3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO(TCP) TRINOMIO: expresión algebraica con tres términos Ejemplo: 2x2 – 3x + 6. CUADRADO PERFECTO: Número cuya raíz cuadrada es exacta Ejemplo: 25 es cuadrado perfecto, ya que x2es cuadrado perfecto,
4. Un trinomio es cuadrado perfecto, si tiene, de los tres términos, dos que sean cuadrados perfectos, y el otro término debe ser la raíz cuadrada de los que son cuadrados perfectos.Nota: los términos que son cuadrados perfectos deben ser positivos ambos.
5. Ejemplo: Determinar si el trinomio 10x + 25 + x2, es cuadrado perfecto Primero ordenaremos el polinomio de mayor a menor: x2 + 10x + 25 (este paso no es necesario) x2 + 10x + 25 (2)(x)(5) = 10x Observamos que el trinomio cumple las condiciones, por lo tanto es un TCP
6. FACTORIZACIÓN DE UN TCP Factorizar x2 + 10x + 25 Se le extrae la raíz cuadrada a los términos que son cuadrados perfectos. x2 + 10x + 25 Se forma un binomio con estos dos términos separados por el signo del otro término (+): (x + 5) y se el eleva al cuadrado Entonces x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
9. Factorizar x2 + 8x + 15 PROCEDIMIENTO: El primer término de cada factor será la raíz cuadrada de x2, que es igual a x: (x )(x ) Los signos que se colocan después de las x se determinan así: En el primer factor se coloca el signo del segundo término del trinomio: (x + )(x ) En el segundo factor se coloca el signo que resulta al “multiplicar los signos” del segundo y tercer término: (+).(+) = + (x + )(x + ) Ahora se calculan los divisores del término independiente, los divisores de 15: 1, 3 y 5. De estos escogemos dos números que sumados (ya que resultaron signos iguales en los factores) den el coeficiente del segundo término (8), los números son 3 y 5. Estos números se colocan dentro de los paréntesis , colocando primero el número mayor: (x + 5 )(x + 3 ) x2 + 8x + 15 = (x + 5 )(x + 3 )
10. Factorizarx2 – x – 20 x2 - x + 20 = (x )(x ) x2 - x + 20 = (x – )(x + ) Se calculan los divisores de 20: 1, 2, 5, 4, 10, 20 Escogemos dos números que restados (ya que en los paréntesis resultaron signos diferentes) den el coeficiente de x que es 1: esos números son 4 y 5 x2 – x + 20 = (x – 5)(x + 4 )
12. Factorizar 6x2 + 13x + 6 1. Se multiplica cada término del trinomio por el coeficiente de x2 (6), pero el producto por el segundo término queda expresado, 13(6x), cuidando de que dentro del paréntesis quede el número por el cual se está multiplicando, multiplicado por la variable, es decir: 6x2 + 13x + 6 = 6(6x2)+13(6x) + (6)(6)= 36x2 + 13(6x) +36. Como el trinomio se multiplicó por 6 también se debe dividir entre 6,para que no cambie:
13. Factorizar 6x2 + 13x + 6 Ahora se factoriza el trinomio del numerador, aplicando el mismo procedimiento del caso anterior: (se buscan dos números que sumados den 13 y multiplicado den 36 Tenemos que eliminar el 6 del denominador, Observe que el 3 es el factor común en (6x + 9) y 2 es el factor común en (6x +4), entonces:
16. DIFERENCIA DE CUADRADOS Un diferencia de cuadrados es una diferencia en la cual los dos términos tienen raíces cuadradas exactas. Ejemplos: x2 – 25 x2 – 9 x2 – 49
17. FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Factorizar x2 – 25 El primer término de cada factor será la raíz cuadrada de x2, que es igual a x: (x )(x ) Los signos que se colocan después de las x son uno positivo y el otro negativo (x + )(x – ) Ahora se extrae la raíz cuadrada de 25, que es 5, y se coloca después de los signos : (x + 5)(x – 5 ) x2 – 25 = (x + 5)(x – 5 )
20. DIFERENCIA DE CUBOS Factorizar x3 – 8 Se el extrae la raíz cúbica a los dos términos: La raíz cúbica de x3 es x La raíz de 8 es 2 El primer factor será entonces (x – 2) El segundo factor será un trinomio , el cual se forma con los términos del primer factor de la siguiente forma: Primer término : El primer término del primer factor (x) se eleva al cuadrado: x2 Segundo término : el producto de los dos términos del primer factor: (2)(x) = 2x Tercer término: se eleva al cuadrado el segundo término del primer factor: (22) = 4 Entonces el segundo factor es x2 + 2x + 4 . Por lo tanto. x3 – 8 = ( x – 2 ) (x2 + 2x + 4)
21. Factorizar x3 – 27 x3 – 27 = (x – 3) (x2 + 3x + 9) Nota: los signos del segundo factor serán todos positivos si es una diferencia de cubos. Si es una suma de cubos, el procedimiento es el mismo, y los signos del segundo factor se colocan intercalados: x3 + 27 = (x + 3) (x2 - 3x + 9) Raíz cúbica de x3 y 27 El cuadrado de x El cuadrado de 3 El producto de 3 y x: (3)(x) = 3x
