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Investigación en matemáticas: Problemas inversos - Leyter Potenciano

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Curso de Ciencias Para Profesores Julio 2013 20 de Julio 2013 Universidad Ricardo Palma, Lima-Perú Organizado por: Científicos Peruanos Jóvenes en el Perú y el Extranjero Centro de Preparación para la Ciencia y Tecnología Universidad Ricardo Palma Ver video de la conferencia en: http://escueladeciencias.hol.es

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Curso Internacional de Ciencia y Tecnología Curso de Ciencias Para Profesores Julio 2013 20 de Julio 2013 Universidad Ricardo Palma Organizado por: Científicos Peruanos Jóvenes en el Perú y el Extranjero Centro de Preparación para la Ciencia y Tecnología Universidad Ricardo Palma http://escueladeciencias.hol.es
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Investigaci´on en Matem´aticas: Problemas Inversos Leyter Potenciano Machado Supervisor: Alberto Ruiz Gonz´alez Universidad Ricardo Palma 20 de julio 2013 Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Outline 1 Introducci´on 2 Problemas Inversos 3 ¿D´onde surgen los problemas inversos? En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 4 ¿C´omo abordar un problema inverso? 5 Tomograf´ıa computarizada 6 El problema de Calder´on Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema 7 Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Integrantes del grupo de An´alisis Arm´onico de la UAM Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Ejemplos cotidianos de problemas inversos ¿C´omo obtener una buena fruta? 1 Una sand´ıa. 2 Un mel´on. 3 Una granadilla, etc. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Posibles experimentos 1 Tocar la fruta. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Posibles experimentos 1 Tocar la fruta. 2 Oler la fruta. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Posibles experimentos 1 Tocar la fruta. 2 Oler la fruta. 3 Observar el color de la fruta (madura, inmadura), etc. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En la naturaleza (Eco-localizaci´on). Onda sonora - Eco 1 Los murci´elagos. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En la naturaleza (Eco-localizaci´on). Onda sonora - Eco 1 Los murci´elagos. 2 Los delfines. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En la naturaleza (Eco-localizaci´on). Onda sonora - Eco 1 Los murci´elagos. 2 Los delfines. 3 Los submarinos, etc. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En la naturaleza (Eco-localizaci´on). Onda sonora - Eco 1 Los murci´elagos. 2 Los delfines. 3 Los submarinos, etc. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro ¿Qu´e es un problema inverso? A groso modo, se dice problema inverso a aquel modelo en el cual los valores de ciertos par´ametros deben ser obtenidos por mediciones y observaciones. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 1. Ecograf´ıa. Fen´omeno f´ısico: Propagaci´on de una onda mec´anica (ultra-sonido) y la medici´on es el tiempo de eco. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 1. Ecograf´ıa. Fen´omeno f´ısico: Propagaci´on de una onda mec´anica (ultra-sonido) y la medici´on es el tiempo de eco. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 2. Tomograf´ıa computarizada. Fen´omeno f´ısico: Rayos X atravesando un cuerpo y se puede reconstruir e identificar zonas donde estos rayos X se aten´uan. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 2. Tomograf´ıa computarizada. Fen´omeno f´ısico: Rayos X atravesando un cuerpo y se puede reconstruir e identificar zonas donde estos rayos X se aten´uan. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 3. Resonancia magn´etica. Fen´omeno f´ısico: Emisi´on de ondas magn´eticas y se mide la atenuaci´on de estas. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 4. Tomograf´ıa de impedancia magn´etica. Fen´omeno f´ısico: Utilizando mediciones de voltaje y corriente en la superficie (frontera) de una parte del cuerpo del paciente, se trata de recuperar la conductividad el´ectrica del ´organo analizado. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 1 Exploraci´on geol´ogica. 2 Im´agenes s´ısmicas. 3 Geo radar. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. Interdisciplinar Primera conclusi´on: En problemas inversos se entrelazan una cantidad considerable de disciplinas: Matem´aticas, F´ısica, Medicina, Biolog´ıa, Ingenier´ıa, Computaci´on, etc. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro 1 ¿Qu´e experimento realizar?. 2 ¿C´omo obtenemos informaci´on haciendo mediciones en el exterior o la frontera?. 3 ¿C´omo usar nuestras mediciones para obtener la informaci´on deseada?. 4 ¿Cu´an confiable es nuestro m´etodo?. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Tomograf´ıa computarizada Mediante una fuente de rayos X se emite un haz (en distintas direcciones), y a medida que atraviesa el cuerpo este se va atenuando mediante absorci´on o convirtiendose en electricidad y se trata de recuperar un par´ametro µ(x) que mide cuanto decae el rayo X en la posici´on x. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Observaci´on: Rayos X Mediante una fuente de rayos X se emite un familia de haz en una direcci´on y se mide la atenuaci´on de los rayos mediante un detector. Con este m´etodo los puntos en una misma l´ınea son indistinguibles. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Un experimento: ¿Cu´antas pepas hay en una sand´ıa? Por dos m´etodos: Rayos X y Tomograf´ıa Computarizada. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Tomograf´ıa de impedancia magn´etica Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3 Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema 1 Sea γ(x) la conductividad el´ectrica de B. 2 γ es estrictamente positiva, es decir γ(x) > 0 para todo x ∈ Ω. 3 El potencial u(x) en Ω con voltaje f satisface la siguiente ecuaci´on diferencial: div (γ(x) u) = 0 en Ω, u = f en ∂Ω. (1) 4 Consideramos el mapa de Dirichlet-Neumann ∧γ como f −→ ∧γf := γ ∂u ∂n |∂Ω (2) Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Coraz´on del problema El problema de Calder´on consiste en la recuperaci´on de la conductividad el´ectrica γ(x) a partir del mapa de Dirichlet-Neumann, ∧ : γ −→ ∧γ (3) Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Para el estudio del problema inverso de Calder´on, y en general en los problemas inversos, surgen las siguientes preguntas naturales: 1 Identificalidad. Inyectividad del mapa de Dirichlet-Neumann ∧. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Para el estudio del problema inverso de Calder´on, y en general en los problemas inversos, surgen las siguientes preguntas naturales: 1 Identificalidad. Inyectividad del mapa de Dirichlet-Neumann ∧. 2 Estabilidad. Continuidad de ∧, y en caso exista, tambi´en la de su inversa ∧−1. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Para el estudio del problema inverso de Calder´on, y en general en los problemas inversos, surgen las siguientes preguntas naturales: 1 Identificalidad. Inyectividad del mapa de Dirichlet-Neumann ∧. 2 Estabilidad. Continuidad de ∧, y en caso exista, tambi´en la de su inversa ∧−1. 3 Caracterizaci´on. Determinaci´on tanto del dominio como el rango de ∧. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Para el estudio del problema inverso de Calder´on, y en general en los problemas inversos, surgen las siguientes preguntas naturales: 1 Identificalidad. Inyectividad del mapa de Dirichlet-Neumann ∧. 2 Estabilidad. Continuidad de ∧, y en caso exista, tambi´en la de su inversa ∧−1. 3 Caracterizaci´on. Determinaci´on tanto del dominio como el rango de ∧. 4 Reconstrucci´on te´orica. F´ormula para recuperar ∧ a partir de ∧γ. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Para el estudio del problema inverso de Calder´on, y en general en los problemas inversos, surgen las siguientes preguntas naturales: 1 Identificalidad. Inyectividad del mapa de Dirichlet-Neumann ∧. 2 Estabilidad. Continuidad de ∧, y en caso exista, tambi´en la de su inversa ∧−1. 3 Caracterizaci´on. Determinaci´on tanto del dominio como el rango de ∧. 4 Reconstrucci´on te´orica. F´ormula para recuperar ∧ a partir de ∧γ. 5 Reconstrucci´on num´erica. Construcci´on de un algoritmo num´erico que permita aproximar los valores de γ. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Problema inverso de la elasticidad Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3. Este cuerpo es el´astico, homog´eneo e isotr´opico. 1 Una deformaci´on en B es una aplicaci´on d, de clase C1 de Ω en R3. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Problema inverso de la elasticidad Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3. Este cuerpo es el´astico, homog´eneo e isotr´opico. 1 Una deformaci´on en B es una aplicaci´on d, de clase C1 de Ω en R3. 2 Se define el desplazamiento u(x) = d(x) − x. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Problema inverso de la elasticidad Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3. Este cuerpo es el´astico, homog´eneo e isotr´opico. 1 Una deformaci´on en B es una aplicaci´on d, de clase C1 de Ω en R3. 2 Se define el desplazamiento u(x) = d(x) − x. 3 Si el desplazamiento producido por una deformaci´on sobre la frontera del cuerpo viene dado por f , entonces u verifica: Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Problema inverso de la elasticidad Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3. Este cuerpo es el´astico, homog´eneo e isotr´opico. 1 Una deformaci´on en B es una aplicaci´on d, de clase C1 de Ω en R3. 2 Se define el desplazamiento u(x) = d(x) − x. 3 Si el desplazamiento producido por una deformaci´on sobre la frontera del cuerpo viene dado por f , entonces u verifica: Lu := div (λ ( · u) I + 2µsym ( u)) = 0 en Ω, u = f en ∂Ω. (4) Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos An´alogamente al problema de Calder´on, consideramos el mapa de Dirichlet-Neumann asociado ∧, definido por: ∧f , g = Ω λ( · u)( v) + 2µsym( u) · sym( v)dx, (5) donde u es soluci´on de (4) y v es una extensi´on de g. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Coraz´on del problema Sean ∧1 y ∧2 los mapas de Dirichlet-Neumann asociados a los par´ametros de Lam´e (λ1, µ1) y (λ2, µ2), respectivamente. ¿Si ∧1 = ∧2, entonces (λ1, µ1) = (λ2, µ2)?. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Resultados conocidos 1 Nakamura y Uhlman, 1995. El mapa de Dirichlet-Neumann ∧, determina la derivada normal de u, y de todos los ´ordenes en la frontera. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Resultados conocidos 1 Nakamura y Uhlman, 1995. El mapa de Dirichlet-Neumann ∧, determina la derivada normal de u, y de todos los ´ordenes en la frontera. 2 Nakamura y Uhlman, 1995, 2002. Bajo la condici´on | µ|Ck−1(Ω) < (B), para k suficientemente grande, se obtiene la igualdad local de los par´ametros de Lam´e. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Resultados conocidos 1 Nakamura y Uhlman, 1995. El mapa de Dirichlet-Neumann ∧, determina la derivada normal de u, y de todos los ´ordenes en la frontera. 2 Nakamura y Uhlman, 1995, 2002. Bajo la condici´on | µ|Ck−1(Ω) < (B), para k suficientemente grande, se obtiene la igualdad local de los par´ametros de Lam´e. Problema general A´un abierto. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Gracias Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas

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Investigación en matemáticas: Problemas inversos - Leyter Potenciano

  • 1. Curso Internacional de Ciencia y Tecnología Curso de Ciencias Para Profesores Julio 2013 20 de Julio 2013 Universidad Ricardo Palma Organizado por: Científicos Peruanos Jóvenes en el Perú y el Extranjero Centro de Preparación para la Ciencia y Tecnología Universidad Ricardo Palma http://escueladeciencias.hol.es
  • 2. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Investigaci´on en Matem´aticas: Problemas Inversos Leyter Potenciano Machado Supervisor: Alberto Ruiz Gonz´alez Universidad Ricardo Palma 20 de julio 2013 Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 3. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Outline 1 Introducci´on 2 Problemas Inversos 3 ¿D´onde surgen los problemas inversos? En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 4 ¿C´omo abordar un problema inverso? 5 Tomograf´ıa computarizada 6 El problema de Calder´on Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema 7 Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 4. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Integrantes del grupo de An´alisis Arm´onico de la UAM Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 5. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Ejemplos cotidianos de problemas inversos ¿C´omo obtener una buena fruta? 1 Una sand´ıa. 2 Un mel´on. 3 Una granadilla, etc. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 6. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Posibles experimentos 1 Tocar la fruta. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 7. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Posibles experimentos 1 Tocar la fruta. 2 Oler la fruta. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 8. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Posibles experimentos 1 Tocar la fruta. 2 Oler la fruta. 3 Observar el color de la fruta (madura, inmadura), etc. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 9. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En la naturaleza (Eco-localizaci´on). Onda sonora - Eco 1 Los murci´elagos. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 10. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En la naturaleza (Eco-localizaci´on). Onda sonora - Eco 1 Los murci´elagos. 2 Los delfines. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 11. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En la naturaleza (Eco-localizaci´on). Onda sonora - Eco 1 Los murci´elagos. 2 Los delfines. 3 Los submarinos, etc. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 12. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En la naturaleza (Eco-localizaci´on). Onda sonora - Eco 1 Los murci´elagos. 2 Los delfines. 3 Los submarinos, etc. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 13. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro ¿Qu´e es un problema inverso? A groso modo, se dice problema inverso a aquel modelo en el cual los valores de ciertos par´ametros deben ser obtenidos por mediciones y observaciones. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 14. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 1. Ecograf´ıa. Fen´omeno f´ısico: Propagaci´on de una onda mec´anica (ultra-sonido) y la medici´on es el tiempo de eco. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 15. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 1. Ecograf´ıa. Fen´omeno f´ısico: Propagaci´on de una onda mec´anica (ultra-sonido) y la medici´on es el tiempo de eco. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 16. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 2. Tomograf´ıa computarizada. Fen´omeno f´ısico: Rayos X atravesando un cuerpo y se puede reconstruir e identificar zonas donde estos rayos X se aten´uan. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 17. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 2. Tomograf´ıa computarizada. Fen´omeno f´ısico: Rayos X atravesando un cuerpo y se puede reconstruir e identificar zonas donde estos rayos X se aten´uan. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 18. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 3. Resonancia magn´etica. Fen´omeno f´ısico: Emisi´on de ondas magn´eticas y se mide la atenuaci´on de estas. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 19. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 4. Tomograf´ıa de impedancia magn´etica. Fen´omeno f´ısico: Utilizando mediciones de voltaje y corriente en la superficie (frontera) de una parte del cuerpo del paciente, se trata de recuperar la conductividad el´ectrica del ´organo analizado. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 20. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. 1 Exploraci´on geol´ogica. 2 Im´agenes s´ısmicas. 3 Geo radar. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 21. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro En Medicina En Geof´ısica, Astronom´ıa, etc. Interdisciplinar Primera conclusi´on: En problemas inversos se entrelazan una cantidad considerable de disciplinas: Matem´aticas, F´ısica, Medicina, Biolog´ıa, Ingenier´ıa, Computaci´on, etc. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 22. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro 1 ¿Qu´e experimento realizar?. 2 ¿C´omo obtenemos informaci´on haciendo mediciones en el exterior o la frontera?. 3 ¿C´omo usar nuestras mediciones para obtener la informaci´on deseada?. 4 ¿Cu´an confiable es nuestro m´etodo?. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 23. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Tomograf´ıa computarizada Mediante una fuente de rayos X se emite un haz (en distintas direcciones), y a medida que atraviesa el cuerpo este se va atenuando mediante absorci´on o convirtiendose en electricidad y se trata de recuperar un par´ametro µ(x) que mide cuanto decae el rayo X en la posici´on x. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 24. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Observaci´on: Rayos X Mediante una fuente de rayos X se emite un familia de haz en una direcci´on y se mide la atenuaci´on de los rayos mediante un detector. Con este m´etodo los puntos en una misma l´ınea son indistinguibles. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 25. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Un experimento: ¿Cu´antas pepas hay en una sand´ıa? Por dos m´etodos: Rayos X y Tomograf´ıa Computarizada. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 26. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Tomograf´ıa de impedancia magn´etica Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3 Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 27. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema 1 Sea γ(x) la conductividad el´ectrica de B. 2 γ es estrictamente positiva, es decir γ(x) > 0 para todo x ∈ Ω. 3 El potencial u(x) en Ω con voltaje f satisface la siguiente ecuaci´on diferencial: div (γ(x) u) = 0 en Ω, u = f en ∂Ω. (1) 4 Consideramos el mapa de Dirichlet-Neumann ∧γ como f −→ ∧γf := γ ∂u ∂n |∂Ω (2) Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 28. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Coraz´on del problema El problema de Calder´on consiste en la recuperaci´on de la conductividad el´ectrica γ(x) a partir del mapa de Dirichlet-Neumann, ∧ : γ −→ ∧γ (3) Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 29. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Para el estudio del problema inverso de Calder´on, y en general en los problemas inversos, surgen las siguientes preguntas naturales: 1 Identificalidad. Inyectividad del mapa de Dirichlet-Neumann ∧. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 30. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Para el estudio del problema inverso de Calder´on, y en general en los problemas inversos, surgen las siguientes preguntas naturales: 1 Identificalidad. Inyectividad del mapa de Dirichlet-Neumann ∧. 2 Estabilidad. Continuidad de ∧, y en caso exista, tambi´en la de su inversa ∧−1. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 31. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Para el estudio del problema inverso de Calder´on, y en general en los problemas inversos, surgen las siguientes preguntas naturales: 1 Identificalidad. Inyectividad del mapa de Dirichlet-Neumann ∧. 2 Estabilidad. Continuidad de ∧, y en caso exista, tambi´en la de su inversa ∧−1. 3 Caracterizaci´on. Determinaci´on tanto del dominio como el rango de ∧. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 32. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Para el estudio del problema inverso de Calder´on, y en general en los problemas inversos, surgen las siguientes preguntas naturales: 1 Identificalidad. Inyectividad del mapa de Dirichlet-Neumann ∧. 2 Estabilidad. Continuidad de ∧, y en caso exista, tambi´en la de su inversa ∧−1. 3 Caracterizaci´on. Determinaci´on tanto del dominio como el rango de ∧. 4 Reconstrucci´on te´orica. F´ormula para recuperar ∧ a partir de ∧γ. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 33. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Estudio del Problema Para el estudio del problema inverso de Calder´on, y en general en los problemas inversos, surgen las siguientes preguntas naturales: 1 Identificalidad. Inyectividad del mapa de Dirichlet-Neumann ∧. 2 Estabilidad. Continuidad de ∧, y en caso exista, tambi´en la de su inversa ∧−1. 3 Caracterizaci´on. Determinaci´on tanto del dominio como el rango de ∧. 4 Reconstrucci´on te´orica. F´ormula para recuperar ∧ a partir de ∧γ. 5 Reconstrucci´on num´erica. Construcci´on de un algoritmo num´erico que permita aproximar los valores de γ. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 34. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Problema inverso de la elasticidad Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3. Este cuerpo es el´astico, homog´eneo e isotr´opico. 1 Una deformaci´on en B es una aplicaci´on d, de clase C1 de Ω en R3. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 35. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Problema inverso de la elasticidad Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3. Este cuerpo es el´astico, homog´eneo e isotr´opico. 1 Una deformaci´on en B es una aplicaci´on d, de clase C1 de Ω en R3. 2 Se define el desplazamiento u(x) = d(x) − x. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 36. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Problema inverso de la elasticidad Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3. Este cuerpo es el´astico, homog´eneo e isotr´opico. 1 Una deformaci´on en B es una aplicaci´on d, de clase C1 de Ω en R3. 2 Se define el desplazamiento u(x) = d(x) − x. 3 Si el desplazamiento producido por una deformaci´on sobre la frontera del cuerpo viene dado por f , entonces u verifica: Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 37. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Problema inverso de la elasticidad Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3. Este cuerpo es el´astico, homog´eneo e isotr´opico. 1 Una deformaci´on en B es una aplicaci´on d, de clase C1 de Ω en R3. 2 Se define el desplazamiento u(x) = d(x) − x. 3 Si el desplazamiento producido por una deformaci´on sobre la frontera del cuerpo viene dado por f , entonces u verifica: Lu := div (λ ( · u) I + 2µsym ( u)) = 0 en Ω, u = f en ∂Ω. (4) Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 38. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos An´alogamente al problema de Calder´on, consideramos el mapa de Dirichlet-Neumann asociado ∧, definido por: ∧f , g = Ω λ( · u)( v) + 2µsym( u) · sym( v)dx, (5) donde u es soluci´on de (4) y v es una extensi´on de g. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 39. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Coraz´on del problema Sean ∧1 y ∧2 los mapas de Dirichlet-Neumann asociados a los par´ametros de Lam´e (λ1, µ1) y (λ2, µ2), respectivamente. ¿Si ∧1 = ∧2, entonces (λ1, µ1) = (λ2, µ2)?. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 40. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Resultados conocidos 1 Nakamura y Uhlman, 1995. El mapa de Dirichlet-Neumann ∧, determina la derivada normal de u, y de todos los ´ordenes en la frontera. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 41. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Resultados conocidos 1 Nakamura y Uhlman, 1995. El mapa de Dirichlet-Neumann ∧, determina la derivada normal de u, y de todos los ´ordenes en la frontera. 2 Nakamura y Uhlman, 1995, 2002. Bajo la condici´on | µ|Ck−1(Ω) < (B), para k suficientemente grande, se obtiene la igualdad local de los par´ametros de Lam´e. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 42. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Resultados conocidos 1 Nakamura y Uhlman, 1995. El mapa de Dirichlet-Neumann ∧, determina la derivada normal de u, y de todos los ´ordenes en la frontera. 2 Nakamura y Uhlman, 1995, 2002. Bajo la condici´on | µ|Ck−1(Ω) < (B), para k suficientemente grande, se obtiene la igualdad local de los par´ametros de Lam´e. Problema general A´un abierto. Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas
  • 43. Introducci´on Problemas Inversos ¿D´onde surgen los problemas inversos? ¿C´omo abordar un problema inverso? Tomograf´ıa computarizada El problema de Calder´on Trabajo actual y futuro Planteamiento del problema Coraz´on del problema Resultados conocidos Gracias Leyter Potenciano Machado Investigaci´on en Matem´aticas