A regra de Cramer é um método para resolver sistemas lineares com o mesmo número de equações e incógnitas. Calcula-se o determinante da matriz do sistema e os determinantes de cada coluna substituída pelos termos independentes. As incógnitas são os valores dos determinantes divididos pelo determinante geral.

1. A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na
resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.
Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos
calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos
independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de
Cramer que diz:
Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:
x1 = D1
D
x2 = D2
D
x3 = D3 ... xn = Dn
D D
Veja no exemplo abaixo de como aplicar essa regra de Cramer:
Dado o sistema linear , para resolvê-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele possui
3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações.
Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A.
. Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.
D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4
D = 15.
Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma
segunda matriz que será representada por Ax.
. Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx.
Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6

2. Dx = 15
Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay.
. Agora calcularmos o seu determinante Dy.
Dy = -3 + 24 +4 – 9 – 2 + 16
Dy = 30
Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a
matriz Az.
. Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.
Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar
em prática a regra de Cramer.
A incógnita x = Dx = 15 = 1
D 15
A incógnita y = Dy = 30 = 2
D 15
A incógnita z = Dz = 45 = 3
D 15
Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}.
Por Danielle de Miranda Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola
Regra de Cramer
MÉTODO PARA RESOLVER SISTEMA DE EQUAÇÕES
Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
A regra de Cramer é um teorema útil para resolver sistemas de equações. Imagine um sistema de duas
equações a duas incógnitas:

3. Imagina-se que o sistema é uma matriz da qual se deve encontrar o determinante.
Deve-se achar o determinante D dado por:
que é o dos coeficientes das incógnitas.
Para o determinante de x substituem-se seus coeficientes pelos termos independentes, logo:
E analogamente para y:
Segundo a regra de Cramer:
Veja esse exemplo:

4. Usando-se a regra de Cramer:
Logo:
Como sempre, deve-se usar o método que melhor se encaixe no exercício, mas de qualquer maneira é
sempre melhor ter-se mais de um método.
A utilização do método de matrizes para a resolução de n equações a n incógnitas possui na computação
uma grande aliada.
Veja na sua planilha de cálculos favorita o cálculo de matrizes, determinantes e resolução de sistemas.
Matriz identidade e inversa
NA DIAGONAL, VAI O NÚMERO 1
Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
A matriz identidade é uma matriz quadrada na qual todos os elementos da diagonal
principal (elementos de índice aii, ou seja, a11, a22, etc) são iguais a 1.
De segunda ordem :

5. De terceira ordem:
De quarta ordem:
E assim por diante.
Matriz inversa
Dada uma matriz quadrada A, a sua inversa será tal que a multiplicação das matrizes
resulte na matriz identidade, como definido acima.
Por exemplo:
A sua inversa, segundo a definição será:
Multiplicando-se as matrizes:

6. O que dá dois sistemas a duas incógnitas cada:
Resolvendo-se, temos:
Sendo a matriz inversa de A:
Determinante
NÚMERO REPRESENTA MATRIZ
Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Determinante de uma matriz quadrada é um operador matemático que transforma
essas matrizes em um número real.
Para a matriz quadrada de ordem 1 é o próprio elemento:
Se então o

7. Se então o
Note que as barras substituem os parênteses e existe o "det".
Para as matrizes de ordem 2, o determinante é igual à diferença entre o produto dos
elementos da diagonal principal e o produto da diagonal secundária.
Veja:
Dada a matriz
o determinante é
Para determinantes de ordem 3 pode-se usar a regra de Sarrus:
Dada uma matriz de ordem 3:
a) Repetem-se as duas primeiras colunas
b) Multiplicam-se os elementos das linhas paralelas à diagonal principal somando-se
entre si:

8. c) Do total, diminui-se a multiplicação dos elementos das linhas paralelas à diagonal
secundária:
d) Somando-se os seis termos, temos o determinante.
Exemplo:

9. Matriz (2)
OPERAÇÕES
Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
A soma ou subtração de matrizes se dá com a soma ou subtração dos elementos
correspondentes de cada matriz, ou seja, elementos de mesmo índice.
Assim sendo:
e teremos:
Nota: A soma e subtração de matrizes só são possíveis se as matrizes forem do
mesmo tipo (isto é, tiverem o mesmo número de linhas e de colunas). A adição de
uma matriz com a sua oposta resulta em uma matriz nula (todos os elementos são
zero).
E como ficaria a subtração (A-B)?
Multiplicação de número real por matriz
Sendo a matriz
A multiplicação de A pelo número real 6 é:

10. Multiplicação de matrizes
Para uma matriz A ser multiplicada pela matriz B, é necessário que o número de
colunas de A seja igual ao número de linhas de B.
Por exemplo, A do tipo 3x2 e B do tipo 2x2, A do tipo 9x3 e B do tipo 3x1, etc.
A matriz C resultante da multiplicação de duas matrizes A e B terá o número de
linhas de A e o número de colunas de B. Nos exemplos acima temos:
Para o cálculo do produto deve-se multiplicar ordenadamente os elementos de cada
linha de A por cada coluna de B e somando-se os produtos obtidos.
Em uma representação simplificada:
e
Sendo C do tipo 3x2, temos:

11. Acompanhe devagar o valor de cada elemento Cij:
Por exemplo, o elemento C31 é o resultado da soma das multiplicações da linha 3 de
A pela coluna 1 de B.
A fórmula geral dos elementos de C é:
Matriz (1)
DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO
Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas,
durante o ano de 2005:
Português Matemática Inglês Geografia História
1o
bimestre
6,0 3,5 5,0 7,0 5,5
2o
bimestre
4,0 4,5 5,0 8,0 5,0
3o
bimestre
4,5 5,5 5,0 5,0 5,0
4o
bimestre
3,0 6,5 6,0 5,5 7,5
Nada mal, embora ele precise melhorar em matemática e português. Nosso negócio
aqui, porém, é matemática, então repare que cada número tem o seu lugar nesta
tabela.
Se a parte numérica for destacada, a tabela ficará assim:
6,0 3,5 5,0 7,0 5,5

12. 4,0 4,5 5,0 8,0 5,0
4,5 5,5 5,0 5,0 5,0
3,0 6,5 6,0 5,5 7,5
A tabela acima é uma matriz.
Colocando em notação matemática:
Esta matriz é do tipo 4x5, pois tem 4 linhas por 5 colunas.
Representando a matriz B, do tipo 2x3 com elementos genéricos, teremos:
Ou numa representação simplificada:
Onde i é o número da linha e j o número da coluna.
Matriz nula
Matriz nula é aquela em que todos os elementos são iguais a zero:
ou ou .
Matriz oposta
É aquela em que os elementos correspondentes (elementos de mesma posição) são
números opostos, se A é a matriz sua oposta tem a notação -A:
Se
então .
Matriz transposta
É aquela em que as linhas de A viram colunas sendo a notação At
:

13. Multiplicação de matrizes
PROBLEMA RESOLVIDO
Maria Ângela de Camargo*
Especial para a Página 3 - Pedagogia & Comunicação
O número de transistores e o número de alto-falantes usados para montar três
modelos de aparelhos de TV foram especificados em uma tabela.
Modelo
A
Modelo
B
Modelo
C
Nº. de transistores 13 18 20
Nº. de alto
falantes
2 3 4
Vamos chamar este arranjo de matriz das partes-por-aparelho.
Suponha agora que, em janeiro, tenham sido encomendados 12 aparelhos do modelo
A, 24 do modelo B e 12 do modelo C; em fevereiro, 6 aparelhos do modelo A, 12 do
modelo B e 9 do modelo C. Podemos escrever a informação em forma de matriz,
assim:
janeiro fevereiro
modelo A 12 6
modelo B 24 12
modelo C 12 9
Vamos chamar este arranjo de matriz dos aparelhos-por-mês.
Para determinar o número de transistores e de alto-falantes necessários em cada um
dos meses para essa encomenda, é evidente que é preciso usar os dois conjuntos de
informações. Por exemplo, para calcular o número de transistores necessários em
janeiro, multiplicamos cada elemento da 1a linha da matriz partes-por-aparelho
pelo elemento correspondente na 1a coluna da matriz dos aparelhos-por-mês e,
em seguida, somando os três produtos.
Assim, o número de transistores necessários em janeiro é:
13 x 12 + 18 x 24 + 20 x 12 = 828
Do mesmo modo, para calcular o número de alto-falantes necessários em janeiro,
multiplicamos cada elemento da 2a linha da matriz partes-por-aparelho pelo
elemento correspondente na 1a coluna da matriz aparelhos-por-mês e, em seguida,
somamos os produtos obtidos.
Assim, o número de alto-falantes para janeiro é:
2 x 12 + 3 x 24 + 4 X 12 = 144
Para fevereiro, igualmente, primeiro multiplicamos os elementos da 1a linha da
matriz partes-por-aparelho pelos elementos correspondentes da 2a coluna da
matriz aparelhos-por-mês, e somamos para determinar o número de alto-falantes.
Assim, os números de transistores e alto-falantes para fevereiro são,
respectivamente:
13 x 6 + 18 x 12 + 20 x 9 = 474 e 2 x 6 + 3 x 12 + 4 x 9 = 84
Podemos dispor essas quatro somas em uma tabela que chamaremos matriz
partes-por-mês:
janeiro fevereiro
Nº. de válvulas 828 474
Nº de alto-falantes 144 84

14. Agora, como poderíamos representar a operação que fizemos sob a forma de uma
igualdade? Veja:
O que fizemos foi multiplicar a matriz partes-por-aparelho pela matriz
aparelhos-por-mês, para obter exatamente o que queríamos: a matriz partes-
por-mês.
A=
a11 = 13 x 12 + 18
x
24 +20 x 12 = 828
(linha 1 de A com
coluna 1 de B)
a12 = 13 x 6 +
18 x
12 + 20 x 9 =
474
(linha 1 de A
com
coluna 2 de B)
a21 = 2 x 12 + 3 x
24 + 4 x 12 = 144
(linha 2 de A com
coluna 1 de B)
a22 = 2 x 6 + 3
x
12 + 4 x 9 = 84
(linha 2 de A
com
coluna 2 de B)
B =
De vez em quando, você vai se deparar com uma bela questão que ilustra a
aplicabilidade do produto matricial. Pena que, em geral, isso aconteça num momento
tão difícil quanto o do vestibular. De fato, é fácil entender que a soma entre matrizes
só pode ocorrer entre aquelas de mesmo formato, isto é, que apresentam
respectivamente os mesmos números de linhas e colunas.
Porém, de que modo se pode compreender a condição para o produto ou
multiplicação matricial, isto é, o fato de que o número de linhas da segunda matriz
deve ser igual ao número de colunas da primeira matriz?
Bem, se devemos considerar as matrizes como tabelas, o produto matricial pode ser
encarado como um artifício usado para cruzar as informações entre duas tabelas que
apresentam uma informação comum às duas. Por isso, a restrição ao formato das
respectivas tabelas é justamente o que dá a condição do cruzamento de informações.
Veja a seguir alguns problemas de vestibular que apresentam aspectos interessantes
da aplicação desse conceito:
(UERJ 1999 - modificado) João comeu uma salada de frutas com a, m e p porções
de 100g de abacaxi, manga e pêra, respectivamente, conforme a matriz X.

15. A matriz A representa as quantidades de energia (em calorias), mais vitamina C e
cálcio (em mg), e a matriz B indica os preços, em reais, dessas frutas em 3
diferentes supermercados. A matriz C mostra que João ingeriu 295,6 cal, 143,9mg de
vitamina C e 93mg de cálcio. Como calcular o custo dessa salada de frutas, em cada
supermercado?
Vamos começar pelo final. Para calcular o preço da salada de frutas, seria bom que
soubéssemos quantas porções de cada fruta foram escolhidas para montar o prato,
multiplicar essas quantidades pelos respectivos valores em cada supermercado e o
problema estaria resolvido.
Como obter essas quantidades? Observe que a matriz C representa o cruzamento de
informações das matrizes A e X, isto é, você pode desenhar as matrizes A à esquerda
da matriz X e operar o algoritmo que faz o cruzamento dos valores, observando que
o dado comum às duas matrizes é o tipo de fruta:
A=
a11 = 52 a + 64,3m + 63,3p =
295,6 calorias
a12 = 27,2 a + 43m + 3,5p =
143,9 mg de vitamina C
a13 = 18 a + 21m + 15p =
93 mg de cálcio
X =
As 295,6 calorias foram obtidas do abacaxi (52 calorias cada uma das a porções de
100g), da manga (64,3 calorias cada uma das m porções de 100g) e da pêra (63,3
calorias cada uma das p porções de 100g), e assim por diante.
Desse modo, construímos um sistema de três equações com três incógnitas que nos
leva às porções a, m e p das frutas escolhidas.
a = 2 porções, m = 1 porção e p = 1 porção.
O que fizemos aqui? Observe que a combinação das matrizes A e X, nessa ordem,
nos leva aos dados da matriz C. Esse é o momento em que dizemos: vamos
multiplicar as matrizes A e X, e o resultado será a matriz C. Em outras palavras: A . X
= C.
É interessante notar também que, se o cruzamento fosse feito de modo que
tivéssemos de representar a matriz X à esquerda de A, não teríamos significado para
os valores obtidos.

16. Você pode lançar mão de mais um aliado que é a análise dimensional, isto é, cada
elemento das matrizes tem uma "dimensão" ou "unidade" (ex: o elemento a11 da
matriz C vale 52 cal/100g de abacaxi, etc...). Agora vamos achar os preços nos
diversos supermercados. Lembre-se de que os valores a, m e p da matriz A já são
nossos conhecidos. Veja agora que a matriz B mostra quanto custa cada porção de
fruta em um determinado supermercado. Por exemplo: o elemento a11 (linha 1 e
coluna 1) dessa matriz vale R$ 0,15/porção de abacaxi. De novo, podemos combinar
os valores de duas matrizes para obter informações, agora as matrizes X e B, nessa
ordem:
B
=
c11 = preço no supermercado
Comabem =
0,15 x 2 + 0,30 x 1 + 0,40 x 1
=
R$ 1,00
c12=preço no supermercado
Compre Mais =
0,16 x 2 + 0,25 x 1 + 0,45 x 1
=
R$ 1,02
c13= preço no supermercado
Boa Compra =
0,20 x 2 + 0,27 x 1 + 0,35 x 1
=
R$ 1,02
X = =
Se então .
Por isso, se A é do tipo 3x2 a transposta At
é do tipo 2x3.
Matriz quadrada
É aquela que possui o mesmo número de linhas e colunas:
Pode ser 2x2, ou 3x3, ou 4x4, exemplo:
Matriz diagonal
É uma matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal (aqueles de
mesmo índice i e j) são diferentes de zero e todos os outros elementos são iguais à
zero:

17. onde , , .