1. Lançamento de um Projétil
Engenharia Civil 1 N-E NGER120_003 - Física Experimental I
Edilson Gonzaga Pereira RA. 1305857-2
Eldon Nery de Avelar RA. 1301531-2
Elton Nery de Avelar RA. 1301541-2
FernandoFreitas Azevedo RA.1301549-2
Márcio Fernando Vieiro RA.1304015-2
Resumo:O experimento objetiva o entendimento e comprovação sobre o comportamento de
um projétil em um lançamento horizontal que descreve um movimento parabólico em
relação à Terra. De acordo com o princípio da simultaneidade, o lançamento horizontal sendo
o resultado da composição de dois movimentos simultâneos e independentes: queda livre e
movimento horizontal. Aplicando o estudo da lei da Conservação da Energia Mecânica,
podemos deduzir fórmulas para cálculo do alcance do projétil horizontal através de
resultados teóricos e experimentais.
Palavras – chaves:lançamento, energia mecânica, alcance do projétil.
Introdução teórica
Movimento Parabólico
Ao deixarmos uma esfera de massa (m)
deslizar sobre um plano inclinado, a partir do
repouso, conforme a figura 2, ela irá realizar um
movimento retilíneo uniforme aceleradoaté o final
do plano, e um movimento bidimensional até o
solo. Esse movimento se decompõe em dois
movimentos, um (MRU) na direção horizontal e
(MRUV) de queda livre na direção vertical.
Em cada ponto da trajetória, a velocidade
resultante V, do corpo lançado, é a soma vetorial
da velocidade Vx na direção do eixo x (horizontal)
com a velocidade Vy na direção do eixo y
(vertical). A velocidade resultante se altera a
cada instante em virtude da alteração da
velocidade vertical, cujo módulo varia em face da
aceleração gravitacional.
V=Vx+Vy
É importante salientar que a velocidade
inicial na direção vertical é igual a zero, pois no
início da queda o móvel não tem movimento
vertical. As equações para lançamento horizontal
são:
• O movimento horizontal, MRU, com
velocidade constante, em que ( X=x0 + Vxt )
• O movimento vertical, MRUV com as
mesmas equações já vistas (queda livre), ou
seja,( H=h0+V0+ (gt²) / 2 ) para calcular o
tempo de queda, e ( Vy=V0– gt ) para calcular a
velocidade.
Energia Cinética de Rotação
Sabendo-se que a energia mecânica
[Emec] é a soma de dois tipos de energia:
Potencial e Cinética, estudada em
experimentos anteriores, no lançamento de um
projétil surge outra forma de energia cinética na
esfera (projétil), a Energia Cinética de Rotação.
Umaesfera girando certamente tem
energia cinética devido ao seu movimento de
rotação. Mas a formula Ec=(m v2)/2 é o
movimento do centro de massa do objeto
(translação), no caso nula. Assim, devemos obter
outra relação que associe a energia ao
movimento de rotação da esfera.
Figura 1. Rotação da esfera
Considerando o disco como uma coleção
de partículas com diferentes velocidades.
Somando as energias cinéticas de cada partícula
encontraremos a energia cinética do corpo como
um todo.
Ec = ( m1 v1² ) /2 + (m2 v2
2
) /2 ...
Ec = ∑ ( mi vi² ) /2
Na qual mi é a massa da i-ésima partícula com
velocidade vi.
Unicesumar – Centro Universitário Cesumar

2. Um problema que hánessa equação é que
as velocidades vi são diferentes para partículas
diferentes. Substituindo v=ώr onde ώ é a
velocidade angular e ré a distância do eixo de
rotação.
Ec = ∑ ( mi( ώri )² ) /2 0,5 ( ∑ mi ri² ) ώ²
Na qual ώ é a mesma para todas as partículas.
A grandeza entre parênteses nos diz de
que forma está distribuída a massa ao redor do
eixo de rotação. Ela é chamada de momento de
inércia I do corpo e essa grandeza depende do
corpo rígido e de seu próprio eixo de rotação.
Assim:
I = ∑ (mi ri²)Ec = Iώ² /2
Nas equações de energia cinética de
translação e de rotação ha sempre um fator de
1/2. Enquanto a massa m aparece em uma
equação,a distribuição da massa I em torno do
eixo de rotação aparece na outra, e nas duas
equações contém um fator quadrado de uma
velocidade (translacional v, rotacional ώ).
As energias cinéticas de translação e de
rotação não são tipos diferentes de energia, as
duas são expressas em formas apropriadas ao
movimento em questão.
Procedimento Experimental
Material utilizado
 Régua ou trena
 Tripé
 Conjunto de Mecânica Arete II –
plataforma que possui uma rampa de
madeira acoplada, que por sua vez possui
uma canaleta que origina os
lançamentos.
 Esfera de metal
 Prumo
 Papel carbono
 Papel sulfite
 Fita adesiva
Procedimento
 Monte o experimento de acordo com a
fig. 2 e nivelar horizontalmente a base da
rampa de lançamento.
 Colocar as folhas de papel carbono e
sulfite em frente rampa de lançamento e
calcular o ponto de lançamento horizontal
localizado abaixo do fio do prumo sendo
o ponto R0conforme mostra a fig. 3.
 Medir a altura H do ponto de lançamento
horizontal, em relação a superfície de
impacto da esfera.
 Abandonar a esfera metálica nos pontos
de abandono demarcados no aparelho, a
esfera irá percorrer a rampa e realizar o
movimento parabólico até atingir o papel
carbono na superfície da mesa, que será
seu ponto de impacto, ou seja,
deslocamento R.
 Medir cinco vezes, o alcance com uma
trena ou régua e anotar o valor médio de
cada alcance preenchendo a tabela 2.
Figura 2. Montagem do aparelho
Figura 3. Esquema de montagem
Resultados e Discussões
Para gerar os dados da tabela 1 foram
encontrados os valores correspondentes às
alturas de lançamento através da equação:
(h=H+HR); onde H=390 (mm), conforme mostra
a fig. 2.
Alturas de lançamento
HR(mm) h (mm)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
Tabela 1. Alturas de lançamento

3. Após realizar o quarto e quinto item do
procedimento experimental, obtendo os valores
correspondentes ao alcance horizontal (R) médio
da esfera, foi preenchida a tabela 2 de alcance
Horizontal experimental.
Alcance ExperimentalHorizontal
HR(mm) h (mm) R (mm) - alcance
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
95,0
120
160
180
200
220
230
240
250
260
Tabela 2.Alcance Experimental horizontal
Com os dados obtidos na tabela 2
podemos dizer que o alcance depende da altura
HR, uma vez que a energia potencial da esfera
depende da altura a partir da qual essa esfera é
largada; aquela energia é transformada em
energia cinética, considerando-se o sistema
fechado, de acordo com o princípio de
conservação da energia mecânica. Assim sendo,
quanto maior a energia potencial maior a energia
cinética. A velocidade do centro de massa da
esfera é diretamente proporcional à energia
cinética, desta forma é possível afirmar que a
altura inicial de largada da esfera influencia no
alcance horizontal já que este é obtido através do
produto da velocidade do centro de massa pelo
tempo.
Utilizando da Lei de Conservação da
Energia Mecânica é possível deduzir uma equação
que descreva alcance horizontal teórico para cada
altura de lançamento.
Pela Lei de Conservação da Energia Mecânica,
temos:
Energia Mecanicaincial = Energia Mecanicafinal
Figura 4. Representação do movimento
Partindo do mesmo pressuposto de conservação
de energia, faremos apenas a adição de uma
energia cinética de rotação da esfera. Vale
salientar que os pontos considerados para o
cálculo da energia são: o ponto de partida da
esfera (y=h) e o ponto onde a esfera deixa a
rampa (y=h0).
Para a situação em questão considerando a
rotação da esfera temos:
Emi= Emf
Ugi=Ugf+Ect+Ecr
Mgh= mgh0 + mvx²/2 + Iώ² /2
Onde o momento de inércia I para uma esfera
maciça é dado por: I=2/5m.r² e a velocidade
angular é dada por ώ=V/R
Partindo das considerações feitas, iremos gerar
algumas equações, então temos:
Eq. I
O alcance a esfera é dado por:
Eq. II
O tempo de queda da esfera é dado por:
Eq. III
Substituindoa equação III na equação II e
posteriormente na equação I temos:

4. Através da equação para obtenção do alcance
teórico podemos comparar com o alcance
experimental e calcular o erro experimental
através da equação:
E preencher a tabela 3 abaixo.
Alcance teórico e experimental c/ erro percentual
HR
(mm)
h(mm)
Alcance
teórico
(mm)
Alcance
exp.(mm)
Erro%
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
105
149
182
211
236
258
279
298
316
333
095
120
155
180
200
217
230
242
250
265
9,523
14,285
14,835
14,691
15,254
15,891
17,562
18,791
20,886
20,420
Tabela 3. Alcance teórico e experimental c/ erro percentual
Com os dados obtidos na tabela 3, construímos o
gráfico Altura (h) X alcance (R).
Gráfico 1. Altura (h) X Alcance (R)
O gráfico acima representa a dependência
do alcance da esfera com a altura em que esta
foi solta considerando-se os alcances teóricos
(com rotação) e o experimental ondepercebemos
que, à medida que a altura aumenta, os dados
teóricos e experimentais tendem a se distanciar.
A causa desse fato é o aumento da altura (h),
que gera um maior erro nos dados
experimentais.
Conclusões
O experimento foi uma análise de
assuntos importantes para os dias atuais, o qual
conseguiu incluir a física no mundo real.
Aprendemos e conseguimos identificar conceitos
fundamentais, tais como: a energia cinética de
rolamento e o manuseio de equações da
cinemática e da dinâmica para o posterior
encontro de fórmulas de alcance que se
baseassem apenas nas alturas.
Percebemos que a distância entre os
alcances da esfera diminui à medida que
aumentamos a altura de onde ela foi solta. Esse
fato deve-se à taxa de variação do alcance em
função do aumento da altura (h)
Referências Bibliográficas
1. HALLIDAY, D. RESNICK, R. e KRANE, K.S.
Física 2. Rio de Janeiro, LTC, 1996.
2. http://coral.ufsm.br/gef/Rotacoes/rotaco
es09.pdf
3. http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/2004
2/gabriel/ENERGIA.HTM
0
50
100
150
200
250
300
350
Alcance
Experimental
alcance
teorico