1) O documento apresenta 16 problemas resolvidos sobre progressões geométricas. As soluções envolvem determinar termos, razões, somas dos termos e interpolar meios geométricos usando fórmulas como a do termo geral, soma dos termos e propriedades de PGs. 2) Os problemas abordam cálculos algébricos como encontrar razões, determinar termos desconhecidos e somas de termos de PGs dadas suas propriedades ou parte de seus termos. 3) As soluções utilizam fórmulas próprias de PGs como

1. 1) Determine o oitavo termo da Progressão Geométrica (-3, 18, -108...)
Solução:
Primeiro vamos encontrar a razão da PG: q 18 18 6
108
3
Agora, basta utilizar a fórmula a n a 1 . q n 1 . Sendo a 1 3, então o oitavo termo é o:
a 8 a 1 . q7
a 8 3. 6 7
a 8 839. 808
2) Calcular a soma dos sete primeiros termos da PG (6, 18, 54...)
Solução:
Antes de tudo temos que tirar os dados da problema:
Por dedução, temos que a razão é q 3 e a 1 6, usando a fórmula da Soma
encontramos o que o problema pede:
a . qn 1
Sn 1 q 1
6. 3 7 1
S7 3 1
6. 3 7 1
S7 2
S7 33 1 7
S7 38 3
S7 6. 558
3) Determinar o valor de x na sentença 4x 16x . . . . 4. 069x 10. 920, sabendo que os
termos do primeiro membro formam uma PG.
Solução:
A PG (4x 16x . . . . 4. 069x tem a 1 4x, a n 4096x e q 4
Vamos calcular o valor de n, utilizando a fórmula do termo geral de uma PG:
an a1. qn 1
4096x 4x. 4 n 1
1024 4 n 1
45 4n 1
n6
Agora, vamos usar a formula dos n primeiros termos da PG:
a . qn 1
Sn 1 q 1
ax. 4 6 1
10. 920 4 1
10. 920 4x.4095
3
x2
4) Seja b 1 , b 2 , b 3 , b 4 uma progressão geométrica de razão 1
3
. Se b 1 b 2 b 3 b 4 20,
então b 4 é igual a:
Solução:
Tirando os dados do Problema temos que:
1

2. -A razão da P.G. é q 1 3
- A P.G. é finita e possui quatro termos, portanto: n 4
- E a soma dos quatro termos é S 4 20
Logo, pela fórmula da soma dos termos de uma P.G., encontra-se o 1 o termo da P.G:
a qn 1
Sn 1 q 1
1 4
a1 1
20 1
3
1
3
80 a
20 81 1
2
3
40
3
80
81 1
a
a1 40 81
3
x 80
a1 27
2
Após encontrar o 1 o termo, com a fórmula do termo geral de uma P.G., encontra-se o
termo desejado:
an a1. qn 1
3
a 4 27 . 1
2 3
a4 12
Portanto, b 4 12
5) Qual é o sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos
entre 3 e -24, tomados nessa ordem?
Solução:
Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24
precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n 4. Pela fórmula do termo geral
temos que:
an a1. qn 1
a 4 3. q 4 1
24 3q 3
q3 3
24
q 38 2
A partir do valor de q 2 podemos encontar os dois meios geométricos:
an a1. qn 1
a 3 3. 2 3 1
a 3 3. 2 2
a 3 12
an a1. qn 1
a 2 3. 2 2 1
a 2 3. 2
a2 6
Logo a PG é (3; -6; 12; -24; ) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula
do termo geral:
a6 a1. q6 1
2

3. a6 3 2 5
a 6 3. 32
a 6 96
6) Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão
geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28°
b) 32°
c) 36°
e) 48°
e) 50°
Solução:
Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em
Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:
x, 2x, 4x, 8x
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360 o . Logo,
x 2x 4x 8x 360 o
15. x 360 o
Portanto, x 24 o . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24 o , 48 o , 96 o e 192 o .
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.
7) Se somarmos os sete primeiros termos da PG 7, 21, . . . que valor será obtido?
Solução:
O primeiro termo da PG é a 1 7 e a razão é q 3 (pot dedução). Usando a fórmula da
Soma é fácil encontar o que se pede.
a . qn 1
Sn 1 q 1
7. 3 7 1
S7 3 1
7. 3 7 1
S7 3 1
7. 2186
S7 2
S7 15302
2
S 7 7651
1 1
8) Dada a PG 4, 2, 1, 2
. . . determine a posição do termo 64
.
Solução:
Primeiro, vamos tirar os dados de problema:
q 1 (por dedução)
2
a1 4
an 641
n?
Usando a fórmula geral a n a 1 . q n 1 , obtemos o valor de n
an a1. qn 1
3

4. n 1
1
64
4. 1
2
n 1
1
256
1
2
8 n 1
1
2
1
2
n9
1
Porntanto 64
é o nono termo da PG
9) Determine o primeiro termo de uma PG em que a 7 31. 250 e q 5
Solução:
Tiramos do enunciado do problema:
a 7 31250
q5
a1 ?
Vamos usar a fórmula geral para encontrar a 1
an a1. qn 1
a7 a1. q6
31. 250 a 1 . 5 6
a 1 31.250
15.625
a1 2
10) A seqüência (8x, 5x-3, x3, x) é uma progressão geométrica, de termos positivos,
cuja razão é:
Solução:
Nosso primeiro passo é encontrar o valor de x para depois substituir e achar a razão.
Para calcular o valor de x vamos usar uma propriedade fundamental de uma PG:
5x 3
8x
x
x3
Agora é só desenvolver o cálculo e encontrar o valor para x:
5x 3 . x 3 x. 8x
5x 2 15x 3x 9 8x 2
5x 2 8x 2 12x 9 0
3x 2 12x 9 0
Encontramos uma equação de Segundo Grau, aplicando Bhaskara, temos x 1 e
x 3. E agora? Qual desses resultados é o que vale? Se substituirmos na PG do
exercício o x por teremos uma sequência que não é uma PG. Substituindo na PG x por
3, temos:
8x, 5x 3, x 3, x
8. 3, 5. 3 3, 3 3, 3
24, 12, 6, 3 Esta é a PG
4

5. Agora para encontrar a razão, dividimos o segundo termo pelo primeiro:
q 12
24
1
2
Portanto a razão é q 1
2
11) Para a PG 5, 10, 20, . . . calcule a soma dos dez primeiros termos:
Solução:
O problema nos fornce:
a1 5
q2
n 10
Usando a fórmula geral da soma, temos:
a . qn 1
Sn 1 q 1
5. 2 10 1
S 10 21
9
S 10 5.2
1
S 10 5 . 1023
S 10 5115
12) Determine o 15 o termo da PG (256, 128, 64,...)
Solução:
O problema nos fornece os seguintes dados:
q 1 (por dedução)
2
a 1 256
n15
Usando a fórmula geral a n a 1 . q n 1 e os dados que encontramos no problema,
encontramos o a 15
an a1. qn 1
15 1
a 15 256. 1
2
14
a 15 256. 1
2
a 15 256. 1
2 14
a 15 2 8 . 1
2 14
a 15 1
26
64 1
13) O sexto termo de uma PG é 12500. S ea razão é igual a 5, qual será o terceiro
termo? E o oitavo?
Solução:
Antes de tudo, temos que descobrir qual é o primeiro termo, usando a fórmula geral
a n a 1 . q n 1 e os dados que o problema:
a 6 12500
q5
5

6. an a1. qn 1
a6 a1. q6 1
12500 a 1 . 5 5
a 1 . 3125 12500
a 1 12500
3125
a1 4
Agora que encontramos o a 1 , podemos encontar o a 3 , e o a 8
an a1. qn 1
a 3 4. 5 3 1
a 3 4. 5 2
a 3 100
an a1. qn 1
a8 4. 5 8 1
a8 4. 5 7
a8 312500
14) Em uma PG conhecemos S 8 1530 e q 2. Calcule a 1 e a 5.
Solução:
a . qn 1
Com os dados que o problema traz e a fórmula S n 1 q 1 podemos encontrar a 1 e
depois com a fórmula a n a 1 . q n 1 podemos encontar a 5.
a1. qn 1
Sn q 1
a1. 28 1
S8 2 1
1530 a 1 . 255
a 1 1530
255
a1 6
Agora vamos achar a 5 com a n a 1 . q n 1
a 5 6. 2 5 1
a 5 6. 16
a 5 96
15)A produção anual de uma empresa cresceu em PG de 2002 a 2005. Determinar qual
foi a produção nos anos de 2003 e 2004, sabendo que, em 2002 a produção foi de 690
unidades e, em 2005 foi de 18.630 unidades.
Solução:
Devemos interpolar dois meios geométricos entre os extremos 690 e 18.630.
Sbendo que a 1 690 e a 4 18630, vamos encontrar a razão:
an a1. qn 1
6

7. a4 a1. q4 1
18630 690. q 3
q 3 27
q3
Então,agora que temos a razão podemos encontrar qual foi a produção de 2003 e 2004:
2003 a 2 a 1 . q 2 1
a 2 690. 3
a 2 2. 070
2004 a 3 a 1 . q 3 1
a3 690. 3 2
a 3 6. 210
Portanto a produção foi de 2.070 em 2003 e 6.210 em 2004.
16) Determine o primeiro termo da PG em que a 8 4374 e a razão é q 3
Solução:
Usando os dados que o problema fornece e a fórmula geral a n a 1 . q n 1 encontramos
a1
an a1. qn 1
a8 a1. 38 1
4374 a 1 . 3 7
2187a 1 4374
a 1 4374
2187
a1 2
17) Determine a soma dos termos da PG:
a) 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512
Solução:
Por dedução, temos que q 2, a 1 8 e n 7
Vamos usar a fórmula da Soma:
a . qn 1
Sn 1 q 1
8. 2 7 1
S7 2 1
8. 127
S7 1
S 7 1016
b) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
Solução:
Por dedução, temos que q 2, a 1 2 e n 7
Vamos usar a fórmula da Soma:
a . qn 1
Sn 1 q 1
7

8. 2. 2 7 1
S7 2 1
2. 129
S7 3
S7 86
18) Calcule a razão de cada uma das PG abaixo:
a) 5, 10, 20
Solução:
q 20 5 2
10
10
12 48
b) 3, 25 , 25
Solução:
q 48/25 12/5
12/5 3
q 48
25
. 5
12
12
5
. 1
3
q 5
4
19) Determine o número de termos da PG (128, 64, 32,..........,1/256)
Solução:
Tiramos do problema os dados, temos
q 12
a n 256
1
a 1 128
De acordo com a fórmula:a n a 1 . q n 1 , podemos encontar o valor de n
an a1. qn 1
n 1
1
256
128. 1
2
n 1
1
256.128
1
2
n 1
1
2
1
2 7 .2 8
n 1
1
2
1
2 15
n 1 15
1
2
1
2
n 1 15
n 16
20) Um matemático colocou sua casa à venda por US$65.534. Uma pessoa foi ver a
casa, gostou, mas achou cara. O matemático propôs então que ele pagasse somente
pelas 15 janelas da xasa da seguinte forma: dois dólares pela 1 a janela, quatro dólares
pela 2 a ; oito dolares pela 3 a , e assim por diante. O resto da casa ficaria de graça. O
interessado, muito feliz, pediu que o proprietário apresentasse os cálculos. depois de
ver as contas, você acha que a pessoa continuou interessada? Por quê?
Temos aqui, uma soma de termos de uma P.G. finita, onde:
a1 2
q 4 2
2
n 15
8

9. Logo:
a 1 qn 1
Sn q 1
2 2 15 1
S 15 2 1
S 15 65534
Portanto, a pessoa não continuou mais interessada, pois o preço continuava o mesmo.
9