Probabilidades e eventos

Estatística Aplicada a
Administração
ADMINISTRAÇÃO – EAADM
PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI
2º SEMESTRE / 2014
AULA 11 – PROBABI LIDADES: ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADES
É o estudo dos fenômenos de observação, sendo possível a explicação de um dado
problema, e distinguir um método determinístico ou probabilístico.
퐴1: 푅푒푡푖푟푎푟 푢푚푎 푐푎푟푡푎 푑푒 푢푚 푏푎푟푎푙ℎ표 푐표푚 52 푐푎푟푡푎푠 푒 표푏푠푒푟푣푎푟 푠푒푢 naipe;
퐴2: 퐽표푔푎푟 푢푚푎 푚표푒푑푎 10 푣푒푧푒푠 푒 표푏푒푟푣푎푟 표 푛ú푚푒푟표 푑푒 푐표푟표푎푠 표푏푡푖푑푎푠;
퐴3: 푅푒푡푖푟푎푟 푐표푚 표푢 푠푒푚 푟푒푝표푠푖çã표, 푏표푙푎푠 푑푒 푢푚푎 푢푟푛푎 푞푢푒 푐표푛푡é푚 5 푏표푙푎푠 푏푟푎푛푐푎푠
푒 6 푝푟푒푡푎푠;
퐴4: 퐽표푔푎푟 푢푚 푑푎푑표 푒 표푏푠푒푟푣푎푟 표 푛ú푚푒푟표 푚표푠푡푟푎푑표 푛푎 푓푎푐푒 푑푒 푐푖푚푎;
퐴5: Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A.
Cada observação entre A1,A2,A3,A4 e A5, pode ser repetido indefinidamente, descreve
todos resultados possíveis , havendo uma regularidade, o que surgirá uma frequência
relativa dos resultados esperados.
CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 2

ESPAÇO AMOSTRAL
Existem dois tipos:
 Determinístico: Sempre tem os mesmos resultados, qualquer
que seja o número de ocorrências.
Ex. 1: Um sólido será a uma certa temperatura a passagem do
estado sólido para o líquido.
 Aleatórios: São resultados previsíveis, mesmo havendo um
grande número de repetições.
Ex. 2: Considerando um pomar de laranjeiras, as produções de
cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo que as
condições de temperatura, pressão, umidade, solo etc. sejam
as mesmas para todas as árvores.

ESPAÇO AMOSTRAL
Em números aleatórios o espaço amostral do conjunto S, são todos
resultados possíveis do experimento.
Exemplo 3:
a) A: Jogar um dado e observar o nº da face de cima.
Assim, S = {1,2,3,4,5,6}
a) Seja A: Jogar duas moedas e observar o resultado;
Assim, S = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}
Ou simplificar S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}
c = cara e k = coroa;

ESPAÇO AMOSTRAL
Em um experimento aleatório o conjunto de resultados de
experimentos, depende dos elementos que serão chamados de
pontos amostrais, a representação do espaço amostral é dada
por Ω, veja o exemplo logo abaixo:
Ω = {c, r};
Ω = {1,2,3,4,5};
Ω = {(c, r), {(c, c), {(r, c), {(r, r)};
Ω = {퐴0 … 퐾0, 퐴푝 … 퐾푝, 퐴퐸 … 퐾퐸 , 퐴푐 … 퐾푐 };
Ω = {t ∈ ℝ | 푡 ≥ 0};
Podendo ser único o ponto amostral ou em reunião.

ESPAÇO AMOSTRAL
Exemplo 4:
Lançando dois dados enumeramos os seguintes eventos:
A: Saída das faces iguais;
B: Saída de faces cuja soma seja igual a 10;
C: Saída de faces cuja soma seja menor que 2;
D: Saída de faces cuja soma seja menor que 15;
E: Saída de faces onde uma face é o dobro da outra.
Determine o espaço amostral por uma tabela de dupla entrada
(Produto Cartesiano):

ESPAÇO AMOSTRAL
D1D2 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (1,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (1,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (1,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (1,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (1,6)
Os eventos pedidos são:
A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
B = {(4,6), (5,5), (6,4)}
C = ∅ (Evento impossível)
D = Ω (evento certo)
E = {(1,2), (2,1), (2,4), (3,6), (4,2), (6,3)}

DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
Estudo estatístico que obtêm-se a partir de uma amostra, as conclusões
sobre uma população. Este fenômeno de probabilidade são chances dos
eventos ocorrerem. O conceito básico é baseado em experimentos, evento,
evento simples e espaço amostral de um experimento.
 Experimento: É qualquer processo que permite ao pesquisados fazer
observações.
Exemplo: A ocorrência de um raio, uma viagem aérea, o lançamento de
uma moeda entre outros.
 Evento: É o resultado de um conjunto de ocorrências no experimento.
Exemplo: O raio atingir (ou não) um pessoa; O aviação chegar (ou não)
no horário correto; entre outros.
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DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
 Evento Simples: É um resultado, ou um evento, que não comporta
mais decomposições.
Exemplo: Ao jogar o dado, o evento foi o número cinco;
 Evento não simples: O evento não simples pode ser decomposto em
dois (ou mais) eventos simples.
Exemplo: Ao jogar dois dados o evento foi o número oito; não é um
evento simples, pois é composto por mais de um evento simples, tal
como “dois e seis” ou “três e cinco”;

EVENTOS
Exemplo 1:
a) Seja o experimento A: Jogar três moedas e observar os resultados:
S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (k, k, k), (k, k, c), (k, c, k), (c, k, k)}
Seja A o evento: Ocorrer pelo menos 2 caras.
Então, A = {(c, c, c), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, k)}
b) Seja o experimento A: Lançar um dado e observar o número de cima.
Então S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Seja B o evento: Ocorrer múltiplo de 2.
Então, B = {2, 4, 6}.

EVENTOS EM ÁRVORES
c
k
c
k
c
k
c
k
c
k
c
k
c
k
Exemplo 2: Lançam-se 3 moedas:
A: Saída de cara na 1º moeda;
B: Saída de coroa na 2º e 3º moedas.

TEORIA DAS PROBABILIDADES
Intuitivamente pode-se definir probabilidade como:
número de casos favoráveis a ( A )
p(A) = -------------------------------------- -------
número total de casos possíveis ( S )
Ao conjunto desses casos possíveis dá-se o nome de espaço amostral
(S). E ao conjunto de casos favoráveis a A dá-se o nome de evento A.

Exemplo 1: A pesquisa de um jornal de São Paulo revelou que 200 brasileiros
foram mortos por raios no período de um ano (ano 2000). Qual a probabilidade
de uma pessoa ser atingida por um raio, sabendo-se que a população brasileira
está em torno de 170 milhões?
푃 퐴 =
푛(퐴)
푛(푆)
=
200
170.000.000
= 0,0000012

Exemplo 2: Uma pesquisa do PC world foi realizada com 4.000 proprietários
de computadores pessoais, e verificou que 992 dos computadores apresentaram
falhas num intervalo de dois anos após a compra. Tomando como base estes
resultados, qual a probabilidade de você comprar um computador pessoal e ele
apresentar problema nos próximos dois anos?
푃 퐴 =
푛(퐴)
푛(푆)
=
992
4.000
= 0,248

Exemplo 3: O RH de uma empresa é composto de 15 homens e 35 mulheres. É
feito o sorteio aleatório de um funcionário, qual a probabilidade de não ser
mulher?
Evento favorável: A {não ser mulher}
Número de elementos do evento favorável: n(A) = 15;
Espaço amostral: S = {15 homens mais 35 mulheres};
Número de elementos do espaço amostral: n(S) = 50.
푃 퐴 =
푛(퐴)
푛(푆)
=
15
50
= 0,3

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Ex. 1) Probabilidade de se obter um número par como resultado de um
lançamento de um dado:
S = {1,2,3,4,5,6} e A = {2,4,6}
Ex. 2) Probabilidade de se obter o número 4 como resultado de um lançamento
de um dado:
S = {1,2,3,4,5,6} e A = {4}
Ex. 3) Probabilidade de se obter um número diferente de 4 no lançamento de
um dado:
S = {1,2,3,4,5,6} e A = {1,2,3,5,6}

REGRAS PARA CÁLCULO DE
PROBABILIDADES (EVENTOS)
AULA 12

EVENTOS
Classificar eventos é discutir resultados representados por conjuntos,
subconjuntos e conjuntos vazios. Sendo assim, eventos certos e eventos
impossíveis.
a) 퐴 ∪ 퐵 → é 표 푒푣푒푛푡표 푞푢푒 표푐표푟푟푒 푠푒 퐴 표푐표푟푟푒 표푢 B 표푐표푟푟푒 표푢 푎푚푏
표푠 표푐표푟푟푒푚;
b) 퐴 ∩ 퐵 → é 표 푒푣푒푛푡표 푞푢푒 표푐표푟푟푒 푠푒 퐴 e B 표푐표푟푟푒푚;
c) 퐴 → é 표 푒푣푒푛푡표 푞푢푒 표푐표푟푟푒 푠푒 퐴 não ocorre;

EVENTOS MUTUAMENTE
EXCLUSIVOS
São a maneira de demonstrar entre A e B que são mutuamente exclusivos, caso
se os mesmos não ocorrer simultaneamente, então 퐴 ∩ 퐵 = ∅, exemplo:
A: Jogar um dado e observar o resultado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sejam os eventos: A = ocorrer nº par, e
B = ocorrer nº impar.
Portanto, A ={2, 4, 6} e B = {1, 3, 5}, 퐴 ∩ 퐵 = ∅.
S 퐴 ∩ 퐵 = ∅
A B
2
4
6
1
5
7

EVENTOS MUTUAMENTE
EXCLUSIVOS
Estas definições são probabilísticas, pois em um experimento aleatório
do espaço amostral de A e S, temos o evento A – P (A) – é a definição de
S que associou-se em um número real de cada evento, portanto satisfaz
as seguintes axiomas:
A. 0 ≤ 푃 퐴 ≤ 1
B. 푃 푆 = 1
C. Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, (퐴 ∩ 퐵 = ∅), então
P(퐴 ∪ 퐵) = 푃(퐴) + 푃(퐵).

Referências Bibliográficas
BÁSICA:
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
SILVA, E. M. et al. Estatística: para os cursos de economia, administração e ciências
contábeis. São Paulo: Atlas, 19--.
TIBONI, C. G. R. Estatística Básica: para os cursos de administração, ciências
contábeis, tecnológicos e de gestão. São Paulo: Atlas, 20--.
COMPLEMENTAR:
HOFFMANN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 19--.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
MORETTIN, P. A; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
FONSECA, J. S; MARTINS, G. A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books do Brasil, 19--.

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