O documento apresenta os conceitos fundamentais de derivadas matemáticas, incluindo: (1) como calcular a reta tangente a uma curva no ponto P; (2) como a derivada representa a velocidade instantânea de um objeto em movimento; e (3) como a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função.
2. Derivadas
Recta Tangente
Seja C uma curva de equa¸c˜ao y = f(x). Para determinar a recta
tangente a C no ponto P de coordenadas (a, f(a)), i.e,
P(a, f(a)), come¸camos por considerar um ponto Q(x, f(x)), com
x = a e calculamos a inclina¸c˜ao da recta secante PQ:
mP Q =
f(x) − f(a)
x − a
Depois, ”aproximamos o ponto Q” do ponto P, fazendo x tender
para a. Se mP Q tender para um n´umero m, ent˜ao definimos a
recta tangente t como a recta que passa por P e tem inclina¸c˜ao
m.
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3. Derivadas
A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) ´e a
recta que passa por P e tem inclina¸c˜ao
m = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
( ou m = lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
)
desde que esse limite exista.
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4. Derivadas
Velocidade
Suponha um objecto a mover-se sobre uma linha recta de acordo
com a equa¸c˜ao y = s(t), onde s ´e o deslocamento do objecto a
partir da origem. A fun¸c˜ao s que descreve o movimento ´e chamada
fun¸c˜ao posi¸c˜ao do objecto. No intervalo de tempo entre t = a e
t = a + h, a varia¸c˜ao na posi¸c˜ao ser´a de s(a + h) − s(a)
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5. Derivadas
A velocidade m´edia nesse intervalo ´e
velocidade m´edia =
deslocamento
tempo
=
s(a + h) − s(a)
h
que ´e igual `a inclina¸c˜ao da recta secante PQ.
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6. Derivadas
Suponha que a velocidade m´edia ´e calculada em intervalos cada
vez menores [a, a + h], isto ´e, fazemos h tender para 0.
Definimos velocidade (ou velocidade instantˆanea), v(a), no
instante t = a como o limite dessas velocidades m´edias:
v(a) = lim
h→0
s(a + h) − s(a)
h
Assim, a velocidade no instante t = a ´e igual `a inclina¸c˜ao da recta
tangente a y = s(t) em P(a, s(a)).
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7. Derivadas
Taxa de varia¸c˜ao
(Recordemos...)
Suponha que y ´e uma quantidade que depende de outra
quantidade x. Assim, y ´e uma fun¸c˜ao de x e escrevemos y = f(x).
Se x variar de a para a + h, ent˜ao a varia¸c˜ao de x ´e
∆x = (a + h) − a = h
e a varia¸c˜ao correspondente de y ´e
∆y = f(a + h) − f(a)
O quociente
∆y
∆x
=
f(a + h) − f(a)
h
designa-se por taxa m´edia de varia¸c˜ao de y em rela¸c˜ao a x no
intervalo [a, a + h].
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8. Derivadas
Consideremos as taxas m´edias de varia¸c˜ao em intervalos cada vez
menores (fazendo h tender para 0, logo ∆x tende para 0). O
limite das taxas m´edias de varia¸c˜ao ´e designado por taxa
(instantˆanea) de varia¸c˜ao de y em rela¸c˜ao a x em x = a.
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
se este limite existir.
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9. Derivadas
Assim, a velocidade de uma part´ıcula ´e a taxa de varia¸c˜ao do
deslocamento em rela¸c˜ao ao tempo.
Seja R = R(x) a fun¸c˜ao de receita total para um produto.
Definimos receita marginal para um produto como a taxa de
varia¸c˜ao instantˆanea de R em rela¸c˜ao a x. Assim,
Se a fun¸c˜ao receita total para um produto for dada por y = R(x),
onde x ´e o n´umero de unidades vendidas, ent˜ao, a receita marginal
para a unidades ´e dada por
lim
h→0
R(a + h) − R(a)
h
desde que esse limite exista.
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10. Derivadas
Derivadas
O limite da forma
lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
surge sempre que calculamos uma taxa de varia¸c˜ao em v´arias ´areas
de estudo. Uma vez que este tipo de limite surge amplamente, s˜ao
dados a ele um nome e uma nota¸c˜ao especiais.
Defini¸c˜ao
A derivada de uma fun¸c˜ao f num ponto a, denotada por f′(a), ´e
f′
(a) = lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
se o limite existir.
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11. Derivadas
Algumas nota¸c˜oes alternativas para a derivada da fun¸c˜ao y = f(x):
f′
(x), y
′
,
dy
dx
,
df
dx
Por exemplo, sendo
y = f(x) = sin x
ent˜ao a derivada pode ser designada por
f′
(x) = cos x, y′
= cos x,
dy
dx
= cos x,
df
dx
= cos x
Iremos utilizar mais a nota¸c˜ao f′(x).
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12. Derivadas
Assim,
A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) ´e a
recta que passa por P e tem inclina¸c˜ao m = f′(a).
(´E a recta de equa¸c˜ao: y − f(a) = f′(a)(x − a) )
Se y = s(t) for a fun¸c˜ao posi¸c˜ao de um objecto, ent˜ao a
velocidade do objecto no instante t = a, v(a), ´e s′(a).
A taxa de varia¸c˜ao (instantˆanea) de y = f(x) em rela¸c˜ao a x
quando x = a ´e f′(a).
Se a fun¸c˜ao receita total para um produto for dada por y = R(x),
onde x ´e o n´umero de unidades vendidas, ent˜ao, a receita marginal
para a unidades ´e R′(a).
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13. Derivadas
Em aulas anteriores j´a determin´amos a derivada de algumas
fun¸c˜oes. Por exemplo, vimos que a derivada da fun¸c˜ao f(x) = ex ´e
f′(x) = ex, a derivada de g(x) = ln x ´e g′(x) = 1
x , a derivada de
h(x) = sin x ´e h′(x) = cos x e a derivada de m(x) = cos x ´e
m′(x) = − sin x.
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14. Derivadas
Fazendo uma an´alise ao gr´afico da fun¸c˜ao constante f(x) = c
observamos que o gr´afico ´e a recta horizontal y = c, cuja
inclina¸c˜ao ´e 0, logo devemos ter f′(x) = 0.
Por defini¸c˜ao podemos constatar que tal se verifica:
f′(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
c − c
h
= lim
h→0
0
h
= 0
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15. Derivadas
Derivada de uma fun¸c˜ao constante
Se f(x) = c, para c uma constante, ent˜ao f′(x) = 0.
Exemplos
Se f(x) = 5 ent˜ao f′(x) = 0.
Se f(x) = 1
3 ent˜ao f′(x) = 0.
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16. Derivadas
Iremos apresentar a derivada de v´arias fun¸c˜oes sem fazer a
respectiva demonstra¸c˜ao.
Regra da potˆencia
Se n for um n´umero real qualquer, ent˜ao para f(x) = xn vem
f′(x) = nxn−1.
Exemplos
Se f(x) = x ent˜ao f′(x) = 1x0 = 1
Se f(x) = x2 ent˜ao f′(x) = 2x1 = 2x
Se f(x) = x3 ent˜ao f′(x) = 3x2
Se f(x) = x
1
3 ent˜ao f′(x) = 1
3 × x(1
3
−1)
= 1
3 × x− 2
3
Se f(x) = 1
x2 ent˜ao f(x) = x−2 logo f′(x) = −2x(−2−1) = −2x−3
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17. Derivadas
Fun¸c˜ao exponencial f(x) = ex
Se f(x) = ex ent˜ao f′(x) = ex.
Fun¸c˜ao exponencial f(x) = ax, com a > 0 e a = 1
Se f(x) = ax ent˜ao f′(x) = ax ln a.
Exemplos
Se f(x) = 2x ent˜ao f′(x) = 2x ln 2
Se f(x) = (2
3)x ent˜ao f′(x) = (2
3)x ln 2
3
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18. Derivadas
Fun¸c˜ao logaritmo neperiano f(x) = ln x
Se f(x) = ln x ent˜ao f′(x) = 1
x.
Fun¸c˜ao logaritmo de base a f(x) = loga x, com a > 0 e a = 1
Se f(x) = loga x ent˜ao f′(x) = 1
x ln a .
Exemplos
Se f(x) = log3 x ent˜ao f′(x) = 1
x ln 3
Se f(x) = log1
4
x ent˜ao f′(x) = 1
x ln 1
4
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19. Derivadas
Fun¸c˜ao seno
Se f(x) = sin x ent˜ao f′(x) = cos x.
Fun¸c˜ao cosseno
Se f(x) = cos x ent˜ao f′(x) = − sin x.
Quando uma fun¸c˜ao ´e formada a partir de outras fun¸c˜oes (das
quais sabemos a sua derivada) por adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao ou
divis˜ao, a sua derivada pode ser calculada em termos das derivadas
dessas fun¸c˜oes, pelas regras que se seguem.
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20. Derivadas
Constante c a multiplicar por uma fun¸c˜ao g
Se f(x) = cg(x) ent˜ao f′(x) = cg′(x).
Exemplos
Se f(x) = 3x ent˜ao f′(x) = (3x)′ = 3(x)′ = 3 × 1 = 3
Se f(x) = 2 sin x ent˜ao f′(x) = (2 sin x)′ = 2(sin x)′ = 2 cos x
Se f(x) = 4x3 ent˜ao f′(x) = (4x3)′ = 4(x3)′ = 4(3x2) = 12x2
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21. Derivadas
Soma de fun¸c˜oes
Se f(x) = g(x) + h(x) ent˜ao f′(x) = g′(x) + h′(x), i.e,
[g(x) + h(x)]′
= g′
(x) + h′
(x)
”a derivada da soma ´e igual `a soma das derivadas”
Exemplos
Se f(x) = x2 + ln x e g(x) = 2x4 + cos x − ex ent˜ao
f′(x) = (x2 + ln x)′
= (x2)′ + (ln x)′
= 2x + 1
x
g′(x) = (2x4 + cos x − ex)′
= (2x4)′ + (cos x)′ + (−ex)′
= 2(x4)′ − sin x + (−1)(ex)′
= 2(4x3) − sin x + (−1)ex
= 8x3 − sin x − ex
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22. Derivadas
Multiplica¸c˜ao de fun¸c˜oes
Se f(x) = g(x)h(x) ent˜ao f′(x) = g′(x)h(x) + g(x)h′(x), i.e,
[g(x)h(x)]′
= g′
(x)h(x) + g(x)h′
(x)
”a derivada do produto ´e igual `a
derivada da primeira vezes a segunda
mais
a primeira vezes a derivada da segunda”
Exemplo
Se f(x) = x3 sin x ent˜ao
f′(x) = (x3 sin x)′
= (x3)′ sin x + x3(sin x)′
= 3x2 sin x + x3 cos x
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23. Derivadas
Quociente de fun¸c˜oes
Se f(x) =
g(x)
h(x)
ent˜ao f′(x) =
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
, i.e,
g(x)
h(x)
′
=
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
”a derivada do quociente ´e igual `a
derivada do numerador vezes o denominador
menos
o numerador vezes a derivada do denominador,
tudo a dividir pelo
quadrado do denominador”
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24. Derivadas
g(x)
h(x)
′
=
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
Exemplo
Se f(x) =
cos x
2x
ent˜ao
f′(x) =
cos x
2x
′
=
(cos x)′(2x) − (cos x)(2x)′
[2x]2
=
(− sin x)(2x) − (cos x)(2)
4x2
=
−2x sin x − 2 cos x
4x2
=
−2(x sin x + cos x)
4x2
=
−(x sin x + cos x)
2x2
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25. Derivadas
Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes
Se f(x) = g(x) ◦ h(x) ent˜ao f′(x) = g′(h(x)).h′(x), i.e,
[g(x) ◦ h(x)]′
= g′
(h(x)).h′
(x)
Exemplos
Se f(x) = sin(3x5) ent˜ao (sin(u))′ = d
du sin(u) = cos u, fazendo
u = 3x5 vem cos(3x5)
f′(x) = [sin(3x5)]′
= [cos(3x5)].(3x5)′
= [cos(3x5)].[3(x5)′]
= [cos(3x5)].[3(5x4)]
= [cos(3x5)].(15x4)
= 15x4 cos(3x5)
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26. Derivadas
Tabela de Derivadas
f = f(x), g = g(x) fun¸c˜oes, c =constante e α =uma constante
n˜ao nula
(c)′ = 0 (ef )′ = f′ef
(x)′ = 1 (af )′ = f′af ln a, a > 0, a = 1
(cf)′ = cf′ (ln f)′ = f′
f
(f + g)′ = f′ + g′ (loga f)′ = f′
f ln a, a > 0, a = 1
(fg)′ = f′.g + f.g′ (sin f)′ = f′ cos f
(f
g )′ = f′.g−f.g′
g2 (cos f)′ = −f′ sin f
(fα)′ = αf′fα−1
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27. Derivadas
Exerc´ıcios
1 Determine uma equa¸c˜ao da recta tangente `a par´abola
y = x2 + 1 nos pontos indicados.
(a) (0, 1)
(b) (−1, 2)
(c) Fa¸ca um esbo¸co da par´abola y = x2 + 1 e das rectas
obtidas nas al´ıneas anteriores.
2 Um proj´ectil ´e lan¸cado verticalmente do solo com uma
velocidade inicial de 112 metros por segundo. Ap´os t
segundos, a sua distˆancia ao solo ´e de 112t − 4, 9t2 metros.
Determine:
(a) a velocidade do proj´ectil para t = 2.
(b) o instante em que o proj´ectil atinge o solo.
(c) a velocidade em que o proj´ectil atinge o solo.
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28. Derivadas
Monotonia de uma fun¸c˜ao
Se uma fun¸c˜ao f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e se
cada recta tangente `a curva nesse intervalo tiver declive positivo,
ent˜ao a curva est´a a subir no intervalo e a fun¸c˜ao ´e crescente.
Mas, o declive da recta tangente a f em x ´e dado pela derivada de
f em x, f′(x), logo, se f′(x) > 0 num intervalo, ent˜ao f(x) ´e
crescente nesse intervalo.
Se uma fun¸c˜ao f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e se
cada recta tangente `a curva nesse intervalo tiver declive negativo,
ent˜ao a curva est´a a descer no intervalo e a fun¸c˜ao ´e decrescente.
Mas, o declive da recta tangente a f em x ´e dado pela derivada de
f em x, f′(x), logo, se f′(x) < 0 num intervalo, ent˜ao f(x) ´e
decrescente nesse intervalo.
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29. Derivadas
Extremos de uma fun¸c˜ao
M´aximo
Uma fun¸c˜ao f ≡ f(x) tem um m´aximo local (ou m´aximo relativo)
em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
Exemplo
A fun¸c˜ao f(x) = −x2 tem um m´aximo local em 0 pois
f(0) ≥ f(x) para valores de x pr´oximos de c.
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
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30. Derivadas
M´ınimo
Uma fun¸c˜ao f ≡ f(x) tem um m´ınimo local (ou m´ınimo relativo)
em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
Exemplo
A fun¸c˜ao f(x) = x2 tem um m´ınimo local em 0 pois f(0) ≤ f(x)
para valores de x pr´oximos de c.
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
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31. Derivadas
Os valores m´aximos e m´ınimos locais de uma fun¸c˜ao f s˜ao
chamados extremos locais.
A derivada f′(x) pode mudar de sinal somente nos valores de x
onde f′(x) = 0 ou f′(x) n˜ao est´a definida.
Ponto cr´ıtico
Um valor cr´ıtico de uma fun¸c˜ao f ´e um n´umero c no dom´ınio de f
onde f′(c) = 0 ou f′(c) n˜ao existe. O ponto correspondente ao
valor cr´ıtico c designa-se por ponto cr´ıtico.
Se f tiver um m´aximo ou um m´ınimo local em c ent˜ao f′(c) = 0
ou f′(c) n˜ao est´a definida, isto ´e, c ´e um valor cr´ıtico.
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32. Derivadas
Exemplo
Esta fun¸c˜ao tem dois m´aximos locais, um em x = a e outro em
x = c. Em x = a a derivada ´e zero e em x = c a derivada n˜ao
existe. Esta fun¸c˜ao tem um m´ınimo local em x = b e f′(b) = 0.
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33. Derivadas
Como determinar m´aximos e m´ınimos locais de uma fun¸c˜ao f
1 Calcular f′(x).
2 Determinar os valores cr´ıticos de f, isto ´e, determinar os x
tais que f′(x) = 0 ou f′(x) n˜ao existe.
3 Calcular f′(x) em alguns valores de x `a esquerda e `a direita
de cada valor cr´ıtico (fazendo um quadro de sinais).
(a) se f′(x) > 0 `a esquerda e f′(x) < 0 `a direita do valor
cr´ıtico, ent˜ao f tem um m´aximo local nesse valor cr´ıtico.
(b) se f′(x) < 0 `a esquerda e f′(x) > 0 `a direita do valor
cr´ıtico, ent˜ao f tem um m´ınimo local nesse valor cr´ıtico.
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34. Derivadas
Exemplo
Determinar os m´aximos e m´ınimos locais de
f(x) = 1
3 x3 − x2 − 3x + 2.
1 Calculemos f′(x). f′(x) = x2 − 2x − 3
2 Determinemos os valores cr´ıticos de f. Como f′(x) existe
para todo o x em R, basta determinar os x tais que f′(x) = 0.
f′(x) = 0 x =
2 ± 4
2
x2 − 2x − 3 = 0 x =
−2
2
∨ x =
6
2
x =
2 ±
√
4 + 12
2
x = −1 ∨ x = 3
x =
2 ±
√
16
2
Os valores cr´ıticos de f s˜ao x = −1 e x = 3.
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35. Derivadas
Exemplo (cont.)
3 Calculemos f′(x) em alguns valores de x `a esquerda e `a
direita de cada valor cr´ıtico (fazendo um quadro de sinais).
f′
(−2) = 5 > 0 f′
(0) = −3 < 0 f′
(4) = 5 > 0
−1 3
f′ + 0 − 0 +
f ր M´ax ց min ր
Como f′(x) > 0 `a esquerda e f′(x) < 0 `a direita do valor
cr´ıtico x = −1, ent˜ao f tem um m´aximo local em x = −1.
Como f′(x) < 0 `a esquerda e f′(x) > 0 `a direita do valor
cr´ıtico x = 3, ent˜ao f tem um m´ınimo local em x = 3.
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37. Derivadas
Se a primeira derivada de f for zero no valor cr´ıtico c mas n˜ao
mudar de positiva para negativa ou de negativa para positiva
conforme x passa por c, ent˜ao f n˜ao tem nem m´aximo nem
m´ınimo local em c.
Exemplo
Os valores cr´ıticos da fun¸c˜ao f(x) = 1
4x4 − 2
3 x3 − 2x2 + 8x + 4
s˜ao x = −2 e x = 2. A fun¸c˜ao f tem m´ınimo local em x = −2 e
n˜ao tem nem m´aximo nem m´ınimo em x = 2.
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38. Derivadas
Aplica¸c˜ao: Rectˆangulo de ´area m´axima
Suponhamos o seguinte problema.
Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectˆangulo, de
per´ımetro igual a 100 metros, de modo ao rectˆangulo ter ´area
m´axima.
Designemos os comprimentos dos lados do rectˆangulo por x e y
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39. Derivadas
A ´area ´e dada por A = xy e o per´ımetro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectˆangulos distintos com o mesmo
per´ımetro e ´areas distintas. Por exemplo:
para x = 10 e y = 40 vem P = 100 e A = 400
para x = 20 e y = 30 vem P = 100 e A = 600
O que se pretende aqui, ´e determinar os valores de x e de y para se
ter P = 100 e obter o valor m´aximo para A.
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40. Derivadas
Vamos escrever a fun¸c˜ao ´area como uma fun¸c˜ao de uma s´o
vari´avel.
Como o per´ımetro ´e 100 metros, temos
2x + 2y = 100
x + y = 50
y = 50 − x
Substituindo y por 50 − x em A = xy obtemos
A = x(50 − x)
que ´e uma fun¸c˜ao na (´unica) vari´avel x.
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41. Derivadas
Determinemos o(s) m´aximo(s) da fun¸c˜ao ´area
A(x) = x(50 − x) = −x2
+ 50x
Comecemos por determinar a sua derivada.
A′
(x) = −2x + 50
Determinemos os valores cr´ıticos de A. Como A′(x) existe para
todo o x em R, basta determinar os x tais que A′(x) = 0.
A′
(x) = 0 ⇔ −2x + 50 = 0 ⇔ x = 25
O (´unico) valor cr´ıtico de A ´e x = 25.
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42. Derivadas
Calculemos A′(x) em valores de x `a esquerda e `a direita de x = 25
(fazendo um quadro de sinais).
A′
(24) = 2 > 0 A′
(26) = −2 < 0
25
A′ + 0 −
A ր M´ax ց
Como A′(x) > 0 `a esquerda e A′(x) < 0 `a direita do valor cr´ıtico
x = 25, ent˜ao A tem um m´aximo local em x = 25.
Uma vez que y = 50 − x, vem y = 50 − 25 = 25.
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43. Derivadas
Conclu´ımos que os quatro lados tˆem o mesmo comprimento e a
´area m´axima ´e atingida se o rectˆangulo for um quadrado.
O valor m´aximo da ´area rectangular que ´e poss´ıvel conter dentro
do per´ımetro 100 metros ser´a
A = 25 × 25 = 625m2
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44. Derivadas
Aplica¸c˜ao: Rectˆangulo de per´ımetro m´ınimo
Suponhamos agora o seguinte problema.
Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectˆangulo, de
´area igual a 100 m2, de modo ao rectˆangulo ter per´ımetro m´ınimo.
Designemos os comprimentos dos lados do rectˆangulo por x e y
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45. Derivadas
A ´area ´e dada por A = xy e o per´ımetro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectˆangulos distintos com a mesma
´area e per´ımetros distintos. Por exemplo:
para x = 2 e y = 50 vem A = 100 e P = 104
para x = 5 e y = 20 vem A = 100 e P = 50
O que se pretende aqui, ´e determinar os valores de x e de y para se
ter A = 100 e obter o valor m´ınimo para P.
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46. Derivadas
Vamos escrever a fun¸c˜ao per´ımetro como uma fun¸c˜ao de uma s´o
vari´avel.
Como a ´area ´e 100 metros, temos
xy = 100
y =
100
x
(´E claro que x = 0, caso contr´ario a ´area seria nula. ´E tamb´em
´obvio que 0 < x ≤ 100 e 0 < y ≤ 100)
Substituindo y por 100
x em P = 2x + 2y obtemos
P = 2x + 2.
100
x
= 2x +
200
x
que ´e uma fun¸c˜ao na (´unica) vari´avel x.
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47. Derivadas
Determinemos o(s) m´ınimo(s) da fun¸c˜ao per´ımetro
P(x) = 2x +
200
x
Comecemos por determinar a sua derivada.
P′
(x) = (2x+200x−1
)′
= 2+200(−1)x(−1−1)
= 2−200x−2
= 2−
200
x2
Determinemos os valores cr´ıticos de P. Como P′(x) existe para
todo o x em causa (0 < x ≤ 100), basta determinar os x tais que
P′(x) = 0.
P′
(x) = 0 ⇔ 2 −
200
x2
= 0 ⇔
2x2 − 200
x2
= 0
Assim 2x2 − 200 = 0, logo x2 = 100, e portanto x = ∓10. Mas
x = −10 n˜ao faz sentido (uma vez que x representa um
comprimento). Assim, o ´unico candidato a valor m´ınimo de P, que
nos interessa, ´e x = 10.
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48. Derivadas
Calculemos P′(x) em valores de x `a esquerda e `a direita de x = 10
(fazendo um quadro de sinais).
P′
(9) = −
38
81
< 0 P′
(11) =
42
121
> 0
10
P′ − 0 +
P ց m´ın ր
Como P′(x) < 0 `a esquerda e P′(x) > 0 `a direita do valor cr´ıtico
x = 10, ent˜ao P tem um m´ınimo local em x = 10.
Uma vez que y = 100
x , vem y = 100
10 = 10.
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49. Derivadas
Conclu´ımos que os quatro lados tˆem o mesmo comprimento e o
per´ımetro m´ınimo ´e atingido se o rectˆangulo for um quadrado.
O valor m´ınimo do per´ımetro rectangular que ´e poss´ıvel delimitar
uma ´area de 100 metros quadrados ser´a
P = 2 × 10 + 2 × 10 = 40m
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50. Derivadas
Exerc´ıcio
A receita semanal de um filme lan¸cado recentemente ´e dada por
R(t) =
50t
t2 + 36
, t ≥ 0
onde R est´a em milh˜oes de euros e t em semanas.
1 Determine os extremos locais.
2 Durante quantas semanas a receita semanal aumentar´a?
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