Guía de estudio para ingreso a ingeniería

2

I N D I C E

TEMA

PAGINA

PRESENTACION

3

ALGEBRA

5

RAZONAMIENTO LOGICO

93

MISCELANEA DE RAZONAMIENTO LOGICO

121

FISICA

153

GEOMETRIA

209

TRIGONOMETRIA

251

GEOMETRIA ANALITICA

277

ANEXO 1

294

3

PRESENTACION
La Facultad de Ingeniería de la Universidad de Cuenca, una de las más prestigiosa del
País, por su elevado nivel académico, a través del presente documento hace llegar un
cordial saludo a todos los señores bachilleres, y al mismo tiempo invitarles a que sean
parte de nuestra Facultad, participando en el examen de admisión a una de las carreras
que ofrecemos, y cuyos perfiles brevemente nos permitimos describir:
INGENIERÍA CIVIL:
Formar profesionales de excelencia, líderes emprendedores con sólidos valores morales
y éticos. Preparados en el campo científico y tecnológico con miras a obtener un
ingeniero generalista con conocimientos en las áreas de vialidad, construcciones,
hidráulica y sanitaria en el que se incluyen aspectos relacionados con la conservación
del medio ambiente, que contribuyan al desarrollo del país, para mejorarlo en lo social,
económico, ambiental y político.
INGENIERÍA ELÉCTRICA:
Formar Ingenieros Eléctricos, altamente competitivos, con bases sólidas en el campo
tecnológico y humanístico; con habilidades y conocimientos en las áreas de gestión y
administración, de manera que apliquen la Tecnología en las áreas de Potencia,
Electrónica y Control, a fin de plantear soluciones adecuadas a problemas de la
sociedad.
INGENIERÍA DE SISTEMAS:
Formar Ingenieros de Sistemas, altamente competitivos, con bases sólidas en el campo
tecnológico y humanístico, de manera que apliquen las Tecnologías de Información y
Comunicación para proponer soluciones adecuadas para el desarrollo de las empresas e
instituciones tanto privadas como públicas.
INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES:
Proporcionar a la región y al país profesionales altamente capacitados e íntegros en el
área de las telecomunicaciones, quienes a través de su aporte creativo permitan una
mayor y mejor participación de los ecuatorianos en la sociedad de la información y la
comunicación.
Considerando la creciente demanda de aspirantes que tiene nuestra Facultad y la
limitada disponibilidad de espacios en aulas y laboratorios, nos obliga a fijar los
siguientes cupos para los nuevos estudiantes que aspiran a ingresar:
Ingeniería Civil: 120
Ingeniería Eléctrica: 70
Ingeniería Informática: 100
Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones: 90
Para cubrir estos cupos, se tomará un examen de admisión a los aspirantes a la carrera
que previamente se hayan inscrito.

4

Con la finalidad de que los aspirantes tengan una orientación sobre el nivel mínimo de
conocimientos requeridos para su ingreso a nuestra Facultad, se pone a consideración el
documento adjunto que lo hemos llamado BANCO DE PROBLEMAS, que cubre las
áreas de: Algebra, Razonamiento Lógico, Geometría, Trigonometría, Geometría
Analítica, y Física.

Todos los aspirantes, previo al examen de admisión, en forma obligatoria, deberán
inscribirse a través del portal web de la Universidad de Cuenca www.ucuenca.edu.ec , en
la opción INSCRIPCIONES a partir del 16 de MAYO 2011 hasta el 17 DE JUNIO DE
2011.
El examen de admisión se receptará el día miércoles 03 de agosto de 2011 a partir de
las 8 horas, y sus resultados serán expuestos como máximo hasta el día jueves 04 de
agosto de 2011. TODOS LOS ASPIRANTES PARA RENDIR EL EXAMEN DE
ADMISIÓN DEBERÁN PORTAR SU CÉDULA DE IDENTIDAD O SU PASAPORTE.
Se recomienda a los aspirantes revisar el Anexo 1: Instructivo Básico para rendir el
Examen de Admisión.

El Decano

5

RESUMEN TEORICO
El concepto de conjunto es aceptado en matemáticas como primitivo, pues es imposible dar una
definición en términos de conceptos más elementales. Es un término no definido. Intuitivamente, un
conjunto es una reunión, colección o agrupación bien definida de objetos, llamados elementos.
NOTACION.- Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas, mientras que los elementos con letras
minúsculas, encerrados entre llaves y separados por comas. Ejemplo: El conjunto A, formado por los
números impares positivos menores que 9, entonces: A = { 1, 3, 5, 7 } .
Si un objeto x es elemento de un conjunto A se escribe: x

A ; lo que se lee: “ x pertenece al

conjunto A. En caso contrario escribiremos: x ∉ A.
DETERMINACION DE UN CONJUNTO.1.

POR EXTENSION O TABULACION: Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se
nombra a todos y cada uno de los elementos.
Ejemplo:

B = { 2, 4, 6, 8 }
C = { a, b, c, d, e, f }

2.

POR COMPRENSION O CONSTRUCCION: Un conjunto queda determinado por comprensión
o construcción, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del
conjunto, se emplea generalmente x / x : “ x tal que x ”
Ejemplo:

B = { x / x es par positivo menor que 10 }
C = { x / x es una de las primeras seis letras del alfabeto }

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO.- La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos
de dicho conjunto y se denota como n( … ). En los … se coloca el nombre del conjunto; así:
Ejemplo: n( B ) = 4
n( C ) = 6
CLASES DE CONJUNTOS.1.

CONJUNTO FINITO.- Tiene una cantidad de elementos contables.

2.

CONJUNTO INFINITO.- Tiene una cantidad ilimitada de elementos, imposible de contar.

3.

CONJUNTO VACIO.-

Llamado también conjunto NULO; es aquel conjunto que carece de

elementos. Se denota como: { } = ∅ .
Al conjunto vacío se le considera incluido en cualquier otro conjunto.
El conjunto vacío no tiene ningún subconjunto propio y su cardinalidad es n(∅ ) = 0
∅

6

4.
5.

CONJUNTO UNIVERSO.-

Es el que contiene a todos los conjuntos, se le denota como U.

CONJUNTO UNITARIO.- Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
A={x

I/2<x<4}

D={∅}
6.

CONJUNTO DE CONJUNTOS.- Es aquel conjunto, cuyos integrantes, o elementos son a su vez
conjuntos. También se les llama Familia de conjuntos.
Ejemplos:
A = { { 2, 3 }, {2}, {4, 5 } }
B = { ∅, { ∅}, {1, 2} }

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.1.

RELACION DE COORDINABILIDAD O DE EQUIVALENCIA.- Dos conjuntos A y B
son coordinables, o son equivalentes cuando entre sus elementos pueden establecerse una
correspondencia biunívoca.
Cuando dos conjuntos finitos son coordinables, estos tienen en mismo número de elementos.

2.

RELACION DE INCLUSION O SUBCONJUNTO.- Se dice que el conjunto A está incluido
en el conjunto B , si todos los elementos de A están en B. Se denota como: A ⊆ B “ A
incluido en B; o A es subconjunto de B ”.
Ejemplo:
A = { 3, 5, m } ; n( A ) = 3
B = { 4, m, 6, 3, 5, p }

n( B ) = 6

Se observa que todos los elementos de A son también elementos de B, luego A ⊆ B .
En caso de que A ⊆ B y por lo menos un elemento de B no es de A, entonces A es un
subconjunto propio de B. Y se denota así: A ⊂ B .
Si A ⊆ B , o A ⊂ B se dice que A y B son comparables.
3.

RELACION DE IGUALDAD.- Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos
elementos.
Si:

A=B → A⊆B y B⊆A

Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si, A es subconjunto de B y B es subconjunto de
A.
Cuando se repiten los elementos en el conjunto como: A = { 2, 2, 3, 3, 4, 5 }, solo se debe
considerar uno de ellos así: A = { 2, 3, 4, 5 } ; n( A ) = 4.
4.

CONJUNTO POTENCIA.- Se llama conjunto potencia de A , al conjunto formado por todos
...

los subconjuntos de A y se denota como 2 . En los … irá el nombre del conjunto.

7

Ejemplo:
Dado A = { 1, 3 } ; su conjunto potencia será: 2 = { ∅, {1}, {3}, {1, 3} } ; n( 2 ) = 4
A

El número de elementos de 2

A

A

A

o número de subconjuntos de A , está dado por: n( 2 ) = 2

m

donde “ m” representa en número de elementos del conjunto A.
Número de subconjuntos propios.- Dado el conjunto A, su número de subconjuntos propios
m

será: 2 - 1 . No se considera el mismo conjunto A.
Propiedades del conjunto Potencia.1.

2 , puesto que ∅ ⊆ A.

2.

A

2 , puesto que A ⊆ A.

3.

2

4.

Si A ⊆ B → 2 ⊆ 2 .

5.

Si A = B → 2 = 2 .

6.

2 ∪ 2

B

=2

7.
5.

∅

2 ∩ 2

B

=2

A

A

∅

= { ∅ }.
A

B

A

A

A

(A∪B)
(A∩B)

B

.
.

CONJUNTOS INTERSECANTES.- Dos conjuntos A y B son intersecantes, cuando tienen
elementos comunes; suficiente que haya un elemento común para que sean considerados como
tales.
Si dos conjuntos son intersecantes, entonces pueden o no ser comparables.

6.

CONJUNTOS DISJUNTOS.- Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen
integrantes o elementos comunes.
Si dos conjuntos son disjuntos, entonces no son comparables.
Si dos conjuntos no son comparables, no necesariamente serán disjuntos.

DIAGRAMAS.Los conjuntos se pueden representar de dos maneras; gráficamente mediante diagramas llamados de Venn
Euler, y linealmente mediante diagramas llamados lineales.
1.

DIAGRAMAS DE VENN – EULER.- Para representar los conjuntos se emplean diversas
figuras geométricas, como círculos, cuadrados, triángulos, rombos, etc. Dejando generalmente el
rectángulo para el conjunto universo.
Los símbolos que representan los conjuntos pueden colocarse dentro o fuera del gráfico.
Dentro de la representación gráfica pueden colocarse pequeñas marcas y las notaciones que
representan a los elementos siempre que sea necesario.

2.

DIAGRAMAS LINEALES.- Emplea líneas en lugar de figuras geométricas, y se utilizan para
representar subconjuntos únicamente. En estos diagramas, la representación sagital como: B ➟ A
significa que B está incluido en A.

8

A continuación se indican varios

Observemos los siguientes diagramas lineales que

diagramas de Venn – Euler.

representan las mismas relaciones dadas en los
diagramas de Venn – Euler.

Diagramas de Venn – Euler

Diagramas Lineales

1.

1.
B
B
A
A

A⊂B

A⊂B

2.

2.

C

C
B
B
A

A⊂B⊂C

A⊂B

3.

y B⊂C

3.
C

C

A

B

A

A⊂C y B⊂C

B

A⊂C y B⊂C

4.

4.
A

C
D

D⊂C y

C ⊂ A

C ⊂ B

B

A

B
C

D⊂C y

C ⊂ A

C ⊂ B

9

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.1.

UNION.- La unión de los conjuntos A y B , es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A , a B o a ambos. Se denota como A ∪ B.

A∪B={x/x

A o/y x

B}
U

A

B

PROPIEDADES.1.- A ∪ A = A

A∪∅=A

Conmutativa

2.- A ∪ B = B ∪ A

3.- (A ∪ B )∪ C =A ∪ ( B ∪ C )
∪

4.

5.-

6.-

A ⊂ (A ∪ B )

Asociativa

7.-

Si: A ⊂ B → A ∪ B = B

Idempotencia

A∪U=U

Identidad

y B ⊂ (A ∪ B )

Identidad

n (A ∪ B ) = n( A ) + n( B )

8.-

9.-

2.

Si A y B son disjuntos:

Si A y B son intersecantes: n (A ∪ B ) = n( A ) + n( B ) – n( A ∩ B )

INTERSECCION.-

La intersección de dos conjuntos A y

todosaquellos elementos que pertenecen a A y a

B a la vez ( elementos comunes ). Se

denota como A ∩ B .

A∩B={x/x

A y x

A

B , es el conjunto formado por

B}

B

10

PROPIEDADES.-

1.-

A∩A=A

Idempotencia

8.- Si A ∩ B = ∅ → A y B son disjuntos

2.-

A∩B=B∩A

Conmutativa

9.- A ∪ ( A ∩ B) = A

Absorción

3.-

(A ∩ B)∩C=A∩(B∩C)
∩
∩ ∩

Asociativa

10.- A ∩ ( A ∪ B ) = A

Absorción

4.-

A∩∅=∅

Identidad

11.- A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
Distributiva

5.

–A ∩ U = A

Identidad
12.- A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

6.-

A ⊃ (A ∩ B )

y

B ⊃ (A ∩ B )
Distributiva

7.-

3.

Si: A ⊂ B → A ∩ B = A

DIFERENCIA.- La diferencia de A con B es el conjunto formado por todos los elementos de
A que no son elementos de B. Se denota por A – B .

A–B={x/x

A y x∉B}

U
A

B

PROPIEDADES.1.- A - A = ∅

2.- ∅ - A = ∅

3.- A - B ≠ B - A

4.-

( A – B ) ∪ (A ∩ B ) = A

11

5.-

(B–A) ∪(A∩B) =B

7.-

Si: A ⊂ B → A - B = ∅

6.-

A-B⊂A

8.-

Si A y B son disjuntos:

4.-

y

A-B⊂B

COMPLEMENTO.-

A–B=A

El complemento de un conjunto A es el conjunto que tiene como

elementos los del conjunto Universo ( U ) y no los del conjunto A. Se denota por A' = U – A
'

A' = { x / x
'

U y x∉A}

U
A

PROPIEDADES.1. –A' = U – A
'

2.- U' = ∅
'

3.- ∅' = U

4.- A ∪ A' = U
'

5.-

A ∩ A' = ∅
'

6.-

( A' ) ' = A
'

7.-

( A ∪ B ) ' = A' ∩ B '
'

De Morgan

8.-

( A ∩ B ) ' = A' ∪ B '
'

De Morgan

12

EJERCICIOS:
1. Sea A = { a, 1, +, b, 2, x } y B = { b, +, a } , ¿Cuál de las siguientes relaciones es falsa?
a) b ⊆ A

b) 2 ∈ B'

c) { a, b } ⊆ B

d) ∅ ⊆ B

e) { b } ∉ B

2. Siendo A = { {1}, {2}, {1,2} }, ¿ Cuál de las siguientes expresiones es verdadera ?
a) {1} ∉ A

b) {1} ⊂ A

c) 2 ∈ A

d) {1} ⋂ {2} ⊄ A

e) {1} ⋃ {2} ∈ A

3. Dado el conjunto: A = { 0, 1, 2, ∅, { 0 } , { 1, 2 }, 3 } ; determine la verdad o falsedad de:
I)

0

A

V) { ∅ }

II)
A

∅⊂A

VI)

{ 1,2,3}

III)
A

∅

A

IV)
VIII)

VII) {1,2,3} ⊂ A

{∅}⊂A
{0,2} ⊂ A

El número de verdaderas es:
a) 7

b) 4

c) 5

4. En un avión viajan 120 personas, de las cuales:

d) 6

e) 2

Los 2/3 de ellas no beben.

Los 4/5 de ellas

no fuman. 72 no fuman ni beben. ¿Cuántas personas fuman y beben ?
a) 17

b) 16

c) 19

d) 18

e) 10

5. El número de subconjuntos propios de A = { 3, {4,8}, 9, 7 } es:
a) 13

b) 15

c) 17

d) 19

e) 21

6. En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además sólo los que comen carne o sólo
los que toman leche son el 54%. ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen
carne?
a) 18%

b) 44%

c) 28%

d) 36%

e) 20%

7. En una oficina hay 16 personas de las cuales el 25% son mujeres. Si se desea que el 60% del
personal sean hombres; ¿ Cuántas mujeres se deben contratar ?
a) 10

b) 8

c) 6

d) 9

e) 4

13
8. Si A = { a, b, c } , B = { a, b } ; se afirma que:
I) 2

(A-B)

tiene un sólo elemento.

II)

∅

2

(A∩B)

III)

2A ∩ 2B = 2B

Son falsas:
a) Sólo I

b) Sólo II y III

c) Todas son falsas

d) Ninguna es falsa

e) Ninguna de las anteriores.
9. ¿ Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I)

∅≠{0}

II) { ∅ } = { 0 }

IV) ∅ ⊄ { ∅ }
a) 1

V) ∅
b) 2

III)

0

{∅}

{{∅}}

c) 3

d) 4

e) 5

10. Si A y B son dos conjuntos no vacíos y además A ⊂ B , entonces la expresión
verdadera es:
a) A ⋃ B = B

b) A ⋂ B = ∅

c) A ⋂ B = B

d) B ⊂ A

e) Ninguno de los anteriores.

11. Dados los conjuntos A = { a, b, c } , B = { b, c, d } y C = { a, c, d, e } el conjunto
( A – C ) ⋃ ( C – B ) ⋃ ( A ⋂ B ⋂ C ) es:
a) { a, b, c, e }

b) { b, d, e }

c) { a, c, e }

d) A

e) { b, c, d, e }

12. Dado el conjunto A = { 0 }, sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero:
a) 0 ⊂ A
13.

b) A = ∅

c) { 0 } ⊆ A

d) { 0 } ∈ A


Si D = { azul, rojo, verde, amarillo } y A = { colores cuyo nombre empieza por la letra a };
entonces el enunciado verdadero es:
a) D ⋂ A = A
d) D ⋂ A = { amarillo }

b) D ⋂ A = { azul }

c) D ⋂ A = { azul, amarillo }

14
14. Dados los conjuntos:
A = { Todas las universidades } ; B = { Los países de Latinoamérica } ;
C = { Brasil, Perú, Bolivia, Venezuela }. El conjunto: { Universidades de Guayaquil } es un
subconjunto de :
a) A

b) B

c) C

d) B ⋂ C

e) B ⋃ C

15. Considerando los conjuntos A = { 0, 2, 4 } , B = { 0, 4, 0, 2 } se puede afirmar que :
a) A es subconjunto propio de B.

b) Los conjuntos son iguales .

c) Los conjuntos son diferentes.

d) Los conjuntos son disjuntos.

16. De los conjuntos A = { a, b, c, d } , B = { c, b, a, d } se hacen las siguientes afirmaciones:
1.- Los conjuntos son diferentes.

2.- Los conjuntos son iguales.

3.- A es subconjunto de B.

4.- Su intersección es vacía.

Lo anterior es cierto para:
a) 1 y 3 solamente.

b) solamente 2.

d) 2 y 4 solamente.


17. Consideremos la siguiente igualdad:

c) 2 y 3 solamente.

( B ⋂ B )’ = ( A ⋂ A )’

Podemos afirmar que esta igualdad es:
a) Siempre verdadera para B ⊂ A
c) Verdadera apenas para A = B = ∅

b) Siempre falsa para B ⊆ A
d) Verdadera siempre que A = B

15
18. Dados los conjuntos A={ -1, -2, 0, 1, 2 } y B={ -1, 2, 3, 4, 5 } el conjunto (B–A) ⋃ (A–B) es :
a) { -7, -5, -1, 1, 5, 7 }

b) { -7, -1, 1, 5, 7, 3 }

d) { -7, 1, 0, 7, 4, 2 }

c) Ø

e) { -2, 0, 1, 3, 4, 5 }

19. De los conjuntos P = { 1, 5, 3 }, Q = { 1, 2, 3 } , R = { 1, 3 }, se afirma que:
1.- P ⋂ Q = R

2.- R ⊂ Q

3.- P ⋃ R = P

4.- Q ⋂ R = R

Lo anterior es cierto para:
a) 1 y 4 solamente.

b) 2 y 3 solamente.

c) 3 y 4 solamente.

d) Todas son verdaderas. e) Ninguna de las anteriores.
20. Dados los conjuntos A = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { -1, 4, 2, 0, 5, 7 } y siendo Ø el
conjunto vacío, señalar el enunciado verdadero:
a) A ⋃ B = { 0, 1, 2, 4 }

b) A ⋂ ( B – A ) = Ø

c) A ⋂ B = { -1, 0, 2, 3, 4, 5, 7 }

d) ( A ⋃ B ) ⋂ A = { -1,0 }


21. Dos conjuntos A y B se dice que son iguales si y sólo si:
a) Todo elemento de A es también elemento de B.

b) Tienen la misma medida.

c) Tienen los mismos elementos. d) Cuando son subconjuntos de conjuntos iguales.
22. Durante el mes de febrero de 2008. Julver salió a pasear con Mercy, Maribel o con ambas. Si 16
días paseó con Mercy y 22 con Maribel. ¿ Cuántos días paseó con ambas sabiendo que el día de
los enamorados salió sólo con Marcia.?
a) 12
23.

b) 10

c) 6

d) 9

e) 8

En una clase se hizo una encuesta sobre los diversos espectáculos preferidos por los estudiantes.
Hubo 3 estudiantes que preferían el teatro y el cine al mismo tiempo. En total había 9 estudiantes
que tenían al teatro como una de sus distracciones preferidas, y 10 estudiantes que elegían el cine
entre ellas, mientras que eran 14 los estudiantes que preferían otras diversiones distintas del cine
y el teatro. El número de estudiantes que fueron encuestados es:

16
a) 28
24.

b) 30

c) 33

d) 26


Los socios de los clubes A y B constituyen un total de 140. ¿ Cuál es el número de los socios de
A , si en B existen 60 y hay 40 que pertenecen a los dos clubes ?.
a) 40

b) 80

c) 60

d) 120

e) 100

25. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?:
a) A ⋃ B = Ø ⇒ A = Ø ⋀ B = Ø

b) A = Ø ⋀ B = Ø ⇒A ⋃ B = Ø

c) A ⋂ B = Ø ⇒A = Ø ⋀ B = Ø

d) A = Ø ⋀ B = Ø ⇒ A ⋂ B = Ø

26. En un examen fueron propuestos dos problemas y se sabe que: 413 alumnos acertaron el primer
problema. 199 alumnos erraron el segundo problema. 230 alumnos acertaron los dos problemas.
485 alumnos acertaron apenas un problema.

¿Cuál es el número de alumnos que dieron el

examen ?
a) El problema tiene muchas soluciones. b) 230 alumnos presentaron el examen.
c) 485 alumnos presentaron el examen. d) 731 alumnos presentaron el examen.
e) El problema no se puede resolver.
27.

El conjunto A contiene 10 elementos y el conjunto B tres elementos. ¿Cuál de las siguientes
proposiciones es verdadera ?
a) A ⋂ B contiene exactamente cinco elementos.
b) A ⋃ B contiene al menos un elemento.
c) A ⋃ B contiene exactamente cuatro elementos.
d) A ⋃ B no puede contener más de ocho elementos.
e) Si A ⋂ B contiene tres elementos, entonces B ⊂ A .

28. Sean A y B dos conjuntos disjuntos. Entonces A – B es necesariamente igual a :
a) B = A

b) A ⋃ B

c) ∅

d) A


17
29. Si A = { r, s, t, u, v } y B = { t, e, v } ; de los siguientes enunciados, el verdadero es:
a) A – B = {r, s, u }

b) A – B = B – A

c) No se puede hablar de A – B, porque B no es subconjunto de A.
d) No se puede hablar de B – A, porque A no es subconjunto de B.
30. Dados los conjuntos A = { 2, 4, 6 } y B = { 1, 2, 3, 4, 5 } podemos afirmar que:
a) A y B no son disjuntos b) A y B son disjuntos

c) A ⋂ B = ∅

d) A ⋃ B = ∅

31. El conjunto F = { rosa, clavel }
a) Está definido por extensión.

b) Está definido por comprensión.

c) Está definido por construcción.

d) No está definido.

32. El producto cartesiano A x B de los conjuntos: A = { 3, 4, 5 } y B = { 4 } es:
a) { (4,3 ),(4,4),(4,5) }

b) A

c) B

d) { (3,4),(4,4),(5,4) }

e) { 12, 16, 20 }

33. ¿ Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? :
a) A x B = B x A ; para todos los conjuntos A y B.
c) A x B = ∅ ⇒ A = ∅ y B = ∅
34. Se tiene los siguientes conjuntos:

d) A ⋃ B = ∅ ⇒ A x B = ∅

b) A ⋂ B = ∅ ⇒ A x B = ∅

18
B
A
3
2
1

5
4

6
7
C

A = { Polígonos regulares }
B = { Cuadriláteros }

C = { Triángulos equiláteros }

¿ Cuáles de las regiones enumeradas en el diagrama son conjuntos vacíos ?
a) 3; 5; 7

b) 3; 6; 7

c) 4; 5; 6

d) 5; 6; 7

e) 2; 5; 7

d) A ⋃ B

e) A' – B

35. La expresión ( A - B' ) ∪ ( A' ∪ B' ) ' es igual a:
a) A ⋃ B'

b) A ⋂ B'

c) A ⋂ B

36. Si los conjuntos M y N son unitarios M = { ( a² + 1 ) , ( 4a – 3 ) } ;
N = { ( y+3x ) , ( x + 8 – y ) } . Entonces la suma de x + a + y es:
a) 8

b) 7

c) 6

d) 5

e) 4

37. Si: n(A ∪ B ) = 14 , n(A ∩ B ) = 6. Entonces n( A ) + n( B ) es:
a) 24

b) 10

c) 20

d) 15

e) 25

38. Dos conjuntos de 4 números positivos consecutivos tienen exactamente un número en común. La
suma de los enteros en el conjunto con números más grandes es cuánto más grande que la suma de
los enteros en el otro conjunto.
a) 4

b) 7

c) 8

d) 12


39. De los 504 primeros números naturales, ¿ Cuántos no son múltiplos de 3 ni de 7?
a) 168

b) 240

c) 284

d) 288

e) 216

19
40. En una clase de 78 estudiantes; 41 están tomando francés, 22 están tomando alemán y 9 estudiantes
están tomando francés y alemán, ¿ Cuántos estudiantes no están enrolados en ningún curso?
a) 6

b) 15

c) 24

d) 33

e) 42

41. En una clase de 24 estudiantes; 9 estudiantes tienen en el examen entre 80% y 90%, 4 obtienen
sobre el 90% y 5 obtienen entre 70% y 80%. ¿ Qué porcentaje de estudiantes obtuvieron en la
prueba por debajo del 70% ?
a) 63%

b) 83%

c) 79%

d) 75%

e) 25%

42. La expresión ( B - A )' ∩ ( A' ∩ B ) ' es igual a:
a) A ⋃ B'

b) A ⋂ B'

c) A ⋂ B

d) A ⋃ B

e) A' ∪ B

43. Dado el conjunto: A = { 0, 1, 2, ∅, { 0 } , { 1, 2 }, 3 } ; el número de elementos del conjunto es:
a) 4

b) 7

c) 6

d) 8


44. Si A ⋃ B = {1,2,3,4} ; A ⋂ B = {1,3} ; y A – B = {2}; entonces B – A es:
a) {2,4}

b) {4}

c) {3}

d) {1}

e) {3,4}

45. Sean A y B dos conjuntos tales que; n(A ⋃ B) = 24 , n(A – B) = 10 , n(B – A) = 6 ; entonces 5
n(A) – 4 n(B) es:
a) 18

b) 22

c) 27

d) 34


46. Los valores de verdad de las proposiciones siguientes , son:
1. Para cada a ∈ I y para cada b ∈ N , a – b ∈ ( I – N ).
2. Existe a ∈ ( I – { 0 } ) tal que a⁴ ∉ N.
3. Para cada n ∈ N , existe e ∈ I tal que ( n + e ) ∈ N.
a) FFF

b) FFV

c) FVV

d) VVV

e) VFF

47. Sean los conjuntos: M = { x² / 1 < x < 7 ; x es primo } ; L = { n + 1 / n ∈ [ 1 , 7 ] ; n ∈ I } ;
¿ Cuántos elementos tiene M ∪ L ?
a) 10

b) 8

c) 9

d) 7

20
48. Sean los conjuntos: A = { a / a es divisor de 18 } ; B = { b / b es divisor de 12 } ; se
puede afirmar:
I.- A ∩ B = { 1, 2, 3, 6 }

II.- { x / x es divisor de 6 } ⊂ A

III.- { x / x es divisor de 6 } ⊂ B

IV.- B – A = ∅

a) I y II

b) II y III

c) I , II y III

d) I , II y IV

e) Todas

49. Sean los conjuntos: T = { x ∈ N / - 3 < x < 4 } ; S = { x/2 ∈ I / x ∈ N , x ≤ 5 } ;
M = { x ∈ Q / ( x³ - x² )( x – 1 ) = 0 } . ¿ Cuántos subconjuntos propios tiene T ∪ S ∪ M ?
a) 31

b) 15

c) 7

d) 63

e) 3

50. Sean los conjuntos: A = { x ∈ I / ( 60 / x ) = n ; n ∈ N } ; B = { x ∈ R / x = 5m ; m ∈ N } .
El número de elementos de A ∩ B es:
a) 5

b) 8

c) 6

d) 4


51. El número de elementos del conjunto ( A ∩ B ) es: Si A = { x ∈ I / 4 < x + 3 < 8 } y
B = { x ∈ I / x² - 3x + 2 < 0 }
a) 1

b) 2

c) 3

d) 4


52. Dados los conjuntos: B = { x ∈ I / x² - 3x + 2 < 0 } y C = { x ∈ I / x = k + 2 ; 3 < k < 7 } ;
el número de elementos de ( B ∩ C ) es:
a) 4

b) 3

c) 2

d) 1


53. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron Matemática, 6 hombres aprobaron Química, 5
hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total, 5 aprobaron los dos cursos,
11 aprobaron sólo Matemática. ¿ Cuántas mujeres aprobaron sólo Química ?
a) 1

b) 3

c) 2

d) 4

21
54. De un total de 100 alumnos, 51 están matriculados en el curso de Física y 47 en Matemática. Si 27
alumnos no registran matrícula en Física ni Matemática; ¿ El número de matriculados en ambos
cursos será ? :
a) 15

b) 25

c) 27

d) 35


55. Si: A ⊂ B y A ∩ D = ∅ ; El siguiente conjunto [( A ∩ D' ) ∩ B' ] ∪ [ B ∪ ( A – D ) ]
simplificado será:
a) A ∩ B

b) A

c) ∅

d) B

e) D ∩ B

56. Del siguiente conjunto A = { 1, 2, { 2, a }, { 2, 1, b } } , la proposición verdadera es:
a) 1∈ { 2, 1, b }

b) b ∈ { 2, 1, b }

c) { 2 } ∈ A

d) { 2, a } ∈ A

e) { 2, a } ∈ { 2, 1, b }

57. De una muestra recogida a 200 turistas se determinó: 64 eran norteamericanos. 86 eran europeos.
90 eran economistas. De estos últimos, 30 eran norteamericanos y 36 europeos. ¿ Cuántos de los
que no eran europeos tampoco eran norteamericanos ni economistas ?
a) 24

b) 26

c) 36

d) 34


58. Si: n( A ∪ B ) = 30 , n( B – A ) = 8 y n( A – B ) = 10 . El valor de n( A ) + n( B ) es:
a) 8

b) 10

c) 13

d) 12

e) 11

59. Si A = { ∅, { ∅ } } , ¿ Cuántas son verdadera ?:
I.- ∅ ∈ A ;

II.- ∅ ⊂ A

;

III.- { ∅ } ∈ A ; IV.- { ∅ } ⊂ A ;

V.- {{ ∅ }} ∈ A

VI.- {{ ∅ }} ⊂ A
a) 6
60. Si U = { x ∕ x ∈ N }

b) 5
;

c) 4

A = { 2x ∕ x ∈ N y x < 6 }

d) 3
;

e) 2

B={(x+4)/2 ∕x∈A} ;

C= { ( 2y + 1 ) / 3 ∕ y ∈ B } . ¿ El número de elementos de C es? :
a) 6

b) 1

c) 4

d) 3

e) 2

61. Sabiendo que el conjunto: A = { a + b , a + 2b – 2 , 10 } es unitario. El valor de a .b es:
a) 10

b) 15

c) 18

d) 16

e) 20

22
62. Si: A' , B' , ( A – B ) y ( A ∪ B ) tienen respectivamente 128, 32, 2 y 64 subconjuntos; ¿ El número
de elementos del conjunto potencia de A ∩ B , es?:
a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

63. Si: A = ( - 3 , 3 ] ; B = [ 1 , 5 ) ; C = ( - 1 , 4 ) ; el conjunto A – ( B ∪ C ) es:
a) ( - 3 , - 1 ]

b) ( - 3 , - 1 )

c) [ - 3 , - 1 ]

64. La suma de los elementos del conjunto A =

a) 40

b) 45

b) ( - ∞ , 10 )


 x2 - 9

/ x ∈ N y 2 < x < 9 son:

 x -3


c) 35

65. Si T es el conjunto solución de la ecuación
a) [ 0 , ∞ )

d) [ - 3 , - 1 )

d) 36

e) 48

x - 2 = x − 2 ; el conjunto T es:
c) { 0 }

d) ( - ∞ , 0 ]

e) ( 0 , ∞ )

23

RESUMEN TEORICO
PROPOSICION CERRADA.-

Es toda expresión coherente que se caracteriza por el hecho de poseer un valor de

verdad sin ambigüedad en un determinado contexto. Es decir puede ser verdadera ( V ) o falsa ( F ). Por lo general las
proposiciones se denotan con cualquier letra minúscula, pero preferentemente con: p, q, r, s, t, etc.
Ejemplo: p: Quito es la capital del Ecuador ⇒ (V)
q: 5+7 = 8

⇒ (F)

Las preguntas, mandatos, deseos, exclamaciones, no son proposiciones lógicas ya que no se pueden clasificar como
verdaderas o falsas.
Ejemplo: + ¿ Cómo te llamas ?
+ Que pases bien
+ ¡ Cállate!

VARIABLE.- Es aquella palabra, letra o símbolo que representa apersonas, entes u objetos, susceptibles a tomar
valores diferentes.

PROPOSICION ABIERTA.- Es toda expresión en la que interviene una variable, que admite la posibilidad de
convertirse en una proposición cerrada cuando cada variable asume un valor determinado.
Ejemplo: El es un cantante ecuatoriano.

“ Si te das cuenta, aún no se puede decir si es verdadera o falsa, donde la

variable es El. Vamos a darle valores a la variable y observemos que sucede:
Juanes es un cantante ecuatoriano …………………… (F)
José Luis del Hierro es un cantante ecuatoriano …….. (V)
Se observa que la proposición abierta se convirtió en una cerrada al darle un valor a la variable.

OPERTADOR LOGICO.- Es la palabra que cambia el valor veritativo de una proposición. Si la proposición es p ,
el operador lógico cambia a la proposición en ~ p que es no p o también negación de p. Las palabras: no, no es
verdad que, es falso que, no ocurre que, no es el caso que, etc. equivalen al operador lógico ~ .

CONECTORES LOGICOS.- Se llaman así a las palabras que sirven para enlazar proposiciones. Sean las
proposiciones p , q :

24

Símbolo
^
ν

Operación
Lógica
conjunción
disyunción

Esquema
p^q
pνq

⊻

disyunción
exclusiva

p⊻q

→

condicional

p→q

opoq
si p,
entonces q

↔

bicondicional

p↔q

p, si y sólo
si q

Significado
pyq
poq

CONJUNCIÓN.Ejemplo: Tito es futbolista y Carmen es basqueboli sta
1 4 42 4 43 { 1 4 4 442 4 4 4 4
3
∧

p

q

p^q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
La conjunción es verdadera solo si sus componentes son verdaderos, en otros casos será falsa.
Las palabras : pero, sin embargo, además, no obstante, aunque, a la vez, también, etc. Equivalen al conector ^.
DISYUNCIÓN.Ejemplo: Carlos es Ingeniero o Carlos es arquitecto
144 2444 { 144 2444
4
3 ∨
4
3
p

q

pνq
p
q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
La disyunción es falsa sólo si sus componentes son falsas, en otros casos será verdadera.
DISYUNCION EXCLUSIVA.Ejemplo: O bien

Boris juega o bien estudia
1 42 43 123 1 2 3
p

∨

q

p⊻q
p
q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
La disyunción exclusiva es verdadera sólo si sus componentes tienen valores de verdad diferentes, caso contrario será
falsa.

CONDICIONAL.-

Ejemplo:

25
Si 4 442 4 4 4 , entonces ingresará
1 Isabel se esfuerza 1 4 1
3
42 3 42 4
3
→

p

↑

q
↑

68
7
causa

6 4 7 44
4
8
consecuenc ia

antecedent e

con sec uente

p→q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
El condicional es falso sólo si su antecedente es verdadero y su consecuente es falso, en otros casos será
verdadero.
Las palabras: porque, puesto que, cuando, si, cada vez que, etc. Equivalen al conector → .
BICONDICIONAL.- Ejemplo:

Katy irá a la fiesta, si y sólo si tiene amigas
14 4 24 44 1424 142 43
4
3
3
4
4
p

↔

q

p↔q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
El bicondicional es verdadero sólo si los valores de sus componentes son iguales, en caso contrario es falso.
Las palabras: Cuando y sólo cuando, entonces y solamente entonces, etc. Equivalen al conector ↔ .
LEYES LOGICAS.-

Consideremos la proposición: [ ( p → q ) ^ p ] → q ; cuya tabla de verdad es:

(p→q) ^ p [(p→q)^p]→q
p
q
p→ q
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
La proposición compuesta es V, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes. Se
dice entonces que tal proposición es una tautología o ley lógica.
La proposición p → p es V cualquiera sea el valor de verdad de p, es otro ejemplo de una ley lógica. En cambio p
^ ~ p es F cualquiera sea el valor de verdad de p. Se dice que es una contradicción.
En el cálculo proposicional se utilizan las siguientes leyes o tautologías cuya demostración se reduce a la
confección de la correspondiente tabla de valores de verdad.
1. INVOLUCION:

~(~p)⇔p

2. IDEMPOTENCIA: a.- ( p ν p ) ⇔ p
b.- ( p ^ p ) ⇔ p
3. CONMUTATIVA:

a.- ( p ν q ) ⇔ ( q ν p )
b.- ( p ^ q ) ⇔ ( q ^ p )

26
4. ASOCIATIVA:

a.- ( p ν q ) ν r ⇔ p ν ( q ν r )
b.- ( p ^ q ) ^ r ⇔ p ^ ( q ^ r )

5. DISTRIBUTIVA:

a.- p ν ( q ^ r ) ⇔ ( p ν q ) ^ ( p ν r )
b.- p ^ ( q ν r ) ⇔ ( p ^ q ) ν ( p ^ r )

6. DE MORGAN:

a.- ~ ( p ν q ) ⇔ ~ p ^ ~ q
b.- ~ ( p ^ q ) ⇔ ~ p ν ~ q

7. ABSORCION:

a.- p ν ( p ^ q ) ⇔ p
b.- p ^ ( p ν q ) ⇔ p

8. CONDICIONAL:

p→q⇔~pνq

9. BICONDICIONAL:

p ↔ q ⇔ ( ~ p ν q ) ^ (~ q ν p )

27
EJERCICIOS:
1. Señale la proposición compuesta conjuntiva:
:
a) Navegaremos siempre que tengamos brújula.
b) Si es un caballo veloz y fuerte, ganará la carrera.
c) Es un creyente musulmán; sin embargo, no ora cinco veces al día.
d) Los fuegos artificiales se encienden porque lo ordena el mayordomo.
e) Pedro y Pablo viven juntos, luego comparten los gastos.
2. La simbolización de: “ El jabalí es un mamífero y el murciélago también, por lo tanto ambos son
cuadrúpedos “. Es:
a) ( q ^ p ) → r
b) ( p ^ q ) → ( r ^ s )
c) q ^ p ) → ( r → s )
d) ( p ^ q ) → r
e) ( p ^ q ) → ( s ν r )
3. “Quito es la capital del Ecuador y los lunes son festivos”. Es una proposición de la cual se afirma
que :
a) Es falsa y verdadera

b) Ni verdadera ni falsa.

c) Es verdadera.

d) Es falsa.

4. La simbolización correcta de la proposición: “ El agua es un mineral y 6 no es múltiplo de 3 “ es:
a) ~ ( r ⋀ s )
5.

b) ~ r ⋀ ~ s

c) r ⋀ ~ s

d) r ⋁ ~ s


La gráfica muestra la relación “ser hijo de” en un conjunto de personas, mediante las flechas.
Por tanto, c y g son respectivamente:

a
b
c

d
f

e
g

a) Hermanos.
6.

b) Padre – hijo.

c) Sobrino – tío.

d) Hijo – padre.

e) Tío – sobrino.

Cuál será el esquema equivalente a la proposición: “ Puesto que es agosto, soleará todos los días “
a) ~ ( p ^ ~ q )

b) ~ p → q

d) ~ q ν p

e) p ^ ~ q

c) q → p

28
7. ¿ Cuáles de las siguientes proposiciones son leyes lógicas?
I.

(p^q)→q

II.

[( p → q ) ^ ( q → r )] → ( p → r )

III.

p→(p^q)

IV.

p→(pνq)

a)

I – II – III

d) II – III – IV

b) Todas son leyes lógicas

c) I – II – IV

e) I – III – IV

8. De las siguientes proposiciones, ¿ Cuáles son equivalentes entre sí ?
I. Es necesario que Juan no vaya al cine para que termine su tarea.
II. No es cierto que Juan termine su tarea y vaya al cine.
III. Juan no terminará su tarea y no irá al cine.
a) I y III

b) II y III

d) I y II

c) Ninguna

e) Todas

9. Si: “ Ningún insecto es vertebrado “ ; entonces:
:
a) Todo insecto es vertebrado

b) Algún insecto es vertebrado

c) Algunos vertebrados son insectos

d) Es falso que algún insecto es vertebrado

e) Todo vertebrado es insecto.
10. Si: “ Todo matemático es hábil “ ; entonces:
a) Algunos hábiles no son matemáticos

b) Algunos matemáticos no son hábiles

c) Ningún matemático es no hábil

d) Ningún matemático es hábil

e) Todo matemático es no hábil.
11. Si: ( p ^ ~ q ) → ( r → ~ s ) es falsa. Entonces los valores de verdad de: p, q, r, s son:
a) V F V V

b) F V F F

d) F F V V

c) V V V F

e) F V V V

12. No es verdad que no sea estudiante, es equivalente a:
a) Soy estudiante.

b) No soy estudiante.

c) Tal vez sea estudiante.

29
d) No me gusta el estudio.

e) Nunca fui estudiante.
)

13. La negación de : “ Todos los hombres son honestos “ es:
a) Los hombres no son honestos.

b) Algunos hombres son deshonestos.

c) Algunos hombres son honestos.

d) Todos los hombres son deshonestos.

e) Ningún hombre es deshonesto.
14. No es ejemplo de proposición:
a) Soy ángel.

b) El hombre es inteligente.

d) Tengo sed.

c) No me mires.

e) Los mares resucitaron.

15. El enunciado recíproco del condicional “ Si un número entero es divisible por 6, entonces es múltiplo
de 3”; es:
a) Si un número entero no es divisible por 6, entonces no es múltiplo de 3.
b) Si un número es múltiplo de 3, entonces es divisible por 6.
c) Si un número no es múltiplo de 3, entonces no es divisible por 6.
d) Si un número no es divisible por 6, entonces es múltiplo de 3.
16. Una alternativa equivalente a la proposición lógica: “Todas las películas de ciencia ficción son irreales”
es:
a) Ninguna película de ciencia ficción es real.
b) Algunas películas de ciencia ficción son reales.
c) Algunas películas de ciencia ficción son irreales.
d) No todas las películas de ciencia ficción son irreales.
e) Todas las películas de ciencia ficción no son reales.

30
17. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es equivalente a? : “Todos los diplomáticos no son católicos “
a) Ningún diplomático es católico.
b) Algunos diplomáticos son católicos.
c) No todos los católicos son diplomáticos.
d) Algunos diplomáticos no son católicos.
e) Algunos católicos no son diplomáticos.
18. El equivalente a: “ Es falso que si usted ve un gato negro entonces tendrá mala suerte” es:
a) Ve un gato negro y tiene mala suerte.
b) No tiene mala suerte si ve un gato negro.
c) Ve un gato negro y no tiene mala suerte.
d) Ve un gato negro si tiene mala suerte.
e) No tiene mala suerte dado que no ve un gato negro.
19. La proposición: ∼ { ( p ∧ q ) ∨ [ p ∧ ( ∼ p ∨ q ) ] } es equivalente a :
a) p ∧ q

b) ∼p ∨ ∼ q

c) p ∨ ∼ p

d) p ∨ q

e) ∼ p ∧ ∼ q

20. “ No es cierto que, si no tengo novia no me casaré “. Decir la verdad o falsedad:
I.- No se da el caso que tenga novia no me casé.
II.- No tengo novia pero me casaré.
III.- si tengo novia me casaré.
a) VVV

b) FFF

c) VVF

d) FVF

e) FVV

d) VFFV

e) FFFV

21. La tabla de verdad de: ( ∼ p ∨ q ) ↔ ( p ∨ ∼ q ) es:
a) VFVF

b) VVVV

c) FFFF

31
22. Formalizar: “ Si luchas por triunfar, entonces triunfarás, sin embargo no luchas por triunfar ”
a) p → ( q ∧ r )

b) p → ( q ∧ ∼ r )

c) ( p → q ) ∧ ∼ p

d) ( p → q ) ∧ ( p ∨ q )

e) ( p → q ) ∨ ∼ q
23. Al simplificar: ∼ ( q ∧ ∼ r ) → ( p ∧ ∼ p ) se obtiene:
a) p
24. Si: ( p ∧ ∼ q ) → r
a) VVV

b) q

c) p ∧ q

d) F

e) V

es falsa ; los valores de verdad de p , q y r son:
b) VFF

c) FFF

25. Ningún mentiroso es confiable; luego se puede afirmar:
a) Algunos no confiables son mentirosos.
b) Todo confiable es mentiroso.
c) Algunos mentirosos son confiables.
d) Algunos confiables son mentirosos.
e) Ningún mentiroso es no confiable.

d) FVV

e) FVF

32

RESUMEN TEORICO
1. NUMEROS NATURALES ( N ):

Son los enteros positivos. Se representan así:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6………}
2. NUMEROS ENTEROS ( I ) :

Resultan de la reunión de los números naturales y las diferencias de dichos

números, es decir lo números negativos. Se pueden representar así:
I = { ……-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ……. }
Los números naturales están incluidos en los enteros.
3. NUMEROS RACIONALES ( Q ): Está dado como el cociente de dos números enteros.
Ejemplo: 2

Q; porque: 2 =

Son de la forma: Q = { x / x =

2 4 - 40
2a
= =
= .......... =
; donde a ≠ 0
1 2 - 20
a

p
, p ,q
q

I}

Todo número entero es racional, pero no todo racional es entero.
Los números racionales se pueden representar como fracciones decimales periódicas puras o mixtas.

) 3 1
0.3 = =
9 3
) 32 - 3 29
2. 0.32222222….. = 0.32 =
=
90
90

Ejemplo:

1. 0.333333333…. =

3. NUMEROS IRRACIONALES ( Q' ).- Resultan de extraer raíces de índice par a cantidades naturales inexactas.
Ejemplo:

2 = 1.4142.........

3 = 1.7321........

;

A las constantes numéricas se les considera también números irracionales.
Ejemplo: e = 2.7182818………….
4. NUMEROS REALES ( R ) .-

;

π = 3.14159266.............

Resultan de la unión de los números racionales e irracionales; de la forma Q ∪ Q'

.
AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES:
1. AXIOMAS DE LA ADICION.1.1 CLAUSURA O EXISTENCIA:
1.2 CONMUTATIVA: Si a, b
1.3 ASOCIATIVA:

Si a, b y c

Si a, b

R →a+b

R

R →a+b=b+a
R →(a+b)+c=a+(b+c)

1.4 EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO ADITIVO: Existe el elemento 0
todo a

R, para

R →a+0=a

1.5 EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO U OPUESTO: Para todo a
elemento ( - a )

R , tal que a + ( - a ) = 0

R , existe el

33
2. AXIOMAS DE LA MULTIPLICACION.2.1 CLAUSURA O EXISTENCIA: Si a, b

R →a.b

R

R →a.b=b.a

2.2

CONMUTATIVA: Si a, b

2.3

ASOCIATIVA:

2.4

EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO: Existe el elemento
1

Si a, b y c

R, para todo a

R →(a.b).c=a.(b.c)

R → a .1 = 1.a = a

2.5 EXISTENCIA DEL INVERSO MULTIPLICATIVO O RECIPROCO: Para todo a
– { 0 } , existe el elemento ( 1/ a )

R

R , tal que a . ( 1/ a ) = 1

2.6 AXIOMA DE DISTRIBUCION DE LA MULTIPLICACION RESPECTO A LA
ADICION: Si a, b, c

R → a. ( b + c ) = a . b + a . c

RESUMEN TEORICO
PRODUCTOS NOTABLES.- Reciben el nombre de productos notables aquellos productos que se pueden determinar
directamente sin necesidad de efectuar la operación de la multiplicación algebraica.
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES:
1. BINOMIO AL CUADRADO.1.1 BINOMIO SUMA AL CUADRADO:
( a + b )² = a² + 2 ab + b²
1.2 BINOMIO DIFERENCIA AL CUADRADO:
( a – b )² = a² - 2 ab + b²
OBSERVACION:

( a + b ) 2 = a 2 42ab +42
+ 2 b
1 24
4 3 1 4 43
Binomio
suma al cuadrado

Trinomio cuadrado
perfecto

RECONOCIMIENTO DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
1.

Se saca raíz cuadrada a los extremos.

2.

El doble producto de los resultados debe coincidir con el término central.

2. SUMA DIFERENCIAL.- ( DIFERENCIA DE CUADRADOS )
( a + b ) . ( a – b ) = a² - b²
3. IDENTIDADES DE LEGENDRE.1.- ( a + b ) ² + ( a – b ) ² = 2( a² + b² )
2.

( a + b ) ² - ( a – b ) ² = 4ab

34
3.

( a + b )⁴ - ( a – b )⁴ = 8ab ( a² + b² )
⁴
⁴

4. BINOMIO AL CUBO.4.1 BINOMIO SUMA AL CUBO:
( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
4.2 BINOMIO DIFERENCIA AL CUBO:
( a – b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.a³ + b³ = ( a + b ) ( a² - ab + b² )
a³ - b³ = ( a - b ) ( a² + ab + b² )
GENERAL:

a 3m ± b 3n = ( a m ± b n )( a 2m m a m b n + b 2n )
6. TRINOMIO AL CUADRADO.( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
7. TRINOMIO AL CUBO.( a + b + c ) ³ = a³+ b³ + c³ + 3(a+b)(a+c)(b+c)
³ ³
³

35
EJERCICIOS:
1. ¿ 21 de que número es el 7% ?
a) 300

b) 120

c) 25

d) 310

e) 147

2. Si x es 5% de r y r es 20% de s, ¿Qué porcentaje de s es x?
a) 1 %
3. El

b) 4%

por ciento de

a) 0.05

c) 10 %

d) 40%

e) 100%

es:
b) 0.25

c) 0.5

d) 2.5

e) 25

4. Dos descuentos sucesivos de 20% y 10%, equivalen a uno del:
a) 72%

b) 82%

c) 28%

d) 18%

e) 30%

5. Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a uno del:
a) 50%

b) 10%

c) 56%

d) 25%

e) 75%

6. A una reunión bailable asistieron 120 personas, si todos bailan a excepción de 26 mujeres. ¿
Cuántas mujeres hay en total ?
a) 26

b) 37

c) 83

d) 91

e) 73

7. ¿Cuál es el promedio de todos los múltiplos de 10 desde 10 hasta 190 incluyendo los extremos?
a) 90

b) 95

c) 100

d) 105

e) 110

8. El promedio de 3 enteros positivos diferentes es 12. si el primero de estos enteros es 9 veces el
segundo entero, ¿Cuál es el menor valor posible para el tercer entero?
a) 6

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

d) 0.004

e) 0.008 T

9. El promedio de (0.2) x y (0.3) x es 0.001. El valor de x es:
a) 0.4

b) 0.1

c) 0.002

10. El promedio de 100 números consecutivos es 69.5 . El número menor es:
a) 20

b) 18

c) 16

d) 24

e) 30

36
11. El promedio de 50 números es 62.1; se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿ En cuanto varía el
promedio ?
a) 4.9

b) 4.8

c) 4.6

d) 4.3

e) 4.2

12. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. El
promedio del salón será:
a) 15.2

b) 15.1

c) 18

d) 17.2

e) 16.8

d) 2n(n+1)

e) n(n+1)

d) 450

e) 500

13. La suma de los n primeros múltiplos positivos de 6 es:
a) 6n(n+1)

b) 3n(n+1)

c) 4n(n+1)

14. ¿ Cuántos números pares de tres cifras existen ?
a) 300

b) 350

c) 400

15. ¿ Cuántos números de tres cifras no tienen ninguna cifra impar en su escritura ?
a) 300

b) 250

c) 200

d) 150

e) 100

16. ¿ Cuántos números de tres cifras tienen, por lo menos una cifra par y otra impar ?. Considere el cero
como cifra par.
a) 675

b) 375

c) 475

d) 575

e) 275

17. ¿ Cuántos números entre 200 y 400 comienzan o terminan con 3 ?
a) 20

b) 60

c) 109

d) 110

e) 120

18. Si n es un entero positivo, ¿cuál de los siguientes NO puede ser el dígito de las unidades de 3 n ?
a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

d) 21

e) 22

19. El número de cifras del producto 3² . 4⁹ . 5¹⁷ . 7 es:
a) 18
20. Si

b) 18

c) 20

xyz = z , ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdad?

a) y=0

b) z=0

c) xy=1

d) y=1

e) z=1

37
21. Si P.Q.R=1, R.S.T=0 y S.P.R=0, ¿Cuál de los siguientes factores debe ser cero?
a) P

b) Q

c) R

d) S

e) T

22. En la suma siguiente, A, B, C y D representan dígitos diferentes, ¿ La suma de A, B, C y D es?
5A
+ BC
D43
a) 23

b) 22

c) 18

d) 16

e) 14

23. Si el producto de 6 enteros es negativo, ¿Cómo máximo cuántos de los enteros pueden ser negativos?
a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

24. Si n es par, ¿cuál de los siguientes literales no puede ser impar?
i.- n+3
a) solamente i

j.- 3n
b) solamente j

k.- n2-1
c) solamente k

d) solamente i y j

e) i, j y k

25. ¿Cuál de los siguientes números puede ser usado para mostrar que no todos los números primos son
impares?
a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

d) 1/500

e) 2/500

26. ¿ El número 0.127 es que tanto más grande que 1/8 ?
a) 1/2

b) 2/10

c) 1/50

27. ¿Cuál es el mayor de 3 enteros consecutivos cuya suma es 24?
a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

28. Un triángulo tiene un perímetro de 13. Los dos lados más cortos tienen longitudes enteras iguales a x
y x + 1 . ¿Cuál de los siguientes puede ser la longitud del otro lado?
a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

29. Un bloque cúbico de metal pesa 6 libras, ¿Cuánto pesará un cubo del mismo metal si sus lados son el
doble de largos?
a) 48

b) 32

c) 24

d) 18

e) 12

38
30. Cuando x se divide para 9, el residuo es 6 y cuando x se divide para 6 el residuo es 0. ¿Cuál de los
siguientes números puede ser x?
a) 36

b) 100

c) 106

d) 108

e) 114

31. Si x/y es un entero, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) x e y son enteros

b) x es un entero

c) ya sea x o y es negativo

d) y/x es un entero

e) x=ny donde n es un entero

32. Con referencia a la tabla, ¿cuál de los siguientes describe la relación entre A y B?

A
2

10

4

17

5
b) B = 2 A + 1

5

3

a) B = A + 4

B

26

c) B = 3 A − 1

2
d) B = A + 1

2
e) B = A − 1

33. La suma de 3 enteros positivos consecutivos es x. ¿Cuál es el valor del más pequeño de los enteros?
a) (x-6)/3

b) (x+6)/3

c) (x/3)-1

d) (x/3)+6

e) 3x-6

34. De los siguientes números: 17, 24, 41, 61, 63, 76 ; ¿ Cuánto suman los números primos ?
a) 141

b) 119

c) 121

d) 145

e) 58

35. La distancia desde el pueblo A al pueblo B es 5 kilómetros. C está a 6 kilómetros desde B.
Si se afirma que la distancia desde A a C puede ser:
i)

11

j) 1

k) 7

Lo anterior es vedad para:
a) solo i

b) solo j

c) solo i y j

d) solo j y k

e) i, j y k

36. Si 2 x = y ¿Cuál de los siguientes literales debe ser igual a 2 x +1 ?

a) y+1

b) y+2

c) 2y

d) 4y

e)

y2
2

39
37. Un cubo perfecto es un entero cuya raíz cúbica es un entero. Por ejemplo: 27, 64 y 125 son cubos
perfectos. Si p y q

son cubos perfectos, ¿Cuál de los siguientes no es necesariamente un cubo

perfecto?
a) 8p

b) pq

c) pq+27

d) -p

e) (pq)⁶

c) 63

d) 64/5

e) 64

38. El resultado de (65÷64)/5 es:
a) 1/5

b) 6/5

39. -20, -16, -12, -8…

En la secuencia anterior, cada término luego del primero es 4 más grande que el

término anterior. ¿Cuál de los siguientes no puede ser un término de la secuencia?
a) 0

b) 200

c) 440

d) 668

e) 762

d) 5/11

e) 6/13

40. De los siguientes cinco números, ¿cuál es mayor que 1/2?
a) 2/5

b) 4/7

c) 4/9

41. Luego de que una pelota es soltada ésta siempre rebota 2/5 de la altura anterior. Después de su
primer rebote la pelota alcanza una altura de 125cm. ¿Qué tan alto (en cm.) llegará la pelota luego
de su cuarto rebote?
a) 20

b) 15

c) 8

d) 5

e) 3.2

42. Un vestido que se encuentra de realización en una tienda está marcado en $D. Durante este tiempo
su precio fue rebajado 15%, los empleados pueden comprar las prendas bajo descuento con un 10%
adicional del precio ya descontado. Si uno de los empleados compra el vestido ¿cuánto pagará por
el vestido en términos de D?
a) 0.75D

b) 0.76D

(

43. El resultado de 3 × 10
a) 302400

4

c) 0.765D

d) 0.775D

e) 0.805D

d) 3240

e) 324

) + (2 × 10 ) + (4 × 10) es:
2

b) 32400

c) 30240

44. Si x/y es un entero, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a)
b)
c)
d)
e)

x y y son enteros
x es un entero
ya sea x o y es negativo
y/x es un entero
x = ny donde n es un entero

40

45. Si x, y, z son números reales, ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

a)
b)
c)
d)
e)

x (y – z) = xy – xz
x (y – z) = x (z – y)
x (y + z) = (y + z) x
x (y + z) = x (z + y)
x (y + z) = xy + xz

46. En el conjunto de los números reales.¿Cuál es la factorización completa de la expresión x² - 4?
a) x⁴ - 4
d) (x -

47.

b) (x² - 2) (x² + 2)

2 ) (x +

c) (x² - 2) (x² + 8)

2 ) (x² + 2)

e) (x -

2 ) (x +

2 ) (x + 4)

a2 − b2
Al simplificar a + b se tiene:
a)

a2 + b2 +1

b)

a+b

c)

a−b

d)

ab

e) No se puede simplificar más.
48. Si V =

a)

12R
(r + R )

entonces R es:

Vr
12 − V

b) Vr +

V
12

c) Vr − 12

V
− 12
r

d)

e)

V (r + 1)
12

49. ¿ Cuál de los siguientes términos no pertenecen al producto de los polinomios ( x² + 2x –1 )
y (x² - 4x + 3 ) ?
a) x⁴

b) 2x²

c) -6x³

d) 10x

e) -3

50. En el conjunto de los números reales.¿Cuál es la factorización completa de la expresión x⁴ - 4 ?
a) x⁴ - 4
d) (x -

b) ( x² - 2 ) (x² + 2 )

2 ) (x +

2 ) (x² + 2 )

e) (x -

2 ) (x +

c) ( x² - 2 ) (x² + 8 )

2 ) (x + 4 )

51. ¿ Para qué valores de x y y se cumple la siguiente relación ?
x – y + i = 3 + ( x + y ) i , si i =
a) ( 4, -1 )

b) ( 1, 3 )

−1
c) ( 3, -1 )

d) ( 2, -1 )

e) ( 2, 4 )

41
52. Dados dos polinomios P( x ) y Q( x ), donde los grados de los polinomios
{ [ P(x)] ². Q(x) ] } y { [ P(x) ] ³ ÷ Q(x) ] son 27 y 23 respectivamente, entonces el grado de P( x ) es:
a) 2

b) 7

c) 8

d) 10

e) 12

53. Dado el siguiente enunciado. El sistema de los números enteros tiene para la adición, un elemento
identidad, y cada número entero tiene un inverso aditivo, es válido solamente para:
a) Los números naturales.

b) Los números enteros.

c) Los números enteros negativos.

d) Los números naturales y los números enteros.

54. Si n es un entero, ¿ Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera ?
1. Si n es impar, ( n + 1 )² es par.
3. Si n es par,

es irracional.

n -1

a) Unicamente 2.

2. Si n es par, ( n – 1 )² es impar.

b) Unicamente 1.

c) 1. y 2.

d) 1. , 2. y 3.

e) 1. y 3.

55. En una división de dos polinomios de una sola variable, se sabe que el grado del dividendo es 9 y el
residuo es de tercer grado. ¿ Cuál es el máximo grado que puede tomar el cociente ?
a) 3

b) 4

56. Al simplificar la siguiente expresión,

c) 5

d) 6

e) 7

( a + b ) ( a 3 - b3 ) + ( a - b ) ( a 3 + b3 )
a 4 - b4

se obtiene:
a) 2

b) 4

c) 1

d) 3

e) 5

57. Si a y x son enteros positivos, ¿ Cuál de los siguientes números es siempre un entero ?
a)

1
xa

b)

1
x -a

c)

2
xa

d) -

1
xa

e) ( x a )−2

42
58. La expresión a³ - a⁻³ es igual a:
a) ( a – 1/a ) ( a² + 1 + 1/ a² )

b) ( 1/a – a ) (a² - 1 + 1/ a² )

c) ( a – 1/a ) ( a² - 1 + 1/ a² )

d) ( 1/a – a ) (1/ a² + 1 + a² )

e) Ninguna de estas respuestas.
59. Si ( x + 5 )² = ( y + 1 )³, ¿ Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera ?
1. Cuando x = 3 , y es igual a x.
a) Unicamente 3.

2. Si x = 1 , y = 5.

b) Unicamante 2.

3. Si x = 0 , y = 0.

c) Unicamente 1.

d) 1. y 2.

e) 1. y 3.

60. Si los polinomios P(x) = 2( x + 7) y, Q(x) = m( x + 2) + n( x – 3) son idénticos. Entonces m.n es:
a) -2

b) -8

c) -4

d) 2

e) 1

61. La forma simplificada de [( x² - 3x + 2 ) / ( x² - 2x – 3 )] . [( x² - x – 6 ) / ( x² - 4 )] es:
a) ( x – 1 ) / ( x + 1 )

b) - 1

c) x² - 1

d) 1

e) x

62. Si x es un número positivo, ¿ Cuál de las siguientes expresiones es la mayor ?
a) x / ( x + 2 )

b) ( x + 1 ) / x

d) ( x + 1 ) / ( x – 1 )

c) x / ( x + 1 )

e) ( x + 2 ) / ( x + 3 )

63. 36x² y 4y²z² , son el primero y último término de un trinomio que es cuadrado perfecto.
¿ Cuál de los siguientes es el término medio ?
a) ± 24xyz
64. Si k + 1

b) ± 2xyz

c) ± 12x²y²z²

d) ± 12xyz

e) ± 24x²y²z²

representa un entero impar, ¿ Cuál de los siguientes es un entero impar ?

a) 2 ( k + 1 )

b) k ( k + 1 )

d) ( k + 1 ) ( k – 1 )

c) ( k + 1 )² - 1

e) ( k + 1 ) ( k + 2 )

65. La suma de los coeficientes numéricos en el desarrollo del binomio ( a + b )⁶ es:
a) 32

b) 16

c) 64

d) 48

e) 7

43
66. Si x⁻¹ - 1 se divide por x – 1 el cociente es :
a) 1

b) 1 / ( x – 1 )

c) - 1 / ( x – 1 )

d) 1 / x

e) - 1 / x

67. Una prueba tiene 40 preguntas. Cada pregunta correcta vale un punto, y se quitan dos puntos por cada
pregunta que contesta mal. No se quitan ni se aumentan puntos por las preguntas que deje de
contestar. Si a un estudiante se le da una nota de 25, y tiene 5 respuestas malas, ¿ Qué parte de las
preguntas del test contestó ?
a) 1 / 3

b) 4 / 5

c) 7 / 8

d) 3 / 4

e) 3 / 5

68. Si de 100 huevos se rompe el 4 % , y el 25 % salen defectuosos ¿Cuántos huevos se pueden vender?
a) 96

b) 62

c) 71

d) 77

e) 72

d) 156.25 %

e) 6.5 %

69. Si x se incrementa en 25 %, x² se aumenta en (?) % :
a) 25.5 %

b) 50.25 %

c) 56.25 %

70. ¿ Cuál de las siguientes fracciones es la más cercana a 1 / 4 ?:
a) 1 / 5

b) 3 / 10

c) 3 / 200

d) 7 / 20

e) 4 / 15

71. Una mezcla de 17 partes de la sustancia A, 3 partes de la sustancia B y 4 partes de la sustancia C
pesan 72 gramos. ¿ Cuántos gramos de sustancia B hay en la mezcla ?
a) 3.4

b) 9

c) 12

d) 17

e) 51

72. Una colección filatélica contiene estampillas de correo Alemanas, Americanas e Indias. Si la
razón de estampillas Americanas a Indias es 5 a 2 y la razón de estampillas Alemanas a Indias es
5 a 1; ¿ Cuál es la razón de estampillas Americanas a Alemanas ?
a) 1:5

b) 5:10

c) 2:15

d) 2:20

e) 2:12

73. Una pintura debe ser preparada con 2 partes de pintura pura y 1.5 partes de agua. El pintor por error ha
preparado 6 litros de pintura la cual es mitad agua y mitad pintura pura. ¿Qué debe ser adicionado para
hacer las proporciones de la mezcla correctas?
a) 1 litro de pintura

b) 1 litro de agua

d) ½ de pintura y 1 litro de agua

c) ½ litro de agua y 1 litro de pintura
e) ½ de pintura

44
74. Si con x = -1, la expresión ax⁵ + bx³ - 4 es igual a 0 ; ¿ Cuál es su valor cuando x = 1 ?
a) - 4

b) - 8

c)

0

d)

6

e)

1

4x 2 y 2 + 4y 4 x 2 = 2xy , entonces xy² = ?:

75. Si
a) 1

b) 2xy

c) x = y

d) 0

e) 2

ax - a
se tiene:
a +2

76. Al racionalizar el numerador en la expresión

a)

a (x -a )
( a +2)( a +2)

b)

ax - a 2
a x +2 a

c)

ax - a 2
a x + a a + 2 ax + 2a

d)

ax + a 2
a x -2 a


77. Si i =

a)

d)

2+ 3i
es :
1+ 2 i

− 1 , el resultado de

− 2+ 6
3

b)

2+ 6
+
3

78. Al factorizar

2+ 6
i
3

c)

3 -2
i
3

e)

3 -2
+
3

3-2
i
3
2+ 6
i
3

x² - 2xy + y² - z² se obtiene :

a)

(x+y)(x+y)

b) ( x – y + z ) ( x – y – z )

d)

(x+y)(x+y–z)

c) ( x + y ) ( x + z )

e) ( x – z ) ( x + y – z )

79. Un padre cumple 71 años y su hijo 34 años el mismo día. El padre tendrá el doble de la edad de
su hijo dentro de:
a) 2 años.

b) 3 años.

c) 4 años.

d) 5 años.


80. Un ciclista en una hora de competencia gasta 8 calorías por cada kilogramo de peso. El número de
calorías que gastará en una competencia de 4 horas si su peso es 55 kilogramos, es:
a) 440 calorías.

b) 880 calorías.

c) 1760 calorías.

d) 3520 calorías.

45
81. En una caja de cubos de azúcar los cubos están empacados por capas. Una capa contiene 18 cubos y
la caja 126 cubos. El número de capas de cubos de azúcar que hay en la caja es:
a) 5

b) 6

82. La expresión algebraica

c) 7

x
x-2

d) 8


tiene valor numérico real:

a) Para todos los valores reales de x.

b) Para todo valor real de x mayor que 2.

c) Para todo valor real de x menor que 2. d) Para todo valor real de x distinto de 2.
83. El grado de una suma de polinomios es:
a) La suma de los grados de los polinomios que se suman.
b) El grado del polinomio sumando los de menor grado.
c) El grado de los polinomios sumandos de menor grado.
d) Igual o menor que el grado de los sumandos de mayor grado.
84. De las siguientes fracciones:

7
3
11
19
11
;
;
;
;
. La suma de los términos de la mayor
12
5
20
30
15

de ellas, es:
a) 19

b) 8

c) 31

d) 49

e) 26

85. El valor de n.( n ) + n , cuando n = 2 es:
n

a) 10

b) 18

c) 36

86. El valor de x que cumple la igualdad
a) 3

b) 9

c) 27

d) 64


169 = 4 3 x + 1 es:
d) 81


87. Si { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } son los divisores de 12. ¿Cuántos divisores tiene 24?

46
a) 6

b) 7

c) 8

d) 12


88. Cuatro veces la cuarta parte de la edad de una persona es 32 años. La edad de la persona es:
a) 2 años.

b) 16 años. c) 32 años.

89. Si un número se multiplica por
a) 10

b) 100

d) 64 años.


0.16 el resultado es 40, entonces dicho número es:

c) 1 / 10

d) 1 / 100


90. En un colegio mixto hay p estudiantes en total, distribuidos en c cursos. Si hay r hombres por curso,
¿Cuántas mujeres hay en el colegio?
a) p – r – c

b) p – ( r – c )

c) c r – p

d) p – r c


91. Uno de los siguientes números no es racional:
a) 28

b) 13.6666….

c) 12.807978777675…

d)

3

1−

19
27

e) 12 / 5

92. Un obrero gasta 28 días para realizar una obra completamente. ¿Qué parte de la obra realiza en cuatro
días y medio?
a) 1 / 7

b) 6 / 56

c) 14 / 56

d) 8 / 56


93. El resultado de multiplicar los polinomios ( a + b ) y ( a – b ) es el polinomio:
a) a² + b² + 2ab

b) 2a + b²

c) a² - b²

d) a² + b²


94. El polinomio 2x³ - 3x² descompuesto en factores es:
a) x² ( 2 – 3x )

b) 2x ( x – 3 ) c) 3x ( 2 – x ) d) x² ( 2x – 3 ) e) Ninguno de los anteriores.

95. La siguiente expresión 3x ( a + b ) – 2y ( a + b ) en factores, es:
a) ( 3x – 2y ) ( a + b )

b) x ( a + b ) ( 3 – 2y )

d) y ( a + b ) ( 3x – 2 )


96. Al factorizar la expresión a⁴ - 80 - a⁰ se obtiene:
a) ( a + 3 ) ( a – 3 ) ( a² - 9 )
c) ( a + 3 ) ( a – 3 ) ( a² + 9 )

b) ( a² - 10 ) ( a² + 8 )
d) ( a + 4 ) ( a – 3 ) ( a² + 9 )

c) 3x [ ( a + b ) – 2y ]

47
97. Si la expresión x⁸ + ax² + b , es divisible por ( x² - 1 ) ( x – 1 ) , el valor de
a) -6

b) -4

98. La simplificación de la fracción:

c) -12

d) 6

e) -1

a 2 + b 2 + 2ab
es:
a 2 - b2

a) ( a + b ) / ( a² - b² )

b) 2ab / ab

d) ( a – b ) / ( a + b )

99.

a + b es:


El resultado de

(

a) 5 − 2 6
100.

La suma

)

2

2 − 3 es:
b) 5 − 6

c) 1 − 2 6

d) 5 − 2

e) 1

2 30 + 2 30 + 2 30 + 2 30 es:

a) 8 120
101. Si: T =

c) ( a + b ) / ( a – b )

b) 8 30

c) 2 32

d) 2 30

e) 2 26

1
1
1
1
1
2
+
+ +
+ ....... +
+
; su valor es:
12 20 30 40
110 22

a) 4 / 3

b) 2 / 3

c) 5 / 3

d) 1 / 3

e) 5 / 2

102. Si: S = 0.1 + 0.3 + 0.5 + …….. + 1.9 ; el valor de S es:
a) 100

b) 10

c) 190 / 10

d) 15

e) 19

103. Si: R = 0.01 + 0.04 + 0.09 + ……. + 1.44 , entonces su valor es:
a) 6
104. Si:

b) 13 / 2

r n +1 = r n +

a) 3.3 x 10

-8

c) 7

d) 15 / 2

e) 9

3
; el valor de r 10 - r 8 es:
10 n
b) 2.3 x 10

-8

c) 1.3 x 10

-8

d) 4.3 x 10

-8


48
105. Una toalla cuadrada de 0.4m de lado cuesta $ 4. ¿Cuánto costaría si tuviera 0.2m más de lado?
a) 6
106. Dado que

b) 13

d) 15

107. Al simplificar:

b) 2

d) 5

c) 7

e) 9

( 2n ) !
se obtiene:
( 2n - 1 ) ! ( 2n )

a) 2

108. El valor de E =

b) 0

1
2

a) 3

-1

a) 6

d) n

e) –n

es:
-2

b) -3

c) 1

d) -1

e) 2

d) 3

e) 9

( 3 3 + 2 2 )(3 3 − 2 2 ) − 3 es:

109. El resultado de: E =

110. Al resolver: E =

c) 1

( 2 . 32 ) - 1
( 4 ) (3)

b) 4

c) 7
8

 3 + 2 2 - 3 - 2 2  se obtiene:




b) 1024

c) 256

d) 16

111. Al calcular: E = ( a + b + 3 ) ( a + b – 3 ) – ( a – b )² + 9
a) a + b

e) 9

a b
+ = 0.7 8 1 ; entonces a + b es:
5 11

a) 6

a) 64

c) 7

b) a – b

c) 3 ab

se obtiene:

d) a / b


x3 +1
x 3 −1
+
, se obtiene:
112. Luego de simplificar: M = 2
x − x +1 x 2 + x +1
a) 2x

b) x³

c) x + 1

d) x – 1


113. Si: A = ( x + 8)( x + 9)–( x + 7)( x +10); B = ( x – 5) ( x – 4) – ( x – 6) ( x – 3), el producto A . B es:
a) 6

b) 24

c) 12

d) 4


49
114. Para hallar el valor de la siguiente expresión: F = x² - 5x + y² - 2xy + 5y + 1 ; la información brindada:
I.- x + y = 41 ;

II.- x – y = 17 , será:

a) La información I.- es suficiente.

b) La información II.- es suficiente.

c) Es necesario utilizar ambas informaciones.
d) Cada una de las informaciones por separado, es suficiente
e) Las informaciones dadas son insuficientes.
115. Al factorizar el polinomio x² + 2xy + y² - 81 en los enteros, la suma de los coeficientes del factor primo
con mayor término independiente, es:
a) – 8

b) 9

c) 10

116. Si a² + b² = 30 y a + b =
a) 46

d) – 9

e) 11

6 ; el valor de ( a – b )² es:

b) 54

c) 30

d) 16

e) 60

117. Si a²b³c³ es un número negativo, ¿Cuál de los siguientes productos resulta siempre negativo?
a) bc

b) b²c

118. El cuadrado de :
a) 4

c) ac

d) ab

e) bc²

2 + 3 + 2 − 3 , es:
b) 2

c) 0

d) 6


2

1

 3 1
119. Si:  a +  = 2 , luego ;  a + 3  , es igual a:
a
a 


a) 3

b)

120. El recíproco de

a)

2
2

2

c) -

d) – 3

2

e)

3

108 − 75 es:
b)

7
7

c)

5
5

d)

3
3

e)

6
6

50

RESUMEN TEORICO
DEFINICION.- Se llama así a la igualdad entre dos expresiones matemáticas donde a las variables que aparecen en
la igualdad se les denomina incógnitas y a los valores que verifican la igualdad se les llama soluciones de la ecuación,
las cuales forman el conjunto solución ( C S ).
Ejemplo: Sea la ecuación:

x(x-1) = x + 3 ;

Si x = 3 → 3(3-1) = 3+3 → 6 = 6
Si x = -1 → -1(-1-1) = -1+3 → 2 = 2

Como 3 y -1 verifican la igualdad, son las soluciones de la ecuación, entonces el CS = { -1,3}
No se debe confundir con la identidad algebraica , pues ésta cumple para todos los valores de sus letras.
Ejemplos: 1.

( a + b )² = a² + 2ab + b²

2.

a² - b² = ( a + b ) ( a – b )

Resolver una ecuación es hallar los valores de sus incógnitas que hacen cumplir la ecuación, llamándose las
soluciones.
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES.- Se clasifican de acuerdo a los siguientes aspectos:
1. Atendiendo a :
1.1 AL GRADO.- Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc.
1.2 A LOS COEFICIENTES.- Pueden ser numéricas o literales.
1.3 A LAS INCOGNITAS.- Pueden ser de una, dos, tres incógnitas, etc.
2. De acuerdo al tipo de solución pueden ser compatibles e incompatibles.
2.1 ECUACIONES COMPATIBLES.- Cuando admiten soluciones, y estas se dividen en:
2.1.1 Ecuaciones determinadas.- Cuando tienen un número limitado de soluciones.
Ejemplo: Si (x-2)(x+3)(x-1) = 0 → CS = { -3, 1, 2 }
2.1.2 Ecuaciones indeterminadas.- Cuando tienen un número ilimitado de soluciones.
Ejemplo: Si ( x+1 )² +4 = x² + 2x + 5 , se verifica para cualquier valore de x .
2.2 ECUACIONES INCOMPATIBLES O ABSURDAS.- Cuando no admiten solución, el
conjunto solución es el conjunto vacío.

Ejemplo:

3x - 1
= x + 2 → 3x - 1 = 3x + 6 → - 1 = 6 es un absurdo .
3

51
Luego el CS = { }
ECUACIONES EQUIVALENTES.- Dos o más ecuaciones; se dice que son equivalentes si tienen las mismas
soluciones; es decir que las soluciones de la una, son también soluciones de las otras.
Ejemplo:

1.

→

2.
6x + 3 = 4x + 9
mismo conjunto solución.

CS={3}

→

x² - 6x + 9 = 0

CS={3}

; son ecuaciones equivalentes ya que tienen el

Si dos ecuaciones son equivalentes, no necesariamente deben ser ellas del mismo grado.
ECUACIONES

LINEALES

Son aquellas ecuaciones polinomiales, que pueden reducirse a la forma general:
;∀ a ≠ 0

ax + b = 0

cuya solución es: x = -b / a

DISCUSIÓN DE LA SOLUCION.1. Si a ≠ 0 y b ≠ 0 , se tendrá: x =

−b
; valor real.
a

2. Si a ≠ 0 y b = 0 , se tendrá:

x=0 ;

3. Si a = 0 y b = 0 , se tendrá:

x = indeterminado.

4.

valor real.

Si a = 0 y b ≠ 0 , se tendrá que no hay solución, o es una ecuación incompatible o absurda.
ECUACIONES

CUADRATICAS

FORMA GENERAL.Una ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita es de la forma:
ax² + bx + c = 0

;

∀a≠0

Esta forma se denomina completa, cuando a, b, c son diferentes de cero, pero cuando b ó c, ó ambas son cero, se
denomina incompleta.
RESOLUCION DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA.Se resuelve mediante dos formas:
a.- Factorizando mediante el aspa simple.
b.- Aplicando la fórmula general.

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

4x 2 - 3x + 5
=2
x 2 - 2x + 13

52
a.- Operando e igualando a cero, se tiene:
4x² - 3x + 5 = 2x² - 4x + 26

; 2x² + x – 21 = 0 ; ahora factorizando: ( 2x + 7 ) ( x – 3 ) = 0

Igualando cada factor a cero:
Si: 2x + 7 = 0 →
→

Si: x – 3 = 0

x1 = - 7 / 2
x2 = 3

b.- Cuando la factorización no es inmediata, se aplica la fórmula.
DEDUCCION DE LA FORMULA GENERAL.De la ecuación: ax² + bx + c = 0 ; multiplicando ambos miembros por 4a se tiene:
4a²x² + 4abx + 4ac = 0 ; ahora si sumamos -4ac + b² a los dos miembros se tiene:
4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac ; de aquí se tiene :
operar:

2ax + b =

( 2ax + b )² = b² - 4ac ; que luego de

± b 2 - 4ac

2ax = - b

± b 2 - 4ac ; y finalmente:

x=

- b ± b 2 - 4ac
2a

De donde se obtienen las soluciones:

x1 =

- b + b 2 - 4ac
2a

x2 =

- b − b 2 - 4ac
2a

Ejemplo: Resolver la ecuación: 2x² - 3x – 2 = 0
Para resolver la ecuación dada por la fórmula, se observa que: a=2 , b= -3 , c= -2 , entonces se tiene:

x=

3 ± 3 2 − 4 x2x(-2)
3 ± 9 + 16 3 ± 25
3± 5
=
=
=
, de donde:
2x2
4
4
4

3+5 8
= =2
4
4
3 - 5 - 2 -1
x2 =
=
=
4
4
2

x1 =

DISCUSIÓN DE LAS RAICES DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO:
Las raíces de la ecuación de
segundo grado dependen de la cantidad subradical que se denomina DISCRIMINANTE

53
“D“

D = b² - 4ac

Debido a esto, los casos que se presentan son:
a.- Si D>0 ; las dos raíces son reales y desiguales.
b.- Si D=0 ; las dos raíces son reales e iguales.
c.- Si D<0 ; las dos raíces son complejas y conjugadas.
PROPIEDADES DE LAS RAICES DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO:
De la ecuación ax² + bx + c
= 0 se tiene que sus raíces son

x1 y x 2 como se dedujo más arriba .

1. Si sumamos las raíces se tiene:

x1 + x 2 = −

b
a

x1 . x 2 =

c
a

2. Si multiplicamos las raíces se tiene:

FORMACION DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO CONOCIENDO SUS RAICES:

x1 y x2 son las raíces de la ecuación que quiere formarse, de acuerdo a las propiedades anteriores, la ecuación
se formará así: x² - ( x 1 + x 2 )x + ( x1 . x 2 ) = 0

Si

54
EJERCICIOS:
1. La igualdad 1 / ( x – 1 ) = 2 / ( x – 2 ) se satisface para :
a) Ningún valor real de x.

b) x = 1

ó

x=2

c) Solamente para x = 1

d) Solamente para x = 2

e) Solamente para x = 0

2. ¿ Para que valor de x la igualdad 1 / x = 1 / ( x – 2 ) es una proposición verdadera ?
a)

0

b)

1

c) - 2

d)

2

e) Ningún valor es posible.

3. ¿ En cuántos doceavos es 1 / 3 de 3 / 4 mayor que 1 / 4 de 2 / 3 ?
a) 12
4.

x= y−

b) 6

c) 5

d) 1

e) 2

50
donde x y y son ambos mayor a cero. Si el valor de y es doblado en la ecuación
y

anterior, el valor de x:
a) decrecerá

b) se mantendrá igual

d) se doblará

e) se incrementará más del doble

5. Si x y y son enteros y
a) 0

c) se incrementará 4 veces

3 x + 2 y = 13 , ¿Cuál de los siguientes puede ser el valor de y?

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

6. En una fábrica la tercera parte de los trabajadores son mujeres, de las cuales la mitad son casadas, y
la mitad de las mujeres casadas tienen niños. Si los 3 / 4 del total de hombres son casados y los 2/3 de
los hombres casados tienen niños, ¿ Qué parte de los trabajadores no tienen niños ?
a) 2 / 3

b) 7 / 12

c) 4 / 9

d) 17 / 36

e) 5 / 18

7. La razón de asistencia a un partido de fútbol en un colegio fue de 14 estudiantes por cada profesor. Si
estuvieron 3000 personas en el partido, ¿Cuántos de ellos fueron profesores?
a) 1

b) 14

c) 200

8. Los valores de x que satisfacen la ecuación 1 +
a) 2 + 2i , 2 – 2i

b) 4 , 0

c) 2 , - 2

d) 256

8 4
=
x2 x

e) 2800

son:

d) 2 + 4i , 2 – 4i


55
9. La solución de la ecuación ( 2x – 3 )² + x ( x – 1 ) = 9 es:
a) 13 / 5 , 0

b) -1 , 1

c) 1 / 2 , 7 / 6 d) 3 / 2 , 2


10. Las raíces de una ecuación cuadrática x² + bx + c = 0 son 2 y - 3; la ecuación es :
a) x² - x + 6 = 0

b) x² + x + 2 = 0

d) x² - x – 3 = 0

c) x² + x – 6 = 0


11. Diariamente cada niño de un orfanato recibía 30 caramelos, pero como llegaron 6 niños adicionales,
ahora sólo reciben 28 caramelos. Si llegaran 15 niños más, ¿ Cuántos caramelos recibiría cada uno
diariamente ?
a) 26

b) 25

c) 24

d) 23

e) 22

12. Un tonel lleno de vino vale $ 7000. Si se sacan de él 80 litros, entonces valen solamente $ 1400. ¿
Cuál es la capacidad del tonel ?
a) 80

b) 100

c) 90

d) 120


13. Si en 80 lts. de agua de mar hay 2 lbs. de sal. ¿ Cuánta agua pura hay que agregar a estos 80 lts. para
que en cada 10 lts. de la mezcla haya 1 / 6 lb. de sal ?
a) 30 lts.

b) 50 lts.

c) 20 lts.

d) 40 lts.


14. Diez obreros pueden hacer un trabajo en 24 días; ¿ Cuántos obreros de igual rendimiento se
necesitarán para hacer un trabajo 7 veces más considerable en un tiempo 5 veces menor ?
a) 350

b) 370

c) 390

d) 410

e) 340

15. ¿ Dentro de cuántos años la relación de las edades de dos personas será igual a 7 / 6, si sus edades
actualmente son de 40 y 30 años ?
a) 40

b) 20

c) 35

d) 30

e) 25

16. En la capilla los alumnos de la escuela están agrupados en bancos de a 9 en cada uno, si se le coloca
en bancos de a 8, entonces ocupan 2 bancos más. Entonces el número de alumnos que están
presentes serán:
a) 122

b) 136

c) 144

d) 169


56
17. La diferencia entre el cubo de un número entero y el mismo número es 210. ¿ Cuál es dicho número ?
a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

18. La suma de dos números es 270 y la raíz cuadrada de uno de ellos es igual a la raíz cuadrada del otro,
aumentado en 18. Señale la suma de cifras de uno de los números.
a) 9

b) 8

c) 10

d) 12

e) 7

19. Dos personas trabajando solas pueden terminar una obra en 8 y 10 días respectivamente. ¿ En
cuántos días terminarán la obra si trabajan juntas ?
a) 4 días

b) 5

5
días
9

c) 4

5
días
9

d) 5

4
días
9


20. Un equipo de baloncesto profesional anotó el 25 % de sus tantos en el primer cuarto del partido, el 15
% en el segundo cuarto y el 40 % en el tercer cuarto. Si el equipo obtuvo 21 puntos en el cuarto final
del partido, ¿ Cuántos puntos el equipo obtuvo durante el partido ?
a) 84

b) 96

c) 100

d) 105

e) No se da suficiente información.

21. Las dimensiones interiores de un envase de almacenaje de forma rectangular son de 10 pies de
longitud, 6 pies de anchura y 8 pies de alto. Cuando el envase se llena hasta una profundidad de 3
pies, ¿ Cuántos paquetes de trigo caben, si un paquete de trigo ocupa 2 pies cúbicos ?
a) 90

b) 240

c) 360

d) 480

e) 960

22. El último día del año A un padre y su hijo cumplen 30 y 5 años respectivamente. ¿En qué año la edad
del hijo será la mitad de la edad del padre?
a) A + 30

b) A + 20

c) A + 15

d) A + 10


23. En la ecuación x + 1 / b = ( 1 + ab ) / b , la solución es cero si:
a) a = 1

b) a = 0

c) b = 0

d) a.b ≠ 0


24. Si x es elemento de los números enteros, la solución de la ecuación 24x + 15 = 60x – 10 es:
a) 25

b) 36 / 5

c) 36 / 25

d) 25 / 36


25. La solución de la ecuación ( x + 2 ) ² - ( x – 2 ) ² = 4x es:
a) 1

b) 0

c) - 2

d) - 1


57
26. La solución de la ecuación
a) 18

b) 20

x x x
+ + = 18 es:
2 3 6
c) 4

d) 6


27. En toda ecuación de la forma a x² + bx = 0, una de las soluciones siempre es:
a) x = a

b) x = - b

c) x = - a / b

d) x = 0


28. Si la suma de las raíces de una ecuación es 4 y el producto es 5, la ecuación será:
a) x² - 4x + 5 = 0

b) x² + 4x + 4 = 0

c) 4x² + 5x + 1 = 0

d) 4x² - 5x + 1 = 0


29. El producto de las raíces de la ecuación x² - 5x + 6 = 0 es:
a) 8

b) - 5

c) 6

d) 30


30. La suma de las raíces de la ecuación x² - 5x + 6 = 0 es:
a) - 5

b) 5

c) 5 / 6

d) 11


31. Una persona compró con $ 5550 un cierto número de calculadoras y computadoras, si cada calculadora
le costó $ 160 y cada computadora $ 230, ¿ Cuántos artículos compró en total ?
a) 26

b) 29

c) 24

d) 30

e) 21

32. Tres docenas de limones cuestan tantos centavos como limones dan por 1600 centavos. ¿ La docena
de limones valdrá ?
a) 80 centavos

b) 70 centavos

c) 120 centavos

d) 90 centavos

33. Cuando se posa una paloma en cada poste hay 3 palomas volando, pero cuando en cada poste se
posan 2 palomas, quedan 3 postes libres. ¿ Cuántas palomas hay ?
a) 9

b) 10

c) 12

d) 16


34. La edad de un niño será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años la edad era la raíz
cuadrada de este cuadrado. Qué edad tendrá dentro de 8 años ?
a) 28

b) 26

c) 24

d) 12

e) 20

58
35. Hoy Carlos es 5 años mayor que lo que Juan fue hace 2 años. Juan tiene ahora j años. En términos de j
¿Cuál es la edad de Carlos ahora?
a) j-5

b) j-3

c) j-2

d) j+2

e) j+3

36. Los tres hijos de Pepe tienen ( 2x + 9 ) , ( x + 1 ) y ( x + 2 ) años respectivamente. ¿ Cuántos años
tendrán que transcurrir para que la suma de las edades de los últimos sea igual a la del primero ?
a) 5

b) 8

c) 6

d) 9

e) 10

37. La suma de las edades de dos hombres dentro de 9 años será 98 años. Si el mayor tiene 30 años más
que el menor. La edad del menor es:
a) 20

b) 24

c) 26

d) 30

e) 25

38. Seis años atrás Anita fue P veces más vieja que Benjamín. Si Anita tiene ahora 17 años, ¿cuántos años
tiene Benjamín en términos de P?
a) (11/P)+6

b) (P/11)+6

c) 17-(P/6)

d) 17/P

e) 11.5P

39. Luis ha comprado 5 esferos y 4 reglas por 70 pesetas. Carlos ha pagado 46 pesetas por 3 esferos y 4
reglas. El valor de cada esfero es:
a) 12

b) 2.5

c) 10

d) 5.5


40. Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. Siete grandes y cuatro pequeños cuestan $ 12
más que cuatro grandes y siete pequeños. Un pastel grande costará:
a) 8

b) 6

c) 4

d) 2


41. La solución de la ecuación ax2 + bx + c = 0 ; donde a,b,c son elementos de los números reales con a
diferente de cero, indicar cual de las siguientes proposiciones es verdadera.
a) Cuando b²- 4ac es positivo, las dos soluciones son reales e iguales
b) Cuando b²- 4ac es positivo, las dos soluciones son complejas
c) Cuando b²- 4ac es negativo, las dos soluciones son distintas y ninguna de ellas son reales
d) Cuando b²- 4ac es igual a cero, las dos soluciones son iguales y ninguna de ellas es real

59
42. La solución de la ecuación (2x-3)(x)(x+3) = 0 ; para x elemento de los números enteros es el conjunto
formado por los elementos:
a) { 0, 2/3, -3}

b) { -3, 0, -2/3 }

c) { 3/2, 0, -3}

d) { 3/2, -3}

e) { 0, -3}

43. La solución de la ecuación (2x-3)(x)(x+3) = 0 ; para x elemento de los números racionales es el
conjunto formado por los elementos:
a) { 0, 2/3, -3}

b) { -3, 0, -2/3 }

c) { 3/2, 0, -3}

d) { 3/2, -3}

e) { 0, -3}

44. La solución de la ecuación ( x² - 2 )( x² - 3 )( x – 2 )( x – 3 ) = 0 ; para x elemento de los números
irracionales es el conjunto formado por los elementos:
a) {2,3,-2,-3}

b) {2,3}

c) {

2 , 3 , 2,3 }

d) { -2,-3 }

e) Ninguno de los anteriores

45. La solución de la ecuación ( x² + 2 )( x² - 9 ) = 0 ; para x elemento de los números reales es el conjunto
formado por :
a) { 0,-2,3, -3}

b) { 2,3 }

c) { -2,-3 }

d) { 2i,-2i,3,-3}


46. La solución de la ecuación ( x² + 2 )( x² - 9 ) = 0 ; para x elemento de los números complejos es el
conjunto formado por los elementos:
a) { 0,-2,3,-3}

b) { 2,3 }

c) { -2,-3 }

d) { 2i, -2i,3,-3}


47. La solución de la ecuación ( x² +5x +6 )( x – 2 )( x + 3 ) = 0 ; para x elemento de los números naturales
es el conjunto formado por los elementos:
a) { -3, -2, 2 }

b) { 2, -3 }

c) { -3 }

d) { -2 }

e) { 2 }

48. El valor de K para que las soluciones de la ecuación 2x² -5x +K = 0 sean números complejos es:
a) 0

b) 2

c) -4

d) -25/8

e) >25/8

49. El valor de K para que las soluciones de la ecuación 2x² -kx + 5 = 0 sean iguales es:
a) 40 o -40

b)

40 0 - 40

c) -4

d) 4

e) > 40

50. El valor de K para que las soluciones de la ecuación kx² + 2x - 5 = 0 sean reales diferentes es:
a) > - 0.2

b) 2

c) -2

d) 4

e) > 0.2

60
51. La suma de los valores de k que hacen que la ecuación: (4-k)x² + 2kx +2 =0, tenga sus raíces iguales,
es:
a) 2

b) -2

c) 3

d) -3

e) -4

52. La menor raíz de la ecuación (k-2)x² - (2k-1)x + (k-1) = 0 sabiendo que el discriminante es 25 es:
a) 3/4

b) 1/2

c) 4/5

d) 1/5

e) 5/3

53. Si la ecuación (a+4)x² - 1 = (2a+2)x – a presenta única solución, entonces el valor de a es:
a) 5

b) 3

c) 2

d) 1

e)

0

54. Si una de las raíces de la ecuación 2x² - 4x +C² - 2C – 3 = 0 es cero, el valor de C (C<0) es:
a) -2

b) -3

c) -1

d) -4

e) -10

55. Dada la ecuación polinomial : 3x² - 2bx + b = 0 halle b para que una de las raíces sea el triple de la
otra.
a) 1

b)

4

c) 2/3

d)

-2/3

e) -3/4

56. Si los cuadrados de las dos raíces reales de la ecuación: 2x² + cx + 2(c-1) = 0 suman 23, entonces el
valor de c es:
a)

-6

b) 6

57. Si las raíces de la ecuación x² raíces sean
a) x² - 1 = 0

x1

2

59. Si

4

d)

-4

e)

5

2 x + 1 = 0 son x1 y x2 construir la ecuación cuadrática cuyas

2

y x2 .
b)

x² + 1 = 0

58. En el sistema: 3x + y = 19 y
a) 20

c)

b) 18

c) 2x² + 1 = 0

d)

3x² + 2 = 0

e) x² + 3 = 0

x + 3y = 1 . El valor de 2x + 2y es:
c) 11

d) 10

e) 5

5n + p = 3 y 2m − 10n = 2 , ¿Cuál es el valor de m + p ?

a) 2

b) 4

c) 5

d) 7

e) 8

61
60. Si a = 4 + b y 3a = 12 − 2b ¿Cuál es el valor de a?
a) 24

61. El sistema:

b) 12

c) 8

d) 4

e) 3

3x + 4y + z = 5
4x + 5y + z = 7
x – y – 2z = 4

a) No admite soluciones.
b) Admite tres y sólo tres soluciones.
c) Admite una única solución.
d) Admite infinitas soluciones.
62. El sistema:

x + 4y + 7z = - 6
2x + 3y + 6z = - 4
5x + y – z =

6

Tiene como solución el conjunto:
a) {( -4, 0, 1)}

b) {(0, -1, -1)}

d) {(0, 4, -1)}


63. El determinante de la matriz:
a) 19

b) 16

1 3 1 
2 5 0 


3 1 − 2


c) - 9

c) {(1, 0, -1)}

es:
d) -11


64. Si x 2 − y 2 = 55 y x − y = 11 entonces y es:
a) 8

b) 5

c) 3

d) -8

e) -3

d) -3

e) -8

65. Si x 2 − y 2 = 55 y x − y = 11 entonces x es:
a) 8

b) 5

c) 3

62

66. Si:

32 b c 4
= = =
; el valor de ( r + c ) es:
b c 4 r
a) 1 / 2

67. Se da

b) 10

c) 8

d) 14

e) 20

a c
a +1 c + 2
=
. Entonces k vale:
= = k , con 2b – d ≉ 0 . Además se sabe que:
c d
b+3 d+6

a) 1 / 5

b) 1 / 4

c) 1

d) 1 / 2

e) 1 / 3

68. El aceite que contiene un tanque vale 5600 dólares. Si se sacan 40 litros vales solamente 2400
dólares. ¿ Cuántos litros contenía el tanque ?
a) 60

b) 70

c) 80

d) 100

e) 140

69. Si a cada uno de mis sobrinos les doy $ 3 sobraría $ 19, pero si a cada uno les doy $ 5 me sobraría
$ 5 . ¿ Cuánto tengo ?
a) $ 7

b) $ 21

c) $ 12

d) $ 42

e) $ 40

70. En una fiesta los hombres y mujeres asistentes están en la relación de 3 a 1. Después de
transcurridas 6 horas se retiran 20 parejas y ocurre que la nueva relación de hombres a mujeres es
de 5 a 1. Entonces el número original de asistentes a la fiesta fue de:
a) 160

b) 180

c) 200

d) 220

e) 240

71. En una granja se observa que por cada 2 gallinas hay 3 patos y por cada 5 pavos hay 2 patos. Si
se aumentaran 35 gallinas estas serían igual a la cantidad de pavos. El número de patos en el corral
es:
a) 18

b) 12

c) 36

d) 20

e) 24

72. En una reunión, el número de mujeres asistentes es al número de mujeres que no bailan como 10 es
a 3 . Si todos los hombres estaban bailando y son 20 más que las mujeres que no bailan. ¿ Cuántas
personas hay en la reunión ?
a) 70

b) 85

c) 90

d) 35

e) 100

73. Hallar tres cantidades, si éstas suman 690 y están en la relación a 5; 7 y 11. Determinar el doble de
la cantidad mayor:
a) 700

b) 760

c) 660

d) 600


63
74. Dos números se diferencian en 45 unidades. Hallar estos números si se sabe que están en relación
como 5 es a 2 .
a) 70 y 115

b) 75 y 30

c) 90 y 45

d) 35 y 80


75. Se tienen 2 barriles con vino de diferente calidad. El primero contiene 20 litros y el otro 30 litros. Se
saca de cada barril la misma cantidad y se hecha en el primero lo que se sacó del segundo y
viceversa. ¿Qué cantidad de vino ha pasado de un barril a otro, si el contenido de los dos resultó de la
misma calidad?
a) 20

b) 18

c) 14

d) 12

e) 10

76. Una florista por cada 5 rosas que vende regala 2. Si tenía 350 y al final no le queda ninguna,
¿ Cuántas rosas regaló ?
a) 50

b) 70

c) 100

d) 140

e) 150

77. Del centro de un circulo se trazan 29 rayos formando ángulos centrales que son proporcionales a los
29 primeros números enteros positivos; luego, el mayor ángulo mide:
a) 29°

b) 28°

c) 30°

d) 26°

e) 24°

78. Dos números son entre si como 5 es a 7. Si la suma de dichos números es 180, el número mayor es:
a) 70

b) 84

c) 90

d) 91

e) 105

79. La razón de dos números es 13 / 8 . Si dichos números se diferencian en 45. El menor de dichos
números es:
a) 48

b) 72

c) 80

d) 88

e) 93

80. De un total de 320 hinchas del fútbol los que simpatizan con “ Liga “ y por el “ D. Cuenca “ están en la
relación de 11 a 5 . ¿ Cuántos simpatizan por “ Liga “ ?
a) 300

b) 110

c) 220

d) 88

e) 55

81. Las edades de Andrea y Melisa están en la relación de 8 a 9 . Si dentro de 12 años sus edades
sumarán 75, entonces la diferencia de sus edades es?:
a) 1

b) 2

c) 3

d) 5

e) 6

64

82. Si:

x + 7 2y + 8 z + 3
=
=
= 4 ; entonces x + y + z es:
x - 14
y -1
3
a) 30

b) 36

c) 32

d) 24

e) 40

83. El promedio de las edades de 4 profesores es 30 años. Si ninguno de ellos es mayor de 35 años. ¿
Cuál será la mínima edad que uno de ellos puede tener ?
a) 30

b) 11

c) 22

d) 15

e) 25

84. El promedio de 30 números es 41. Si el promedio de dos de ellos es 48. ¿ El promedio de los
restantes es?:
a) 30.5

b) 30.8

c) 40.8

d) 40.5

e) 40.0

85. El promedio de 77 números impares consecutivos es 97. La suma de las cifras del menor de ellos es:
a) 3

b) 2

c) 4

d) 5

e) 6

86. El promedio de 20 números es 40. Si agregamos 5 números, cuyo promedio es 20. El promedio
final es:
a) 30

b) 36

c) 40

d) 46

e) 50

87. Pepe es el doble de rápido que Mario, y Mario es el triple de rápido que César. Si entre los tres pueden
terminar una obra en 12 días; ¿ En cuántos días Mario junto con César harían la misma obra ?
a) 30

b) 29

c) 32

d) 31

e) 33

88. Se quiere embotellar 111 lt. de aceite en 27 botellas; unas de 5 lt. y otras de 3 lt. ¿ Cuántas botellas
más de 5 lt. hay que de 3 lt. ?
a) 3

b) 6

c) 4

d) 5

e) 7

89. Katy al comprar 20 chaquetas, le sobra $ 480; pero al comprar 24 chaquetas; le faltarían $ 120.
¿ Cuánto cuesta cada chaqueta ?
a) 130

b) 145

c) 140

d) 150

e) 155

90. Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5m y que 2m valen $30. ¿ Cuatro varas
costarán?:
a) 30

b) 45

c) 40

d) 50

e) 55

65

RESUMEN TEORICO
SIGNOS.- Los signos que se utilizan para designar desigualdades, son:
> que se lee: “ mayor que “
< que se lee: “ menor que “

≤ que se lee: “ menor o igual que “

≥ que se lee: “ mayor o igual que “
LEY DE TRICOTOMIA EN R .- Dados dos números reales a y b , ellos verifican una y solo una de las
siguientes relaciones:
a=b

“ a igual b “

a>b

“ a mayor que b “

a b

∨

a b
2. a b si

a–b>0

2. Una cantidad a es menor que otra cantidad b , si la diferencia ( a – b ) es negativa, es decir:
a < b si

a–b<0

CLASES DE DESIGUALDADES.DESIGUALDAD ABSOLUTA.- Es aquella que se verifica para todos los valores reales que
se dan a sus variables.

66
Ejemplos: 1. x² + 10 > 0
2. a² + b² + 8 > 0
DESIGUALDAD RELATIVA.- Llamada inecuación, se verifica solo para un cierto
conjunto solución de sus incógnitas.
Ejemplo: 1. 3x – 4 > 0
2. x² - 3x + 1 < 0
RECTA REAL.- Es la recta geométrica donde a cada uno de sus puntos se hace corresponder uno y solo un número
real.
NUMEROS POSITIVOS.- Es aquel conjunto de números mayores que cero. ( x > 0 ).
NUMEROS NEGATIVOS.- Es aquel conjunto de números menores que cero. ( x < 0 ).
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES.1. El sentido de una desigualdad no se altera si se suma o resta una misma cantidad a ambos miembros.
a. Si: x > y →

x+n>y+n

b. Si: x > y →

x–n>y–n

2. Si a los dos miembros de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad
positiva, el sentido de la desigualdad no cambia.
a. Dado x > y ; n > 0

→

b. Dado x > y ; n > 0

→

x.n>y.n

x y
>
n n

3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad
negativa, el sentido de la desigualdad cambia.
a. Dado x > y ; n < 0

b. Dado x > y ; n < 0

4.

→

x.n<y.n

→

x y
<
n n

a. Si a > b y b > c → a > c
b. Si a < b y b < c → a < c

5.

Se pueden sumar desigualdades del mismo sentido, teniendo la desigualdad resultante el mismo sentido.

67
a>b 
m>n +

a.
______ 

a+m>b+n

b.

an

a>b
m<n



a.
________ 

a-m<b-n



b.
_________ 

a-m>b-n

7. Solo se podrán multiplicar desigualdades del mismo sentido y con números positivos y el
sentido de la desigualdad resultante no varía.

Para a , b , c , d > 0

a>b
c<d



x
________ 

a .d > b.d

8. Solo se podrán dividir desigualdades se sentidos contrarios y con números positivos y el
sentido de la desigualdad resultante será el mismo que el del dividendo.

a>b
c<d

Para a , b , c , d > 0

9. a. Si

b. Si

a
> 0 → a .b > 0 ; ( b ≠ 0)
b
a
<0 → a .b< 0
b

10. Siendo a

a. Si



÷
________ 

a
b
>
c
d

y b

1 1
>
a b

del mismo signo, entonces:

→ a<b

68

b. Si

1 1
<
a b

→ a>b

11. a. Para: b > 1; si:

bm > bn

→ m>n

b. Para: 0 bn

a<

a+b
 b →

a<-b

14. Para: b

≥ 0 ; si: a² b

69
EJERCICIOS:
En los ejercicios del 1 al 14 se presentan 2 columnas A y B, las respuestas se tomarán de acuerdo al
siguiente criterio:
a) Si A>B
b) Si B>A
c) Si A=B
d) No se puede establecer
e) No será evaluado
1.

x=0
Columna A

Columna B

x +1
x −1

0

2. El conjunto S consiste de todos los enteros de -50 a 0 incluyendo los extremos. El conjunto T consiste
de todos los enteros de 0 a 50 incluyendo los extremos.
Columna A

Columna B

El número de enteros en

El número de enteros

el conjunto S

en el conjunto T

3.

xo

xo

Columna A

k

Columna B
16

4. La suma de k y 7 es igual a la suma de m y 8
Columna A

k

Columna B

m

70
5. m y p son enteros de 3 dígitos más grandes que 100. El dígito de las decenas de m es 5 y el dígito de
las decenas de p es 7

Columna A

Columna B

m
6.

a>0

y

p

a
=3
b

Columna A

Columna B

a

b

7.

l

xo

xo

yo

Columna A

Columna B

yº

180-2xº

8. R, S y T son dígitos no cero de los números positivos: RS.T y 0.0RST
Columna A
10 × RS.T
10000

9.

Columna B

0.0RST

x, y y z son números primos consecutivos en orden ascendente y x = 2
Columna A

Columna B

1 1 1
+ +
x y z

1

10. El volumen de una esfera con radio r es igual a

4 3
πr
3

Columna A
El volumen de una esfera
de radio 6

Columna B
El volumen total de 2
esferas
radio 3

cada

una

de

71
11. Para todos los números positivos n y k, se define la operación n ⊗ k como: n ⊗ k = (n − k )k .
Adicionalmente: 0 < r < s
Columna A

Columna B

r ⊗s

s⊗r

Columna A

Columna B

12.

a(b − c ) + f

ab − c + f

13. 8 elementos químicos diferentes representan más del 99% de la composición de la corteza terrestre
Columna A

Columna B

El porcentaje de la corteza
terrestre formada de todos los
elementos químicos excepto los

1%

8 mencionados

14.
Columna A

Columna B

El área de un

El área de un

rectángulo con

rectángulo con

perímetro 40

perímetro 60

15. Si 2 < x < 5 y 3 < y < 8 ¿Cuál de los siguientes literales es verdad para x + y ?
a)

1< x + y < 8

b)

2< x+ y <8

d)

3 < x + y < 13

e)

5 < x + y < 13

c)

3< x+ y <8

16. Si n≠0, ¿Cuál de las siguientes opciones debe ser mayor que n?
i)2n

j) n²

a) solo i
e) ninguno de ellos

k) 2-n
b) solo j

c) solo i y j

d) solo j y k

72
17. Si x<x3<x2 ¿Cuál de los siguientes valores puede ser el de x?
a) 5/3

b) 3/5

c) -2/5

d) -5/2

e) ninguno de los anteriores
18. ¿ Cuántos números racionales de la forma a/16 hay entre ½ y 7/8 ?
a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

19. ¿ Cuántos números naturales tiene su raíz cúbica en el intervalo [ 15 , 16 ) ?
a) 721

b) 821

c) 421

d) 521

e) 621

20. El menor valor entero de a que satisface la siguiente relación 3.5 > 0.2(1-4a) > 0.5 es:
a) 4

b) 3

c) -1

d) -4

e) -3

21. x e y son enteros x + y < 11 y x > 6 . ¿Cuál es el valor más pequeño posible de x − y ?
a) 1

b) 2

c) 4

22. Si: -10 < a < -5 ; -2< b < -1 ; 2 < c < 5 ; entonces
a) (1,10)

b) (5,20)

 1 1
 , 
 11 7 

b)

1 1
 , 
5 3

c)

e) -4

d) (1/10,1)

e) (1/20,1/5)

a.b
es:
c

c) (1/5,1/2)

23. Si x pertenece al intervalo (2,4); entonces

a)

d) -2

1
pertenece al intervalo:
2x + 3

1 1
 , 
2 6

d)

 1 3
 , 
 12 4 

e)

 1 1
 , 
 13 6 

24. ¿Para cuántos valores enteros de n el valor de la expresión 4n + 7 será un entero mayor que 1 y menor
que 200?
a) 48

b) 49

c) 50

d) 51

e) 52

25. ¿ Cuál de los siguientes puntos pertenece a la intersección de: x² + y² < 6 y x – 3y < 2 ?
a) ( -2, -1 )

b) ( 2, -1 )

c) ( 0, -1 )

d) ( 1, 3 )

e) ( -1, -1 )

73
26. ¿ Cuál es el mayor entero x para el cual - 2x – 3 > 6 ?
a) - 4

b)

4

c)

3

d) - 5

e) - 2

d) x < 0

e) x = x

27. Si 0 > x , entonces:
a) - x < 0

b) - x < x

c) - x > 0

28. Si se sabe que: 0 < m < n < 1, ¿ Cuál de las siguientes expresiones es la mayor ?
a)

2m/n

b) 2n/m

c)

n/m

d)

n/(m+1)

e) m/(n+1)

29. Si a > 0 , b < 0 , indique lo falso:
a) ab < 0

b)

a+b² > 0

c)

a/b < 0

d)

a-b > 0

e) a < b

30. Hallar un número entero positivo, sabiendo que su quíntuplo más 7 es mayor que 39 y que su cuádruple
menos 4 es menor que 28.
a)

5

b)

6

c)

7

d) 8

e) 9

31. Lucio vende 100 libros, le quedan más de la mitad de lo que tenía, si luego vende 52 le quedan menos
de 50. ¿ Cuántos libros tenía?
a) 201

b) 200

c)

203

d)

210

e) 199

32. Si a > b > c , en el conjunto N se cumple que:
a) a+c < b+c

b) a > b
c

c)

c

a b
>
c c

d)

b

a >

b

c

e) Todas las anteriores.

33. Dar los valores de x para los cuales se verifica la siguiente desigualdad: x² - 1 > 0
a) x > 1 ⋁ x < - 1

b) x > 2

c) 1 > x > 0

d) - 1 < x < 0

e) x > 1 .

34. Si el perímetro de un rectángulo de 10 cm. de largo debe ser menor de 30 cm. , los valores que puede
tomar la altura son:
a) < 10 cm.

b) < 5 cm.

c) < 2 cm.

d) < 15 / 2 cm.

35. Si a = 1/ b ⋀ b ≤ -1, ¿ Cuál es el valor mínimo que a
a) - 1 / 2

b) - 1

c) - 2

d) 0


puede alcanzar ?
e) No se puede determinar.

74
36. El mayor número entero cuyo triple sea menor que 63 es:
a) 16

b) 17

c) 20

d) 21


37. La base mayor de un trapecio tiene por medida 4x – 13 y la base menor 6x – 23 . ¿ Qué valores
puede tomar x ?
a) 5

b) 4

c) 7

d) 6


38. La suma de un número real positivo y su triple no puede sobrepasar a 2. x puede tomar los valores:
a) 0＜x ≤ 1/2

b) 0＜x ≤ 2

c) 0＜x ≤ 3/2

d) 0＜x ≤ 3


39. Una máquina impresora de papel puede imprimir 5000 hojas por hora como máximo. Si en la primera
media hora ha impreso 2000 hojas, ¿En que rango imprime en la segunda hora?
a) 0≤ x ≤ 5000

b) 0≤ x ≤ 2000

c) 0≤ x ≤ 7000

d) 0≤ x ≤ 3000


40. La longitud de un segmento es 3x – 12. ¿ Qué valores puede tomar x ?
a) x ≥ 12

b) x ≥ 3

c) x ≥ 4

d) x ≥ 9


41. A Manuel le dieron a vender una cierta cantidad de patos, vendió 35 y le quedaron más de la mitad.
Luego le devuelven 3 y vende después 18, con lo que le resta menos de 22 patos.

¿ Cuántos patos

le dieron ?
a) 67

b) 68

c) 69

d) 70

e) 71

42. El precio de cierto tipo de fresa puede variar de $2.50 a $3.00 por cada libra y el precio de cierto tipo de
cakes puede variar de $0.80 a $1.10 la docena. Para estar seguro de tener suficiente dinero para
comprar c libras de fresas y r docenas de cakes, ¿una persona necesita al menos cuantos dólares en
términos de c y r?

a)

c+r
3 + 1 .1

c
r
+
3 1. 1
b)

c) 2.5c + 0.8r

d) 3c + 1.1r

e)

(3 + 1.1)(c + r )

43. La diferencia entre un número real positivo y su mitad no puede sobrepasar a 4.5. ¿ Qué valores
tomará x ?
a) 0≤ x ≤ 4.5

b) 0≤ x ≤ 6

c) 0≤ x ≤ 7.5

d) 0≤ x ≤ 9


75
44. Eduardo tiene un cierto número de canicas. Si este número es duplicado y se tira una canica, por lo
menos tendría cinco canicas sobrantes. ¿ Cuantas canicas tenia Eduardo para empezar ?
a) Por lo menos 8

b) Por lo menos 7

c) Por lo menos 4

d) Por lo menos 3


45. En un viaje en canoa remamos durante un día. Si remamos 7 millas al día siguiente, recorrimos por lo
menos 18 millas durante los dos días. ¿ Cuántas millas remamos durante el primer día ?
a) Por lo menos 11

b) Por lo menos 9

c) Por lo menos 7

d) Por lo menos 5


46. Si José pone $ 7 en el banco, tendrá como máximo $ 18. Como máximo, ¿ Cuántos dólares tenía para
empezar ?
a) Tenía como máximo 7

b) Tenía como máximo 18

d) Tenía como máximo 22


47. Si: -5 < x – 3 < -2
a) -3<M<4
48. Si a y b

¿ Entre qué límites está M ? .

b) -7<M<2

c) 1<M<4

c) Tenía como máximo 11

M = x +1
3

d) -4<M<3

e) -1<M<5

son números naturales, además a > b, ¿ Cuál es falsa?
?

a+b
>0
a)
a

a−b
b)
>0
a

a−b
c)
<0
a

d) sólo a) y b)

2a 3 + b a 3
e)
>
a-b
b

49. Si a es un número real positivo tal que a² < a. ¿ Que alternativa es falsa?
a) a³ > a

b) a – 1 < 0

50. Siendo: 4 1

Entre que límites varía ( a – b ):

c) 5 y 9

es un número real:

d) a² > 0

d) 2 y 10

e) 2 y 11

a2
1
≤
4
1+ a
n
c) 4

d) 8

e) 2

76
52. Dado: -12 < x – 14 < - 10 . Hallar ( a + b ) en: 2a < 3x + 4 < 2b
a)

11

b)

13

c) 12

d)

14

e) 10

53. Cinco sumado a un número x da como resultado un número que es mayor que el doble del número
original. ¿ De qué conjunto podría haberse escogido el número original ?
a) x＜5

b) x＜6

c) x＜4

d) x＜2


54. La suma del doble de cierto número y 12 es mayor que cinco veces el número. ¿ Qué números
naturales satisfacen esta condición ?
a) 1, 2, 3, 4

b) 1, 2, 3

c) 4, 5, 6, 7

d) 1, 3, 4


55. Para revelar una película, esta se mantiene entre 68 y 78 grados Fahrenheit ( F ). ¿ Cuál es la
temperatura en grados centígrados ( C ) , si F = 9/5C + 32 ?
a) 30 ≤ C ≤ 35

b) 40 ≤ C ≤ 45

c) 20 ≤ C ≤ 25

d) 10 ≤ C ≤ 15


56. Si un kilo de naranjas contiene de 6 a 8 naranjas, ¿ El mayor peso que puede tener cuatro docenas
de naranjas es? :
a) 4 kg.

b) 3 kg.

57. El valor de x en
a) {0, 8}

59. Al resolver
a) (-20,4)


c) {1, 8}

d) {3, 4}


c) {-8, 8}

d) {3, 4}


d) (3, 4)


x + 6 = 8 es:
b) {-14, 2}

x + 8 < 12 , el intervalo solución, es:
b) (-14, 2)

60. Si: x ∈ (2, 4) , entonces
a) 10

d) 8 kg.

2x - 8 = 8 es:
b) {1, 2}

58. El valor de x en
a) {2, 6}

c) 7 kg.

b) 11

c) (-8, 10)

1
1 1
∈ ( , ). El valor de a + b es:
2x + 3
a b
c) 18

d) 17

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