Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

1. Matemáticas Avanzadas ll
Métodos Numéricos
Por: Yesica Lizbet Altamirano Morales
Diana Laura Ochoa Gallegos
Profesor: Gerardo Edgar Mata Ortiz
Torreón Coahuila 23/Marzo/2015

2. Datos Históricos
• La historia del análisis numérico data de los tiempos antiguos. Los
babilonios, 2000 años a. C. compusieron tablas matemáticas. El famoso
astrónomo Alejandrino Claudio Ptolomeo (aprox 150 d. C.) poseía unas
efemérides babilónicas de eclipses que databan del año 747 a. C.
Arquímedes, en el año 220 a. C., usó los polígonos regulares como
aproximaciones del círculo y dedujo las desigualdades 7 1 71 10 3 < π < 3 .
El trabajo de cálculo numérico desde entonces hasta el siglo XVII fue
centrado principalmente en la preparación de tablas astronómicas. El
advenimiento del álgebra en el siglo XVI produjo una renovada actividad en
todas las ramas de la Matemática, incluyendo el análisis numérico.

3. • En 1614, Neper publicó la primera tabla de logaritmos, y
en 1620, los logaritmos de las funciones seno y tangente
fueron tabuladas son siete cifras decimales. Hacia 1628
habían sido calculadas tablas de logaritmos con catorce
decimales de los números 1 al 100,000. El cálculo en
series empezó a florecer hacia fines del siglo XVII, con el
desarrollo del cálculo. A principios del siglo XVIII Jacob
Stirling y Brook Taylor sentaron los fundamentos del
cálculo de diferencias finitas, que ahora desempeña un
papel central en el análisis numérico. Con la predicción
de la existencia y la localización del planeta Neptuno por
Adam y Leverrier en 1845, la importancia científica del
análisis numérico quedó establecida de una vez y para
siempre. A fines del siglo XIX, el empleo de las máquinas
de cálculo automático estimuló más aún el desarrollo del
análisis numérico. Tal desarrollo ha sido explosivo desde
la terminación de la Segunda Guerra Mundial a causa del
progreso en las máquinas de cálculo electrónicas de alta
velocidad. Las nuevas máquinas han hacho posibles gran
número de importantes logros científicos que antes
parecían inaccesibles. El arte de calcular, que es distinto
a la ciencia del cálculo, se basa en cálculos numéricos
precisos y detallados por lo que también toma en cuenta
precisión y exactitud así como los errores y la
comprobación de los resultados.

4. 1.1 Definición de métodos numéricos, su importancia y
el porqué.
“Son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse
usando operaciones aritméticas”
Los métodos numéricos se utilizan para:
• Solución de sistemas de ecuaciones lineales
• Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales
• Encontrar un valor por medio de tablas: interpolación
• Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando una
curva: ajuste de curvas.
• Integración numérica de una función
• Solución numérica de ecuaciones diferenciales

5. Tipos de Métodos Numéricos
Existen diversos tipos de métodos numéricos algunos de
ellos son:
1.Método de Bisección.
2.Método de Regula False (falsa posición).
3.Método de Newton.
4.Método de Newton Raphson.
5.Método de la secante.
En la siguiente presentación explicaremos algunos de
ellos.

6. Método de la secante
Un problema potencial en la implementación del método de New ton Raphson
es la evaluación de la derivada. En casos complejos, la derivada se puede
aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrás

7. Ejemplo:
x F(X)
-2 -3
-1 -1
0 -5
1 -3
2 17

9. X1 X2 Xs f(X1) f(X2) m f(Xs)
1 2 1.15 -3 17 20 -1.44075
1.15 2 1.21640931 -1.44075 17 21.695 -0.610549103
1.21640931 2 1.24357602 -0.6105491 17 22.4741684 -0.24495
1.24357602 2 1.25432038 -0.24495 17 22.7979947 -0.09610855
1.25432038 2 1.25851234 -0.09610855 17 22.9268819 -0.037379206
1.25851234 2 1.26013913 -0.03737921 17 22.977293 -0.014488067
1.26013913 2 1.26076913 -0.01448807 17 22.9968752 -0.005608074
1.26076913 2 1.26101291 -0.00560807 17 23.0044615 -0.002169669
1.26101291 2 1.26110722 -0.00216967 17 23.0073975 -0.000839241
1.26110722 2 1.26114369 -0.00083924 17 23.0085333 -0.000324599
1.26114369 2 1.2611578 -0.0003246 17 23.0089727 -0.000125543
1.2611578 2 1.26116326 -0.00012554 17 23.0091426 -4.85552E-05
1.26116326 2 1.26116537 -4.8555E-05 17 23.0092083 -1.87791E-05
Este valor
es nuestra
nueva Y1
Como podemos darnos cuenta hablar de métodos numéricos conlleva a
elaborar una gran cantidad de tablas como la que se muestra anteriormente en
donde encontrar el resultado conlleva muchas operaciones que ahora se
pueden hacer mediante programas de computo.

10. Método de bisección
• Es una función continua sobre el
intervalo (a,b) y si f(b)<0 entonces f
debe tener un cero de signo en el
intervalo (a,b) y por lo tanto tiene
por lo menos un cero de intervalo.
• El método de bisección consiste en
dividir el intervalo en dos
subintervalos de igual magnitud,
reteniendo el subintervalo en donde
f cambia de signo, para conservar al
menos una raíz o cero y repetir el
proceso varias veces.

11. • Paso 1
Graficamos los valores para obtener la grafica y con esta ver donde se
encuentra la posible solución esto es donde se presente un cambio de
signo.
x y
-2 -3
-1 -1
0 -5
1 -3
2 +1
7
Hay un cambio
de signo, se
tomarán estos
valores para el
siguiente paso

12. • Paso 2
Elaborar la tabla de bisección tomando en cuenta los valores de X1 y
X2 como se había mencionado
x y
1 -3
2 +1
7
X1
x2
X1 X2 Xm F(X1) F(Xm)
1 2
TABLA DE BISECCIÒNTABLA DE BISECCIÒN

13. • Paso 3
Para obtener el valor de Xm se promedian los valores de X1 y
X2
• Paso 4
El valor de f(X1) utilizaremos la función inicial (2x3
+3x2
-3x-5), en
la cual se sustituirá en X el valor de X1(2(1)3
+3(1)2
-3(1)-5)
X1 X2 Xm F(X1) F(Xm)
1 2 1.5
X1 X2 Xm F(X1) F(Xm)
1 2 1.5 -3

14. • Paso 5
Para obtener este valor se hace el mismo procedimiento que para
f(X1) pero en este caso el valor que se sustituirá en (x) será el de
Xm
(2(1.5)3+3(1.5)2-3(1.5)-5)
• Paso 6
Para la segunda fila se tomara en cuenta el signo que se presente en
f(xm).
• Si el signo es diferente a f(x1), se tomarán los valores de
x1 y xm,
• Si el signo es igual se tomarán los valores de xm para x1
y x2
Se hace el mismo procedimiento para las demás filas.
X
1
X
2
X
m
F(X1
)
F(X
m)
1 2 1.5 -3 +4

15. Método de Newton Raphson
1. Este método, el cual es un método iterativo, es uno
de los más usados y efectivos. A diferencia de los
métodos anteriores, el método de Newton-Raphson
no trabaja sobre un intervalo sino que basa su
fórmula en un proceso iterativo.

16. Para resolver este método
tendremos la siguiente función.
x y
-3 7
-2 2
-1 -1
0 -2
1 -1
2 2
3 7
Hacemos tabulación dando valores en X para obtener valores de Y

17. x0 y0 m x1
2 2 4 1.5
1.5 0.25 3 1.416666667
1.4166666666667 0.006944444 2.83333333 1.4142156862745100
1.4142156862745 6.0073E-06 2.82843137 1.4142135623746900
1.4142135623747 4.51061410445E-12 2.82842712 1.4142135623730900
1.4142135623731 0.0000000000000 2.82842712 1.4142135623730900