Libro matematica basica

MATEMÁTICA BÁSICA I
1
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
Vice Rectorado de Investigación
"MATEMÁTICA BÁSICA I"
TINS Básicos
DERECHO, ADMINISTRACIÓN, CONTABILIDAD Y CIENCIAS DE LA
COMUNICACIÓN
TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP
Lima - Perú
2007

2
© MATEMÁTICA BÁSICA I
Desarrollo y Edición: Vice Rectorado de Investigación
Elaboración del TINS: • Dr. Juan José Sáez Vega
Diseño y Diagramación: • Julia María Saldaña Balandra
• Fiorella Zender Espinoza Villanueva
Soporte académico: Instituto de Investigación
Producción: Imprenta Grupo IDAT
Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación
de esta obra.

3
PRESENTACIÓN
La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto
de las Ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue
siendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro
mundo.
De allí, que en la formación académica, la UTP privilegia el estudio
de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes
firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.
En esta proyección se ha desarrollado el presente texto de
instrucción, dirigido a estudiantes de las Carreras de: Derecho,
Administración, Contabilidad y Ciencias de la Comunicación,
para la Asignatura de Matemática Básica I.
Plasma la preocupación institucional de innovación de la
orientación del aprendizaje en educación universitaria, que en
acelerada continuidad promueve la producción de materiales
educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de
estos tiempos.
La estructura del contenido del texto permitirá lograr
conocimientos de Matemática; progresivamente modelada en
función del syllabus de la Asignatura acotada líneas arriba;
contenido elaborado mediante un proceso acucioso de

4
recopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentes
bibliográficas.
La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y
dedicación académica del Profesor: Dr. Juan José Sáez Vega. La
recopilación aludida de temas pertinentes, consistentes y
actualizados, para estudiantes del primer ciclo, tiene el siguiente
ordenamiento temático:
Conjuntos básicos y numéricos que permiten aclarar las nociones
de números y su clasificación en naturales, enteros, racionales,
irracionales hasta completar los reales.
Ecuaciones e inecuaciones que son básicas para el estudio del
Álgebra.
Relaciones binarias que son fundamentales para la comprensión
de las funciones básicas al estudio de la Geometría Analítica.
Los lugares geométricos: rectas y circunferencias conectadas a
nociones algebraicas con problemas diversos dentro de la
carrera.
Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo y
trabajo de los profesores que han permitido la elaboración del
presente texto y la dedicación paciente del Dr. José Reategui
Canga en la revisión de los contenidos.
Vice-Rectorado de Investigación

5
INDICE
CAPITULO I: LOGICA SIMBOLICA Y CALCULO PROPOSICIONAL
SEMANA 01
1. Enunciados ………………………………………………………. 8
2. Proposiciones Simples …………………………………………. 8
3. Relaciones Proposicionales ……………………………………. 10
SEMANA 02
4. Proposiciones Compuestas: Leyes del Algebra Proposicional 16
5. Regla de Inferencia ……………………………………………… 20
6. Cuantificadores ………………………………………………….. 24
7. Negación de Cuantificadores ………………………………….. 25
CAPITULO II: ALGEBRA DE CONJUNTOS
SEMANA 03
1. Determinación de un Conjunto ………………………………… 31
2. Clases de Conjuntos ……………………………………………. 33
3. Relaciones entre conjuntos ……………………………………. 36
4. Representación gráfica de los Conjuntos ……………………. 40
SEMANA 04
5. Operaciones con los conjuntos ………………………………… 43
SEMANA 05
6. Problemas con los conjuntos …………………………………… 47
CAPITULO III: ALGEBRA DE NUMEROS
1. Teoría de los Números ………………………………………….. 63
SEMANA 06
2. Exponentes y Radicales ………………………………………… 76
CAPITULO IV: MATRICES
1. Definición. Generalidades ………………………………………. 113
2. Suma de matrices ……………………………………………….. 114
SEMENA 07
3. Multiplicación de matrices por una escalar……………………. 115
4. Multiplicación de matrices ………………………………………. 115
SEMANA 08
5. La matriz de identidad ………………………………….……….. 117
6. Problemas de matrices ...………………………………………… 121
SEMANA 09
7. Determinación de la matriz A …………………………………… 127
8. Problemas de determinantes ….……………………………….. 131
SEMANA 11
CAPITULO V: ALGEBRA DE ECUACIONES
1. Desigualdad: Propiedades ……………………………………… 188
2. Inecuaciones ……………………………………………………... 190
3. Resolución de ecuaciones con radicales ……………………… 194

6
SEMANA 12
4. Ejercicios: Ecuaciones Exponenciales ……………………….. 196
5. Ejercicios: Ecuaciones Logarítmicas …………………………. 203
CAPITULO VI: RELACIONES
SEMANA 13
1. Relación binaria: propiedades …………………………………. 205
2. Relaciones de equivalencia ……………………………………. 207
3. Partición de un Conjunto ……………………………………….. 208
SEMANA 14
4. Postulado de Cantor-Dedekind ………………………………… 212
5. Sistema Cartesiano Rectangular ……………………………… 214
6. Carácter de la Geometría Analítica …………………………… 218
SEMANA 15
7. Distancia entre puntos ………………………………………….. 219
8. Pendiente de una recta …………………………………………. 224
9. Discutir y graficar una recta ……………………………………. 231
CAPITULO VII: LA CIRCUNFERENCIA
SEMANA 16
1. Ecuación de la Circunferencia …………………………………. 269
2. Familias de Circunferencias .……………………………….….. 289
CAPITULO VIII: LA PARABOLA
SEMANA 17
1. Definiciones ……………………………………………………… 305
2. Ecuación de la Parábola ……………………………………….. 306
SEMANA 18
3. Ecuación de la Tangente a una Parábola ……………………. 325

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CAPÍTULO I
LÓGICA SIMBÓLICA Y
CÁLCULO PROPOSICIONAL
El autor que definió por primera vez en la historia fue Russell: “Una
proposición es todo lo que es cierto o lo que es falso”. Uno de los fines
del cálculo de proposiciones es la solución de ciertas contradicciones de
la matemática; así, apela al llamado principio del circulo vicioso de todo
lo que afecta a una colección total y no, a una parte de la misma; tal
como lo indica Burali-Forti: “Si una colección tuviera un total, tendrá
miembros que sólo se podrían definir en función de ese total, y por tanto
dicha colección no tiene total”.
Partiendo de esto, los autores de los Principia (diremos de pasada que
ese es un tipo de “descripción” ampliamente analizado en su obra)
separaron las funciones proporcionales en tipos según posibles
argumentos. Pero para los que prefieren expresar el axioma en el
lenguaje de la lógica clásica, los autores dicen que su “axioma de
reducibilidad es equivalente a la hipótesis de que „toda combinación o
desintegración de predicados es equivalente a un solo predicado„” en la
inteligencia de que “la combinación o desintegración se supone dada en
contenido”.
Algunos hechos trascendentes y singularmente importantes; como es la
estructura matemática supone la necesidad de razonar en forma válida.
Es necesaria una absoluta claridad y distinguir todo lo concerniente al

8
razonamiento deductivo válido; significado de palabras usuales,
proposiciones, definiciones, teoremas, eliminación de complicaciones,
eliminar falacias y ambigüedades.
La prestancia y calidad de la matemática es necesaria para evitar el
rechazo del estudiante a esta ciencia formal, básico para el desarrollo de
otras ciencias, denominadas fácticas. Es la misión de todo maestro:
Educar y formar sin rechazo al estudiante.
1.1 ENUNCIADOS
Son palabras que se emiten para comunicarse con otras
personas. Ej:
1. ¿Estuviste de viaje?
2. Pase adelante y siéntese.
3. El clima está fresco.
4. 8 es un número impar.
5. Vamos al estadio.
6. Antonio es amigo de Lizet.
Se trata de 6 proposiciones: una pregunta, una orden y cuatro
declarativas. Las primeras no son verdaderas, ni falsas; las cuatro
últimas pueden ser verdaderas o falsas; a las que se conocen
como: proposiciones.
1.2 PROPOSICIONES
Son enunciados de las que podemos afirmar, sin errores, que son
verdaderas o falsas.

9
Podemos decir con propiedad que: Proposición es el
significado de toda oración declarativa. Toda proposición se
representa con una letra minúscula: p; q; r; s; t ................
Ejemplos:
p : El sol está radiante.
q : Carlos es estudioso.
r : Fernando es un buen profesional.
s : Lizet es bonita.
t : La rosa es bella.
u : Está lloviendo.
De todas las oraciones declarativas podemos afirmar: si son
verdaderas o falsas.
Negación de Proposiciones.- La negación de la proposición p es
~ p (no p); obtenida anteponiendo el adverbio “no” a la primera.
Ejemplo:
p : Hace frío
~p : No hace frío.
~q : Carlos no es deportista.
q : Carlos es deportista.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Indique 10 ejemplos de enunciados.
2. Diga cuáles son proposiciones y represente con una letra.
3. Niegue las proposiciones indicadas.

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1.3 RELACIONES PROPOSICIONALES
1.3.1 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN ( ).- Se dice que, dos o
más proposiciones quedan relacionadas mediante el conectivo
conjunción ( ) si se les interponen la letra “y”. Ejemplo.
p : Está lloviendo.
q : Hace frío.
p q : Está lloviendo y hace frío.
q : Carlos estudia.
s : Carlos es deportista.
q r : Carlos estudia y es deportista.
Principio del valor de verdad.- La conjunción es verdadera, sí y
sólo si, ambas proposiciones son verdaderas.
Considera la corriente eléctrica; si pasa la corriente es verdadera y
sí se interrumpe es falsa.
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
La conjunción es verdadera, sí y sólo sí, ambas proposiciones son
verdaderas.
Ejemplo: Demostrar el valor de verdad de las proposiciones:
1) p ~ q 3) p q
2) ~ p ~ q 4) ~ p q

11
1.3.2 EL CONECTIVO DISYUNCIÓN ( ).- Se dice, que, dos o
más proposiciones forman una disyunción, si se les interponen la
letra “o”, con sentido incluyente. Ejemplo:
p : me compro zapatillas.
q : me compro una camisa.
p v q : me compro zapatillas o una camisa.
Principio del valor de verdad.- La relación de disyunción es
falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas.
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F

12
La disyunción es falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son
falsas.
1.3.3 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ).- Dos o más proposiciones
forman una disyunción exclusiva ( ) si se les interponen la letra
“o” y al final se agregan las palabras “pero no ambos” (as).
Principio del valor de verdad
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
El conectivo disyunción exclusiva; es verdadera sí y sólo sí, una
de las proposiciones es verdadera (V) y la otra es falsa (F).
1.3.4 EL CONECTIVO IMPLICACIÓN O CONDICIONAL ().-
Con las proposiciones p y q; se denomina relación de implicación
o condicional (pq); cuando se le antepone a la primera
proposición la palabra “si” y se les interponen la palabra
“entonces”.
Ejemplo:
p : Estudio mis asignaturas.
q : Aprobaré mis exámenes.
p  q : Sí, estudio entonces aprobaré mis exámenes.
p : Antecedente
q : Consecuente

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Para demostrar el principio del valor de verdad, utilicemos un
ejemplo muy humano con un niño:
p : Juanito se porta bien.
q : Le regalaré un chocolate.
p  q : Sí, Juanito te portas bien entonces te regalaré un
chocolate.
- Juanito se portó bien (V); se le regala el chocolate (V) es
verdadera (V).
- Juanito se portó bien (V); no se le regala el chocolate (F); es
injusto, luego es falsa (F).
- Juanito se portó mal (F); como se le quiere y engríe, se le
regala el chocolate (V); es verdadero (V).
- Juanito se portó mal; no se le regala el chocolate; es justo,
luego es verdadero (V).
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
La implicación o condicional, es falsa (F) sí y sólo sí; la primera
proposición (antecedente) es verdadera (V) y la segunda
(consecuente) es falsa (F).

14
1.3.5 EL CONECTIVO BICONDICIONAL O DOBLE
IMPLICACIÓN ( ).- Dadas las proposiciones p y q, se denomina
bicondicional o doble implicación a la proposición
(p  q) (q  p).
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
La bicondicional o doble implicación es verdadera (V) sí y sólo sí,
ambas proposiciones son verdaderas (v) o falsas (F).
1.3.6 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN NEGATIVA ( ).- Dadas las
proposiciones p y q; se dice que forman una conjunción negativa
sí y sólo sí; en el conectivo p q se niegan ambas proposiciones:
(~p ~q) (p q)
p q p q ~p ~q ~p ~q p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
La conjunción negativa ( ) es verdadera (V) sí y sólo sí, ambas
proposiciones son falsas (F).

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1. Dadas las siguientes proposiciones:
Si: p : Hace frío
q : La manzana es agradable
r : Juan es inteligente
s : Lorena es bonita
Representar con oraciones declarativas las proposiciones:
1. p q 7. ~p q
2. r s 8. s ~r
3. p  s 9. ~p  s
4. s q 10. s ~q
5. q s 11. ~q s
6. r q 12. r ~q
3. Indique (5) cinco ejemplos de proposiciones:
Niegue los (5) cinco ejemplos que propuso.
Con los ejemplos indicados represente con oraciones declarativas:
a) p q g) ~p q
b) t r h) ~r t
c) s  p i) ~s  ~p
d) q s j) q ~s
e) p q k) ~q p
f) s t r) ~s ~t

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1.4. PROPOSICIONES COMPUESTAS
Si una proposición compuesta, se relaciona con otras
proposiciones simples o compuestas mediante signos de
colección: paréntesis ( ); llaves { }; corchetes [ ]; o barras / / se
les separan con punto y coma (;).
Ejemplos:
p : está lloviendo.
q : La fruta es deliciosa.
r : Juan es estudioso.
(p ~q)  r
Si está lloviendo y la fruta no es deliciosa; entonces Juan es
estudioso.
p (q ~r)
Está lloviendo; o, la fruta es deliciosa sí y sólo sí Juan no es
estudioso.
p : está nevando.
q : Antonio es inteligente.
r : La rosa es bella.
Representar con oraciones declarativas:
1. p  (q r)
2. (r ~q) v p
3. (p ~r) v (q p)
4. (p r) (q ~p)

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TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA Y LEYES DEL
ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
A. TAUTOLOGÍA.- Se dice que una proposición compuesta es
tautológica; sí y sólo sí; en sus tablas de verdad, todas son
verdaderas sin que interesen las tablas de verdad de las
proposiciones simples.
B. CONTRADICCIÓN.- Se dice que una proposición compuesta,
forma una contradicción, sí y sólo sí, sus tablas de verdades,
todas son falsas, sin que interesen las tablas de verdades de las
proposiciones simples.
C. CONTINGENCIA.- Se dice que una proposición compuesta, forma
una contingencia, sí y sólo sí, sus tablas de verdades, no son
tautológicas ni contradictorias.
Demostrar sus tablas de verdades, si son: tautológicas,
contradictorias o son una contingencia.
1. (~ p q) (p ~ q)
2. ~ (p q) (~p ~q)
3. ~ (p  ~q) (p q)
4. [(p  q) (p  q)] p q
5. ~ [~ (p q)] (~p ~ q)

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1.4.1 LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
1. Idempotencia
p p p
p p p
2. Involución
~ (~p) p
3. Asociativa
(p q) r p (q r)
(p q) r p (q r)
4. Conmutativa
p q q p
p q q p
5. Distributiva
(p q) r (p r) (q r)
(p q) r (p r) v (q r)
6. Identidad
6.1 p f  f 6.2 p v p
6.3 p f p 6.4 p V v
7. Complemento
7.1 p ~p f 7.2 p ~ p v
7.3 ~ ~ p p 7.4 ~f v
7.5 ~ v f

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8. Leyes de Morgan
a) La negación de la conjunción es equivalente, sí y sólo sí, a
las negaciones de la disyunción
~ (p q) ~ p ~ q
b) La negación de la disyunción es equivalente, sí y sólo sí, a
las negaciones de la conjunción ~ (p q) ~ p ~ q
c) La negación de la implicación es equivalente, sí y sólo sí, a
la primera proposición y la segunda proposición negada.
~ (p  q) p ~ q
9. Implicaciones asociadas
Directa p  q
Recíproca q  p
Contraria ~ p  ~ q
Contra-recíproca ~ q  ~ p
p  q Recíproca q  p
~ p  ~ q Recíprocas ~ q  ~ p
Se puede demostrar, mediante tablas de verdades que las contra-
recíprocas: son tautológicas.
Contrarias
Contrarias

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Demostrar:
1) (p  q) (~ q  ~ p)
2) (~ p  ~ q) (q  p)
Si la implicación directa es verdadera, no se puede asegurar
respecto a la verdad o falsedad de la implicación: recíproca o
contraria.
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VÁLIDO
Lo más importante en la matemática es el razonamiento
deductivo; los teoremas se enuncian mediante una implicación,
cuyo antecedente es la hipótesis y el consecuente la tesis; de
acuerdo con lo establecido al analizar las condicionales
conjugadas se puede afirmar la validez del teorema directo, el
contra recíproco también se cumple; nada se puede asegurar del
teorema recíproco y contrario.
El razonamiento es deductivo, sí y sólo sí las premisas son
evidentes para una conclusión evidente. No tiene sentido afirmar
que un razonamiento es verdadero o falso; debe expresarse que
es válido o no.
1.5. REGLA DE INFERENCIA
Se denomina Regla de inferencia a todo esquema válido de
razonamiento independientemente de la interpretación de las
proposiciones simples; es decir, toda regla de inferencia es
tautológica; y son:

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a) Inferencia de la separación (modus ponens)
p  q
p .
q
b) Principio de la inferencia negativa (modus tolens)
p  q
q
p
c) Principio del silogismo
p  q
q  r
p  r

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a) Utilizando las leyes del Álgebra Proposicional, simplificar las
siguientes proposiciones:
1. (p F) (p p)
2. (p V) (p ~p)
4. (p F) (p V)
5. p (p q)
6. p (~p q)
7. Es falso que, si Carlos es estudioso entonces Juana es
inteligente.
8. No es cierto que, la fruta es madura y el árbol es alto.
9. No es cierto que, el río es caudaloso o María no es bonita.
10. No es verdad que, si las aves vuelan entonces las flores no
son bellas.
11. No es verdad que, Carlos es buen estudiante y María no es
bonita.
12. Demostrar que si el siguiente Silogismo es Tautológico:
- Si Carlos es deportista y Ana es estudiosa; entonces las
flores son bellas; y,
- Si las flores no son bellas; entonces Carlos no es
deportista y Ana es estudiosa;
Entonces:
Si, Ana no es estudiosa ni Carlos es deportista; entonces
las flores son bellas.

23
13. - Si, está lloviendo; entonces hace frío o está nevando; y,
- Si, no está nevando o hace frío, pero no ambos,
entonces no está lloviendo.
Entonces:
Si, hace frío sí y sólo sí está nevando; entonces no está
lloviendo; y,
Si, no llueve ni hace frío; entonces está nevando.
14. Escriba la contrarrecíproca de la proposición:
Si, hace frío entonces está lloviendo.
Si, no está nevando entonces está lloviendo.
Si, las flores no son bellas entonces la fruta no es
agradable.
Antonio es deportista y Ana no es estudiosa.
15. Demostrar la validez de las inferencias:
15.1 [ (p  q) p] ↔ p
15.2 [ (p  q) ~p] ↔ ~q
15.3 [ { (p q)  (q r) } { (~p q)  r } ] ↔ ~p
15.4 [ {p  (q ~r) } {q (r  p) } ] ↔ ~ (p q)

24
1.6. FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES
Toda proposición expresa una cualidad o característica a un
sujeto particular. Una misma, cualidad, calidad o característica
puede predicarse para varios sujetos; en cada caso se obtendrá
una proposición. Si P es una cualidad, calidad o característica;
denotaremos con p(x) al conjunto de todas las proposiciones
singulares obtenidas al sustituir x por un sujeto; quedando definida
la función preposicional con una variable. p(x) no es una
proposición.
A partir de funciones preposicionales es posible obtener
proposiciones generales que se conocen como cuantificadores.
Una proposición queda cuantificada; sí y sólo sí, alguna cualidad o
característica se cumple para algunos o todos los sujetos.
1. Cuantificador Universal [ x : p(x)]
Cuando una cualidad o característica se cumple para todos
los sujetos:
x : p(x) Todos los hombres son mortales.
x : q(x) Todas las tortugas tienen caparazón.
2. Cuantificador Existencial [ x : p(x)]
Una proposición queda cuantificada existencialmente; sí y
sólo sí, alguna cualidad o característica se cumple para
algunos sujetos.
x : p(x) Algunas damas son virtuosas.
y : q(y) Algunos jóvenes son deportistas.
z : r(z) Algunos perros muerden.

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1.7. NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES
1. La negación del cuantificador universal es, sí y sólo sí,
existencial; y la proposición queda negada
~ [ x: p(x)] ↔ x : ~ p (x)
2. La negación del cuantificador existencial, es Universal y la
proposición queda negada.
~ [ x : p(x)] ↔ x: ~ p (x)
Ejemplos:
1. Negar todos los jóvenes son deportistas.
Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas.
2. Algunas aves vuelan.
Rpta. Todas las aves no vuelan.
3. Si algunas damas son virtuosas entonces todos los días está
lloviendo.
~ [ x : p (x)]  y: q(y)]  x : p (x) y : ~ q (y)
Rpta. Algunas damas son virtuosas y algunos días no está
lloviendo.
4. Todos los jóvenes son deportistas y algunas aves tienen
plumas.
~ ( x: p(x) y: q(y)] ↔ x: ~ p(x) y: ~ q(y)
Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas, o todas las aves
no tienen plumas.

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Enunciados
1. Indicar diez ejemplos de enunciados.
2. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes a la universidad.
3. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al Perú.
4. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al sistema solar.
5. Proposiciones
De los ejemplos indicados anteriormente, indique cuáles son
proposiciones y anteponga una letra: p; q; r ..................
6. Negación de proposiciones
Los ejercicios anteriormente citados, negar y anteponer: ~ p; ~ q;
~ r; ...................
7. Con los ejercicios del grupo II, relacionar mediante el conectivo
conjunción. Represente sus tablas de verdades.
8. Los ejercicios del grupo III relacionar, mediante el conectivo
disyunción. Representar las tablas de verdades.
9. Ponga ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos:
conjunción y disyunción. Demuestre sus tablas de verdades.
Ejemplo:
9.1. (p q) r
p (q r)
Responda con oraciones declarativas.
10. Indique ejemplos con oraciones declarativas de proposiciones
compuestas con los conectivos: conjunción, disyunción e
implicación.

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Ejemplo:
10.1. (p q)  (q r)
10.2. (p  q) (p r)
Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de
verdades.
11. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los
conectivos: conjunción, disyunción, implicación y doble
implicación.
Ejemplo:
11.1. (p q)  (r ↔ q) } (p  r)
11.2. { p ↔ ~(q r) }  (r q)
Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de
verdades.
conectivos: conjunción, disyunción, implicación, doble implicación
y conjunción negativa, ejemplo:
Ejemplos:
12.1. { (p ↓ q)  (q ~ r) } ↔ (p ~ q)
12.2. { (p ↔ q) ↓ (r ~ p) } ↔ (~ q p)
Responda sus ejemplos con oraciones declarativas. Demuestre
sus tablas de verdades.
conectivos; conjunción, disyunción, implicación, doble implicación;
conjunción negativa y disyunción exclusiva.
Ejemplos:
{ (p q) ↓ (q  r) } ↔ { (p ~ r) v (q ~ p)
{ (p  ~q) v (r ~p) } ↓ { (r ~q) ↔ (q r) }

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CUANTIFICADORES
1. Cuantificar universalmente y existencialmente las proposiciones:
p : Las flores son bellas
q : Carlos es deportista
r : María es estudiosa
s : Antonio es libre
Representar con oraciones declarativas, utilizando las
proposiciones indicadas.
1.1 x : p(x) 1.2 x : p(x)
1.3 y : ~ q(y) 1.4 y : q(y)
1.5 z : r(z) 1.6 z : ~ r(z)
1.7 u : s (u) 1.8 u : ~ s (u)
Las proposiciones:
(1.1) y (1.3) relacionar mediante la conjunción.
(1.2) y (1.4) relacionar mediante la disyunción.
(1.5) y (1.4) relacionar mediante la implicación.
(1.6) y (1.8) relacionar mediante la doble
implicación.
(1.7) y (1.2) relacionar mediante la conjunción
negativa.
(1.5) y (1.1) relacionar mediante la disyunción
exclusiva.
Utilizar las Leyes de Morgan en las relaciones proposicionales
anteriores libremente.

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Representar con oraciones declarativas las proposiciones:
x : p(x)  y : ~ q (y)
y : q (y)  p z ~ r (<)
x ~ p (x) ↔ {q  z: ~ r(2)}
{p y : q(y)} v { y: ~ q(y)  ~ p}
{p u : ~ s(y) } ↔ {q ↓ z : ~ r(z) }
Con las proposiciones:
p : las flores son bellas.
q : El caballo es de paso.
r : Fernando es buen profesional.
s : Lizeth es bonita.
Negar las proposiciones compuestas y representar con oraciones
declarativas la respuesta:
x : p (x) y : ~ q (y)
x : ~ p(x) y : q (y)
x : p(x) ↔ z : ~ r (z)
z : r(z)  y : ~ q (y)
u : s(u) z : ~ r (z)
u : ~ s(z)  z : r (z)
z : ~ r(z) u : s (u)
Simplificar las proposiciones, utilizando las leyes del Álgebra
Proposicional.
1) ~ (p ~ q) 2) ~ (~ p  q)
3) ~ (p ~ q) 4) ~ (~ p ~ q)
5) ~ (~ p  ~ q) 6) ~ (~ p  ~ q)

30
Simplificar las siguientes proposiciones:
1. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las
violetas son azules.
2. No es verdad que, hace frío y está lloviendo.
3. No es verdad que, él es bajo o galán.
4. No es verdad que, hace frío está lloviendo.
5. No es verdad que, si está lloviendo entonces hace frío.
6. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las
violetas no son azules.
Con las leyes del Álgebra Proposicional simplificar:
1. (p q) ~ p
2. p (p q)
3. ~ (p q) (~p q)
Demostrar los siguientes silogismos:
1. Si, Carlos es inteligente o Lizeth es bonita; entonces Ana es
responsable; y
Ana no es responsable y Carlos es inteligente; sí y sólo sí,
Lizeth es bonita; entonces
Ana no es responsable ni Carlos es inteligente; sí y sólo sí,
Lizeth es bonita.
2. Está lloviendo o hace calor, pero no ambos; y hace frío; y
Si, no hace frío ni calor; entonces está lloviendo; entonces
hace calor o hace frío, pero no ambos; sí y sólo sí, no está
lloviendo.

31
CAPÍTULO II
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
CONCEPTO PRIMITIVO
Son palabras que se aceptan sin definir por ser naturales al ser humano.
2.1. CONJUNTO
En 1772 Kurt Grrellng escribió el primer libro referente a la teoría
de los conjuntos. Por su resonancia mundial, el rey condecoró con
el titulo de caballero a Kurt Grrellng. Sin embargo nadie le
entendió y todos les repetían que estaba loco. Efectivamente Kurt
Grrellng llegó a un estado de esquizofrenia y murió en un
sanatorio psiquiátrico. En 1942 los aviones alemanes se apoderan
del cielo Europeo al no poder ser derribados por la artillería aliada.
Lo que llevó a la formación de un equipo de científicos que
estudiaron la cibernética y la telemetría; con lo que los aviones
alemanes fueron derribados fácilmente y el ejército Alemán y sus
aliados fueron derrotados.
La noción conjunto, es un concepto primitivo, se acepta sin
definir. Sin embargo, los jugadores de un equipo de fútbol;
lapiceros; alumnos en el aula; un cesto de naranjas; los
departamentos del Perú; los países de Europa; etc. Nos dan ideas
de conjuntos. Los conjuntos se representan con letras
mayúsculas: A; B; C; D; E; .......

32
Cada jugador; cada lapicero; cada alumno; cada naranja; cada
departamento; cada país; son elementos del conjunto y se
representa con letras minúsculas, entre llaves.
A = {a; b; c; d; e}
B = {a; b; c; d;...}
C = {a; b; c; d;...}
Se puede también representar con palabras:
D = {Jorge, Manuel, Javier, Antonio}
E = {España, Inglaterra, Francia, Holanda, Italia}
DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN
Un conjunto se determina, por extensión; nombrando a cada uno
de sus elementos.
Números pares : N = {2; 4; 6; 8;10;12;..... }
Polígonos : P = {cuadrado, rombo, rectángulo,
Trapecio,.......}
Damas : Q = {Rosa, Sara, Lizet, Alexandra,......}
DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN
Un conjunto se determina por comprensión, mediante una
cualidad o calidad; que especifique si un elemento pertenece o no
pertenece al conjunto. Se representa con la sigla x/x y se lee: x tal
que x; la primera x representa la cualidad o calidad y el segundo,
al elemento del conjunto:

33
A = {x/x países del Asia}
B = {y/y departamentos del Perú}
C = {z/z capitales de los países Americanos}
Si representamos por extensión:
A = {Japón, China....}
B = {Lima, La Libertad, Ayacucho.....}
C = {Lima, Quito, La Paz}
2.2. CLASES DE CONJUNTOS
Para un estudio más detallado, encontramos los siguientes tipos o
clases de conjuntos:
2.2.1 CONJUNTO NULO O VACÍO: { } ,
Es aquel que carece de elemento; mediante una cualidad, calidad
o característica.
Ejemplo:
A = {x/x, Hombres que tiene alas}
Eso no significa que no exista Lima o Francia. Sin embargo con
las características del ejercicio: no existe y se representa, en
cualquiera de las dos formas:
A = { } A = ; de ninguna manera A = { }, el cual
representaría a un conjunto unitario.

34
Podemos indicar otros ejemplos:
1. A = {x/x; 7 < x < 8} para un número natural. No existe
ningún número entre 7 y 8; que sea natural. Para los
números racionales, no sería nulo.
El ejemplo dado se representa:
A = { } A =
2. B = {y/y, fábrica de aviones en el Perú}
3. C = {z/z, automóviles en el salón}
4. También se puede representar: P(x) : Un extraterrestre en
la Universidad.
D = {x/x; p(x)} D = { }
2.2.2 CONJUNTO UNITARIO
Es aquel que contiene un solo elemento,
Ejemplos:
A = { a }
B = {x/x; Bandera del Perú}
C = {y/y; Rector de la U.T.P.}
D = {z/z; g < x < 11} para los números naturales.
2.2.3 CONJUNTO FINITO
Es aquel que se puede determinar por extensión a todos sus
elementos.
Ejemplos:
A = {a, b, c, d}
B = {x/x; 2 x 10} B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
C = {y/y, países americanos}
D = {z/z, polígonos}

35
2.2.4 CONJUNTO INFINITO
Son aquellos que no se pueden determinar por extensión a todos
sus elementos (se le recomienda leer el texto: “Matemáticas e
imaginación” por Edward Cassner).
Por lo general ejemplos de conjuntos infinitos se dan con
expresiones matemáticas;
Ejemplos.
1. A = {x/x números naturales}
A = {0; 1; 2; 3 ................. + }
B = {y/y números enteros}
B = {- ...... –2; -1; 0; 1; 2 ..........+ }
C = {2/2 puntos en una Recta}
C = {a, b, c, d, e, f, g, .......}
2.2.5 CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL (  )
Es un conjunto que incluye a los conjuntos para un análisis
particular. Se deja constancia, que un conjunto universal; no es
una totalidad, mucho menos un universo.
Ejemplo:
1. Si: A = {0; 1; 2; 3}
B = {2; 3; 5; 6}
C = {4; 6; 7; 8}
 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8};ó; U = Numeros naturales
2. A = {x/x; Ayacuchanos}
B = {y/y; Piuranos}
C = {z/z; Tacneños}
 = {u/u; Peruanos}

36
3. A = {x/x; estudiantes sanmarquinos}
B = {y/y; estudiantes villarrealinos}
C = {z/z; estudiantes Utepinos}
U = {u/u; estudiantes universitarios}
2.3. RELACIONES ENTRE LOS CONJUNTOS
2.3.1 SUB-CONJUNTO ( )
Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es
subconjunto de A; y se representa B A; si todos los elementos
de B; pertenecen al conjunto A.
Ejemplo:
1. A = {0; 1; 2; 3}
B = {0; 1; 2; 3}
2. A = {a; b; c; d}
B = {b; c; d}
A B (A no es sub-conjunto de B)
3. A = {x/x frutas}
B = {y/y naranjas, uvas, limas}
B A
2.3.2 SUB-CONJUNTO PROPIO O PARTE PROPIA ( )
Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es parte
propia de A; y se representa B A todos los elementos de B son
elementos de A; que contiene todos los elementos de B, que
pertenecen al conjunto A, existen elementos del conjunto A, que
no pertenecen a B.

37
Ejemplo:
A = {0; 1; 2; 3; 4} B = {2; 3; 4} C = {2; 3; 4}
En la relación sub-conjunto; no, necesariamente algunos
elementos de A pertenecen a B.
Ejemplos:
1. A = {11; 12; 13; 14} y B = {11; 12; 13; 14}
B A = {11; 12; 13; 14}
BA
Este ejemplo especifica que la relación sub-conjunto es
amplia.
2. A = {a; b; c; d} y B = {a; b}
B A
2.3.3 CONJUNTOS IGUALES (=)
Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto A es igual al
conjunto B; y se representa A = B; sí A y B tienen elementos
comunes.
{A B B A}  A = B
Ejemplo:
A = {0; 1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3}
A = B
2.3.4 CONJUNTO POTENCIA (2)
Se denomina así, al conjunto formado por todos los sub-conjuntos,
del conjunto A.

38
Ejemplo:
A = {a; b; c}
2A
= {A {a; b}; {a, c}; {b,c} ; {a}, {b} ; {c}; }
23
= 8 sub-conjuntos
2.3.5 CONJUNTOS COORDINABLES ( )
Dados los conjuntos A y B; se dice que existe una relación de
coordinabilidad entre los elementos de A y B; si y sólo sí, todos los
elementos de A se relacionan de uno a uno con los elementos de
B; sin que falten ni sobren dichos elementos. A este tipo de
conjuntos, se les dice que están en relación Bionívoca [No
necesariamente deben tener elementos comunes]
Ejemplo:
1. A = {0; 1; 2; 3}
B = {a; b; c; d}
A B Coordinables
2. A = {x/x ciudadanos peruanos}
B = {y/y número del DNI}
2.3.6 CONJUNTOS DISJUNTOS ( )
Dados los conjuntos A y B; se dice que los elementos de A y B;
son disjuntos, si A no contiene ningún elemento B; B tampoco
contiene ningún elemento de A.
BA
B)(
Disjuntos

39
Ejemplo:
1. A = {0; 1; 2; 3}
B = {a; b}
A B Disjuntos
2. A = {x/x damas}
B = {y/y caballeros}
A B Disjuntos
2.3.7 PERTENENCIA ( )
Es la relación de elemento a conjunto.
Ejemplo:
A = {0; 1; 2}
0 A (cero pertenece al conjunto A)
1 A (uno pertenece al conjunto A)
2 A (dos pertenece al conjunto A)
3 A (tres no pertenece al conjunto A)
No se puede representar:
{1} A {no es correcto; porque, {1} es un conjunto}
{1} A {es lo correcto}
2.3.8 CONJUNTOS COMPARABLES
Dos o más conjuntos son comparables, sí y sólo si A B
B A; no son comparables si A B v B A.

40
Ejemplo:
1. Si A = {0; 1; 2} B = {0; 1} .- Entonces B es comparable
con A; pues, B es un sub-conjunto de A.
B A.
2. Si C = {0; 1} y D = {1; 2; 3}; C y D no son comparables;
pues O C y D D; 3 D y 3 C.
2.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS
2.4.1 DIAGRAMAS DE VENN - EULER
Es la representación gráfica de los conjuntos, mediante
polígonos. Estos diagramas están sujetos a las siguientes
premisas:
1 Premisa N° 1.- El conjunto Universal o Referencial se
representa con el rectángulo.
U
2 Premisa N° 2.- Los otros polígonos se pueden representar al
interior del rectángulo; jamás al contrario.
U U
A
A B

41
U
3 Premisa N° 3.- Los otros polígonos se representan
intersecados; jamás separados, así sean disjuntos.
A B
C
CORRECTO
INCORRECTO
A B
C
A B
A B
C

42
DIAGRAMAS LINEALES
Se utilizan para los sub-conjuntos.
Ejemplo:
1. A B B
A
C
2. A B B C
B
A
3. A = {1} B = {1; 2} C = {1; 2; 3}
D = {1; 2; 4}
C D
B
A
4. A = {1} B = {2} C = {1; 2}
C
A B

43
5. A = {1} B = {2} C = {1;2} D = {1;2;3}
E = {1;2;4}
D E
A B
2.5. OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS
2.5.1 REUNIÓN O UNIÓN ( )
Dados los conjuntos A y B; se denomina reunión entre los
elementos de A y B, se representa A B = C; al conjunto C, que
contiene por lo menos un elemento de A o de B. (No existe
reunión entre conjuntos nulos).
Ejemplo:
1. A = {a} B = { } A B =
A
B
2. A = {a; b; c} B = {c; d}
A B = {a; b; c; d}
A B
A B
a
b
c dc
C

44
En la reunión se marcan todos los polígonos
Por comprensión se puede definir:
A B = {x/x, x A v x B}
a) Cumplen con la propiedad conmutativa.
A B = B A
Concretamente: A (A B) B (A B)
b) Cumplen con la propiedad asociativa.
(A B) C = A (B C)
A B
A B
C C
2.5.2 INTERSECCIÓN (A B)
Dados Los conjuntos A y B; se denomina intersección entre los
elementos de A y B; y, se representa A B = C; al conjunto C,
que contiene los elementos comunes de A y B.
Ejemplo:
Si A = {a; b; c; d} y B = {d; e; f}
A B = {d}

45
 A B
A B = {d/d , d A d B} por comprensión.
1. Cumplen con la propiedad conmutativa.
A B = B A  (A B) A = (A B) B
2. Cumplen con la propiedad asociativa.
(A B) C = A (B C)
A B A
B
=
C C
3. Cumplen con la propiedad distributiva con relación a la
reunión.
A (B C) = (A B) (A C)
A B A
B
=
C
C
a
b
c
e
f
d

46
2.5.3 DIFERENCIA (–) O COMPLEMENTO RELATIVO
Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia entre los
elementos de A y B; y, se representa A – B = C; al conjunto C, que
contiene los elementos de A, que no pertenecen al conjunto B.
Notación: A – B, ó , A B, ó , C
Ejemplo:
1. A = {0; 1; 2; 3} y B = {3; 4; 5}
A – B = {0; 1; 2}
A B
2.5.4 COMPLEMENTO (A’)
Dados el conjunto Universal (U) y el conjunto A, se denomina
Complemento y se representa A‟ = U – A; a los elementos del
conjunto universal que no pertenecen al conjunto A.
Ejemplo: U = {a; b; c; d} A = {a; b}
A‟ = {c; d}
A‟ = {x/x, x U x A
U
A A‟ = U
A A‟ =
U‟ =
(A‟)‟ = A
A’ A
0
1
2
4
5
3

47
2.5.5 DIFERENCIA SIMÉTRICA ( )
Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia simétrica y se
representa A B = C; al conjunto que contiene todos los
elementos de (A – B) U (B – A)
A – B B – A
A B
1. Diga, por qué las nociones: Elemento “Conjunto” “pertenencia”
son términos no definidos.
2. Las afirmaciones siguientes, represente connotaciones:
A no incluye a B.
B contiene al conjunto de A.
a no pertenece a B.
e es elemento de A.
C no es sub-conjunto de B.
B es parte propia de A.
3. Discuta y aclare las siguientes afirmaciones:
3.1 Si A = {x/x, 4x = 12} b = e entonces ¿b = A?
3.2 Si se tiene A = {a; b; c; d} Qué afirmaciones son correctas y
cuáles incorrectas?

48
3.2.1. a A 3.2.5 {b} A
3.2.2. c A 3.2.6 d A
3.2.3. d A 3.2.7 c A
3.2.4 {b} A 3.2.8 b A
4. En las siguientes expresiones enuncia con oraciones declarativas;
luego, representa en forma tabular:
A = {x/x; x3
= 64}
B = {x/x; x – 5 = 8}
C = {x/x; x es un número positivo y x es un número
negativo}
D = {z/z; z es un elemento de la palabra AYACUCHO}
Representar los siguientes conjuntos, constructivamente:
A : está formado por las letras a; b; c; d
B : es un número par positivo.
C : es un país sudamericano.
D = {x/x, x – 2 = 7}
E = {x/x, Presidente del Perú luego de Alan García}
¿Cuáles son conjuntos finitos y cuáles son infinitos?
A = {2; 3; 4 ........... 99; 100}
B = {x/x, meses del año}
C = {y/y, departamento del Perú}
D = {z/z, habitantes de la tierra}
E = {u/u, número par}
F = {x/x,0 < x 5 para todo número racional}
G = {y/y, 3 y 20}

49
¿Cuáles de estos conjuntos son iguales?. Explique:
A = {x/x, es una letra de la palabra TOCATA}
B = {x/x, las letras de la palabra TACTO}
C = {x/x, es una letra de la palabra COTA}
D = {a; c; o; t}
Indique la similitud o diferencia entre las palabras: “vacío” “cero” y
“nulo”.
Entre las expresiones que siguen ¿cuáles son diferentes?
; {o} ; { }; p
Cuáles de estos conjuntos son nulos:
A = {x/x, en el alfabeto, letra después de z}
B = {x/x, x2
=9 3x=5}
C = {y/y; y y}
D = {z/z, 2 + 8 = 8}
Hallar todos los sub-conjuntos de: A = {a; b; c; d}
Definir los siguientes conjuntos de polígonos en el plano Euclidiano y
cuáles son sub-conjuntos propios.
A = {x/x, es un cuadrado}
B = {x/x, es un rectángulo}
C = {x/x, es un rombo}
D = {x/x, es un cuadrilátero}

50
Todo conjunto A tiene un sub-conjunto propio?. Analice.
Conjunto vacío , entonces A = .
Si se tienen los conjuntos A = { }; B = {c, d} ; C = {a; b; c}
D = {a; b} ; E = {a; b; d}
Establecer la verdad o falsedad de las afirmaciones:
1. D C 6. E C
2. B A 7. A C
3. B E 8. D E
4. E D 9. C = B
5. E A 10. B D
Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {4; 5; 6; 7; 8; 9} C = {2; 4; 8; 9}
D = {4; 5} ; E = {2; 4} ; F = {2}
Sea x un conjunto desconocido.- Cuáles de los conjuntos:
A; B; C; D; E; F pueden ser iguales al conjunto x con las
siguientes relaciones:
1. x A y x B 3. x A y x C
2. x B y x C 4. x B y x C.
Si se tienen las relaciones:
A subconjunto de B; B sub-conjunto de C; suponiendo a
A; b B y c C; además de A; e B , f C; cuáles
de las afirmaciones son verdaderas:

51
1. a C 4. d B
2. b A 5. e A
3. c A 6. e A
Graficar el diagrama lineal para los conjuntos:
A = {a; b; c} B = {a; b} C = {a; c}
Trazar un diagrama lineal para los conjuntos:
A = {a; b; c} B = {a; b} C = {b}
Trazar un diagrama lineal para los conjuntos:
R = {r; s; t} S = {s} T = {s; t; u}
Sean los conjuntos:
Q = {x/x, es un cuadrilátero}
R = {x/x, es un rectángulo}
H = {x/x, es un rombo}
S = {x/x, es un cuadrado}
Trazar el diagrama lineal.
Se tienen los conjuntos:
V = {d} ; W = {c; d} ; X = {a, b, c}
Y = {a; b} ; Z = {a; b; d}
Sean los conjuntos: V = {d} ; W = {e, d} ; X = {a; b; c} ;
Y = {a; b} y, Z = {a; b; d}

52
Sea S un conjunto cualquiera. Construir el diagrama lineal para los
conjuntos:{ }; S, y U
Si se tienen los conjuntos:
(1) A B; (2) A B ; (3) A = B
(4) A B; (5) A B
Trazar los diagramas de Venn-Euler correspondiente.
Examinar el siguiente diagrama lineal de los conjuntos: A; B; C y D.
A
B
C D
Determinar seis afirmaciones del ejercicio anterior.
Construir diagramas de Venn-Euler para los
conjuntos: A; B; C; D del diagrama lineal en el ejercicio
(4.23)
Qué se puede afirmar del ejercicio { {2; 3} }
Dado el conjunto A = {2; {3; 4}; 3} cuáles son
afirmaciones incorrectas y por qué?

53
1. {3; 4} A ; 2. {3; 4} A
3. { {3; 4} } A; 4. 4 A
5. {4} A ; 6. 4 A
Hallar el conjunto potencia del conjunto
S = {3; {1; 4} }
Cuáles de las afirmaciones se definen en un desarrollo
axiomático de la teoría de conjuntos:
1. Conjunto ; 2. Sub-conjunto ; 3. Disjunto ; 4. Elemento;
5. Es igual a ; 6. Pertenece a ; 7. Superconjunto.
Representar en notación conjuntista, las afirmaciones:
1. x no pertenece al conjunto A.
2. R es subconjunto de S.
3. d es elemento de E.
4. F no es sub-conjunto de C.
5. H no incluye a D.
6. A es subconjunto de D.
7. A y B son coordinables.
8. A y B son disjuntos.
Si B = {0; 1; 2} hallar todos los sub-conjuntos de B.
Si F = {0 {1; 2} }. Hallar todos los sub-conjuntos de F.
Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6}
Hallar y graficar con los diagramas de Venn-Euler.

54
1. A B 2. A C 3. B C
4. B B 5. A B 6. A C
7. B C 8. U
Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6}
Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler y el
diagrama lineal.
1. (A – B) ; 2. (C – A) 3. (B – C)
4. (B – A) ; 5. (A – A) 6. (A B)
7. (A C) ; 8. (B C)
Si U = {1; 2; 3 ………8; 9}
A = {1; 2; 3; 4} ; B = {2; 4; 6; 8}
C = {3; 4; 5; 6}
Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler:
1. A‟ 2. B‟ 3. C‟
4. (A C)‟ 5. (A C)‟ 6. (A – B)‟
7. (C – B)‟ 8. (A B)‟ 9. (B C)‟
10. (A C‟)‟ 11. (A B)‟ 12. (B C‟)‟
13. (B‟ – C‟)‟
Si A = [4; 8[ ; B = [7; 12]
C = {3; 4; 7; 13; 14}
Hallar y graficar las operaciones:
1. (A‟ – B‟) 2. (C‟ A) 3. (B‟ A)‟
4. (A‟ B)‟ (A C‟)‟
5. (A‟ B)‟ (C‟ B)

55
1. Una persona consume café y té durante el mes de mayo, toma
café 20 días y té 23 días. Cuántos días consume café y té
simultáneamente. El mes de marzo tiene 31 días.
Observemos y graficamos.
Sumamos: 20 + 23 =43
x
x
x
12
3143
3143
Rpta: 12 días tomo té y café
2. Se han realizado 200 informaciones entre los estudiantes de San
Marcos, 103 estudian matemática; 90 Física y 89 Química,
Matemática y Física 32; Matemática y Química 48; Física y
Química 26. Cuántos estudian las 3 asignaturas y cuántos una
sola asignatura.
Grafiquemos y analicemos:
24
20073103
x
x
Rpta: 24 las tres asignaturas y 142 una sola asignatura
xté café
x
10+x
26-x 48-x
32-x45+x
15-x
90
103
89
24
69 34
39
2
8
24

56
3. A y B son dos conjuntos: A B = 58, A – B = 23. Hallar A B.
4. En una Academia trabajan 72 personas. 40 hablan Inglés y 56
Alemán. Cuántos hablan un solo idioma y cuántos ambos idiomas.
5. De 120 amas de casa; 72 compran arroz; 64 verduras y 36 carne,
12 los tres productos. Cuántos han comprado exclusivamente dos
productos.
6. Se tienen los conjuntos A y B. A = 3x+ y; B = 2y + 3; y
A B = x + y = 4. Cuántos elementos tiene A B?
7. Se ha realizado una encuesta entre 10,000 personas. 70%
sintonizan radio; el 40% leen periódico, y el 10% observan
televisión. Entre los que sintonizan radio, el 30% leen periódico y
el 4% observa televisión; el 90% de los que observan televisión,
lee periódicos; del total 2% lee periódico, observa televisión y
sintoniza radio. Cuántos no leen periódico, no sintonizan radio, ni
observan televisión. Cuántos leen periódico únicamente?
8. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3;4};
B = {1; 4; 13; 14} ;
C = {2; 8} ;
D = {10; 11; 12} ;
Hallar: graficar los resultados:
8.1) A B
8.2) A C
8.3) (D C)‟
8.4) B‟ D
8.5) (C A)‟
8.6) (C A)‟ B
8.7) (C A)‟ (C B)
8.8) C‟ (A B)
8.9) (C A)‟ (C D)
8.10) C (A D)‟
8.11) C |(A B)‟
8.12) (A B) – D‟
8.13) (A B) – D
8.14) (A – B)‟ (B – D)
8.15) (A B)‟ (B – D)‟
8.16) (A B) – (A B)‟
8.17) (A B)‟ – (C D)
8.18) (A‟ C) (B – D‟)‟
8.19) (A – B‟)‟ (C‟ – D)
8.20) (A B‟)‟ – (C‟ D)‟

57
9. Sean A y B dos conjuntos de tal modo:
A B = 34; A – B = 20; B – A = 16.
Hallar: 5 {A – 4B}
10. Se hizo una encuesta entre 200 persona: sabían 56 Español; 60
Alemán y 84 Francés. Español y Alemán 16; Español y Francés
20 y Alemán y Francés 10. Los tres idiomas 6.
a. Cuántos no estudiaban idiomas;
b. Cuántos exclusivamente Francés.
11. De 134 personas encuestadas. 94 conocen Inglés; 70 Alemán y
46 ambos idiomas. Cuántos no conocen ambos idiomas.
12. Si se tienen los conjuntos:
A = 3x + y; B = 3y + 3; y A B = x + y
Hallar: A B.
13. Entre 240 estudiantes: 144 estudian Análisis Matemático; 128
Biología; 72 Ciencias Sociales; y 24 las tres asignaturas. Cuántos
estudian exclusivamente dos asignaturas.
14. Se tienen los conjuntos:
A = {a; c; d} ; B = {e; f; g} y C = {c; e; p; k}
Hallar: A (B C)
15. Si U = {a; b; c; d; e}
A B = {a; b; c; d} ; A B = {a; c} y A – B = {6}. Hallar A y B.
A = {5; 6; 7; 8} B = {6; 7; 1; 2}
C = {4; 5; 7; 9}
Hallar:
16.1) A B.
16.2) (A B) C

58
16.3) A (B – C)
16.4) C – (A‟ B)‟
17. Si A B = {1; 2; 3; 4}
A B = {1; 3} y A – B = {2}
Hallar A y B.
18. Si A B = {a; b; c; d}
A B = {a; c} y A – B = {b}
Hallar A y B.
19. Si A = {-1; 0; 1} B = {-2; -1; 0; 1; 2}
C = {-3; 1; 2}.
Hallar y graficar.
19.1) B‟
19.2) A‟
19.3) (A B)‟
19.4) A‟ B‟
19.5) B C‟
19.6) A‟ c
19.7) (B C)‟
19.8) (A‟ B)‟
20. Se tienen los conjuntos:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 4; 6; 8; 10}
Hallar y graficar:
20.1) A B
20.2) A B
20.3) A – B
20.4) B – A
20.5) A‟
20.6) B‟
20.7) (A B)‟

59
20.8) A‟ B‟
20.9) (A B‟)‟
20.10) (A B‟)‟
21. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A = {1; 4; 5; 6} ; B = {2; 4; 6}
Hallar y graficar:
21.1) A‟
21.2) B‟
21.3) A‟ – B
21.4) B‟ – A
21.5) A‟ B‟
21.6) (A‟ B‟)‟
21.7) A B‟
21.8) A‟ B‟
22. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;11; 12; 13; 14}
A = {1; 2; 3; 4} B = {1; 4; 13; 14} C = {2; 8}
Hallar y graficar:
22.1) A B
22.2) A C
22.3) B D
22.4) D C
22.5) A‟
22.6) A‟ B
22.7) A‟ B‟
22.8) (A B)‟
22.9) A‟ C‟
22.10) (A D)‟
22.11) (A C)‟
22.12) (A B) – C
22.13) (A – B) (B – A)
22.14) (A B) - (A B)
22.15) (A – B) (B – A)
A = {1; 2; 5; 7; 8} B = {2; 3; 4; 7; 9}
C = {1; 3; 5; 6; 8} U = {x/x x N; x 9}
Hallar y graficar:
23.1) [ (A B) – (A C) ]‟
23.2) [ (A B) – (A C) ]‟
23.3) [ (A - B) (A – C) ]‟

60
23.4) [ (A‟ – B) (A – C) ]‟
23.5) [ (C – B‟) – (A‟ C) ]‟
23.6) (A‟ – B‟) (B‟ C)‟
24. Si se tienen las relaciones entre los conjuntos A y B
A B = {1; 2; 3; 4; 5} ; A‟ = {2; 3; 5; 7}
B‟ = {1; 4; 7} ; U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
Hallar y graficar:
A y B
25. Graficar las siguientes operaciones con los conjuntos: A; B y C.
25.1) A B.
25.2) A C.
25.3) (A B) C.
25.4) (A B) C.
25.5) A‟ B‟
25.6) A – B
25.7) (A B)‟
25.8) (A B)‟
25.9) A A‟
25.10) A A‟
25.11) A (B C)
25.12) A (B C‟)
26. Demostrar gráficamente que, sí se cumplen las propiedades con
los conjuntos: A; B y C.
26.1) A B = B A.
26.2) A B = B A.
26.3) (A B) C = A (B C).
26.4) (A B) C = A (B C).
26.5) A (B C) = (A B) (A C).
26.6) A‟ B‟ = (A B)‟
26.7) A – B = A B‟
26.8) A‟ B‟ = (A B)‟
26.9) (A B) C = (A C) (B C)

61
26.10) (A B) – C = (A – C) (B – C)
26.11) (A B) – C = (A – C) (B – C)
26.12) A (A B)
26.13) B (A B)
26.14) (A B) A
26.15) (A B) B
26.16) A (B C) = (A B) (A C)
27. En un Instituto de Idiomas estudian 200 alumnos: Italiano 56;
Inglés 60; Francés 84; Italiano e Inglés 16; Italiano y Francés 20;
Inglés y Francés 20; Italiano y Francés 10; los tres idiomas 6.
1. Cuántos no estudiaban ningún idioma.
2. Cuántos estudiaban un solo idioma.
3. En un salón de 68 estudiantes 48 juegan fútbol; 25 básket; y
30 natación. 6 de ellos practican los tres deportes.
4. Cuántos practican un solo deporte.
5. Cuántos practican dos deportes.
6. De 240 alumnos, 144 estudian Matemática; 128 Física y 72
Química; 24 estudian los tres cursos. Cuántos estudian dos
cursos.

63
VECTORES
CONCEPTOS BÁSICOS
PAR ORDENADO.- Llamaremos par ordenado a dos objetos cualquiera
a y b; que denotaremos por (a,b), donde “a” es llamado la primera
componente y “b” la segunda componente.
Ejemplo.-
Son pares ordenados (1,4), (-2,3), (Pedro , María), (hombre, mujer).
Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si sus primeras
componentes son iguales y las segundas también.
En forma simbólica es:
PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-
Consideremos dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y
B, al conjunto de los pares ordenados (a,b) donde “a” pertenece al
conjunto A, y “b” pertenece al conjunto B y denotaremos por A x B.
Es decir :
Sean y , el producto cartesiano de A y B es:

64
=
Si , denotaremos y para nuestro caso tomaremos ,
es decir y a sus elementos llamaremos pares ordenados de
números reales.
Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas de ejes X e Y, y a
los puntos de este sistema de coordenadas cartesianas, denotaremos
por , etc.
Gráfico:
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-
Consideremos dos puntos y , a la distancia de a
denotaremos por y es dado por la fórmula:
Es decir: En él , por
Pitágoras si tiene:
Además se tiene:

65
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
SUMA DE ELEMENTOS EN RxR=R2
Dado dos puntos y de , la suma de elementos de
se define del modo siguiente:
MULTIPLICACIÓN DE UN NUMERO REAL POR UN ELEMENTO DE
R2
Sean R y , el producto de un escalar r por un elemento
de que denotamos por y se define como:
ESPACIO TRIDIMENSIONAL
EJES CORDENADOS.- Los ejes de coordenadas son generalmente
identificados por las letras X, Y, Z y hablaremos frecuentemente del eje
X, del eje Y y del eje Z.
La dirección positiva se indica por medio de una flecha, los ejes de
coordenadas tomados de dos en dos determinan tres planos llamados
planos coordenados; planos XY, plano XZ y plano YZ, estos planos
dividen al espacio tridimensional en ocho regiones llamadas octantes.

66
Considere un punto p cualquiera en el espacio tridimensional, a través de
p se construye planos perpendiculares a cada de los ejes coordenados.
Sea A el punto en el cual el plano perpendicular al eje X intercepta en
dicho eje.
Sea B el punto en el cual el plano perpendicular al eje Y intercepta en
dicho eje.
Sea C el punto en el cual el plano perpendicular al eje Z intercepta en
dicho eje.
Los números , son las coordenadas de p y representa
al punto p.

67
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-
La distancia no dirigida entre dos puntos y en el
espacio tridimensional está dado por:
Dentro de las aplicaciones de la matemática a la física e ingeniería se
usan frecuentemente cantidades que poseen magnitudes y direcciones;
por ejemplo tenemos la fuerza, velocidad, y aceleración y
desplazamiento, a estas cantidades se representan geométricamente por
un segmento de recta dirigida al cual llamaremos vector.
Consideremos un punto P u un punto Q y al segmento de recta dirigido
de P a Q denotaremos por se llama vector de P a Q y denotaremos
por: .

68
VECTORES BIDIMENSIONALES.-
DEFINICION.-
Un vector bidimensional es una pareja ordenada de números reales
, donde “x” se llama la primera componente y, “y” se llama la
segunda componente.
a) OBSERVACION
1) A los vectores bidimensionales se le representa por letra
minúsculas y en la parte superior se le coloca un segmento de
recta o una flecha, es decir:
2) Al conjunto de los vectores bidimensionales denotaremos por ,
tal que:
3) Al vector cero simbolizaremos por .
4) Si , entonces el opuesto del vector quedará
definido por: .
5) El vector fila, sus componentes se escriben una a continuación de
la otra: .
6) El vector columna, sus componentes se escriben una debajo de la
otra:
Donde es la primera componente.
es la segunda componente.

69
REPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE UN VECTOR
BIDIMENSIONAL
Un vector bidimensional es representado, mediante un
segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es cualquier punto
del plano cartesiano y el extremo final es el punto cuyas coordenadas
son , tal como se muestra en la figura.
VECTOR DE POSICION O RADIO VECTOR.-
Al vector cuyo punto inicial se encuentra en el origen del sistema de
coordenadas y el extremo libre puede ubicarse en cualquier cuadrante
del plano cartesiano, se denomina, vector de posición o radio vector, así
como se muestra en la figura.
OBSERVACIÓN.- Al vector lo representaremos por cualquier punto
siendo su dirección indefinida.

70
Ejemplo.- Representar gráficamente al vector , cuyo punto inicial es
, sabiendo que su representación de posición es:
1)
2)
3)
VECTOR TRIDIMENSIONAL
DEFINICION.-
Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales
, donde son las componentes del vector.
Así como las ternas ordenadas , determinan a los
vectores en donde 3,4,5 y 1,-3,2, son sus componentes.
a) OBSERVACIONES.-
1) A los vectores tridimensionales se denota por:
, , , …, etc.
2) Al conjunto de vectores tridimensionales denotaremos por: , de
modo que:
3) Al vector cuyas componentes son llamaremos vector cero y
simbolizaremos por: .

71
4) Si , al puesto del vector quedara definido
por: .
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTOR
TRIDIMENSIONAL.-
Sea un vector en el espacio, al cual lo representaremos
mediante un segmento dirigido tal como ; donde es el punto
inicial y es el extremo libre del vector (tal como
se muestra en la figura).
VECTOR DE POSICIÓN O RADIO VECTOR.-
Un vector es de posición, si el punto inicial coincide con el
origen de coordenadas y el extremo del vector está ubicado en cualquier
punto del espacio, tal como se muestra en la figura.

72
VECTOR n-DIMENSIONAL.-
Un vector n-dimensional es una n-upla ordenada de números reales que
denotaremos por , donde ,
Al conjunto de vectores n-dimensional representaremos por , es decir:
Si
Al vector cero denotaremos por:
El vector opuesto de n-dimensiones quedara definido por:
OPERACIONES CON VECTORES.-
IGUALDAD DE VECTORES.-
Dos vectores son iguales si y sólo si, sus componentes correspondientes
toman los mismos valores.
Es decir: Si entonces escribimos:
Si , y escribiremos
así:
Si no son iguales, entonces escribiremos:
para algún

73
INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA IGUALDAD DE
VECTORES.-
VECTORES IGUALES.- Dos vectores son iguales si tienen la misma
dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño, el mismo punto inicial y al
mismo punto terminal se denota por =
VECTORES EQUIVALENTES.- Dos vectores son equivalentes si
tienen la misma dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño pero
diferente punto inicial y se denota
Ejemplo.- Calcular el valor M = 7x + 5y si donde =
(5x + 3y, 4x-y-4),

74
Solución
Aplicando el concepto de igualdad de vectores.
≠ ⟺ (5x + 3y, 4x – y -4) = (4x +2y + 5, 3x + y +7)
5x + 3y = 4x + 2y + 5 x = 7
4x – y -4 = 3x + y +7 de donde y = -2
M = 7X + 5Y = 7(7) + 5(-2) = 49 -10 = 39 M = 39
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.-
Sea λ un escalar (λ € R) y sea un vector cualquiera entonces
llamaremos producto de λ por denotado por: λ. , al vector
resultante cuyas componentes deben ser multiplicadas por λ, esto es:
Si € ⇒ = ( luego λ = λ.( = (λ λ
Si € ⇒ = ( , luego λ = λ.( = (λ λ
en general si € luego λ = λ.( = (λ λ
Ejemplo.- Sea = un vector donde:
1. A(1,1), B(4,3), λ = 2 graficar los vectores y λ

75
Solución
= = – A = (4,3) – (1,1)
= (3,2)
λ = 2(3,2) = (6,4)
λ = -2(3,2) = (-6,-4)
2. Si = (2,3) graficar 3 y -3
Solución
3 = 3(2,3) = (6,9)
-3 = -3(2,3) = (-6,-9)
PROPIEDADES.-
Para todo es escalar r,s € R y los vectores , se verifican las
siguientes propiedades.
1) r. es un vector. 2) (r + s) = r + s
3) r( + ) = r + r 4) r(s. =
5) 1. =

76
SUMA DE VECTORES.-
Dados los vectores y , el vector resultante suma + se obtiene
sumando sus correspondientes componentes, esto es:
Si , € ⇒ = ( , = (
= (
Si , € ⇒ = ( , = (
= (
Si , € ⇒ = ( , = (
= (
Ejemplo.-
Si = (3,5) y = (1,4) entonces: = (3,5) + (1,4) = (3 + 1,
5 + 4) = (4,9)
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE VECTORES.-
En la interpretación geométrica de la suma de vectores consideramos los
métodos siguientes:
1er. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.-
Se dibujan las representaciones de los vectores desde el mismo
punto (se hace coincidir los puntos terminal de y inicial de ) y se

77
completa el paralelogramo. La diagonal trazada desde el punto común
representa .
2do. MÈTODO DEL TRIÀNGULO.-
Los vectores se grafican uno a continuación del otro, luego el
vector resultante se obtiene del punto inicial del vector con el
punto final del vector .
3er. MÈTODO DEL POLIGONO VECTORAL.-
La resultante de la suma de varios vectores se obtiene llevando los
vectores una a continuación de otro haciendo coincidir el extremo de uno
con el origen del otro, para finalmente determinar la resultante uniendo el
origen del primer vector con el extremo del último vector.

78
PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES
Para todo vector se verifica las siguientes propiedades:
1) es un vector.
2) = , conmutativa
3) , asociativa
4) vector, existe un único vector tal que , neutro
aditivo.
5) vector, existe un único vector tal que ,
inverso aditivo.
DIFERENCIA DE VECTORES
Consideremos los vectores ; a la diferencia de estos vectores se
define de la siguiente manera:
Si = ( , = ( , de donde:
Si = ( , = ( , de donde:

79
Ejemplo.- Sean )3,1(a

y ).8,4(b

Hallar 3.( baab

26)2
Solución
)2,6()6,2()8,4()3,1.(2)8,4(2ab

)2,14()16,8()18,6()8,4(2)3,1.(626 ba

)8,4()2,14()6,18()2,14()2,6.(326)2(3 baab

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DIFERENCIA DE
VECTORES.-
A los vectores ba

, lo representamos por los segmentos dirigidos
PQ y PR con la condición de tener el tener es decir el origen
común en el punto P, entonces la diferencia de ba

, es decir: ba

quedara representado por el segmento dirigido QR puesto que
abab

)( .
Ejemplo.- Dado la representación de a

y b

dibuje ba

, usando la
definición de resta y la regla del triangulo para la suma.

80
Solución
Dibujando los vectores ,ABa
 ,ACb

desde el mismo punto inicial A.
Ahora dibujamos b

Empleando la regla del triangulo para la suma se dibuja ba

LONGITUD O MÓDULO O NORMA DE UN VECTOR.-
La longitud o módulo de un vector a

es el número real no negativo,
representado por a

y es definido por la raíz cuadrada de la de los
cuadrados de sus componentes, esto es:
i) Si a

2V 1(aa

, 2a ) de donde: 2
2
2
1 aaa

cuya representación gráfica es:

81
Si 1(aa
 , 2a ) es un vector de posición cuyo módulo y
representación gráfica es:
ii) Si a

3V 1(aa
 , 2a , 3a ) de donde:
2
3
2
2
2
1 aaaa

cuya representación gráfica es:
Si 1(aa

, 2a , 3a ) 3V es un vector de posición cuyo
módulo y representación gráfica es:

82
Sobre el plano XY se tiene 1(ad

, 2a ) donde su módulo
es: 2
2
2
1 aad . De donde al incluir el eje Z se tiene el
módulo del vector 1(aa
 , 2a , 3a ), es decir:
2
3
2
2
2
1
2
3
2
aaaada
 2
3
2
2
2
1 aaaa

En general si a

nV 1(aa
 , 2a , …, na ) de donde su
módulo es:
n
i
in aaaaa
1
222
2
2
1 ...

Ejemplo 1.- Si 3(a

,4) su módulo es:
52516943 22
a

Ejemplo 2.- Si (a

1, 3, 4) su módulo es:
261691a

Ejemplo 3.- Si (a

2, 4) y (b 3, 5) entonces:
7,5158,9415,98,45,334,2.232 ba
74492575
22
Ejemplo 4.- Hallar el valor de M= 2x + 6y- 3z si el módulo
de zyzxxa 2,35,28

es igual a cero.

83
Solución
Como a

3V y 0a

0,0,00a
 , es decir:
zyzxxa 2,35,280,0,0
 de donde
2
Luego
PROPIEDADES DEL MODULO DE UN VECTOR
Se verifican las siguientes propiedades:
1. vector
2.
3. vector,
4. (desigualdad triangular)
Demostración
1. Si = (
, como entonces
En forma similar si
= (

84
2. Si
Si = ( entonces
. Por lo tanto
En forma similar si ⇒ = ( entonces
Por tanto
Si
Si
Si
3. Si = ( entonces: su módulo
es:
Por lo tanto
Si = ( , entonces:
. Por lo tanto:
4. La desigualdad triangular lo demostraremos posteriormente en
base a la desigualdad de CAUCHY-SCHWARZ.

85
VECTOR UNITARIO.-
Se llama vector unitario cuyo módulo es la unidad, es decir: es un
vector unitario si y solo si = 1.
Ejemplo.- El vector es unitario por que =
TEOREMA
Dado un vector entonces el vector es un vector unitario.
Demostración
Sea = ( entonces:
es unitario si
Es decir
Por lo tanto como entones es unitario.
En forma similar para los vectores
Ejemplo.- Si , por lo tanto:
es unitario.
DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN R2
Cada vector no nulo = ( y su representación como radio vector le
corresponde una dirección dad por la medida del ángulo formado por el
vector y el eje X positivo en sentido antihorario.

86
Si = (
... (1)
además y de (1) se tiene:
= (
Por lo tanto, un vector queda determinado por su magnitud y su
dirección.
Si es un vector unitario es decir
Luego si es un vector unitario se puede expresar en función de es
decir:
Y el ángulo se denomina ángulo de inclinación o ángulo de dirección
del vector
OBSERVACION.- la medida del ángulo se obtiene de la forma
siguiente.
Mediante un ángulo de referencia y haciendo uso de una tabla de
valores se halla el valor de con para el cual ,

87
Si 1er. cuadrante:
, 2do. cuadrante:
, 3er. cuadrante:
, 4to. cuadrante:
Ejemplo.- Hallar un vector de longitud y que tiene la misma
dirección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sentido positivo
del eje X.
Solución
=

88
Ejemplo.- Expresar el vector en términos de su magnitud y
su ángulo de inclinación o dirección.
Solución
Como , de donde
Calculando se tiene 4to. Cuadrante
Donde
Luego
Por lo tanto
CONBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.-
Sea un conjunto de vectores, llamaremos combinación
lineal de los vectores , a la expresión siguiente:
Donde
DEFINICION
Diremos que el vector esta expresado en combinación lineal de los
vectores y si existen escalares , tal que:

89
Ejemplo.- Expresar al vector en combinación lineal de los vectores y
siendo
Solución
El vector es expresado en combinación lineal de los vectores y si
existen , R tal que: .
(2,2)=
De donde resolviendo el sistema si tiene ,
Luego la combinación lineal es:
DEFINICION
Un conjunto de n vectores se dice que son linealmente
independiente, si toda combinación lineal igualada al vector nulo.
, , implica que
Cuando los vectores no son linealmente independiente se dice que son
linealmente dependientes.

90
OBSERVACION
1) Los vectores , son linealmente dependiente cuando los
vectores y son colineales.
2) Los vectores , son linealmente independiente cuando los
vectores y son no colineales.
Ejemplo
1) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores
, .
Solución
Utilizando la definición correspondiente, formularemos la
combinación lineal y determinaremos las escalares respectivos
siempre que sea posible.
, de donde
por igualdad

91
resolviendo el sistema se tiene , donde es
arbitrario.
Entonces , y son linealmente dependiente.
2) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores
Solución
En forma similar al ejemplo anterior expresaremos a los vectores
, y en combinación lineal.
de donde
por igualdad
resolviendo el sistema se tiene:
Entonces los vectores , y son linealmente independiente.
VECTORES FUNDAMENTALES
Consideremos los vectores y en al cual denotaremos así:
, estos vectores son unitarios y se representan a partir
del origen de coordenadas, situadas sobre los ejes coordenados en
sentido positivo al de los ejes; a estos vectores se les
denomina vectores fundamentales.

92
Todo vector de se puede expresar en combinación lineal de los
vectores fundamentales ,
Sea pero
de donde: =
A los números , se denominan componentes escalares de y los
vectores se denomina componentes vectoriales del vector .
En forma similar consideremos los vectores y en
al cuál denotaremos así:
Estos vectores son unitarios y se representan a partir del origen de
coordenadas, situada sobre los ejes coordenados en sentido positivo al
de los ejes; a estos vectores se les denomina vectores fundamentales.
Todo vector de es decir:
, puede expresarse como
combinación lineal de los vectores
fundamentales. En efecto:
Ejemplo.- Expresar el vector como combinación lineal de los
vectores y , siendo , .

93
Solución
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
El producto escalar (o producto interno) de dos vectores está dado
por la suma de los productos de sus componentes correspondientes.
Es decir: Sí
Si
En general para se tiene:
Ejemplo.- Sí y entonces
-
OBSERVACION.- El producto de dos vectores es un número real.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Consideremos tres y un número real cualquiera; entonces:
1)

94
2)
3)
4)
5)
6)
Ejemplo.- Sí , y . Hallar
Solución
VECTORES PARALELOS Y ORTOGONALES
a) Dos vectores y son paralelos si uno de ellos es igual al otro
vector multiplicando por un número real, es decir:
tal que
Ejemplo.- Sí , , entonces , tal que
Ejemplo.- Los vectores y no son paralelos porque
, tal que

95
OBSERVACIÓN.- El vector nulo es paralelo a todos los vectores, en
efecto: , vector, , entonces: y son paralelos.
CONSECUENCIA.- Si entonces ,
, ahora si y son diferentes de cero, se tiene de la
igualdad.
de donde ,
Luego tenemos que:
es decir si entonces existe proporcionalidad entre las componentes
correspondientes.
Ejemplo.- Determinar si los vectores y son
paralelos.
Solución
Si debe existir proporcionalidad entre las componentes
correspondientes:
. Luego y son paralelos.
CRITERIO DE COLINEALIDAD.- Un conjunto de punto A, B y C son
colineales si y sólo si pertenecen a una misma recta.

96
Por lo tanto, tomando de dos en dos se obtienen vectores paralelos,
.
Ejemplo.- Determinar si los puntos y son
colineales.
Solución
Los puntos A, B y C son colineales situados de dos en dos se generan
vectores paralelos
Luego los puntos A, B y C son colineales.
b) Dos vectores y son ortogonales si se verifica la siguiente
relación.
Así por ejemplo, los vectores y son ortogonales,
en efecto:
…(1)
(2)
Comparando (1) y (2) se tiene:

97
Si los vectores y son ortogonales entonces denotaremos por
, es decir:
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA ORTOGONALIDAD DE
VECTORES
Como los vectores y son las
diagonales del paralelogramos cuyos lados
son y , entonces si los vectores y son
ortogonales esto significa que el
paralelogramos es un rectángulo, por lo
tanto sus diagonales son congruentes.
Otro modo de interpretar la ortogonalidad de los vectores y es:
TEOREMA.- Los vectores y son ortogonales sí y sólo sí
Demostración
i) Si (por demostrar)
Por hipótesis se tiene que y son ortogonales entonces
(por definición de ortogonalidad).

98
Luego desarrollando los cuadrados de la
igualdad se tiene: de donde
ii) Si (por demostrar)
Como
De donde
Esta relación nos indica que los vectores a y b son ortogonales
(por definición de ortogonalidad).
Ejemplo.- Determinar cuáles de los pares de vectores dados son
ortogonales.
1)
entonces y son
ortogonales.
2)
3) entonces y
no son ortogonales.
TEOREMA
Los vectores son ortogonales sí y solo sí

99
PROYECCION ORTOGONAL Y COMPONENTE
Consideremos dos vectores y no nulos, construyamos un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa sea el vector y su base sea el vector
(donde ) paralelo al vector de modo que los lados del triángulo
quedará representado así:
Hipotenusa al vector y por catetos a los vectores , donde
Como o lo que es lo mismo entonces
. , de donde es el único número real, como ,
significa que el triángulo cuya hipotenusa es el vector tendrá por
catetos a los vectores: ; En consecuencia: al vector
que es paralelo al vector , llamaremos proyección ortogonal del vector
sobre el vector .
Al vector expresaremos en la forma siguiente: , de
donde es el vector unitario en la dirección del vector , en tanto que el
número es la longitud dirigida del vector proyección, al número
llamaremos componente del vector en la dirección del vector .

100
DEFINICIONES
i) Sean y dos vectores, donde , definimos la
proyección ortogonal del vector sobre el vector y los
representamos del modo siguiente:
ii) Sean y dos vectores, donde , al número que es
la longitud dirigida del vector le llamaremos la
componente del vector en la dirección del vector y
denotaremos así:
RELACIÓN ENTRE PROYECCIÓN Y COMPONENTE
Consideremos dos vectores y donde por definición sabemos
que:
Al vector expresaremos en la forma siguiente:
, como
Entonces se tiene:

101
i) Si la , la y tienen la misma dirección.
ii) Si la , la y tienen direcciones opuestas.
iii) Si la quiere que .
OBSERVACION.- La diferencia entre proyección ortogonal y
componente radica en que la proyección ortogonal es un vector y la
componente es un número real.
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
TEOREMA.- Demostrar que el ángulo formado entre dos vectores y
no nulos corresponden a la siguiente relación.

102
Demostración
Como y son dos vectores no nulos y es el ángulo formado por estos
dos vectores , de modo que el campo de variabilidad está
dado por .
Por definición de componente sabemos que:
… (1)
del gráfico se sabe que de donde
… (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
Ejemplo.- Dados los vectores , . Hallar:

103
a) La proyección de sobre .
b) La componente de en la dirección de .
c) El ángulo entre los vectores propuestos.
Solución
a)
b)
c)
LA DESIGUALDAD DE CAUCHY – SCHWARZ.-
TEOREMA.- Demostrar que: para todo vector y se verifica la
siguiente relación.
Demostración
Veremos primero para el caso en que
Por Pitágoras del gráfico se tiene:
, lo que es mismo

104
, además
por lo tanto … (1)
Ahora veremos el caso cuando es decir:
Si tal que
Por lo tanto:
Luego de (1) y (2) se tiene:
APLICACIÓN.- Como aplicación de este teorema, demostraremos la
desigualdad triangular.
, de donde
por lo tanto:
OBSERVACIÓN.- Consideremos el vector
definiremos un vector ortogonal al vector al cual denotaremos por
cuyos componentes son y que es obtenido aplicando un giro de
90° sobre el vértice del vector en sentido antihorario, el vector
así definido es ortogonal al vector .
En efecto: =
Luego

105
Ejemplos.-
Sean su ortogonal es
Sean su ortogonal es
ANGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y NÚMEROS
DIRECTORES.-
Sea entonces:
Definimos los siguientes ángulos: , , ,
entonces:
a) A los números se les llama números directores del vector
.

106
b) A los ángulos formados por los ejes positivos y el vector ,
se les llaman ángulos directores del vector .
Los ángulos directores toman valores entre y es decir:
.
c) A los cosenos de los ángulos directores se les llama cosenos
directores del vector . Es decir:
Como , de donde
, de donde
, de donde
como
, tomando módulo en ambos lados se
tiene:
AREA DE: TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS.-
Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y .

107
La altura del paralelogramo es:
como área del paralelogramo es:
pero
En consecuencia el área del triángulo cuyos lados son los vectores y
esta dado por:
Ejemplos.-
1) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-3,2),
B(3,-2), C(4,5).
Solución
Si

108
PRODUCTO VECTORIAL
Para calcular un vector ortogonal a otro vector en se definió en la
forma siguiente.
Si , que se obtenía de hacer girar al vector
un ángulo de en sentido antihorario.
Pero para el caso de a un vector su ortogonal no se define por ,
puesto que, para el vector fijo , existen infinitas direcciones en las
que un vector es ortogonal al vector .
Por lo tanto definiremos una operación entre dos vectores y en , de
tal manera que resulte un vector que sea perpendicular tanto al vector
como el vector .

109
DEFINICION
Considerar dos vectores de , ; entonces el
producto vectorial de y se define por:
Ejemplo.-
Sean y
Como se puede observar es ortogonal tanto a como a .
PROPIEDADES
Sean
1) es ortogonal tanto como a .
2) (el producto vectorial no es conmutativo)
3)
4)
5)
6)
La demostración de estas propiedades son directas mediante la
definición.

110
Vectores fundamentales
del espacio
usando la definición de producto vectorial obtenemos
Usando las propiedades de (*) obtenemos la definición de .
Es decir: Si
= que es el producto esperado.

111
De igual manera podemos obtener desarrollando el determinante de
tercer orden propuesto de la propiedad (6).
Esta propiedad es muy importante, porque permite calcular el producto
vectorial sin necesidad de recordar la definición.
Ejemplo.- Sean , entonces:
OBSERVACIÓN.- El desarrollo del determinante de tercer orden es
como sigue.
Este procedimiento se denomina, desarrollo por menores
complementarios de la primera fila y es la técnica recomendada para
calcular el producto vectorial.
TEOREMA.- Demostrar que:
Donde es el ángulo entre los vectores y ;

112
Demostración
Sean y por definición de
tenemos:
Efectuando operaciones en el segundo miembro y factorizando se tiene:
… (1)
Pero , de donde: … (2)
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
De donde: , por tanto
NOTA.-
Cual es el significado geométrico de .
Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y .

113
La altura h es igual a: , es decir:
, además el área de un paralelogramo es:
Por lo tanto es el área del paralelogramo formado por los
vectores y .
Ejemplo.-
1) Hallar el área del paralelogramo formado por los vectores
y
Solución

114
TEOREMA.-
Demostrar que dos vectores son paralelos si solo si
Demostración
i) Si (por demostrar)
como o
pero
ii) Si (por demostrar)
como
además , ,
Entonces o
Por lo tanto, y son paralelos.
2) Dados los vectores y . ¿Son paralelos
estos vectores?
Solución
Si , entonces:
y no son paralelos.

115
PRODUCTO MIXTO O PRODUCTO TRIPLE ESCALAR.-
Sea , y tres vectores de , al producto mixto de , y que
denotaremos por se define como el producto escalar de y .
Es decir:
PROPIEDADES DEL PRODUCTO TRIPLE ESCALAR
Consideremos los vectores , entonces se verifica:
1)
2)
3)
Ejemplo.- Si , y , entonces
mediante el producto mixto, se puede describir la orientación (tal como
se observa en los siguientes gráficos).
La flecha indica la
orientación
Positiva (LEVOGIRA).
La flecha indica la
orientación
Negativa (DESTROGIRA).

116
En general: Si , entonces decimos que están orientados
positivamente y que los vectores y tienen la misma
dirección, es decir que los vectores y están en un mismo plano P
que contiene al paralelogramo formado por y .
Si , entonces decimos que están orientados positivamente
y que los vectores y tienen direcciones opuestas, ósea que
los vectores y están en el lado opuesto del espacio con respecto
al plano P que contiene al paralelogramo formado por los vectores y .
VOLUMEN DE PARALELEPÍPEDO
Consideremos el paralelepípedo formado por los vectores .

117
por que ,
entonces:
por lo tanto si representa el volumen del
paralelepípedo de aristas para el caso en que entonces
es el volumen del paralelepípedo.
Ejemplo.-
Determinar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores
, y
Solución
VOLUMEN DEL TETRAEDRO.-
Consideremos el tetraedro formado por los vectores .
,

118
Ejemplo.- Determinar el volumen del tetraedro cuyas aristas son los
vectores , y
Solución

119
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1) Dados los puntos y . Hallar las
componentes de los vectores y
Solución
De la interpretación geométrica de un vector se tiene:
2) Hallar el punto con el que coincide el extremo del vector
si su punto inicial es .
Solución
Como de donde
por lo tanto .
3) Si , hallar el valor de x sabiendo que el módulo de
es 13.
Solución
Como , de donde
entonces y por lo tanto o .

120
4) Hallar el vector que tiene la misma dirección del vector
, sí ( es el vector que tiene la misma
dirección que ).
Solución
Como y tienen la misma dirección entonces
Como
5) Si A, B y C son puntos de una misma recta, hallar el vector
sabiendo que B se encuentra entre A y C donde y
y .
Solución
Como y tienen la misma dirección entonces
Pero
=
De donde
Como
6) Demostrar para qué valores de e los vectores y
son paralelos.

121
Solución
Si tal que al reemplazar por sus
componentes se tiene:
de donde , ,
,
Luego
Por lo tanto los valores de e es:
7) Si y . Hallar para que sea
paralelo a
Solución
Si tal que: , dé donde:
por igualdad se tiene:
entonces
Igualando se tiene:
de donde
8) Para que valores de “a”, los vectores , y
son ortogonales.

122
Solución
Si (ortogonales)
son los valores de a.
9) Hallar las coordenadas de los vectores y , conociendo los
puntos y
Solución
10)Los extremos del vector coinciden con los punto y
. Determinar las coordenadas del punto , sabiendo que el
punto es el origen y sus coordenadas son
Solución
de donde:
Luego

123
11)Determinar el origen del vector si su extremo libre
coincide con el punto .
Solución
, igualando se tiene:
Por lo tanto:
12)Determinar para que valores de m y n los vectores
y son colineales.
Solución
Como y son colineales y son paralelos, es decir:
, de donde:
entonces:
13)Determinar para qué valores de los vectores ; son
perpendiculares entre sí, sabiendo que , .
Solución
Como
14)Calcular sabiendo que: , y

124
Solución
, elevando al cuadrado tenemos:
169+361+2 2
15)Los vectores y forman un ángulo , se sabe además que:
y . Determinar: y .
Solución
16)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo
de es 3. Hallar el módulo de , de modo que ( sea
perpendicular a .
Solución
Como y además por hipótesis:
También sabemos que: como
De donde

125
17)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo
de es 3. Hallar el módulo para que forme con un ángulo
de 30°.
Solución
Por hipótesis tenemos y
Determinamos , para que , de donde:
elevando al cuadrado y simplificando
, resolviendo la ecuación:
18)Sean y dos
vectores. Demostrar que y son ortogonales.
Solución
(ortogonales)
Como

126
19)Calcular los cosenos directores del vector
Solución
de donde tenemos:
20)Demostrar que: y
determinar los ángulos formados por
el vector con las
direcciones positivas de los ejes
coordenados.
Solución
Se conoce que: sí entonces
sumados se tiene:
21)Demostrar que y son ortogonales sí solo sí .

127
Solución
i) son ortogonales sí y solo sí .
Como
ii) sí
como
(ortogonales)
22)Si , y son las aristas de un paralelepípedo rectangular,
entonces determinar los ángulos formados entre las aristas y
diagonales respectivamente (caso particular del cubo).
Solución
i) Sea
como entonces:
de donde
ii) Sea

128
Luego de donde
iii) Sea
Luego de donde
En particular del cubo se tiene:
por lo tanto:
Luego:
Análogamente se puede determinar la medida de los otros
ángulos tomando cualquier otra diagonal del paralelepípedo
rectangular.
23)Un vector ha formado los ángulos de y con los ejes OX,
OZ respectivamente, determinar el ángulo formado con el eje OY.

129
Solución
Sea el ángulo por calcular
Por cosenos directores tenemos: ,
respectivamente se tiene:
reemplazando
24)Demostrar que: si dos vectores son unitarios, entonces la suma es
un vector unitario si y solo si el ángulo formado por dichos
vectores es de .
Solución
i) sean a, b vectores unitarios de modo que:
ii) Sí
Como es unitario
25)Probar que la suma de vectores es conmutativa, es decir:

130
Solución
Se observa que: por definición
de suma de donde: … (1)
por definición de
Suma de donde: … (2)
Comparando (1) y (2) se tiene
26)Demostrar que la suma de vectores es asociativa, es decir:
.
Solución
Se observa que:
Por definición de suma de
vectores, de donde:
… (1)
por definición de
suma de vectores, de donde:
… (2)
por definición de suma de vectores, de donde:
… (3)
por definición de suma de vectores, de donde:
… (4)
Comparando (3) y (4) se tiene:

131
27)Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos
lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad
de su longitud.
Solución
Sea , de modo que:
, ,
como entonces:
A continuación se debe comprobar que el segmento que une los
puntos medio de dos lados de un triangulo es igual a la mitad de la
longitud del tercer lado del triangulo, para ello sabemos que:
, por lo tanto:
28)Sean y dos vectores que tienen distinta dirección. Hallar la
expresión de cualquier vector del plano determinado por y .
Solución
Sabemos que el vector es
paralelo al Vector
análogamente el vector es
paralelo al vector , y
aplicando la regla del
paralelogramo tenemos:
que es la expresión pedida.

132
29)Demostrar que en un triángulo isósceles, la mediana es igual a la
altura.
Solución
Por hipótesis tenemos que:
Debemos demostrar que:
Según el gráfico sabemos que:
… (1)
Igualmente según el gráfico se tiene:
… (2)
30)Si los extremos de tres vectores distintos , y , de origen común
son colineales. Demuéstrese que se cumple la relación
siendo y números reales distintos de cero.
Solución
Consideremos tres vectores , y distintos con extremos
colineales y origen común.
Del gráfico se tiene: … (1)
tal que: … (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:

133
, de donde
en general
31)Demuéstrese que si tres vectores distintos , y , cumple la
relación siendo y números reales
distintos de cero, entonces los extremos de los
vectores , y son colineales.
Solución
Como ,
reemplazando:
de donde
se observa que es un vector que se obtiene sumando el vector
y el vector que es paralelo al vector y esto nos
implica que el extremo de se encuentra en la línea que une A y
C.
32)Demostrar que el triángulo inscrito en un semicírculo es un
triángulo rectángulo.

134
Solución
Se observa que por ser radio de un circulo.
Por demostrar que:
es decir que:
Luego
pero como entonces:
En consecuencia
33)Si k es un punto interior del triángulo MNP y M‟, N‟, P‟ son los
puntos medios de los lados del triángulo. Demostrar que
.
Solución
Por hipótesis tenemos:
y
Además en la figura se observa que:

135
Luego … (1)
Igualmente de los otros lados deducimos:
Además en la figura se observa que:
Luego … (2)
Luego … (3)
Ahora sumando (1), (2) y (3) se tiene:
Por lo tanto:
34)Sean , dos vectores de un mismo origen y sus extremos los
puntos A y B respectivamente. Expresar un tercer vector en
términos de los vectores dados, tal que comparta del mismo
origen y su extremo se encuentra en el punto medio del segmento
.

136
Solución
debe expresarse en términos de , por hipótesis se sabe que:
, además se tiene:
sumando se tiene: por los
tanto:
35)Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en
su punto medio.
Solución
Consideremos el paralelogramo OABC.
cuyas diagonales se cortan
en el punto P,
además en la gráfica se
observa que:
i) entonces y o
puesto que y son paralelos.

137
ii) y o puesto que
y son paralelos.
iii) reemplazando i), ii) y iii) se tiene:
, de donde
, como y no son paralelos
Se tiene que: por tanto
Se tiene que: por tanto
con lo que se afirma que P es el punto medio de la
diagonales.
36)Demostrar que el polígono resulta de unir los puntos medios de
los lados de un cuadrilátero, es un paralelogramo.
Solución
Consideremos el cuadrilátero OABC siendo E, F, D, G los puntos
medios de sus lados. En la figura que:

138
i) , , ,
ii) (trayectoria cerrada)
iii) de (ii)
Luego de donde
por lo tanto tenemos que: (ii), (iii)
de modo que el cuadrilátero resultante es un
paralelogramo.
37)En un triángulo cualquiera, demostrar que existe otro triángulo
cuyos lados son iguales y paralelos del primero.
Solución
La condición para que tres vectores , y formen un triangulo es:

139
En la figura (b) se tiene:
Sumando se tiene:
Luego cumple la condición de formar un triángulo.
38)Demostrar vectorialmente que: si el cuadrado de la longitud de un
lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los otros dos lados entonces el triángulo es un
triángulo rectángulo.
Solución
Se sabe que:
Y como la trayectoria es cerrada entonces
, pero
de donde
por lo tanto ; como son ortogonales, por consiguiente el
triángulo es un triángulo rectángulo.

140
39)Demostrar vectorialmente que un triángulo hay dos medianas de
igual medida.
Solución
Sabemos por hipótesis que por ser
triángulo isósceles:
además del grafico se tiene:
por definición de suma de vectores
por definición de suma de
vectores.
luego demostraremos que
, como
Entonces … (1)
, como
entonces: … (2)
ahora comparando (1) y (2) se tiene:
por lo tanto las dos medianas de un triángulo isósceles, sus
medianas son iguales.
40)Demostrar que si las magnitudes de la suma y la diferencia de dos
vectores son iguales, entonces los vectores son perpendiculares.

141
Solución
Consideremos dos vectores , entonces por condición del
problema se tiene:
, de donde , desarrollando
tenemos:
, ahora simplificando
, esto indica que los vectores son
perpediculares.
41)Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores son
perpendiculares, entonces los vectores tienen magnitudes iguales.
Solución
Consideremos dos vectores de tal manera que:
Ahora desarrollamos el producto escalar se tiene:
de donde:
42)Si A, B y C son puntos de una misma recta, el punto C divide al
segmento AB en la razón r, si . Determinar C, si C divide
al segmento AB en la razón r.
Solución
En el gráfico se observa que:
si

142
De donde … (1)
Como C divide al segmento AB en la razón r,
Entonces
Ósea que: … (2)
, de donde
43)Consideremos cuatro puntos A, B, C y P, de tal manera, que si P
está en la recta que pasa por los puntos A, B y C, y que divide a
los segmentos y en las razones r, s y t respectivamente.
Demostrar que r.s.t=1
Solución
De los datos del problema se tiene que:
P divide al segmento en la razón r … (1)
P divide al segmento en la razón s … (2)
P divide al segmento en la razón t … (3)
De (2) … (4)
De (3) … (5)
Ahora reemplazando (5) en (4) se tiene: … (6)
, como entonces

143
44)Los vectores , y son distintos con origen común.
Encuéntrese la condición necesaria y suficiente para que sus
puntos extremos sean coplanares.
Solución
Los puntos A, B, C y D (extremos de los vectores , y ), serán
coplanares cuando uniéndolos dos a dos, cualesquiera de ellas,
las rectas resultantes se corten o sean paralelas.
Supongamos que conectamos A con B y C; si ambas se cortan,
los puntos A, P y B estarán en línea recta (P punto de intersección
de las rectas y extremo del vector ), y lo mismo sucederá con P y
D por lo tanto.
Del ejercicio (7) se tiene:
De los sistemas se tiene: , de donde:
La condición necesaria, es pues: … (1)

144
Si las rectas AB y CD son paralelas entonces: , se
donde
, también se cumple la relación (1)
Por lo tanto si P es punto común de AB y CD, entonces A, B, C y
D son coplanares.
45)Demuéstrese que las tres alturas de un triángulo coinciden en
punto.
Solución
La relación siguiente se cumple
… (1)
Como se puede demostrar por simple desarrollo.
Si los vectores y tienen
la dirección de las alturas
correspondientes y son, por lo tanto,
perpedicular, respectivamente, y
resulta que: ,
y teniendo en cuenta
la parte (1) se tiene:
Luego es perpendicular a ; y tendrá la
dirección de la altura resultante: por tanto, las tres alturas
coinciden en el punto H.
46)Si P es el punto de intersección de las medianas del triangulo
ABC, O es punto cualquiera del espacio demuestre que:
.

145
Solución
Sea M el punto medio de A y C … (1)
Además por la propiedad de las medianas:
… (2)
Reemplazando (1) en (2) tenemos:
Luego
47)Sumar gráficamente y analíticamente los vectores , y que se
muestran en la figura.

146
Solución
Analíticamente: ,
Luego
48)Dado un paralelogramo de vértices los puntos A, B, C y D si M es
el punto medio de y P está en a de la distancia de A a P,
demostrar vectorialmente que: .
Solución
,
De donde
Por demostrar , de donde:
Por lo tanto:

147
49)Dado un paralelogramo cuyos vértices son los puntos A, B, C y D
siendo P y Q los puntos medios de los lados y
respectivamente. Demostrar que y trisecan a la diagonal .
Solución
Sean E y F los puntos de intersección de y con la diagonal
.
Por demostrar que:
Del gráfico se tiene:
… (1)
… (2)
Igualando (1) y (2) se tiene:
, de donde
Pero como y son vectores no paralelos y diferentes del
vector nulo y por el ejercicio (1) se tiene:
Por lo tanto de (1) se tiene:

148
50)Un automóvil recorre 5 km. Hacia el norte, luego 8 km. hacia el
noreste; representar gráficamente y hallar la resultante del
recorrido.
Solución
(Representa el desplazamiento
de 5 km. hacia el norte)
(Representa el desplazamiento
de 8 km. hacia el noreste)
(Representa a la resultante
del recorrido, es decir: ).
En el triangulo OAB los lados son los vectores y cuyas
longitudes son:
Para determinar la longitud de aplicamos la ley del coseno, es
decir:
, de modo que es el ángulo comprendido entre
, cuyo valor es:
. Luego reemplazando
kms.

149
CAPÍTULO III
ALGEBRA DE NÚMEROS
3.1 TEORÍA DE NÚMEROS
Los números aparecen en las diferentes civilizaciones, cuyo
estudio histórico se pierde en el tiempo.
Una de las civilizaciones más importantes fueron los Sumerios,
que se desarrollaron en la actual zona del IRAK; quienes 1700
años A.C. idearon el sistema de Numeración Decimal; utilizados
mundialmente y representados en las cuevas, mediante el arte
Rupestre. Los Babilonios invadieron y aprendieron el sistema de
Numeración Decimal y llevaron al Asia; Norte de África y Europa.
Los árabes invadieron a los Babilonios, por transculturización
aprendieron el sistema de Numeración Decimal y siguieron dando
a conocer, a los países donde comerciaban. Injustamente se les
conoce como Números Arábigos; cuando, los inventores fueron
los Sumerios.
En un principio no se pudo definir los números y se trato de
considerar como concepto primitivo. Inclusive en la Teoría de
Inducción completa; se considera: Cero, Número y sucesivo como
concepto primitivo.
Posteriormente, se descubre la “Teoría de Conjuntos” por Kurt
Grelling quien había escrito 200 años antes con relación a los
conjuntos; recién se define (1940) los números teniendo como
base los conjuntos estudiados por el inglés Kurt Grelling. Es

150
conveniente reconocer los estudios realizados por los incas (1000
años después de Cristo) referente a los números (Yupay) en el
sistema de Numeración Decimal; representados en los Quipus y el
Yupana; como estupendos representantes de la matemática del
flujo.
Los incas en los “Yachay wasi” (Casa del aprendizaje) orientaban
el aprendizaje de los números (Yupay) en base decimal, conocían
las operaciones básicas: Yapay (suma), Quechuy (resta), Merachy
(multiplicación) y Cheqta (División) se desarrollan fácilmente en el
Quipu (para anular) y el yupana (para contar números). Los niños
aprenden por tres canales: tacto (qapispa); vista (qawaspa), oido
(uyarispa). Según la moderna NEUROPEDAGOGÍA; el más
científico y completo sistema de aprendizaje para la matemática.
3.1.1 NÚMERO NATURAL (N)
Es el signo que representa a los conjuntos coordinables
A = {a} A = {a; b} A = {a; b; c}
B = {b} B = {c; d} B = {d; e; f}
C = {c} C = {e; f} C = {g; h; i}
. . .
. . .
. . .
. . .
1(uno) 2 (dos) 3 (tres) ..............
Representación lineal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ....

151
Los números naturales cumplen con la propiedad conmutativa
(cerrados) para la suma y la multiplicación. No se cumple para la:
resta y división.
3.1.2 NÚMEROS ENTEROS (Z)
Como los números naturales son cerrados, es necesario ampliar
los números y tenemos, los números enteros en Z; que contienen
a todos los números naturales con signo positivo y todos los
números negativos; son el resultado de comparar dos números
naturales por sustracción.
Representación lineal
● ● ● ● ● ● ● ●
- ...-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4.......+
Los números enteros cumplen con la propiedad conmutativa para
las operaciones de: suma, resta y multiplicación; en cambio para
la división no se cumple; por lo que es necesario ampliar.
3.1.3 NÚMEROS RACIONALES (Q)
Que son el resultado de comparar los números enteros por
división: Los números racionales cumplen con la propiedad
conmutativa (cerrados) para la: suma, resta, multiplicación y
división, siendo el segundo diferente de Cero.
Diagrama lineal
- ............... -3 -2 -1 0 1 2 3 ................... +
-
2
3
8
5

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