1. INTEGRAL DAN PENERAPANNYA
DI BIDANG EKONOMI
PENGERTIAN
Pengintegrasian adalah kebalikan dari penurunan suatu
fungsi. Jika turunan suatu fungsi : Y = f (X) ; maka untuk
menentukan fungsi asalnya melakukan pengintegrasian.
F (X) = ∫ f (x) dx ;
Keterangan:
∫ : Tanda Integral
f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan)
dx : Operator penurunan yang mengikat operasi
yang dibentuk terhadap variabel X.
dF(X) / dx = f (x) ; maka : ∫ f(x) dx = F (X) + C
Contoh :
F(X) = 2X2 + 3X + 5 .......dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3
F(X) = 2X2 + 3X + 10…. dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3
F(X) = 2X2 + 3X + 100….dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3
Dengan demikian :
∫ (4X +3) dX = 2X2 + 3X + C

2. Nilai ”C” mungkin 5 ; mungkin ”C” = 10 ; dan Mungkin ”C” =
100.
Jika nilai C didefinisikan (tertentu atau dapat ditentukan) dan nilai
X ditentukan berarti membicarakan Integral Tertentu (Integral
Definit)
Sebaliknya jika nilai C tidak didefinisikan (tidak ditentukan)
berarti membicarakan Integral Tak Tentu (Integral In-definit).
II. ATURAN-ATURAN INTEGRASI
(1). HUKUM PANGKAT:
∫ Xn dx = 1 / (n+1) X(n+1) + C
Contoh (1) :
∫ X3 dx = 1 / (3+1) X (3+1) + C;
∫ 2 dx = 2X + C;
∫ X3/2 dx = 1/ (3/2 + 1) X (3/2 + 1) + C = 1/(5/2) X (5/2) + C;
(2). ATURAN EKSPONENSIAL:
∫ e X dx = ex + C;
∫ a X dx = ax / ln a + C ;
Contoh (2): ∫ 2 X dx = 2x / ln 2 + C ;

3. (3). ATURAN LOGARITMA:
∫ 1/X dx = ln X + C; dan X > 0
Bentuk : 1/X tidak dapat dianalogkan menjadi bentuk X-1
Sehingga tidak dapat diintegralkan dengan menggunakan
aturan integrasi bentuk pangkat Xn (seperti contoh no. 1);
melainkan harus tetap menggunakan aturan di atas (aturan
logarirma)
Contoh (3):
∫ 1/(2X). dx = ∫ (½). 1/X. dx = ½ ∫ (1/X) dx
= ½ Ln X+C.
(4). INTEGRAL DARI SUATU PERKALIAN:
∫ k. f(X) dx = k. ∫ f(X) dx;
Contoh (4):
∫ 2X2 dx = 2 ∫ X2 dx = 2 ( 1/3 X3 ) + C = 2/3 X3 + C ;
∫ 2X2 - 3X + 5 dx = 2/3 X3 – 3/2 X2 + 5X + C ;

4. (5). HUKUM PENGGANTIAN :
5.1. PENGERTIAN DAN CONTOH SOAL
Sebelum melakukan integrasi dari suatu integran, maka suku
atau sebagian suku dari suatu integran dimisalkan menjadi
“U”; selanjutnya baru melakukan proses integrasi dengan
menggunakan aturan-atruran integrasi.
Contoh (5.1.1):
∫ X (X2 + 6) dx = …..?
X2 + 6 dimisalkan = U …….. U = X2 + 6;
dU/dX = 2X……dX = dU/2X
Sehingga : ∫ X (X2 + 6) dx = ∫ X .(U). dU/2X
= ∫ 1/2.(U). dU = (1/2).(1/2). U2 + C
= ¼ U2 + C = ¼. (X2 + 6 )2 + C;
(Ingat bahwa: U = X2 + 6 ).
Contoh (5.1.2):
∫ 2X (X2 + 1) dx = …..?
X2 + 1 dimisalkan = U …….. U = X2 + 1;
dU/dX = 2X……dX = dU/2X

5. Sehingga : ∫ 2X (X2 + 1) dx = ∫ 2X .(U). dU/2X
= ∫ (U). dU = (1/2). U2 + C
= 1/2 (X2 + 1)2 + C = 1/2. (X4 +2X2 + 1 )+ C;
= 1/2X4 +X2 + ½ + C.
(Ingat bahwa: U = X2 + 1 ).
5.2. ATURAN INTEGRASI DALAM HUKUM
PENGGANTIAN
Aturan Pertama :
∫ Un dU = 1/(n+1) U (n+1) + C;
Contoh (5.2.1):
∫ (2X+1) 3 dx = …..?
Misalkan : 2X + 1 = U ..........U = 2X + 1
dU/dX = 2 ....dX = dU/2;
∫ (2X+1) dx = ∫ U dU/2 = ∫ ½ U 3 dU = ......?
3 3
= ½. ¼. U4 + C;
= 1/8. (2X+1)4 + C
Aturan Kedua:

6. ∫ 1/U dU = ln U + C;
Contoh:
∫ X / (X2+1) dx = .......?
Misalkan : U = X2 + 1........dU/dX = 2X ....dX = dU/
2X
∫ X. 1/U.dU/2X = ∫ 1/2. 1/U.dU = ½ (ln U) + C
= ½.ln (X2+1) + C. Jika X = 5 dan C = 10 ;
tentukan Nilai fungsi asal tersebut....?
Aturan Ketiga:
∫ aU dU = aU/ ln a + C ;
Contoh:
∫ a(2X-1) dx = ……?
Misalkan : U = 2X-1 …..dU/dX = 2 ….dX = dU/2.
∫ aU dU/2 = ∫ ½. aU dU = ½.(aU / lna) + C
(2x-1)
= ½. { a / ln a} + C. Nilai ”a” adalah
bilangan nyata.

7. Aturan Keempat:
∫ eU dU = eU + C;
Contoh:
∫ e(2x+1) dx = ……?
Misal: U = 2X + 1 ….dU/dX = 2…..dX = dU/2.
∫ eU dU/2 = ∫ ½. eU .dU = ½ (eU) + C = ½.e (2x+1) + C .
Aturan Kelima:
∫ ln U. dU = (U.ln U – U ) + C.
Contoh:
∫ ln (x+1). dx = ......?
Misal: U = x + 1 ......dU/dx = 1 .....dx = dU/1.
∫ ln U. dU = U.ln U – U + C;
= { x+1 (ln x+1) – (x+1) } + C.

8. Aturan Keenam:
∫ Un. Ln U. dU = U n+1{ln U/(n+1) – 1/(n+1)2}+ C;
Aturan Ketujuh:
∫ 1/ (U. Ln U). dU = ln (ln U) + C;
Aturan Kedelapan:
∫ U. eU. dU = eU (U-1) + C.
5.3. ATURAN PENGINTEGRASIAN BAGIAN
F (X) = U. V .......................Fungsi Semula;
Y’ = f (x) = U’.V + U.V’........Fungsi Turunan;
∫ f(x). dx = ∫ U’.V + ∫ U.V’
F (X) = ∫ U’.V + ∫ U.V’.... F(X) berbentuk : F(X) =U.V.
U.V = ∫ U’.V + ∫ U.V’
Jadi: ∫ U’.V = U.V - ∫ U.V’

9. Contoh:
∫ X. (X+1) ½ . dX = ......?
Misalkan :
V = X .....................V’ = 1
U’ = (X+1) ½ ......... U = ∫ (X+1) ½. dx
U = 1 / (1/2+1). (X+1)1/2+1
U = 2/3 (X+1)3/2
Ingat bahwa :
∫ U’.V = U.V - ∫ U.V’
∫ X. (X+1) ½ . dX = ...... ?
= {2/3 (X+1)3/2 }. (X) - ∫ {2/3 (X+1)3/2}. (1). dX
= (2/3 X.(X+1)3/2 ) - 2/3.{1/(5/2). (X+1) 5/2 } + C.
= 2/3 X (X+1)3/2 - 4/15 (X+1)5/2 + C .

10. III. INTEGRAL DEFINIT (INTEGRAL TERTENTU)
Integral Definit mempunyai nilai definit karena nilai X
dibatasi yaitu antara Xa dan Xb, serta Xa < Xb.
Xa : Batas terendah dari integrasi;
Xb : Batas tertinggi dari integrasi.
Xa ∫Xb f(X). dX = F(X) Xa /Xb = F(b) – F (a).
Contoh:
1 ∫5 3X2. dx = ………?
= 3. 1/3 X3 1 /5 = X3 1/5 = (5)3 – (1)3 = 125 – 1 = 124.

11. IV. KEGUNAAN INTEGRAL
1. Mengembalikan fungsi Turunan menjadi fungsi semula
(fungsi asalnya);
2. Menentukan luas bangun fungsi dalam susunan salib
sumbu.
Kegunaan Pertama :
Mengembalikan Fungsi Turunan Menjadi Fungsi Semula
(Fungsi Asalnya):
Contoh (1):
Diketahui : MC = Q + 5 ; jika diproduksi 10 unit Biaya total 125;
Tentukan Fungsi Biaya Total (TC) ....?
TC = ∫ MC. dQ = ½ Q2 + 5Q + C ;
125 = ½ (10)2 + 5(10) + C ....... C = 25.
TC = ½ Q2 + 5Q + 25.
Contoh (2):
Diketahui Fungsi peneriaan marginal : MR = 5 – 3Q; Tentukan
fungsi TR dan AR .....?
TR = ∫ MR. dQ = ∫ (5-3Q) dQ = 5Q – 3/2Q2 + C dan C =0
TR = 5Q -3/2Q2 dan AR = TR/Q = 5 – 3/2Q.

12. Contoh (3):
Diketahui fungsi Produk marginal : MP = 9 + 16X -3X 2; Tentukan
Fungsi Produksi Total (TP)....?
TP = ∫ MP. dX = 9X + 16/2 X2 – 3/3 X3 + C
TP = 9X + 8X2 – X3 + C ; dan C = 0.
TP = 9X + 8X2 – X3.
Contoh (4):
Diketahui Kecenderungan konsumsi marginal (Marginal
Propensity to Save): MPC = 0,8 ; dan Konsumsi pada saat
pendapatan Nol (Y=0) adalah Rp 15, - ; Tentukan Fungsi konsumsi
( C* ) ......?
Funsi Konsumsi C* = f (Y) ……. dC*/dY = MC = f (Y).
Dan MC = 0,8
C* = ∫ MC. dY = ∫ 0,8. dY
C* = 0,8 Y + C;.......... 15 = 0,8 (0) + C ......C = 15.
Jadi fungsi konsumsi : C* = 0,8 Y + 15.

13. Contoh (5):
Diketahui fungsi kecenderungan tabungan marginal (Marginal
Propensity to Save) : MPS = 0,3 – 0,1 Y-1/2 ; diwaktu Tabungan
Nol (S = 0) Pendapatan ( Y = 81); Tentukan Fungsi Tabungan....?
S = ∫ MPS. dY = ∫ (0,3-0,1Y-1/2) dY = 0,3Y – 0,2 Y1/2 + C.
S = 0,3Y – 0,2 Y1/2 + C.
S = 0 maka: Y = 8;
0 = 0,3 (61) – 0,2 (81)1/2 + C…….jadi: C = -22,5.
S = 0,3Y – 0,2 Y1/2 - 22,5.
Contoh (6):
Diketahui Fungsi Marginal Cost : MC = 2.e 0,2Q ; Biaya produksi
(TC = 90) diwaktu produksi Nol (Q=0) . Bentuklah fungsi TC….?
TC = ∫ MC.dQ = ∫ 2.e 0,2Q .dQ ; Misalkan : 0,2 Q = U.
U = 0,2 Q ….dU/dQ = 0,2 ……dQ = dU/0,2.
TC = ∫ 2.e U . dU/0,2 = ∫ 2/0,2. e U . dU = = ∫ 10. e U . dU
TC = 10.eU + C ....TC = 10. e 0,2Q + C;
90 = 10. e 0,2(0) + C ......C = 80. Jadi : TC = 10. e 0,2Q + 80.

14. Kegunaan Kedua:
Menentukan Luas Bangun Bungsi
Dalam Susunan Salib Sumbu
I. Cara Menentukan Luas Bangun Fungsi:
Tentukan Luas bangun fungsi yang dibatasi : Y = X + 1
dan Xa =1 dan Xb = 5 …..?
Y
Y=X+1
X
0
0 Xa=1 Xb=5
LA = (½ X2 + X ) 1/5 = {½ (5)2 + (5)} – {1/2(1)2 +(1)} = 16
LA = 16.
II. Penerapan Dibidang Ekonomi:

15. 2.1. Menghitung Surplus Konsumen (SK)
Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q + 6; Kuantitas dan Harga
Keseimbangan Pasar ( Qe = 2 dan Pe = 4 ). Tentukan Besarnya
Surplus Konsumen …..?
Y
S
( 2,
4)
D…P= -Q+6
Sb X
Surplus Konsumen (Consumers Surplus) :
Dari Gambar di atas fungsi permintaan menunjukkan persamaan
yang menunjukkan hubungan antara jumlah barang yang dibeli
dengan haraga barang tersebut. Harga keseimbangan pasar yang
terjadi adalah Pe (Pe=4), dan jumlah barang yang diminta Qe
(Qe=2).
Apabila kemampuan daya beli konsumen perunit barang di atas
dari harga pasar (Pe) atau Harga pasar dalam kenyataannya di
bawah kemampuan daya beli konsumen berarti konsumen
mendapat keuntungan utilitas (bukan keuntungan yang
sebenarnya).

16. Oleh karena itu Surplus Konsumen sebagai keuntungan utilitas
yang diperoleh konsumen sebagai dampak dari kenyataan bahwa
harga pasar (Pe) lebih rendah dari kemampuan daya beli konsumen
per unit barang (P).
Untuk Menentukan Besarnya Surplus Konsumen (Keuntungan
Utilitas Total Konsumen) menggunakan rumus:
SK = Q0∫Qe f(D). dQ - Qe.Pe ;
Dari Contoh soal diatas dapat dihitung surplus Konsumen sebagai
berikut:
SK = 0∫2 (-Q+6)). dQ - Qe.Pe
SK = -1/2 Q2 + 6Q 0/2 – (2.4)
SK = {-1/2 (2)2 + 6(2)} - {-1/2 (0)2 + 6(0)} – (8)…..SK = 2.
Contoh Soal (1):
Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q + 10; Jika Harga
Keseimbangan Pasar (Pe = 4 ). Tentukan Besarnya Surplus
Konsumen …..?
Contoh Soal (2):

17. Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q2 + 16; Jika Harga
Keseimbangan Pasar (Pe = 12 ). Tentukan Besarnya Surplus
Konsumen …..?
Contoh (3):
Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q2 + 16; Jika Harga
Keseimbangan Pasar (Pe = 12 ). Tentukan Besarnya Surplus
Konsumen …..?
2.2. Menghitung Surplus Produsen (SP)
Fungsi penawaran menunjukkan kuantitas barang yang ditawarkan
pada berbagai tingkat harga. Jika harga pasar Pe dan jumlah
penawaran Qe. Produsen sebenarnya bersedia menawarkan
barangnya dengan harga di bawah harga pasar Pe. Dalam posisi
seperti ini berarti penjual/produsen beruntung (produsen mendapat
keuntungan utilitas).
Surplus Produsen adalah keuntungan utilitas yang diperoleh
produsen sebagai dampak dari harga pasar di atas harga kesediaan
penjual untuk menjual barangnnya.
Contoh (1):
Diketahui Fungsi Penawaran : P = Q + 4 ; jika harga keseimbangan
pasar diketahui Pe = 7 ; Tentukan besarnya Surplus Produsen....?

18. Y
S …P= Q + 4
( 3, 7 )
Sb X
SP = Qe.Pe - Q0∫Qe f(Q). dQ
SP = Qe.Pe - Q0∫Qe f(S). dQ.
Dari Cotoh Soal di atas dapat ditentukan surplus produsen sebagai
berikut:
SK = 3.7 - 0∫3 (4 + Q). dQ
SP = 21 – { 4Q + ½ Q2} 0/3
SP = 21 – {(4.3 + ½. 32 ) – (4.0 + ½. 02 ) =….
SP = 21 – 7,5 = 13,5.

19. Contoh Soal (2):
Diketahui fungsi permintaan P = 36 – Q2 dan fungsi penawaran :
P 6 + ¼ Q2.
Tentukan :
a. Harga dan Kuantitas keseimbangan pasar;
b. Besarnya Surplus Konsumen;
c. Besarnya Surplus Produsen.
2.3. Menghitung Laba Maksimum Dengan
Integral
╥ Total maksimum = ∫Q* MR.dQ -
Q0 Q0 ∫Q* MC .dQ
Sb.Y
╥ mak
MC
MR
Sb. X
00 Q*

20. Contoh :
MR = 25 – 5Q -2Q2 dan MC = 15 -2Q – Q2; Tentukan
Keuntungan Total Maksimum ….?
Laba Maksimum: MR = MC
25 – 5Q -2Q2 = 15 – 2Q -Q2
Q2 + 3Q – 10 = 0…….(Q+5) (Q-2) = 0….Q* = 2.
╥ maksimum = Q0∫Q* (25 – 5Q -2Q2).dQ
- ∫Q* (15 -2Q – Q2 ). dQ
Q0
╥ maksimu = {25Q-5/2Q2-2/3Q3} 0/2 -
{ 15Q –Q2- 1/3 Q3} 0/2
╥ maksimum = {25.2 – 5/2.22- 2/3.23 } – { 15.2- 22 – 1/3.23}
╥ maksimum = 34/3
2.4. Investasi dan Pembentukan Modal.
Persediaan modal, besarnya akan tergantung dengan waktu, atau
persediaan modal fungsi dari waktu. Tingkat pembentukan modal
atau derivatif dK/dT.
dK/dT = I (t) = 3 t1/2.

21. K(t) = ∫ I(t).dt.
= ∫ dK/dT.dt
K(t) = ∫ 3 t1/2.dt = 2 t 3/2 + C
Di awal waktu (t=0); K(0) = 2.0 3/2 + C .....C = K(0);
misal modal awal/modal periode awal: K(0) = 1000.....
C = 1000.
Fungsi persediaan modal :
K(t) = 2 t3/2 + 1000 . (Alpha Chiang:927).
Berdasarkan contoh ini kita dapat menyatakan bahwa jumlah
akumulasi modal selama interval waktu 0 s.d. t dengan integral
definit :
0 ∫t I (t). dt = K(t) 0/t
0 ∫t I (t). dt = K(t) – K(0) atau
K(t) = K(0) + 0∫t I(t).dt.

22. Sb .I
I= I (t)
0
∫t I (t). dt = K(t) – K(0)
Sb. t
Keterangan:
 dK/dt : Pertambahan modal persatuan waktu;
 Tingkat pembentukan modal (dKdt) pada waktu t adalah
identik dengan tingkat aliran investasi Netto (Net Investment)
pada waktu ”t” (tingkat investasi netto pertahun;
 Persediaan modal awal pada waktu t = 0 adalah K(0);
 K(t) menunjukkan jumlah K yang ada pada setiap titik waktu;
Contoh (1):
Bila investasi netto merupakan aliran konstan pada I(t) = 1000
satuan pertahun; berapakah total investasi netto (pembentukan
modal) selama satu tahun dari t = 0 s.d. t =1.
Jawab:
0 ∫1 I (t). dt = ∫1 1000. dt = 1000 t 0/1 = 1000.
0

23. Contoh (2):
Bila Investasi netto pada tahun ke t : I(t) = 3 t1/2 (ribuan dollar
pertahun) yaitu aliran yang tidak konstan. Apa yang terjadi dengan
pembentukan modal selama interval waktu (1, 4), yaitu selama
tahun kedua, ketiga, dan keempat.
Jawab:
0 ∫4 I (t). dt = 0∫4 3 t1/2. dt = 2 t 3/2 1/4 = 16-2 = 14.
Berdasarkan contoh di atas, kita dapat menyatakan jumlah
akumulasi modal selama interval waktu (0, t), untuk setiap tingkat
investasi I(t).
0 ∫t I (t). dt = /t = K(t) – K(o)
K(t) 0
atau : K(t) = K(0) + 0∫t I (t). dt.
Keterangan:
 K(t): menunjukkan jumlah K yang ada pada setiap titik
waktu;
 dK/dt : pertambahan modal (K) persatuan waktu atau disebut
tingkat pembentukan modal pada waktu ”t”;
 K(0) : Persediaan modal awal atau persediaan modal pada
waktu t = 0;
 Jadi: K(t) = K(0) + 0 ∫t I (t). dt.
(Lihat gambar terdahulu).