Límites y continuidad de funciones

Límites y continuidad
Licda. Elsie Hernández S.
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Limites y continuidad
q Límites
r Idea intuitiva de límite
r Generalización del concepto de límite
r Formalización de la idea intuitiva de límite
r Definición de límite
r Límites laterales
r Definición de límites laterales o unilaterales
r Teoremas fundamentales sobre límites
r Otros aspectos sobre límites
r Límites que involucran funciones trigonométricas
r Límites infinitos y límites al infinito
r Teoremas sobre límites infinitos
r Límites que involucran la función exponencial y la función logarítmica
r Demostraciones
q Continuidad de funciones
r Introducción
r Definición de continuidad
r Discontinuidades evitables
r Continuidad en un intervalo [a,b]
r Definición de continuidad utilizando y
r Teoremas sobre continuidad de funciones
r Algunas propiedades de las funciones continuas
r Continuidad y funciones
r Valores máximos y mínimos para funciones continuas
r Demostraciones
q Software:
r Graficador para límites
r Tabla de valores
r Cálculo de límites
Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR
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Idea intuitiva de límite
Lic. Elsie Hernández S.
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Software
En este capítulo vamos a presentar la idea formal de límite como una operación aplicada a
una función en un punto.
Se establecerán también algunos teoremas sobre límites de sumas, productos y cocientes
de funciones.
Iniciaremos nuestro estudio con la idea intuitiva de límite.
La presentación de los ejemplos siguientes pretenden dar una idea del significado del
límite de una función en un punto.
Ejemplo 1:
Consideramos la función definida por con dominio en .
La representación gráfica es la siguiente:
Nos interesa observar el comportamiento de la función para valores de cercanos a 2
pero no iguales a 2.
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Veamos las tablas siguientes:
Tabla a.
Tabla b.
Puede observarse de ambas tablas que conforme se aproxima más a 2, toma, cada
vez, valores más próximos a 3.
En otras palabras, al restringir el dominio de la función a valores cada vez "más cercanos
a 2", el conjunto de imágenes o sea, los valores que toma la función, se "acercan cada vez
más a tres".
En este caso se dice que cuando tiende a 2, que se simboliza , entonces
, o sea tiende a 3. Esto puede escribirse como y utilizando
la notación de límites escribimos
que se lee: el límite de cuando tiende a 2, es igual a 3.

Ejemplo 2:
Nos interesa calcular el área de región limitada por la parábola con ecuación , el
eje y la recta de ecuación .
La representación gráfica de esta región es la siguiente:
Dividimos el intervalo en partes iguales señaladas por los valores:
formando sobre cada una de las partes, un rectángulo cuyo lado vertical izquierdo toca a
la parábola en un punto, y cuya base mide en cada caso. Luego, el área de cada uno de
estos rectángulos podemos expresarlas como sigue:
Así, la suma de todas la áreas de los rectángulos está dada por la siguiente igualdad:

de donde
Como , cuya prueba está al final del
capítulo, entonces:
de donde
Tomando entonces
Observemos que si a "n" se le asignan valores positivos cada vez más grandes, entonces
se aproxima a cero.
Si en la figura 1 se aumenta el número n de divisiones del intervalo, entonces crece el
número de rectángulos y la suma de las áreas de ellos se aproxima al área de la figura
curvilínea.
Como se aproxima a cero cuando crece indefinidamente, puede decirse que
se aproxima al número , y así el área de la región tiende a .
La expresión "n" toma valores positivos cada vez mayores puede sustituirse por
,(n tiende a más infinito) y como , ( tiende a cuando ) ,
entonces, volviendo a utilizar la notación de límites escribimos:
que se lee: el límite de , cuando tiende a más infinito es .
Es importante señalar que al estudiar el límite de una función, no se menciona el valor
que toma la función exactamente en el punto. Así, en el ejemplo 1, no importa cuál es el
valor de , sino el valor de cuando tiende a 2. Esto se debe a que el concepto
de límite de una función en un punto es independiente del valor que toma la función en
este.

Puede suceder que en dicho punto la función no esté definida y aún así exista el límite. El
siguiente ejemplo presenta esta situación.
Ejemplo 3:
Sea la función definida por la ecuación para toda .
La representación gráfica de es:
De la gráfica puede observarse que aunque la función no está definida para ,
cuando toma valores muy cercanos a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos
como:

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Generalización del concepto de límite
Sea una función definida para valores reales en los alrededores de un número b, aunque
no necesariamente en b mismo, como se representa gráficamente a continuación:
Se observa que cuando entonces lo que se escribe como:
Recordemos que al calcular no importa que la función , esté o no definida en
; lo que interesa es que f esté definida en las proximidades de b.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función cualquiera para la que
:

Observe que aunque , para valores de próximos a se tiene que ,
por lo que puede escribirse siempre
Observe ahora la siguiente representación gráfica de una función .
En este caso, cuando tiende a por la derecha, que se escribe , la función
tiende a , pero cuando tiende a por la izquierda, (denotado ) los valores de

tienden a T.
Así, la función no tiende a un mismo valor cuando , por lo que se dice que no
existe
Consideremos ahora la función definida por con , cuya representación
gráfica es la siguiente:
Observe que cuando , entonces tiende a tomar valores positivos cada vez
mayores, (es decir, ), y que cuando , toma valores negativos
cada vez menores, ( ). Así, no tiende a ningún número real fijo y se
dice que no existe.

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Formalización de la idea intuitiva de límite
En el ejemplo 1 se analizó el comportamiento de la función con ecuación
en las proximidades de 2.
Expresamos como , el hecho de que para acercar los valores de la función
tanto como se quisiera a 3, era suficiente acercar adecuadamente al valor 2, ( ).
De otra forma, puede decirse que es tan pequeño como se quiera, siempre que
sea suficientemente pequeño, aunque no igual a cero.
Utilizaremos las letras griegas (epsilon) y (delta) para escribir en forma más precisa
lo anterior.
son números reales positivos que indican qué tan pequeño queremos hacer el valor
absoluto de la diferencia entre y 3, y el valor absoluto de la diferencia entre y 2
respectivamente.
Se dice entonces que será menor que , siempre que sea menor que
y .
Luego, si para cada puede encontrarse un tal que
, entonces se dice que
Observe que se establece la condición , ya que únicamente nos interesa saber
como es para valores de cercanos a 2, no en 2 mismo, en cuyo caso sería
igual a cero.
Gráficamente tenemos:

Se tiene que, en el eje , los valores están entre y , siempre que los
valores de , en el eje de , se localicen entre , o sea
.
En general, el valor de es escogido arbitrariamente, pero la elección de depende de la
elección previa de . No se requiere que exista un número "apropiado" para todo , si
no que, para cada existe un específico.
Entre ,más pequeño sea el valor que se escoja de , más pequeño será el valor del
correspondiente .
Luego, para el ejemplo 1, decimos que , pues para cada , existe ,
tal que , siempre que .
En general, para una función cualquiera, el significa que "la diferencia
entre y puede hacerse tan pequeña como se desee, haciendo simplemente que
esté suficientemente próximo a , ".

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Definición de límite
Sea una función definida en una vecindad del punto .
Definición
Se dice que , si para cada número positivo , por pequeño que este sea,
es posible determinar un número positivo , tal que para todos los valores de ,
diferentes de , que satisfacen la desigualdad , se verificará la desigualdad
.
Luego, si y solo si para cada tal que si
, entonces .
En forma gráfica se tiene:
para cada existe

tal que si entonces
También el puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad
se deduce que , entonces todos los puntos en la gráfica de la
función con ecuación , que corresponden a los puntos que se localizan a una
distancia no mayor que del punto , se encontrarán dentro de una franja de ancho ,
limitada por las rectas , como se muestra en la siguiente figura:
Puede decirse entonces que la definición de límite dada anteriormente , establece que los
valores de la función se aproximan a un límite , conforme se aproxima a un
número , sí el valor absoluto de la diferencia entre se puede hacer tan

pequeña como se quiera tomando suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b".
Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la definición de límite:
Ejemplo:
a.
Probar que
Solución:
Debe probarse que dado tal que siempre
que .
Vamos a establecer una relación entre .
Como o sea
.
Entonces, para hacer menor que , es suficiente que ,
por lo que puede tomarse .
Luego, dado , existe tal que si entonces
.
b.
Probar que
Solución:
Dada , debe encontrarse tal que siempre que
.
Como entonces
para que sea menor que es suficiente que por lo que
podemos tomar .
Luego, dado , existe tal que siempre que

.
c.
Probar que
Solución:
Debe encontrarse en términos de , tal que sea
menor que cuando . Se tiene que
Como lo que nos interesa es el límite cuando tiende a 1, vamos a considerar los
valores de que estén cerca de 1, pero que sean diferentes de 1.
Así, tomamos de donde y por tanto .
Vamos a determinar un número para el que cuando .
De la desigualdad se obtiene que por lo que
y puede tomarse .
Luego cuando
Además es menor que
Por tanto, si se toma como el menor de los números entonces
cuando
Por ejemplo, si se toma entonces y
cuando
En general, el determinar el mediante el uso directo de la definición es
difícil, por lo que para hacerlo se contará con la ayuda de una serie de teoremas,
que estudiaremos más adelante.
Hemos dado un vistazo intuitivo y otro más formal sobre la noción de límite en un
punto. En síntesis, lo que nos interesa saber es el comportamiento de una función
cuando la variable independiente tiende a un determinado valor en el eje .

Ejemplo:
Determinar: , , , , , utilizando
para ello la siguiente representación gráfica de la función :
Solución
A partir de la gráfica de se tiene que:
, , , , ,
Ejercicio:
Determinar los siguientes límites, utilizando para ello la representación gráfica de la
función , que se da a continuación:

a. e.
b. f.
c. g.
d.

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Límites laterales
Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o
saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas
discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema
continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de
funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función , en la que existe una
discontinuidad cuando :
notemos que cuando tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero
cuando tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1.
Escribimos para indicar que tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando
valores mayores que "a".
Similarmente indica que tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando
valores menores que "a".
Utilizando ahora la notación de límites, escribimos y .
Estos límites reciben

el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es
1.
Ejemplo:
Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función cuya
representación gráfica es la siguiente:
Se tiene que:
y
y

Definición de límites laterales o unilaterales
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Definición de límite por la derecha
Se dice que si y solo si para cada existe tal que si
entonces es el límite por la derecha de en "a".
Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que
cero ya que .

Definición de límite por la izquierda
Se dice que si y solo si para cada existe tal que si
entonces es el límite por la izquierda de en
"a".
Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .
En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de
una función cuya ecuación se da.
Ejemplo:
Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida por:
Primero hagamos la gráfica de la función:

El punto de discontinuidad se presenta cuando
Luego: y
Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2).
Ejercicio:
Represente la función definida por
y determine los límites laterales en el punto de discontinuidad.
Es posible demostrar que para que exista es necesario y suficiente que los
límites laterales existan y sean iguales.
Es decir, si y solo si y
Por consiguiente, si es diferente de se dice que no existe.
Ejemplo:
Representemos gráficamente la función definida por:

Como y , entonces
Como y , entonces no existe.
Ejercicio:
Considere la representación gráfica de la función definida por:
Determine si existen cada uno de los límites siguientes:
a.
b.
c.
d.
e.

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Teoremas fundamentales sobre límites
En los apartados anteriores hemos determinado el límite de una función en un punto,
utilizando para ello la representación gráfica de la función. Sin embargo, se hace
necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es que
estudiaremos algunos teoremas básicos para determinar el límite de una función en un
punto.
Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)
Sea una función definida en un intervalo tal que .
Si y entonces .
O sea, el valor del límite de una función en un punto es único.
Prueba: Al final del capítulo.
Teorema 2
Si son números reales entonces
Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio:
Determine cada uno de los siguientes límites:
1.
2.

Como consecuencia del teorema anterior se tiene que:
a. con , en
b. con en
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Teorema 3
Si y es un número real entonces se cumple que
Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio:
Determine cada uno de los límites siguientes:
1.

2.
Teorema 4
Si entonces .
Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio:
Determine los límites indicados.
1.
2.
Teorema 5
Si y son dos funciones para las que y entonces se
cumple que:
Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, es igual a
la suma de los límites de cada una de las funciones.

Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio:
Determine los límites siguientes:
1.
2.
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.
Teorema 6
Si y son dos funciones para las que y entonces se
cumple que
Es decir, el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de
cada una da las funciones.
Ejemplos:
1.
2.
3.
Ejercicio:
Determine el valor de cada uno de los límites siguientes:

1.
2.
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones
Corolario
Si entonces
Observe que (n factores) por lo que aplicando el teorema anterior se
tiene que:
(n factores)
Ejemplos:
1.
2.
En particular, el límite de la enésima potencia de es igual a la enésima potencia del
límite de . Es decir
Ejemplos:
1.
2.

Teorema 7
Si y son dos funciones para las cuales y entonces
se tiene que:
siempre que
Prueba: Se hará posteriormente utilizando para ello un resultado sobre continuidad
de funciones, y el siguiente teorema.
Teorema 8
siempre que
Ejemplos de los teoremas 7 y 8
1.
2.
3. (se aplicaron los teoremas 2 y 4)
4. (por teorema 7)
(por teorema 5)

(Por teorema 3 y corolario del teorema 6)
5.
Observe que en este ejemplo se han aplicado directamente los teoremas estudiados, sin
hacer el desglose paso por paso como en el ejemplo anterior.
Ejercicio:
Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:
1.
2.
Teorema 9
Si si:
i.
es cualquier número positivo.
ii.
es impar.
Ejemplos:
1.

2.
3.
4.
Teorema 10
Si , entonces si se cumple alguna de
las condiciones siguiente:
i.
es cualquier entero positivo ( ).
ii.
es un entero impar positivo.
Ejemplos:
1.
2.
3.
Ejercicio:
Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:
1.

2.
Teorema 11
Si , y son funciones tales que para todo de cierto
entorno reducido y además entonces se cumple
que .
El teorema anterior nos dice que si para próximo a , la función está comprendida
entre dos funciones que tienden a un mismo límite , entonces también tiende a .
Gráficamente podemos tener lo siguiente:
Por ejemplo, si es una función tal que y como
entonces se tiene que .
Sea ahora una función tal que
Se tiene que

Luego
Ejercicio:
Sea una función tal que
Calcule

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Otros aspectos sobre límites
En algunos límites no es posible aplicar directamente los teoremas sobre límites,
especialmente el del límite de un cociente de funciones, ya que se presenta la forma
indeterminada .
En estos casos se hace necesario realizar primero algún proceso algebraico, para luego
determinar el valor del límite.
Es indispensable en esta parte tener muy en claro los conceptos sobre factorización,
racionalización y valor absoluto.
Por medio de ejemplos estudiaremos:
a. Límites que involucran factorizaciones
1.
Si evaluamos el numerador se obtiene: y en el
denominador:
Luego se tiene la expresión que no tiene sentido.
Como 2 hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorización como
sigue:
Luego el límite dado puede escribirse
como , y simplificando se obtiene: que sí puede
determinarse pues
es diferente de cero.

Luego:
2.
Evaluando nuevamente numerador y denominador se obtiene:
Puede escribirse el límite anterior ya factorizados los polinomios como:
simplificando la expresión anterior.
Aplicando el teorema 7
3. Ejercicio
Determinar:
b. Límites que involucran racionalizaciones
1.
Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos,
procedemos a racionalizar el denominador de la forma siguiente:

en este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremas
respectivos se obtiene como resultado
2. Recuerde que
Como vuelve a presentarse la forma , procedemos a racionalizar como
sigue:
3. Ejercicio
Determinar
c. Límites con valor absoluto
Recuerde que
1.

Como vuelve a obtenerse la forma .
Como aparece de acuerdo a la definición de valor absoluto se tiene
que:
Así, para valores de mayores que 2 la expresión se puede
sustituir por , y para valores de mayores que 2 se sustituye por
, por lo que se hace necesario calcular los límites cuando
, es decir, se deben calcular los límites laterales.
Luego:
Como los límites laterales son diferentes entonces el no existe.
2.
Vuelve a presentarse la forma . Analizando el valor absoluto se obtiene
que:
Como se desea averiguar el límite cuando es mayor que 1,
entonces se analiza únicamente el siguiente límite:

En este caso el límite sí existe.
3. Ejercicio
Determinar el
d. Límites que involucran un cambio de variable
1.
Al evaluar numerador y denominador en se obtiene . Aunque en
este caso podría efectuarse una racionalización, el procedimiento sería muy
largo pues hay que racionalizar tanto el numerador como el denominador.
Por tanto, vamos a hacer un cambio de variable en la forma siguiente.
Se desea sustituir la expresión por otra que tenga tanto raíz cúbica
como raíz cuadrada. Luego, sea (observe que
).
Además cuando se tiene que y por tanto , es decir,
; en el límite original se sustituye
Sustituyendo se tiene que:

Aunque vuelve a presentarse la forma , la expresión ahora es fácilmente
factorizable.
Así:
2.
Nuevamente, evaluando el numerador y el denominador en 1 se obtiene
En este caso vamos a sustituir por una expresión que posea raíz
quinta. Tomamos entonces .
Cuando tiende a 1 se tiene que también tiende a 1 y por tanto
de donde
Sustituyendo se obtiene que:

3. Ejercicio

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Límites que involucran funciones trigonométricas
Estudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos límites especiales
que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados.
Vamos a probar que:
a. donde es un ángulo que se mide en radianes.
Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la igualdad
siguiente: , donde el la longitud del arco interceptado por el ángulo, sobre
una circunferencia de radio , cuyo centro coincide con el vértice del ángulo,
como se muestra en la siguiente figura:
es la medida del arco
es el radio del círculo
Consideramos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo cuya medida en
radianes es
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En este caso como se tiene que por lo que
El triángulo es rectángulo y sus catetos miden respectivamente
(Note que ).
Por el teorema de Pitágoras se obtiene que:
Como la longitud de es menor que la longitud del arco , es decir, es menor que
, se tiene que:
Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos,
entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que:
y como entonces:
de donde
Si es un número positivo, podemos tomar de tal forma que
siempre que .

De otra manera: siempre que por lo que , y
similarmente, siempre que por lo que
De esta forma hemos probado los dos límites.
b.
Vamos a probar ahora que
Observe que este límite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiados
de factorización, racionalización o cambio de variable, y que al evaluar
directamente se obtiene la forma .
Consideremos nuevamente un círculo unitario y designemos por el ángulo
central (siendo en radianes su medida), con , como se muestra
en la figura siguiente:
Puede observarse que: el área del el área del sector el área del
(1). Además se tiene que:
el área del .
el área del sector

el área del
Sustituyendo en (1):
de donde
Como entonces , por lo que podemos dividir los términos de la
desigualdad anterior por , sin alternar el sentido de la desigualdad, obteniendo
entonces que:
por lo que
Esta última desigualdad también es válida cuando pues
y además
Como y y , aplicando el teorema 11 se
concluye que:
Ejemplos:
1.
2.
Observe que en este caso el argumento es , por lo que en el denominador se
necesita también la expresión , de ahí que se lleve a cabo el siguiente
procedimiento:

3. pues cuando
4.
5.
6. Ejercicio
7. Ejercicio
En los siguientes ejemplos utilizaremos un procedimiento común en algunos
límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una
expresión.
8.
Multiplicamos por el conjugado de que es como sigue:

9.
10.
Como entonces cuando .
Además

Desarrollemos :
Luego:
11. Ejercicio
12. Ejercicio

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Límites infinitos y límites al infinito
El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores
positivos, se escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si decrece a través
de valores negativos, se denota como (que se lee: tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez
mayores, se escribe , y si decrece tomando valores negativos escribimos
.
Consideramos la función definida por para . Vamos a
determinar el comportamiento de la función cuando cuando y cuando
. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:
a.
En este caso, cuando , la función tiende a tomar
valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como
, es decir
b.
Ahora, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a

valores negativos cada vez menores. Es decir, cuando , o sea
.
c.
Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores,
obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos a cero.
Así , o sea, cuando .
d.
En forma similar a la tabla anterior se tiene que cuando es
decir,
Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función en la forma
siguiente.

Consideramos ahora la función definida por para ,
cuya representación gráfica es la siguiente:
Podemos decir que:
a.
y
b. y
Ejercicio
Determine: , , , , , ,
utilizando para ello la función .

Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.
Definición
Se dice que crece sin límite cuando tiende a , que se denota
, si para todo número real , (sin importar su magnitud), existe
tal que siempre que .
Gráficamente se tiene:
Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera, (es decir,

mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca de .
Ejemplo
Consideremos la representación gráfica de la función definida por:
Demostremos ahora que
Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un existe tal que
.
Observe que: .
Luego, dado , escogemos de tal forma que se satisfaga que
.

Si tomamos, por ejemplo, cuando , es
decir, cuando .
Definición
Se dice que decrece sin límite cuando tiende a , que se denota por
, si para todo número real , existe una tal que
Gráficamente se tiene que:
La definición anterior afirma que es posible hacer menor que cualquier número
negativo , tomando suficientemente cerca de .
Ejemplo
Consideremos la representación gráfica de la función definida por

Demostremos ahora que
Para hacer la prueba debe establecerse que dado un , existe
siempre que
Observe que (el sentido de la desigualdad cambia pues
).
Además .
Note que sí tiene sentido pues
Luego, si y solo si por lo tanto tomamos .
Así, dada , existe , tal que siempre que
Si por ejemplo, tomamos entonces o sea , por lo
que siempre que

Definición
Se dice que tiende a cuando tiende a por la derecha, y se escribe
, si se cumple que a cada número positivo , (tan grande como se
quiera), corresponde otro número positivo , (que depende de ) tal que
.
Similarmente, se dice que tiende a cuando tiende a por la izquierda y se
escribe si siempre que (Observe que es
mayor que cero pues ya que ).
-El comportamiento de la función definida por cuando , está
regido por la definición anterior.
Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente.
-Los símbolos y se definen análogamente,
escribiendo en vez de . (note que si entonces )
En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a por la derecha como

por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores, (mayores en el
valor absoluto), es decir, se tiene que y cuando
Definición
Se dice que cuando es decir, si para cada
número positivo existe otro número positivo , tal que
.
Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función como sigue:
Observe que y que
Podemos anotar que
Ejemplo:
Demostraremos que

Para probar este límite, se debe establecer que dado un , debe existir
siempre que
Ahora, como si y solo si , entonces, para cualquier número ,
podemos tomar de tal forma que se cumpla que .
Por ejemplo, si entonces . Esto significa que es
mayor a 1000 siempre que sea mayor que 10.
La función f definida por , con , tiene como representación gráfica la
siguiente
Nota: En forma similar a la definición anterior pueden definirse ,
y
En las siguientes representaciones gráficas vamos a ejemplificar el comportamiento de

una función f en el que se evidencien los límites anteriores:
a.
b.
c.
Ejercicio:
En cada caso, utilizando el dibujo que se da, determine los límites que se indican:

a) b) c) d)
a) b) c) d)
Consideraremos ahora la función f definida por
En las siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento cuando y
cuando :

a.
b.
En ambas tablas puede observarse que cuando toma valores positivos o valores
negativos cada vez mayores, (mayores en valor absoluto), se tiene que la función tiende
a acercarse a 2, por lo que se puede escribir que:
y
A continuación hacemos la respectiva representación gráfica de la función :
Damos ahora las definiciones para los límites cuyo resultado es una constante cuando
y cuando

Definición
Sea una función con dominio tal que para cualquier número existen
elementos de en el intervalo .
El límite de cuando tiende a más infinito es , que se representa
, si para cada existe un número tal que para
toda y .
Ejemplo
Probar que
Hay que demostrar que para existe tal que si
Se tiene que
Si entonces por lo que:
Luego, dada se cumple que si y solo si , o sea, si
, por lo que podemos tomar de tal forma que se verifique que
siempre que .
Por ejemplo, si entonces por lo que:

La representación gráfica de la función es la siguiente:
Definición
Sea una función con dominio tal que para cualquier número , existen
elementos de en el intervalo .
El límite de cuando tiende a menos infinito es , que se representa
, si para todo existe un número tal que para
cada y .
Ejercicio
Utilizando la definición anterior y un proceso similar al desarrollado en el ejemplo
inmediato anterior, pruebe que:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Teoremas sobre límites infinitos
Teorema 12
Si es cualquier entero positivo, entonces se cumple que:
1.
2. si es par
3. si es impar
Ejemplos:
1. en este caso
2. con
Gráficamente se tiene que:

3.
4.
5.
6.
Ejercicio:
Determine cada uno de los límites siguientes:
1.
2.
3.

Teorema 13
Si es cualquier número real, y con , entonces:
1. si se tiene que y
Ejemplos: de cada uno de los casos que se mencionan en el teorema anterior.
1.
Observe que si se hiciera la sustitución directa se obtiene la forma indeterminada
.
Como la expresión puede aproximarse a cero a través de valores positivos o a
través de valores negativos, estudiaremos los límites laterales como sigue:
a.
Como , entonces por lo que y se dice que .
Así, el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a .
Luego, aplicando la parte 1 del teorema se obtiene que

b.
Como , entonces por lo que y se tiene que .
Como el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a
aplicando la parte 2 del teorema anterior se obtiene que
Como los límites laterales son diferentes decimos que no existe.
2.
Observe que y que
Como la expresión puede tender hacia cero a través de valores positivos o a través
de valores negativos debemos calcular los límites laterales de la siguiente forma:
a.
Como entonces por lo que y de donde
.
Así el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a , por
lo que aplicando la parte 3 del teorema anterior se obtiene que
b.
Como entonces y de donde y puede decirse
que .
Luego, el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a ,
por lo que aplicando la parte 4 del teorema anterior se obtiene que

Como entonces no existe.
Ejercicio:
Calcular cada uno de los límites siguientes:
1.
2.
Teorema 14
Sean y funciones con dominios respectivamente y sea "a" un número
tal que todo intervalo abierto que contenga a "a" contiene números diferentes de "a"
en .
Si y entonces
1.
2. si
3. si
4.
Ejemplos:

a.
En este caso y pues y en el
numerador se tiene una constante positiva, obteniéndose el resultado anterior al
aplicar la parte 1 del teorema 13.
Luego:
b.
Este límite anterior puede escribirse como siendo
y
Calculamos el
Como entonces y ; además la constante en el
numerador es positiva por lo que aplicando la parte 1 del teorema 13 se tiene que
Ahora, el y aplicando la parte 2 del teorema anterior se
tiene que
c.
Este límite puede escribirse como sabemos que
y además por lo que aplicando la
parte 3 del teorema anterior concluimos que
d.

En este caso se tiene que y que por parte 1 del
teorema 13 de donde, aplicando la parte d) del teorema 14 concluimos que
Teorema 15
Sean y dos funciones, "a" un número con la propiedad mencionada en el
teorema 14.
Si y entonces:
1.
2. si
3. si
4.
Prueba: Similar a la del teorema 14.
Ejemplos:
1.
En este caso y
Calculemos
Si entonces por lo que puede decirse que

Como la constante en el numerador es positiva, aplicando la parte 2 del teorema 13
se deduce que:
Por otra parte , y aplicando el punto 1 del teorema 15 se obtiene que
2.
Este límite puede escribirse como
Como y , aplicando la parte 2 del teorema 15 se
obtiene que
3.
El límite anterior puede escribirse como
Como , y , entonces aplicando el punto 3
del teorema 15 se obtiene que
4.
En este caso se tiene que y por parte 2 del
teorema 13 (compruébelo). Luego aplicando el punto 4 del teorema 15 se tiene que
Ejercicios: aplicación de los teoremas 13,14 y 15
Calcule los límites siguientes:

1.
2.
3.
Teorema 16
Si y son funciones tales que y entonces se
cumple que:
1.
2.
Prueba: Ejercicio para el estudiante.
Ejemplo:
Determinar el límite siguiente
En este caso calculemos: y
Como entonces y por lo que y o sea
y . Luego, se tiene que y
(por teorema 13), y concluimos de acuerdo al teorema anterior que:

Ejercicio
Calcule cada uno de los límites siguientes:
1.
2.
Teorema 17
Si y son funciones tales que y entonces:
1.
2.
Prueba: Ejercicio para el estudiante
Ejemplo:
Calculemos:
y
Como entonces por lo que , o sea y
. Luego, se tiene que (por teorema 13 parte 2) y
(por teorema 13 ).
Entonces, utilizando el teorema anterior se tiene que:
y

Ejercicio
Calcule los límites siguientes:
1.
2.
Teorema 18
Si y son funciones tales que y entonces:
Ejemplo:
Calculemos:
y
Como entonces además y cuando .
Luego, se tiene que: y y aplicando el teorema
anterior tenemos que:
Ejercicio:
Calcule

Nota: los teoremas 12 a 18 son válidos cuando
Teorema 19
Si entonces
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5.
Teorema 20
Si es un número positivo tal que es un número real para , entonces
Prueba: Similar a la del teorema 19.
Nota: observe que, como está creciendo a través de valores negativos es necesario que
sea un número real, no teniendo sentido expresiones como:
Ejemplos:

1.
2.
3.
4.
Note que si entonces por lo que sí tiene sentido cuando
.
Daremos ahora ejemplos de límites cuando y cuando . Para calcular
y factorizamos la variable de mayor exponente como se evidencia
a continuación.
1.
Note que cuando
2.
pues

3. ejercicio para el estudiante
4.
Recuerde que cuando
5.
Observe que evaluando, el numerador tiende a una constante (5), y el denominador
tiende a .
(por teorema 19)
6.

Como está definida a través de valores positivos entonces
Observe que y que la expresión dentro del paréntesis tiende a .
7.
Como crece a través de valores negativos se tiene que
Nota: Recuerde si es par.

8. Ejercicio
9.
Note que
10.
Observe que:
Luego se presenta la forma para la que no tenemos ningún teorema
que nos permita dar el resultado.
Cuando se presenta esta situación, primero racionalizamos y luego evaluamos el
límite con el proceso que ya conocemos:
Así tenemos que:

11.
Observe que:
y
Por lo que en este caso se presenta la forma , o sea, para la
que sí existe un teorema y concluimos que:
Ejercicio

1. (respuesta: 2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Límites que involucran la función exponencial y la función logarítmica
Recordemos primero el comportamiento de la función exponencial y el de la función
logarítmica.
1. con
Note que: y
2. con

Note que: y
3. Función logarítmica de base
Observe que: y
Además y

Si entonces y , o sea y por tanto .
Si entonces y por lo que y
Tomando en cuenta las representaciones gráficas de las funciones exponenciales y
logarítmicas, estudiaremos límites que involucran funciones de la forma
con constante.
Calculemos los siguientes límites:
1.
En este caso se tiene la función exponencial de base .
Observe que en la expresión el denominador tiende a cero cuando ,
por lo que analizaremos el comportamiento de esta expresión cuando , y
cuando
a.
Si entonces , por lo que
(Teorema 13)
Como entonces
pues estamos trabajando con la función exponencial con base mayor que
.
Luego
b.

Si entonces , por lo que
Como el exponente de la función exponencial tiende a más infinito
entonces:
cuando y por tanto:
Como los límites laterales son diferentes entonces
no existe
2.
Tratamos nuevamente con la función exponencial, pero ahora la base es
(Revise la representación gráfica de )
Calculamos los límites laterales nuevamente pues el denominador de la expresión
tiende a cero cuando
a.
r
Si entonces por lo que y
como se tiene que

Luego
b.
Si entonces por lo que y
como entonces
Luego
Como
entonces no existe.
3.
Observe que cuando se tiene que por lo que
. Como el numerador tiende a una constante, y el denominador
tiende a cero, es necesario calcular los límites laterales como sigue:
a.

Como entonces por lo que
y por tanto , de donde y se
tiene que
Luego
b.
Como entonces por lo que
y por tanto , de donde o sea que
y se tiene que
Por tanto:
Como los límites laterales son diferentes, se concluye que:
no existe.
4. Ejercicio
5. Ejercicio
6.
Se deben analizar dos casos:
i.
ii.
Además se debe tomar en cuenta el comportamiento de la función
en los alrededores de , pues y por lo que el
denominador tiende a cero cuando .

La representación gráfica de la función , en el intervalo es la siguiente:
Observe que cuando se tiene que y que cuando
entonces , por lo que y
Ahora analicemos el límite pedido.
i.
Cuando
1)
2)
Como los límites laterales son diferentes entonces:
no existe.
ii.
Cuando
1)

2)
Luego, los límites laterales son diferentes por lo que no existe.
7.
En este caso la base de la función exponencial es y .
Como y cuando , analicemos la gráfica de
cuando , analicemos la gráfica de en los
alrededores de
Si entonces por lo que y , es
decir,
Si entonces por lo que y , o
sea, .
Luego al calcular los límites laterales se tiene que:
y

Por lo que no existe.
8. Ejercicio para el estudiante.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Introducción
"Cuando empezó a desarrollarse el Cálculo, la mayor parte de las funciones con las que
se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de penetrar en el
significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaron
algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. En
particular, los trabajos de J.B.J. Fourier (1758-1830) sobre la Teoría del calor, obligaron
a los matemáticos de principios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado
de los conceptos de función y continuidad.
A pesar de que el significado de la palabra "continuo" parece intuitivamente clara a todo
el mundo, no es fácil imaginarse cuál sería una buena definición de esta idea. Un
diccionario popular da la siguiente definición de continuidad:
Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo.
Continuo: Que tiene continuidad entre las partes.
Intentar aprender el significado de continuidad únicamente a partir de estas dos
definiciones, es lo mismo que intentar aprender chino con sólo un diccionario chino.
Una definición matemática satisfactoria de continuidad, expresada enteramente por
medio de las propiedades del sistema de los números reales, fue formulada por
primera vez en 1821 por el matemático francés Agustín-Louis Cauchy (1789-1857)".
(Apóstol, 1977, 156)
Antes de dar la definición de continuidad de una función en un punto, veremos el
comportamiento de algunas funciones que no son continuas.
a.
Sea f la función definida por
Su representación gráfica es la siguiente:

En este caso la función f estádefinida en pues .
Sin embargo el no existe ya que
, y,
y se tiene que los límites laterales son distintos.
b.
Sea g la función definida por para ,
Su representación gráfica es la siguiente

Note que la función g no estádefinida en 2 y que además no existe pues
y
c.
Consideremos ahora la función h definida por:

En este caso, la función h estádefinida en 1 pues , además existe y es
igual a 1, pero
Puede observarse que las gráficas de las funciones f, g y h, presentan "saltos bruscos" o
discontinuidades en los puntos en los que no está definida la función o en los puntos, en
los que aún cuando la función está definida, el límite de la función en ese punto no existe,
o su valor es diferente al que toma la función en ese punto. Luego, debemos establecer
condiciones bajo las cuales se sepa con certeza cuándo una función es continua. De los
ejemplos anteriores podemos deducir intuitivamente lo que se establece en la siguiente
definición.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Definición de continuidad
Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones
siguientes:
1.
está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f)
2.
existe
3.
La función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se
cumple.
Ejemplo
Determinar si la función definida por es continua en
Primero por lo que f está definida en 2
Calculemos
(de aquí existe)
Como entonces f es continua en
Note que f no está definida ni en , ni en por lo que f es discontinua en esos
puntos.
Ejemplo
Determine si la función definida por

es o no continua en
Se tiene que (es decir, 4 pertenece al dominio de )
Además
Pero por lo que es discontinua en .
Ejemplo
Sea f la función definida
Determinar si f es continua en
Según la definición de la función .
Además

Luego por lo que f es continua en
La representación gráfica de esta función es la siguiente:
Ejercicios
Determine si la función f definida por es o no continua en
Similarmente para la función h definida por , en los puntos y

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Discontinuidades evitables
Si una función f es discontinua en pero se tiene que existe, entonces
sucede que no existe o que es diferente de . Ambas situaciones se
ilustran a continuación:
y no existe y ( )
En ambos casos, la discontinuidad de la función puede evitarse predefiniendo la función
de tal forma que sea igual al resultado del
Ejemplo
Determinemos si f es continua en
Se tiene que y que
Se observa que existe pero es diferente de

Luego, si le asignamos a el valor de 0 (cero), la función es continua. Puede
escribirse de nuevo la definición de f como sigue:
Ambas situaciones se ilustran a continuación:
La discontinuidad será inevitable o esencial si el limite de la función en el punto de
discontinuidad no existe.
Ejemplo
Consideremos la función definida por
Analicemos la continuidad en .
Como f no está definida en 2, automáticamente f es discontinua en ese valor. Sin
embargo, si el existe puede redefinirse la función para que sea continua.
Calculemos por tanto el .
Para ello vamos a analizar los límites laterales como sigue:
Como los límites laterales son diferentes entonces no existe y la discontinuidad
es inevitable, ya que no podemos redefinir la función.
La representación gráfica de la función f es la siguiente:

Ejercicio
Para cada una de las funciones definidas a continuación, determine si la función es o no
continua en el valor de especificado.
En caso de discontinuidad, especifique si ésta es evitable o no.
Si la discontinuidad es evitable, escriba la nueva definición de la función.
1.
2.
3.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Continuidad en un intervalo [a,b]
Una función f definida en un intervalo , es continua en el intervalo si:
a. es continua para todo tal que
b. es continua por la derecha en "a"
c. es continua por la izquierda en "b"
Es decir, f es continua en si:
a.
b.
c.
Ejemplo
Consideremos la función f definida por .
Esta función es continua en el intervalo cerrado , ya que si se tiene
que:
; además
, y,
La representación gráfica de esta función es la siguiente:

También se tiene que una función definida en el intervalo , es continua en ese
intervalo, si y solo si es continua en el intervalo abierto y es continua por la derecha
de "a".
Similarmente, para que una función definida en el intervalo sea continua en ese
intervalo, es necesario que sea continua en el intervalo abierto y a la vez que sea
continua por la izquierda en "b".
Ejemplo
Consideremos la función definida por en el intervalo .
Para , se tiene que
Además , por lo que la función es continua por la
derecha en .
Luego f es continua en
Ejemplo
Considere la función definida por en el intervalo .

Pare se tiene que y
por lo que es continua en
Además, y es continua por la izquierda en 2.
Luego es continua en el intervalo

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Definición de continuidad utilizando y
Según la definición de continuidad, una función f es continua en un punto c si
.
Utilizando la definición de límite, la anterior igualdad significa que para cada existe
tal que si entonces
Sin embargo ahora la restricción no es necesaria, ya que si toma
entonces y por lo que y cero es menor que , lo cual
cumple con lo que estipula la definición de límite.
Luego puede decirse que
Definición
Una función es continua en si y solo si para cada existe tal que si
entonces .
Note que si la función es continua en c, entonces el punto está en la gráfica de
f y existen puntos de ella tan cercanos como se desee al punto .
Según la definición dada de continuidad, dada una y para cualquier selección de las
rectas cuyas ecuaciones son , , existen rectas con ecuaciones
, tales que la parte gráfica de f que está entre las dos últimas líneas,
queda enteramente contenida en el rectángulo determinado por las cuatro rectas ya
mencionadas, como se muestra en la figura siguiente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Teoremas sobre continuidad de funciones
Teorema a
Si las funciones f y g son continuas sobre los intervalos y respectivamente y
si entonces:
a.
es continua sobre el intervalo U
b.
es continua sobre U
c.
es continua sobre U (Producto de dos funciones)
d.
es continua sobre U, excepto para tal que
Demostración: al final del capítulo.
Teorema b
La función f definida por , donde es un polinomio real, es
continua para todo número real.
(Recuerde que , , ,
para )
Demostración: al final del capítulo
Según el teorema son ejemplos de funciones continuas las siguientes:

Teorema c
Una función definida por
y
Ejemplos
1.
La función definida por es continua para todo
, ya que el polinomio en el denominador se hace cero cuando se evalúa
en , o
2.
La función definida por es continua para tal que y
Teorema d
Sean y dos funciones tales que
Además y g es continua en d.
Entonces
Ejemplo:

Sean y dos funciones tales que:
,
Como y g es continua para pues
, entonces
Teorema e
Si es una función continua en y es una función continua en , entonces la
composición de funciones es continua en .
Nota: La continuidad de la composición de funciones es válida para cualquier número finito de
funciones, siempre y cuando se cumpla que cada función sea continua en su respectivo argumento.
Ejemplo
1.
Sean y dos funciones definidas por las siguientes ecuaciones ,
.
Note que es una función polinomial y por lo tanto continua para todo . La función f
es continua para
Luego la función será continua para los
valores de x tales que sea mayor o igual que cero.
Como y , entonces la función h será continua
para todo valor real.
2.
Consideremos las funciones definidas por

,
.
La función es continua para , y la función es continua para todo valor real
por ser función polinomial.
Luego la función , dada por sea continua siempre , es
decir, siempre que .
3.
La función h definida por es continua siempre que sea mayor que
cero.
Esta última condición se satisface cuando
Teorema f
La función seno definida por es continua sobre todo su dominio, o sea.
sobre todo .
Ejemplo
La función f definida por es continua siempre que x sea diferente de cero, pues en
se tiene que no está definida.
Teorema g
La función coseno denotada por es continua sobre todo su dominio .
Demostración: Ejercicio para el estudiante.
Ejemplo
La función puede considerarse como la composición de las funciones con ecuaciones

, . Como la función f es continua para y la función g es continua para
todo x en , entonces la función h es continua siempre que sea mayor o igual a cero, lo que
sucede cuando:
, , par.

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Algunas propiedades de las funciones continuas
Daremos ahora algunas propiedades de las funciones continuas sobre un intervalo, cuya
interpretación geométrica parece hacerlas evidentes.
Teorema h
Sea f una función continua en c tal que .
Existe entonces un intervalo en el que f tiene el mismo signo que .
Demostración: al final del Capítulo.
En este caso para x cercano a c, pues
Teorema de Bolzano
Sea f una función continua en cada punto de un intervalo cerrado , de donde
y tiene signos opuestos. Entonces existe por lo menos un punto en
el intervalo abierto tal que

Geométricamente puede interpretarse este teorema como sigue:
la gráfica de la función continua con ecuación , que une los puntos y
, donde y , (o bien , ), corta o interseca el
eje X por lo que menos un punto, como se representa en las figuras siguientes:
Note que En este caso , y
Ejemplos
1.
Consideremos la función f con ecuación en el intervalo .
Como , , , , entonces existe por lo menos un
en tal que .
En este caso .

2.
Consideremos ahora la función con ecuación en el intervalo
Como y , entonces existe por lo menos un valor en el
intervalo tal que
Note que la función interseca al eje X en un valor entre -2 y -1 en , y en un valor
entre 3 y 4. Resolviendo se obtiene que , ,

Teorema del valor intermedio para funciones continuas.
Sea f una función definida y continua en cada punto de un intervalo . Sin y
son dos puntos cualesquiera de tales que y ,
entonces la función f toma todos los valores comprendidos entre y por
lo menos una vez en el intervalo .
Demostración: al final del Capítulo.
Gráficamente se tiene lo siguiente:
En otras palabras, si en los extremos del segmento dado la función toma valores diferentes
, , siempre se encontrará un punto , comprendido entre y
, tal que , cualquiera que sea el número k entre los valores A y B.
Ejemplo
Consideremos la función f con ecuación definida en el intervalo , cuya
representación gráfica es la siguiente:

En este caso y (obviamente )
Entonces, según el Teorema anterior, siempre se encontrará algún valor entre y 4 cuya
imagen esté comprendida en y .
Si existe , tal que
Si existe , tal que ; en este caso
Es necesario hacer notar que el Teorema del valor intermedio es válido únicamente
cuando la función es continua en un intervalo dado.
En caso de que la función sea discontinua, el Teorema no siempre se cumple.
Por ejemplo, consideremos la función en el intervalo definida por la siguiente
ecuación:
La representación gráfica es la siguiente:

Note que la función es discontinua en el intervalo , pues en , el no
existe. Se tiene que y que .
Si se toma un valor k entre y 1, , no existe ningún valor C entre 0 y 2,
tal que , pues la función nunca toma valores entre y 1. Si se trazara una recta
con ecuación , ésta nunca intersecaría a la curva.
De aquí que la condición de continuidad en el intervalo es indispensable para que se
cumpla el Teorema.

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Continuidad y funciones
Antes de establecer las relaciones entre las funciones inversas y los teoremas sobre
continuidad, daremos las siguientes definiciones.
Definición: Función estrictamente creciente
Se dice que una función f definida en un intervalo es estrictamente creciente, si
para cada , con se tiene que

Definición: Función estrictamente decreciente
Similarmente, una función f es estrictamente decreciente si pero
Por ejemplo, la función con ecuación es estrictamente creciente en el
intervalo de , como se muestra en la gráfica siguiente:

La función con ecuación es decreciente en el intervalo como se
muestra en la figura siguiente:
Consideremos ahora la gráfica de una función f, denotada por , que es continua y
estrictamente creciente en un intervalo
Según el Teorema del valor intermedio, si "y" está comprendido entre y ,
entonces existe por lo menos un tal que . En este caso, como f es una
función estrictamente creciente, si , existe un único valor tal
que
Podría establecerse una nueva función g que tomara a "y" como la variable independiente,
de tal forma que x sea igual a . Esta nueva función g recibe el nombre de función
inversa de la función f y se denota por .

Definición: Función inversa
Sea f una función determinada por
Si existe una función tal que si y solo si , entonces
recibe el nombre de función inversa y está determinada por
El dominio de es el rango de , y el rango de es el dominio de f.
Así:
Por ejemplo, la función
tiene como función inversa, la función definida por
La representación gráfica de ambas funciones es la siguiente

Note que una función y su inversa son simétricas respecto a la gráfica de la función
identidad.
Propiedades de las funciones inversas

Teorema k
Si una función f es continua y estrictamente creciente en un intervalo , entonces:
1.
existe la función inversa en el intervalo
2.
es estrictamente creciente en
3.
es continua en
Ejemplo
Sea f la función definida por:
Se observa que f es continua y estrictamente creciente en . Luego, según el
teorema existe una función inversa que también es continua y estrictamente
creciente.
Dicha función está definida de la manera siguiente:

Teorema L
Si una función es continua y estrictamente decreciente en un intervalo
entonces:
1.
f posee una función inversa denotada , definida en
2.
es decreciente en
3.
es continua en
Ejemplo
Consideremos la función f definida como sigue:

La función f es continua y estrictamente decreciente por lo que posee función inversa que
también es continua y estrictamente decreciente. Dicha función está definida por:
Ejercicios
1.
Represente gráficamente esta función.
Si f cumple las condiciones del teorema L o del teorema k, determine y haga
la respectiva representación gráfica.

2.
Proceda en forma similar a lo enunciado en 1. para
Nota: Los teoremas L y k enunciados anteriormente, serán de gran utilidad cuando
estudiamos las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas en el próximo capítulo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Valores máximos y mínimos para funciones continuas
Definición Máximo absoluto y mínimo absoluto
Sea f una función real de variable real definida en un conjunto U de números reales.
a.
Se dice que la función f posee un máximo absoluto en el conjunto U, si existe
por lo menos un valor c en U tal que para todo .
El número recibe el nombre de máximo absoluto en en U.
b.
Se dice que f posee un mínimo absoluto en U si existe un valor d en U tal que
para todo .
Ejemplo
Consideremos la función f definida por:
en el intervalo
Su representación gráfica en este intervalo es la siguiente:

Como para todo entonces el máximo absoluto de la función es
Como para todo entonces el mínimo absoluto de la función es
Ejemplo
Consideremos la función f definida por:
En este caso para todo , por lo que es el máximo
absoluto de .
Sin embargo, esta función no posee un mínimo absoluto.
Note que

Teorema de acotación para funciones continuas
Si f es una función continua en un intervalo cerrado entonces es acotada en
, es decir, existe un número tal que para todo .
Una demostración de este teorema aparece en el libro Calculus de Tom M. Apóstol.
Ejemplo
Sea f una función definida por:
es continua para todo
Note que lo que puede escribirse como , de donde
Luego para por lo que es acotada en
Ejemplo
Considere la función definida por:

Su representación gráfica es la siguiente
es continua para todo
Se tiene que para , por
lo que de donde y por tanto para
. Luego es acotada en
Si una función f es acotada en un intervalo cerrado , entonces el conjunto de todos los
valores de está acotado tanto superior como inferiormente.
Luego, este conjunto posee un extremo superior y un extremo inferior denotados por
e respectivamente. Se escribe entonces:
El es el mayor de los para
El es el menor de los para

Para cualquier función acotada se tiene que para todo
En el ejemplo inmediato anterior se tiene que el es , y que el es
Teorema del máximo (mínimo) para funciones continuas
Si una función es continua en un intervalo cerrado , entonces existe puntos
y en tales que y
Según el teorema, podemos decir que si f es continua en entonces el es su
máximo absoluto, y el es su mínimo absoluto. Luego, por el teorema del valor
medio, los valores que toma estarán en el intervalo .
Es indispensable que el intervalo sea cerrado, pues de no serlo, puede ocurrir que aunque
una función sea continua en un intervalo abierto, no alcance en él ni su valor máximo ni
su valor mínimo.
Ejemplo
Sea la función definida por:

Observe que aunque es continua en no posee ni máximo ni mínimo absoluto,
o sea no tiene ni ni
Ejemplo
En la gráfica siguiente puede apreciarse que para , por lo que
. Sin embargo no posee un valor máximo absoluto.

Note que
Ejemplo
En este caso, el intervalo en el que está definida la función f sí es cerrado. Note que
para por lo que existe en tal que .
Además para , por lo que existe en tal que
Se tiene entonces que es el máximo absoluto de la función y el corresponde a
su mínimo absoluto.

Lic. Elsie Hernández S..
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Demostraciones
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Demostraciones
1. Probar que
Consideremos la siguiente igualdad:
Sustituyendo por se obtiene
Sumando, por separado, cada uno de los términos en ambos lados de la igualdad se obtiene
Como entonces
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFER...so-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (1 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.

Demostraciones
de donde
Efectuando la suma del lado izquierdo, se obtiene que
y por lo tanto , que era lo que se
quería probar.
Puede utilizarse también el método de inducción matemática para probar la validez de esta
igualdad, lo mismo que para probar que se cumple
2. Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)
Vamos a suponer que y demostraremos que ello es imposible.
Si , hagamos que será positivo por estar tomando el valor
absoluto.

Demostraciones
Como entonces, por la definición de límite, se sabe que tal
que siempre que
Además, y también por definición se sabe que existe Tal que
cuando . Puede suceder que o que .
Supongamos que .
Como entonces
de donde
(Recuerde que )
Como y entonces
y por lo tanto
Pero habíamos definido y hemos llegado a que lo que es absurdo.
Luego la suposición de que es diferente de nos ha llevado a una contradicción, por
lo que debe ser falsa.
Entonces, necesariamente , con lo que queda demostrado el teorema.
3. Teorema 2. Sea , números reales. Nos interesa encontrar una
tal que siempre que

Demostraciones
Como entonces
.
Considere los casos siguientes
1.
Dada cualquier se tiene que es menor que siempre que
sea menor que
Luego si entonces , siempre que
.
2.
Si entonces , por lo que dada cualquier ,
la desigualdad será cierta para todos los valores de y
por lo tanto, para cualquier se cumple que cuando
4. Teorema 3. Debemos probar que dada cualquier , existe tal que
siempre que .
Como entonces será
menor que si (A) Como entonces dada

Demostraciones
una , existe tal que cuando .
Considerando lo especificado en (A), podemos utilizar esta misma para que
y así queda demostrado el teorema.
5. Teorema 4. Consideremos los siguientes casos
1.
En este caso debemos probar que , es decir que dada cualquier
, existe tal que o sea , cuando
, con , lo que convierte en .
Tenemos que si entonces por lo que si se cumple que
cuando y así queda demostrado este caso.
2.
En este caso debe probarse que es decir que para cada
existe una tal que es menor que cuando
, con .
Se tiene que para la expresión puede escribirse como sigue:
de donde

Demostraciones
Luego, , siempre que Tomando
se cumple que cuando y así
queda demostrado el segundo caso.
6. Teorema 5. Para demostrar que dada
debemos probar que existe tal que si entonces
Si se tiene que también
Como:
1. se sabe que existe tal que si
entonces
2. se sabe que existe tal que si
entonces
Tomando como el mínimo de y se tiene que si entonces
y
Ahora:
y como y se tiene que
Por lo tanto, si es igual al mínimo de y se obtiene que si
entonces

Demostraciones
7. Teorema 6.
Dado hay que demostrar que existe tal que si
Como y entonces multiplicando y
restando se obtiene que:
Luego:
Por hipótesis, como , existe tal que
si
Tambíen como , existe tal que si
Tambíen se tiene que si y
si Si es el mínimo de , las
desigualdades anteriores se cumplen para toda tal que
Luego:
es menor que:

Demostraciones
Además como y se tiene que
y
Luego:
para . Y así queda demostrado el teorema.
Nota
Se utilizó y en los denominadores de y en lugar
de y , pues si es igual a cero no puede estar en el denominador, en tanto
que no puede hacerse cero y como ya se dijo es siempre menor que 1, ya
que el denominador es mayor que el numerador.
8. Teorema 8. , con
Hay que considerar dos casos; cuando y cuando Haremos el desarrollo
para
Debe probarse que para cualquier , existe un tal que sea menor que

Demostraciones
siempre que
Note que:
pues (*).
Como la desigualdad es equivalente a y por tanto
, y como entonces
Luego, siempre que se tiene que
Volviendo a (*) podemos escribir que:
por lo que
siempre que
Como queremos que sea menor que , , al tomar como
la más pequeña entre y , nos aseguramos que siempre que y
Luego

Demostraciones
de donde
siempre que donde es igual al mínimo entre y
De esta forma queda demostrado que , con
9. Teorema 9.
Vamos a demostrar que cuando y es cualquier
número positivo.
Luego debe demostrarse que para cualquier , existe un tal que ,
siempre que .
Vamos a utilizar la fórmula siguiente válida para cualquier entero positivo
para expresar en términos de como sigue:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...o-elsie/limitesycontinuidad/html/demostraciones.html (10 de 17)27/11/2005 12:47:13 a.m.

Demostraciones
Se desea encontrar un número tal que la fracción en el lado derecho de la igualdad anterior
sea menor que ese número.
Si se condiciona que la que se está buscando sea menor o igual que entonces siempre
que se sabe que , lo que es equivalente a:
o sea
Luego siempre que se tiene que x>0, por lo que, si en el denominador de la
fracción del lado derecho de la igualdad dada en , la se sustituye por 0, se tiene
que:
que es la fracción mencionada.
Luego, siempre que se tiene que
Se desea que sea menor que es decir que
Así tomando como la más pequeña entre y nos aseguramos que siempre que

Demostraciones
se cumple que y
Por tanto
siempre que , donde es igual al mínimo entre y , con lo que
queda demostrado el teorema.
10. Teorema 10.
Será demostrado más adelante, utilizando el teorema 8, y un resultado sobre continuidad.
11. Teorema 11.
Como entonces para cualquier existe un
entorno reducido de tal que y es decir
y
Ahora, para toda toda que pertenece a donde se tiene que:

Demostraciones
por lo que
De aquí que para lo que significa que y el
teorema queda demostrado.
12.Teorema 12.
Probaremos la parte a)
Se debe demostrar que dada , existe tal que siempre que
(Recuerde la definición 1.10.3)
Como y entonces se tiene que siempre que .
Además por lo que siempre que .
Tomando se cumple que siempre que .
Las demostraciones de las partes b) y c).
13. Teorema 13.
Vamos a probar la parte a) o sea si y cuando
.
Para ello debe probarse que dada , existe una tal que siempre
que (Recuerde la definición 1.10.1)

Demostraciones
Como , con c>0, tomando , se tiene que existe una tal
que siempre que (Por definición en un punto de
límite en un punto).
Luego, de la desigualdad se sigue que siempre que
, por lo que siempre que .
Luego existe una tal que siempre que (*)
Por otra parte, como se tiene que dada , (cualquiera), existe una
tal que siempre que . (También por definición de
límite).
Como tiende a cero a través de valores positivos entonces
Luego, dad , existe una tal qu siempre que
(**)
De las afirmaciones hechas en (*) y (**) se puede concluir que dada una , existe una
y una tales que:
siempre que que es lo que se quería demostrar, como se indicó al
principio de la prueba.
14. Teorema 14.
Probaremos la parte 1), o sea que si y

Demostraciones
Para ello se necesita que dada , (sin importar que tan grande), exista con la
propiedad que siempre que .
Como , para , existe tal que siempre
que .
Luego se tiene que , siempre que de donde
siempre que .
Además, como , dada , existe tal que
siempre que . Tomando como el mínimo de y , las
desigualdades y se cumplen si .
Luego cuando y el teorema queda
demostrado pues es suficientemente grande.
15. Teorema 18.
Para demostrar este teorema se necesita que para un dado, (sin importar lo pequeño),
exista tal que si .
Como entonces dada (sin importar su magnitud), existe tal
que siempre que .
Además, como , dada (sin importar lo pequeña que sea); existe
tal que si .

Demostraciones
Supongamos, sin pérdida de la generalidad, que , , y
.
Se tiene entonces que si y por tanto
si y .
Tomando como el mínimo de y y , se cumple que
siempre que .
Como puede ser arbitrariamente pequeña, (por tanto negativa), y puede ser
arbitrariamente grande, (por tanto positiva), entonces puede ser arbitrariamente
pequeña y se tiene demostrado el teorema.
16. Teorema 19.
Para demostrar que se necesita que para cualquier dado exista
K tal que:
para toda (Recuerde la definición 1.10.5).
Ahora, si entonces
por lo que si y solo si . Además, si y solo si:

Demostraciones
Luego, dada , si escogemos entonces
para toda y el teorema queda demostrado

Demostraciones de los teoremas sobre continuidad de funciones
Lic. Elsie Hernández S..
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Demostraciones de los teoremas sobre continuidad de funciones.
A. Probaremos la parte a)
Sea cualquier número en .
Como y son continuas entonces se tiene que y
.
De los teoremas sobre límites se sabe que:
Luego
por lo que se cumple lo establecido en la definición de continuidad y es continua en
. El resto de los apartados se demuestran similarmente.
B. Sea , , ,
, .
Aplicando los diferentes teoremas sobre límites se tiene que:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIF.../limitesycontinuidad/html/demostraciones%20116.html (1 de 12)27/11/2005 12:47:29 a.m.

Demostraciones de los teoremas sobre continuidad de funciones
Al cumplirse lo establecido en la definición de continuidad, se ha demostrado que la
función es continua para toda .
C. Sea una función definida por donde y son funciones
polinomiales.
El dominio de es decir, .
Aplicando el teorema para el límite de un cociente se tiene que:
Como y son funciones polinomiales, por el teorema B se tiene que son funciones
continuas y por tanto
y .
Luego
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIF.../limitesycontinuidad/html/demostraciones%20116.html (2 de 12)27/11/2005 12:47:29 a.m.

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