1. MACVEST
GABARITO COMENTADO - LISTA I
Polinômios e números complexos
01 a) Demonstração.
Dicas: Calcule f(x+h), [f(x+h)-f(x)]/h e compare com o resultado de g(x + h/2)
b) Como f(1) = g(1) = f(-1) = 0, 1 é raíz de f(x) e g(x) e -1 é raiz de f(x). Tendo a1=1 e
substituindo x por 1 nas devidas equações, obtemos um sistema linear. Resolvendo e achando os
valores de a2, a1 e a0, obtemos como resposta o polinômio do 3º grau x3-x2-x+1.
02 Como 1+i é raiz da equação e a raiz da equação é tida a partir da seguinte relação:
x 4 + a = 0 → x = √−a 4
Logo, sendo x = 1+i, temos:
4
1+i = √ −a
elevando−se ambos os membros a quarta potência , temos :
−a = (1+i)4
−a = (1+i)2⋅(1+ i)2
−a = (1+2i+i 2)⋅(1+ 2i+i 2 )
Como i= √−1,temos que i 2 = −1
−a = (1+2i−1)⋅(1+ 2i−1)
−a = (2i)⋅(2i )
−a = 4i 2
−a = −4
a = 4
03 a) Do gráfico, temos:
para x = -2, y=0;
para x = 1, y=0;
para x=0, y=2.
Substituindo os valores acima na equação ax³+bx+c, temos
(-2)³a+(-2)b+c = 0 → -8a-2b+c = 0 (I)
(1)³a+(1)b+c = 0 → a+b+c = 0 (II)
0a+0b+c = 2 → c = 2 (III)
Substituindo III em I e II, temos:
-8a-2b = -2 (dividindo por 2) → -4a-b = -1 (IV)
a+b = -2 (V)
Somando IV com V, temos:
-3a = -3
a = 1 (VI)
Substituindo VI em IV:
-4.1-b = -1 → -b = 3 → b = -3
Portanto, os coeficientes a, b e c vale, respectivamente, 1, -3 e 2.
b) Sabemos que só são raízes da equação -2 e 1, porém, temos que saber a multiplicidade destas
raízes. Portanto, analisemos as equações de grau inferior ao grau do polinômio.
O polinômio em questão é:
P(x) = x³-3x+2
1

2. Valendo-se do algoritmo de Briot-Ruffini, vem:
1 0 -3 2 | 1
1 1 -2 0 |
Logo, o polinômio de segundo grau que vem de P(x) é Q(x) = x²+x-2. Analisando as raízes de
Q(x), vemos que elas são -2 e 1, sendo, também, -2 e 1 raízes de P(x). Como 1 já é raiz de P(x),
dizemos que 1 é raiz de multiplicidade 2 de P(x).
Logo, as raízes de P(x) são -2, com multiplicidade 1, e 1, com multiplicidade 2.
04 Considere a equação:
P(x) = x³ – (2a-1)x² – a(a+1)x + 2a²(a-1) = 0
E seja (a-1) uma raiz desta equação. Por definição, temos que se o polinômio é do 3º grau, ele
possui três raízes. Como temos uma delas, as outras duas serã, genericamente, r 1e r2. Com isso,
podemos aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini:
1 - (2a-1) - a(a+1) 2a²(a-1) | (a-1)
1 |
Simplificando o algoritmo:
1 -2a+1 -a²-a 2a³-2a² | (a-1)
1 -a -2a² 0 |
Com isso, sabemos que o polinômio de 2º grau que vem é:
Q(x) = x² – ax – 2a²
Resolvendo Q(x), de forma a determinar suas raízes:
x² – ax – 2a² = 0
Soma: -b/a = a
Produto: c/a = -2a²
Como a soma é positiva, a maior raíz é positiva e tendo-se o produto negativo, alguma raíz
também é negativa, porém, como a maior raíz já é positiva, a menor tem que, obrigatoriamente,
ser negativa. O produto pode ser fatorado, obtendo-se:
Produto: c/a = -2a . a.
Como (2a) é o maior fator, ele é positivo. Logo, o produto fica:
Produto = c/a = 2a . (-a)
Somente testando se 2a e (-a) são raízes:
Soma = 2a – a = a
Está mais que comprovado que 2a e (-a) são raízes da equação. Como 2a e (-a) são raízes do
polinômio Q(x) que foi obtido a partir do polinômio P(x), 2a e (-a) também são raízes de P(x).
Portanto, são raízes de P(x) (a-1), 2a e (-a).
05 TEMA DA QUESTÃO FORA DO CONTEÚDO ESTUDADO
06 a) Chamando a raíz média (maior que a menor e menor que a maior raíz), e como as raízes
formam uma progressão aritmética, de razão genericamente tomada como sendo r, temos:
P.A. = (a-r, a, a+r)
É dado que a soma das raízes é 9/5. Logo:
Soma: a-r+a+a+r = 9/5 → 3a = 9/5 → a = 3/5.
Também é dado que a diferença entre o quadrado da maior raíz e o quadrado da menor raíz é
24/5. Assim sendo:
(a+r)² – (a-r)² = (fatorando – diferença de dois quadrados) (a+r + a -r) (a+r – a +r) = (2a)(2r) =
4ar = 24/5.
Como a = 3/5, vem:
4.3r/5 = 24/5 → 12r/5=24/5 → r = 2.
2

3. De posse de a e r, a progressão aritmética em questão é:
P.A. = (3/5-2, 3/5, 3/5+2)
P.A. = (-7/5, 3/5, 13/5)
b) Sabemos que, pelo teorema fundamental da álgebra...
ATENÇÃO!!!!!!
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
1) Todo polinômio de grau maior que 1 pode vir a ter raízes complexas.
2) Todo polinômio de grau maior que 1 pode ser decomposto como o produto da diferença
entre a variável e suas raízes (teorema da decomposição).
n n−1 n−2
a n x + a n−1 x +a n −2 x + ...+ a 1 x + a0 =a n⋅( x−r 1)⋅(x−r 2 )⋅ x−r 3)⋅...( x−r n−1)⋅( x−r n)
(
3) Corolário do teorema da decomposição (Decorrência de um teorema): Um polinômio de
grau n pode ser decomposto em um produto de n fatores de grau 1.
4) Corolário do corolário: Sendo verdade que um polinômio de grau n pode ser decomposto
em n fatores de grau 1 e como cada fator de grau 1 envolve a diferençaentre a variável e uma
raíz, então um polinômio de grau n possui n raízes.
É claro que você não deve mostrar que você sabe de onde vem a definição com tanto
espalhafato, como agora, no vestibular... Então, retomando:
Sabemos que, pelo teorema fundamental da álgebra, o polinômio P(x) pode ser obtido pelo
produto (Teorema da decomposição):
−7 3 13
P (x )=5⋅ x−(
( ))⋅ x− )⋅ x− )
( (
5 5 5
Realizando as operações necessárias, chegamos na seguinte expressão:
125 x 3−225 x 2−365 x+ 273
P (x )=
25
Que pode ser representado também por:
125 x3 225 x 2 365 x 273
P (x )= − − +
25 25 25 25
Vemos que o coeficiente de grau 1 é -365/25.
Simplificando a fração, temos que o coeficiente em questão é – 73/5.
1 1
07 a) Sendo Z0= − + i , fazendo-se o MMC entre as frações, temos:
1+i 2i
1 1 1⋅2i−1⋅ (1+i )+i⋅ 2i)⋅(1+i )
(
Z0= − + i →Z 0=
1+i 2i (1+i )⋅2i
Sendo assim, temos:
2i−1−i+ 2i 2 +2i 2 + 2i 3
Z0=
2i+2i 2
3

4. Como i= √−1 , temos que
i 3= √−1⋅√ −1⋅√−1=−i
e i 2=√−1⋅√−1=−1
Sendo assim:
2i−1−i+ 2i 2 +2i 2 + 2i 3 2i −1−i −2−2−2i −i−5
Z0= = =
2i+2i 2 2i−2 2i−2
Multiplicando-se pelo conjugado do denominador, temos:
−i−5 2i+ 2 (−i−5)⋅(2i+ 2) −2i 2−10i−2i−10 2−12i−10 −8−12i 8 12i
Z0= ⋅ = = = = = −
2i−2 2i+ 2 (2i)2−22 4i 2−4 −4−4 −8 −8 −8
3
Z 0=1+ i
2
Logo, a parte real (Re) de Zo = 1 e a parte imaginária (Im) de Zo = 3/2.
b) O teorema das raízes complexas...
ATENÇÃO!!!!!!
TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS
Se z = a+bi for raiz de um polinômio, z = a-bi (seu conjugado) também o será.
Continuando... O teorema das raízes complexas nos garante que:
3 3
Se z 0=1+ i é raiz , z 0 =1− i também será raiz
2 2
Como o exercício pede um polinômio que possua Zo como raíz, o termo de maior grau do
polinômio pode ser considerado 1, no momento. Logo, pelo teorema fundamental da álgebra:
3 3 3 3 3 3 2 13
P ( x )=1⋅(x−1− i)⋅ x−1+3/2 i)=x 2−x− xi−x +1+ i+ xi− i−( i) =x 2−2x+
(
2 2 2 2 2 2 4
Como procura-se um polinômio de coeficientes inteiros, vem:
2 13 2
x −2x+ (⋅4)=0(⋅4)→4x −8x +13=0
4
Então, 4x²-8x+13 é a equação com menores coeficientes inteiros que possui Zo como raiz.
c) Considerando genericamente w=a+bi, temos:
3 3a 3b
z 0⋅w=(1+ i)⋅(a +bi)=a+ i+bi+ i 2
2 2 2
Como i² = -1:
3a 3b
z 0⋅w=a + i+ bi−
2 2
Colocando-se i em evidência onde é conveniente, temos:
3b 3a
z 0⋅w=(a− )+( + b)i
2 2
Do plano complexo, temos que, para um número complexo y = c+di, o seu módulo fz parte da
equação |y|²=c²+d². Então:
4

5. √ √ √
2 2 2 2 2 2
3b 3a 2 9b 9a 2 2 9b 9a 2
∣z 0⋅w∣= (a− 2 ) +( 2 +b) = a −3ab+ 4 + 4 +3ab +b = a + 4 + 4 + b =5 √ 2
Calculando-se o MMC entre as frações, temos:
∣
√
z 0⋅w∣= a 2+
9b 2 9a 2 2
4
+
4 √
+b =
13a 2+ 13b2 √13a 2 +13b 2
Elevando-se ambos os membros da equação ao quadrado, vem:
4
=
2
=5 √ 2
13a 2+13b 2
=25⋅2→13a 2+ 13b2=100
4
Mas, como o exercício pede um complexo Zo.W que possua as partes real e imaginária iguais,
vem:
3b 3a
a− = +b
2 2
3a 3b
a− = +b
2 2
2a−3a 2b+ 3b
=
2 2
−a 5b
=
2 2
−a=5b
a=−5b
Como a = -5b, temos:
13a 2 +13b2 =100
2 2
13⋅ (−5b) +13b =100
2 2
325b +13b =100
2
338b =100
2 50
b=
169
b=5 √
2
13
como a = -5b:
b=5 √ a=−5b→a=−5⋅5 √
2 2
13 13
a=−25
√2
13
Logo, o número complexo w=−25 +5
√2 √2 i
13 13
d) TEMA DA ALTERNATIVA AINDA NÃO ESTUDADO
08 a) Sendo o polinômio P(x) = x³ – 14x² + kx – 64 = 0 e chamando de b a raiz média e
denominando-se genericamente a razão de q, temos:
P.G. = (a/q, a, a.q).
Das relações de Girard, vem:
Soma: -b/a = 14
Produto: -d/a = 64
Logo:
5

6. 2
a a+ a⋅q+ a⋅q
+ a+ a⋅q=14→ =14→a +a⋅q +a⋅q 2=14q
q q
e
a 3 3
⋅a⋅a⋅q=64→ a =64→a=√ 64→a=4
q
Substituindo a=4 na primeira equação, temos:
a+ a⋅q+ a⋅q 2=14q
⋅1
4+ 4q + 4q 2=14q →4q 2−10q + 4=0 ( )→2q 2−5q + 2=0
2
Resolvendo-se a equação, achamos q' = 2 ou q'' = ½.
Portanto, as possíveis progressões podem ser:
P.G. = (a/q, a, a.q)
P.G. = (2, 4, 8) ou P.G. = (8, 4, 2)
Logo, as raízes são 2, 4 e 8.
b) Temos que o produto das raízes duas a duas é:
Produto 2x2: c/a = k
Logo:
2.4 + 2.8 + 4.8 = k
8 + 16 + 32 = k
k = 56
09 QUESTÃO RESOLVIDA EM SALA
(A resolução será feita a parte)
−1 √ 3
10 a) Sendo o número ω= + i um número complexo, temos que:
2 2
1 1 2
ω= =
−1+ √3 i −1+ √ 3i
2
Multiplicando-se o denominador pelo seu conjugado, temos:
1 2 −1−√ 3 i 2⋅(−1− √3 i) −2−2 √ 3i −2−2 √3 i −2−2 √ 3 i
ω =−1+ 3i ⋅−1− 3 i = (−1+ 3 i)⋅ = 2
=
1−(−3)
=
4
√ √ √ (−1− √3 i) (−1 )−(√ 3i)2
Simplificando a expressão, vem:
1 −2 −2 √ 3 i −1 √ 3 i
ω= 4 + 4 = 2 − 2
Temos, também, que:
3
−1 √ 3 i −1 √ 3i −1 √ 3i −1 √ 3 i 9 5 √ 3 i
ω3=( + ) =( + )⋅( + )⋅( + )= −
2 2 2 2 2 2 2 2 8 8
1
Portanto, as partes real (Re) e imaginária (Im) dos números ω e ω 3 são:
1 −1 −√ 3 3 9 −5 √ 3
ω : ℜ= 2 e ℑ= 2 e ω : ℜ= e ℑ=
8 8
6

7. b) Os números 1
ω e ω estão representados no gráfico abaixo:
3
1
onde ⃗ ω e ⃗=ω3
AB= BC
c) Se substituirmos z=1 na equação z³-1 = 0, veremos que 1-1=0. Logo, 1 é raiz. Valendo-se do
algoritmos de Briot-Ruffini, vem:
1 0 0 -1 | 1
1 1 1 0|
Logo, a equação de segundo grau que vem de z³-1=0 é z² + z + 1 = 0. Resolvendo-se a equação,
temos:
−1±√1 2−4
z=
2
−1± √−3
z=
2
−1±√ 3⋅√ −1
z=
2
−1±√ 3i
z=
2
−1− √ 3 i −1+ √ 3 i
As raízes complexas z '= e z ' '= são raízes da equação z³-1 = 0.
2 2
7