Matemáticas Octavo Grado

UNIDAD 1

MATEMÁTICA
Unidad 1
OperaciOnes cOn
núMerOs reales y
pOlinOMiOs

Objetivos de la unidad:
Realizarás operaciones con los números reales y la raíz cuadrada,
aplicarás sus propiedades para solucionar problemas de la vida
diaria, valorando el aporte de los demás.
Interpretarás la realidad, valorando el lenguaje algebraico de los
polinomios y propondrás soluciones a problemáticas económicas y
sociales, a través de los productos notables.

Octavo Grado - Matemática 55

Polinomios

estudiarás

Grado Valor numérico Operaciones

de

Números
reales Suma Resta Multiplicación
se dividen en
entre ellos

Racionales Irracionales
Productos
notables
estudiarás

Propiedades Operaciones

de

Suma Resta Multiplicación División

Descripción del Proyecto
En esta unidad profundizarás tus conocimientos sobre los conjuntos numéricos
y nociones de álgebra, iniciados en séptimo grado, que aplicarás en diferentes
situaciones cotidianas, por ejemplo, calculando áreas y volúmenes de figuras y cuerpos
geométricos.
Al finalizar la unidad trabajarás en un proyecto de la vida real, que está relacionado con
áreas y por lo tanto con polinomios.

56 Matemática - Octavo Grado

Primera Unidad Lección 1
núMerOs irraciOnales y reales
Motivación

R osa y Ángela midieron la longitud de la circunferencia y el diámetro, del borde
de un vaso.
Las medidas que tomaron son:
Longitud de la circunferencia = 24.66 cm
Diámetro = 7.85 cm
Ellas encontraron la razón entre estas dos medidas obteniendo:
24.66
= 3.1414012.......
7.85
¿Qué número te recuerda el resultado?

Indicadores de logro:

Determinarás y explicarás el origen de los números Determinarás y explicarás los números reales valorando su
irracionales, valorando su unidad práctica. utilidad en la vida cotidiana.
Mostrarás seguridad al graficar los números irracionales en la Ubicarás gráficamente con precisión los números reales en la
recta numérica. recta numérica.
resolverás con perseverancia ejercicios aplicando los
números irracionales.

Números Irracionales
Observa los siguientes números: ¿Cómo son los decimales obtenidos?
3 3 5 2 5
Estos números no son decimales exactos ni periódicos,
3 ÷1 = = 3, = 0.6 , = 0.625 , = 0.6666..., = 0.454545 como los anteriores, ya que algunos matemáticos han
1 5 8 3 11
calculado muchas cifras y observado que no tienen
a período alguno. Por tanto no se pueden escribir de la
Se han escrito en la forma con a y b números enteros
y b ≠ 0. b a
forma ya que no son números racionales. A estos
b
¿Cómo son los decimales que se obtienen? números les llamamos números irracionales y los
Ahora encuentra con tu calculadora 2 y el valor de π denotamos por Q’.
Seguramente obtuviste los resultados:
Entonces tienes que los números irracionales son los
2 = 1.414213562… números que tienen parte decimal no periódico y
π = 3.141592654… también aquellos que no se pueden expresar como el
cociente de dos números enteros.


UNIDAD 1

El número π (letra griega pi) se utiliza en algunas Uno de los matemáticos de la antigüedad que estudió
fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes. Recordarás los números irracionales fue Pitágoras y lo hizo
que para calcular el perímetro de una circunferencia la midiendo la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1.
fórmula es:
C= π d ó C=2 π r Recordarás, que un triángulo es triángulo rectángulo,
cuando uno de sus ángulos mide 90º, es decir, cuando
El número π (pi) es la relación que hay entre la longitud tiene un ángulo recto.
de una circunferencia (C) y su diámetro (d), es decir:
Observa el cuadrado al trazar una diagonal, se forma un
Longitud de la circunferencia triángulo rectángulo.
π= = 3.14159265...
Longitud del diámetro
e
c
En el ejemplo de motivación el valor de π, no es
d
exacto ya que las medidas son aproximadas. 2
1
Ejemplo 1
Aplicando el número irracional π , encuentra la 1
longitud de la siguiente circunferencia que tiene 23 cm
de diámetro. Es decir:
d2 = 12 + 12 = 2
23 cm Aplicas teorema de Pitágoras
Luego d = 2 = 1.414213…
¿Qué otros ejemplos de números irracionales puedes
Solución: escribir?
C= π d Utiliza una calculadora y encuentra 3 , 6 , y 7
C = 3.14159265... (23cm) = 72.2566309… cm
Los resultados anteriores son del mismo tipo que el de
Generalmente, medidas como la anterior no se expresan 2 , por lo tanto, son números irracionales.
con todos los decimales, sino con dos decimales.
En general, si m es un número natural o cero y n es un
El resultado aproximado es C = 72.26 cm número natural n ≥ 2. Entonces:

  Es un número natural o cero, si la raíz
Punto de apoyo es exacta.

Recuerda que para aproximar a las décimas, se n
m
hace así:
Mayor o igual a 5, se aumenta 1 al decimal anterior.
Es un número irracional, si la raíz no
7.55  7.6
es exacta.
Menor que 5, se deja igual el decimal anterior.
7.54  7.5


UNIDAD 1

Actividad 1
1. Determina cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales. Si es necesario,
utiliza una calculadora.
2 12
a) c) − π e) − g) 36
3 3
b) 4 d) 5 f) 7 h) 18
2. ¿Cuál es la longitud que recorre la rueda de un carro al dar una vuelta completa, si se conoce que el
diámetro mide 22 cm?

Representación de los números irracionales Q´
en la recta numérica
Al igual que los números racionales, los números irracionales también se pueden ubicar
en la recta numérica. Veamos como representar 2 .Necesitas utilizar una regla y un
compás.
Sobre la recta numérica, partiendo de cero, dibuja un triángulo rectángulo, cuyos lados
que forman el ángulo recto midan 1, el otro lado medirá 2 ; luego, con un compás
llevas la medida de 2 , a la recta numérica, a partir de cero.

10

5
0 1 21.4142 2 3

5 5
Actividad 2
Ubica en la recta numérica: 3, 5, 6 y 7

Propiedades de los números irracionales
4
En la recta numérica anterior representastes los números irracionales y te diste cuenta
3
que siguen un orden lógico, así como los números racionales y los números enteros.
Notas que se cumple una de las siguientes condiciones:
2 10
a <b , a >b ó a =b 1 8
Entonces decimos que el conjunto de los números irracionales es un conjunto 6
ordenado.
1 2 3 4 4
-1
-2 2

-3
17.5
21.5
25.5
29.5
33.5
41.5

-4

UNIDAD 1

¿Cuántos números irracionales existen entre 2.236067977... y 2.236067978...?
Observa la recta numérica que construiste, notarás espacios donde encontrarás
algunos de estos números:
2.2360679771..., 2.2360679772..., 2.2360679773..., 2.2360679774..., 2.2360679775...
2.2360679776..., 2.2360679777..., 2.2360679778..., 2.2360679779..., 2.23606797791...
¿Qué puedes concluir?
Entre dos números irracionales diferentes, existe un número infinito de números
irracionales.
Por esta razón, se dice que los números irracionales es un conjunto numérico denso.
El conjunto de los números irracionales también cumple la propiedad de ser un
conjunto infinito.

3 Actividad
1. Entre cada pareja de números irracionales coloca al menos tres números irracionales que estén
contenidos entre ellos:
a) 18 _____ 20 b) 5 ______ 6 c) π ______ 12
2. Escribe entre cada pareja el símbolo >, < ó =, según corresponda:
a) 5 _______ 5
7 ______ π
b) 20 _____7 c)
2

Los números reales

Son el conjunto numérico que resulta de unir los
números racionales y los números irracionales se
denota así:
Q  Q' = 

Q Q' 

El rectángulo anterior representa a los números reales.


UNIDAD 1

Actividad 4
1. Dado los siguientes números, determina cuáles números son racionales y cuáles irracionales:
3 1 2
a) –3.2515769 d) −5 g) 12 j) − m) 3 9 p) 0.80 s) −
5 3 9
b) 0.416666… e) 9 h) 0 k) 0.175 n) 2π q)
1 t) 100
7
12
c) 0.7777… f) i) 33 l) 3 8 o) 0.666... r) 7 u) 3
125
3

Propiedades de los números reales
Recuerda que Q  Q´ =  , representa los números reales.
Es decir, que la unión de ambos conjuntos numéricos, forman el conjunto de los
números reales.
Como Q es infinito y Q´ también es infinito, esto nos dice que los números Reales
son infinitos.
También observamos, que entre dos números irracionales, existe un número infinito
de números irracionales. Igual, entre dos racionales cualesquiera, existe un número
infinito de racionales. A partir de esto, decimos que los números reales son densos.
Y si comparamos dos números reales, a y b podemos obtener una de las siguientes
condiciones:
a < b, b < a ó a = b
Lo que significa que los números reales  , es un conjunto numérico ordenado.


UNIDAD 1

Representación geométrica de los números reales 
Cuando estudiaste los números racionales, aprendiste que a cada uno de ellos le
corresponde un punto en la recta numérica.
¿Lo recuerdas?
Esto mismo sucede con los números irracionales desarrollado en las páginas anteriores.
Como el conjunto de los números reales  , resulta de unir los números racionales y
los números irracionales, a todo número real le corresponde también un punto en la
recta numérica.
Con base a lo anterior, podemos afirmar que a todo punto de la recta, le corresponde
un único número real, de ahí que también se le llama recta de los números reales.
Ahora, presentamos algunos números reales en la recta numérica:
- 1.5 - 0.5 2 2.8 π

-4 -3 -2 -1
−1 — 0 1 1 2 3 4
2 —
4
Tú puedes colocar otros, hazlo.
Para ubicar números en la recta, es conveniente que primero ubiquemos el origen
que se designó con el número cero. Los puntos de la recta a la derecha del origen se
identifican como los números reales positivos  + y los puntos que están a la izquierda
del origen son los números reales negativos  −. Observa:

− +

0
Utilizando la recta numérica, coloca los números −2 y −8, observa:

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
−8 es menor que −2
−8 está ubicado a la izquierda de −2
Veamos este otro ejemplo, en la siguiente recta coloca los números −4.5 y 3.5

- 4.5 0 3.5
3.5 es mayor que −4.5
3.5 está ubicado a la derecha de −4.5
¿Qué puedes concluir?
Que al observar dos números en la recta numérica, el que se encuentra a la derecha de
otro, siempre será mayor.


UNIDAD 1

Actividad 5
1. Grafica una recta numérica y coloca los siguientes números reales.
3 1
− 4, , 7 , 1, 6.5, − 2, , 18 y 3.1
5 8
2. Escribe el símbolo >, <, =, entre cada pareja de números.

a) 3.36 3. 63 d) −8 2

b)
1 1 e) 2 2
2 5
c) −9 −15 f) 4 π

3. Representa en la recta numérica diez números irracionales.

Resumen

El conjunto de los números reales, está formado por la unión de todos los números decimales
exactos, periódicos y no periódicos; es decir que todo número real puede analizarse por
medio de su parte decimal.
Los números reales se pueden representar en la recta numérica. A todo punto de la recta le
corresponde un único número real. Y a todo número real le corresponde un único punto de
la recta numérica.
Q  Q´ =    Infinito

Propiedades de los números  Ordenado

Denso


UNIDAD 1

Autocomprobación

1 Un ejemplo de número irracional es:
3 Una propiedad de los números irracionales es:

a) 0.444… a) Discreto
b) 11 b) Tiene un primer elemento
c) 2.16666… c) Discontinuo
d) –1.6875 d) Ordenado

2 Si b representa un número real y se tiene que
b > 0, de los siguientes números el que representa 4 El par de números reales que cumple con la
relación “<” entre el primero y el segundo es:
a b es:
11
a) , 3 c) π, 5
3 8
a) −1 c) −
5
b) 2, − 4 d) 5, 25
3
b) 0 d)
5

4 .a. 3 .d. 2 .d. 1 .b. Soluciones

π Y LOS EGIPCIOS
Desde tiempos antiguos, los egipcios y
babilonios, sabían de la existencia de la relación
entre la longitud de una circunferencia cualquiera
y la longitud de su diámetro. Esta relación es
representada en la actualidad por π y se lee pi.

Pero, fueron los egipcios quienes alcanzaron una
mejor aproximación de π , que plasmaron en la
pirámide de Gizeh. La relación que existe entre la
mitad del perímetro de la base y la altura de esa
pirámide es el valor que ellos asignaban a π .


OperaciOnes cOn núMerOs reales
Motivación

M aría tiene ahorrado $35.65 y su papá le regala $42.75.
¿Cuánto tiene en total?
Solución:
Para resolver tienes que recordar la suma de números decimales.
Es decir 35.65 + 42.75
Al efectuar la operación se tiene: 35.65
+ 42.75
78.40 El total es $ 78.40

resolverás problemas con seguridad utilizando operaciones
combinadas de números reales y signos de agrupación

Suma y resta de números reales
Con los números reales podemos realizar operaciones 1 2 2 3 5
de suma y resta. Los siguientes ejemplos ilustran. Esto se debe a que = y + =
2 4 4 4 4
Ejemplo 1 5
R: En total René compró litros de leche.
4
1 3
René compró el día lunes litro de leche y el martes Ejemplo 2
2 4
litro de leche. ¿Cuántos litros compró en total? Rosa tiene 2.5 litros de gaseosa y regala 2 litros.
1 3 ¿Qué cantidad de gaseosa le queda?
Efectúa: +
2 4
Solución: Solución:
1 3 La operación es 2.5 − 2.0, esto también puede
Para encontrar la suma de + , dibujamos la recta
2 4 1 escribirse como: 2.5 + (−2.0)
numérica. Partimos de 0, nos desplazamos a la
2 3 Utilizando la recta numérica, nos movemos, a partir de
derecha, partiendo de esta posición nos movemos cero, 2.5 unidades hacia la derecha. Desde este punto,
5 4
siempre a la derecha, llegamos a . nos movemos 2 unidades hacia la izquierda, llegando
4 a 0.5
—1 + — 3 Así es que 2.5 + (−2) = 0.5
2 4
2.5
1 1 2 3
–— 0 — — — 1 — — — 2
5 6 7
1 3 5 4 4 4 4 4 4 4
— +— =— - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
2 4 4


UNIDAD 1

Ejemplo 3 Propiedades de la suma
Ahora efectúa: −
2  4
+ −  de números reales
3  3 1
Solución: Juana para su cumpleaños se come de su pastel y
8
3
Utilizando la recta numérica: A partir de 0, nos reparte entre sus amigas los . ¿Qué cantidad del pastel
4
se comieron?
movemos 2 hacia la izquierda, desde este punto, nos
3
movemos   hacia la izquierda, llegando a −2. Los
4
 
 3
dos movimientos son a la izquierda porque ambos
números son negativos.
4 2
-— -— 3 1
3 La operación a realizar es + y al efectuarla se
3 4 8
3 1 7
obtiene + =
-2 5 4 -1 2 1 0 1 2 1 4 8 8
-— -— -— -— — — 7
3 3 3 3 3 3 R: Se comieron del pastel.
8
2  4 Ejemplo 4
Entonces: − + −  =−2
3  3 Efectúa: 2 + 0
Aplica las reglas de la suma y efectúa: Solución:
a) −15 + (− 23) = 2 +0
5 7
b) − + =
6 12 -1 0 1 2 3
2

Observa A partir de cero te mueves hacia la derecha hasta 2
y luego, no realizas ningún otro movimiento, porque
Reglas para sumar. b) Si ambos signos son al agregar 0, no se efectúa desplazamiento, o sea que te
negativos, la suma es quedas en 2 . Es decir que 2 + 0 = 2
1. Para sumar dos negativa
números reales con el Ejemplo 5
mismo signo: 2. Para dos números
reales de signo Pedro tiene $0.69 y su hermano $0.25. ¿Cuánto tienen
Se suman sus valores diferentes:
absolutos. en total?
Se determina el signo Se restan sus valores Solución:
absolutos, el menor
de la suma: del mayor.
Pedro realiza la siguiente operación 0.69 + 0.25 = 0.94 y
a) Si ambos signos son El signo de la suma es su hermano 0.25 + 0.69 = 0.94
positivos, la suma es el signo del sumando
positiva que tenga el valor Observa que llegan a la misma respuesta, es decir que
absoluto mayor. tienen $0.94


UNIDAD 1

Ejemplo 6 A partir de los ejemplos anteriores podemos observar las
propiedades de la suma con números reales.
Siempre en la recta numérica efectúa 5 + (– 5)
En general para todo a, b, y c ∈  se cumple:
Solución:
5 a+b ∈  Propiedad de cierre o clausura
-5 a+b=b+a Propiedad conmutativa
a + (b + c) = (a + b) + c Propiedad asociativa
-1 0 1 2 3 4 5 6
a+0=0+a=a Propiedad del elemento
identidad de la suma es "0"
Después de dibujar en la recta, partiendo de 0, te
a +( − a) =(− a) + a = 0 Propiedad del inverso aditivo
desplazas 5 unidades hacia la derecha, partiendo de este
punto te desplazas 5 unidades a la izquierda, llegando a 0.
O sea que 5 + (– 5) = 0 Actividad 1
Ejemplo 7 a) Verifica las propiedades conmutativa y asociativa utilizando

Marina tiene 12 libros en su biblioteca, su hermana le los siguientes números:
regala 9 y su tía 7. ¿Cuántos libros tiene en total? 1 3 5
, y
2 4 8
2
b) Raúl está pintando su casa, el viernes pintó los el sábado
1 ¿Qué parte de la casa ha pintado? 5
3
c) Elba está ahorrando para comprar un pastel el día de su
cumpleaños; la primera semana ahorró $2.15; la segunda
$1.90 y la tercera $ 3.34. ¿Cuánto ha reunido en total? Utiliza
la propiedad asociativa para su resolución.

Ejemplo 8
Por la mañana Jorge jugó
a las chibolas y perdió 8.
Por la tarde, volvió a jugar
Solución: y perdió 4. ¿Cuántas
Si efectuamos la suma tenemos: chibolas perdió en total?

a) Al sumar primero los b) Al sumar en el orden
que le regalaron: en que se los regalaron: Solución:
12 + (9 + 7) (12 + 9) + 7 Si a ganar le asignamos un signo positivo, perder será
12 + 16 21 + 7 negativo porque es lo contrario.
28 28
La operación a efectuar es −8 – 4
Observa que llegamos al mismo resultado. − 8 − 4 = −12
R: Marina tiene 28 libros en total. R: Jorge perdió 12 chibolas en total.


UNIDAD 1

Ejemplo 9 En general, la resta se define así:a − b = a + (− b)
2 3
Efectúa: − –
5 10
2 3 7 Solución:
Solución: − – =−
5 10 10 La operación planteada es –6 – (–8) esto equivale a
Ejemplo 10 sumar el opuesto de −8, que es 8.
Efectúa: –6 – (–8) Es decir: – 6 – (–8) = −6 + 8 = 2

2 Actividad
1. Resuelve las siguientes situaciones:
a) Un vehículo saliendo de San Salvador, viaja hacia el oriente, después de recorrer 86 km, gira para desplazarse hacia el poniente y
recorre 120 km. ¿A qué distancia del punto de partida se encuentra el vehículo?
b) Un grupo de jóvenes deciden escalar el volcán de Santa Ana. Primero, suben 30 m; después 25 m, luego descienden 12 m; después
suben 18 m y por último bajan 23 m. ¿A qué distancia del pie del volcán se encuentran los jóvenes?

Multiplicación de números reales
Desde los primeros años de estudio aprendiste Solución:
cómo multiplicar números positivos, ya sea enteros,
fraccionarios o decimales. Deuda, se representa con signo negativo (–); por lo
tanto, para averiguar su deuda debes efectuar:
Ejemplo 11
(–2.75) (7) ¿Cuál es el resultado?
(–2.75) (7) = – 19.25.
Roxana compra 8
cuadernos, si cada uno R: Doña María debe $19.25.
tiene un precio de $3.45,
¿cuánto tiene que pagar? Ejemplo 13
Si se efectúa:  −   − 
5 2
  
 7  3
¿Qué resultado obtienes?
Solución:
10
Solución:  − 5   − 2  =
  
La operación a realizar es 3.45 × 8  7   3  21
Al operar se tienen que 3.45 × 8 = 27.60. Observa que los ejemplos anteriores aplica lo siguiente:

R: Roxana tiene que pagar $27.60 a) El producto de dos   (+) × (+) = +
números reales que tienen
Ejemplo 12 el mismo signo es positivo. (−) × (−) = +
A doña María, le llegan a comprar 7 de sus clientes y no b) El producto de dos   (+) × (−) = −
tiene cambio, entonces a cada uno le queda debiendo números reales de distinto
$2.75 ¿Cuánto debe doña María? signo es negativo. (−) × (+) = −


UNIDAD 1

Propiedades del producto de números reales
La multiplicación así como la suma, cumple con ciertas propiedades. En general para a, b y c ∈ 

Propiedades En simbolos Ejemplos
3 3 9
Cierre o clausura ab ∈ R × =
4 5 20
(−5)(2.3) = (2.3) (−5 )
Conmutativa ab = ba
− 11.5 = −11.5
Efectúa: (−2.4) (−7.3) (6)
[(−2.4) (−7.3)] (6) = (−2.4) [(−7.3)(6)]
Asociativa a (b c) = (ab) c
(17.52)(6) = (−2.4) (−43.8)
105.12 = 105.12
Elemento identidad (a) (1) = (1) (a) = a 3 × 1=3, 1 × 5=5, −4 × 1= −4

1 1  1 1
Elemento inverso (a) ( ) = ( ) (a) = 1, 3  = 1 , ( 5 ) = 1
multiplicativo a a  3 5
con a ≠ 0
Efectúa 5 (4 + 7) y (5 × 4) + (5 × 7)
Distributiva del producto 5 (4 + 7) = (5 × 4) + (5 × 7)
a (b + c) = ab + ac
sobre la suma 5 × 11 = 20 + 35
55 = 55

División de números reales

Resuelve las siguientes situaciones:
Ejemplo 14 Ejemplo 15
Rocío, tiene la mitad de una sandía y la quiere repartir Cinco hermanos deben $755.76. Ellos pagarán partes
en partes iguales, entre 6 de sus amigas. ¿Qué parte de la iguales ¿cuánto cancelará cada uno?
sandía le tocará a cada una?
Solución:
Solución:
1 La operación a realizar es −755.75 ÷ 5
Plantea la operación: ÷6 Al efectuarla se obtiene que:
2
1
Ahora recuerda cómo efectuar esta operación: − 755.75 ÷ 5 = −755.75 × = − 151.15
5
1 1 1 1 R: Cada uno pagará $ 151.15
÷6= × =
2 2 6 12
1
R: A cada una le tocará de la sandía.
12


UNIDAD 1

Ejemplo 16
Efectúa: a) – 24 ÷
5
b) – 72.48 ÷ – 6.25
Observa
6
Solución: Al dividir 0 entre cualquier número real diferente
5 6 144 de cero el resultado es cero (0)
a) – 24 ÷ = – 24 × = − Al dividir cualquier número entre cero el resultado
6 5 5
es indeterminado o indefinido.
−72.48
b) =11.5968
−6.25

Observa
3 Actividad
Efectúa las siguientes operaciones:
Que a y b son números reales y b ≠ 0. La operación  3  5
a)   ÷   d) 0.876 ÷ 0.15
división se denota por a ÷ b y se define como a 1  4   8
b b) 87 ÷ 2 e) – 6.75 ÷ – 3

c) 146 ÷ 3 f) 123 ÷ − 4
En los ejemplos anteriores se cumple:
Signos de agrupación
a) El cociente de dos números
  (+) ÷ (+) = +
reales que tienen el mismo Como la suma y la multiplicación son operaciones
signo es positivo. (−) ÷ (−) = + asociativas, cuando tenemos expresiones como esta:
3 + 5 + 2, están perfectamente determinadas y podemos
b) El cociente de dos números   (+) ÷ (−) = − operar agrupando así: 3 + ( 5 + 2 ) = 3 + 7 = 10
reales de distintos signo Pero si tenemos la expresión 5 + 8 × 4 y efectuamos:
es negativo. (−) ÷ (+) = −
Primero la suma: Primero la multiplicación:

Casos de particular importancia 5+8×4= 5+8×4=
0 13 × 4 = 52 5 + 32 = 37
a) ¿A qué es igual ?
8
Partiendo de lo anterior tenemos que 0 ÷ 8 =? ¿Cuál es el resultado correcto?

¿Qué número multiplicado por 8 resulta cero? 8 × _ = 0 Para evitar confusiones, cuando hay más de una
Solo 0, es decir que 0 ÷ 8 = 0 porque 8 × 0 = 0 operación se debe respetar la jerarquía de las
0 operaciones.
Entonces: = 0
8 15
b) Qué sucede con 15 ÷ 0; o sea: Observa
0
15 La jerarquía de las operaciones es: primero se efectúan
Si = x, entonces (0) (x) = 15 ¿Cuál es el valor de “x”?
0 las multiplicaciones o divisiones, luego las sumas
Como 0, multiplicado por cualquier número es 0, o restas.
entonces; no existe solución para 15
0 Cuando se quiere establecer el orden en que se tiene
0 que realizar las operaciones, utilizamos los signos de
c) ¿A qué es igual ?
0 agrupación, como paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }


UNIDAD 1

Ejemplo 17
Efectúa: 3 + [8 – (3 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12
Solución:
Como hay varios signos de agrupación, comenzaremos con los interiores. Observa
3 + [8 – (6 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12 = 3 + [8 – (24) + (11) + 7] – 12
= 3 + [8 – 24 + 11 + 7] – 12 Al suprimir los signos de agrupación
= 3 + [2]−12 que están precedidos del signo
= 5 − 12 +, se dejan las cantidades con su
=−7 respectivo signo pero si están
precedidos por el signo "–" se cambia
Ejemplo 18 el signo a dichas cantidades.
Efectúa: − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] −1}
Solución:
– {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] –1} = − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + 8 – 2 × 4] –1}
= – {8 + 4 – [30 + 2 + 8 – 8] –1}
= − {8 + 4− [32] −1}
= − {8 + 4− 32 −1}
= −{−21}
= 21

Actividad 4 Resumen
a) Un comité que organiza una fiesta necesita 3 globos por cada
una de las 8 mesas. Necesitan también 21 globos por cada una
de las 4 paredes del salón. Para otra decoración necesitan 15 En esta lección estudiaste las operaciones aritméticas aplicadas
globos y otra persona solicita 10 globos más. ¿Cuántos globos en los números reales y algunas de sus propiedades, así como la
necesitan en total? utilización de los signos de agrupación.

Propiedades Suma Multiplicación
Cierre o clausura si si
Conmutativa si si
Asociativa si si

Propiedades Suma Multiplicación
Distributiva no si respecto a la suma
Elemento identidad 0 1
Efectúa las siguientes operaciones: Elemento inverso −a 1
b) 3 × 4 + {8 + 7 – [5 × 4 + 3 – 12 ÷ 2 + (4 – 2 × 5)]} a
c) – 4 + 7 – {6 × 2 + 8 + (4 × 5 – 9 + 3) – 15} + 2


UNIDAD 1

Autocomprobación

1 Doña Berta tiene $2.20 y lo reparte entre sus 4
hijos. ¿Cuánto le toca a cada uno? 3 El día de su cumpleaños, a Rosa le regalan un pastel,
comparte con sus amigas los
2
del pastel, con sus
2 1 5
a) $ 0.54 hermanos y con sus vecinos. ¿Qué cantidad de
10 4
b) $0.55 pastel se comieron?
c) $0.054 a)
5 c)
17
d) 55 10 20
5 8
b) d)
20 10

2 Efectúa:
3+8–5×4+7–6÷3 4 Efectúa: 40 − 15 ÷ 5 − (3 × 7 + 4 − 20)

a) – 4 a) 24
b) 4 b) 32
c) 8.3 c) − 32
d) 0 d) 0

4. b. 3. c. 2. a. 1. b. Soluciones

SISTEMAS NUMÉRICO INDIO Y LAS OPERACIONES
Los modernos algoritmos de cálculo fueron
posibles gracias a la introducción de los
números árabes y la notación decimal
posicional. Los números árabes, basados en la
aritmética, fueron desarrollados por los grandes
matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta
y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación
posicional, dando diferente valor a un número
dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta
añadió el cero al sistema numérico indio.
Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta,
multiplicación y división, basadas en los
números arábigos.


pOlinOMiOs
Motivación
a) Los elementos de un monomio son coeficientes y variables.
Monomio Coeficiente Variables
−6 a5 b2 c3 −6 a5 b 2 c 3
0.14 m−1 n3 0.14 m−1 n3
x2 y 1 x2 y
b) Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios.

2
Así: m 3 n 2 + 5m 2 n − m , − 8 x 3 + 27 y 3 son polinomios.
3

identificarás, determinarás y explicarás el grado absoluto y resolverás con seguridad sumas y restas de polinomios que
relativo de un polinomio con seguridad. contienen signos de agrupación.
resolverás problemas aplicando el valor numérico
con confianza.

Grado absoluto y relativo de un monomio y de un polinomio
Identifica los elementos del monomio: 3x3y. Solución:
Ahora, determina el exponente de x y el de y.
Seguramente, lo primero que hiciste fue encontrar el
Al sumar los exponentes de ambas variables grado absoluto de cada término así.
obtenemos 4. Este número define el grado absoluto
del monomio. 3x + 2x2 y + 7x 3 y2

Los exponentes de las variables x e y determinan el Grado 1 Grado 3 Grado 5
grado relativo respecto a cada una de ellas.
Entonces tenemos que el monomio 3x3y es de cuarto Diremos que el polinomio es de quinto grado.
grado absoluto y el grado relativo respecto a “x” es tercer
grado y respecto a “y” es de primer grado. Porque, el grado absoluto de un polinomio está dado por
el mayor grado absoluto de sus términos.
A continuación identificarás el grado absoluto y relativo
en polinomios. Para el grado relativo con respecto a sus variables,
tomarás el mayor valor de los exponentes de esa variable.
Ejemplo 1
Así con respecto a x es de grado tres y con respecto a y es
3x + 2x2y + 7x 3 y2 de grado dos.


UNIDAD 1

Ejemplo 2 Para encontrar el área sustituimos el valor de x en la
expresión dada, Así:
Encuentra el grado absoluto y relativo del polinomio:
1 1 3x2 = 3(15)2 = 3(225) = 675
8x 6 − 7 x 5 + x 4 − x 3
2 3 El área es de 675 cm2
Solución:
Evaluar una expresión algebraica significa hallar el valor
El grado absoluto es 6 y el relativo es 6 porque sólo hay numérico, mediante la sustitución del valor asignado a la
una variable, no especificamos respecto a que variable lo variable.
hemos encontrado.

1 Actividad Observa

La variable representa un valor numérico
Dados los siguientes polinomios, indica su grado absoluto y su
grado relativo con respecto a cada una de sus variables. cualquiera que pertenece a los números reales.

a) 3 x 5 − 4 x 3 + x − 8
b) 4 a 5b − 7a 4b 3 − 8ab 4
Ejemplo 3
1 8 7 7 5 5 6 4 Evaluar la expresión: –8x5y2 para x = – 3, y = 3?
c) m + mn − mn
3 8 9 Solución:
Escribe un ejemplo de:
Al encontrar su valor numérico tenemos:
d) Polinomio cuyo grado absoluto sea 10.
e) Binomio de primer grado absoluto. (– 8)(–3)5 (3)2= (–8) (–243) (9) = 17496
f) Trinomio de cuarto grado absoluto y de tercer Ejemplo 4
grado respecto a x.
Encuentra el valor numérico de la expresión:
3 x 3 + 2 x 2 y − 3 xy 2 para x = −2 , y = −1
Valor numérico
Solución:
A Mario le interesa saber cuál es el área de una tira de
papel; si está dada por 3x2 y además el valor de x es Sustituimos los valores asignados a las variables:
de 15 cm.
3 x 3 + 2 x 2 y − 3 xy 2 = 3(–2)3 + 2(–2)2 (–1) – 3 (–2) (–1)2

= 3(-8) + 2 (4) (–1) – 3 (–2) (1)
= –24 – 8 + 6
= –26


UNIDAD 1

Ejemplo 5 Solución:
¿Podrías evaluar la siguiente expresión? Para encontrar el perímetro de una figura geométrica se
suman las longitudes de todos sus lados.
2a 2b 2 + 3ab − 7a Para a = −3 , b = 2
Entonces, en nuestro caso, tendríamos que:
Solución:
2a 2b 2 + 3ab − 7a = 2( −3 )2 ( 2 )2 + 3( −3 )( 2 ) − 7( −3 ) x + (2x) + (x + 1) + (x + 2) = (x + 2x + x + x) + (1 + 2)
= 72 − 18 + 21 = 5x + 3
= 75
Ejemplo 7

Actividad 2 Efectúa: (2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4)
Solución:
Evalúa las siguientes expresiones para:
Agrupa los términos semejantes:
a = –2, b = 3, m = –1, n = 2, p = 4 y x = 1
(2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4) = (2x2 +3x2) + (3x – 5x) + 4
a) amp – 5bx
= 5x2 + (–2x) + 4
b) 3a2bx3 + 7m2np
= 5x2 – 2x + 4
c) 6b2m3 – 7n2px5
Otra forma puede ser escribir un polinomio debajo del
d) 7ab + 5m5n2 – 8px
otro. Colocando los términos semejantes en la misma
e) 2ab − 8mn + 8 px columna. Así para el ejemplo anterior tenemos:
f) 9m 2 x 4 − 8a 2 p − 5b 3 m 5 2x 2 + 3x
3x 2 − 5x + 4
5x 2 − 2x + 4
Suma de polinomios
Los siguientes ejemplos te ilustrarán la forma de sumar Ejemplo 8
polinomios. 1 1 5 1 3 1
Suma: m 3 + m 2 − m con m 3 − m 2 + m
2 4 6 6 8 3
Ejemplo 6
Encuentra una expresión algebraica para el perímetro de Solución:
la figura dada. 1 3 1 2 5
m + m − m
2 4 6
x
1 3 3 2 1
m − m + m
6 8 3
4 3 1 2 3
x+2 m − m − m
x +1 6 8 6
Para expresar el resultado debemos simplificar las
fracciones, y se obtiene:
2 3 1 2 1
m − m − m
2x 3 8 2


UNIDAD 1

Ejemplo 9
Suma los siguientes polinomios:
7a2 – 9a3 + 5a – 4; 8 + 2a3 – a; 3a3 + 2 – 6a – 4a2
Solución:
Al observar los polinomios dados, te das cuenta en cada uno que el orden de la parte
literal es diferente, entonces lo primero que debes hacer es ordenarlo, ya sea en forma
ascendente o descendente respecto al exponente.
En este caso, podrías ordenar en forma descendente respecto a la variable a es decir,
que el exponente de a vaya disminuyendo así:
– 9a3 + 7a2 + 5a – 4
2a3 –a +8
3a3 – 4a2 – 6a + 2
– 4a3 + 3a2 – 2a + 6

Ejemplo 10
Suma 0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3; 0.19mn3 + 0.86m2n – 0.68m3n
Solución:
0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3
– 0.68m3n + 0.86m2n + 0.19mn3
– 0.43m3n + 0.46m2n + 0.89mn3

3 Actividad

Efectúa las siguientes sumas de polinomios:
a) 7x + 5x3 – 6x4; 5 + 3x3 + 4x + 8x4

b) a5 + 3a2 + 2a; 6a3 – 5a4 + 3a; a4 – 8a2 – 4a5 –2a3

c) 7b3 – c3; 7c3 – 9bc; 4b3 + 2b – 5bc

d) 8m4n + 3m2n3 – 7mn4; 6n5 – 7m4n + mn4 – 3m2n3
4 3 3 2 5 3 7 2
e) y + x y − x y2 ; x2 y + x y2 − y
9 8 6 4 3 3


UNIDAD 1

Resta de polinomios
Observa los siguientes rectángulos:
2x + 1 x+3 Perímetro de A: 6x + 2
x A x B Perímetro de B: 4x + 6

Encuentra la diferencia del perímetro del rectángulo de la figura A y el rectángulo de la
figura B?
(6 x + 2) − ( 4 x + 6 )
Elimina los signos de agrupación y utiliza la ley de los signos, entonces obtienes:
6x + 2 - 4x - 6 = 2x - 4

Relaciónalo con la resta de números reales, puedes ver que es una suma del minuendo
con el inverso aditivo del sustraendo.
Ejemplo 11
De 8a5b – 5a4b2 resta 5a5b + 3a4b2
Solución:
(8a5b – 5a4b2) – (5a5b+3a4b2)
Elimina los paréntesis:
8a5b – 5a4b2 – 5a5b – 3a4b2 = 3a5b – 8a4b2
Utiliza el mismo proceso que en la suma, colocarlo uno debajo del otro, así:
8a5b – 5a4b2 → Minuendo.
–5a5b – 3a4b2 → Inverso aditivo del sustraendo .
3a5b – 8a4b2 → Diferencia.
Ejemplo 12
Resta 13xy4 + 5x2y3 – 9x3y2 de 6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2
Solución:
¿Cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo?
El polinomio que está después de la palabra “de” indica el minuendo.
Ahora realizamos la operación: 6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2
–13xy4 – 5x2y3 + 9x3y2
–7xy4 – 12x2y3 + 14x3y2
Observa que a todos los términos del sustraendo se les cambia de signo.


UNIDAD 1

Ejemplo 13
3 6 1 5 5 4 7 3 3
De: m + m − m resta m 6 − m 5 − m 4
5 2 8 10 8 4
Solución: 3 6 1 5 5 4
m + m − m
5 2 8
7 3 3
− m6 + m5 + m4
10 8 4
1 7 1
− m6 + m5 + m4
10 8 8

4 Actividad
a) Resta 0.5 x 3 − 0.75 x 2 + 0.6 x de 0.83 x 3 − 0.55 x 2 + 0.16 x

b) Resta a 4 − 15ab 3 + 20a 2b 2 − 18a 3b de a 4 − 5a 2b 2 − 18ab 3 − a 3b
3 3 1 2 5 1 3 3 2 2
c) De m − m + m resta m − m + m
4 2 6 2 4 3
m +1
d) De 3 x − 8 x m +2 + 5 x m +3 resta 7 x m +1 − 6 x m +2 + 3 x m +3

Signos de agrupación en expresiones algebraicas
Escribe la siguiente expresión algebraica suprimiendo el
signo de agrupación: 4 x + 5 y + ( 3 x − 2 y ) . Observa que
el paréntesis está precedido por el signo +, entonces:
4 x + 5 y + (3x − 2 y ) = 4 x + 5 y + 3x − 2 y Observa
Al operar se tiene: Si los signos de agrupación están precedidos por el
4 x + 5 y + (3x − 2 y ) = 4 x + 5 y + 3x − 2 y signo más, se suprime, dejando los términos con
su respectivo signo. Pero si el signo es menos, al
= 7x + 3 y suprimirlo, los términos que estaban encerrados
cambian de signo.
Ahora mira este otro ejemplo:
¿Cómo simplificas ?
3x +  5x − 2 y − (3x + 4 y ) − 9x + y 
 
Suprime signos de agrupación:
3 x +  5 x − 2 y − ( 3 x + 4 y ) − 9 x + y  = 3 x + [ 5 x − 2 y − 3 x − 4 y − 9 x + y ]
  

= 3x + 5x − 2 y − 3x − 4 y − 9x + y  
= −4 x − 5 y
Primero suprimes el paréntesis y luego el corchete. Es decir de adentro hacia fuera.


UNIDAD 1

Ejemplo 14
Simplifica: 5a 3 + ( 8a 2 − 6 a 3 − 4 )
Solución:
El signo de agrupación va precedido del signo +
5a 3 + ( 8a 2 − 6 a 3 − 4 ) = 5a 3 + 8a 2 − 6 a 3 − 4
= −a 3 + 8a 2 − 4
Ejemplo 15
Simplifica: 2m + n − ( 5m − 6 n )
Solución:
El signo de agrupación está precedido del signo −:
2m + n − ( 5m − 6 n ) = 2m + n − 5m + 6 n
= −3m + 7 n

Actividad 5
Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

{( ) (
a) m + − 7 m − 5mn + −4 n + mn − − m − mn
2 2 2 2
) ( )}
{
b) 3 x − − x +  −5 y + − x +
 ( y )− 3 y  + 6x
 }
[
c) − −7a + 4 − ( 3a + 2 − 5a ) + 8 − a + 2a − 7 ]
[
d) 8b − 3 + 4b − ( 9b − 6 ) + 5 − 2b ]

Resumen

Tanto en monomios como en polinomios podemos encontrar el valor absoluto y relativo, lo mismo
que su valor numérico de acuerdo al valor asignado para cada variable, si hay signos de agrupación
se deben suprimir. Para suprimir signos de agrupación es importante tomar en cuenta el signo que
lo precede, si el signo es “+”, los términos que están contenidos no cambian su signo, pero si el signo
es “–”, entonces el signo de cada término cambia y para reducir la expresión se debe tomar en cuenta
que sólo se pueden sumar o restar los términos semejantes.


UNIDAD 1

Autocomprobación

1 Al evaluar la expresión 3m 3 n − 5m 2 n 3 + 2mn 2
para m = −2 y n = 3 lo que se obtiene es: 3 El grado absoluto y relativo respecto a x de la expresión
8 x 2 y 5 + 7 x 3 y 6 − 3 x 4 y 7 respectivamente es:

a) −522 a) 7 y 4
b) 522 b) 11 y 4
c) −648 c) 11 y 7
d) 630 d) 7 y 7

2 Al efectuar
(3x 2
+ 7 x − 5) + ( 4 x − 6 + 6 x
3 2 3
) resulta: 4 Resta 6 a 5b − 8a 3b 2 − 7ab 3 + 2b 4 de
3b 4 + 6 a 3b 2 − 2a 5b + 5ab 3

a) x 3 − x +1 a) −8a 5b + 14 a 3b 2 + 12ab 3 + b 4
b) − x 3 + x − 1
b) −8a 5b + 14 a 3b 2 − 12ab 3 − b 4
c) 7 x − 13 x 3 − 11
c) 4 a 5b − 2a 3b 2 + 12ab 3 − 5b 4
d) 13 x 3 + 7 x 2 − 11
d) −4 a 5b + 2a 3b 2 + 2ab 3 + 5b 4

4. a. 2. d. 3. b. 1. c. Soluciones

¿DE DÓNDE VIENE LA PALABRA ÁLGEBRA?
La palabra Álgebra procede del árabe y significa
restauración y reducción. De esta manera
se denominó a la forma extraña de escribir
matemáticamente con letras y números, puesto
que una misma magnitud puede añadirse o
sustraerse de una igualdad de dos cosas y por
otra parte, podemos reducir el número de cosas
siempre que sea posible.
Los babilonios escribían sus letras y signos con
unos punzones sobre tablas de barro que luego
cocían para que no se perdiera lo escrito. Algunas
de esas tablas se han encontrado recientemente
y nos han permitido saber lo listos que eran
nuestros antepasados de Babilonia.


pOtencia De expOnentes enterOs y
MUltiplicación De pOlinOMiOs
Motivación
Una señora tiene varias bolsas con naranjas, en la primera
tiene 2, en la segunda el doble de la primera, en la tercera el
doble de la segunda, en la cuarta el doble de la tercera y en
la quinta el doble de la cuarta, ¿cuántas naranjas tiene en la
quinta bolsa?
¿Qué planteamiento realizarías?
Podría ser el siguiente:
Primera = 2
Segunda = 2 × 2
Tercera = 2 × 2 × 2
Cuarta = 2 × 2 × 2 × 2
y en la quinta = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 que es 25= 32
R: Tiene 32 naranjas en la quinta bolsa.

resolverás problemas aplicando las propiedades de los Demostrarás confianza al resolver problemas aplicando la
exponentes enteros, con seguridad y confianza. multiplicación de polinomios.

Potencias de exponentes enteros
En Aritmética estudiaste lo que es una potencia y las Esto mismo es aplicable en algebra. Por ejemplo:
leyes de los exponentes. m 5 = m .m .m .m .m
Observa y completa: 5 factores

a) (24)(32) = (2 × 2 × 2 × 2)(3 × 3)
= 16 × 9 En general: Donde:
= 144
an = a. a. a. a. a..... a
a n exponente
{

b) 3 4 = × × × =
c) (−5)3 = × × = n factores base

d) 71 =


UNIDAD 1

Ejemplo 1 Ejemplo 3
Un cubo tiene una arista Aplica la propiedad y efectúa:
de longitud x .
x x a) (m5) (m3)
¿Cuál es el volumen?
b) (b7) (b−4)

Solución:
Propiedades con exponentes (m5) (m3) = m5+3 = m8
Los siguientes ejemplos te ilustrarán las propiedades con (b7) (b−4) = b7+(-4) = b3
exponentes.
Ejemplo 4
Teniendo en cuenta que:
an = a.a....a El profesor de matemática invita a sus estudiantes a
n veces redactar problemas utilizando potencias.
 

(3)(3)(3)(3)(3) = (3)5 = 243 María comparte el de ella y dice así:
En un canasto hay 28 naranjas y se tiene que repartir
(3)3(3)2 = (3)3 + 2 entre 26 estudiantes. ¿Cuántas naranjas le corresponde a
(27)(9) = (3)5 cada uno?

243 = 243 Solución:
La operación a realizar es: 28 ÷ 26
Observa 28 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= = 2 × 2 = 22

2 6
2×2×2×2×2×2
En general: 8 − 6 = 2 factores
a m .a n = a m + n 2 8
Para multiplicar potencias que tienen la misma base, Es decir que: 6 = 28−6 = 22 = 4
se escribe la misma base y se suman sus exponentes. 2
R: A cada uno le tocan 4 naranjas.
Ejemplo 2
Efectúa: ( a 4 )( a 2 ) Observa
Solución: am
Al efectuar n para a ≠ 0 , se tiene a
m −n

(a )(a ) = (a .a .a .a )(a .a )
4 2
= ( aaaaaa ) = a 6 a
Para dividir potencias de la misma base, diferente
4 2 4 + 2 = 6 factores de cero, se escribe la misma base y se restan
factores factores sus exponentes.
Para darle solución al ejemplo 1, recordamos que el
volumen del cubo se encuentra multiplicando el valor de
la arista tres veces, es decir: Veamos ahora que sucede cuando el exponente del
divisor es mayor que el dividendo.
x .x .x = x 3

3 factores


UNIDAD 1

Aplica esta conclusión y efectúa.
Observa m7
7
= y 4÷ y 4 =
m
El exponente negativo resulta cuando el exponente Ejemplo 7
del numerador es menor que el exponente del
denominador: Encuentra: 23 × 33
a m m −n
=a Solución:
an
Y podemos decir que: a − n = n
1 23 × 33 = ( 2 × 2 × 2 )( 3 × 3 × 3 ) = 8 × 27 = 216
a 3 factores 3 factores
La base 2 y la base 3 están elevadas al mismo exponente
Ejemplo 5 por lo que se puede escribir así:
x2
Efectúa: 23 × 33 = (2 × 3)3 = 63 = 6 × 6 × 6 = 216
x6
Solución: Esto significa que 23 × 33 = (2 × 3)3 = 216
x2 x .x 1 1
6
= = = 4
x x .x .x .x . x . x x .x .x .x x
Observa
a m m −n
Y si aplicas la propiedad: =a
2
an En general: ( ab )n = a n b n
x 1
Tienes: 6 = x 2−6 = x −4 por lo tanto: 4 = x −4
x x
Observa este caso: Verifica las siguientes igualdades:
Ejemplo 6 a 5b 5 = ( ab )5 ; ( xy ) = x 6 y 6 ; ( mnp ) = m 8 n 8 p 8 ;
6 8

Efectúa: 33 ÷ 33 [(a + b )c ]−2 = (a + b )−2 c −2 ; (3xy )
2
= 32 x 2 y 2 = 9 x 2 y 2
Solución:
33 3 × 3 × 3 1
3 ÷3 = 3 =
3 3
= =1
3 3×3×3 1
33 27
También podemos decir que: = =1
33 27
Al aplicar la propiedad de dividir potencias de la misma
base tenemos:
3 3 3− 3 0
=3 =3
33
¿Qué concluyes? Toda cantidad elevada a la cero es igual
a uno.

Observa

En general para : a ≠ 0 a 0 =1


UNIDAD 1

Ejemplo 8
3
Encuentra:  
5
 
 7
Solución:
 5  5  5  5 5× 5× 5 5
3 3 3
53
Entonces:   = 3
5
  =      =
 7  7  7  7 7×7×7 7
= 3  
 7 7
3 factores 3 factores

Ejemplo 9
5
m
Efectúa:  
 
n
Solución:
5 5 5 5
 m   m   m   m   m   m  m .m .m .m .m m  m m
=          =
        = 5 Entonces:   = 5
n n n n n n n .n .n .n .n n n n

Ejemplo 10
3
3ab 
Efectúa: 

 2mn 
 Observa
Solución: nn
a a
 3ab  3 a b
3 3
27a b 3 3 3 3 En general:   = n Para b ≠ 0
  = 3 3 3= 3 3 b b
 2mn  2 m n 8m n
Ejemplo 11
Rosa tiene limones en un canasto . Su hijo que estudia octavo grado dice que son
(24)2 limones. ¿Sabes tú cuántos limones tiene Rosa?
Solución:
Aplicando los conocimientos sobre potencias, tenemos:
(2 ) = 2 4 × 2 4 = ( 2 × 2 × 2 × 2 )( 2 × 2 × 2 × 2 ) = 16 × 16 = 256
4 2

4 factores 4 factores
¿Cuántas veces hemos multiplicado el 2 por sí mismo? Se verifica que son 8 veces.
Entonces: ( 2 4 ) = 2 4×2 = 28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256
2

R: Rosa tiene 256 limones.
Ejemplo 12 Observa
4
2 
Efectúa:  m 4 n −2 
3 
En general : (a )
m n
= a mn
Solución:
4
 2 16 16 −8
  (m ) (n ) = m n
4 4 −2 4
 3 81


UNIDAD 1

Actividad 1
Aplica las propiedades de los exponentes según corresponda en cada caso y encuentra el resultado:
 ( a 3 )2 
0 2
 x5  b7
a)
 y2  c) ( xy ) −3
e) 5 (
g) 3 x − 2 y )
0
i)  
  b  m 
6
 
5
 5× 2
3

d) ( x + y )a  f)
4
m .m −5
3
3  a3 
b)   h)
 a −2  j) 
 3× 7 
a −5  

Multiplicación de polinomios Multiplicación de monomio
Iniciemos recordando la multiplicación de monomios.
por polinomio
Ejemplo 13
Observa el siguiente rectángulo:
Carlos tiene una pintura de forma rectangular con las
dimensiones que aparece en el dibujo y quiere calcular el
área que cubrirá en la pared.
x

2x
2x
¿Cuál es su área?
Sabes que A = bh (base por altura)
Al sustituir por los valores que tiene el rectángulo dado,
3x + 2
tenemos que:
Solución:
A = (2x)(x)
El área del rectángulo se calcula así A = bh
Procedemos a multiplicar los coeficientes con su
respectivo signo: Planteando la operación: A = (3x + 2) (2x)
(2 × 1) = 2 Observarás que son expresiones algebraicas que
conocemos como monomios y polinomios.
Luego la parte literal:
Para realizar la operación, multiplica el monomio por
x . x = x2 cada uno de los términos del polinomio, luego suma
Entonces resulta que: (2x)(x) = 2x2 algebraicamente los productos resultantes así:

R: Su área es 2x2 unidades cuadradas. A =(3x + 2)(2x) = (3x) (2x) + (2) (2x) = 6x2 + 4x
R: El área de la pintura es 6x2 + 4x unidades cuadradas.


Matemáticas Octavo Grado

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (20)

Ähnlich wie Matemáticas Octavo Grado

Ähnlich wie Matemáticas Octavo Grado (20)

Mehr von Elizabeth Hz

Mehr von Elizabeth Hz (6)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

Matemáticas Octavo Grado