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Skriptum

  1. 1. Stand: September 2005StatikSkriptum Internet: www.loisidis.com 1
  2. 2. VorwortZur Ablegung der Befähigungsprüfung für dasbewilligungspflichtige gebundene Baumeistergewerbe bzw.das Zimmermeistergewerbe sind umfangreiche Kenntnisseauf den Gebieten Mathematik/Darstellende Geometrie, Statikund Entwurfslehre u. a. erforderlich. Das Fachgebiet Statikumfasst die Baustatik einschließlich der Festigkeitslehre unddie Bemessungsverfahren im Stahl-, Holz- undStahlbetonbau.Die Einteilung der Unterkapitel aus Statik undFestigkeitslehre ist an die Vortragsreihe gebunden, kannaber hie und da leicht davon abweichen. Dieses Skriptumsoll nicht die eigene Mitschrift ersetzten, besonders weilBeispiele fehlen, die zum Verständnis einen nützlichenBeitrag leisten, sondern dem interessierten Leser eineVertiefung und Verfestigung des erworbenen Wissensgewähren. Zu diesem Zweck wurde im Anhang eineLiteraturliste angefertigt, die einen schnellen und leichtenZugang zu den einzelnen Problemstellungen ermöglicht.Hochgestellte Fußnoten markieren die Zugehörigkeit undbilden gemeinsam mit dem Literaturverzeichnis ein sehrnützliches Nachschlagewerk.Innsbruck, im September 2005 Dipl.-Ing. Emanuel Loisidis 2
  3. 3. Inhaltsverzeichnis:Allgemeines _____________________________________________ 5I. Statik der festen bzw. starren Körper_____________________ 15 I.1. Kraftsysteme________________________________________________16 I.1.1 zentrales ebenes Kraftsystem ______________________________________ 16 I.1.2 algemeines ebenes Kraftsystem ____________________________________ 18 I.2. Graphische Behandlung ______________________________________21 I.3. Statisch bestimmte Träger _____________________________________22 I.3.1 Arten der Auflagerung _____________________________________________ 22 I.3.2 Träger auf zwei Stützen ____________________________________________ 22 I.3.2.1 Bestimmung der Auflagerreaktionen _______________________________________ 22 I.3.2.2 Die inneren Kräfte ( Schnittkräfte ) ________________________________________ 23 I.3.3 Gerberträger (Gelenksträger) _______________________________________ 24 I.3.4 Dreigelenkbogen _________________________________________________ 25 I.3.4.1 graphische Behandlung des Dreigelenksbogen ______________________________ 25 I.3.4.2 rechnerische Behandlung des Dreigelenksbogen _____________________________ 26 I.4 Fachwerke ___________________________________________________27 I.4.1 graphische Behandlung ____________________________________________ 27 I.4.2 rechnerische Behandlung __________________________________________ 28 I.5 Ermittlung statischer Bestimmtheit_______________________________31 I.6 Statische Berechnung __________________________________________33 I.7 Statisch unbestimmte Systeme __________________________________34 I.7.1 Winkler_________________________________________________________ 34 I.7.2 Clapeyron (Dreimomentengleichung) _________________________________ 34 I.7.3 CROSS, Iterationsverfahren ________________________________________ 35 I.7.4 Kraftgrößenmethode ______________________________________________ 38 3
  4. 4. II. Festigkeitslehre ______________________________________ 40 II.1. Einführung, Allgemeines ______________________________________40 II.2. Elastizitätstheorie____________________________________________41 II.3. Bemessungsverfahren________________________________________43 II.3.1 Geometrisch bedingte Größen ______________________________________ 43 II.3.1.1 Schwerpunkt ________________________________________________________ 43 II.3.1.2 Trägheitsmoment ____________________________________________________ 43 II.3.1.3 Trägheitsradius ______________________________________________________ 44 II.3.1.4 Polares Trägheitsmoment______________________________________________ 45 II.3.1.5 Deviationsmoment (Zentrifugalmoment)___________________________________ 45 II.3.1.6 Widerstandsmoment __________________________________________________ 45 II.3.2 Spannungsnachweise_____________________________________________ 46 II.3.2.1 Normal- und Schubspannung ___________________________________________ 46 II.3.2.2 Einaxiale Biegespannung ______________________________________________ 46 II.3.2.3 Zweiaxiale Biegespannung _____________________________________________ 46 II.3.2.4 Einaxiale Biegespannung und Normalspannung ____________________________ 47 II.3.2.5 Zweiaxiale Biegespannung und Normalspannung ___________________________ 47 II.3.2.6 Kernfläche eines Querschnittes _________________________________________ 47 II.3.2.7 Versagen der Zugzone ________________________________________________ 48 II.3.2.8 Schubspannung _____________________________________________________ 48 II.3.3 Stabilitätsnachweis (Knickung) _____________________________________ 49 II.3.3.1 Knicken ____________________________________________________________ 50 II.3.3.2 Biegeknicken________________________________________________________ 50 II.3.4 Gebrauchstauglichkeitsnachweis (Biegelinie)___________________________ 51 II.3.5 Torsion ________________________________________________________ 52 II.3.5.1 Stäbe mit Kreisquerschnitt____________________________________________ 52 II.3.5.2 Rechecksquerschnitt II.3.5.3 Dünnwandige Walzprofile _________________ 52 II.3.5.4 Dünnwandige Hohlquerschnitte________________________________________ 52 II.3.5.4 Dünnwandige Kastenquerschnitte______________________________________ 52 4
  5. 5. BAU-/ ZIMMERMEISTERKURS Mathe und DG Statik Entwurf Kaufm.,... Statik Festigkeitslehre Stahlbetonbau Stahlbau Holzbau TiefbauDas zentrale ebene KS Einführung, Allg. Einleitung, Allg. Einführung, Allg. Grundlagen, Allg. Das allg. ebene KS Geometr. bed. Größen Bewehrter Beton Verbindungsmittel Verbindungsmittel Stat. best. Träger Elastizitätstheorie Beanspr. auf Druck Beanspruchungsarten Grundlagen Fachwerke Beanspruchungsarten Biegung m. Längskr. Brandschutz zentr. DruckErmittlung stat. Best. Stützenfüsse BiegungStatische Berechnung Brandschutz Biegung u. Querkr.Stat. unbest. Systeme Biegung m. Längskr.Wasser- und Erddruck Flachdecken Fundamente Sonderfälle Träger u. Scheiben 5
  6. 6. Statik Lehre vom Gleichgewicht der KräfteWozu dient sie? - Wirtschaftliche Bemessung von Tragwerken (wird immer wichtiger) - Bestimmung von Formänderungen (Kontrolle ob zulässige Werte überschritten werden) 6
  7. 7. BauwerkFür den Menschen zur Nutzung und zum SchutzBesteht aus: - Abdeckung (Haut, Fassade) - Tragwerk tragende Struktur, für die statische Berechnung am wichtigsten - Ausbau für die Lastaufstellung von Bedeutung, Komfort - Boden (Gründung) Wirkung des Bodens auf das Tragwerk! 7
  8. 8. Tragwerk Für die Ableitung der Kräfte und Lastenkann eben oder räumlich ausgebildet sein. - Stabwerk Stäbe sind biegesteif miteinander verbunden - Fachwerk Stäbe in den Knoten gelenkig miteinander verbunden - Flächentragwerk Scheiben, Platten und Schalen; aufwendig bei Berechnung 8
  9. 9. Baustatik Statik der Baukonstruktionenunterteilt sich in - Stabstatik für uns am bedeutendsten - Flächenstatik Berechnung meist mittels EDV, FE - Programme - Statik auf Körper Kontinuumsmechanik, z.B. bei Flüssigkeiten ⇒ räumlicher Spannungszustand (erheblicher Mehraufwand)Ihrer Handhabung nach unterscheidet man: - Graphische Statik Seileckkonstruktionen, Stützlinienermittlung bei Bögen, usw. - Rechnerische Statik - Starrkörperstatik ohne Berücksichtigung der elastischen Formänderung - Elastostaik mit Berücksichtigung der elastischen Formänderung - Graphische und Rechnerische Verfahren - Experimentelle Statik Modellversuche, Dehnungsmessungen, Spannungsoptik 9
  10. 10. Einwirkungen Direkte Einwirkung (mechanisch)Lasten: Kräfte: - Massenkräfte - Freie Kräfte statisch und dynamisch - Schwerkräfte - Abspannkräfte ruhend und veränderlich - Eigengewicht - Wind - Nutzlast - Anfahrkräfte - Verkehrslasten - Fliehkräfte - Schnee - Erdbeben Indirekte Einwirkung (nicht mechanisch, geometrisch) - Feuchte - Temperatur - Strahlung 10
  11. 11. Geschichtliche Entwicklung NaturwissenschaftenChemie Physik Biologie ... Mechanik Bewegung von Körpern und der damit verknüpften Kräften Statik Dynamik Körper in Ruhe und Körper in im Gleichgewicht Bewegung Kinematik Kinetik Bewegungslehre Bewegungen und Kräfte NORMEN DIN ÖNormen Deutsches Institut ... für Normung EC Eurocode 11
  12. 12. ÖNormen Formalnormen Planungsnormen Verfahrensnormen Vertragsnormen Werkstoffnormen ÖNORMEN B 3350 B 4000 B 4100 B 4400 EC 3 B 4700Wände aus Ziegeln Belastungsannahmen Holzbau Erd- und Grundbau ÖNorm ENV 1993-1-1 Stahlbetonbau B 4600 B 4010 B 4430/1 Stahlbau Eurocode-nahe Eigenlasten v. Bauteilen Flächengründungen Berechnung u. Bemessung B 4011 B 4430/2 Teil 2 B 4710-1 Lagergüter Pfahlgründungen Berechnung d. Tragwerke Betonherstellung B 4012 / B 4016 B 4431 Teil 3 Nutzlasten im Hochbau Setzungsberechnungen Wöhlerfestigkeitsnachweis B 4013 B 4432 Teil 4 Schnee- und Eislasten Grundbruchberechnungen Stabilitätsnachweis B 4014 Teil 7 Statische Windkräfte Ausführung d. Stahltragw. B 4015 Teil 11 Erdbebenkräfte Schraubenverbindungen 12
  13. 13. ÖNormen A B Allgemeines Bauwesen C E Chemie Elektrotechnik F GFeuerlösch- u. GrundstoffeRettungswesen H K Haustechnik Krankenhaus- einrichtung L MLand- u. Forst- Maschinenbau wirtschaft O S Optik Sonstige Normengebiete V ZVerkehrswesen Arbeitssicher- heitstechnik 13
  14. 14. EUROCODE EC 1 EC 2 EC 3 EC4Lastannahmen Stahlbetonkonstr. Stahlkonstruktion Verbundbau EC 5 Grundlagen der stat. Grundregeln des Holzkonstruktionen Berechnung Stahlbetonbaues EC 6 Annahmen über den Stahlbetonbrücken Mauerwerksbau Brandwiderstand EC 7 Lastannahmen für Konstruktionen aus Grundbau Silos und Tanks unbewehrtem Beton Verkehrslasten von Leichbeton EC 8 Straßenbrücken Konstruktionen Bauen in erdbeb.gef. G. Verkehrslasten von Vorspannung ohne EC9 Eisenbahnbrücken Verbund Aluminiumkonstruktion Schneelast Brandsicherheitstechn. Annahmen Vorkehrungen Windlast Annahmen ..... Erddruck, Wasserdr., Eisdruck, ... ..... 14
  15. 15. Begriffe: Statik, Bauwerk, Tragwerk, usw. 1Geschichtliche Entwicklung 2Normen 3I. Statik der festen bzw. starren KörperGrundgesetze (Newton´sche Axiome): 1. Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird den Zustand zu ändern. 2. Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der Kraft proportional, d. h. Kraft ist Masse mal Beschleunigung F = m * a. 3. Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich. Dieses Reaktionsprinzip besagt, dass Kräfte immer paarweise auftreten (Aktion = Reaktion).Die Kraft: R Sie ist eine vektorielle Größe und ist gegeben durch F - Betrag WL - Richtungssinn - Lage der WirkungslinieEine Kraft, wie die Schwerkraft z.B., kann längs der Wirkungslinie beliebig verschobenwerden. Es ist nur von Interesse zu wissen, wo die Kraft am Körper angreift. DieserPunkt wird als Angriffspunkt bezeichnet. Die so genannte Einzelkraft ist nur eineIdealisierung von Volumskräften und flächenhaft verteilten Kräften. DieseIdealisierung stimmt aber bei kleinen Angriffsflächen gut mit der Wirklichkeit überein.VEKTOR „gerichtete Größe“SKALAR „nicht gerichtete Größe“, Zahl + Einheit (z.B. 1 kg oder 4 €)Einheit der Kraft: 1 Newton (N) 1 N ist jene Kraft, die der Masse 1 kg die Beschleunigung 1 m/s2 erteilt. 15
  16. 16. Gruppen von Kräften nennt man KRAFTSYSTEME.Wir unterscheiden: a) ebene Kraftsysteme, (2-D) b) räumliche Kraftsysteme, (3-D)Haben alle Kräfte eines Systems ein und denselben Angriffspunkt (dieWirkungslinien sämtlicher Kräfte gehen durch einen Punkt), so sprechen wir voneinem zentralen Kraftsystem.Ist das nicht der Fall, so sagen wir es liegt ein allgemeines Kraftsystem vor.I.1. KraftsystemeI.1.1 zentrales ebenes Kraftsystemgrafische Behandlung: Körper F1 F1 F2 R F2 R Lageplan Kräfteplan Kräfteparallelogramm Krafteck 16
  17. 17. Körper F1 F1 F2 F4 F2 F3 R R1,2 F3 R1,2,3 R F4 Lageplan Kräfteplan Kräfteparallelogramm KrafteckBei der Reduktion eines zentralen ebenen Kraftsystems sind zwei Ergebnissemöglich.1. Das Kraftsystem reduziert sich auf eine einzelne Kraft, das bedeutet das Krafteckist offen.2. Das Kraftsystem ist im Gleichgewicht, d.h. Krafteck ist geschlossen R = 0.Drei Kräfte sind nur dann im Gleichgewicht, wenn sich ihre Wirkungslinien ineinem Punkt schneiden.rechnerische Behandlung:Zerlegung von Kräften wird notwendig. Der Ursprung des Koordinatensystems wirdim Schnittpunkt der Kräfte angenommen.Ein zentrales ebenes Kraftsystem ist im Gleichgewicht wenn, R = 0, das ist dann derFall, wenn sowohl Ry als auch Rz Null sind. Die Gleichgewichtsbedingungen lautendaher ∑F iy =0 ∑F iz =0 17
  18. 18. I.1.2 allgemeines ebenes Kraftsystemgrafische Behandlung:Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Resultierende eines solchen Kraftsystems zuermitteln.1. Mit Hilfe von Teilresultierenden, diese Methode ist aber nur begrenzt möglich Körper F1 F1 F3 F2 F2 R R R1,2 F3 Lageplan Kräfteplan Kräfteparallelogramm Krafteck2. Mit Hilfe des Seilecks, dazu zeichnet man für die Kräfte Fi das Krafteck aus dem sich bereits Größe und Richtung von R ergeben. Nun wählt man einen beliebigen Punkt 0, welcher Pol des Kraftecks genannt wird und zieht von diesen die Verbindungslinien zu sämtlichen Eckpunkten des Kraftecks. Diese Verbindungslinien werden Polstrahlen genannt. Nun zeichnet man im Lageplan die Parallelen zu den Polstrahlen, welche Seilstrahlen heißen nach folgender Regel. Wenn zwei Polstrahlen im Kräfteplan (Krafteck) eine Kraft einschließen, dann schneiden sich die Parallelen im Lageplan auf dieser Kraft. Der Schnittpunkt des ersten und letzten Seilstrahles ist ein Punkt der Wirkungslinie von R. Der Polygonzug der Seilstrahlen im Lageplan der dabei entsteht wird Seileck4 genannt. 18
  19. 19. Körper Polstrahlen 0 F1 SeilstrahlenF1 F3 3 0 1 F2 2 R F2 R 1 2 Pol F3 3Lageplan KräfteplanSeileck – „offen“ Krafteck – „offen“ Körper Seilstrahlen Polstrahlen F2 1 2 0 F1 2 F2 F1 0 1 PolLageplan KräfteplanSeileck – „offen“ Krafteck – „geschlossen“ Körper Polstrahlen 0 F1 SeilstrahlenF1 F3 3 0 1 4 F2 2 F4 F2 1 2 Pol F3 3 4 F4Lageplan KräfteplanSeileck – „geschlossen“ Krafteck – „geschlossen“ 19
  20. 20. Die Reduktion eines allgemeinen ebenen Kraftsystems kann zu folgendenErgebnissen führen:1. Krafteck offen und Seileck offen ergibt eine Resultierende (Einzelkraft)2. Krafteck geschlossen und Seileck offen ergibt ein Kräftepaar (Drehmoment)3. Krafteck geschlossen und Seileck geschlossen bedeutet, es herrscht GleichgewichtEine wichtige Anwendung findet das Seileck bei der graphischen Bestimmung derAuflagerreaktionen und des Momentenverlaufes an einem Biegeträger.5Moment einer Kraft: Körper M = F ⋅a [ Nm ] S a FMoment eines Kräftepaares: F a M = F ⋅a [ Nm ] -FKräftepaare die das gleiche Moment haben sind gleichwertig, d.h. das Produkt ausKraft mal Abstand bleibt gleich. F ⋅a = K ⋅b [ Nm ] F a K b -F -KBeliebig viele Kräftepaare können durch ein einziges ersetzt werden, dessenMoment M gleich der algebraischen Summe der Momente Mi der einzelnenKräftepaare ist. n M 1 + M 2 +...+ M n = ∑ M i = M i =1 20
  21. 21. rechnerische Behandlung:Wir wählen einen beliebigen Reduktionspunkt O und machen diesen zum Ursprungeines Koordinatensystems, dann zerlegen wir sämtliche Kräfte Fn in x und yKomponenten und denken uns sämtliche Kräfte nach O parallel verschoben.Das dabei entstehende Moment verschiebt die Resultierende um den Abstand a. M a= [ Nm/N ] oder [ m ] RI.2. Grafische BehandlungErmittlung des Kraftecks und das Seileckverfahren sind der Mitschrift zu entnehmen.Eine große Bedeutung kommt der grafischen Behandlung bei der Ermittlung derStabkräfte eines Fachwerks zu (siehe Kapitel I.4 Fachwerke). 21
  22. 22. I.3. Statisch bestimmte TrägerI.3.1 Arten der Auflagerung - bewegliches Auflager - festes Auflager - eingespannte AuflagerI.3.2 Träger auf zwei Stützen Stabachse A BI.3.2.1 Bestimmung der Auflagerreaktionena) grafische Lösung F F B A A B F2 0 F1 A F1 0 1 A Pol S S B F2 1 B 2 2 S … Schlusslinie 22
  23. 23. b) rechnerische Ermittlung der AuflagerreaktionenAuflagerreaktionen und Lasten müssen ein Kraftsystem bilden das im Gleichgewichtist. Für dieses Kraftsystem müssen daher die drei Gleichgewichtsbedingungen erfülltsein. ∑F iy =0 ∑H =0 i ∑F iz =0 ∑V = 0 i ∑M i = 0 ∑M =0 iDa wir mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen sämtliche unbekannteAuflagerkräfte bestimmen können, sagen wir - Der Träger ist statisch bestimmt.I.3.2.2 Die inneren Kräfte ( Schnittkräfte ) F2 F1 F3 A Stabachse Schnitt s – s B an der Stelle x F2 F1 M(x) M(x) F3 N(x) N(x) A Stabachse V(x) V(x) x B N ... Normalkraft V, Q ... Querkraft sind Schnittkräfte M ... Moment an der Stelle x(s) (In Wirklichkeit gibt es keine drei Wirkungen sondern nur eine Einzige).Ein Moment ist positiv, wenn die Zugfasern unten sind (bei Rahmen innen Zugist). 23
  24. 24. I.3.3 Gerberträger (Gelenksträger) F1 F2 F3 G A Stabachse Stabachse B C ∑H i = 0 ∑V i = 0 ∑M i = 0 ∑M G = 0 F3 GH GV Einhängeträge r F2 C F1 GV GH A Grundträger BDurch den Einbau von Gelenken werden die Träger statisch bestimmt! Der Grad derstatischen Unbestimmtheit von Durchlaufträgern entspricht der Anzahl derInnenstützen (gleich Anzahl der erforderlichen Gelenke).6 24
  25. 25. I.3.4 Dreigelenkbogen/ -rahmenDer Vorteil des Dreigelenkbogens7 liegt in seiner Unempfindlichkeit gegenüberVerschiebungen des Widerlagers und seiner Zwängungsfreiheit beiWärmeeinwirkungen. Es treten somit keine Zusatzspannungen auf. F2 G F3G .......... Scheitelgelenk F1A, B ..... KämpfergelenkeKa, Kb ... Kämpferdrücke Stabachse Stabachsel ............ Stützweite A B Kb Ka lN ... wirkt in Richtung der Bogenachse und ist negativ, wenn sie eine Druckkraft istV, Q ... wirkt normal zur BogenachseM ... positiv, wenn innen Zug istI.3.4.1 graphische Behandlung des DreigelenksbogenDas dabei entstehende Seileck nennt man Stützlinie. Die Stützlinie8 ist stets gleich derWirkungslinie der Resultierenden der am Bogen aufeinander folgenden äußerenKräfte. So ergibt sich bei Belastung des Tragwerks mit Einzelkräften ein Polygonzug,bei verteilter Last eine stetig gekrümmte Kurve.Bestimmung von M, N und V im Dreigelenkbogen. Das Moment ist positiv, wenn dieStützlinie oberhalb der Bogenachse verläuft und negativ, wenn sie unterhalbliegt. 25
  26. 26. Stützlinie G F2 A F1 F1 Stützlinie Stabachse Stabachse F2 B A B Kb Ka lI.3.4.2 rechnerische Behandlung des Dreigelenksbogen 1 A = ⋅ ∑ Fi ⋅ xi ′ q l 1 B = ⋅ ∑ Fi ⋅ xi l Ersatzträger A B q G Stabachse Stabachse A B Ka Kb lA,B,M undV bedeuten Auflager- und Schnittkräfte am Ersatzträger, M, N und Vdie Schnittkräfte am Bogen. 26
  27. 27. I.4 FachwerkeEs gibt ebene und räumliche Fachwerke. Während ein vollwandiger TrägerBiegemomente, Querkräfte und Normalkräfte aufnimmt, treten in denFachwerksstäben nur Normalkräfte auf, die als Stabkräfte bezeichnet werden.Zur Bestimmung der Stabkräfte, betrachten wir das Fachwerk als „ideales“Fachwerk:1) In den Knoten sind die Stäbe mit reibungsfreien Gelenken angeschlossen.2) Die Stabachsen sind gerade.3) Die Stabanschlüsse sind zentrisch.4) Die Belastungen bestehen aus Einzellasten, die nur in den Knoten angreifen.Unter diesen Voraussetzungen treten in den Stäben nur Normalkräfte ( Zug- undDruckkräfte ) auf. Zugkräfte sind positiv Druckkräfte sind negativI.4.1 graphische BehandlungCREMONA Plan (gezeichneter Rundschnitt) F1 F2 O1 D1 0 D2 D4 A F1 D1 D3 U1 S D2 D5 U1 U2 D3 O1 1 A Pol D5 D6 U2 B F2 D6 2 D4 B 3,0 1,5 1,5 27
  28. 28. - Fachwerk muss statisch bestimmt sein (innerlich und Äußerlich) - Stäbe bezeichnen (O1,O2,...,U1,U2,...,V1,V2,...,D1,D2,...) - Umlaufsinn wählen - Nullstäbe suchen und anschreiben - Äußeres Gleichgewicht herstellen (ΣH = 0, ΣV = 0, ΣM = 0) - Kräftemaßstab wählen - Jeden Knoten graphisch ins Gleichgewicht setzen (nur immer 2 Stabkräfte dürfen unbekannt sein)Sind alle Stabkräfte an die Reihe gekommen, so muss sich der Cremona Planschließen.Ist das Fachwerk symmetrisch und ebenso die Belastung, so ist auch der CremonaPlan symmetrisch und es genügt daher den halben Plan zu zeichnen.CULMANNDas graphische Verfahren nach Culmann9 bietet gegenüber dem Cremona Plan denVorteil, dass sich damit auch einzelne Stabkräfte bestimmen lassen. Culmann´sche Hilfsgerade R F1 0 O2 F4 F1 A Pol 1 O1 D2 R U2 F2 D1 2 D2 U1 O2 U2 F3 B A F2 Schnitt s – s an der Stelle x - Fachwerk muss statisch bestimmt sein (innerlich und Äußerlich) - Stäbe bezeichnen (O1,O2,...,U1,U2,...,V1,V2,...,D1,D2,...) - Dreistäbeschnitt durchführen - Teilsystem ins Gleichgewicht setzen – reslutierende Kraft R bestimmen - R und eine Stabkraft (Obergurtkraft) zum Schnitt bringen - Culmann´sche Hilfsgerade einzeichnen und Stabkräfte bestimmenI.4.2 rechnerische Behandlung 28
  29. 29. Verfahren nach Ritter:Wir denken uns einen Schnitt s-s geführt und setzen die Momentengleichung umdie Ritterpunkte r (Momentenbezugspunkt) an. F3 O2 F2 F1 O1 r2 D2 D3 V1 V2 D1 r3 U1 U2 r1 U3 A B Schnitt s – s an der Stelle xVersagen der Rittermethode:Das Ritterverfahren versagt, wenn die mit dem zu berechnenden Stabmitgeschnittenen Stäbe parallel sind (Ritterpunkt liegt im ∞). F1 F2 F3 r2 O1 O2 O3 V2 V3 r3 ∞ V1 D3 D1 D2 U1 U2 r1 U3 A Schnitt s – s an der Stelle xRundschnittverfahren: 29
  30. 30. Man denkt sich einen Knoten heraus geschnitten und wendet auf sämtliche an ihmangreifenden äußeren Kräfte und Stabkräfte die Gleichgewichtsbedingungen deszentralen Kraftsystems an (es dürfen nur zwei unbekannte Stabkräfte vorhandensein).Parallelträger bei lotrechter Belastung: F F F F F F F M n +1 O = − h h Mn A B U = h l Q D = s in ϕ V = −Q [ Q ], [ V ] n-1 n n+1 [M]Das Moment ist immer an jener Stelle zu nehmen, wo der zugehörige Ritterpunktliegt. Q ist in jenem Feld des Ersatzbalkens zu nehmen, wo der Dreistäbeschnitt denLastgurt (der belastete Gurt) schneidet. Für D und V der rechten Seite sind dieVorzeichen von Q umzukehren.Die Oben angegebenen Vorzeichen (für D und V) gelten, wenn die Diagonalen zurMitte hin fallend sind. Wenn die Diagonalen zur Mitte hin ansteigen sind dieVorzeichen umzukehren. Diagonalen die zur Mitte hin fallen, sind bei symmetrischerBelastung Zugstäbe. 30
  31. 31. I.5 Ermittlung statischer Bestimmtheita) Abzählkriterien10Allgemeine Form n = ( a + e *s ) - ( b * k + g )mit a + e * s : Spaltenzahl von b* gleich Anzahl der Unbekannten a ... Summe der möglichen Auflagerreaktionen e ... Unabhängige Stabendkraftgrößen je Stabelement s ... Summe aller Stabelemente zwischen k Knotenpunktenb * k + g : Zeilenzahl von b* gleich Anzahl der Bestimmungsgleichungen b ... Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen je Knoten k ... Summe aller Knotenpunkte einschließlich Auflagerknoten g ... Summe aller Nebenbedingungen (ohne Auflagerknoten)Sonderformen des Abzählkriteriums :Allgemeine Stabwerke ebene e=3 b=3 n = a+3*(s-k)-g räumliche e=6 b=6 n = a+6*(s-k)-g F1 F2 F3 G A Stabachse Stabachse B C n = 4+3*(3-4)-1 = 0 (statisch bestimmt!)Ideale Fachwerke ohne Nebenbedingungen 31
  32. 32. ebene e=1 b=2 n = a + s - 2k räumliche e=1 b=3 n = a + s - 3k n = 3 + 17 - 2 * 10 = 0 (statisch bestimmt!) A Bb) Aufschneiden bis System statisch bestimmt ist:Dieses Verfahren kommt vor allen bei hochgradig statisch unbestimmten Systemenzur Anwendung, da wir uns das langwierige Abzählen der Stäbe und Knotenersparen. Pendelstäbe werden zuerst herausgeschnitten, dann die übrigenüberzähligen Stäbe bzw. Auflagerreaktionen. Die Summe der dadurch entstandenenSchnittgrößen M, N und V bzw. Q ergibt den Grad der statischen Unbestimmtheit. M 1 F1 F2 M2 F3 A Stabachse Stabachse B C n = M1 + M2 = 2 (2-fach statisch unbestimmt!) 32
  33. 33. I.6 Statische Berechnung 1 LastaufstellungHier muss nach den Belastungsannahmen lt. ÖNormen vorgegangen werden.Eigenlasten von Baustoffen und Bauteilen, eventuell Lagergüter, Nutzlasten imHochbau, Schnee- und Eislasten, Statische Windkräfte und Erdbebenkräfte 2 Wahl des statischen SystemsStatisch bestimmt oder unbestimmt, Vor- und Nachteile des jeweiligen Systems, wosind bewegliche Auflager erforderlich bzw. zwingend anzubringen und wo ist eineEinspannung von Vorteil. Begründen sie immer ihre Wahl des statischen Systemsz.B. statisch bestimmtes System, da der Aufwand zur Berechnung des Systemsgeringer ist und somit Zeit und Geld spart. 3 Ermittlung der Kräfte und SchnittgrößenBei statisch bestimmten Systemen kaum ein Problem. Hingegen bei statischunbestimmten Systemen muss zuerst die Entscheidung getroffen werden, welchesBerechnungsverfahren am günstigsten ist (Winkler, Cross, Clapeyron, Kraftgrößen-verfahren bzw. Deformationsmethode,...). 4 Bemessung des Tragwerkes ( Festigkeitslehre Voraussetzung )Dieser Punkt setzt die Kenntnis der Festigkeitslehre voraus (Schwerpunkt, statischesMoment, Widerstandsmoment, Trägheitsmoment, Deviationsmoment, ...). DieBemessung erfolgt meist mit den Werkstoffen Stahl, Holz und Stahlbeton 33
  34. 34. I.7 Statisch unbestimmte SystemeI.7.1 Winklersiehe Vortag und Bautabellenbau (Ausgabe 2004/05) S 118 ffI.7.2 Clapeyron (Dreimomentengleichung)Kommt meist bei Durchlaufträgern zur Anwendung. Bei sehr langen Durchlaufträgernempfiehlt es sich das feste Auflager in der Mitte anzuordnen. Es wird davonausgegangen, daß der Träger ein konstantes Trägheitsmoment besitzt. Dies istallerdings nur für die Berechnung der Schnittgrößen zulässig, nicht für die Ermittlungder Durchbiegung an einem bestimmten Punkt. Durch diesen Sonderfall wird aus der 11Dreimomentengleichung die Clapeyronsche Gleichung. F1 q2 q1 Stabachse Stabachse A B C Mm Ml Mr l lr li ⋅ M i −1 + 2 ⋅ (li + li +1 ) ⋅ M i + li +1 ⋅ M i +1 = −6 ⋅ ( Bi + Ai +1 ) ll l ⋅ ( M l + 2 ⋅ Ψl ⋅ M m + Rl ) + r ⋅ (2 ⋅ Ψr ⋅ M m + M r + Lr ) = 0 Il Ir (M l + 2 ⋅ M m + Rl ) ⋅ ll + (2 ⋅ M m + M r + Lr ) ⋅ lr = 0 34
  35. 35. I.7.3 CROSS, IterationsverfahrenDas Momentenausgleichsverfahren nach Cross12 ist ein Iterationsverfahren.Zunächst werden dabei alle Knotenpunkte unverdrehbar (eingespannt) festgehaltengedacht und hierfür die Volleinspannmomente bestimmt. Nunmehr wird diesesMomentenbild dadurch verbessert, daß nacheinander immer nur ein Knoten„losgelassen“ wird, wodurch an ihm ein Restmoment frei wird, welches sichentsprechend der Steifigkeit der einzelnen Stäbe des Knotens auf diese verteilt undzu den benachbarten Knoten überträgt.Dieser Vorgang wird von Knoten zu Knoten fortschreitend so lange wiederholt, bissich an allen Knoten die Momente ausgeglichen haben und ΣM = 0.Wir unterscheiden zwei Tragwerksarten verschiebliche und unverschieblicheStabsteifigkeit ki: Ii ki = li 3 0,75 ⋅ I i ki ′ = ⋅ ki = 4 liKnotensteifigkeit:Knotensteifigkeit ist die Summe der Stabsteifigkeiten die in einem Knotenendezusammentreffen. n k N = ∑ ki i =1Ausgleichsbeiwert:Unter dem Ausgleichs- oder Verteilungsbeiwert versteht man das negative Verhältnisder Stabsteifigkeit zu der Knotensteifigkeit. − ki − ki α = = ∑ ki kN ∑α = −1 35
  36. 36. Vorgehensweise bei der Berechnung:1) Volleinspannmomente unter Beachtung der Vorzeichen2) Stabsteifigkeiten ermitteln3) Knotensteifigkeiten ermitteln4) Verteilungszahlen (Ausgleichsbeiwerte) bestimmen5) Übertragungsziffern (Fortleitungszahlen) bestimmen.6) Der Ausgleich wird an einer Systemskizze durchgeführt. Der Ausgleich beginnt am Knoten mit dem größten Restmoment ∆M´. Berechnen der Ausgleichsmomente ∆M = α * ∆MN´, Eintragung unter die Volleinspannmomente und Unterstreichung (grün). Berechnung der Übertragungsmomente M“ und in der Systemskizze an den benachbarten Knoten anschreiben (blau unterstrichen).7) Der gleiche Vorgang wird nun mehr an den Knoten mit dem nächst größeren Moment wiederholt. Bei einem Nachbarknoten kommen die Übertragungs- momente zu den Volleinspannmomenten hinzu. Ausgleich solange bis die Restmomente vernachlässigbar klein sind.8) Berechnung der endgültigen Knotenmomente durch Addition der Volleispann- momente, der Ausgleichsmomente und der Übertragungsmomente.Vorzeichenregelung nach CROSS: Ml Mr + –Hinweise für die Berechnung symmetrischer TragwerkeErsatzsteifigkeiten13 36
  37. 37. 37
  38. 38. I.7.4 KraftgrößenmethodeDie Kraftgrößenmethode erlaubt eine umfassende Ermittlung der Auflager- undSchnittgrößen eines statisch unbestimmten Systems.Das statisch bestimmte Grundsystem wird erhalten durch Lösen von n Bindungen(z.B. Lösen einer Auflagerreaktion, Einführen eines Gelenks) und Wahl von nstatisch Unbestimmten X1, X2,…Xn (Kraftgrößen).Im statisch unbestimmten System sind die statisch unbestimmten Größen Xi von nullverschieden und die Verschiebungen und Verdrehungen δik ihrer Angriffspunktegleich null.Im zugehörigen Grundsystem sind die statisch unbestimmten Größen gleich null unddie Verschiebungen und Verdrehungen ihrer Angriffspunkte von null verschieden.einfach statisch unbestimmt: δ10 + X1 * δ11 = 0mehrfach statisch unbestimmt: δ10 + X1 * δ11 + X2 * δ12 + X3 * δ13 + … + Xn * δ1n = 0 δ20 + X1 * δ21 + X2 * δ22 + X3 * δ23 + … + Xn * δ2n = 0 δ30 + X1 * δ31 + X2 * δ32 + X3 * δ33 + … + Xn * δ3n = 0 … δn0 + X1 * δn1 + X2 * δn2 + X3 * δn3 + … + Xn * δnn = 0in Matrizenform: δ 11 δ 12 δ 13 ... δ 1n   X 1  δ 10  0 δ δ 23 ... δ 2 n   X 2  δ 20  0  21 δ 22              δ 31 δ 32 δ 33 ... δ 3n  ⋅  X 3  + δ 30  = 0    ...   ...  0  ... ... ... ... ...        δ n1 δ n 2  δ n3 ... δ nn   X n    δ n 0    0  der erst Index gibt immer den Ort, an dem die Größe wirkt, und der zweite Index dieUrsache an.Prinzip der virtuellen Arbeit 1 J J κ ⋅ E ⋅ Jc  δ ik = ⋅  c ⋅ ∫ M i ⋅ M k ⋅ dx + c ⋅ ∫ N i ⋅ N k ⋅ dx + J ⋅ ∫ Qi ⋅ Qk ⋅ dx   E ⋅ Jc  l A l G⋅ A l  q2 38
  39. 39. MA q1 F2AH Stabachse Stabachse A B C a b l1 l2 [ M0 ] A0 B0 C0 M1 [ M1 ] A1 B1 C1 M2 M2 [ M2 ] A2 B2 C2 MA [M]AH AV B C 39
  40. 40. II. FestigkeitslehreII.1. Einführung, AllgemeinesDie Festigkeitslehre liefert die Grundlagen für die Bemessung der einzelnen Bauteiletechnischer Konstruktionen. Sie basiert neben praktischen Erfahrungen auf dermathematischen Elastizitätslehre.Das einfachste Elastizitätsgesetz ist die Annahme, dass zwischen den Spannungenund Formänderungen ein linearer Zusammenhang besteht. Unter einer Spannungversteht man die auf eine Flächeneinheit bezogene Kraft [ kN/cm2 ] bzw. [ N/mm2 ].Die Beanspruchungsarten sind: Spannungsarten: Zug σ ... Normalspannung Druck σ Biegung Abscherung Torsion τ τ ... Schubspannung Knickung σ entsteht bei Zug, Druck, Biegung und Knickung τ entsteht bei Abscherung und TorsionSpannungsverteilung:Bei Zug- und Druckbeanspruchungen verteilen sich die Spannungen gleichmäßig über denQuerschnitt. Bei Biegung treten Zug- und Druckspannungen mit einer linearenVerteilung auf.Beim Ausknicken treten im Wesentlichen Druckspannungen auf. Das Knickproblemist jedoch kein Spannungsproblem, sondern ein Stabilitätsproblem!!! 40
  41. 41. II.2. ElastizitätstheorieJede Krafteinwirkung auf einen Körper hat Spannungen und somit auchVerformungen zur Folge. Bei Zug- und Druckbeanspruchungen entsteht eineLängenänderung. Das Verhältnis dieser Längenänderung zur ursprünglichen Längelo bezeichnen wir als spezifische Längenänderung. ∆l =ε … spezifische Längenänderung [ - ] lo ∆d = εq d µ ... Querkontraktionszahl [ - ] εq = µ εµStahl = 0.333333 mStahl = 1/µ = 3.0 (Poisson´sche Zahl)µBeton = 0.11111 bis µBeton = 0.166666 mBeton = 9.0 bis 6.0wieder verschwindende Verformung - elastische Längenänderungbleibende Verformung - plastische LängenänderungEs gelten das Hooke´sche Gesetz und die Bernoulli Hypothese d.h. es besteht einlinearer Zusammenhang zwischen Dehnungen und Spannungen (Hooke, Werkstoffverhält sich linear elastisch) sowie das Ebenbleiben der Querschnitte (Bernoulli).Weiters wird angenommen, dass - Der Träger stabförmig ist (Querschnittsabmessungen sind klein gegenüber der Länge) - Die auftretenden Formänderungen sind vernachlässigbar klein (sie bleiben ohne Einfluss auf das Gleichgewicht d. äußeren Kräfte) - Theorie 1. Ordnung - Die Stabachse ist gerade. Der Querschnitt ist mindestens einfach symmetrisch und ändert sich längs der Stabachse nicht sprunghaft. - Der Werkstoff homogen (und isotrop) ist. 41
  42. 42. Einaxialer Zugversuch:Werkstoff: Stahlgesucht: Arbeitslinie bzw. Spannungs- Dehnungsbeziehung σσb σb ... Bruchgrenze σs ... Streckgrenzeσs Stahl (Fließgrenze σf)σe σe ... Elastizitätsgrenzeσp σp ... Proportionalitätsgrenze α tan α = E ε σ Beton Holz ε 2‰ σ = f (ε ) (Geradengleichung) σ = E ⋅ε E ... Elastizitätsmodul ( = Werkstoffkonstante) σ E= [ kN/cm2 ] bzw. [N/mm2 ] ε G ... Schubmodul E G= [ kN/cm2 ] bzw. [N/mm2 ] 2 ⋅ (1 + µ )Holz: Stahl: Beton:E = 800 - 1550 [ kN/cm2 ] E = 20600 [ kN/cm2 ] Ec = 2600 - 3700 [ kN/cm2 ]G = 50 - 70 [ kN/cm2 ] G = 8000 [ kN/cm2 ] G = 1000 - 1900 [ kN/cm2 ] 42
  43. 43. II.3. BemessungsverfahrenII.3.1 Geometrisch bedingte Größen14II.3.1.1 Schwerpunkt z Fläche A yi ∆Ai Σ(∆Ai*yi) = A*ys zi ys = Σ(∆Ai*yi)/A y zs = Σ(∆Ai*zi)/ADie Summe der Momente der Teilflächen ∆Ai in Bezug auf die y-Achse ist gleichdem Moment der Gesamtfläche mal dem Schwerpunktsabstand zur y-Achse. Dasgleiche gilt für die z-Achse. Der Schwerpunktsabstand ist das jeweilige statischeMoment (Sy bzw. Sz) durch die Gesamtfläche A.II.3.1.2 Trägheitsmoment z Fläche A yi ∆Ai Σ(∆Ai*zi2) = Iy = ∫z2dA [ cm4 ] Σ(∆Ai*yi2) = Iz = ∫y2dA [ cm4 ] zi yDas Trägheitsmoment Ia in Bezug auf die Achse a ist somit die Summe allerProdukte der Flächenelemente ∆A mit dem Quadrat ihres Normalabstandes ra zurAchse a. Das Trägheitsmoment ist ein Maß für den Widerstand das der Querschnittdem Moment entgegensetzt. 43
  44. 44. z b⋅h 3 Iy = → Re chteck 12 h ⋅ b3 y Iz = → Re chteck 12 z π ⋅d4 I = → Kreis y 64Wenn das Trägheitsmoment um eine Achse, die nicht durch den Schwerpunkt derFläche geht, gesucht wird, kommt der Satz von Steiner zur Anwendung. Fläche A zi ∆Ai yi S Ia = Is + A*e2 e aII.3.1.3 Trägheitsradius 2 Fläche A A⋅iy = I y iy A y Iy S iy = AUnter dem Trägheitsradius verstehen wir jenen Abstand i vom Schwerpunkt S indemich mir die Gesamtfläche in einem Punkt vereinigt denken kann, so dass Fläche malAbstand zum Quadrat (A*i2) das Trägheitsmoment I ergibt. 44
  45. 45. II.3.1.4 Polares Trägheitsmoment z ∆Ai Ip = ∫(y2 + z2)dA = ∫r2dA zi y Ip = Iy + Iz yiII.3.1.5 Deviationsmoment (Zentrifugalmoment) z ∆Ai Iyz = ∫yzdA zi y yi Iyz = IzyWird das Deviationsmoment zu Null, dann sind die y und z Achsen, die senkrechtaufeinander stehen, die Hauptträgheitsachsen und Iy und Iz die so genanntenHauptträgheitsmomente.Symmetrieachsen sind immer Hauptträgheitsachsen!II.3.1.6 WiderstandsmomentAuch bei symmetrischen Querschnitten darf das Widerstandsmoment nicht über dieDifferenz der beiden Widerstandsmomente gerechnet werden! z z b ⋅ h2 Wy = → Re chteck 6 y h ⋅ b2 zo Wz = → Re chteck S 6 y yl yr z π ⋅d3 W = → Kreis y zu 32 45
  46. 46. II.3.2 SpannungsnachweiseII.3.2.1 Normal- und Schubspannung N σ = E ⋅ε → σ = A N ⋅l N ∆l = τ = G ⋅γ →τ = E⋅A Aa ∆l = α ⋅ ∆t ⋅ lII.3.2.2 Einaxiale Biegespannung My σ= ⋅z Iy My My M max σ max = ⋅ z max = → σ max = Iy Wy WminII.3.2.3 Zweiaxiale BiegespannungWir zerlegen dazu das angreifende Moment in die Komponenten My und Mz. (Beieinem Kreisquerschnitt gibt es keine schiefe Biegung, da die Momentenebene immerin einer Hauptachse liegt.) My = M * cos α Mz = M * sin α z My Mz M σ y, z = ⋅z+ ⋅y Iy Iz Mz α y My My M  σ max = ± W + z   y Wz  46
  47. 47. II.3.2.4 Einaxiale Biegespannung und Normalspannung (exzentrischer Kraftangriff) M e= N N My N My σ= ± ⋅ z → σ max = ± A Iy A WyII.3.2.5 Zweiaxiale Biegespannung und NormalspannungDer Kraftangriffspunkt liegt nicht auf einer Hauptachse. My = N * z Mz = N * y N My M σ y, z = ± ⋅z± z ⋅y A Iy Iz N My Mz σ max = ± ± A W y WzGleichung der Nullinie: N My M σ y, z = ± ⋅z± z ⋅y =0 A Iy IzII.3.2.6 Kernfläche eines QuerschnittesDie Kenntnis der Kernfläche15 ist wichtig bei Baustoffen, die nicht auf Zugbeansprucht werden dürfen (z.B. Boden, Mauerwerk,…). z h y k= → Re chteck 6 d z k= → Kreis 8 y 47
  48. 48. II.3.2.7 Versagen der Zugzone16Kraftangriff erfolgt auf einer Hauptachse: σ ⋅3⋅c ⋅b N= 2 ∑M = 0, ∑V = 0 2⋅ N σ= 3⋅c ⋅bKraftangriff erfolgt nicht auf einer Hauptachse: r ry  µ = f x ,  a b   N σ max = µ ⋅ a ⋅bII.3.2.8 SchubspannungSchubspannungen treten nur auf, wenn der Momentenverlauf veränderlich ist. InWirklichkeit wirken keine Einzelspannungen, sondern nur eine Hauptspannung σ.Diese Hauptspannung kann in eine Normal- und eine Schubspannungskomponente(Hilfs- bzw. Rechengrößen) zerlegt werden. Q⋅ Sy τ= I y ⋅b Sy = ∆A * zsSy ist das statische Moment des oberhalb bzw. unterhalb von a-a liegenden Teilesder Querschnittsfläche in Bezug auf die horizontale Schwerachse. 3⋅ Q τ max = → Rechteck 2⋅ A 4⋅Q τ max = → Kreis 3⋅ A Q τ = → I - Träger ASteg 48
  49. 49. II.3.3 Stabilitätsnachweis (Knickung)17Diese Verformung wird verursacht durch unvermeidliche Exzentrizitäten desLastangriffes, durch kleine Abweichungen der Stabachse von der Geraden undschließlich durch Ungleichmäßigkeiten des Materials. π2 ⋅E⋅I Nk = 2 ... kritische Last lk ... Knicklänge lk π2 ⋅E π2 ⋅E σ= = Hyperbelgleichung lk 2 λ2 i2 49
  50. 50. Knickspannungen für Holz Knickspannungen für StahlII.3.3.1 KnickenStahl: Holz: N ω⋅Nσ vorh = ≤ σ k , zul σ vorh = ≤ σ d , zul A AII.3.3.2 BiegeknickenStahl: Holz: σ zul ⋅ N M ω⋅N σ DII , zul Mσ vorh = + 0,9 ⋅ ≤ σ zul σ vorh = + ⋅ ≤ σ D , zul σ k , zul ⋅ A WD A σ B , zul W 50
  51. 51. II.3.4 Gebrauchstauglichkeitsnachweis (Biegelinie)18Verformungen/Verschiebungen:Dehnung, Stauchung, Wärmeausdehnung, Durchbiegung, VerdrehungWir setzen voraus, dass der Balken im Verhältnis zu seiner Länge dünn sei. DieWirkung der Querkräfte gegenüber der der Biegemomente ist vernachlässigbar klein(das trifft bei kleinen Stützweiten nicht zu). Siehe auch Bautabellenbuch S 93 ff.Beispiele: F F ⋅ l3  x  3 x  η=   − 3 ⋅ + 2  x 6⋅ E ⋅ I  l   l   η l F ⋅ l3 f = →x=0 3⋅ E ⋅ I q  x  4  q ⋅ l4 x η=   − 4 ⋅ + 3 x 24 ⋅ E ⋅ I  l   l   η l q ⋅ l4 f = →x=0 8⋅ E ⋅ I q q ⋅l4  x  4  x 3 x η=   − 2 ⋅   +  x 24 ⋅ E ⋅ I  l   l l  η 5⋅ q ⋅ l4 l f = →x= l 384 ⋅ E ⋅ I 2 51
  52. 52. II.3.5 Torsion19 MT ϑ= ..... spezifisch er .Drehwinkel G ⋅ IT MTl ϕT = ϑ ⋅ l = ....Verdrehung G ⋅ ITII.3.5.1 Stäbe mit Kreisquerschnitt M T ⋅ 32τ max = π ⋅d3II.3.5.2 Rechecksquerschnitt II.3.5.3 Dünnwandige Walzprofile MT MTϑ= ϑ= G ⋅ η1 ⋅ b 3 ⋅ h G ⋅ IT M T ⋅ bmax τ max = IT MT η3τ max = ⋅ ∑ bi ⋅ hi 3 IT = η2 ⋅ b2 ⋅ h 3II.3.5.4 Dünnwandige Hohlquerschnitterundes Rohr: Allgemein: (Bredt´sche Formel) MTϑ= 2 ⋅ π ⋅ G ⋅ rm ⋅ t 3 MT MT ϑ= τ= 4 ⋅ Am 2 2 ⋅ t ⋅ Am MT G⋅τ= ds 2 ⋅ π ⋅ rm ⋅ t 2 ∫ b(s )II.3.5.5 Dünnwandiger KastenquerschnittAllgemein: Quadrat: MT  s1 s2  MTϑ=  +  ϑ= 2 ⋅ G ⋅ s1 ⋅ s2  t1 t 2  2  G ⋅ (a − t ) ⋅ t 2 3  MT MTτi = τ= 2 ⋅ ti ⋅ s1 ⋅ s2 2 ⋅ t ⋅ (a − t ) 2 52
  53. 53. I.7.4 KraftgrößenmethodeDie Kraftgrößenmethode erlaubt eine umfassende Ermittlung der Auflager- undSchnittgrößen eines statisch unbestimmten Systems.Das statisch bestimmte Grundsystem wird erhalten durch Lösen von n Bindungen(z.B. Lösen einer Auflagerreaktion, Einführen eines Gelenks) und Wahl von nstatisch Unbestimmten X1, X2,…Xn (Kraftgrößen).Im statisch unbestimmten System sind die statisch unbestimmten Größen Xi von nullverschieden und die Verschiebungen und Verdrehungen δik ihrer Angriffspunktegleich null.Im zugehörigen Grundsystem sind die statisch unbestimmten Größen gleich null unddie Verschiebungen und Verdrehungen ihrer Angriffspunkte von null verschieden.einfach statisch unbestimmt: δ10 + X1 * δ11 = 0mehrfach statisch unbestimmt: δ10 + X1 * δ11 + X2 * δ12 + X3 * δ13 + … + Xn * δ1n = 0 δ20 + X1 * δ21 + X2 * δ22 + X3 * δ23 + … + Xn * δ2n = 0 δ30 + X1 * δ31 + X2 * δ32 + X3 * δ33 + … + Xn * δ3n = 0 … δn0 + X1 * δn1 + X2 * δn2 + X3 * δn3 + … + Xn * δnn = 0in Matrizenform: δ 11 δ 12 δ 13 ... δ 1n   X 1  δ 10  0 δ δ 23 ... δ 2 n   X 2  δ 20  0  21 δ 22              δ 31 δ 32 δ 33 ... δ 3n  ⋅  X 3  + δ 30  = 0    ...   ...  0  ... ... ... ... ...        δ n1 δ n 2  δ n3 ... δ nn   X n    δ n 0    0  der erst Index gibt immer den Ort, an dem die Größe wirkt, und der zweite Index dieUrsache an.Prinzip der virtuellen Arbeit 1 J J κ ⋅ Jc  δ ik = ⋅  c ⋅ ∫ M i ⋅ M k ⋅ dx + c ⋅ ∫ N i ⋅ N k ⋅ dx +  J ⋅ ∫ Qi ⋅ Qk ⋅ dx   E ⋅ Jc  l A l G⋅A l  53
  54. 54. Beispiel: 55 kN 41 kN/m MA 26 kN/m AH Stabachse Stabachse A B C 5,2 1,5 6,7 5,1Statisch bestimmtes Grundsystem „0“ Feld 1 ΣH = 0 A0H = 0 ΣV = 0 A0qV = q*l/2 = 26 * 6,7 / 2 = 87,10 kN B0ql = q*l/2 = 26 * 6,7 / 2 = 87,10 kN A0FV = F*b/l = 55 * 1,5 / 6,7 = 12,3134 kN B0Fl = F*a/l = 55 * 5,2 / 6,7 = 42,6866 kN ΣM = 0 M0q = q*l²/8 = 26 * 6,7² / 8 = 145,8925 kNm M0F = F*a*b/l = 55 * 5,2 * 1,5 / 6,7 = 64,0299 kNm Feld 2 ΣH = 0 A0H = 0 ΣV = 0 B0qr = q*l/2 = 41 * 5,1 / 2 = 104,55 kN C0ql = q*l/2 = 41 * 5,1 / 2 = 104,55 kN ΣM = 0 M0q = q*l²/8 = 41 * 5,1² / 8 = 133,3013 kNm 101,4000 kNm [ M0 ] A0 B0 133,3013 kNm C0 145,8925 kNm 41,2500 kNm 64,0299 kNm 54
  55. 55. -87,10 kN -104,55 kN [ V0 ] 87,10 kN 104,55 kN A0 B0 C0 -42,6866 kN 12,3134 kN [ N0 ] 0,00 kN 0,00 kN A0 B0 C0Statisch bestimmtes System „1“ Feld 1 ΣH = 0 A1H = 0 ΣV = 0 A1MV = -M1/l = -1 / 6,7 = -0,14925 kN B1Ml = M1/l = 1 / 6,7 = 0,14925 kN ΣM = 0 M1M = M1 = 1,00 kNm Feld 2 ΣH = 0 A1H = 0 ΣV = 0 B1Mr = 0,00 kN C1Ml = 0,00 kN ΣM = 0 M1M = 0,00 kNm 55
  56. 56. M1 [ M1 ] A1 B1 C1 -0,14925 kN -0,14925 kN [ V1 ] A1 B1 C1 [ N1 ] 0,00 kN 0,00 kN A1 B1 C1Statisch bestimmtes System „2“ Feld 1 ΣH = 0 A2H = 0 ΣV = 0 A2MV = M2/l = -1 / 6,7 = 0,14925 kN B2Ml = -M2/l = 1 / 6,7 = -0,14925 kN ΣM = 0 M2M = M2 = 1,00 kNm Feld 2 ΣH = 0 A2H = 0 ΣV = 0 B2Mr = -M2/l = -1 / 5,1 = -0,19608 kN C2Ml = M2/l = -1 / 5,1 = 0,19608 kN 56
  57. 57. ΣM = 0 M2M = M2 = 1,00 kNm M2 M2 [ M2 ] A2 B2 C2 -0,19608 kN -0,19608 kN [ V2 ] 0,14925 kN 0,14925 kN A2 B2 C2 [ N2 ] 0,00 kN 0,00 kN A2 B2 C2Berechnung der statisch Unbestimmten „X1“ und „X2“ -4 EI/EA = 13670 / 97,3 * 10 = 0,0140493 m² -4 EI/GAV = 20600 * 13670 / (8000 * 0,7485 * 97,3) * 10 = 0,0483327 m² δ11 = 1/EI * (1/3 * 1 * 1 * 6,7 + EI/EA * 0 + EI/GAV * (-0,14925)² * 6,7) = 2,240547 * 1/EI δ12 = 1/EI * (1/6 * 1 * 1 * 6,7 + EI/EA * 0 + EI/GAV * (-0,14925) * 0,14925 * 6,7) = 1,109453 * 1/EI δ22 = 1/EI * (1/3 * 1 * 1 * 6,7 + 1/3 * 1 * 1 * 5,1 + EI/EA * 0 + EI/GAV * (-0,14925)² * 6,7) = 3,950024 * 1/EI 57
  58. 58. δ10 = 1/EI * (1/3 * 1 * 145,8925 * 6,7 + 1/6 * 1 * 64,0299 * (1 + 0,22388) * 5,1 + EI/EA * 0 + EI/GAV * (12,3134 * (-0,14925) * 5,2 + (-42,6866) * (-0,14925) * 1,5 + 1/2 * 174,2 * (-0,14925) * 6,7 + (-87,1) * (-0,14925) * 6,7)) = 413,3341 * 1/EI δ20 = 1/EI * (1/3 * 1 * 145,8925 * 6,7 + 1/6 * 1 * 64,0299 * (1 + 0,22388) * 5,1 + EI/EA * 0 + EI/GAV * (12,3134 * 0,14925 * 5,2 + (-42,6866) * 0,14925 * 1,5 + 1/2 * 174,2 * 0,14925 * 6,7 + (-87,1) * 0,14925 * 6,7 + 1/2 * 209,1 * (-0,19608) * 5,1 + (-104,55) * (-0,19608) * 5,1)) = 679,43139 * 1/EI δ10 + X1 * δ11 + X2 * δ12 = 0 X1 = -115,34908 δ20 + X1 * δ21 + X2 * δ22 = 0 X2 = -139,608522 – fach statisch unbestimmtes System A0H + X1 * A1H + X2 * A2H = 0 A0V + X1 * A1V + X2 * A2V = 99,4134 + (-115,34908) * (-0,14925) * (-139,60852) * 0,14925 = 95,79 kN B0 + X1 * B1 + X2 * B2 = 234,3366 + (-115,34908) * 0,14925 * (-139,60852) * (-0,34533) = 265,33 kN C0 + X1 * C1 + X2 * C2 = 104,55 + (-115,34908) * 0 * (-139,60852) * 0,19608 = 77,18 kN M0A + X1 * M1A + X2 * M2A = 0 + (-115,34908) * 1 * (-139,60852) * 0 = -115,35 kNm M0B + X1 * M1B + X2 * M2B = 0 + (-115,34908) * 0 * (-139,60852) * 1 = -139,61 kNm -139,61 kNm -115,35 kNm MA [M] AH 59,66 kNm 31,25 kNm 63,50 kNm AV B C -133,41 kN 77,18 kN -94,41 kN [V] -39,41 kN 95,79 kN A B C 131,92 kN 58
  59. 59. 1 Kurt Hirschfeld: Baustatik, Dritte Auflage, Springer-Verlag siehe Seite 1 ff2 Heinz Parkus: Mechanik der festen Körper, Zweite Auflage, Springer-Verlag siehe Seite 1 ff3 Robert Krapfenbauer / Ernst Sträussler: Bau-Tabellen, Schulbuch siehe Verzeichnis der österreichischen Baunormen4 Heinz Parkus: Mechanik der festen Körper, Zweite Auflage, Springer-Verlag siehe Seite 28-395 Heinz Parkus: Mechanik der festen Körper, Zweite Auflage, Springer-Verlag siehe Seite 506 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 2 siehe Seite 183 ff7 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 3 siehe Seite 19 ff8 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 3 siehe Seite 28 ff9 Kurt Hirschfeld: Baustatik, Dritte Auflage, Springer-Verlag siehe Seite 59 ff10 Krätzig Wittek : Tragwerke 2 siehe Seite 72 ff11 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 3 siehe Seite 159 ff12 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 3 siehe Seite 214 ff13 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 3 siehe Seite 222 und 23814 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 2 siehe Seite 18 ff15 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 2 siehe Seite 62 ff16 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 2 siehe Seite 67 ff17 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 2 siehe Seite 136 ff18 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 2 siehe Seite 104 ff19 Alfred Böhm / Reinhold Fritsch: Statik 3 siehe Seite 41 ff 59

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