Ejemplo de un material que preparo para quinto de secundaria...

1. I. E. P. “SAN DIMAS”
MATEMÁTICA 5
Matemática para Quinto Grado de Educación
Secundaria asistida con Software Libre
ROBERT IPANAQUÉ CHERO
01/04/2013
Estas notas corresponden a las clases de curso de Matemática para el quinto año de educación secundaria
impartidas por el autor en la I. E. P. “SAN DIMAS” del distrito de Catacaos (Piura, PERÚ) en el año 2013.

2. Prólogo
Los matemáticos, en cooperación con los maestros, son los llamados a ofrecerse para elaborar material
destinado a la enseñanza – aprendizaje de la matemática; como ocurre ya en muchas instituciones educativas
de nuestro país. Esto ha sido una motivación para recoger una serie de experiencias y plasmarlas en estas
notas que se espera sean de utilidad para los lectores interesados.
Para el desarrollo de los capítulos se ha tenido en cuenta el esquema ofrecido por el Ministerio de Educación y
se ha intentado innovar presentando, hasta donde ha sido posible, los conceptos en mapas conceptuales. Los
gráficos, relacionados con ángulos, se han elaborado con el software libre Geogebra v. 4.2.4.01, el cual se
puede descargar desde
http://www.geogebra.org/
Ciertos cálculos y gráficos de funciones se han realizado con asistencia del software libre Maxima v. 5.28.0-22,
el cual se puede descargar desde
http://maxima.sourceforge.net/es/
En el Maxima se han implementado una serie de funciones con la finalidad que sirvan como herramienta para
la verificación de algunos cálculos.
El desarrollo de las tablas de verdad se ha hecho con el software libre TruthTableConstructor v. 3.0.7, el cual
puede descargarse desde
http://www.brian-borowski.com/Software/Truth/
Un gran referente para la elaboración de estas notas ha sido el libro Matemática Quinto Año de Educación
Secundaria de Manuel Coveñas Naquiche (Editorial Naquiche), un autor muy consultado por maestros y
alumnos de nuestro país. Además, es imposible dejar de mencionar el libro Problemas de Trigonometría y
Cómo Resolverlos de Félix Aucallanchi Velásquez (Racso Editores), autor muy consultado por maestros y
estudiantes de preparatoria.
R. Ipanaqué
Catacaos, Piura, PERÚ
1
Un manual recomendado del GeoGebra puede hallarse en http://www.geogebra.es/cvg/index.html
2
Un manual recomendado del Maxima puede hallarse en http://www.eumed.net

3. Tabla de contenido
CAP. I SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR ..................................................................................................................... 4
1 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO .................................................................................................................................... 4
1.1 PRACTIQUEMOS ........................................................................................................................................................... 5
2 VUELTAS O REVOLUCIONES ...................................................................................................................................... 7
2.1 PRACTIQUEMOS ........................................................................................................................................................... 7
3 SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR ............................................................................................................................. 8
3.1 RELACIÓN ENTRES LOS TRES SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR ................................................................................................. 8
3.2 CONSECUENCIAS IMPORTANTES ...................................................................................................................................... 9
3.3 HERRAMIENTA INFORMÁTICA ....................................................................................................................................... 10
3.4 PRACTIQUEMOS ......................................................................................................................................................... 11
3.5 ÁNGULOS COTERMINALES ............................................................................................................................................ 11
3.6 HERRAMIENTA INFORMÁTICA ....................................................................................................................................... 14
3.7 PRACTIQUEMOS ......................................................................................................................................................... 16

4. CAP. I Sistemas de medida angular
1 Ángulo trigonométrico
Ángulo trigonométrico
es
El que se genera por la rotación de un
rayo alrededor de un punto fijo, llamado
origen, desde una posición inicial hasta
una posición final.
la
el
Posición inicial se llama Posición final se llama Origen se llama
lado inicial. lado final. vértice.
su
Medida es la amplitud de la rotación
y toma cualquier valor real.
es
Negativo cuando la Positivo cuando la
rotación es en sentido rotación es en sentido
horario. antihorario.
se
Designa, por lo general, mediante
las letras griegas: , , , , , así
como las latinas: , , .
NOTA: Por convención al ángulo nulo se
Prestemos atención a las le considera ángulo trigonométrico, a
siguientes pesar que no se genera de una rotación.
representaciones gráficas.
Ángulos
negativos

5. Ángulos
positivos
1.1 Practiquemos
1. ¿Qué signos les corresponden a los ángulos , y , respectivamente?
a.
d.
b.
c.
e.
2. Grafique todos los siguientes ángulos en sentido antihorario (efectúe un cambio de signo de ser
necesario).
a.
b.

6. c. d.
3. Grafique todos los ángulos del ejercicio 2 en sentido horario (efectúe un cambio de signo de ser
necesario).
4. Exprese como la suma algebraica de los otros ángulos.
a.
d.
b.
e.
c.
5. De la figura mostrada determine .

7. 2 Vueltas o revoluciones
Una vuelta o revolución
se
Genera cada vez que el lado Representa gráficamente Designan, en general,
inicial rota hasta volver a mediante una con números positivos.
ubicarse sobre su posición circunferencia.
inicial.
NOTA: Por convención se asigna el
valor cero para indicar la ausencia de
revolución.
Ojo a las ilustraciones.
2.1 Practiquemos
1. Indique el número de vueltas de los ángulos que aparecen en las siguientes figuras
a.
b.
7

8. 3 Sistemas de medida angular
Sistemas de medida angular
son
Sistema sexagesimal Sistema centesimal Sistema radial
(inglés). (francés). (circular).
La unidad de medida es el La unidad de medida es el La unidad de medida es el radián
grado sexagesimal (°), igual a grado centesimal (g), igual a la (rad), que se genera cuando un
la parte de 1 vuelta. parte de 1 vuelta. rayo recorre un arco de longitud
igual a la de éste.
3.1 Relación entres los tres sistemas de medida angular
8

9. 3.2 Consecuencias importantes
1.
2.
3. Para evitar las divisiones al convertir a grados centesimales puede usarse la fórmula:
y efectuar las respectivas simplificaciones.
4. Para evitar las divisiones al convertir a radianes puede usarse la fórmula:
y efectuar las respectivas simplificaciones.
5. Para evitar las divisiones al convertir a radianes puede usarse la fórmula:
y efectuar las respectivas simplificaciones.
Prestemos atención a los
siguientes ejemplos
Para convertir al sistema centesimal puede usarse la tercera consecuencia:
.
Para convertir al sistema radial puede usarse la cuarta consecuencia:
rad.
Para convertir al sistema radial puede usarse la quinta consecuencia:
rad.
9

10. 3.3 Herramienta informática
El lector interesado puede verificar los resultados de las conversiones que realice usando el paquete de
comandos amsystems, implementado en el software matemático Maxima. Este paquete incluye, entre
otras, las funciones identificadoras deg (para expresar medidas de ángulos en el sistema sexagesimal), grad
(para expresar medidas de ángulos en el sistema centesimal) y rad (para expresar medidas de ángulos en el
sistema radial); así como las funciones to_deg (para convertir medidas de ángulos al sistema sexagesimal),
to_grad (para convertir medidas de ángulos al sistema centesimal) y to_rad (para convertir medidas de
ángulos al sistema radial). Para usar esta herramienta primero se inicializa el paquete:
(%i1) load(amsystems)$
A continuación, verificamos los resultados obtenidos en los ejemplos de la sección previa:
(%i2) deg(84,30,36),to_grad;
(%o14) grad(93,90)
(%i3) deg(84,30,36),to_grad;
(%o14)
(%i4) grad(12,50),to_rad;
(%o14)
Como se aprecia, los resultados obtenidos en los ejemplos de la sección previa son consistentes con los que
acabamos de obtener usando el paquete.
El lector debe tener en cuenta que la constante matemática: , se expresa como: %pi, en el Maxima. Así por
ejemplo para convertir rad a grados sexagesimales debe digitarse:
(%i5) rad(%pi/4),to_deg;
(%o14) deg(45)
Es preciso señalar que con las funciones mencionadas se pueden realizar conversiones de grados, minutos y
segundos a grados, y viceversa (en los sistemas sexagesimal y centesimal). Por ejemplo, para convertir
a grados, se usa:
(%i6) deg(84,30,45),to_deg;
(%o14) deg(84.5125)
Ahora si lo que se quiere es convertir a grados, minutos y segundos, usamos:
(%i7) deg(84.5125);
(%o14) deg(84,30,45)
Algo similar, aunque con grad y to_grad, se usará cuando las medidas de los ángulos estén dadas en el
sistema centesimal.
10

11. 3.4 Practiquemos
1. Convertir al sistema sexagesimal los siguientes c. rad
ángulos
d. rad
a.
b. 5. Si , calcular .
c. rad 6. Si calcular .
7. Convertir al sistema radial los ángulos
d. rad
a.
2. Si , calcular .
b.
3. Si , calcular . c.
4. Convertir al sistema centesimal los siguientes d.
ángulos 8. Si calcular .
a. 9. Si calcular .
b.
3.5 Ángulos coterminales
Se denominan ángulos coterminales
aquellos ángulos que tienen el mismo
lado inicial y el mismo lado terminal.
11

12. De acuerdo con las figuras 1 y 2, en general, los ángulos:
(1)
y
(2)
son coterminales con . Pero, los ángulos son coterminales con los ángulos , además
(3)
Por ejemplo, los ángulos y son coterminales y
cumplen con .
Por otra parte, de acuerdo con las figuras 3 y 4, en general, los ángulos:
(4)
y
(5)
son coterminales con . Pero, en virtud de los terceros miembros de las igualdades de (4) y (5)
se tiene que
y
son coterminales con . Dado que (4) y (5) se reducen a estructuras similares a las de (1) y (2),
entonces para (4) y (5) son válidos los resultados de los análisis hechos, y por hacer, para (1) y (2).
Ahora, si se toman dos ángulos coterminales, diferentes, de los tipos y los restamos, veremos que se obtiene
algo similar a (3). Por ejemplo, para y se cumple:
Algo similar ocurre si se toman ángulos coterminales, diferentes, de los tipos , y , respectivamente.
Todo lo anterior, generalizado a cualquiera de los tres sistemas de medida angular estudiados, nos permite
concluir que dados los ángulos coterminales y , tales que , se cumple
(6)
donde es la medida del ángulo de una vuelta en el sistema común a y .
12

13. Finalmente, teniendo presente la relación que cumplen los términos de una división, es decir
(7)
se advierte, que los ángulos coterminales poseen un residuo común al dividirse entre la medida de un ángulo
de una vuelta (medido en la dirección del ángulo dado).
Por ejemplo, los ángulos , y son coterminales, puesto que:
En la práctica, se toma el valor absoluto del ángulo dado y se divide entre la medida del ángulo de una vuelta.
A continuación, para escribir el resultado en la forma (7), si el ángulo dado es negativo al cociente obtenido se
le suma una unidad y el residuo obtenido se resta de la medida del ángulo de una vuelta; si es positivo se
toman iguales.
Por ejemplo, supongamos que se quiere expresar el ángulo en la forma (7). Primero se divide el valor
absoluto de entre la medida del ángulo de una vuelta:
Lo siguiente es un proceso explicativo:
Y, multiplicando ambos miembros de esta última igualdad por , se obtiene la expresión buscada:
Así pues, para verificar que los ángulos , y son coterminales, se tiene:
)
13

14. He aquí otro tipo de problema relacionado con los ángulos coterminales. Dos ángulos coterminales, en el
sistema sexagesimal, son entre sí como es . Hallar la medida del mayor de dichos ángulos, si el menor se
encuentra comprendido entre y .
Sean , lo ángulos, tales que , entonces
(8)
Por el hecho de ser coterminales deben cumplir con (10), esto es
(9)
La otra condición del problema indica que ; por lo que debe expresarse (10) en términos de
. Para ello se despeja de (8) y se obtiene
(10)
A continuación se sustituye (10) en (9) y se obtiene
Pero , por lo que . De modo que y de (10) .
3.6 Herramienta informática
El lector interesado puede verificar sus resultados usando el paquete amsystems; que incluye, entre otras,
las funciones coterminal_form (para expresar ángulos en la forma de la igualdad (7)(10)) y
solve_angles (para solucionar sistemas lineales relacionadas con ángulos coterminales). Para usar el
paquete primero se inicializa (vea (%i1)).
A continuación, verificamos los resultados obtenidos en los ejemplos de la sección previa:
(%i8) coterminal_form(Deg(-660),Deg(420),Deg(60));
(%o14)
(%i9) coterminal_form(Deg(-1410));
(%o9)
(%i10) coterminal_form(Deg(46110),Deg(-16890),Deg(9750));
14

15. (%o10)
Como se aprecia, todos los resultados obtenidos con la función coterminal_form son consistentes con los
que se obtuvieron en la sección previa.
Recalcamos que, los ángulos coterminales no son exclusividad del sistema sexagesimal. Por ejemplo, a
continuación en (%i11) se analizan ángulos en el sistema centesimal, y, el resultado obtenido indica que son
coterminales. En (%i12) se hace algo similar, pero esta vez en el sistema radial.
(%i11) coterminal_form(Grad(3240),Grad(-2760),Grad(-4360));
(%o11)
(%i12) coterminal_form(Rad(13*%pi/3),Rad(-17/3*%pi),Rad(31*%pi/3));
(%o12)
El caso del ejemplo de los ángulos coterminales, en el sistema sexagesimal, que son entre si como es a y
tales que el menor está comprendio entre y se verifica en (%i13) usando la función
solve_angles. Esta función acepta como entradas:
1. las ecuaciones originadas a partir de las condiciones y agrupadas entre corchetes,
2. las inecuaciones que limitan a uno de los ángulos3, y
3. las variables involucradas separadas por comas4.
Así pues, tendremos:
(%i13) solve_angles([x/y=4/7,y-x=360*p],[400<x,x<500],x,y,p>0);
(%o14)
Veamos un ejemplo adicional. Supongamos que las medidas de dos ángulos estan dadas en el sistema
centesimal, que éstos son entre si como es a y que el menor se encuentra comprendido entre y
. La solución obtenida con ayuda de la herramienta es:
(%i14) solve_angles([x/y=11/21,y-x=400*p],[800<x,x<900],x,y,p>0);
(%o14)
Esta claro que, en este caso, el ángulo menor mide y el mayor, .
3
Tenga presente que el Maxima no acepta expresiones como , por ello en (%i13) y (%i14) se usa la
forma [
4
La variable entera, en (%i13) y (%i14) , se indentifica mediante .
15

16. 3.7 Practiquemos
1. Calcular el valor de .
6. Determine en términos de .
2. Calcular el valor positivo que toma .
7. Expresar en términos de .
3. Indicar qué relación existe entre entre , y . 8. Determinar .
9. Encuentre .
4. Indique si los ángulos , y son
coterminales.
5. Dos ángulos coterminales son entre sí como
es a . Hallar la medida del mayor dedichos
ángulos, si el menor se encuentra
comprendido entre y . 10. Indique si los ángulos rad, rad y
rad son coterminales.
16

17. 11. Calcular los valores de . 15. A partir del gráfico, hallar .
12. Indicar qué relación cumplen los ángulos , y
.
16. La suma de dos ángulos coterminales es igual a
. Hallar la medida del menor de ellos, si el
mayor está comprendido entre y .
17. Hallar en términos de , y .
13. Calcular el valor de .
18. Expresar en términos de .
14. Calcular el valor de .
19. Calcular el valor que toma .
17

18. 20. Se tienen 3 ángulos coterminales tal que el menor de ellos es un ángulo agudo. Hallar la medida del
mayor si se sabe que dichos ángulos son proporcionales a los números , y .
21. Sean y ángulos coterminales, tal que . Hallar el mínimo valor
que puede tomar .
22. La suma de dos ángulos coterminales es . Hallar la medida del menor de ellos, si el mayor está
comprendido entre y .
23.
18