikën 2, është e domosdoshme që
mësuesi/ja ta shpjegojë.
Pas kësaj mësuesi/ja (nëse nga nxënësi nuk ka përgjigje) shpjegon hap pas
hapi si llogaritet 
1

; 120 3
, , (shih Matematika 9, faqe 40).
Mësimi 2.8
Tema: Makina llogaritëse. Tasti xy
Mësuesi/ja jep për punë të pavarur.
1. Shkruani si rrënjë:  


• ;

16
1




−
;
2. Zgjidhni: (2x
– 1)(2x
– 8) = 0;  2 0 − −
=x ,
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 3/b, 4/b, 5/b.
35
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Më pas mësuesi/ja jep si punë të pavarur.
Llogarit: 1.    − +, ; 2. 

1

 
  



 +



 −
,
,
Në fund të jepen 1- 2 shprehje si detyrë shtëpie ku nxënësi të shkruajë hapat e
llogaritjes me makinë (shiko shembullin, faqe 40).
Test (skema e qortimit)
Ushtrimi 1:
Qarkimi i alternativës C. 	 (1 pikë)
Ushtrimi 2:
Paraqitja e   1 2 1 
= + = + . (1 pikë)
Ndërtimi i figurës. 				 (1 pikë)
Sqarimet OA = 2 njësi, AB = 1 njësi, OAB trekëndësh kënddrejtë.
Nga teorema e Pitagorës OB =  .
Ndërtojmë OC = OB.		 (1 pikë)
Ushtrimi 3:
Qarkimi i alternativës b 	 (1 pikë)
Ushtrimi 4/a:
Shkrimi i numrave dhjetorë në thyesa. (1 pikë)
Kryerja e veprimeve brenda kllapave ( ). (1 pikë)
Shkrimi i rezultatit të saktë. 		 (1 pikë)
b. Njëlloj, si: a).
Ushtrimi 5 a/b:
Shkrimi i rezultatit të saktë.	 (1 pikë)
c. Zbatimi i vetisë për rrënjën e herësit ose zbatimi i herësit të fuqive. (1 pikë)
Shkrimi i rezultatit të saktë. (1 pikë)
Ushtrimi 6:
Qarkimi i alternativës b.		 (2 pikë)
Shënim: Nëse nxënësi shkruan rrënjët, si  0 4 = , por nuk ka qarkuar
rezultatin i jepet. (1 pikë)
Ushtrimi 7:
Gjetja e një grupi (grupi I).		 (1 pikë)
Gjetja e grupit tjetër (grupi II). 	 (1 pikë)
Ushtrimi 8/a:
Zgjidhja e ushtrimit
1
a .
		 (1 pikë)
Shkrimi 

 
 


 
=
• .
		 (1 pikë)
I I I
0x1
x2A
B
C
36
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Shprehja e 	


 


= 	 (1 pikë)
b. Paraqitja
a b
a b
a b a b
a b a b
−
+
=
−( ) −( )
+( ) −( )
	 (1 pikë)
Shkrimi më tej:
a b
a b
−( )
( ) − ( )

 
	 (1 pikë)
Më tej:
a b
a b
−( )
−

				 (1 pikë)
c. Vendosja në emërues të përbashkët.	 (1 pikë)
Shkrimi i emëruesit në formën 2 1 
( )− 	 (1 pikë)
Shkrimi i rezultatit përfundimtar.		 (1 pikë)
Ushtrimi 9/a:
Shkrimi në formën 3x
= 33.
. 	 (1 pikë)
Shkrimi x = 3.				 (1 pikë)
b. Shkrimi në formën
1


2 1



 =
+x x
	 (1 pikë)
Shkrimi  
2 1
−
+
=x
x
			 (1 pikë)
Gjetja e vlerës së x-it	 	 (1 pikë)
Njëlloj për ushtrimin 
1



•



 =
+x
(1 pikë)
Shkrimi
1








 = =
+x
		 (1 pikë)
Shkrimi   − +
=( )x
			 (1 pikë)
Gjetja e vlerës së x-it		 (1 pikë)
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë kuptimin e syprinës së figurave. Të formulojë vetitë e syprinës
së figurave.
II. Të krahasojë syprinat e figurave të dhëna duke përdorur njohuritë e
mëparshme mbi syprinat. Të dallojë kuptimin figura kongruente nga kuptimi
figura të njëvlershme.
III. Të shkruajë lidhjen e njësive të syprinave me shumëfishat dhe nënfishat
e njësisë.
Mësimi 3.1
Tema: Syprina e figurave. Vetitë themelore
Kreu III
MATJA
.
.
.
.
.
.
37
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me figura (shih figurën 1, faqe 41).
4. Vizore (e milimetruar).
5. Fletë të milimetruar.
6. Gërshërë për prerjen e figurave.
Përgatita e tabelës:
Në një fletë të milimetruar (ose karton të kuadratuar me katrorë të vegjël) ndërtohen
figura të ndryshme (shih figurën 1, faqe 42).
Kujdes! Figura A duhet të përmbajë 36 katrorë (9 x 4 = 36).
Figura B duhet të përmbajë 36 katrorë (6 x 6 = 36)
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja vendos para nxënësve tabelën me figura (të parapërgatitura më parë)
dhe kërkon nga nxënësi që në fletë të milimetruara të ndërtojë këto figura.
Pas ndërtimit kërkon që figurat të priten.
- Sa katrorë të vegjël përmban figura A, po figura B?
- A mund të themi se figurat A dhe B janë kongruente?
Të njëjtat pyetje drejtohen edhe për figurat C e D.
Në këtë moment mësuesi/ja kujton: Këta katrorë të vegjël do t`i marrim si njësi
për matjen e syprinave dhe do të quhen njësi katrore. Mësuesi/ja pyet nxënësit: - Sa
njësi kanë syprinat e figurave A, B, C, D, F1
, F2
, F3
?
Duke shënuar: SA
= 36 njësi katrore, SB
= 36 njësi katrore, SC
= 21 njësi katrore,
SD
= 21 njësi katrore.
Plotëso: SF1
= ; SF2
= ; SF31
= ;
- A mund të themi se: SF
= SF1
+ SF2
+ SF3
?
Mësuesi/ja tërheq vëmendjen e nxënësve. Vini re: 1. SA
= 36 njësi katrore, SB
=
36 njësi katrore. Themi se figura A është drejtkëndësh, figura B është katror, pra nuk
janë kongruente.
Theksohet se: Dy figura që kanë syprina të barabarta quhen të njëvlershme
(Kujdes: jo kongruente).
Pritini figurat C, D dhe vendosini mbi njëra-tjetrën (duhet të jenë kongruente). Por,
SC
= SD
= 21 njësi katrore. Këtu theksohet se: Dy figura kongruente kanë syprina të
barabarta.
Syprina e figurës F është e tillë që: SF
= SF1
+ SF2
+ SF3
. Pra, figura e përbërë nga
figura që nuk priten ka syprinë sa shuma e syprinave të figurave që e përbëjnë atë.
Mësuesi/ja së bashku me nxënësit formulon vetitë për syprinat e figurave.
Mësuesi/ja kujton se njësia themelore për matjen e syprinave është m2
(metri
katror):
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi me tabela.
3. Punë e pavarur (grupi).
38
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Mësimi 3.2
Tema: Syprina e drejtkëndëshit dhe e katrorit
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë formulën që shpreh syprinën e drejtkëndëshit, duke e shprehur me
anë të brinjëve.
II. Të gjejë syprinën e drejtkëndëshit duke zbatuar formulat përkatëse.
III. Të shprehë diagonalen e katrorit me anë të syprinës dhe anasjellas.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula mbi syprinën e
drejtkëndëshit dhe syprinën e katrorit.
4. Vizore të milimetruar.
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja në tabelë ndërton një drejtkëndësh, si figura në faqen 43 dhe kërkon
nga nxënësit të bëjnë të njëjtën gjë në fletoret e tyre.
- Sa njësi katrore është syprina e drejtkëndëshit ABCD? (AB = 11 cm, AD = 5
cm)
- A ka lidhje syprina me prodhimin AB • AD?
Përforcojmë se: SABCD
= AB • AD dhe tregojmë para nxënësve tabelën.
Pas kësaj mësuesi/ja jep punë të pavarur.
Jepet drejtkëndëshi ABCD me brinjë AB = 8,6 cm dhe AD = 5,4 cm.
a. Njehsoni syprinën në cm2
.
1m2
= 100 dm2
= 10000 cm2
1m2
= 102
dm2
= 104
cm2
= 106
mm2
1km2
= 102
hm2
= 104
dam2
= 106
m2
Më pas jepet punë e pavarur për ushtrimet që lidhen me figurat 2, faqe 43 dhe
diskutohet ushtrimi 4, faqe 43.
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutim problemor.
2. Ilustrim me tabela.
3. Punë e pavarur (grupi).
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 3,faqe 43.
h
b
S=b h.
Syprina e drejtkëndëshit
39
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
b. Ktheni syprinën në mm2
.
c. Ktheni syprinën në m2
.
Jepet drejtkëndëshi me bazë b = 12 cm dhe diagonale d = 13 cm. Gjeni
syprinën.
Pas kësaj mësuesi/ja ndërton një katror me brinjë a dhe kërkon nga nxënësit të
llogaritin syprinën duke zbatuar formulën mbi syprinën e drejtkëndëshit S = a2
.
Gjeni një lidhje ndërmjet diagonales së katrorit dhe syprinës së tij.
Dimë nga teorema e Pitagorës:
Kështu themi se: S a
d
= =


Mësuesi/ja jep punë të pavarur:
Jepet katrori me diagonale 8 cm. Gjeni syprinën e tij në cm2
dhe në mm2
.
Drejtkëndëshi me brinjë 9 cm dhe 4 cm është i njëvlershëm me katrorin me
brinjë a.
Gjeni gjatësinë e brinjës a.
a
a
dKujdes!
! Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 2/b, 3, faqe 45.
Mësimi 3.3
Tema: Syprina e paralelogramit dhe rombit
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë formulën për syprinën e paralelogramit.
II. Të njehsojë syprinën e paralelogramit (rombit) duke zbatuar formulën
përkatëse.
III. Të vërtetojë formulën për syprinën e paralelogramit (rombit), duke zbatuar
kuptimin e njëvlershmërisë me drejtkëndëshin. Të zgjidhë problema, që kërkojnë
zbatim jo të drejtpërdrejtë të formulave mbi syprinat.
Mjetet ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula.
4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa
me ngjyra.
5. Fletë e milimetruar – kuadratuar.
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi me tabela.
3. Punë e pavarur (grupi).
Drejtkëndësh Paralelogrami
h
bb
h b hS .=b hS .=
a a d a d a
d     



+ = ⇒ = ⇒ =
40
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Zhvillimi i temës së re:
Në fillim mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një paralelogram
(me fletore katrore),me brinjë AB = 8 cm dhe AD = 4 cm
(ndërtimi sipas dëshirës).
Mësuesi/ja drejton pyetjen:
- A mund të gjeni syprinën?
Kujdes! Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se S = 8 • 4 = 32 cm2
, por,
është gabim.
Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se nuk njohim lartësinë.
Në rast se nxënësit hasin vështirësi, ndërhyn mësuesi/ja dhe plotëson figurën,
si ajo në faqen 45.
Nxënësit provojnë se syprina e paralelogramit është: S = b • h, b – baza
(njëra brinjë e tij), kurse h – lartësia (pingulja e ndërtuar nga njëri kulm mbi
brinjën përballë).
Kujdes! Nëse merret AB = b (baza), atëherë DE = h (lartësia). Nëse BC = b
(baza), atëherë DF = h (lartësi).
Mësuesi/ja jep punën e pavarur:
Njehsoni syprinën e paralelogramit me bazë 8 cm dhe lartësi 3 cm.
Njehsoni syprinën e paralelogramit me brinjë 9 cm dhe 6 cm, që formojnë
kënd të ngushtë 600
.
Pas kësaj, nxënësit ndërtojnë një drejtkëndësh dhe masat e brinjëve të tij të
bashkohen me segmente (shiko figurën, faqe 46,lart).
Trego se: a. ABCD romb; b. SABCD
=
1

SMNKL
; d.m.th. SABCD
=
1

AC BD ⇒ SABCD
=
1

d1
d2
Meqenëse ABCD është paralelogram, atëherë S = b h (shiko figurën,
faqe 16).
Mësuesi/ja jep punë të pavarur ushtrimet 1 dhe 2, faqe 46.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 3, 5, faqe 46.
A BE
D
b
C
h
F
.
.
41
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Mësimi 3.4
Tema: Syprina e trekëndëshit. Formula e Heronit
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë dy formulat për syprinën e trekëndëshit.
II. Të njehsojë syprinën e trekëndëshit duke zbatuar formulën përkatëse.
III. Të zgjidhë problema që kërkojnë zbatimin indirekt të formulave mbi syprinën
e trekëndëshit.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore
4. Tabela me formula.
			
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë paralelogramin me bazë 8 cm
dhe lartësi 6 cm. Gjeni syprinën e paralelogramit. Ndërtoni diagonalen e tij.
Kujto: diagonalja e ndan paralelogramin në dy trekëndësha kongruentë.
Trego se syprina e secilit trekëndësh është .
Nxënësit vërtetojnë se syprina e trekëndëshit është S b h=
1

� (shiko figurën).
b
h a
b
.
b
a
c
A BE
D
b
C
h
S b h=
1

� S a b=
1

�
S p p a p b p c= − − −( )( )( )
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi me tabelë.
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur (grupi).
P
a b c
=
+ +

 

12
�
= cm
42
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Mësuesi/ja jep punë të pavarur:
Gjeni syprinën e trekëndëshit kënddrejtë me katete a, b.
Zbatim numerik: a = 4, b = 5.
Gjeni syprinën e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a.
Kujdes: këtu udhëzohet nxënësi të gjejë lartësinë h me anë të teoremës së
Pitagorës.
Zbatim numerik a = 6.
Ndërhyn mësuesi/ja: Përveç këtyre formulave për syprinën e trekëndëshit përdoret
formula e Heronit, në trekëndëshin me brinjë a, b, c kemi:
Gjeni syprinën e trekëndëshit me brinjë: a = 51,6 cm, b = 38,4 e 64 cm.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3, 5/a, 6 faqe 48.
b
a
b
a
c ku
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë formulën mbi syprinën e trapezit.
II. Të llogaritë syprinën e trapezit duke zbatuar formulën. Të zbatojë në problema
formulat që rrjedhin nga S
a b
h=
+

� .
III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e trapezit. Të zgjidhë problema duke zbatuar
formulat që lidhen me syprinën në mënyrë indirekte, problema që kërkojnë analizë
para zbatimit të formulave.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula. 	 	
4. Vizore, shkumësa me ngjyra.
Mësimi 3.5
Tema: Syprina e trapezit
b
a
h
S
a
=



S p p a p b p c= − − −( )( )( ) P
a b c
=
+ +

S
a b
h=
+

�
43
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustruesi me tabela.
3. Punë e pavarur (grupi).
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja ndërton në tabelë një trapez dhe kërkon të njëjtën gjë nga nxënësit.
Shkruani emërtimet:
AB = a 		 baza e madhe	 (a vlera numerike e gjatësisë)
DC = b		 baza e vogël		 (b vlera e gjatësisë)
DE = CF = h 		 lartësia		 (h vlera e gjatësisë)
Nëse shumë nxënës mund të shkruajnë formulën S
a b
h=
+

� , kështu duke
zëvendësuar do të gjejnë syprinën. Në këtë rast mësuesi/ja do të kërkojë argumentimin
si mund të provohet se S
a b
h=
+

� .
Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të ndërtojnë diagonalet e trapezit [BD] dhe lartësitë
[DE], [BF].
S S S ah bh h a b S
a b
hTrapezit ABD BCD= + = + = + ⇒ =
+1

1

1
 
( ) �
Vërtetimi mund të bëhet si në tekst, por duhet treguar se AB1
C1
D është
paralelogram.
Mësuesi/ja organizon punë të pavarur me nxënësit:
Veçoni h nga formula (1). Veçoni a + b nga formula (1).
Njehsoni syprinën dhe brinjët anësore në trapezin ABCD (shiko figurën) nëse:
AD = BC (trapezi dybrinjënjëshëm), a = 18, h = 3
Me nxënës të nivelit të lartë mund të punohet ushtrimi 3, faqe 50,lart.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 4, faqe 50 (lart).
A B
CD
E F
h h
a
b
A B
C
E
F
h
a
b
h
D Vini re: S AB DE
a h
ABD = =
1
 
�
�
S DC BF b hBCD = =
1

1

� �
44
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Mësimi 3.6
Tema: Ushtrime
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të zbatojë drejtpërdrejtë formulat për llogaritjen e syprinave të figurave.
II. Të llogaritë syprinat e figurave duke zbatuar formulat.
III. Të zgjidhë problema me anë të analizës duke zbatuar indirekt formulat mbi
syprinat.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formulat mbi syprinat,
shiko mësimet 3.1-3.6.
Zhvillimi i temës së re:
Para orës së mësimit mësuesi/ja të përgatisë zgjidhjet e të gjitha problemave dhe
të korrigjojë gabimet e mundshme.
Ushtrimi 1. Gjeni koordinatat e pikës D, por kujdes pika D mund të ketë koordinata
(0; 8) ose (-1; 8), (4; 8) ose (2; 10)).
Mësuesi/ja pasi diskuton me nxënësit problemën 2, jep këtë ushtrim.
Jepet ABCD romb:
AC = 48 cm,
BD = 

AC, kërkohet S =?
Zgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën:
Mësuesi/ja organizon një punë të pavarur me ushtrimin 5, faqe 50.
Jepet: S = 2291 cm2
	 h = 58 cm
	 a – b = ?
Kërkohen: a = ? b = ?
Zgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën e syprinës.
1. S
a b
h=
+

� , meqenëse S dhe h dihen, atëherë nga (1) nxjerrim .
Kemi të dhënë: a – b = 15, gjetëm a + b = 79 duke zgjidhur sistemin:
a b
a b
− =
+ =



15

gjejmë a = 47 cm dhe b = 32 cm.
A
B
C
D
A B
D
a
C
h
b
Metodat që rekomandohen:
1. Ilustrimi tabelor.
2. Analiza problemore.
3. Punë e pavarur (grupi).
S
d d AC BD
S
AC AC
cm= = ⇒ = = = = =1 2
16
 








 

 16 
� � � � � �
�
� 
a b
S
h
a b+ = ⇒ + =
45
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Nëse ka kohë nxënësve u jepet si punë e pavarur ushtrimi 8, faqe 50.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 7, 11, faqe 50.
Mësimi 3.7
Tema:Syprinaeshumëkëndëshittërregulltdheshumëkëndëshit
të jashtëshkruar të rrethit
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të tregojë si ndërtohet një shumëkëndësh i rregullt. Të shkruajë formulën mbi
syprinën e shumëkëndëshit të rregullt.
II. Të njehsojë syprinën e një shumëkëndëshi të rregullt, duke zbatuar formulat.
III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. Të zgjidhë
problema duke zbatuar në mënyrë indirekte formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit
të rregullt.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore, kompas 			
4. Tabela me formula.
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja jep përkufizimin e shumëkëndëshit të rregullt. Më pas tregon se si
mund të ndërtojmë një shumëkëndësh të rregullt. Për këtë u kërkohet nxënësve të
ndërtojnë rrethin me rreze 5 cm. Me atë hapje të kompasit ndani rrethin në 6 pjesë
të barabarta dhe pikat e ndarjes bashkohen në segment.
Në këtë rast shumëkëndëshi quhet i brendashkruar në një rreth.
F
A
C
E D
Ba
o
h
Metodat ndihmëse:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur (grupi).
A
B
D
CE
F
o
M
h
Kështu fitohet gjashtëkëndëshi i
rregullt. Këtu brinja është sa rrezja e rrethit.
Nëse rrethi ndahet në 7, 8, 9.... n pjesë
të barabarta fitojmë 7, 8,....n këndësh të
rregullt.
S p h=
1

�
P n a= �
46
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Në qoftë se nga pikat e ndarjes ndërtohet tangjentja me rrethin, përsëri fitojmë
shumëkëndësh të rregullt, por të jashtëshkruar.
Në rastin e shumëkëndëshit të jashtëshkruar rrethit me rreze r kemi h = r, d.m.th.
S = 1

P • r.
Nxënësit njehsojnë syprinën e shumëkëndëshit të rregullt të brendashkruar në
rrethin me rreze 4 cm dhe me brinjë 4 cm.
Zgjidhje: S =
1

P � h, meqenëse a = r = 4cm, atëherë kemi të bëjmë me
gjashtëkëndësh të rregullt (shiko figurën 1).
Në ∆ AOB kemi OA = OB = AB = 4, h lartësi e trekëndëshit barabrinjës, këtej
h = =
 

  domethënë S =
1

6 � 4 � 2  ⇒ S = 24  cm2
.
Njehsoni syprinën e shumëkëndëshit të rregullt dhe me perimetër 25 dm të
jashtëshkruar rrethit me rreze 6 dm.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 4, 5 b/d, faqe 52.
B
C
E
DF
A
o
N
h
P
QR
S
M
Mësuesi/ja organizon punë përgatitore.
Vini re! Në të dyja rastet formula për
syprinën do të jetë:S =
1

P �h, P = n � a.
Mësimi 3.8
Tema: Syprina dhe vëllimi i sferës
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë sipërfaqen sferike. Të përkufizojë sferën. Të shkruajë formulat
për syprinën (vëllimin) e sferës.
II. Të njehsojë syprinën e sferës duke zbatuar formulën. Të njehsojë vëllimin e
sferës duke zbatuar formulën.
III. Të shprehë me formulë lidhjen e syprinës me vëllimin e sferës.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore, kompas.
4. Tabela me formula.
47
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Metoda që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustruesit grafikë (me figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur (grupi).
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja në fillim kërkon nga nxënësi të sjellin shembuj për sferën ose forma
të saj (p.sh. top, gjyle, glob etj.).
Nxënësit ndërtojnë një gjysmërreth me diametër [AB]. Mendoni, sikur ky
gjysmërreth të rrotullohet rreth diametrit do të formohet në hapësirë një sipërfaqe që
quhet sipërfaqe sferike (shiko përkufizimin 1, faqe 53).
Mësuesi/ja organizon punën e pavarur.
Nxënësit duhet të vizatojnë një sferë me rreze 4 cm. Ata duhet të gjejnë syprinën
dhe vëllimin e saj. Gjeni syprinën e sferës me vëllim 288 Π cm3
.
Kujdes! V r r
V
= ⇒ =




 
Π
Π
....
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 3, faqe 53.
M O
Sfera
Mësimi 3.9
Tema: Ushtrime
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të njehsojë syprinën (vëllimin) e një sfere duke zbatuar drejtpërdrejt formulën.
II. Të njehsojë rrezen e sferës duke zbatuar formulat mbi syprinën (vëllimin).
III. Të vlerësojë vëllimin (syprinën) e sferës për të njehsuar elementet e tyre të
sferës.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore, kompas.
4. Tabela me formula.
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që për dy sferat, njëra me rreze 3 cm dhe
tjetra me rreze 6 cm.
Njehsoni syprinat e tyre.
Njehsoni vëllimet e tyre.
Gjeni raportin e syprinave (vëllimeve).
Metodat që rekomandohen:
1. Punë e udhëhequr.
2. Punë e pavarur (grupi).
S r=  
Π
V r=



Π
48
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
- Çfarë vëreni?
- A mund të themi se
S
S
r
r
1

1


=



 dhe
V
V
r
r
1

1


=



 ?
Mësuesi/ja organizon punën e pavarur:
1. Jepet
r
r
1



= dhe r1
+ r2
= 52. Gjeni S1
= ? S2
= ? V1
= ? V2
= ?
2. Jepet
V
V
1



= dhe V1
+ V2
= 10080 Π cm3
. Gjeni V1
= ? V2
= ? S1
= ? S2
= ?
Vini re:
r
r
r r
r r
r cm
r r r r r
1

1 2
 

1 2 1 2 1


 

 13


  
= ⇒
+
=
+
⇒ = ⇒ =
+ = = − = ccm





S r1 1

= Π 			
Si për rastin e rrezeve veprohet dhe për V1
dhe V2
.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 5, 6, faqe 54.
Mësimi 4.1
Tema: Shumëkëndëshat e mysët. Paralelogrami. Vetitë
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë shumëkëndëshat e mysët dhe paralelogramin. Të formulojë vetitë
e paralelogramit.
II. Të shkruajë për një paralelogram në formën, k ⇒ P, vetitë e tij.
III. Të vërtetojë vetitë e paralelogramit. Të vërtetojë pohimin mbi paralelogramin
duke zbatuar vetitë e tyre.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore.
4. Tabela. 	
Kreu IV
GJEOMETRIA NË PLAN
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur (grupi).
V r1 1


= ΠS r 

= Π V r 


= Π
A B
D C
Paralelogrami
ABCD
[AB] [DC]
[AD] [BC]
II
II
Paralelogram
49
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja shkruan në tabelë vija të thyera dhe kërkon nga nxënësit të
bëjnë dallimet.
Më pas thekson se vija e figurës 1 quhet jo e mysët, ndërsa vija e thyer e
figurës 2 quhet e mysët.
Nxënësit duhet të përkufizojnë shumëkëndëshin.
Mësuesi/ja ndërton një paralelogram ABCD, si në figurën 5, dhe kërkon nga
nxënësit të përkufizojnë paralelogramin ([AB] || [DC] dhe [AD] || [BC]) dhe elementet
(brinjë, diagonale, lartësi). Më pas kalohet te vetitë e paralelogramit.
Mësuesi/ja organizon punën e pavarur me ushtrimin 1, faqe 57.
Shënim: Teorema 1, që është vënë në tekst si punë e pavarur, të vërtetohet nga
mësuesi/ja dhe nxënësit në tabelë.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4, 5, faqe 57.
fig. 1 fig. 2
A
D
B
CE
A
D
B
C
E
F
fig. 3 fig. 4
jo i mysët i mysët
Mësimi 4.2
Tema: Drejtkëndëshi. Vetitë
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë kuptimin e drejtkëndëshit. Të formulojë vetitë e drejtkëndëshit.
II. Të shkruajë në një drejtkëndësh vetitë në formën k ⇒ P.
III. Të vërtetojë vetitë e drejtkëndëshit. Të zgjidhë problema duke zbatuar
vetitë e drejtkëndëshit.
A B
CDfig. 5
50
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore.
4. Tabela me formula. 	
5. Drejtkëndëshi ABCD,
Zhvillimi i temës së re:
Gjeni emërtimin e figurës ABCD dhe jepni përkufizimin.
Mësuesi/ja pyet: - A mund të themi se drejtkëndëshi është paralelogram?
Vërtetoni:
Me nxënësit formohen vetitë e tjera të drejtkëndëshit.
Mësuesi/ja organizon një punë të udhëhequr.
Nxënësit duhet të vërtetojnë kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm që
katërkëndëshi ABCD të jetë drejtkëndësh.
Pas kësaj kalohet në punë të pavarur.
!
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur.
A B
C
D
(d2)
(d1)
(d3)
(d4)
Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të
ndërtojnë dy drejtëza pingule (d1
) e (d2
) në
pikën A dhe në secilën të zgjedhin pikat
B dhe D. Nga pikat B dhe D të ndërtohen
pingulet (d3
) e (d4
) përkatësisht me (d1
) e
(d2
).
A B
D C
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 3, faqe 59.
A B
D C
Drejtkëndëshi
ABCD Drejtkëndësh
A B C D d�  � �≡ ≡ ≡ ≡
Jepet paralelogrami ABCD.
Në diagonalet [AC] e [BD] merren pikat
M, N, P, Q, të tilla që OM = ON = OP = OQ.
Vërtetoni se MNPQ është drejtkëndësh.
A B
CD
Q
M N
P
O
51
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë rombin. Të formulojë vetitë e tij.
II. Të zbatojë vetitë në zgjidhjen e problemave.
III. Të vërtetojë vetitë e rombit.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula. 	
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një katërkëndësh, që është
paralelogram dhe të formulojë vetitë e tij.
Në brinjët [AB] dhe [DC] të paralelogramit zgjedhim M, N që [AM]=[AD]=[DN].
- Çfarë vëreni te katërkëndëshi AMND?
Përkufizohet rombi, më pas formulohen vetitë e tij.
Mësuesi/ja organizon punën e pavarur.
Jepet rombi ABCD. Në diagonalen [AC] merren pikat M dhe N, të tilla që
AM = CN. Vërtetoni se MBND është romb.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 60.
Mësimi 4.3
Tema: Rombi. Vetitë
AB = BC = DC = AD
A
B
C
D Rombi:
ABCD romb.
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur (grupi).
A B
CD
O
1. AB = DC dhe AD = BC
2. OA = OC dhe OB = OD
ABCD paralelogram
M
N
52
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë kuptimin e katrorit. Të formulojë vetitë e katrorit.
II. Të zbatojë vetitë e katrorit në zgjidhjen e problemave.
III. Të vërtetojë vetitë e katrorit.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula. 	
Zhvillimi i temës së re:
Figura të tilla i quajmë katrorë. Kërkohet përkufizimi nga nxënësit dhe vetitë e
katrorit. Theksohet se katrori është romb.
Mësuesi/ja organizon punën e pavarur me problemën 1, faqe 61.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 61.
Mësimi 4.4
Tema: Katrori. Vetitë
Mësuesi/ja duhet të fillojë me punën
përgatitore, por kërkon që nxënësi të ndërtojë
një romb dhe të formulojë vetitë e tij. Drejtohet kjo
pyetje: - A është e mundur që një katërkëndësh
të ketë kongruente brinjët (si rombi) dhe të ketë
kongruente këndet?
Vini re figurën
A B
D C
Është me shumë rëndësi të komentohet kjo bllokskemë, e cila tregon varësinë
ndërmjet figurave në këtë kapitull.
Katërkëndësh
Trapez
Paralelogram
KatrorRomb
Drejtkëndësh
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Organizuesi grafik.
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur.
5. Bllokskema.
A B
CD
O
ABCD katror
Katror
1. AB = BC = DC = AD;
2. A B C D d�  � �≡ ≡ ≡ ≡
53
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të formulojë teoremën e Talesit në formën k ⇒ P. Të përkufizojë vijën e mesme
të trekëndëshit.
II. Të zbatojë përfundimin e teoremës së Talesit në zgjidhjen e problemave.
III. Të vërtetojë teoremën e Talesit. Të vërtetojë pohimet duke zbatuar teoremën
e Talesit.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore.
4. Tabela me formula.
	
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja organizon një punë përgatitore, duke u kërkuar nxënësve të ndërtojnë
drejtëzat çfarëdo (d1
) e (d2
). Në (d1
) marrim pikat A, B, C të tilla që AB = BC = 2 cm.
Kujdes! Mund të ketë nxënës që dalin në përfundimin se A1
B1
= B1
C1
= 2 cm, por
kjo ndodh vetëm nëse (d1
) || (d2
).
Do të kemi: A1
B1
= B1
C1
.
Kështu dalim në formulimin e teoremës së Talesit.
Më pas kalohet në përkufizimin e vijës së mesme të trekëndëshit dhe vërtetimin
e teoremës.
Mësimi 4.5
Tema: Teorema e vogël e Talesit. Teorema për vijën e mesme
dhe mesoret e trekëndëshit
A
B
C
d1
A1
B1
C1
d2
a
b
c
Nga pikat A, B, C ndërtoni (a) || (b) || (c), që presin
(d2
) në pikat A1
, B1
, C1
. Matni largesat A1
B1
; B1
C1
,
çfarë vërehet?
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur (grupi).
Teorema e Talesit
A
B
C
d1
A1
B1
C1
d2
a
b
c
(a) II (b) II (c)
Nëse pika B ndërmjet A e C
dhe AB= BC B1 ndërmjet
A1 C1 dhe A1 B1= B1 C1
⇒
54
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Pas vërtetimit kalohet në punë të pavarur. Nxënësit vërtetojnë vetinë e mesoreve
të trekëndëshit.
Nga udhëzimi kemi:
FL = MN ku M, N janë meset e [GA] dhe [GB], këtej rrjedh se MNLF është
paralelogram, nga këtej kemi se GM = GL dhe GF = GN, por GM = MA dhe GN = NB,
d.m.th. GL = GM = MA ⇒ GL = 1

GA (shiko figurën 3, faqe 63)
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 3, faqe 63.
Mësimi 4.6
Tema: Trapezi. Vetitë
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë trapezin. Të formulojë vetitë e trapezit.
II. Të emërtojë në një trapez elementet e tij. Të zbatojë vetitë e trapezit në zgjidhjen
e problemave.
III. Të vërtetojë teoremat mbi vetitë (vijën e mesme).
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore.
4. Tabela me formula. 	
5. Trapezi. 								
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojmë dy drejtëza (d1
) e (d2
) joparalele, që
priten në pikat A, B, C, D nga paralelet (a) || (b).
A B
CD
NM
a
b
[DC] || [AB]
[MN] vijë e mesme
MN =
1

(a + b)
[AC] diagonale
[DE] lartësia
Trapezi
Në këtë rast katërkëndëshi ABCD quhet trapez.
Duhet të theksohet se:
[AB] është baza e madhe,
[DC] është baza e vogël.
E - mesi i [AD],
F - mesi i [BC].
[EF] - vijë e mesme,
[DE] - lartësia
[AC] - diagonale.
A B
CD
FE
a
b
d1 d2
E
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur (grupi).
55
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Është e rëndësishme të vërtetohet teorema mbi vijën e mesme.
Më pas kalohet te puna e pavarur.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 dhe 4, faqe 65.
Shënim: Problema 4, faqe 65 të korrigjohet: AB = 26 cm, A = 600
Mësimi 4.7
Tema: Ushtrime
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të rikujtojë vetitë e katërkëndëshave (paralelogram, drejtkëndësh etj). Të rikujtojë
formulat mbi syprinat e katërkëndëshave.
II. Të zbatojë formulat për të llogaritur syprinat e katërkëndëshave.
III. Të vërtetojë pohimet duke zbatuar vetitë e figurave.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula (shih tabelat për vetitë e figurave te mësimet e
mëparshme).
4. Vizore.
Metodat që rekomandohen:
1. Analizë problemore.
2. Punë e udhëhequr.
3. Punë e pavarur (grupi + individuale).
Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të rikujtojnë disa veti të figurave, sidomos të atyre
me të cilat lidhen problemat që mendon se duhen punuar problema 4, faqe 65).
Vërtetim: Meqenëse ABCD trapez ⇒ [AB] || [DC] ⇒ EDC DEA� �≡ , si kënde
Z këtej trekëndëshi ADE dybrinjënjëshëm, pra AD = AE. Njëlloj trekëndëshi BCE
dybrinjënjëshëm BC = BE.
Këtej AB = AE + BE = AD + BC ç.d.v.
A
D C
BE
Jepet ABCD trapez. [DE] dhe [CE] janë
përgjysmore të këndeve ADE EDC� �≡ dhe
DCE ECB� �≡ . Kërkohet të provohet se
AB = AD + BC.
Zhvillimi i temës së re:
56
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Për çdo hap gjatë vërtetimit duhet më parë të merret mendimi i nxënësit. Nëse
niveli i klasës është i mirë, kjo problemë mund të zgjidhet nga ata.
Mësuesi/ja trajton edhe problemën 6, faqe 65.
Jepen: AC = 54 cm; BD = 36 cm; A1
B1
= 3A1
D1
; SABCD
= SA1B1C1D1
.
Kërkohet PA1B1C1D1
= ?
Zgjidhje: Dimë se S
AC BD
ABCD = =
� �

 

SABCD = 972 cm2
SA1B1C1D1
= A1
B1
• A1
D1
= 3A1
D1
• A1
D1
⇒ 972 = 3A1
D1
2
A1
D1
2
= 324 cm ⇒ A1
D1
=  = 18cm, kurse A B =  cm1 1
Kështu themi se PA1B1C1D1
= 2(A1B1 + A1D1) = 2(54 + 18) = 144 cm
P = 144 cm
Punë e pavarur mund të jepet problema 7, faqe 65.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 5, 8, faqe 65.
D1
B1A1
C1
A
B
C
D
o
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë segmentet përpjesëtimore. Të formulojë pohimet mbi segmentet
përpjesëtimore.
II. Të llogaritë segmentet përpjesëtimore duke zbatuar pohimet mbi to. Të ndërtojë
segmentin e përpjesshëm me segmente të dhëna, duke zbatuar pohimet mbi to.
III. Të vërtetojë pohimet mbi segmentet përpjesëtimore.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula.
4. Vizore
Mësimi 4.8
Tema: Segmentet përpjesëtimore. Teorema e Talesit
Segmente përpjesëtimore
(AB) II (A1
B1
)
A
B
o
A1
B1
⇔ = =
OA
OB
OA
OB
AA
BB
1
1
1
1
57
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustruesit grafikë (figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur.
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja organizon një punë përgatitore për t’iu rikujtuar nxënësve
përpjesëtimet.
Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto barazime:



=
x
; 		 x



=
;		 5 10
x
=
;	 


10
=
+x ;		
U kërkohet nxënësve të gjejnë x=?
Në këto barazime elementet e thyesave quhen vlera përpjesëtimore me njëra-
tjetrën. Te barazimi i parë themi se 2 dhe 4 janë përpjesëtimore me 5 dhe x, ndryshe
themi se 2 rri te 4 sikurse 5 rri te x (2 : 4 = 5 : x) etj.
Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të përkufizojnë segmentet përpjesëtimore.
Kujdes! Teorema nuk duhet vërtetuar. Nga teorema e Talesit kemi rrjedhimet 1
dhe 2, të cilat duhen vërtetuar. (Një variant i thjeshtuar, që është teorema e vogël e
Talesit, është vërtetuar te mësimi 4.5).
Më pas, mësuesi/ja organizon punën e udhëhequr.
Ndërtoni të katërtin e përpjesshëm me segmentet e dhëna a, b, c.
Nga teorema e Talesit duhet që me brinjët e këndit ÆO të ndërtojnë segmentet e
dhëna dhe përkatësisht
Gjeni gjatësinë e segmentit x nëse a = 3 cm, b = 2 cm dhe c = 6 cm.
Këtu jepet punë e pavarur, shiko rubrikën në faqen 67.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3, 4, faqe 68.
Zgjidhje: Shënojmë me x segmentin
e kërkuar. Meqenëse segmentet a, b, c, x
janë përpjesëtimore, atëherë ato plotësojnë
barazimin a
b
c
x
= .
a
b
c
OA = a, OB = b dhe AA1
= c.
Nga pika A1
ndërtojnë (A1
B1
) II (AB)
nga teorema segmenti [BB1
] është segmenti x.
A
B
B1
A1
o a
b
c
x
58
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të përkufizojë ngjashmërinë e shumëkëndëshave. Të formulojë rastet
e ngjashmërisë së shumëkëndëshave.
II. Të gjejë elementet e trekëndëshave duke zbatuar rastet e ngjashmërisë
së tyre.
III. Të vërtetojë të paktën dy raste të ngjashmërisë së trekëndëshave.
Të vërtetojë pohime mbi trekëndëshat, duke zbatuar rastet e ngjashmërisë.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore, kompas. 		
4. Tabela me formula.
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja e fillon këtë orë mësimi me punë përgatitore.Ai/ajo kërkon nga nxënësit
të ndërtojnë një katror me brinjë 3 cm dhe një romb me brinjë 5 cm.
A mund te themi se :
AB
A B
BC
B C
CD
C D
DA
D A1 1 1 1 1 1 1 1


= = = =
Por, A A� �≠ 1 	 B B �≠ 1 etj.
Mësimi 4.9
Tema: Ngjashmëria e trekëndëshave
Metodat që rekomandohen: 	
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustruesit grafikë (figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur.
A B
CD
3 3
3
3
A1 C1
D1
B1
5 5
5 5
Raste të ngjashmërisë së trekëndëshave
BA
C
A1 B1
C1
Rasti I
ABC ~ A1
B1
C1
Rasti II Rasti III
A A dhe B B� �  �≡ ≡1 1

59
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Ndërtojnë një katror me brinjë 3 cm dhe një drejtkëndësh me përmasa
3 dhe 6 cm.
Në këtë rast mësuesi/ja pyet: - A mund të ndërtojmë dy katërkëndësha që
të plotësojnë të dyja kushtet: brinjët përpjesëtimore dhe këndet kongruente?
P.sh.: 2 katror, 2 romb, 2 drejtkëndësha etj.
Këtu kalohet në përkufizim (shiko faqen 68)
Për ngjashmërinë e trekëndëshave është e domosdoshme të kalohet në vërtetimin
e teoremës, faqe 69. Pas kësaj kalohet te rasti i parë i ngjashmërisë, këmbëngulet te
paraqitja e pohimit (rasti 1) në formën K P⇒ . Është e domosdoshme të theksohet
se AB
A B
k
1 1
= (koeficienti i ngjashmërisë).
Punë e pavarur.
Trekëndëshat kënddrejtë ABC dhe A1
B1
C1
janë të ngjashëm. Gjeni katetet,
hipotenuzat dhe këndet e trekëndëshave nëse jepen:
C� = 900
	 A1
� = 300
	 dhe 		 AB = 10 cm	 A1
B1
= 20 cm
Zgjidhje: ∆ ABC ~ ∆ A1
B1
C1
⇒ A� = A1
� = 300
C� = C1
� = 900
B = B1
� = 600
Dimë se në ∆ kënddrejtë kateti përballë këndit 300
është sa gjysma e hipotenuzës,
domethënë BC cm= =
10

 dhe B C cm1 1
20

10= = , por nga teorema e
Pitagorës:
AB2
= AC2
+ BC2
, këtej gjejmë AC; A1
B1
2
= A1
C1
2
+ B1
C1
2
, këtej gjejmë A1
C1
Këtu është mirë të ndahet tema në dy orë mësimore.
•	Ora tjetër fillon me rastin e dytë. Megjithatë, nëse mësuesi/ja do të vazhdojë dy
rastet e tjera duhet t’i shkruajë në formën K P⇒ .
Punë e pavarur.
∆ ABC ~ ∆ A1
B1
C1
dhe brinjët e trekëndëshit ABC janë 5 cm, 6 cm, 7 cm, kurse
brinja më e vogël e trekëndëshit ∆ A1
B1
C1
është 10 cm.
Gjeni brinjët e trekëndëshit A1
B1
C1
.
Trekëndëshat e ngjashëm ABC dhe A1
B1
C1
kanë diferencën e brinjëve më të
vogla të barabartë me 6 cm, kurse raportin e tyre e kanë 

.
Gjeni këto brinjë.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3, 5, faqe 71.
- A mund të themi se: ?
A B
CD
3
3 A1
C1D1
B1
Por, A A� �≡ 1 ,B B �≡ 1
,
C C� �≡ 1 , D D� �≡ 1
.
AB
A B
BC
B C
CD
C D
DA
D A1 1 1 1 1 1 1 1
= = =
60
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Mësimi 4.10
Tema: Ushtrime
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të dallojë trekëndëshat e ngjashëm duke zbatuar rastet e ngjashmërisë.
II. Të gjejë elementet e trekëndëshave të ngjashëm duke zbatuar rastet
e ngjashmërisë.
III. Të vërtetojë pohimin mbi trekëndëshat duke zbatuar rastet e ngjashmërisë.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela, shih mësimin 3.6.
Zhvillimi i temës së re:
Punë e pavarur. Punohen nga nxënësit ushtrimet 1, 3 dhe 4, ndërsa ushtrimet 3,
5, 6, 7 diskutohen së bashku me mësuesin/en duke analizuar të dhënat.
Ushtrimet 2 dhe 8 duhet të punohen në klasë, sidomos ushtrimi 2 (punohet vetia e
vijës së mesme së trekëndëshit dhe formula e Heronit), ndërsa tek ushtrimi 8 punohet
me rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave.
Kujdes! Në fillim zbatohet teorema e Pitagorës, që të zbatohet rasti i tretë i
ngjashmërisë. Kjo problemë mund të shtrohet në rastin kur jepen katetet përpjesëtimore
(zbatohet rasti i dytë i drejtpërdrejtë).
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Punë e udhëhequr.
3. Punë e pavarur (grupi).
4. Analizë problemore.
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë raportin e perimetrave (syprinave) të trekëndëshave të ngjashëm.
II. Të llogaritë perimetrat (syprinat) e trekëndëshave të ngjashëm.
III. Të gjejë elementet e panjohura të trekëndëshave të ngjashëm, duke analizuar
të dhënat dhe raportet e segmenteve përpjesëtimore.
Mësimi 4.11
Tema: Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshave
të ngjashëm
∆ ABC ~ ∆ A1
B1
C1
⇒ CD
C D
k
1 1
= ;
P
P
k
1
= ;
S
S
k
1

=
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutimi problemor.
2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur (grupi).
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela.
A B
C
D A1 B1
C1
D1
Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshave të
ngjashëm:
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4/1-2, 6 në faqen 72.
61
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Zhvillimi i temës së re:
Puna përgatitore është mirë të ndryshohet.
Jepet trekëndëshi ABC me brinjë 6, 8, 12 (cm).
1. Gjeni brinjët e trekëndëshit ∆ A1
B1
C1
të ngjashëm me trekëndëshin e dhënë
nëse brinja A1
B1
= 3 cm.
2. Gjeni raportin e perimetrave të këtyre trekëndëshave.
3. Gjeni raportin e syprinave të këtyre trekëndëshave (për syprinat zbato formulën
e Heronit).
Duhet theksuar se
AB
A B1 1


= = edhe
P
P1
= , kurse
S
S1

 = = .
Kështu themi se P
P
k
1
= dhe S
S
k
1

= (1)
Mësuesi/ja kalon te përgjithësimi i përfundimit të mësipërm.
a. Për perimetrat. Nëse ∆ ABC ~ ∆ A1
B1
C1
⇒ =
P
P
k
1
Vërtetim: Nga ngjashmëria e ∆ ABC dhe ∆ A1
B1
C1
kemi:
AB
A B
BC
B C
CA
C A
k
AB BC CA
A B B C C A
AB
A B1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= = = ⇒
+ +
+ +
= = =.... kk
P
P
k⇒ =
1
b. Para se të provojnë se
S
S
k
1

= duhet të vërtetojnë teoremën mbi raportin
e lartësive dhe mbi raportin e syprinave.
E rëndësishme është që në këtë temë, nxënësit të mbajnë mend formulat.
Punë e pavarur.
Trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin A1B1C1 me koeficient
ngjashmërie k dhe raport të syprinave S : S1 = 

.
Gjeni perimetrat, nëse shuma e tyre është 45 cm.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 /njëri rast, 2, 3, faqe 74.
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë barazimet mbi raportin e perimetrave (syprinave) të
shumëkëndëshave të ngjashëm.
II. Të njehsojë perimetrat (syprinat) e shumëkëndëshave të ngjashëm duke
zbatuar formulat.
III. Të zgjidhë problema duke zbatuar indirekt ngjashmërinë e
shumëkëndëshave dhe formulat mbi raportin e perimetrave (syprinave).
Mësimi 4.12
Tema: Ushtrime
62
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Zhvillimi i temës së re:
Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të shkruajnë në fletore përkufizimin e ngjashmërisë
së shumëkëndëshit. Pas kësaj u kërkon nxënësve të ndërtojnë dy katrorë me brinjë,
i pari a = 6 cm dhe i dyti b = 12 cm.
Shtrohen këto pyetje para nxënësve: - A janë të ngjashëm katrorët? Gjeni k = ?
Gjeni raportin e perimetrave (syprinave).
-A mund të themi se
P
P
k
1
= dhe
S
S
k
1

= ?
Këtu ndërhyn mësuesi/ja duke theksuar se përfundimet e pikës 3 do t’i pranojmë
për çdo shumëkëndësh të ngjashëm, d.m.th. nëse ABCDEF ~ A1
B1
C1
D1
E1
F1
,
atëherë P
P
k
1
= dhe S
S
k
1

= .
Punë e pavarur.
Jepen nga mësuesi/ja ushtrimet 1 dhe 4, faqe 75.
Punë e udhëhequr.
Punohet nga nxënësit problema 2.
Zgjidhje: Dimë se: P = 4 • 91 dhe
P
P
P
P
P P cm
1
1 1 1




  91

= ⇒ =
•
⇒ =
• •
⇒ =
S
AC BD
cmABCD = = =
� �

168 70

5880 
			
			
	 AC
A C
A C
1 1
1 1


 168

210= = = =
�
S
S
S
S
cm
1
1



16
 5880
16
9187 =



 ⇒ = = =
� �
,
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 5, 8, faqe 75.
B
C
o
A
D
84
91
Dimë se AC = 169 ⇒ Ao = 84
Nga teorema e Pitagorës OD2
=AD2
– OA2 ⇒
OD2
= 8181 – 7056 = 1225 ⇒ OD = 35 cm.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela, shih mësimet e mëparshme
në këtë kapitull.
4. Vizore.
Metodat që rekomandohen:
1. Analiza problemore.
2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur (grupi).
S cmABCD = 5880 
A C cm1 1 210=
S cm1 9187 = ,
63
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Mësimi 4.13
Tema: Teoremat e Euklidit
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të formulojë teoremat e Euklidit dhe rrjedhimet e tyre.
II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë duke zbatuar rrjedhimet e teoremave.
III. Të vërtetojë teoremat e Euklidit. Të zgjidhë trekëndëshat kënddrejtë,
duke zbatuar në mënyrë të kombinuar teoremat e Euklidit.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formulat e teoremave
të Euklidit.		
Zhvillimi i temës së re:
Punë përgatitore. Mësuesi/ja sjell një shembull praktik.
Jepet trekëndëshi kënddrejtë në C me elemente:
Gjeni CD2
, 	 AD BD� ; AC2
, AD AB•
- Çfarë vëreni? (CD2
= AD • BD, 	 AC2
= AD • AB)
Vëmë re se CD i mesëm i përpjesshëm me segmentet AD e BD.
Jepen përkufizimet 1, 2, të cilat janë në tekstin e nxënësit.
Më pas formulohen teoremat e Euklidit dhe vërtetohen.
Pas teoremave formulohen dy rrjedhime.
A B
C
D
15
12
169
[CD] [AB] dhe CD = 12 cm
AD = 9 cm	 BD = 16 cm
AC = 15 cm
A B
C
D
Teoremat e Euklidit
	2. ∆ ABC kënddrejtë në C:
			 [CD] ⊥ [AB] ⇒
			 AC2
= AD • AB dhe BC2
=
BD • AB
1. ∆ ABC kënddrejtë në C: 	
[CD] ⊥ [AB] ⇒ 			
CD2
= AD • DB		 	
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutim problemor.
2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).
3. Punë e udhëhequr.
4. Punë e pavarur (grupi).
64
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Korda në skajin e diametrit dhe skajin tjetër në gjysmërreth është e mesme e
përpjesshme me diametrin dhe projeksionin e saj në diametër (BC2
= BD • AB).
Punë e pavarur.
Mësuesi/ja jep për punë të pavarur ushtrimin 2, faqe 77.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 5, faqe 77.
A B
C
D
Rrjedhim 1: Në çdo gjysmërreth pingulja e
ndërtuar nga një pikë e tij mbi diametër është e
mesme e përpjesshme me segmentet që cakton
në diametër, domethënë CD2
= AD • BD
Mësimi 4.14
Tema: Ushtrime
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të zbatojë teoremat e Euklidit në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë.
II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë duke zbatuar dy teoremat e Euklidit.
III. Të zgjidhë problema duke zbatuar teoremat e Euklidit në forma indirekte.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula, shih mësimet
e mëparshme.
4. Vizore
Zhvillimi i temës së re:
Punë e pavarur. Mësuesi/ja jep për punë të pavarur këtë problemë:
Në trekëndëshin kënddrejtë lartësia mbi hipotenuzë e ndan atë (hipotenuzën) në
dy segmente me gjatësi 9 cm dhe 144 cm. Duke zbatuar teoremat e Euklidit gjeni: a.
lartësinë mbi hipotenuzë, b. katetet.
Punë e udhëhequr.
Punohen nga nxënësit problemat 2 dhe 7.
Problema 2. Shih figurën në faqen 78
Metodat që rekomandohen:
1. Analizë problemore.
2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).
3. Punë e pavarur (grupi).
A B
C
D
Jepet CD = 8 cm
AC = 10 cm
Kërkohet AD?
BD?
65
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Zgjidhje: Trekëndëshi ABC është kënddrejtë në C; nga teorema e Euklidit kemi:
AC AD AB
CD AD DB


=
=



�
�
Shënojmë: AD = x dhe BD = y, AB = x + y
Sistemi merr formën:
Duke zëvendësuar:   





= ⇒ = ⇒ = ⇒ =x y y y y cm� �
Problema 7.
Zgjidhje: Shënojmë AC = x dhe AD = y.
x
y
x y
x
y
x y
=
= +




⇒
+
=
= +







 


Zgjidhje:
x
y
y y y y cm
+
= ⇒ + = ⇒ = ⇒ =
 

      ,
x = 7,5 cm
Nga teorema e 2 e Euklidit kemi: AC AD AB AB
AC
AD


 
 
12 = ⇒ = = =�
,
,
,
AB cm BD cm= ⇒ = − =12 5 1    , , ,
Nga teorema 1 e Euklidit kemi: CD2
= AD • BD = 4,5 • 8 = 36
CD cm=  , prej këtej S
AB CD
cm=
•
=
•
=

12  

  ,
, , S cm=   
,
Për trekëndëshin e dytë kemi S
b h
=
�

, ku h = 2 • CD = 12 cm.
 
12

  
12
 ,
,
,=
•
⇒ =
•
⇒ =
b
b b cm
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 5, faqe 78.
keshtu kemi:
h lartësia e D-së të njëvlershëm, ku h = 2CD
A B
C
D
Jepet
AC
AD
=


	 kërkohet S = ?
AC = AD + 3, 	 h = ?
10

10

10 8 10 8


  

     = +
=



⇒
= +
=



⇒ = + ⇒ = −
x x y
x y
x y
x y
x x
( )
� �
⇒⇒ = ⇒ =x x cm
 
AD cm BD= =
66
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të formulojë teoremën e Pitagorës në formën k P⇒ . Të formulojë teoremën
e anasjellë të Pitagorës.
II. Të zbatojë teoremën e Pitagorës në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë.
III. Të vërtetojë teoremën e Pitagorës duke zbatuar teoremat e Euklidit. Të zgjidhë
problema duke zbatuar të kombinuara teoremat e Euklidit dhe të Pitagorës.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula. 		
Zhvillimi i temës së re:
Punë përgatitore.
Mësuesi/ja jep këtë shembull:
Jepet trekëndëshi kënddrejtë ABC me katete AC dhe BC, dhe me lartësi mbi
hipotenuzë CD = 12 cm, që e ndan hipotenuzën në segmente AD = 9 cm
dhe BD = 16 cm.
Gjeni katetet AC dhe BC.
Krahasoni AB2
, kur AC2
+ BC2
⇒ Pra, AB2
=
AC2
+ BC2
.
Këtu formuloni teoremën e Pitagorës dhe vërtetojeni atë,duke u mbështetur
te teoremat e Euklidit. I rëndësishëm është formulimi dhe vërtetimi i teoremës
së anasjellë.
Punë e pavarur.
Njehsoni perimetrin e drejtkëndëshit ABCD, nëse njëra brinjë AB = 16 cm
dhe diagonalja e tij BD AB=


.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 80.
Mësimi 4.15
Tema: Teorema e Pitagorës. Teorema e anasjellë e Pitagorës
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutim problemor.
2. Ilustrim grafik (figura, tabela).
3. Punë e pavarur (grupi).
A B
C
D
Teorema e Pitagorës
∆ ABC kënddrejtë në C ⇒ AB2
= AC2
+ BC2
67
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Mësimi 4.16
Tema: Zbatime
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shprehë diagonalen e katrorit me anë të brinjës së tij. Të shprehë
lartësinë e trekëndëshit barabrinjës me anë të brinjës së tij.
II. Të zbatojë lidhjet midis brinjës së katrorit dhe diagonales për të
llogaritur syprinën e katrorit.
III. Të gjejë syprinën e trekëndëshit barabrinjës me anë të brinjës së tij.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore.
Zhvillimi i temës së re:
Punë përgatitore.
Jepet katrori me brinjë a = 4 cm. Gjeni diagonalen.
Jepet katrori me diagonale 6 cm. Gjeni brinjën e tij.
Më pas mësuesi/ja duhet të kalojë në rastin e përgjithshëm.
Jepet katrori me brinjë a. Gjeni diagonalen d në lidhje me brinjën a.
d a=  . Gjeni brinjën a në lidhje me diagonalen d. Jepet syprina e katrorit
në lidhje me diagonalen
S
d
=


.
Punë e pavarur.
Jepet drejtkëndëshi ABCD. Në meset e brinjëve të tij formohet katrori me
brinjë 4 cm. Gjeni syprinën e drejtkëndëshit ABCD.
Pas punës së pavarur kalohet te zbatimi 3, 4 (shih Matematikën 9, faqe 81).
Është e rëndësishme të shprehet syprina e trekëndëshit S
a
=



.
Më pas shprehen katetet e trekëndëshit kënddrejtë me hipotenuzën a dhe
njërin kënd të ngushtë 300
.
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 dhe 4, faqe 81.
Metodat që rekomandohen:
1. Diskutim problemor.
2. Punë përgatitore.
3. Punë e pavarur.
68
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Mësimi 4.17
Tema: Ushtrime
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të zbatojë teoremat e Pitagorës drejtpërdrejt në zgjidhjen e trekëndëshit
kënddrejtë.
II. Të gjejë vlerën e segmentit të panjohur në figura të dhëna duke zbatuar
teoremën e Pitagorës.
III. Të zgjidhë problema duke zbatuar të kombinuara teoremat e Euklidit dhe
të Pitagorës.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Vizore, kompas.
Zhvillimi i temës së re:
Punë e pavarur.
Mësuesi/ja jep si punë të pavarur këtë ushtrim:
Gjeni lartësinë e ndërtuar mbi hipotenuzë dhe katetet në trekëndëshin
kënddrejtë me segmente në hipotenuzë 4 cm dhe 9 cm të caktuar nga lartësia.
Më pas nxënësit punojnë ushtrimin 3.
Zgjidhje: Në trekëndëshin kënddrejtë ABC kemi nga teorema e Pitagorës:
AB AC BC AB     
  = + ⇒ = + ( )
AB AB AB cm 
    = + ⇒ = ⇒ =�
Metodat që rekomandohen:
1. Analizë problemore.
2. Punë individuale.
3. Punë e pavarur (grupi).
4. Ilustrim grafik (figura, tabela).
A B
C
D 94
c
a
h
b
A
B
C
Dx
8
3
3
120
o
AD = 3cm,
AD = 8cm
BD = x.
AC =  
ACB� = 900
CAD� = 1200
69
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
!
Vëmë re se: AB BC CAB BAC2 0 0
  30 90= = ⇒ = ⇒ =� � �
nga ku: BD AB AD x     
    100= + ⇒ = + = + =
x x cm
100 10= ⇒ =
Nxënësit punojnë me kujdes ushtrimin 7.
Zgjidhje: Meqenëse trekëndëshi ABC është barabrinjës, atëherë:
AOB AOD� = = ⇒
360

120
0
0
∆ kënddrejtë, ku:
AOB CAD OD
OA R� �= ⇒ = ⇒ = =60 30
 
0 0
Ndërsa: OA2
= AD2
+ OD2
R
R a a
R
R a
R
R
  

 


     
=



 +



 ⇒



 = −



 ⇒ = −
a R R
a R a R R
a  
 



 

=
−
⇒ = ⇒ = ⇒ = 	 a cm=  
Zbatim numerik për R = 6 cm.
D
RR
A B
C
a a
a
o
Jepet OA = OB = OC = R	 Gjeni a = ?
AB = BC = AC = a
Mësimi 4.18
Tema: Formula për largesën ndërmjet dy pikave në planin koordinativ
Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:
I. Të shkruajë formulën mbi largesën ndërmjet dy pikave me koordinata të
dhëna.
II. Të gjejë largesën ndërmjet dy pikave duke zbatuar formulën për largesën.
III. Të zgjidhë problema duke zbatuar formulën mbi largesën të kombinuar me
formula të tjera.
Mjete ndihmëse:
1. Teksti Matematika 9.
2. Teksti Ushtrime Matematika 9.
3. Tabela me formula. 	
Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, figura 2; 5 dhe 8, faqe 82.
Largesa ndërmjet dy pikave:
A (x1
; y2
); B (x2
; y2
);
A
B
o
y
x
AB x x y y= − + −( ) ( )2 1

2 1
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Mjedisi yne-lokal
Mjedisi yne-lokalMjedisi yne-lokal
Mjedisi yne-lokalolinuhi
 
Lidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjeraLidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjeraolinuhi
 
NDOTJA E MJEDISIT NE SHKALLE GLOBALE
NDOTJA E MJEDISIT NE SHKALLE GLOBALENDOTJA E MJEDISIT NE SHKALLE GLOBALE
NDOTJA E MJEDISIT NE SHKALLE GLOBALEroni45
 
provimi i lirimit 2018 matematike
provimi i lirimit 2018 matematikeprovimi i lirimit 2018 matematike
provimi i lirimit 2018 matematikeaulenc gjini
 
Cfare ishte Holokausti?
Cfare ishte Holokausti?Cfare ishte Holokausti?
Cfare ishte Holokausti?Valeria Baçi
 
Llojet e teksteve
Llojet e teksteveLlojet e teksteve
Llojet e tekstevesindi21
 
Trupat gjeometrik
Trupat gjeometrikTrupat gjeometrik
Trupat gjeometrikEsmer Alda
 
Provimi i lirimit 2015 Anglishtja
Provimi i lirimit 2015 AnglishtjaProvimi i lirimit 2015 Anglishtja
Provimi i lirimit 2015 AnglishtjaHelio RAMOLLARI
 
Hebrenjtë në Shqipëri
Hebrenjtë në ShqipëriHebrenjtë në Shqipëri
Hebrenjtë në ShqipëriDonikaLici
 
matematika projekt
matematika projektmatematika projekt
matematika projektFacebook
 
Ndotja e mjedisit dhe ndikimi i saj në biodiversitet
Ndotja e mjedisit dhe ndikimi i saj në biodiversitet Ndotja e mjedisit dhe ndikimi i saj në biodiversitet
Ndotja e mjedisit dhe ndikimi i saj në biodiversitet Darla Evangjeli
 
Projekt biologjie:Ushqimi dhe shendeti.
Projekt biologjie:Ushqimi dhe shendeti.Projekt biologjie:Ushqimi dhe shendeti.
Projekt biologjie:Ushqimi dhe shendeti.enerisaloti
 
Kimia ne jeten e perditshme
Kimia ne jeten e perditshme Kimia ne jeten e perditshme
Kimia ne jeten e perditshme Orven Bregu
 
Trashegimia natyrore e kulturore ne trevat Shqipetare
Trashegimia natyrore e kulturore ne trevat ShqipetareTrashegimia natyrore e kulturore ne trevat Shqipetare
Trashegimia natyrore e kulturore ne trevat ShqipetareKe Keiss
 
Lidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjeraLidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjeraResli Zaganjori
 
Shqipëria në vitet 1912 1939
Shqipëria në vitet 1912 1939Shqipëria në vitet 1912 1939
Shqipëria në vitet 1912 1939Shkollë
 

Was ist angesagt? (20)

Ndotja e Ajrit
Ndotja e AjritNdotja e Ajrit
Ndotja e Ajrit
 
Mjedisi yne-lokal
Mjedisi yne-lokalMjedisi yne-lokal
Mjedisi yne-lokal
 
Lidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjeraLidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjera
 
Mjedisi
MjedisiMjedisi
Mjedisi
 
PROJEKT-Ndotja e Mjedisit
PROJEKT-Ndotja e MjedisitPROJEKT-Ndotja e Mjedisit
PROJEKT-Ndotja e Mjedisit
 
NDOTJA E MJEDISIT NE SHKALLE GLOBALE
NDOTJA E MJEDISIT NE SHKALLE GLOBALENDOTJA E MJEDISIT NE SHKALLE GLOBALE
NDOTJA E MJEDISIT NE SHKALLE GLOBALE
 
provimi i lirimit 2018 matematike
provimi i lirimit 2018 matematikeprovimi i lirimit 2018 matematike
provimi i lirimit 2018 matematike
 
Cfare ishte Holokausti?
Cfare ishte Holokausti?Cfare ishte Holokausti?
Cfare ishte Holokausti?
 
Llojet e teksteve
Llojet e teksteveLlojet e teksteve
Llojet e teksteve
 
Trupat gjeometrik
Trupat gjeometrikTrupat gjeometrik
Trupat gjeometrik
 
Provimi i lirimit 2015 Anglishtja
Provimi i lirimit 2015 AnglishtjaProvimi i lirimit 2015 Anglishtja
Provimi i lirimit 2015 Anglishtja
 
Hebrenjtë në Shqipëri
Hebrenjtë në ShqipëriHebrenjtë në Shqipëri
Hebrenjtë në Shqipëri
 
matematika projekt
matematika projektmatematika projekt
matematika projekt
 
Ndotja e mjedisit dhe ndikimi i saj në biodiversitet
Ndotja e mjedisit dhe ndikimi i saj në biodiversitet Ndotja e mjedisit dhe ndikimi i saj në biodiversitet
Ndotja e mjedisit dhe ndikimi i saj në biodiversitet
 
Naim Frasheri
Naim FrasheriNaim Frasheri
Naim Frasheri
 
Projekt biologjie:Ushqimi dhe shendeti.
Projekt biologjie:Ushqimi dhe shendeti.Projekt biologjie:Ushqimi dhe shendeti.
Projekt biologjie:Ushqimi dhe shendeti.
 
Kimia ne jeten e perditshme
Kimia ne jeten e perditshme Kimia ne jeten e perditshme
Kimia ne jeten e perditshme
 
Trashegimia natyrore e kulturore ne trevat Shqipetare
Trashegimia natyrore e kulturore ne trevat ShqipetareTrashegimia natyrore e kulturore ne trevat Shqipetare
Trashegimia natyrore e kulturore ne trevat Shqipetare
 
Lidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjeraLidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjera
 
Shqipëria në vitet 1912 1939
Shqipëria në vitet 1912 1939Shqipëria në vitet 1912 1939
Shqipëria në vitet 1912 1939
 

Ähnlich wie Udhezues-matematika-9

Matematika12 130922140944-phpapp01
Matematika12 130922140944-phpapp01Matematika12 130922140944-phpapp01
Matematika12 130922140944-phpapp01Arbenng
 
Mesim plotësues dhe shtues kl.III 201718
Mesim plotësues dhe shtues kl.III  201718Mesim plotësues dhe shtues kl.III  201718
Mesim plotësues dhe shtues kl.III 201718Zekirja Latifi
 
PLANIFIKIMI LËNDOR KURRIKULA E RE byirenakotobelli
PLANIFIKIMI LËNDOR KURRIKULA E RE byirenakotobelliPLANIFIKIMI LËNDOR KURRIKULA E RE byirenakotobelli
PLANIFIKIMI LËNDOR KURRIKULA E RE byirenakotobelliirena kotobelli
 
Libër mësuesi-fizika-10
Libër mësuesi-fizika-10Libër mësuesi-fizika-10
Libër mësuesi-fizika-10Luan Hykaj
 
Ditari ne vite by irenakotobelli
Ditari ne vite by irenakotobelliDitari ne vite by irenakotobelli
Ditari ne vite by irenakotobelliirena kotobelli
 
Plani i ores realizimi i trajnimit
Plani i ores  realizimi i trajnimitPlani i ores  realizimi i trajnimit
Plani i ores realizimi i trajnimitBeni Beti
 
Kjo është Matematika_ime_2_Plus_vetëm_esencë
Kjo është Matematika_ime_2_Plus_vetëm_esencëKjo është Matematika_ime_2_Plus_vetëm_esencë
Kjo është Matematika_ime_2_Plus_vetëm_esencëFezga Muci
 
Zbatime te exel-it ne fusha te ndryshme
Zbatime te exel-it ne fusha te ndryshmeZbatime te exel-it ne fusha te ndryshme
Zbatime te exel-it ne fusha te ndryshmeExhitah Vasija
 
Plani mesimor vjetor hysen doko
Plani mesimor vjetor   hysen dokoPlani mesimor vjetor   hysen doko
Plani mesimor vjetor hysen dokoHysen Doko
 

Ähnlich wie Udhezues-matematika-9 (9)

Matematika12 130922140944-phpapp01
Matematika12 130922140944-phpapp01Matematika12 130922140944-phpapp01
Matematika12 130922140944-phpapp01
 
Mesim plotësues dhe shtues kl.III 201718
Mesim plotësues dhe shtues kl.III  201718Mesim plotësues dhe shtues kl.III  201718
Mesim plotësues dhe shtues kl.III 201718
 
PLANIFIKIMI LËNDOR KURRIKULA E RE byirenakotobelli
PLANIFIKIMI LËNDOR KURRIKULA E RE byirenakotobelliPLANIFIKIMI LËNDOR KURRIKULA E RE byirenakotobelli
PLANIFIKIMI LËNDOR KURRIKULA E RE byirenakotobelli
 
Libër mësuesi-fizika-10
Libër mësuesi-fizika-10Libër mësuesi-fizika-10
Libër mësuesi-fizika-10
 
Ditari ne vite by irenakotobelli
Ditari ne vite by irenakotobelliDitari ne vite by irenakotobelli
Ditari ne vite by irenakotobelli
 
Plani i ores realizimi i trajnimit
Plani i ores  realizimi i trajnimitPlani i ores  realizimi i trajnimit
Plani i ores realizimi i trajnimit
 
Kjo është Matematika_ime_2_Plus_vetëm_esencë
Kjo është Matematika_ime_2_Plus_vetëm_esencëKjo është Matematika_ime_2_Plus_vetëm_esencë
Kjo është Matematika_ime_2_Plus_vetëm_esencë
 
Zbatime te exel-it ne fusha te ndryshme
Zbatime te exel-it ne fusha te ndryshmeZbatime te exel-it ne fusha te ndryshme
Zbatime te exel-it ne fusha te ndryshme
 
Plani mesimor vjetor hysen doko
Plani mesimor vjetor   hysen dokoPlani mesimor vjetor   hysen doko
Plani mesimor vjetor hysen doko
 

Mehr von Ferit Fazliu

Evaluation of dynamic_behavior_of_waffle_slab_to_g (1)
Evaluation of dynamic_behavior_of_waffle_slab_to_g (1)Evaluation of dynamic_behavior_of_waffle_slab_to_g (1)
Evaluation of dynamic_behavior_of_waffle_slab_to_g (1)Ferit Fazliu
 
Drejtoria e te ardhurave, taksa e prones
Drejtoria e te ardhurave, taksa e pronesDrejtoria e te ardhurave, taksa e prones
Drejtoria e te ardhurave, taksa e pronesFerit Fazliu
 
Liber mesuesi-kimi11-me-zgjedhje-te-detyruar
Liber mesuesi-kimi11-me-zgjedhje-te-detyruarLiber mesuesi-kimi11-me-zgjedhje-te-detyruar
Liber mesuesi-kimi11-me-zgjedhje-te-detyruarFerit Fazliu
 
Permbledhja e pergjithshme pzhu
Permbledhja e pergjithshme pzhu Permbledhja e pergjithshme pzhu
Permbledhja e pergjithshme pzhu Ferit Fazliu
 
86 2009-fletore zyrtare fshzh ekstrakt
86 2009-fletore zyrtare fshzh ekstrakt86 2009-fletore zyrtare fshzh ekstrakt
86 2009-fletore zyrtare fshzh ekstraktFerit Fazliu
 
171 standardetenjohura
171 standardetenjohura171 standardetenjohura
171 standardetenjohuraFerit Fazliu
 
2 perceptimi pamor2
2 perceptimi pamor22 perceptimi pamor2
2 perceptimi pamor2Ferit Fazliu
 
Raporti vjetor-per-vitin-2012
Raporti vjetor-per-vitin-2012Raporti vjetor-per-vitin-2012
Raporti vjetor-per-vitin-2012Ferit Fazliu
 
Vsm i-pzhk-prishtine
Vsm i-pzhk-prishtineVsm i-pzhk-prishtine
Vsm i-pzhk-prishtineFerit Fazliu
 
Vizita e delegacionit te komunes se Prishtines
Vizita  e  delegacionit  te komunes  se  PrishtinesVizita  e  delegacionit  te komunes  se  Prishtines
Vizita e delegacionit te komunes se PrishtinesFerit Fazliu
 
Bimet mjekesore shq
Bimet mjekesore shqBimet mjekesore shq
Bimet mjekesore shqFerit Fazliu
 
Sekreti i-studimit-te-botes
Sekreti i-studimit-te-botesSekreti i-studimit-te-botes
Sekreti i-studimit-te-botesFerit Fazliu
 
Baudokumentation bzr altstätten
Baudokumentation bzr altstättenBaudokumentation bzr altstätten
Baudokumentation bzr altstättenFerit Fazliu
 
03 -ploca_krovista_-_fert_strop
03  -ploca_krovista_-_fert_strop03  -ploca_krovista_-_fert_strop
03 -ploca_krovista_-_fert_stropFerit Fazliu
 

Mehr von Ferit Fazliu (20)

Evaluation of dynamic_behavior_of_waffle_slab_to_g (1)
Evaluation of dynamic_behavior_of_waffle_slab_to_g (1)Evaluation of dynamic_behavior_of_waffle_slab_to_g (1)
Evaluation of dynamic_behavior_of_waffle_slab_to_g (1)
 
Dyert e oborrit
Dyert e oborritDyert e oborrit
Dyert e oborrit
 
Manuali al (1)
Manuali al (1)Manuali al (1)
Manuali al (1)
 
Drejtoria e te ardhurave, taksa e prones
Drejtoria e te ardhurave, taksa e pronesDrejtoria e te ardhurave, taksa e prones
Drejtoria e te ardhurave, taksa e prones
 
Besiana
Besiana   Besiana
Besiana
 
Stairs
StairsStairs
Stairs
 
Liber mesuesi-kimi11-me-zgjedhje-te-detyruar
Liber mesuesi-kimi11-me-zgjedhje-te-detyruarLiber mesuesi-kimi11-me-zgjedhje-te-detyruar
Liber mesuesi-kimi11-me-zgjedhje-te-detyruar
 
Strategjia 1-3
Strategjia 1-3Strategjia 1-3
Strategjia 1-3
 
Permbledhja e pergjithshme pzhu
Permbledhja e pergjithshme pzhu Permbledhja e pergjithshme pzhu
Permbledhja e pergjithshme pzhu
 
86 2009-fletore zyrtare fshzh ekstrakt
86 2009-fletore zyrtare fshzh ekstrakt86 2009-fletore zyrtare fshzh ekstrakt
86 2009-fletore zyrtare fshzh ekstrakt
 
Soil mechanics
Soil mechanicsSoil mechanics
Soil mechanics
 
171 standardetenjohura
171 standardetenjohura171 standardetenjohura
171 standardetenjohura
 
2 perceptimi pamor2
2 perceptimi pamor22 perceptimi pamor2
2 perceptimi pamor2
 
Raporti vjetor-per-vitin-2012
Raporti vjetor-per-vitin-2012Raporti vjetor-per-vitin-2012
Raporti vjetor-per-vitin-2012
 
Vsm i-pzhk-prishtine
Vsm i-pzhk-prishtineVsm i-pzhk-prishtine
Vsm i-pzhk-prishtine
 
Vizita e delegacionit te komunes se Prishtines
Vizita  e  delegacionit  te komunes  se  PrishtinesVizita  e  delegacionit  te komunes  se  Prishtines
Vizita e delegacionit te komunes se Prishtines
 
Bimet mjekesore shq
Bimet mjekesore shqBimet mjekesore shq
Bimet mjekesore shq
 
Sekreti i-studimit-te-botes
Sekreti i-studimit-te-botesSekreti i-studimit-te-botes
Sekreti i-studimit-te-botes
 
Baudokumentation bzr altstätten
Baudokumentation bzr altstättenBaudokumentation bzr altstätten
Baudokumentation bzr altstätten
 
03 -ploca_krovista_-_fert_strop
03  -ploca_krovista_-_fert_strop03  -ploca_krovista_-_fert_strop
03 -ploca_krovista_-_fert_strop
 

Udhezues-matematika-9

  • 1. Botime shkollore Albas Shefik Sefa Libër për mësuesin “Matematika 9” Përgatitur nga:
  • 2. Miratuar nga Ministria e Arsimit dhe Shkencës Botues: Latif AJRULLAI Rita PETRO Redaktore: Sevi LAMI Redaktore letrare: Vasilika DINI Arti grafik: Emanuela LUMANI © Albas, Tiranë 2008 Ribotim, 2010 Të gjitha të drejtat janë të rezervuara Shtëpia Botuese Albas Në Tiranë: Rr. Budi, Pall. “Classic Construction”, zyra nr. 2 Tel/Fax: ++ 355 4 2379184 e-mail: albas_tr@yahoo.com Në Tetovë: Rr.Ilindenit, nr.105 Tel: 044 344047 e-mail: albas_te@yahoo.com Në Prishtinë: Rr.Eqrem Çabej, nr.47 Tel: 038 5457139 e-mail: albas_pr@yahoo.com
  • 3. HYRJE Libri për mësuesin Matematika 9 është hartuar si udhëzues për të zhvilluar orët mësimore, me qëllim që të zbërthehen sa më qartë objektivat mësimorë dhe të ndihmohen nxënësit të zotërojnë aftësitë matematikore të domosdoshme për nivelet e mëtejshme të shkollimit. Në këtë udhëzues mësuesit do të gjejnë për çdo kapitull objektivat e arritjeve (OA). Meqenëse temat në tekstin e nxënësit Matematika 9 janë hartuar duke u paraprirë nga objektivat e programit, këtu mësuesi/ja do të gjejë objektivat specifikë që renditen duke ndjekur të parat. Matematika 9 i është përmbajtur me korrektësi programit, prandaj mësuesit në hartimin e objektivave duhet të mbështeten te teksti. Kujdes të bëhet me ushtrimet e vështira! Për të qenë më pak teorik, krahas planit mësimor, i ndërtuar sipas modelit të ri, do të gjeni për çdo temë tri nivelet e objektivave dhe materialin e përzgjedhur, që duhet në çdo orë mësimi për realizimin e këtyre objektivave. Mbështetur në udhëzimin e Qendrës së Trajnimit dhe Kualifikimit për Arsimin (Grupi qendror për formulimin e objektivave të kapitujve), në hartimin e objektivave janë përdorur tri nivele: I. Bazë, II. Mesatar, III. I Lartë. Në këtë udhëzues, i cili nuk merr përsipër të jetë ditar i mirëfilltë, do të gjeni shumë materiale që përdoren sot në ditar, si metoda mësimdhënieje (që mbeten në kuadër të rekomandimeve), ashtu edhe mjete ndihmëse. Te këto të fundit, nëse ato përgatiten me kujdes mund të shkëputim plot të tilla për pasurimin e kabinetit të matematikës. Materiali i ndërtuar si udhëzues për çdo temë, ku shpesh theksohet: kujdes, “kjo duhet theksuar”, tema mund të ndahet në dy pjesë etj. Te temat ku është parashikuar testi do të gjeni skemën e qortimit, pra do të gjeni vlerësimin e nxënësve hap pas hapi në çdo ushtrim të testit. Ditari mund të bëhet sipas strukturës mësimore ERR (Evokimi, Realizimi i kuptimit dhe Reflektimi), ose siç quhet ndryshe PNP, (Punë përgatitore, Ndërtimi i njohurive dhe Përforcimi). Në këtë libër mësuesi janë planifikuar 130 orë mësimi, të cilat mund të realizohen sipas kësaj renditjeje. Plani sintetik dhe analitik që është dërguar me tekstin në shkolla, duhet të pasurohet me objektivat specifikë për çdo orë mësimi. Që të jeni më të suksesshëm me nxënësit, është mirë të ndiqen me kujdes këto udhëzime.
  • 11. 11 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Mësimi 1.1 Tema: Numrat natyrorë, veprimet me to Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë veprimet me numrat natyrorë. Të formulojë vetitë e veprimeve me numrat natyrorë. Të formulojë kuptimin e numrave të thjeshtë. II. Të ilustrojë në boshtin numerik vetitë e mbledhjes së numrave natyrorë. Të gjejë PMP-në (SHVP-në) e dy numrave duke u mbështetur te rregulla praktike. III. Të vërtetojë duke i ilustruar në boshtin numerik vetitë e mbledhjes. Të gjejë PMP-në (SHVP-në) për më shumë se dy numra duke u mbështetur te përkufizimi. Metoda që rekomandohet: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesi grafik. 3. Punë individuale. Zhvillimi i temës së re: 1. Shkruani një numër natyror. Shkruani tre numra natyrorë të njëpasnjëshëm. Këtu mësuesi të tregohet i kujdesshëm, sepse nxënësi mund të gabojë, ai mund të shkruajë p.sh.: 3, 5, 8. Mësuesi/ja do të kërkojë numra të tillë, si: 3, 4, 5. Këtu ai/ajo kontrollon nxënësit si punojnë. - Pse themi se numrat 3, 4, 5 janë të njëpasnjëshëm? Nxënësit përgjigjen: sepse 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1. Mund të ndodhë që nxënësi të shprehet: Sepse 4 është më e madhe se 3 dhe 5 më e madhe se 4. U kërkohet nxënësve të paraqitin në boshtin numerik këta numra. 2. Veprimet me numrat natyrorë. Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Shprehni numrin 5 si shumë e dy numrave: 5 = 4 + 1, ose 5 = 3 + 2 Ndaluni te 5 = 2 + 3. Dimë se 3 = 1 + 1 + 1, prandaj themi se 5 = 2 + 1 + 1 + 1 Mësuesi/ja mund të kërkojë nga nxënësit përkufizimin e shumës së numrit 2 me numrin 3. Nëse nxënësit nuk arrijnë të shprehen saktë ndërhyn mësuesi/ja: Shuma e numrit 2 me 3 është numri që fitohet nga numri 2, duke shtuar në mënyrë të njëpasnjëshme 3 njësi. Kërko ilustrimin në boshtin numerik. Nxënësit shohin përkufizimin në tekst. KREU I KUPTIMI I NUMRIT Mjetet ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra.
  • 12. 12 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Paraqiten në boshtin numerik: Shuma 3 + 2 Shuma 3 + 0 Shuma (3 + 2) + 2, 3 + (2 + 2) Pas këtyre ilustrimeve do të formulohen vetitë duke kërkuar më parë mendimin e nxënësve. Pas formulimit të vetive me nxënësit përgatitet vërtetimi i tyre. 3. Në të njëjtën mënyrë (duke u mbështetur në tekst) përgatiten përkufizimet e veprimeve të tjera. 4. PMP-ja dhe SHVP-ja. Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: - A mund të shkruhen numrat 3, 5 si prodhim faktorësh të ndryshëm nga 1? (Jo) - Po numrat 6 dhe 18? (6 = 2 • 3, 18 = 2 • 32 ) Numrat 2, 3, 5 etj., do t’i quajmë numra të thjeshtë. Nxënësit shkruajnë dy numra të thjeshtë (7, 11, 13...). Në fund mësuesi/ja duhet të tregojë rregullën praktike për të gjetur PMP-në dhe SHVP-në. Këtu ka rëndësi të theksohet formula SHVP (m, n) = m n PMP m n • ( , ) Punë e pavarur. Kjo mund të përdoret dhe në formën e minitestit. Plotësoni tabelën në tekst. Shkruani 7 si shumën e dy numrave të njëpasnjëshëm. Gjeni PMP-në dhe SHVP-në e numrave 42, 63 Gjeni PMP-në dhe SHVP-në e 288, 360, 432 Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 3/a, 5/d, 9/a, faqe 12. Mësimi 1.2 Tema: Numrat racionalë. Bashkësia e numrave racionalë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë numrat racionalë. Të shënojë në boshtin numerik të paktën dy numra racionalë. Të përkufizojë bashkësinë e numrave racionalë. II. Të shkruajë si numra dhjetorë të paktën dy thyesa. Të shkruajë një numër thyesor si numër dhjetor. III. Të vërtetojë të paktën dy vetitë e numrave racionalë. Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesit grafikë. 3. Punë individuale. Mjetet ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra.
  • 13. 13 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Zhvillimi i temës së re: 1. Në fillim mësuesi/ja shkruan në tabelë këta numra: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... dhe pyet nxënësit: - Si emërtohen këta numra? Paraqitini në boshtin numerik. - A ka kuptim shënimi ? - Po − ? Përmendni disa veti të thyesave, më pas paraqitini në boshtin numerik thyesat dhe . Mësuesi/ja kërkon përkufizimin, i cili gjendet në tekstin e nxënësit. 2. Shkruani numrin e plotë -3 në formën e numrit racional. Theksohet se: për çdo m z m m ∈ ⇒ = 1 ,( )1∈N , pra çdo numër i plotë është racional, domethënë Z Q⊂ (bashkësia e numrave të plotë është pjesë e bashkësisë së numrave racionalë). 3. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që të shkruajnë 4 thyesa, një me emërues 2, një me emërues 5, një me emërues 10 dhe një me emërues çfarëdo, sipas dëshirës (jo 2, 5, 10). P.sh.: U kërkohet nxënësve të bëjnë pjesëtimet 3 : 2; 4 : 5; 11 : 10; 4 : 3. Një nxënës shkruan në tabelë: 15= , , 0 8= , , 11 10 11= , , 1= , ..... Duhet theksuar se çdo numër racional (thyesë) shkruhet si numër me presje dhjetore dhe anasjellas. (shiko Matematika 9, faqe 14) Kujdes duhet pasur në zgjedhjen e thyesave (të jenë sa më të thjeshta që të dalë qartë ideja). Punë e pavarur. Nxënësit shkruajnë tre numra racionalë. - Cilët janë numra racionalë? -3, − , 0,15, −0 2, Shkruani si thyesa numrat: 0,15; ; -12; ; 12 1 + . Shkruani si numra me presje thyesat: 12 ; ; . Gjeni x që: x + 1 dhe të paraqitin të njëjtin numër racional. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2/a, 6, faqe14-15. − xx‘ II I II 11 I I I I I I I 0 − −0 2, 11 10 , , , 1 +
  • 14. 14 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Mësimi 1.3 Tema: Numrat irracionalë. Bashkësia e numrave realë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e numrave irracionalë. Të shkruajë të paktën dy numra irracionalë. Të tregojë lidhjen ndërmjet bashkësive N, Z, Q, R, duke përdorur kuptimin e nënbashkësisë. II. Të paraqesë në boshtin numerik të paktën dy numra irracionalë. III. Të vërtetojë se ekzistojnë numrat irracionalë (të paktën në dy raste). Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Diagrami i Venit. 3. Ilustruesi grafik. 4. Puna individuale. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: - Pse themi se = ; 0 16 0 , ,= ? Gjeni ; . - A mund të themi se 3 1= , ? Po 3 1= , ? Këtu është e rëndësishme që mësuesi/ja të tregojë se ,17 3 1, , sepse ( , )17 dhe( , )18 për të njëjtat arsye. 17 17, , 1 3 1, , 17320 3 17321, , Mësuesi/ja duhet të theksojë përfundimin se është një numër që nuk mund të paraqitet në formën e një thyese m n (thyesë e pathjeshtueshme). Kujdes! Te faqja 16 korrigjo n = 3l, rreshti i dytë dhe i tretë. Më pas kalohet te përkufizimi 1: Bashkësinë e numrave irracionalë do ta shënojmë me I. Bashkësia e numrave realë quhet bashkësia R = Q U I Mësuesi/ja duhet të kërkojë nga nxënësit: - Cilat nga pohimet janë të sakta? N Q Z N Z R Q I Q I I R⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ∩ = ⊂, , , , ,ϕ Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Kompas. 4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. Çdo numër që nuk paraqitet në formën e një thyese, m n ku m Z n N∈ ∈, quhet numër irracional (joracional).
  • 15. 15 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të paraqitin me anë të diagramit të Venit lidhjen ndërmjet N, Q, I, R. U kërkohet nxënësve të paraqitin në boshtin numerik. Çdo numër real paraqitet në boshtin numerik me një pikë të vetme. Mësuesi/ja jep për punë të pavarur: - Cilat nga shënimet janë të sakta? ⊄ ⊂ ⊂ ∩ =Z Z I I Q R Q I, , , Tregoni se nuk është numër racional. Paraqitni në boshtin numerik 3. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/b, 2, faqe 16. Mësimi 1.4 Tema: Nënbashkësia. Intervalet, segmentet numerike Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e bashkësive duke e paraqitur me anë të ndryshoreve. Të formulojë vetitë e përfshirjes. Të shkruajë me simbole intervalet numerike. II. Të paraqesë në boshtin numerik intervalet numerike. III. Të vërtetojë vetitë e përfshirjes (së paku vetinë e kalimit). Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesit grafikë. 3. Diagrami i Venit. 4. Punë individuale. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë dy bashkësi numerike. P.sh.: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dhe B = {2, 4, 6, 8, 10}. Pyeten nxënësit: - A mund të themi se B-ja është pjesë e A-së? E njëjta kërkesë është për A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10}. - A mund të përkufizoni kuptimin e nënbashkësisë? Kujdes! Këtu ka rëndësi përkufizimi që paraqitet me anë të implikimit: Më pas kalohet te vetitë e përfshirjes. E domosdoshme është të vërtetohet vetia e kalimit. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. 4. Tabela ndihmëse të parapërgatitura (paraqitja e intervaleve numerike në bosht). ( ) (B A⊂ ⇔ ∈ ⇒ ∈çdo x B x A) N Z Q I R I
  • 16. 16 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Skematikisht kjo veti paraqitet me diagramin e Venit. Në këtë moment mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: - Çfarë do të thotë për ju shënimi: R = { X / X Q ose X I} (kujto bashkësinë e numrave realë) A x R x= ∈ − ≤{ / } Paraqite në boshtin numerik. Për më tepër vazhdo si te teksti i nxënësit. Mësuesi/ja duhet të theksojë rubrikat Kujdes, që janë te teksti dhe për çdo hap të ftojë nxënësit në paraqitjen e shembujve. Rikujtohet se rubrika Mbaj mend duhet parë me vëmendje në çdo orë mësimi. Pas kësaj kalohet në punë të pavarur. Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të shkruajnë në formën: A = {x R / a x b}∈ ≤ ≤ dhe të paraqesin në boshtin numerik bashkësitë: ]-3; -1[, [0; 5], ]-11; 3[ Shkruani në formën e intervaleve (segmenteve) numerike bashkësitë: A B CA B dhe B C A C⊂ ⊂ ⇒ ⊂Nëse I B 2x 0 I I II I A = {x N / x }∈ A = {x R / - x 5}∈ ≤ ≤ B = {x R / - x 2}∈ C = {x R / -30 x 32}∈ ∈ ∈ ! Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 3, 4, faqe 18. Për nxënësit e nivelit të lartë: Vërtetoni nëse A B⊂ dhe B A⊂ , atëherë A = B. Mësimi 1.5 Tema: Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësitë plotësuese Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë prerjen (bashkimin) e dy bashkësive duke i paraqitur me anë të ndryshorit. Të formulojë vetitë. II. Të gjejë prerjen e dy bashkësive të dhëna. Të gjejë bashkimin e dy bashkësive të dhëna. Të paraqesë në boshtin numerik prerjen (bashkimin) e dy intervaleve numerike. Të gjejë plotësin e një bashkësie në lidhje me një bashkësi të dhënë. III. Të vërtetojë vetitë e prerjes dhe bashkimit të bashkësive. Të vërtetojë të paktën njërën veti të bashkësive plotësuese.
  • 17. 17 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në tabelë shkruan dy bashkësi numerike: P.sh.: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} Kërkohen nga nxënësi elementet e përbashkëta të A-së dhe B-së. Po t’i paraqitim me diagramin e Venit, vihet në dukje se Këtu jepet përkufizimi i prerjes së dy bashkësive. Më pas, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të gjejnë prerjen në dy rastet e tjera. P.sh.: Gjeni A B∩ , nëse A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {3, 4, 5, 7, 8} dhe B C∩ nëse C = {4, 5, 9, 10}. Në këtë moment mësuesi/ja përmend vetitë e prerjes: 1. A ∩ ϕ 2. A A A∩ = 3. A B B A∩ = ∩ të cilat janë rrjedhime të përkufizimit. Mësuesi/ja shtron këto pyetje për nxënësit: Te bashkësitë A = {1, 2, 3, 4} dhe B = {3, 4, 5, 6, 7}. - Cilat elemente të A-së nuk janë në B? - Cilat elemente të B-së nuk janë në A? Shënoni me D bashkësinë D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. - Çfarë mund të thoni për D-në? Kujdes! Shumë nxënës përgjigjen: “Bashkësia D ka elementet e bashkësisë A dhe të bashkësisë B”, kjo përgjigje nuk është e saktë, sepse lidhëza “dhe” është përdorur te kuptimi i prerjes së bashkësive. Përgjigjja e saktë është: “Bashkësia D ka për elemente ato që janë në bashkësinë A ose në bashkësinë B”. Mësuesi/ja duhet të ndërhyjë në rastin kur nxënësit nuk shprehen saktë. 1 2 3 4 6 5 x x x x x x ∈A dhe ∈B dhe ∈A e . ∈B Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. 4. Tabela që tregojnë prerjen, bashkimin dhe plotësin e bashkësive (me ngjyra). A B A B A B A B A E A E Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë. 2. Ilustruesit grafikë. 3. Diagrami i Venit. 4. Punë individuale.
  • 18. 18 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Pas formimit të përkufizimit mësuesi/ja kalon në shembuj dhe në formimin e vetive: 1. A A∪ =ϕ 2. A A A∪ = 3. Punë e pavarur. Jepet A = −] ; ] , Gjeni A B∪ dhe Zgjidhje: Shënoni në B elementet e sipërpërmendura. Mësuesi/ja duhet të theksojë për nxënësit se vetëm kur bashkësia mund të flasim për plotës të A-së në lidhje me E-në. Më pas, punohet me vetitë duke vërtetuar njërën prej tyre. P.sh.: A EE A ∪ ⊂ = (kujdes A E⊂ ). Vërtetim: 1. E zëmëse, ose 2. E zëmë se x E∈ (meqenëse A E⊂ ) ⇒ ( )x A ose x A∈ ∉ , ose x x AE A E A ∈⊂ ⇒ ∈ ∪ ⊂ Këto vërtetime tregojnë se Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/b (d/h për nxënës të nivelit të lartë), 2 dhe 3. Mësuesi/ja në tabelë shkruan bashkësitë: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dhe A = {1, 2, 3, 4} pyet nxënësit. - Cilat elemente të E-së nuk janë në A? A B B A∪ = ∪ B = − ∞] ; ] A B∩ A B∩ = ] ; ] A B∪ = − ∞] ; ] I III I I I I I 0-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7 I A B A B A B-oo xx’ A E⊂ A A E Ilustrohet me diagramin e Venit. Shënohet ⊂E A (dhe jo ⊂A E ). Këtu jepet përkufizimi. x A x AE A ∈ ∪ ⊂ ⇒ ∈ x x A ose x E x A x EE A ∈⊂ ⇒ ∈ ∈ ∉ ⇒ ∈( / ) A EE A ∪ ⊂ =
  • 19. 19 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Mësimi 1.6 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të gjejë PMP-në dhe SHVP-në e dy numrave njëshifrorë. Të tregojë lidhjen ndërmjet bashkësive N, Z, Q, R. II. Të gjejë PMP-në për dy numra 2, 3, 4... shifrorë. Të gjejë SHVP-në për dy numra 2, 3, 4... shifrorë. Të gjejë bashkimin (prerjen) e bashkësive. III. Të gjejë numrin e elementeve të bashkimit të dy bashkësive. Të provojë formulën SHVP (m, n) • PMP (m, n) = m • n duke diskutuar me shembuj. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela për gjetjen e PMP-së në mënyrë skematike. (P.sh.: PMP (192; 80)). Herësi 2 2 2 Veprimi 16 Mbetja 192 : 160 80 : 64 32: 32 32 16 0 Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustrues me tabela. 3. Punë individuale. 4. Punë në grup. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Kujtoni përkufizimin e PMP (SHVP) të dy numrave: m; n. Gjeni PMP (4; 6), SHVP (4; 6). Gjeni PMP (54; 162) duke zbatuar skemën e paraqitur te tabela. Gjeni PMP (25; 30; 60) (Shënim: në fillim gjeni PMP (25; 30). Gjeni SHVP (54; 162) dhe provoni se PMP (54; 162) • SHVP (54; 162) = 54 • 162 ⇒ SHVP (54; 162) = Ndërhyn mësuesi/ja duke theksuar se: ShVP m n m n PMP m n ( ; ) ( ; ) = • Gjeni SHVP (144; 216) duke përdorur rregullimin e tabelës dhe formulën (1). Mësuesi/ja në tabelë të zezë shkruan bashkësitë: A = {1, 4, 5, 6, 8, 11, 12}; B = {2, 4, 8, 10}; C = {1, 4, 8, 11} 162 162 • PMP ( ; ) PMP (192 ; 80) = 16 (1)
  • 20. 20 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Gjeni: Krahasoni: Gjeni: Krahasoni: Nga dhe tregoni se: n A B n A n B n A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ (2) Duke zbatuar formulën (2) gjeni n B C( )∪ . Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të punojnë ushtrimin 6. - Si do t`i ktheni në numra dhjetorë thyesat: ; ? Ktheni në thyesa 0,53 dhe 0,5 . Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1b/c, 4, 7/3, 8/3. Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë përkufizimin e rrënjës aritmetike me tregues Të shkruajë përkufizimin e fuqisë me eksponent racional. II. Të shkruajë vetitë e fuqive me eksponent racional, duke zbatuar vetitë e rrënjëve. Të shkruajë një rrënjë në formën e fuqisë, në të paktën dy raste. (P.sh.: ; a c −1 etj.) III. Të vërtetojë të paktën dy nga vetitë e fuqive. Të shkruajë si fuqi rrënjët e tilla, si: a b dhe anasjellas. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela në të cilat janë shkruar formula (p.sh.: a am n mn/ = etj.) Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: a. Gjeni: = ; = ; Kujdes! Kujtoni përkufizimin e rrënjës katrore. Duhet të kujdeseni që ajo të jetë numër pozitiv (marrëveshja) dhe se ekziston vetëm për numra jonegativë. b. A mund të themi se: = , sepse 23 = 8 x x 16 = ⇔ = ± d.m.th. 16 = , sepse 24 = 16. Gjeni ⋅ dhe krahasoni me Mësimi 1.7 Tema: Fuqitë me eksponent racional. Lidhja e fuqive me rrënjët. Vetitë A B B C A B C A B C∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩; ; ( ) , ( ) ( ) ( )A B C me A B C∩ ∩ ∩ ∩ A B B C A B C A B C∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪; ; ( ) , ( ) ( ) ( )A B C me A B C∪ ∪ ∪ ∪ n N n∈ ≥, Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrues me tabela. 3. Punë individuale. 0 1, = ⋅ A B∩ A B∪
  • 21. 21 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të shkruajnë vetinë që rrjedh nga shembulli i mësipërm. Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: - Pse 16 = (sepse 24 = 16), d.m.th. 16 = = ose Kështu: = = . - A mund të shkruajmë se = = = ? - Po 12 12 = = = ? Vini re me kujdes! Këtu shkruani përkufizimin mbi fuqinë me eksponent racional. Pas shembujve kalohet te vetitë. Këtu u jepet nxënësve punë e pavarur, punoni ushtrimet 1 dhe 2 pas rubrikës Mbaj mend. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/c, 2/b, faqe 24. Mësimi 1.8 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë rrënjët si fuqi me eksponent racional. Të shkruajë fuqitë si rrënjë. II. Të tregojë zgjidhjet e ekuacioneve të fuqisë më të lartë se e para të formës, x 1 = − III. Të thjeshtojë shprehje me rrënjë, si p.sh.: x10 ; ( )− 10 a . Të shkruajë rrënjët me të njëjtin tregues. Të thjeshtojë shprehje më rrënjë. Të shkruajë rrënjët si fuqi, p.sh. a . Të krahasojë rrënjët p.sh.: me Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula ose model ushtrimi i shkurtër. P.sh. a am n mn/ = etj. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto ekuacione: x2 = 4; x 1 16 = ; x 1 = − ; x16 = -10; x5 = -32; x2 = -0,16; x = si p.sh.: x4 = 256 12 = • • = • • = • • = = Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesi me tabela. 3. Punë individuale.
  • 22. 22 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Mësuesi/ja pyet klasën: - Cilat nga ekuacionet nuk kanë zgjidhje? Pse? Gjeni zgjidhjet e ekuacioneve që kanë një të tillë. Zbuloni veprimin që është kryer te shndërrimi: x x x x x10 10 = = = = • • Thjeshtoni shprehjen: a b a 10 , ( ) , ( )− Jepen , dhe 7115 . Shkruani: 1 1 3 15 15 = = = = • • 1 1 5 15 15 = = = = • • Kështu marrim 15 ; 15 dhe 7115 ose 15 ; 15 ; 7115 . - Cila nga këto është më e madhe? Renditini nga më e madhja deri te më e vogla. Punë e pavarur: Mësuesi/ja jep këto ushtrime: 1. Thjeshtoni: 16 ; ( ) ; ( )− x y . 2. Krahasoni: me ; me 16 ; me ; 3. Shkruani më thjesht: a . Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/c, 4/c, 5 b/c, 6/a, faqe 25.
  • 23. 23 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Skema e qortimit të Testit (faqe 26) Ushtrimi 1: Nxënësi, nëse qarkon 1/d, fiton. (1 pikë) Nëse qarkon 2/a, fiton. (1 pikë) Ushtrimi 2: Nxënësi, nëse paraqet boshtin numerik, fiton. (1 pikë) Nxënësi fiton pikën e dytë nëse paraqet në boshtin numerik numrin 5. Nxënësi fiton pikën e tretë (+1) nëse nga ndarja 5 shton tre (3) ndarje të tjera. Shënim: Nëse një nxënës paraqet direkt figurën, fiton. (2 pikë) Nxënësi fiton pikën e katërt nëse nga ndarja 5 zbret tri ndarje. Ushtrimi 3: Nëse qarkon 2 numra të thjeshtë, fiton. (1 pikë) Nxënësi për çdo çift numrash të qarkuar fiton. (1 pikë) Ushtrimi 4: a. Nëse nxënësi gjen faktorët e thjeshtë të numrit, fiton (1 pikë) p.sh.: 128 ka vetëm 1 faktorë. Nëse shkruajnë numrin si prodhim faktorësh të thjeshtë, fiton (1 pikë) p.sh.: 128 = 27 . b. Nëse gjejnë PMP-në për dy numra, fitojnë. (1 pikë) . Nëse gjejnë PMP-në për tre numra i jepen. (1 pikë) . Nëse gjejnë PMP-në për tre numrat njëherësh. (2 pikë) Njëlloj veprohet edhe për SHVP-në. Ushtrime 5/ a. Shkrimi i numrit periodik (p.sh. , = 2,2222..) 10 = 22.222.. (1 pikë) Shkrimi i numrit në thyesë ( = 20/9) (1 pikë) b. Njëlloj veprohet edhe për numrin 10, . I II I I I I I 0 5 I 8x1 x +3 (5+3=8) I II I I I I I 0 I 8x1 x I I I I I 0 I x1 x52 -3 , ,
  • 24. 24 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Ushtrimi 6: Qarkimi i alternativës së saktë R I Q= ∪ (1 pikë) Ushtrimi 7: a. Shkrimi i [ ; , ] { / , }− = ∈ − ≤ ≤7 1 15x R x (1 pikë) Paraqitja në bosht. (1 pikë) Kjo për secilën bashkësi. b. 1. Paraqitja e bashkësive A, B, C në boshtin numerik si më lart jepet për secilën. (1 pikë) Shkrimi A B∩ ; A B∪ ; B C∩ ; A C∩ jepet për secilën. (1 pikë) 2. Paraqitja në bosht e secilës. (1 pikë) Ushtrimi 9: Shkrimi i secilës fuqi si rrënjë. (1 pikë) Llogaritja e rezultatit për secilën. (1 pikë) P.sh.     =     (1 pikë)     =       =     = (1 pikë) b. Shkrimi i saktë i secilës rrënjë si fuqi. (2 pikë) Nëse nxënësi në ndonjë rast shkruan diçka ndërmjetëse, por jo rezultatin. Shënim: Tek ushtrimi 6 alternativa e saktë është c) R I Q= ∪ (joR I Q⊄ ∪ ). Tek ushtrimi 7/a duhet shënuar −    ; që mungon. Tek ushtrimi 7/b bashkësitë të shënohen: A x R x= ∈ − ≤{ / } , B x R x= ∈ − ∞ ≤{ / , }15 (dhe jo si në tekst) Kujtesë për mësuesin/en! Dihet se nxënësi i di rregullat e mbledhjes dhe të veprimeve të tjera të numrave realë nga klasat e mëparshme. Qëllimi i këtyre temave është që të përafrohet perceptimi i nxënësit, mbi veprimet me numrat realë, me trajtimin e tyre shkencor-matematik. Prandaj, në këto tema është e rëndësishme që mësuesi/ja të këmbëngulë në zbatimin e vetive dhe rregullave, duke i evidentuar në çdo hap të shndërrimeve që kryen gjatë veprimeve me numrat realë. Kreu II VEPRIMET ME NUMRAT REALË Mësimi 2.1 Tema: Mbledhja dhe zbritja e numrave realë. Rregullat P.sh. 1 1 • = • = •a a a do të vlerësohet për çdo rast me 1 pikë. C x R x= ∈ ≥ −{ / } I II I I I I I 0 I 1,5x1 x-7
  • 25. 25 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë vetitë dhe rregullat e mbledhjes. Të mbledhë (zbresë) dy numra duke përmendur rregullën (vetinë). II. Të thjeshtojë shprehje me kllapa që përmbajnë dy veprime. III. Të zgjidhë problema që kthehen në shprehje aritmetike me veprimet e mbledhjes (zbritjes). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Ilustrues grafik (figurat e tekstit, faqe 9). Këto mund të përgatiten nga mësuesi/ja në kartonë. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë bashkësitë: N = {1, 2, 3, 4, .......} Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ......} Z = {...., -3, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ......} Q m n m Z n N= ∈ ∈       / , I x x Q= ∉{ }/ Më pas, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që të emërtojnë këto bashkësi dhe të shkruajnë për secilën nga 2 elemente. - A jeni takuar me numrat ; ; ; ; ;− − −π π etj.? - A mund të tregoni se cilës bashkësi të përmendur më lart i përkasin? Në këtë moment mësuesi/ja pyet: - A dini të mblidhni (zbrisni) dy numra? Mësuesi/ja diskuton me një nxënës duke marrë shembuj dhe kërkon që nxënësi të ilustrojë në boshtin numerik. P.sh. 3 + 2 = 5 Mësuesi/ja ndërhyn me pyetjen: - Çdo të thotë të mbledhësh dy numra? P.sh. numrat 6 me 15. - Çdo të thotë të zbresësh dy numra? P.sh. 15 me 6. Duhet theksuar se mbledhja (+) dhe zbritja (-) ne algjebër identifikohen me të njëjtin emërtim. Mbledhje algjebrike d.m.th. a + b (mbledhje e a me b) dhe a – b (mbledhje e a me të kundërtin e b (-b). Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të gjejnë këto shuma: 1 +     + Metodat që rekomandohen: 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë 2. Ilustruesi grafik (tabela) 3. Punë individuale I I I I I 0 I x1 x53 +2 ; ; ;; + −[ ]+ −( ) ( ) + − +[ ]( ) + −[ ]+( ) + −[ ]+( )
  • 26. 26 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Nxënësit përmendin vetitë e mbledhjes, në rast të kundërt duhet që mësuesi/ja t`i shkruajë saktësisht në tabelë dhe për çdo veti të sjellë shembuj. Kujdes! Është e domosdoshme të kërkojë që nxënësit të përsëritin rregullën e mbledhjes së dy numrave realë. Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Gjeni shumat duke evidentuar vetitë (rregullën): 1. -10,2 – 17,6 = 2. +21,2 + 32,3 – 20,15 = 3. Mësuesi/ja së bashku me nxënësit zgjidh problemën 3, faqe 28. Zgjidhja: 103 + (9 – 15) + (27 – 13) + (8 – 53) = 103 – 6 + 14 – 45 = [(103 – 6) + 14] – 45 = = (97 + 14) – 45 = 111 – 45 = 66 Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2 b/c. Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë përkufizimin e prodhimit (herësit) të dy numrave realë. Të formulojë vetitë e shumëzimit (pjesëtimit). II. Të formulojë rregullat e shumëzimit (pjesëtimit) të numrave realë. Të thjeshtojë shprehje me veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimit. III. Të thjeshtojë shprehje me katër veprimet. Të vërtetojë të paktën njërën veti. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula (P.sh. 1.) m n p q m p n q • = • • Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto shprehje aritmetike: 2 + 2; 2 + 2 + 2; + + + ; - Si mund t’i shkruani ndryshe këto shprehje? (2 + 2 = 2 2, 2 + 2 + 2 = 3 2, + + + = • ) Mësimi 2.2 Tema: Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave realë Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi me tabela. 3. Punë individuale. 4. Punë grupi. 1 0 5 1 0 1 0 8 1, , , , ,− − − + − + −     +       − +     m n p q m q n p m q n p : = • • = • • 2.)
  • 27. 27 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Kujtoni përkufizimin m n. Mësuesi/ja pyet nxënësit: - A janë të barabarta këto shprehje? 2 + 2 + 2; 3 + 3; - A mund të themi se: 3 2 = 2 3? - Cilën veti ju kujton? Formuloni vetitë e shumëzimit të dy numrave të plotë. Kujdes! (-2) 3 = 3(-2) = -2 + (-2) + (-2) (-2)(-3) = 2 3 = 3 2 - Cili rregull zbatohet? Mësuesi/ja këtu ndërhyn për shumëzimin e numrave racionalë. Përkufizim: Prodhim i thyesave m n e p q , quhet thyesa m p n q • • . Vini re tabelën: m n p q m p n q • = • • ≠ ≠ku n 0 dhe q 0 Nxënësit formulojnë vetitë e shumëzimit. Pas përkufizimit merren 2-3 shembuj. Përkufizimi i pjesëtimit: Vini re tabelën m n p q m n q p : = • ≠ ≠ ≠ku n 0, p 0, q 0 Më pas vihen nxënësit në punë të pavarur: Thjeshto: − − − • − 1 3 : ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) − • − − • − • 16 3 1 ; . Gjeni vlerën e y y y • − − ( ) për . Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 b/d, 2/a, 3/b, 7 faqe 30. Mësimi 2.3 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të thjeshtojë shprehje aritmetike të plota me katër veprime. Të thjeshtojë shprehje aritmetike racionale me dy veprime. II. Të thjeshtojë shprehje aritmetike racionale me katër veprime. Të llogaritë vlerën e shprehjeve shkronjore për vlera të dhëna të shkronjave. III. Të thjeshtojë shprehje aritmetike me numra periodikë. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë grupi (individuale). 10 − −           • − −           −    : y =
  • 28. 28 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të kujtojë vetitë e rrënjëve. Të përkufizojë rrënjët e ngjashme. II. Të llogaritë rrënjën e prodhimit dhe të herësit. Të reduktojë rrënjë të ngjashme. III. Të thjeshtojë shprehje me rrënjë që përmbajnë ann për n-çift. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula (ku shprehin vetitë e rrënjëve). Mësimi 2.4 Tema: Veprimet me rrënjët Zhvillimi i temës së re: Kjo etapë e orës së mësimit ndahet në tri pjesë. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të rikujtojnë rregullat e veprimeve me numrat (mbledhja, zbritja, shumëzimi, pjesëtimi). Kërkohet nga nxënësit radha e veprimeve në shprehjet pa kllapa, me shprehjet me kllapa. Punë e pavarur. Thjeshtoni: a. − −( ) • − +( ) • − −( ) 2 1 2 1 ; 1 −( )+       ; − + −( )  • − −          7 17 1 : . b. 13 14 21 − − +           ; 12 14 + −     •       ; 1 1 1 1 1 1 + +     : : ; 1 1 1 1 − − + − . c. Llogarit: 0 4 0 3 0 4 0 53 0 • + − •     − ( )         − ( )      , , , : , ,   Gjeni vlerën e shprehjes: a a a a a a 2 1 1 + + + + + + +     : për a = 0 5, . Kujdes! Nëse nxënësit kanë vështirësi,ushtrimi c nuk duhet të punohet. Detyrë shtëpie. Ushtrimet I/2 dhe 5, II/2, III/1. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi tabelor. 3. Puna e pavarur (grupi). 4. Punë e udhëhequr. 13 14 21 12 14 − − +           + −     •      :
  • 29. 29 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” P.sh.: a b a b a b a b a a a a n n n n n n mn m n nn • = • = = = për n-çift Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në fillim tregon tabelat dhe kërkon nga nxënësit të gjejnë: 1. • ; • ; 16 81 • 2. 12 18 • ; 10 • • ; −( ) • −( ) 1 3. 16 ; 125 ; a x 15 10 . Kujdes! - A zbatohen vetitë te: − −( ) ; − − 16 ? Mësuesi/ja shkruan në tabelë: ; ; −( ) - A mund t`i shkruani rezultatet e tyre? Vini re nga tabela kemi çift dhen n a a a an n = = n tek . Duke u mbështetur nga sa thamë gjeni: ( )− ( )x − ( )1 2 − . Mësuesi/ja shkruan në tabelë: ; ; 50 . - A mund të thjeshtohen këto rrënjë? Vini re: 16 2 1 = • = • = Njëlloj tregohet se: = ; 50 = ; Rrënjët ; ; quhen rrënjë të ngjashme. - A mund të përkufizoni rrënjët e ngjashme? Mësuesi/ja jep këtë shprehje: 1 50 1 − − + dhe kërkon thjeshtimin. a. Në fillim nxirret faktori para rrënjëve: = • = • = 16 2 1 = • = • = 50 = • = • = = • = • = ; ; ( ) ( ) − − ( ) ( ) 1 3 − − ; për për
  • 30. 30 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! b. Kështu shkruajnë: 1 50 1 1 1 − − + = − − + • Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Thjeshtoni shprehjen: 1. 0 4 18 0− + + − 2. 1 0 5 − + +, Detyrë shtëpie. Ushtrimi 3, pika 1, 3/b faqe 33; ushtrimet 2 dhe 3, pika 3 në faqen 34, 3/a, faqe 36; 6/a, faqe 37. Mësimi 2.5 Tema: Veprimet me rrënjët Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të rikujtojë përkufizimin e shprehjeve të konjuguara të njëra-tjetrës. Të zhdukë rrënjën nga emëruesi i një thyese, duke zbatuar shumëzimin e drejtpërdrejtë (si p.sh.: 1 1 2 = • • = ). II. Të zhdukë rrënjën nga emëruesi i një thyese duke zbatuar shumëzimin me të konjuguarën (si p.sh.: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 − = + − − = + − = + − = + ( )( ) ( ) ) III. Të thjeshtojë shprehje me thyesa, me rrënjë në emëruesit e tyre, duke zbatuar në mënyrë të kombinuar: 1. shumëzimin e drejtpërdrejtë; 2. shumëzimin me të konjuguarën; 3. kthimin e thyesave në emërues të përbashkët. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula: Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi me tabela. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). P sh a a per a a b a b a b a b per a b nn . . . . ( , ) . 1 0 2 0 0 = ≥ −( ) +( )= ( ) − ( ) = − ≥ ≥ aa b a a b b a b a b a b a b etjn n n     � ( ) • +( )= ( ) ( ) = =. . = − − + = −
  • 31. 31 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë shprehjet: • ; • dhe kërkon nga nxënësit të shkruhen më thjeshtë. Kujdes! Do të ketë nxënës që do të shkruajnë: 1 • = ; 1 • = ; Ky shtjellim nuk është i gabuar, por veprohet duke larguar rrënjën nga emëruesi. • = • = =       • = • = =       Punë e pavarur. Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës: ; a ; a a . Mësuesi/ja në tabelë shkruan shprehjet: 1. −( ) +( ); 2. −( ) + • +( ) Kërkon nga nxënësit që të thjeshtojnë duke zbatuar formulat në tabela (shih mjetet ndihmëse). Së bashku me nxënësit mësuesi/ja zhduk rrënjën nga emëruesi i thyesës: − ; a a − + ; a a − − 1 1 ; Kujdes! Që vlera a 0 ose një fuqi e saj të nxirret nga rrënja me tregues n, duhet që a-ja të jetë baza e fuqisë me tregues shumëfish i n, d.m.th. a ak nn k• = P.sh.: a a = etj. Mësuesi/ja u jep nxënësve punë të pavarur. Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës: 10 ; x x − − ; a b a b − + ; a a − − . Mësimi 2.6 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të llogaritë prodhimin e rrënjëve (herësin) duke zbatuar vetitë. Të nxjerrë faktorin para rrënjës. II. Të shprehë vlerat e lejuara të shkronjës në një shprehje me rrënjë. Të futë faktorin para rrënjës, brenda shenjës së saj. III. Të thjeshtojë shprehje që kombinohen me zhdukjen e rrënjëve nga emëruesi i thyesave. Detyrë shtëpie. Ushtrimi 7 a/b/c, faqe 37.
  • 32. 32 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabelat me formula (shiko mësimet 2, 3, 4, 5), ku mund të shtohen formulat e rëndësishme, si: a2 – b2 = (a – b)(a + b) Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë: a. Gjeni: • ; a a• (a ≥ 0); x x− • −1 1;(x ≥ 1); 13 12 − ; b. Në cilin rast janë të vërteta barazimet: x x = ; ( )x x− = − ; c. Pse themi se nuk ka kuptim: − ; − ; (kujto përkufizimin) Mësuesi/ja shkruan në tabelë: x −1; − x ; − x Kërkon nga nxënësit që të gjejnë vlerat e lejuara të shkronjës x. Kujdes! Shumë nxënës mund të mos e kuptojnë pyetjen. Në këtë rast ndërhyn mësuesi/ja: Le të merret x −1 dhe vlerën e x = 2. - Çfarë do të ketë? ( 2 1 1 1− = = ). Thuhet se x = 2 është vlerë e lejuar. Vini re: x – 1 = 2 – 1 = 1 0 Për shprehjen x −1 dhe x = -1 do të kemi − − = −1 1 nuk ka kuptim. Themi se x = -1 është vlerë e palejuar. Vini re: x – 1 = -1 – 1 = -2 0. Përfundimisht nëse x – 1 ≥ 0 ⇒ x 1 janë vlera të lejuara. Pas këtij përfundimi punohen me nxënësit rastet e tjera. Punë e udhëhequr. Nxirret faktori nga rrënja: ; ; x P.sh.: x x x x x x x= • = = • = =( ) ( ) ( ) Futni faktorin brenda rrënjës: ; ; a a P.sh.: a a a a a a a = • = = a a b b a b a a b b a b a b a b− − + = + − − −( ) +( ) = ( ) ( ) = ( ) + • − • + ( ) ( ) − ( ) = + • − • + − = a a b b a b a b a a b a b b a b Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Punë e pavarur. Punë e udhëhequr.Nxënësit theshtojnë shprehjen: 100 − ( ) − = −b b ≥
  • 33. 33 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Për punë të pavarur jepet ushtrimi 8/a. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/b, 3/c, 4/b në faqen 36; si dhe ushtrimet 7/c, . 8/c,në faqen 37. Mësimi 2.7 Tema: Veprime të kombinuara të fuqive Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë si rrënjë fuqitë me eksponent racional. Të shumëzojë (pjesëtojë) fuqi me baza të njëjta. II. Të shkruajë si fuqi rrënjë të ndryshme. Të thjeshtojë shprehje me fuqi. III. Të zgjidhë ekuacione të kombinuara (me ndryshore me eksponent të fuqive, me tregues të rrënjës). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula, si p.sh.: A x R x= ∈ − ≤{ / } dhe vetitë e fuqive (rrënjëve) shiko temat përkatëse. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja u rikujton nxënësve formulën për a ≥ 0 dhe a a n n − = 1 . Këtu kërkon të shkruhen si rrënjë fuqitë: 1 ; 125 1 ; dhe të gjenden ato. Më pas mësuesi/ja shtron para nxënësve pyetjen: - A mund të shkruhet si rrënjë 1 ? (shiko Matematikën 9, faqe 38). Njëlloj shkruani si rrënjë: 16 − ; 100 5, ; 0 3, Shkruani si fuqi me bazë 3. 3, 9, 1 ; ; ; ; Më pas për punë të pavarur mësuesi/ja jep: Gjeni A B• nëse: A = • • − − ( ) ( ) ; B = • •       ( ) ( ) Zgjidhni ekuacionet: 2x = 8; 1 x = ; 3 1x = Kujdes! Për të zgjidhur ekuacionin 1 x = , në fillim duhet që 1 të shkruhet si fuqi me bazë 2. Domethënë 1 1 = = − , kështu x x= = ⇒ = −− . Njëlloj veprohet edhe me ushtrimet e tjera. Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Ilustrim me tabela. 3. Punë e pavarur. a amn m n = P.sh.: 1 1 1 • = • = = +
  • 34. 34 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të llogaritë me makinë llogaritëse xy , kur x dhe y janë numra të plotë pozitivë. II. Të llogaritë xy me makinë llogaritëse në rastet kur x e y janë thyesa pozitive. III. Të llogaritë me makinë llogaritëse vlerën e një shprehjeje aritmetike, duke përdorur me mënyrë të kombinuar tastet xy ; M+ ; M- ; RM . Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Tabela në të cilën është shënuar mënyra se si bëhet llogaritja e një shprehjeje me makinë llogaritëse, duke përdorur xy të kombinuar me tastet e tjera (shiko shembullin, faqe 40). 3. Makinë llogaritëse që ka tastin xy . Metodat që rekomandohen: 1. Praktikë e udhëhequr (me makinë llogaritëse). 2. Ilustrim me tabela (shih mjetet ndihmëse). 3. Praktikë e pavarur. Zhvillimi i temës së re: Në fillim mësuesi/ja kërkon që nxënësit të llogaritin me makinë 23 ; 33 dhe njëri të komentojë veprimet që kreu. Pas kësaj u drejtohet nxënësve. Provoni të llogaritni 1 ; 1 ; 1 . Tregoni si bëhet llogaritja, kujdes,këtu do të merrni këto përgjigje: 1. Shkruaj , pastaj shtyp dhe në ekran marrim rezultatin për 1 , sepse 1 = . 2. Shkruaj , pastaj shtyp xy , më pas 0, dhe në fund shtyp = . Nëse nxënësit nuk shprehen për pikën 2, është e domosdoshme që mësuesi/ja ta shpjegojë. Pas kësaj mësuesi/ja (nëse nga nxënësi nuk ka përgjigje) shpjegon hap pas hapi si llogaritet 1 ; 120 3 , , (shih Matematika 9, faqe 40). Mësimi 2.8 Tema: Makina llogaritëse. Tasti xy Mësuesi/ja jep për punë të pavarur. 1. Shkruani si rrënjë: • ; 16 1     − ; 2. Zgjidhni: (2x – 1)(2x – 8) = 0; 2 0 − − =x , Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 3/b, 4/b, 5/b.
  • 35. 35 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Më pas mësuesi/ja jep si punë të pavarur. Llogarit: 1. − +, ; 2. 1     +     − , , Në fund të jepen 1- 2 shprehje si detyrë shtëpie ku nxënësi të shkruajë hapat e llogaritjes me makinë (shiko shembullin, faqe 40). Test (skema e qortimit) Ushtrimi 1: Qarkimi i alternativës C. (1 pikë) Ushtrimi 2: Paraqitja e 1 2 1 = + = + . (1 pikë) Ndërtimi i figurës. (1 pikë) Sqarimet OA = 2 njësi, AB = 1 njësi, OAB trekëndësh kënddrejtë. Nga teorema e Pitagorës OB = . Ndërtojmë OC = OB. (1 pikë) Ushtrimi 3: Qarkimi i alternativës b (1 pikë) Ushtrimi 4/a: Shkrimi i numrave dhjetorë në thyesa. (1 pikë) Kryerja e veprimeve brenda kllapave ( ). (1 pikë) Shkrimi i rezultatit të saktë. (1 pikë) b. Njëlloj, si: a). Ushtrimi 5 a/b: Shkrimi i rezultatit të saktë. (1 pikë) c. Zbatimi i vetisë për rrënjën e herësit ose zbatimi i herësit të fuqive. (1 pikë) Shkrimi i rezultatit të saktë. (1 pikë) Ushtrimi 6: Qarkimi i alternativës b. (2 pikë) Shënim: Nëse nxënësi shkruan rrënjët, si 0 4 = , por nuk ka qarkuar rezultatin i jepet. (1 pikë) Ushtrimi 7: Gjetja e një grupi (grupi I). (1 pikë) Gjetja e grupit tjetër (grupi II). (1 pikë) Ushtrimi 8/a: Zgjidhja e ushtrimit 1 a . (1 pikë) Shkrimi = • . (1 pikë) I I I 0x1 x2A B C
  • 36. 36 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Shprehja e = (1 pikë) b. Paraqitja a b a b a b a b a b a b − + = −( ) −( ) +( ) −( ) (1 pikë) Shkrimi më tej: a b a b −( ) ( ) − ( ) (1 pikë) Më tej: a b a b −( ) − (1 pikë) c. Vendosja në emërues të përbashkët. (1 pikë) Shkrimi i emëruesit në formën 2 1 ( )− (1 pikë) Shkrimi i rezultatit përfundimtar. (1 pikë) Ushtrimi 9/a: Shkrimi në formën 3x = 33. . (1 pikë) Shkrimi x = 3. (1 pikë) b. Shkrimi në formën 1 2 1     = +x x (1 pikë) Shkrimi 2 1 − + =x x (1 pikë) Gjetja e vlerës së x-it (1 pikë) Njëlloj për ushtrimin 1 •     = +x (1 pikë) Shkrimi 1     = = +x (1 pikë) Shkrimi − + =( )x (1 pikë) Gjetja e vlerës së x-it (1 pikë) Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e syprinës së figurave. Të formulojë vetitë e syprinës së figurave. II. Të krahasojë syprinat e figurave të dhëna duke përdorur njohuritë e mëparshme mbi syprinat. Të dallojë kuptimin figura kongruente nga kuptimi figura të njëvlershme. III. Të shkruajë lidhjen e njësive të syprinave me shumëfishat dhe nënfishat e njësisë. Mësimi 3.1 Tema: Syprina e figurave. Vetitë themelore Kreu III MATJA . . . . . .
  • 37. 37 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me figura (shih figurën 1, faqe 41). 4. Vizore (e milimetruar). 5. Fletë të milimetruar. 6. Gërshërë për prerjen e figurave. Përgatita e tabelës: Në një fletë të milimetruar (ose karton të kuadratuar me katrorë të vegjël) ndërtohen figura të ndryshme (shih figurën 1, faqe 42). Kujdes! Figura A duhet të përmbajë 36 katrorë (9 x 4 = 36). Figura B duhet të përmbajë 36 katrorë (6 x 6 = 36) Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja vendos para nxënësve tabelën me figura (të parapërgatitura më parë) dhe kërkon nga nxënësi që në fletë të milimetruara të ndërtojë këto figura. Pas ndërtimit kërkon që figurat të priten. - Sa katrorë të vegjël përmban figura A, po figura B? - A mund të themi se figurat A dhe B janë kongruente? Të njëjtat pyetje drejtohen edhe për figurat C e D. Në këtë moment mësuesi/ja kujton: Këta katrorë të vegjël do t`i marrim si njësi për matjen e syprinave dhe do të quhen njësi katrore. Mësuesi/ja pyet nxënësit: - Sa njësi kanë syprinat e figurave A, B, C, D, F1 , F2 , F3 ? Duke shënuar: SA = 36 njësi katrore, SB = 36 njësi katrore, SC = 21 njësi katrore, SD = 21 njësi katrore. Plotëso: SF1 = ; SF2 = ; SF31 = ; - A mund të themi se: SF = SF1 + SF2 + SF3 ? Mësuesi/ja tërheq vëmendjen e nxënësve. Vini re: 1. SA = 36 njësi katrore, SB = 36 njësi katrore. Themi se figura A është drejtkëndësh, figura B është katror, pra nuk janë kongruente. Theksohet se: Dy figura që kanë syprina të barabarta quhen të njëvlershme (Kujdes: jo kongruente). Pritini figurat C, D dhe vendosini mbi njëra-tjetrën (duhet të jenë kongruente). Por, SC = SD = 21 njësi katrore. Këtu theksohet se: Dy figura kongruente kanë syprina të barabarta. Syprina e figurës F është e tillë që: SF = SF1 + SF2 + SF3 . Pra, figura e përbërë nga figura që nuk priten ka syprinë sa shuma e syprinave të figurave që e përbëjnë atë. Mësuesi/ja së bashku me nxënësit formulon vetitë për syprinat e figurave. Mësuesi/ja kujton se njësia themelore për matjen e syprinave është m2 (metri katror): Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi).
  • 38. 38 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Mësimi 3.2 Tema: Syprina e drejtkëndëshit dhe e katrorit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulën që shpreh syprinën e drejtkëndëshit, duke e shprehur me anë të brinjëve. II. Të gjejë syprinën e drejtkëndëshit duke zbatuar formulat përkatëse. III. Të shprehë diagonalen e katrorit me anë të syprinës dhe anasjellas. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula mbi syprinën e drejtkëndëshit dhe syprinën e katrorit. 4. Vizore të milimetruar. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në tabelë ndërton një drejtkëndësh, si figura në faqen 43 dhe kërkon nga nxënësit të bëjnë të njëjtën gjë në fletoret e tyre. - Sa njësi katrore është syprina e drejtkëndëshit ABCD? (AB = 11 cm, AD = 5 cm) - A ka lidhje syprina me prodhimin AB • AD? Përforcojmë se: SABCD = AB • AD dhe tregojmë para nxënësve tabelën. Pas kësaj mësuesi/ja jep punë të pavarur. Jepet drejtkëndëshi ABCD me brinjë AB = 8,6 cm dhe AD = 5,4 cm. a. Njehsoni syprinën në cm2 . 1m2 = 100 dm2 = 10000 cm2 1m2 = 102 dm2 = 104 cm2 = 106 mm2 1km2 = 102 hm2 = 104 dam2 = 106 m2 Më pas jepet punë e pavarur për ushtrimet që lidhen me figurat 2, faqe 43 dhe diskutohet ushtrimi 4, faqe 43. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustrim me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi). Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 3,faqe 43. h b S=b h. Syprina e drejtkëndëshit
  • 39. 39 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” b. Ktheni syprinën në mm2 . c. Ktheni syprinën në m2 . Jepet drejtkëndëshi me bazë b = 12 cm dhe diagonale d = 13 cm. Gjeni syprinën. Pas kësaj mësuesi/ja ndërton një katror me brinjë a dhe kërkon nga nxënësit të llogaritin syprinën duke zbatuar formulën mbi syprinën e drejtkëndëshit S = a2 . Gjeni një lidhje ndërmjet diagonales së katrorit dhe syprinës së tij. Dimë nga teorema e Pitagorës: Kështu themi se: S a d = = Mësuesi/ja jep punë të pavarur: Jepet katrori me diagonale 8 cm. Gjeni syprinën e tij në cm2 dhe në mm2 . Drejtkëndëshi me brinjë 9 cm dhe 4 cm është i njëvlershëm me katrorin me brinjë a. Gjeni gjatësinë e brinjës a. a a dKujdes! ! Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 2/b, 3, faqe 45. Mësimi 3.3 Tema: Syprina e paralelogramit dhe rombit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulën për syprinën e paralelogramit. II. Të njehsojë syprinën e paralelogramit (rombit) duke zbatuar formulën përkatëse. III. Të vërtetojë formulën për syprinën e paralelogramit (rombit), duke zbatuar kuptimin e njëvlershmërisë me drejtkëndëshin. Të zgjidhë problema, që kërkojnë zbatim jo të drejtpërdrejtë të formulave mbi syprinat. Mjetet ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. 4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. 5. Fletë e milimetruar – kuadratuar. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi). Drejtkëndësh Paralelogrami h bb h b hS .=b hS .= a a d a d a d + = ⇒ = ⇒ =
  • 40. 40 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Zhvillimi i temës së re: Në fillim mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një paralelogram (me fletore katrore),me brinjë AB = 8 cm dhe AD = 4 cm (ndërtimi sipas dëshirës). Mësuesi/ja drejton pyetjen: - A mund të gjeni syprinën? Kujdes! Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se S = 8 • 4 = 32 cm2 , por, është gabim. Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se nuk njohim lartësinë. Në rast se nxënësit hasin vështirësi, ndërhyn mësuesi/ja dhe plotëson figurën, si ajo në faqen 45. Nxënësit provojnë se syprina e paralelogramit është: S = b • h, b – baza (njëra brinjë e tij), kurse h – lartësia (pingulja e ndërtuar nga njëri kulm mbi brinjën përballë). Kujdes! Nëse merret AB = b (baza), atëherë DE = h (lartësia). Nëse BC = b (baza), atëherë DF = h (lartësi). Mësuesi/ja jep punën e pavarur: Njehsoni syprinën e paralelogramit me bazë 8 cm dhe lartësi 3 cm. Njehsoni syprinën e paralelogramit me brinjë 9 cm dhe 6 cm, që formojnë kënd të ngushtë 600 . Pas kësaj, nxënësit ndërtojnë një drejtkëndësh dhe masat e brinjëve të tij të bashkohen me segmente (shiko figurën, faqe 46,lart). Trego se: a. ABCD romb; b. SABCD = 1 SMNKL ; d.m.th. SABCD = 1 AC BD ⇒ SABCD = 1 d1 d2 Meqenëse ABCD është paralelogram, atëherë S = b h (shiko figurën, faqe 16). Mësuesi/ja jep punë të pavarur ushtrimet 1 dhe 2, faqe 46. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 3, 5, faqe 46. A BE D b C h F . .
  • 41. 41 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Mësimi 3.4 Tema: Syprina e trekëndëshit. Formula e Heronit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë dy formulat për syprinën e trekëndëshit. II. Të njehsojë syprinën e trekëndëshit duke zbatuar formulën përkatëse. III. Të zgjidhë problema që kërkojnë zbatimin indirekt të formulave mbi syprinën e trekëndëshit. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore 4. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë paralelogramin me bazë 8 cm dhe lartësi 6 cm. Gjeni syprinën e paralelogramit. Ndërtoni diagonalen e tij. Kujto: diagonalja e ndan paralelogramin në dy trekëndësha kongruentë. Trego se syprina e secilit trekëndësh është . Nxënësit vërtetojnë se syprina e trekëndëshit është S b h= 1 � (shiko figurën). b h a b . b a c A BE D b C h S b h= 1 � S a b= 1 � S p p a p b p c= − − −( )( )( ) Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi me tabelë. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). P a b c = + + 12 � = cm
  • 42. 42 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Mësuesi/ja jep punë të pavarur: Gjeni syprinën e trekëndëshit kënddrejtë me katete a, b. Zbatim numerik: a = 4, b = 5. Gjeni syprinën e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a. Kujdes: këtu udhëzohet nxënësi të gjejë lartësinë h me anë të teoremës së Pitagorës. Zbatim numerik a = 6. Ndërhyn mësuesi/ja: Përveç këtyre formulave për syprinën e trekëndëshit përdoret formula e Heronit, në trekëndëshin me brinjë a, b, c kemi: Gjeni syprinën e trekëndëshit me brinjë: a = 51,6 cm, b = 38,4 e 64 cm. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3, 5/a, 6 faqe 48. b a b a c ku Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulën mbi syprinën e trapezit. II. Të llogaritë syprinën e trapezit duke zbatuar formulën. Të zbatojë në problema formulat që rrjedhin nga S a b h= + � . III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e trapezit. Të zgjidhë problema duke zbatuar formulat që lidhen me syprinën në mënyrë indirekte, problema që kërkojnë analizë para zbatimit të formulave. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. 4. Vizore, shkumësa me ngjyra. Mësimi 3.5 Tema: Syprina e trapezit b a h S a = S p p a p b p c= − − −( )( )( ) P a b c = + + S a b h= + �
  • 43. 43 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesi me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi). Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja ndërton në tabelë një trapez dhe kërkon të njëjtën gjë nga nxënësit. Shkruani emërtimet: AB = a baza e madhe (a vlera numerike e gjatësisë) DC = b baza e vogël (b vlera e gjatësisë) DE = CF = h lartësia (h vlera e gjatësisë) Nëse shumë nxënës mund të shkruajnë formulën S a b h= + � , kështu duke zëvendësuar do të gjejnë syprinën. Në këtë rast mësuesi/ja do të kërkojë argumentimin si mund të provohet se S a b h= + � . Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të ndërtojnë diagonalet e trapezit [BD] dhe lartësitë [DE], [BF]. S S S ah bh h a b S a b hTrapezit ABD BCD= + = + = + ⇒ = +1 1 1 ( ) � Vërtetimi mund të bëhet si në tekst, por duhet treguar se AB1 C1 D është paralelogram. Mësuesi/ja organizon punë të pavarur me nxënësit: Veçoni h nga formula (1). Veçoni a + b nga formula (1). Njehsoni syprinën dhe brinjët anësore në trapezin ABCD (shiko figurën) nëse: AD = BC (trapezi dybrinjënjëshëm), a = 18, h = 3 Me nxënës të nivelit të lartë mund të punohet ushtrimi 3, faqe 50,lart. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 4, faqe 50 (lart). A B CD E F h h a b A B C E F h a b h D Vini re: S AB DE a h ABD = = 1 � � S DC BF b hBCD = = 1 1 � �
  • 44. 44 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Mësimi 3.6 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zbatojë drejtpërdrejtë formulat për llogaritjen e syprinave të figurave. II. Të llogaritë syprinat e figurave duke zbatuar formulat. III. Të zgjidhë problema me anë të analizës duke zbatuar indirekt formulat mbi syprinat. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formulat mbi syprinat, shiko mësimet 3.1-3.6. Zhvillimi i temës së re: Para orës së mësimit mësuesi/ja të përgatisë zgjidhjet e të gjitha problemave dhe të korrigjojë gabimet e mundshme. Ushtrimi 1. Gjeni koordinatat e pikës D, por kujdes pika D mund të ketë koordinata (0; 8) ose (-1; 8), (4; 8) ose (2; 10)). Mësuesi/ja pasi diskuton me nxënësit problemën 2, jep këtë ushtrim. Jepet ABCD romb: AC = 48 cm, BD = AC, kërkohet S =? Zgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën: Mësuesi/ja organizon një punë të pavarur me ushtrimin 5, faqe 50. Jepet: S = 2291 cm2 h = 58 cm a – b = ? Kërkohen: a = ? b = ? Zgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën e syprinës. 1. S a b h= + � , meqenëse S dhe h dihen, atëherë nga (1) nxjerrim . Kemi të dhënë: a – b = 15, gjetëm a + b = 79 duke zgjidhur sistemin: a b a b − = + =    15 gjejmë a = 47 cm dhe b = 32 cm. A B C D A B D a C h b Metodat që rekomandohen: 1. Ilustrimi tabelor. 2. Analiza problemore. 3. Punë e pavarur (grupi). S d d AC BD S AC AC cm= = ⇒ = = = = =1 2 16 16 � � � � � � � � a b S h a b+ = ⇒ + =
  • 45. 45 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Nëse ka kohë nxënësve u jepet si punë e pavarur ushtrimi 8, faqe 50. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 7, 11, faqe 50. Mësimi 3.7 Tema:Syprinaeshumëkëndëshittërregulltdheshumëkëndëshit të jashtëshkruar të rrethit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të tregojë si ndërtohet një shumëkëndësh i rregullt. Të shkruajë formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. II. Të njehsojë syprinën e një shumëkëndëshi të rregullt, duke zbatuar formulat. III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. Të zgjidhë problema duke zbatuar në mënyrë indirekte formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas 4. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja jep përkufizimin e shumëkëndëshit të rregullt. Më pas tregon se si mund të ndërtojmë një shumëkëndësh të rregullt. Për këtë u kërkohet nxënësve të ndërtojnë rrethin me rreze 5 cm. Me atë hapje të kompasit ndani rrethin në 6 pjesë të barabarta dhe pikat e ndarjes bashkohen në segment. Në këtë rast shumëkëndëshi quhet i brendashkruar në një rreth. F A C E D Ba o h Metodat ndihmëse: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). A B D CE F o M h Kështu fitohet gjashtëkëndëshi i rregullt. Këtu brinja është sa rrezja e rrethit. Nëse rrethi ndahet në 7, 8, 9.... n pjesë të barabarta fitojmë 7, 8,....n këndësh të rregullt. S p h= 1 � P n a= �
  • 46. 46 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Në qoftë se nga pikat e ndarjes ndërtohet tangjentja me rrethin, përsëri fitojmë shumëkëndësh të rregullt, por të jashtëshkruar. Në rastin e shumëkëndëshit të jashtëshkruar rrethit me rreze r kemi h = r, d.m.th. S = 1 P • r. Nxënësit njehsojnë syprinën e shumëkëndëshit të rregullt të brendashkruar në rrethin me rreze 4 cm dhe me brinjë 4 cm. Zgjidhje: S = 1 P � h, meqenëse a = r = 4cm, atëherë kemi të bëjmë me gjashtëkëndësh të rregullt (shiko figurën 1). Në ∆ AOB kemi OA = OB = AB = 4, h lartësi e trekëndëshit barabrinjës, këtej h = = domethënë S = 1 6 � 4 � 2 ⇒ S = 24 cm2 . Njehsoni syprinën e shumëkëndëshit të rregullt dhe me perimetër 25 dm të jashtëshkruar rrethit me rreze 6 dm. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 4, 5 b/d, faqe 52. B C E DF A o N h P QR S M Mësuesi/ja organizon punë përgatitore. Vini re! Në të dyja rastet formula për syprinën do të jetë:S = 1 P �h, P = n � a. Mësimi 3.8 Tema: Syprina dhe vëllimi i sferës Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë sipërfaqen sferike. Të përkufizojë sferën. Të shkruajë formulat për syprinën (vëllimin) e sferës. II. Të njehsojë syprinën e sferës duke zbatuar formulën. Të njehsojë vëllimin e sferës duke zbatuar formulën. III. Të shprehë me formulë lidhjen e syprinës me vëllimin e sferës. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas. 4. Tabela me formula.
  • 47. 47 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Metoda që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesit grafikë (me figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja në fillim kërkon nga nxënësi të sjellin shembuj për sferën ose forma të saj (p.sh. top, gjyle, glob etj.). Nxënësit ndërtojnë një gjysmërreth me diametër [AB]. Mendoni, sikur ky gjysmërreth të rrotullohet rreth diametrit do të formohet në hapësirë një sipërfaqe që quhet sipërfaqe sferike (shiko përkufizimin 1, faqe 53). Mësuesi/ja organizon punën e pavarur. Nxënësit duhet të vizatojnë një sferë me rreze 4 cm. Ata duhet të gjejnë syprinën dhe vëllimin e saj. Gjeni syprinën e sferës me vëllim 288 Π cm3 . Kujdes! V r r V = ⇒ = Π Π .... Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 3, faqe 53. M O Sfera Mësimi 3.9 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të njehsojë syprinën (vëllimin) e një sfere duke zbatuar drejtpërdrejt formulën. II. Të njehsojë rrezen e sferës duke zbatuar formulat mbi syprinën (vëllimin). III. Të vlerësojë vëllimin (syprinën) e sferës për të njehsuar elementet e tyre të sferës. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas. 4. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që për dy sferat, njëra me rreze 3 cm dhe tjetra me rreze 6 cm. Njehsoni syprinat e tyre. Njehsoni vëllimet e tyre. Gjeni raportin e syprinave (vëllimeve). Metodat që rekomandohen: 1. Punë e udhëhequr. 2. Punë e pavarur (grupi). S r= Π V r= Π
  • 48. 48 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! - Çfarë vëreni? - A mund të themi se S S r r 1 1 =     dhe V V r r 1 1 =     ? Mësuesi/ja organizon punën e pavarur: 1. Jepet r r 1 = dhe r1 + r2 = 52. Gjeni S1 = ? S2 = ? V1 = ? V2 = ? 2. Jepet V V 1 = dhe V1 + V2 = 10080 Π cm3 . Gjeni V1 = ? V2 = ? S1 = ? S2 = ? Vini re: r r r r r r r cm r r r r r 1 1 2 1 2 1 2 1 13 = ⇒ + = + ⇒ = ⇒ = + = = − = ccm      S r1 1 = Π Si për rastin e rrezeve veprohet dhe për V1 dhe V2 . Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 5, 6, faqe 54. Mësimi 4.1 Tema: Shumëkëndëshat e mysët. Paralelogrami. Vetitë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë shumëkëndëshat e mysët dhe paralelogramin. Të formulojë vetitë e paralelogramit. II. Të shkruajë për një paralelogram në formën, k ⇒ P, vetitë e tij. III. Të vërtetojë vetitë e paralelogramit. Të vërtetojë pohimin mbi paralelogramin duke zbatuar vetitë e tyre. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore. 4. Tabela. Kreu IV GJEOMETRIA NË PLAN Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). V r1 1 = ΠS r = Π V r = Π A B D C Paralelogrami ABCD [AB] [DC] [AD] [BC] II II Paralelogram
  • 49. 49 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja shkruan në tabelë vija të thyera dhe kërkon nga nxënësit të bëjnë dallimet. Më pas thekson se vija e figurës 1 quhet jo e mysët, ndërsa vija e thyer e figurës 2 quhet e mysët. Nxënësit duhet të përkufizojnë shumëkëndëshin. Mësuesi/ja ndërton një paralelogram ABCD, si në figurën 5, dhe kërkon nga nxënësit të përkufizojnë paralelogramin ([AB] || [DC] dhe [AD] || [BC]) dhe elementet (brinjë, diagonale, lartësi). Më pas kalohet te vetitë e paralelogramit. Mësuesi/ja organizon punën e pavarur me ushtrimin 1, faqe 57. Shënim: Teorema 1, që është vënë në tekst si punë e pavarur, të vërtetohet nga mësuesi/ja dhe nxënësit në tabelë. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4, 5, faqe 57. fig. 1 fig. 2 A D B CE A D B C E F fig. 3 fig. 4 jo i mysët i mysët Mësimi 4.2 Tema: Drejtkëndëshi. Vetitë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e drejtkëndëshit. Të formulojë vetitë e drejtkëndëshit. II. Të shkruajë në një drejtkëndësh vetitë në formën k ⇒ P. III. Të vërtetojë vetitë e drejtkëndëshit. Të zgjidhë problema duke zbatuar vetitë e drejtkëndëshit. A B CDfig. 5
  • 50. 50 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore. 4. Tabela me formula. 5. Drejtkëndëshi ABCD, Zhvillimi i temës së re: Gjeni emërtimin e figurës ABCD dhe jepni përkufizimin. Mësuesi/ja pyet: - A mund të themi se drejtkëndëshi është paralelogram? Vërtetoni: Me nxënësit formohen vetitë e tjera të drejtkëndëshit. Mësuesi/ja organizon një punë të udhëhequr. Nxënësit duhet të vërtetojnë kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm që katërkëndëshi ABCD të jetë drejtkëndësh. Pas kësaj kalohet në punë të pavarur. ! Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur. A B C D (d2) (d1) (d3) (d4) Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë dy drejtëza pingule (d1 ) e (d2 ) në pikën A dhe në secilën të zgjedhin pikat B dhe D. Nga pikat B dhe D të ndërtohen pingulet (d3 ) e (d4 ) përkatësisht me (d1 ) e (d2 ). A B D C Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 3, faqe 59. A B D C Drejtkëndëshi ABCD Drejtkëndësh A B C D d�  � �≡ ≡ ≡ ≡ Jepet paralelogrami ABCD. Në diagonalet [AC] e [BD] merren pikat M, N, P, Q, të tilla që OM = ON = OP = OQ. Vërtetoni se MNPQ është drejtkëndësh. A B CD Q M N P O
  • 51. 51 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë rombin. Të formulojë vetitë e tij. II. Të zbatojë vetitë në zgjidhjen e problemave. III. Të vërtetojë vetitë e rombit. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një katërkëndësh, që është paralelogram dhe të formulojë vetitë e tij. Në brinjët [AB] dhe [DC] të paralelogramit zgjedhim M, N që [AM]=[AD]=[DN]. - Çfarë vëreni te katërkëndëshi AMND? Përkufizohet rombi, më pas formulohen vetitë e tij. Mësuesi/ja organizon punën e pavarur. Jepet rombi ABCD. Në diagonalen [AC] merren pikat M dhe N, të tilla që AM = CN. Vërtetoni se MBND është romb. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 60. Mësimi 4.3 Tema: Rombi. Vetitë AB = BC = DC = AD A B C D Rombi: ABCD romb. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). A B CD O 1. AB = DC dhe AD = BC 2. OA = OC dhe OB = OD ABCD paralelogram M N
  • 52. 52 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë kuptimin e katrorit. Të formulojë vetitë e katrorit. II. Të zbatojë vetitë e katrorit në zgjidhjen e problemave. III. Të vërtetojë vetitë e katrorit. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re: Figura të tilla i quajmë katrorë. Kërkohet përkufizimi nga nxënësit dhe vetitë e katrorit. Theksohet se katrori është romb. Mësuesi/ja organizon punën e pavarur me problemën 1, faqe 61. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 61. Mësimi 4.4 Tema: Katrori. Vetitë Mësuesi/ja duhet të fillojë me punën përgatitore, por kërkon që nxënësi të ndërtojë një romb dhe të formulojë vetitë e tij. Drejtohet kjo pyetje: - A është e mundur që një katërkëndësh të ketë kongruente brinjët (si rombi) dhe të ketë kongruente këndet? Vini re figurën A B D C Është me shumë rëndësi të komentohet kjo bllokskemë, e cila tregon varësinë ndërmjet figurave në këtë kapitull. Katërkëndësh Trapez Paralelogram KatrorRomb Drejtkëndësh Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Organizuesi grafik. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur. 5. Bllokskema. A B CD O ABCD katror Katror 1. AB = BC = DC = AD; 2. A B C D d�  � �≡ ≡ ≡ ≡
  • 53. 53 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të formulojë teoremën e Talesit në formën k ⇒ P. Të përkufizojë vijën e mesme të trekëndëshit. II. Të zbatojë përfundimin e teoremës së Talesit në zgjidhjen e problemave. III. Të vërtetojë teoremën e Talesit. Të vërtetojë pohimet duke zbatuar teoremën e Talesit. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore. 4. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja organizon një punë përgatitore, duke u kërkuar nxënësve të ndërtojnë drejtëzat çfarëdo (d1 ) e (d2 ). Në (d1 ) marrim pikat A, B, C të tilla që AB = BC = 2 cm. Kujdes! Mund të ketë nxënës që dalin në përfundimin se A1 B1 = B1 C1 = 2 cm, por kjo ndodh vetëm nëse (d1 ) || (d2 ). Do të kemi: A1 B1 = B1 C1 . Kështu dalim në formulimin e teoremës së Talesit. Më pas kalohet në përkufizimin e vijës së mesme të trekëndëshit dhe vërtetimin e teoremës. Mësimi 4.5 Tema: Teorema e vogël e Talesit. Teorema për vijën e mesme dhe mesoret e trekëndëshit A B C d1 A1 B1 C1 d2 a b c Nga pikat A, B, C ndërtoni (a) || (b) || (c), që presin (d2 ) në pikat A1 , B1 , C1 . Matni largesat A1 B1 ; B1 C1 , çfarë vërehet? Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). Teorema e Talesit A B C d1 A1 B1 C1 d2 a b c (a) II (b) II (c) Nëse pika B ndërmjet A e C dhe AB= BC B1 ndërmjet A1 C1 dhe A1 B1= B1 C1 ⇒
  • 54. 54 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Pas vërtetimit kalohet në punë të pavarur. Nxënësit vërtetojnë vetinë e mesoreve të trekëndëshit. Nga udhëzimi kemi: FL = MN ku M, N janë meset e [GA] dhe [GB], këtej rrjedh se MNLF është paralelogram, nga këtej kemi se GM = GL dhe GF = GN, por GM = MA dhe GN = NB, d.m.th. GL = GM = MA ⇒ GL = 1 GA (shiko figurën 3, faqe 63) Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 3, faqe 63. Mësimi 4.6 Tema: Trapezi. Vetitë Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë trapezin. Të formulojë vetitë e trapezit. II. Të emërtojë në një trapez elementet e tij. Të zbatojë vetitë e trapezit në zgjidhjen e problemave. III. Të vërtetojë teoremat mbi vetitë (vijën e mesme). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore. 4. Tabela me formula. 5. Trapezi. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojmë dy drejtëza (d1 ) e (d2 ) joparalele, që priten në pikat A, B, C, D nga paralelet (a) || (b). A B CD NM a b [DC] || [AB] [MN] vijë e mesme MN = 1 (a + b) [AC] diagonale [DE] lartësia Trapezi Në këtë rast katërkëndëshi ABCD quhet trapez. Duhet të theksohet se: [AB] është baza e madhe, [DC] është baza e vogël. E - mesi i [AD], F - mesi i [BC]. [EF] - vijë e mesme, [DE] - lartësia [AC] - diagonale. A B CD FE a b d1 d2 E Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).
  • 55. 55 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Është e rëndësishme të vërtetohet teorema mbi vijën e mesme. Më pas kalohet te puna e pavarur. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 dhe 4, faqe 65. Shënim: Problema 4, faqe 65 të korrigjohet: AB = 26 cm, A = 600 Mësimi 4.7 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të rikujtojë vetitë e katërkëndëshave (paralelogram, drejtkëndësh etj). Të rikujtojë formulat mbi syprinat e katërkëndëshave. II. Të zbatojë formulat për të llogaritur syprinat e katërkëndëshave. III. Të vërtetojë pohimet duke zbatuar vetitë e figurave. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula (shih tabelat për vetitë e figurave te mësimet e mëparshme). 4. Vizore. Metodat që rekomandohen: 1. Analizë problemore. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë e pavarur (grupi + individuale). Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të rikujtojnë disa veti të figurave, sidomos të atyre me të cilat lidhen problemat që mendon se duhen punuar problema 4, faqe 65). Vërtetim: Meqenëse ABCD trapez ⇒ [AB] || [DC] ⇒ EDC DEA� �≡ , si kënde Z këtej trekëndëshi ADE dybrinjënjëshëm, pra AD = AE. Njëlloj trekëndëshi BCE dybrinjënjëshëm BC = BE. Këtej AB = AE + BE = AD + BC ç.d.v. A D C BE Jepet ABCD trapez. [DE] dhe [CE] janë përgjysmore të këndeve ADE EDC� �≡ dhe DCE ECB� �≡ . Kërkohet të provohet se AB = AD + BC. Zhvillimi i temës së re:
  • 56. 56 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Për çdo hap gjatë vërtetimit duhet më parë të merret mendimi i nxënësit. Nëse niveli i klasës është i mirë, kjo problemë mund të zgjidhet nga ata. Mësuesi/ja trajton edhe problemën 6, faqe 65. Jepen: AC = 54 cm; BD = 36 cm; A1 B1 = 3A1 D1 ; SABCD = SA1B1C1D1 . Kërkohet PA1B1C1D1 = ? Zgjidhje: Dimë se S AC BD ABCD = = � � SABCD = 972 cm2 SA1B1C1D1 = A1 B1 • A1 D1 = 3A1 D1 • A1 D1 ⇒ 972 = 3A1 D1 2 A1 D1 2 = 324 cm ⇒ A1 D1 = = 18cm, kurse A B = cm1 1 Kështu themi se PA1B1C1D1 = 2(A1B1 + A1D1) = 2(54 + 18) = 144 cm P = 144 cm Punë e pavarur mund të jepet problema 7, faqe 65. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 5, 8, faqe 65. D1 B1A1 C1 A B C D o Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë segmentet përpjesëtimore. Të formulojë pohimet mbi segmentet përpjesëtimore. II. Të llogaritë segmentet përpjesëtimore duke zbatuar pohimet mbi to. Të ndërtojë segmentin e përpjesshëm me segmente të dhëna, duke zbatuar pohimet mbi to. III. Të vërtetojë pohimet mbi segmentet përpjesëtimore. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. 4. Vizore Mësimi 4.8 Tema: Segmentet përpjesëtimore. Teorema e Talesit Segmente përpjesëtimore (AB) II (A1 B1 ) A B o A1 B1 ⇔ = = OA OB OA OB AA BB 1 1 1 1
  • 57. 57 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesit grafikë (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja organizon një punë përgatitore për t’iu rikujtuar nxënësve përpjesëtimet. Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto barazime: = x ; x = ; 5 10 x = ; 10 = +x ; U kërkohet nxënësve të gjejnë x=? Në këto barazime elementet e thyesave quhen vlera përpjesëtimore me njëra- tjetrën. Te barazimi i parë themi se 2 dhe 4 janë përpjesëtimore me 5 dhe x, ndryshe themi se 2 rri te 4 sikurse 5 rri te x (2 : 4 = 5 : x) etj. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të përkufizojnë segmentet përpjesëtimore. Kujdes! Teorema nuk duhet vërtetuar. Nga teorema e Talesit kemi rrjedhimet 1 dhe 2, të cilat duhen vërtetuar. (Një variant i thjeshtuar, që është teorema e vogël e Talesit, është vërtetuar te mësimi 4.5). Më pas, mësuesi/ja organizon punën e udhëhequr. Ndërtoni të katërtin e përpjesshëm me segmentet e dhëna a, b, c. Nga teorema e Talesit duhet që me brinjët e këndit ÆO të ndërtojnë segmentet e dhëna dhe përkatësisht Gjeni gjatësinë e segmentit x nëse a = 3 cm, b = 2 cm dhe c = 6 cm. Këtu jepet punë e pavarur, shiko rubrikën në faqen 67. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3, 4, faqe 68. Zgjidhje: Shënojmë me x segmentin e kërkuar. Meqenëse segmentet a, b, c, x janë përpjesëtimore, atëherë ato plotësojnë barazimin a b c x = . a b c OA = a, OB = b dhe AA1 = c. Nga pika A1 ndërtojnë (A1 B1 ) II (AB) nga teorema segmenti [BB1 ] është segmenti x. A B B1 A1 o a b c x
  • 58. 58 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të përkufizojë ngjashmërinë e shumëkëndëshave. Të formulojë rastet e ngjashmërisë së shumëkëndëshave. II. Të gjejë elementet e trekëndëshave duke zbatuar rastet e ngjashmërisë së tyre. III. Të vërtetojë të paktën dy raste të ngjashmërisë së trekëndëshave. Të vërtetojë pohime mbi trekëndëshat, duke zbatuar rastet e ngjashmërisë. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas. 4. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja e fillon këtë orë mësimi me punë përgatitore.Ai/ajo kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një katror me brinjë 3 cm dhe një romb me brinjë 5 cm. A mund te themi se : AB A B BC B C CD C D DA D A1 1 1 1 1 1 1 1 = = = = Por, A A� �≠ 1 B B �≠ 1 etj. Mësimi 4.9 Tema: Ngjashmëria e trekëndëshave Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustruesit grafikë (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur. A B CD 3 3 3 3 A1 C1 D1 B1 5 5 5 5 Raste të ngjashmërisë së trekëndëshave BA C A1 B1 C1 Rasti I ABC ~ A1 B1 C1 Rasti II Rasti III A A dhe B B� �  �≡ ≡1 1 
  • 59. 59 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Ndërtojnë një katror me brinjë 3 cm dhe një drejtkëndësh me përmasa 3 dhe 6 cm. Në këtë rast mësuesi/ja pyet: - A mund të ndërtojmë dy katërkëndësha që të plotësojnë të dyja kushtet: brinjët përpjesëtimore dhe këndet kongruente? P.sh.: 2 katror, 2 romb, 2 drejtkëndësha etj. Këtu kalohet në përkufizim (shiko faqen 68) Për ngjashmërinë e trekëndëshave është e domosdoshme të kalohet në vërtetimin e teoremës, faqe 69. Pas kësaj kalohet te rasti i parë i ngjashmërisë, këmbëngulet te paraqitja e pohimit (rasti 1) në formën K P⇒ . Është e domosdoshme të theksohet se AB A B k 1 1 = (koeficienti i ngjashmërisë). Punë e pavarur. Trekëndëshat kënddrejtë ABC dhe A1 B1 C1 janë të ngjashëm. Gjeni katetet, hipotenuzat dhe këndet e trekëndëshave nëse jepen: C� = 900 A1 � = 300 dhe AB = 10 cm A1 B1 = 20 cm Zgjidhje: ∆ ABC ~ ∆ A1 B1 C1 ⇒ A� = A1 � = 300 C� = C1 � = 900 B = B1 � = 600 Dimë se në ∆ kënddrejtë kateti përballë këndit 300 është sa gjysma e hipotenuzës, domethënë BC cm= = 10 dhe B C cm1 1 20 10= = , por nga teorema e Pitagorës: AB2 = AC2 + BC2 , këtej gjejmë AC; A1 B1 2 = A1 C1 2 + B1 C1 2 , këtej gjejmë A1 C1 Këtu është mirë të ndahet tema në dy orë mësimore. • Ora tjetër fillon me rastin e dytë. Megjithatë, nëse mësuesi/ja do të vazhdojë dy rastet e tjera duhet t’i shkruajë në formën K P⇒ . Punë e pavarur. ∆ ABC ~ ∆ A1 B1 C1 dhe brinjët e trekëndëshit ABC janë 5 cm, 6 cm, 7 cm, kurse brinja më e vogël e trekëndëshit ∆ A1 B1 C1 është 10 cm. Gjeni brinjët e trekëndëshit A1 B1 C1 . Trekëndëshat e ngjashëm ABC dhe A1 B1 C1 kanë diferencën e brinjëve më të vogla të barabartë me 6 cm, kurse raportin e tyre e kanë . Gjeni këto brinjë. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3, 5, faqe 71. - A mund të themi se: ? A B CD 3 3 A1 C1D1 B1 Por, A A� �≡ 1 ,B B �≡ 1 , C C� �≡ 1 , D D� �≡ 1 . AB A B BC B C CD C D DA D A1 1 1 1 1 1 1 1 = = =
  • 60. 60 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Mësimi 4.10 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të dallojë trekëndëshat e ngjashëm duke zbatuar rastet e ngjashmërisë. II. Të gjejë elementet e trekëndëshave të ngjashëm duke zbatuar rastet e ngjashmërisë. III. Të vërtetojë pohimin mbi trekëndëshat duke zbatuar rastet e ngjashmërisë. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela, shih mësimin 3.6. Zhvillimi i temës së re: Punë e pavarur. Punohen nga nxënësit ushtrimet 1, 3 dhe 4, ndërsa ushtrimet 3, 5, 6, 7 diskutohen së bashku me mësuesin/en duke analizuar të dhënat. Ushtrimet 2 dhe 8 duhet të punohen në klasë, sidomos ushtrimi 2 (punohet vetia e vijës së mesme së trekëndëshit dhe formula e Heronit), ndërsa tek ushtrimi 8 punohet me rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave. Kujdes! Në fillim zbatohet teorema e Pitagorës, që të zbatohet rasti i tretë i ngjashmërisë. Kjo problemë mund të shtrohet në rastin kur jepen katetet përpjesëtimore (zbatohet rasti i dytë i drejtpërdrejtë). Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Punë e udhëhequr. 3. Punë e pavarur (grupi). 4. Analizë problemore. Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë raportin e perimetrave (syprinave) të trekëndëshave të ngjashëm. II. Të llogaritë perimetrat (syprinat) e trekëndëshave të ngjashëm. III. Të gjejë elementet e panjohura të trekëndëshave të ngjashëm, duke analizuar të dhënat dhe raportet e segmenteve përpjesëtimore. Mësimi 4.11 Tema: Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshave të ngjashëm ∆ ABC ~ ∆ A1 B1 C1 ⇒ CD C D k 1 1 = ; P P k 1 = ; S S k 1 = Metodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela. A B C D A1 B1 C1 D1 Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshave të ngjashëm: Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4/1-2, 6 në faqen 72.
  • 61. 61 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Zhvillimi i temës së re: Puna përgatitore është mirë të ndryshohet. Jepet trekëndëshi ABC me brinjë 6, 8, 12 (cm). 1. Gjeni brinjët e trekëndëshit ∆ A1 B1 C1 të ngjashëm me trekëndëshin e dhënë nëse brinja A1 B1 = 3 cm. 2. Gjeni raportin e perimetrave të këtyre trekëndëshave. 3. Gjeni raportin e syprinave të këtyre trekëndëshave (për syprinat zbato formulën e Heronit). Duhet theksuar se AB A B1 1 = = edhe P P1 = , kurse S S1 = = . Kështu themi se P P k 1 = dhe S S k 1 = (1) Mësuesi/ja kalon te përgjithësimi i përfundimit të mësipërm. a. Për perimetrat. Nëse ∆ ABC ~ ∆ A1 B1 C1 ⇒ = P P k 1 Vërtetim: Nga ngjashmëria e ∆ ABC dhe ∆ A1 B1 C1 kemi: AB A B BC B C CA C A k AB BC CA A B B C C A AB A B1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = ⇒ + + + + = = =.... kk P P k⇒ = 1 b. Para se të provojnë se S S k 1 = duhet të vërtetojnë teoremën mbi raportin e lartësive dhe mbi raportin e syprinave. E rëndësishme është që në këtë temë, nxënësit të mbajnë mend formulat. Punë e pavarur. Trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin A1B1C1 me koeficient ngjashmërie k dhe raport të syprinave S : S1 = . Gjeni perimetrat, nëse shuma e tyre është 45 cm. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 /njëri rast, 2, 3, faqe 74. Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë barazimet mbi raportin e perimetrave (syprinave) të shumëkëndëshave të ngjashëm. II. Të njehsojë perimetrat (syprinat) e shumëkëndëshave të ngjashëm duke zbatuar formulat. III. Të zgjidhë problema duke zbatuar indirekt ngjashmërinë e shumëkëndëshave dhe formulat mbi raportin e perimetrave (syprinave). Mësimi 4.12 Tema: Ushtrime
  • 62. 62 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Zhvillimi i temës së re: Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të shkruajnë në fletore përkufizimin e ngjashmërisë së shumëkëndëshit. Pas kësaj u kërkon nxënësve të ndërtojnë dy katrorë me brinjë, i pari a = 6 cm dhe i dyti b = 12 cm. Shtrohen këto pyetje para nxënësve: - A janë të ngjashëm katrorët? Gjeni k = ? Gjeni raportin e perimetrave (syprinave). -A mund të themi se P P k 1 = dhe S S k 1 = ? Këtu ndërhyn mësuesi/ja duke theksuar se përfundimet e pikës 3 do t’i pranojmë për çdo shumëkëndësh të ngjashëm, d.m.th. nëse ABCDEF ~ A1 B1 C1 D1 E1 F1 , atëherë P P k 1 = dhe S S k 1 = . Punë e pavarur. Jepen nga mësuesi/ja ushtrimet 1 dhe 4, faqe 75. Punë e udhëhequr. Punohet nga nxënësit problema 2. Zgjidhje: Dimë se: P = 4 • 91 dhe P P P P P P cm 1 1 1 1 91 = ⇒ = • ⇒ = • • ⇒ = S AC BD cmABCD = = = � � 168 70 5880 AC A C A C 1 1 1 1 168 210= = = = � S S S S cm 1 1 16 5880 16 9187 =     ⇒ = = = � � , Detyrë shtëpie. Ushtrimet 5, 8, faqe 75. B C o A D 84 91 Dimë se AC = 169 ⇒ Ao = 84 Nga teorema e Pitagorës OD2 =AD2 – OA2 ⇒ OD2 = 8181 – 7056 = 1225 ⇒ OD = 35 cm. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela, shih mësimet e mëparshme në këtë kapitull. 4. Vizore. Metodat që rekomandohen: 1. Analiza problemore. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). S cmABCD = 5880 A C cm1 1 210= S cm1 9187 = ,
  • 63. 63 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Mësimi 4.13 Tema: Teoremat e Euklidit Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të formulojë teoremat e Euklidit dhe rrjedhimet e tyre. II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë duke zbatuar rrjedhimet e teoremave. III. Të vërtetojë teoremat e Euklidit. Të zgjidhë trekëndëshat kënddrejtë, duke zbatuar në mënyrë të kombinuar teoremat e Euklidit. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formulat e teoremave të Euklidit. Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Mësuesi/ja sjell një shembull praktik. Jepet trekëndëshi kënddrejtë në C me elemente: Gjeni CD2 , AD BD� ; AC2 , AD AB• - Çfarë vëreni? (CD2 = AD • BD, AC2 = AD • AB) Vëmë re se CD i mesëm i përpjesshëm me segmentet AD e BD. Jepen përkufizimet 1, 2, të cilat janë në tekstin e nxënësit. Më pas formulohen teoremat e Euklidit dhe vërtetohen. Pas teoremave formulohen dy rrjedhime. A B C D 15 12 169 [CD] [AB] dhe CD = 12 cm AD = 9 cm BD = 16 cm AC = 15 cm A B C D Teoremat e Euklidit 2. ∆ ABC kënddrejtë në C: [CD] ⊥ [AB] ⇒ AC2 = AD • AB dhe BC2 = BD • AB 1. ∆ ABC kënddrejtë në C: [CD] ⊥ [AB] ⇒ CD2 = AD • DB Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi).
  • 64. 64 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Korda në skajin e diametrit dhe skajin tjetër në gjysmërreth është e mesme e përpjesshme me diametrin dhe projeksionin e saj në diametër (BC2 = BD • AB). Punë e pavarur. Mësuesi/ja jep për punë të pavarur ushtrimin 2, faqe 77. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 5, faqe 77. A B C D Rrjedhim 1: Në çdo gjysmërreth pingulja e ndërtuar nga një pikë e tij mbi diametër është e mesme e përpjesshme me segmentet që cakton në diametër, domethënë CD2 = AD • BD Mësimi 4.14 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zbatojë teoremat e Euklidit në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë. II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë duke zbatuar dy teoremat e Euklidit. III. Të zgjidhë problema duke zbatuar teoremat e Euklidit në forma indirekte. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula, shih mësimet e mëparshme. 4. Vizore Zhvillimi i temës së re: Punë e pavarur. Mësuesi/ja jep për punë të pavarur këtë problemë: Në trekëndëshin kënddrejtë lartësia mbi hipotenuzë e ndan atë (hipotenuzën) në dy segmente me gjatësi 9 cm dhe 144 cm. Duke zbatuar teoremat e Euklidit gjeni: a. lartësinë mbi hipotenuzë, b. katetet. Punë e udhëhequr. Punohen nga nxënësit problemat 2 dhe 7. Problema 2. Shih figurën në faqen 78 Metodat që rekomandohen: 1. Analizë problemore. 2. Ilustrimi grafik (figura, tabela). 3. Punë e pavarur (grupi). A B C D Jepet CD = 8 cm AC = 10 cm Kërkohet AD? BD?
  • 65. 65 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Zgjidhje: Trekëndëshi ABC është kënddrejtë në C; nga teorema e Euklidit kemi: AC AD AB CD AD DB = =    � � Shënojmë: AD = x dhe BD = y, AB = x + y Sistemi merr formën: Duke zëvendësuar: = ⇒ = ⇒ = ⇒ =x y y y y cm� � Problema 7. Zgjidhje: Shënojmë AC = x dhe AD = y. x y x y x y x y = = +     ⇒ + = = +     Zgjidhje: x y y y y y cm + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = , x = 7,5 cm Nga teorema e 2 e Euklidit kemi: AC AD AB AB AC AD 12 = ⇒ = = =� , , , AB cm BD cm= ⇒ = − =12 5 1 , , , Nga teorema 1 e Euklidit kemi: CD2 = AD • BD = 4,5 • 8 = 36 CD cm= , prej këtej S AB CD cm= • = • = 12 , , , S cm= , Për trekëndëshin e dytë kemi S b h = � , ku h = 2 • CD = 12 cm. 12 12 , , ,= • ⇒ = • ⇒ = b b b cm Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 5, faqe 78. keshtu kemi: h lartësia e D-së të njëvlershëm, ku h = 2CD A B C D Jepet AC AD = kërkohet S = ? AC = AD + 3, h = ? 10 10 10 8 10 8 = + =    ⇒ = + =    ⇒ = + ⇒ = − x x y x y x y x y x x ( ) � � ⇒⇒ = ⇒ =x x cm AD cm BD= =
  • 66. 66 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të formulojë teoremën e Pitagorës në formën k P⇒ . Të formulojë teoremën e anasjellë të Pitagorës. II. Të zbatojë teoremën e Pitagorës në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë. III. Të vërtetojë teoremën e Pitagorës duke zbatuar teoremat e Euklidit. Të zgjidhë problema duke zbatuar të kombinuara teoremat e Euklidit dhe të Pitagorës. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Mësuesi/ja jep këtë shembull: Jepet trekëndëshi kënddrejtë ABC me katete AC dhe BC, dhe me lartësi mbi hipotenuzë CD = 12 cm, që e ndan hipotenuzën në segmente AD = 9 cm dhe BD = 16 cm. Gjeni katetet AC dhe BC. Krahasoni AB2 , kur AC2 + BC2 ⇒ Pra, AB2 = AC2 + BC2 . Këtu formuloni teoremën e Pitagorës dhe vërtetojeni atë,duke u mbështetur te teoremat e Euklidit. I rëndësishëm është formulimi dhe vërtetimi i teoremës së anasjellë. Punë e pavarur. Njehsoni perimetrin e drejtkëndëshit ABCD, nëse njëra brinjë AB = 16 cm dhe diagonalja e tij BD AB= . Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 80. Mësimi 4.15 Tema: Teorema e Pitagorës. Teorema e anasjellë e Pitagorës Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Ilustrim grafik (figura, tabela). 3. Punë e pavarur (grupi). A B C D Teorema e Pitagorës ∆ ABC kënddrejtë në C ⇒ AB2 = AC2 + BC2
  • 67. 67 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Mësimi 4.16 Tema: Zbatime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shprehë diagonalen e katrorit me anë të brinjës së tij. Të shprehë lartësinë e trekëndëshit barabrinjës me anë të brinjës së tij. II. Të zbatojë lidhjet midis brinjës së katrorit dhe diagonales për të llogaritur syprinën e katrorit. III. Të gjejë syprinën e trekëndëshit barabrinjës me anë të brinjës së tij. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore. Zhvillimi i temës së re: Punë përgatitore. Jepet katrori me brinjë a = 4 cm. Gjeni diagonalen. Jepet katrori me diagonale 6 cm. Gjeni brinjën e tij. Më pas mësuesi/ja duhet të kalojë në rastin e përgjithshëm. Jepet katrori me brinjë a. Gjeni diagonalen d në lidhje me brinjën a. d a= . Gjeni brinjën a në lidhje me diagonalen d. Jepet syprina e katrorit në lidhje me diagonalen S d = . Punë e pavarur. Jepet drejtkëndëshi ABCD. Në meset e brinjëve të tij formohet katrori me brinjë 4 cm. Gjeni syprinën e drejtkëndëshit ABCD. Pas punës së pavarur kalohet te zbatimi 3, 4 (shih Matematikën 9, faqe 81). Është e rëndësishme të shprehet syprina e trekëndëshit S a = . Më pas shprehen katetet e trekëndëshit kënddrejtë me hipotenuzën a dhe njërin kënd të ngushtë 300 . Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 dhe 4, faqe 81. Metodat që rekomandohen: 1. Diskutim problemor. 2. Punë përgatitore. 3. Punë e pavarur.
  • 68. 68 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” Mësimi 4.17 Tema: Ushtrime Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të zbatojë teoremat e Pitagorës drejtpërdrejt në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë. II. Të gjejë vlerën e segmentit të panjohur në figura të dhëna duke zbatuar teoremën e Pitagorës. III. Të zgjidhë problema duke zbatuar të kombinuara teoremat e Euklidit dhe të Pitagorës. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas. Zhvillimi i temës së re: Punë e pavarur. Mësuesi/ja jep si punë të pavarur këtë ushtrim: Gjeni lartësinë e ndërtuar mbi hipotenuzë dhe katetet në trekëndëshin kënddrejtë me segmente në hipotenuzë 4 cm dhe 9 cm të caktuar nga lartësia. Më pas nxënësit punojnë ushtrimin 3. Zgjidhje: Në trekëndëshin kënddrejtë ABC kemi nga teorema e Pitagorës: AB AC BC AB = + ⇒ = + ( ) AB AB AB cm = + ⇒ = ⇒ =� Metodat që rekomandohen: 1. Analizë problemore. 2. Punë individuale. 3. Punë e pavarur (grupi). 4. Ilustrim grafik (figura, tabela). A B C D 94 c a h b A B C Dx 8 3 3 120 o AD = 3cm, AD = 8cm BD = x. AC = ACB� = 900 CAD� = 1200
  • 69. 69 Libërmësuesipërtekstin“Matematika9” ! Vëmë re se: AB BC CAB BAC2 0 0 30 90= = ⇒ = ⇒ =� � � nga ku: BD AB AD x 100= + ⇒ = + = + = x x cm 100 10= ⇒ = Nxënësit punojnë me kujdes ushtrimin 7. Zgjidhje: Meqenëse trekëndëshi ABC është barabrinjës, atëherë: AOB AOD� = = ⇒ 360 120 0 0 ∆ kënddrejtë, ku: AOB CAD OD OA R� �= ⇒ = ⇒ = =60 30 0 0 Ndërsa: OA2 = AD2 + OD2 R R a a R R a R R =     +     ⇒     = −     ⇒ = − a R R a R a R R a = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = a cm= Zbatim numerik për R = 6 cm. D RR A B C a a a o Jepet OA = OB = OC = R Gjeni a = ? AB = BC = AC = a Mësimi 4.18 Tema: Formula për largesën ndërmjet dy pikave në planin koordinativ Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë: I. Të shkruajë formulën mbi largesën ndërmjet dy pikave me koordinata të dhëna. II. Të gjejë largesën ndërmjet dy pikave duke zbatuar formulën për largesën. III. Të zgjidhë problema duke zbatuar formulën mbi largesën të kombinuar me formula të tjera. Mjete ndihmëse: 1. Teksti Matematika 9. 2. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, figura 2; 5 dhe 8, faqe 82. Largesa ndërmjet dy pikave: A (x1 ; y2 ); B (x2 ; y2 ); A B o y x AB x x y y= − + −( ) ( )2 1 2 1