Algunos ejercicios

1. DISTRIBUCIONES ALGUNOS EJERCISIOS
MATERIA: PROBABILIDAD
PROFESOR: Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz
ALUMNO: ROLANDO FERNANDO ECHAVARRIA
GRADO: 2
SECCION: C

2. Consideremos el siguiente juego, la apuesta a un número al arrojar un dado.
Consideraremos un "éxito" si sale el número que eligimos, y un "fracaso" si sale
otro número.
Tenemos que:
p = 1/6
q = 1-p = 5/6
Si hacemos una sola prueba donde P(k) es la probabilidad de k exitos.
tenemos que:
n=1
P(0) = q = 5/6
P(1) = p = 1/6
Si hacemos dos pruebas, encontraremos lo siguiente:
n=2
1era 2da descripcion No. Prob 1era Prob 2 prob.
prueba prueba exitos 2nda
P Pierde 2 0 5/6 5/6 25/36 25/36
pruebas
q Gana 1 1/6 5/6 25/36 5/36
primera
pierda
segunda
Tendremos cuatro diferentes formas de obtener resultados, estas cuatro formas las
vemos en la columna "descripción" de la tabla anterior.
La probabilidad para cada resultado, se calcula multiplicando las probabilidades
del resultado de cada prueba, dado que estas son independientes.
El número de "éxitos" lo hacemos contando las "p" de cada línea.
Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitos.

3. Observa que para la P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se encuentran en los
renglones verdes de la tabla anterior.
Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitosObserva que para
la P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se encuentran en
renglonesde la tabla anterior.

9. Ley de poisson.
Sea X ~(4). Determinar
a) P(X=1)
b) P(X=0)
c) P(X<2)
d) P(X>1)
e) μX
f) σx
a) P(X=1)= e-4 *
P(X=1)= 0.018315638 *
P(X=1)= 0.018315638 * 4
P(X=1)= 0.073262555
b) P(X=0) = e-4 *
P(X=0)= 0.018315638 *
P(X=0)= 0.018315638 * 1
P(X=0)= 0.018315638
c) P(X<2)
P(X=1)= e-4 * P(X=0) = e-4 *
P(X=1) = 0.018315638 * P(X=0)= 0.018315638 *
P(X=1) = 0.018315638 * 4 P(X=0)= 0.018315638 * 1
P(X=1) = 0.073262555 P(X=0)= 0.018315638
P(X<2) =P(X=1)+P(X=0)
P(X<2) =0.07326255+0.018315638
P(X<2) =0.091578193

10. d) P(X>1)
P(X=2)= e-4 * P(X=3)= e-4 *
P(X=2)= 0.018315638 * P(X=3)= 0.018315638 *
P(X=2)= 0.018315638 * 8 P(X=3)= 0.018315638 * 10.66666667
P(X=2)= 0.146525111 P(X=3)= 0.195366814
P(X=4)= e-4 * P(X>1)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
P(X=4)= 0.018315638 * P(X>1)= 0.146525111+0.195366814+
0.195366814
P(X=4)= 0.018315638 * 10.66666667
P(X=4)= 0.195366814 P(X>1)=0.537258739
e) μX
μX= 4
f) σx
σx=
σx= 2
suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso
tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el numero de
contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen este defecto.
Determine:
a) P(X=3)
b) P(X≤2)
c) P(1≤X<4)
d) μX
e) σx
a) P(X=3)= e-3*
P(X=3)= 0.049787068 *
P(X=3)= 0.049787068 * 4.5
P(X=3)= 0.0224041807

11. b) P(X≤2)
P(X=0)= e-3 * P(X=1)= e-3 *
P(X=0)= 0.049787068 * P(X=1)= 0.049787068 *
P(X=0)= 0.049787068 * 1 P(X=1)= 0.049787068 * 3
P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205
P(X=2)= e-3* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 0.049787068 * P(X≤2)= 0.049787068+0.149361205+
0.149361205
P(X=2)= 0.049787068 * 4.5
P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008
c) P(X<2)
P(X=1)= e-3 * P(X=2)= e-3*
P(X=1)= 0.049787068 * P(X=2)= 0.049787068 *
P(X=1)= 0.049787068 * 3 P(X=2)= 0.049787068 * 4.5
P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807
P(X=3)= e-3* P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
P(X=3)= 0.049787068 * P(X<2)= 0.149361205+0.224041807+
0.224041807
P(X=3)= 0.049787068 * 4.5
P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819
d) μX
μX= 3
e) σx
σx=

12. σx= 1.732030808
3.- el numero de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una
variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2
horas?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?
P(X=3)= e-8*
P(X=3)= 3.354626279x10-4 *
P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667
P(X=3)= 0.09160366
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?
P(X=10)= e-12*
P(X=10)= 6.144212353x10-6 *
P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571
P(X=10)= 0.104837255
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2
horas?
P(X=0)= e-12* P(X=1)= e-12*
P(X=0)= 6.144212353x10-6 * P(X=1)= 6.144212353x10-6 *
P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 1 P(X=1)= 6.144212353x10-6 * 12
P(X=0)= 6.144212353x10-6 P(X=1)= 7.373054824x10-5
P(X=2)= e-12* P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 6.144212353x10-6 * P(X<3)= 6.144212353x10-6 +
7.373054824x10-5 +

13. P(X=2)= 6.144212353x10-6 * 72 4.423832894x10-4 =
P(X=2)= 4.423832894x10-4 P(X<3)= 5.2225805x10-4
una variable aleatoria X tiene una distribucion binomial y una variable Y tiene una
distribucion de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a 3. ¿Es posible
determinar que variable aleatoria tiene la varianza mas grande? Elija una de las
siguientes respuestas:
i) Sí, X tiene la varianza mas grande.
ii) Sí, Y tiene la varianza mas grande
iii) No, se necesita conocer el numero de ensayos,n, para X.
iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X.
v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y.
Fórmula para determinar la varianza en una distribución binomial:
σ2x= (1-p)
σ2x= (1-3)
σ2x= -2
Formula para determinar la varianza en una distribución Poisson:
σ2y= λ
σ2y= 3
Respuesta:
ii) Sí, Y tiene la varianza más grande
La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por
completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el numero de
partículas que son retiradas. Determine.
a) P(X=5)
b) P(X≤2)
c) μX
d) σx
a) P(X=5)= e-6 *
P(X=5)= 2.478752177x10-3 *
P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8
P(X=5)= 0.160623141

14. b) P(X≤2)
P(X=0)= e-6 * P(X=1)= e-6 *
P(X=0)= 2.478752177x10-3 * P(X=1)= 2.478752177x10-3 *
P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)= 2.478752177x10-3 * 6
P(X=0)= 2.478752177x10-3 P(X=1)= 0.014872513
P(X=2)= e-6 * P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 2.478752177x10-3 * P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+
0.044617539
P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18
P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804
c) μX
μX= 6
d) σx
σx=
σx= 2.449489743
Sea T ~ t(4,0.5):
determinar
b) Determinar

15. c) Determinar P(T
P(T
= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) -e
(0.5)(1)
=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636
=0.000175
d) Determinar P(T
P(T
= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) -e
(0.5)(3)
=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551
=0.9344
Sea T ~ Weibull(0.5,3)
a) Determinar
b) Determinar
c) Determinar P(T
P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-
En el articulo “Parameter Estimation with Only One Complete Failure
Observation”se modela la duracion en horas, de cierto tipo de cojinete con la
distribucion de Weibull con parámetros

16. a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horas
b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas
P(T<2000)= P(T
c) La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en
T=2000 horas?
h(t) =
La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema computacional
tiene una distribución de Weibull con
a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10 000
horas?
P(T>10 000 ) =1 –(1-
=0.3679
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000
horas?
P(t<5000) =P(T
Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallara
cuando alguno de los componentes falle. Sea T el momento en el que el sistema
falla. Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y X2
son independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con
2
a) determine P(
P(
b) determine P(T 5)

17. P(T =0.8647
c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus
parametros?
Si, T~ Weibull (2,
Determine el área bajo la curva normal
a) Ala derecha de z= -0.85.
b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.
c) Entre z =0.30 y z = 0.90.
d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45
Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemas
A – 1 – 0.1977 = 0.8023
B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478
C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338
D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404
puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con media
de 480 y desviación estándar de 90.
a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700?
b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?
c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se encuentra?
d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?
µ = 480 σ = 90
A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073
B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67

18. El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7
C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082
Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91
D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67
Z = (520 – 480)/90 = 0.44
El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186
La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media
de 10 giga pascales (Gpa)
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga
resistencia mayor a 12 GPa?
b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.
c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.
µ = 10 σ = 1.4
A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764
B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67
El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.
C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645
El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.
La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un caldo, cuyo
contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La concentración optima e
azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración excede los 6 mg/mL, el hongo muere
y el proceso debe suspenderse todo el día.
a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye
normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL
en que proporción de días se suspenderá el proceso?
b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar
que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y
desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con
menos días de producción perdida?

19. A) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336
B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228
Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días
El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye con media de
12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.
a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?
b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor
debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?
c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe
fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?
A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475
B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas
C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas