KOLGOMOROV-SMIRNOV

ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA CARRERA INGENIERÍA COMERCIAL
“MCAL. ANTONIO JOSE DE SUCRE” SEXTO SEMESTRE / 2014
UNIDAD ACADEMICA LA PAZ
PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV (K-S)
BIOGRAFIAS:
Kolmogorov: Andréi Nikoláyevich Kolmogórov (Tambov, 25 de abril de 1903 -
Moscú, 20 de octubre de 1987) fue un matemático ruso que hizo progresos
importantes en los campos de la teoría de la probabilidad y de la topología. En
particular, estructuró el sistema axiomático de la teoría de la probabilidad a partir
de la teoría de conjuntos, donde los elementos son eventos. Trabajó al principio de
su carrera en lógica constructivista y en las series de Fourier y trabajó
en turbulencias y mecánica clásica. Asimismo, fue el fundador de la teoría de la
complejidad algorítmica. Alcanzó el doctorado en la Universidad Estatal de
Moscú bajo la supervisión del matemático Nikolái Luzin en 1929.
Smirnov: Vladimir Ivanovich Smirnov (10 junio 1887 - hasta 11 febrero 1974) fue
un matemático ruso que hizo contribuciones significativas tanto en las
matemáticas puras y aplicadas, y también en la historia de las matemáticas.
Smirnov trabajaron en diversas áreas de las matemáticas, como las funciones
complejas y funciones conjugadas en espacios euclídeos. En el campo aplicado
su trabajo incluye la propagación de ondas en medios elásticos con límites del
plano. Smirnov también es ampliamente conocido entre los estudiantes por su
libro de cinco volúmenes Un Curso de Matemáticas Superiores (el primer volumen
fue escrito conjuntamente con Jacob Tamarkin).
TEORIA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV
En estadística, la prueba de Kolmogorov-Smirnov (prueba K-S) es una prueba no
paramétrica de la igualdad de las distribuciones de probabilidad, unidimensionales
continuos que se pueden usar para comparar una muestra con una distribución de
probabilidad de referencia (de una sola muestra de prueba K-S), o para comparar dos
muestras (dos muestras de prueba K-S).
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Est. Christian Jose Hernández Corianga 1

La estadística de Kolmogorov-Smirnov cuantifica una distancia entre la función empírica
de distribución de la muestra y la función de distribución acumulativa de la distribución de
referencia, o entre las funciones de distribución empíricas de dos muestras. La nula
distribución de esta estadística se calcula bajo la hipótesis nula de que las muestras se
tomen de la misma distribución (en el caso de dos muestras) o que la muestra se extrae
de la distribución de referencia (en el caso de una muestra). En cada caso, las
distribuciones consideradas bajo la hipótesis nula son distribuciones continuas pero son
de otra manera sin restricciones. La prueba K-S-dos de la muestra es uno de los métodos
no paramétricos más útiles y generales para la comparación de dos muestras, ya que es
sensible a las diferencias tanto en la ubicación y la forma de las funciones de distribución
acumulativas empíricas de las dos muestras.
La prueba de Kolmogorov-Smirnov se puede modificar para servir como una bondad de
ajuste de prueba. En el caso especial de las pruebas de normalidad de la distribución, las
muestras son estandarizados y en comparación con una distribución normal estándar.
Esto equivale a establecer la media y la varianza de la distribución de referencia igual a
las estimaciones de la muestra, y se sabe que el uso de éstos para definir la distribución
de referencia específica cambia la nula distribución de la estadística de prueba.
ESTADISTICO DE KOLMOGOROV-SMIRNOV
La función de distribución empírica Fn para n observaciones Xi se define como:
Donde es la función indicadora, igual a 1 si Xi ≤ x e igual a 0 en caso contrario.
La estadística de Kolmogorov-Smirnov para una función de distribución acumulativa dada
F (x) es:
Donde sup x es el supremo del conjunto de distancias. Por el teorema de Glivenko-
Cantelli, si la muestra proviene de distribución F(x), entonces Dn converge a 0 casi seguro
en el límite cuando tiende a infinito. Kolmogorov fortaleció este resultado, proporcionando
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efectivamente la tasa de esta convergencia. Teorema de Donsker ofrece todavía un
resultado más fuerte. En la práctica, la estadística requiere un número relativamente
grande de puntos de datos para rechazar la hipótesis nula correctamente.
DISTRIBUCION KOLMOGOROV
La distribución de Kolmogorov es la distribución de la variable aleatoria
donde B(t) es el puente browniano. La función de distribución acumulativa de K viene
dado por:
Tanto la forma de la estadística de prueba de Kolmogorov-Smirnov y su distribución
asintótica bajo la hipótesis nula, mientras que una tabla de la distribución fue publicado
por Nikolai Vasilievich Smirnov. Relaciones de recurrencia para la distribución de la
estadística de prueba en muestras finitas están disponibles. Bajo la hipótesis nula de que
la muestra proviene de la distribución de la hipótesis de F(x).
en la distribución, donde B(t) es el puente browniano.
Si F es continua entonces bajo la hipótesis nula converge a la distribución de Kolmogorov,
que no depende de F. Este resultado también puede ser conocido como el teorema de
Kolmogorov.
La prueba de bondad de ajuste o la prueba de Kolmogorov-Smirnov se construye
mediante el uso de los valores críticos de la distribución de Kolmogorov. La hipótesis nula
es rechazada a nivel si
Donde Ka se encuentra desde
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La potencia asintótica de esta prueba es de 1.
PRUEBA CON PARAMETROS ESTIMADOS
Si bien la forma o los parámetros de F(x) se determinan a partir de los datos Xi los valores
críticos así determinados son válidos. En tales casos, Monte Carlo u otros métodos
pueden ser necesarios, pero las mesas se han preparado para algunos casos. Detalles de
las modificaciones necesarias a la estadística de prueba y para los valores críticos para la
distribución normal y la distribución exponencial, y posteriormente también incluirá la
distribución Gumbel. La prueba Lilliefors representa un caso especial de esto para la
distribución normal. La transformación logarítmica puede ayudar a superar los casos
fueron los datos de prueba de Kolmogorov no parece ajustarse a la suposición de que se
trataba de la distribución normal.
DE DOS MUESTRAS DE PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV
Ilustración de la muestra de dos de Kolmogorov-Smirnov estadística. Las líneas rojas y azules cada uno
corresponden a una función de distribución empírica, y la flecha negro es la muestra de dos KS estadística.
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La prueba de Kolmogorov-Smirnov también puede ser utilizado para probar si dos
distribuciones de probabilidad subyacentes unidimensional difieren. En este caso,
el estadístico de Kolmogorov-Smirnov es:
Donde y son las funciones de distribución empíricas de la primera y la
segunda muestra, respectivamente, y es el ultimo y mejor.
La hipótesis nula es rechazada a nivel si
El valor de se da en la tabla a continuación para cada nivel de
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
1.22 1.36 1.48 1.63 1.73 1.95
Tenga en cuenta que las dos muestras para verificar si los datos de las dos
muestras provienen de la misma distribución. Esto no especifica lo que la
distribución es común (por ejemplo, normal o no normal). Una vez más, las tablas
de valores críticos están con los valores críticos que tienen en común con el chi-cuadrado
Anderson-Darling y, el hecho de que los valores más altos tienden a ser
más raras.
AJUSTE DE LOS MIMITES DE CONFIANZA PARA LA FORMA DE UNA
FUNCION DE DISTRIBUCION
Mientras que la prueba de Kolmogorov-Smirnov se utiliza generalmente para
probar si un determinado F(x) es la distribución de probabilidad subyacente de
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Fn(x), el procedimiento se puede invertir para dar límites de confianza sobre F(x)
en sí. Si se opta por un valor crítico del estadístico de prueba Dα tal que
P(Dn>Dα)=α, a continuación, una banda de ancho ± Dα alrededor Fn(x) será
enteramente contener F(x) con probabilidad 1 - α.
EL ESTADISTICO DE KOLMOGOROV-SMIRNOV EN MAS DlMENSIONES
A multivariante bondad de Kolmogorov-Smirnov-distribución gratuita de prueba de
ajuste ha sido propuesto por Justel, Peña y Zamar (1997). La prueba utiliza una
estadística que se construye utilizando la transformación de Rosenblatt, y un
algoritmo está desarrollado para calcular que en el caso de dos variables.
También se presenta una prueba aproximada que puede ser fácilmente calculada
en cualquier dimensión.
El estadístico de la prueba de Kolmogorov-Smirnov se debe modificar si una
prueba similar se aplica a los datos multivariados. Esto no es sencilla, puesto que
la diferencia máxima entre dos funciones de distribución acumulativas conjuntos
no es generalmente la misma que la diferencia máxima de cualquiera de las
funciones de distribución complementarios. Así, la diferencia máxima será
diferente dependiendo de cuál de
o
O cualquiera de los otros dos posibles disposiciones se utiliza. Se podría requerir
que el resultado de la prueba utilizada no debe depender de que la elección se
hace. Un enfoque para la generalización de la estadística de Kolmogorov-Smirnov
para dimensiones superiores que se reúne la preocupación anteriormente es
comparar las fda de las dos muestras con todas las ordenaciones posibles, y
tomar la más grande del conjunto de estadísticas resultantes K-S. En d
dimensiones, hay 2d-1 tales ordenamientos. Límites de la estadística de prueba se
pueden obtener mediante simulaciones, sino que dependen en la estructura de
dependencia en la distribución conjunta.
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BIBLIOGRAFIA:
 http://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_Kolmog%C3%B3rov
 http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_de_Kolmog%C3%B3rov-Smirnov
 http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_de_Kolmog%C3%B3rov-Smirnov
 http://indeoperaciones.blogspot.com/p/simulacion.html
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